Kalıcı Durum Evrmsel Algortmalarda Yerne Koyma Teknklernn Deneysel İncelenmes Alper Çftç Şma Etaner-Uyar 2 Blgsayar Mühendslğ Bölümü, İstanbul Teknk Ünverstes, İstanbul cftcal@tu.edu.tr, etaner@cs.tu.edu.tr 2 Özet Kalıcı durum evrmsel algortmalarda genellkle k ebeveyn breyden yen br brey üretlmekte ve toplumdak esk br breyn yerne konulmaktadır. Bu noktada nasıl br yöntemn kullanılacağı toplumdak breylern başarımlarının yleşmes açısından önem taşımaktadır. Bu amaçla lteratürde çeştl yöntemler önerlmştr. Bu çalışmada bunlara ek olarak, tepetırmanmalı en kötünün yerne koyma (replace worstclmb) yöntem önerlmştr. Bu çalışmada yerne koyma yöntemlernn başarımları deneysel olarak ncelenmş ve karşılaştırılmıştır. Bu yöntemlern test edlmesnde lteratürde yaygın olarak kullanılan ve brbrnden farklı özellk gösteren bazı test problemler kullanılmıştır.. Grş Toplum modellerne göre k farklı evrmsel algortmadan (EA) bahsedleblr. Bunlardan brncs her neslde toplumdak breylern tamamıyla değştğ ve yerne yen breylern geldğ neslsel (generatonal), kncs se toplumdan çok az brey seçlp bunlardan yen brey oluşturmak suretyle toplumun neslden nesle çok fazla değşmeyen br karakterstk gösterdğ kalıcı durum (steady state) EA dır. [6] Kalıcı durum evrmsel algortmalarda (KDEA) toplumun her neslde tamamen değşmemes yalnızca çok küçük br kısmının değşmes neden le hang yerne koyma yöntemnn uygulandığı önemldr. Bu amaçla çeştl yöntemler kullanılmaktadır. Bu çalışmada, yerne koyma yöntemler üzernde bazı test fonksyonları kullanılarak deneyler yapılmış ve tepe tırmanmanın kullanıldığı yen br yöntem önerlmştr. Bölüm 2 de kalıcı durum evrmsel algortma ve yerne koyma yöntemlernden bahsedlmştr. Bölüm 3 te çalışmada kullanılan test problemler anlatılmış ve bölüm 4 te de deneysel sonuçlara yer verlmştr. Bölüm 5'te genel yorumlar ve olası gelştrmeler sunulmuştur. 2. Kalıcı Durum Evrmsel Algortma EA lar arama uzayında her br br nokta olan breylerden oluşan br toplum üzernde çalışır. Breylern kaltes yan problemn çözümüne yakınlığı br başarım fonksyonu le ölçülür. EA mevcut breylerden çeştl yöntemlerle yen breyler üreterek toplumu yleştrmeye ve çözüme yaklaştırmaya çalışır. KDEA modelne göre, br sonrak toplumu oluşturmak çn mevcut toplumdak brkaç brey değştrlr. Böylece KDEA modelnde neslden nesle toplumda çok fazla değşm gözlenmez.[2] Şekl 3. de KDEA dak temel adımlar gösterlmştr. () Rasgele lk toplumu oluştur (2) İk ebeveyn seç (3) Çaprazlama le yen brey üret (4) Yen brey mutasyona uğrat (5) Seçlen breyn yerne yen brey koy (6) Durma şartı sağlanmadıysa (2) ye gt (7) En y çözümü döndür Şekl. Kalıcı durum evrmsel algortma Algortmada lk adımda N brey çeren rasgele br toplum oluşturulmaktır. Burada toplum oluşturulurken aynı kromozoma sahp, brbrnn aynısı k brey oluşturulmamaya dkkat edlr (duplcate elmnaton). 2. adımda toplumdak breyler değerlendrlp çocuk brey oluşturmak üzere en uygun k brey seçlr. Br sonrak adımlarda çaprazlaşma ve mutasyon le yen br brey oluşturulur. 5. adımda yen brey toplumdan çıkarılmak üzere seçlen dğer br breyn yerne topluma katılır. Topluma grecek breyn gemotpnn toplumda var olan br breyle aynı olmaması gerekmektedr. Bu döngü sonlanma koşulu sağlanmadığı sürece devam eder. KDEA le lgl detaylı blgye []'den ulaşılablr. Bu çalışmada turnuva seçm (tournament selecton) yöntem, tekbçml çaprazlama (unform crossover) ve bt-bazlı mutasyon kullanılmıştır. Turnuva seçm yöntemnde toplumdan k tane breyden oluşan rasgele br grup seçldkten sonra bu grubun en y brey seçlr. Toplumdan n tane brey seçmek çn bu şlem n defa tekrarlanır. Bu çalışmada turnuva k=2 olarak alınmıştır. Tekbçml çaprazlamada yen brey oluşturulurken, breyn kromozomundak her gen eşt olasılıkla ya lk breyden ya da knc breyden alınır. Ayrıca çaprazlamada p c çaprazlama oranına göre çaprazlama uygulanıp uygulanmayacağına karar verlr. Bu çalışmada çaprazlama oranı p c = olarak alınmıştır. Mutasyon breyn genlernn farklılaştırılmasıdır. Breyn genlerne belrl br p m mutasyon oranı le uygulanır. Bu oran genellkle çok küçüktür ve sadece brkaç gende değşm olmasını sağlar. Mutasyona
uğrayan genn değer değştrlr. Bu çalışmada mutasyon oranı p m=/kromozom boyu olarak alınmıştır. 2. Yerne Koyma Aşaması Yerne koyma KDEA çn öneml br aşamadır. Genetk şlemler sonucunda üretlen brey toplumdak br breyn yern alacaktır. Bu aşamada yen breyn hang breyn yerne konulacağı konusunda önerlen yöntemler toplumdan çıkarılacak breyn seçmnde rasgele, yaşa göre ve başarıma göre değerlendrme yapmaktadır. 2.4. Rasgele br breyn yerne koyma. Bu yöntemde rasgele seçlen br brey toplumdan çıkartılır ve bu çıkartılan breyn yerne yen brey topluma grer [5]. bakılır. Tırmanma sonucu yen brey en kötü breyn başarımına ulaşıyor se en kötü brey toplumdan çıkarılır ve yen brey onun yerne topluma grer. Tepe-tırmanmalı yöntemn k farklı yaklaşımı mevcuttur. Lamarck yaklaşımına göre yen brey tırmandırıldıktan sonra en kötü breyn başarımına ulaştığında genotpnn mevcut halyle topluma grer []. Darwn yaklaşımına göre se tırmanan brey en kötü breyn başarımına ulaşınca tırmanma önces genotpnn halyle topluma grer []. Çalışmada tepe-tırmanma çn en dk nş (steepest descent) [3] yöntem kullanılmıştır. Bu yöntemde breyn tüm komşularına bakılıp en ys seçlerek tırmanma devam etmektedr. 3. Test Problemler 2.4.2 En y brey harç rasgele br breyn yerne koyma. Bu yöntemde toplumdak mevcut en y brey harç, rasgele seçlen br brey toplumdan çıkartılır ve bu çıkartılan breyn yerne yen brey topluma grer [5]. 2.4.3 En yaşlının yerne koyma. Bu yöntemde oluşan yen brey toplumdak yaşı en büyük olan breyn yerne konulur [5]. İlk toplumdak tüm breylern yaşı sıfırdır. İzleyen her neslde toplumdak tüm breylern yaşı br artırılır. Topluma gren her yen breyn yaşı sıfır olur. 2.4.4 En y brey harç en yaşlının yerne koyma. Bu yöntemde de oluşan yen brey toplumdak mevcut en y breyn dışında yaşı en büyük olan breyn yerne konulur [5]. En yaşlı breyn en y olduğu durumda br sonrak yaşlı brey seçlr. 2.4.5 En benzernn yerne koyma. Bu yöntemde oluşan yen brey toplumda kendsne Hammng uzaklığı olarak en yakın olan breyn yerne konulur. Böylece en benzer brey le yer değştrlmş olur. 2.4.6 En y brey harç en benzernn yerne koyma. Bu yöntemde oluşan yen brey toplumda mevcut en y breyn dışında kendsne Hammng uzaklığı olarak en yakın olan breyn yerne konulur. En benzer breyn en y olduğu durumda br sonrak benzer brey seçlr. Çalışmada yerne koyma yöntemlern sınamak ve karşılaştırablmek amacıyla yaygın bazı test fonksyonları ve problemler kullanılmıştır. Bununla brlkte farklı özellkler gösteren problemler seçmeye özen gösterlmştr. Seçlen problemler aşağıda açıklanmıştır. 3. Onemax Problem Onemax problem tek br global maksmumu olan tek tepel br fonksyondur. Onemax problemnde amaç yalnızca 0 ve lerden oluşan br dzde lern sayısını enbüyüklemektr. Burada brey çn başarım, sahp olduğu brlern sayısıdır. 3.2 Shekel s Foxholes (f5) Foxholes fonksyonunda br çok yerel optmum mevcuttur. Standart algortmalar çn bu yerel optmumlar sorun teşkl etmektedr [7]. Testler çn bu fonksyonun 25 yerel optmum olan aşağıdak şekl kullanılmıştır [9]. 25 = + 2 6 f5 x K = c + x a ( ) ( ) ( ) = a 6 = 6 = 500 f 5 a, a2 c = ; K ; ( ) 0 32 6...... 0 32 2.4.7 En kötünün yerne koyma. Bu yöntemde yen brey toplumda başarım değer en kötü olan brey le yer değştrr [5]. Bu amaçla lk olarak en kötü brey bulunur. Daha sonra yen breyn başarımı en kötü breyn başarımı le karşılaştırılır ve yen brey daha y se dğer breyn yern alır. 2.4.8 Tepe-tırmanmalı en kötünün yerne koyma. En kötünün yerne koymada yen brey en kötüden y değlse topluma alınmaz ama bu brey en kötünün üzernde bulunduğu tepeden daha yüksek br tepede olablr. Bu se yen breyn potansyel olarak daha y br çözüm olduğu anlamına gelr. En kötünün yerne Tepe-tırmanmalı yöntemde yen brey en kötü breyle karşılaştırıp yerne koymak yerne, tepe tırmandırarak en kötü breyn başarımına ulaşıp ulaşmadığına 65.536 x 65.536 ( f ) = f (, ) mn 5 5 3.3 Rastrgn Fonksyonu (f7) Rastrgn n fonksyonu (f7) çok genş br arama uzayı ve çok fazla yerel mnmum olması nedenyle EA lar çn oldukça zordur. Fonksyonun yüzey modülasyonun genşlğn ve frekansını kontrol eden A ve w değşkenler le belrlenr [7]. Fonksyonun mnmum değer x = 0, =,..., n çn ( x) = 0 f dır [9].
n 2 ( x ) = na + x A ( ) f 7 cos = wx A =0 ; w = 2π ; 5.2 x 5. 2 mn( f 7 ) = f 7 ( 0,...,0) = 0 [9] 3.4 Çok Boyutlu Çanta Problem Çok boyutlu çanta problem bast 0- çanta problemnn genel br haldr. Bu problemde amaç çantaların kısıtlarını sağlayacak ve seçlen nesnelern toplam faydasını enbüyükleyecek şeklde nesneler seçmektr [0]. Problemn matematksel fades şöyledr; n = p x n w x = { } değern c =,...,d, x 0,, =,..., n. olacak şeklde enbüyükle. Burada n nesnelern sayısı, d çanta sayısı, c çanta nn kapastes, p. nesnenn faydası, x. nesnenn alınıp alınmadığını gösteren değşken, w.nesnenn. çantadak ağırlığıdır. Çok boyutlu çanta problemnn bu çalışmadak dğer problemlerden farkı, kısıtlar nedenyle geçerl olmayan çözümlern de bulunmasıdır. Yan toplumda geçerl olmayan, çözüm temsl etmeyen breyler de bulunmaktadır. En y başarıma sahp breyler geçerl çözümler bölgesnn sınırına yakın olanlardır [2]. Ayrıca çok boyutlu çanta problemnde sıkılık oranı (tghtness rato) α önem taşımaktadır. Sıkılık oranı br çanta çn çanta kapastesnn tüm nesnelern o çantadak ağırlıklarına oranıdır. Bu oranların en küçüğüne en düşük sıkılık oranı (mnmum tghtness rato) denr [2]. = J α r / c I = {,..., m} α mn = mn{ α I} Çalışmada örnek test problem olarak OR- Lbrary dek mknap ver dosyası kullanılmıştır []. Bu test dosyası çnde 7 tane problem vardır. Bu çalışmada 28 nesne ve 0 çantanın bulunduğu 5. problem kullanılmıştır. Mnmum sıkılık oranı 0.609 dur. 3.5 Çok Tepel Fonksyonlar Çalışmada tepe yükseklkler eşt olan çok tepel fonksyon elde etmek amacı le [2] dek çok tepel fonksyon üretec kullanılmıştır. Bu üreteç belrlenen kromozom boyunda 0- dzler üretmektedr. Bu dzler fonksyonun tepe noktalarını temsl etmektedr. Ayrıca üretlmek stenen tepe noktası sayısı da belrleneblmektedr. Başarım, kromozomdak en yakın tepe noktasıyla ortak olan btlern sayısıdır. Bu üreteç le kromozom uzunluğunun 00 olduğu eşt yükseklkl 5 ve 0 tane tepeye sahp k fonksyon üretlmş ve çalışmada bu fonksyonlar da kullanılmıştır. Onemax harç dğer fonksyonlar da çok tepel olmalarına karşın, bu bölümdek problemlern özellğ tüm tepelern eşt yükseklkte ve özellkte olmalarıdır. 4. Deneysel Sonuçlar Yerne koyma yöntemlernn testlernde algortmanın durma koşulu 0000 başarım hesabına ulaşmak olarak belrlenmştr. Toplum boyu 50, çaprazlama oranı, mutasyon oranı (/kromozom boyu) olarak alınmıştır. Her problem ve her yöntem çn algortma 00 defa çalıştırılmış ve her başarım hesabında mevcut en y breyn başarım ortalamaları elde edlmştr. Kromozomların kodlanmasında gray kodlama [] kullanılmıştır. Her problem çn elde edlen sonuçlar 0 5000 başarım hesabı arasında çzdrlmştr. Grafklerde kullanılan kısaltmalar Çzelge-6. de verlmştr. Çzelge 6.: Yerne Koyma yöntemler Kısaltma Yerne Koyma Yöntem RO En yaşlının yerne koyma ROWE En y brey harç en yaşlının yerne koyma RMS En benzernn yerne koyma RMSWE En y brey harç en benzernn yerne koyma RR Rasgele br breyn yerne koyma RRWE En y brey harç rasgele breyn yerne koyma RW En kötünün yerne koyma RWC-D Tepe-tırmanmalı en kötünün yerne koyma - Darwnsel RWC-L Tepe-tırmanmalı en kötünün yerne koyma Lamarcksal RWC-D- C Tepe-tırmanmalı en kötünün yerne koyma Darwnsel - Tırmanma başarım hesapları dahl RWC-L- C Tepe-tırmanmalı en kötünün yerne koyma Lamarcksal - Tırmanma başarım hesapları dahl 4. Onemax Problem Onemax problemnde kromozom boyu 200 seçlmştr. En y başarım 200 olacaktır. Bu problem çn EKYK, Darwnsel ve Lamarcksal tepe-tırmanmalı EKYK yöntemler en y ve benzer sonuçları çıkarmıştır. Bunlardan sonra en y performansı EYYK göstermştr. EEYYK se bu problem çn çok y br performans göstermemştr. Daha sonra ERBYK yöntem gelmektedr. Tek başına RBYK se ERBYK yöntemne göre daha kötü br sonuç çıkarmıştır. EBYK yöntem se en brey tutulsun ya da tutulmasın benzer performans göstermştr. Tırmanma sırasında başarım hesapları sayıldığında se tepetırmanmalı EKYK yöntemler kromozom boyunun büyük olması neden le y performans gösterememştr. Onemax problemnn tek tepel br problem olması neden le tepe-tırmanmalı yöntemlern bu problemde daha y br sonuç göstermes beklenen br durum değld.
başarım yleştrmes sağlayamamaktadır. Rastrgn fonksyonunda RBYK, EYYK, EBYK yöntemler f5 e göre daha düzgün br başarım yleşmes sağlamaktadır. Yne f7 de de EYYK en y brey tutulmadığı durumda tutulduğu duruma göre daha y br yleşme sağlamaktadır. Bu fonksyon çn EBYK f5 dek gb en y brey tutulmadığında br süre yleşme olduktan sonra y breyler kaybedlmeye ve başarım gtgde kötü hale gelmektedr. Fakat bu süreç daha uzun sürmektedr. RBYK se en y breyn tutulduğu durumda daha başarılı olmaktadır. Şekl 6.: Onemax sonuçları 4.2 Shekel s Foxholes (f5) fonksyonu F5 fonksyonu çn en y sonucu Tepe-tırmanmalı EKYK - Lamarcksal yöntem çıkarmıştır. Bunda tırmanma sırasındak başarım hesaplarının dahl edlmemes etkl olmuştur. Başarım hesabının malyetl olduğu durumlarda tepe-tırmanmalı yöntemler etkl olmamaktadır. Bununla brlkte bu yöntem Tepe-tırmanmalı EKYK - Darwnsel yöntemden daha y br performans serglemektedr. Tırmanma sırasındak başarım hesapları dahl edldğnde se tepe-tırmanmalı yöntem EKYK yöntemne göre daha y olmamakla brlkte, burada da Lamarck yaklaşımının Darwn yaklaşımına göre daha y olduğu görülmektedr. EYYK en y brey tutulmadığı durumda tutulduğu duruma göre daha fazla yleşme sağlamaktadır. EBYK da se en y brey tutulmadığında br süre yleşme olduktan sonra y breyler kaybedlmeye başlayınca başarım gtgde kötü hale gelmektedr. RBYK se en y breyn tutulduğu durumda daha başarılı olmaktadır. Şekl 6.2: f5 fonksyonu sonuçları 4.3 Rastrgn Fonksyonu (f7) Bu problem çn de en y başarım artışını tırmanma sırasındak başarım hesapları dahl edlmedğnde tepe-tırmanmalı EKYK Lamarck yaklaşımı le sağlamıştır. Yne bu yöntem tepetırmanmalı EKYK Darwnsel yöntemden daha y br performans serglemektedr. Tırmanma sırasındak başarım hesapları dahl edldğnde se tepetırmanmalı yöntem büyük kromozom boyu neden le Şekl 6.3: f7 fonksyonu sonuçları 4.4 Çok Boyutlu Çanta Problem Çok boyutlu çanta problemnn çözümü uygun çözümler bölgesnn sınırına yakın olmaktadır ve başarım hesabında kullanılan ceza fonksyonu toplumu bu sınıra tmektedr [2]. Geçerl ve geçersz çözümler bu sınırda komşudur. İlk toplumda brçok geçersz çözüm bulunmaktadır. EBYK yöntem kullanıldığında br süre sonra toplum sınıra yaklaştıkça üretlen geçersz yen breyler kendlerne komşu olan geçerl breylern yern almaya başlamaktadırlar. Bu yüzden en y başarım düşmeye başlamaktadır. Sıkılık oranları düşük olduğunda lk toplumda çok mktarda geçersz çözümler bulunmaktadır. Algortma lerledkçe daha fazla geçerl çözüm elde edlmektedr ve yaşlı breyler geçerl çözümler olmamaktadırlar. Sürekl en yaşlı le yer değştrldğnde, geçersz breyler yok olmakta ve en y başarım artmaktadır. Fakat zamanla toplum geçerl çözümler sınırının yakınlarına yakınsamaktadır. Bu durumda neredeyse tüm breyler geçerl ve brbrlerne benzer olduğundan, en yaşlı le yer değştrmek artık yleşme sağlamamakta ve en y başarım belrl br düzeyde kalmaktadır. RBYK se genel olarak EYYK le benzerlk göstermektedr. Bununla brlkte EYYK da başlangıçta en yaşlı breyler geçersz çözümler olduğundan yer değştrmelerde geçersz çözümler toplumdan çıkarılmaktadırlar. RBYK da se geçerl çözümlerle de yer değştrme olacağından başlangıçta başarım artışı daha düşüktür. Tepe-tırmanmalı EKYK Lamarck yaklaşımı le en y başarım artışını sağlamaktadır. Burada yne tırmanma sırasındak başarım hesaplarının dahl edlmemes etkl olmaktadır. Bununla brlkte bu yaklaşım Darwn yaklaşımına göre daha y br performans serglemektedr. Tırmanma sırasındak başarım hesapları dahl edldğnde se
tepe-tırmanmalı yöntem EKYK yöntemne göre daha y olmamakla brlkte, burada da Lamarck yaklaşımının Darwn yaklaşımına göre daha y olduğu görülmektedr. Şekl 6.6: 0 tepel fonksyon sonuçları 5. Sonuç ve Önerler Şekl 6.4: Çok boyutlu çanta problem sonuçları 4.5 Çok Tepel Fonksyonlar Br 5 dğer 0 tepel olan k fonksyon kromozom boyu 00 alınarak sınanmıştır. Her k fonksyon çnde sonuçlar brbrne yakın çıkmıştır. Onemax problemnde olduğu gb EKYK ve tepetırmanmalı EKYK yöntemler en y ve benzer sonuçları çıkarmıştır. EYYK yöntem en y başarımda yleşme sağlamıştır. Daha sonra ERBYK gelmektedr. Tek başına RBYK yöntem se ERBYK yöntemne göre daha kötü br sonuç çıkarmıştır. EBYK se en y brey dahl edlmedğnde daha y br yleşme sağlamaktadır. Tırmanma sırasında başarım hesapları sayıldığında se tepe-tırmanmalı EKYK yöntemler yne büyük kromozom boyu neden le çok y br yleşme sağlamamaktadırlar. Şekl 6.5: 5 tepel fonksyon sonuçları Yerne koyma KDEA lar çn başarılı sonuçlar elde etmek açısından önem taşımaktadır. Hang yerne koyma yöntemnn kullanıldığına bağlı olarak çözülmek stenen problemde çözüme ulaşmak mümkün olablr veya hç mümkün olmayablr. Bu çalışmada KDEA larda yaygın bazı yerne koyma teknkler le tepe tırmanmanın da kullanıldığı yen br yöntem farklı yaklaşımlar altında deneysel olarak ncelenmştr. Genel olarak EKYK yöntem denenen tüm problemler çn en y sonuçları çıkarmıştır. Lamarck yaklaşımı Darwn yaklaşımından daha etkl br yleşme sağlamaktadır. Tepe tırmanmalı yöntemler özellkle Lamarck yaklaşımı kullanıldığında, f5, f7 ve çok boyutlu çanta problemlernde tırmanma başarım hesapları dahl edlmedğnde y sonuçlar çıkarsa da dahl edldğnde y br başarım yleşmes sağlamamaktadırlar. RBYK, EYYK ve EBYK yöntemlernn se problemden probleme farklılık göstermekle brlkte genel olarak en y breyn dahl edlmedğ durumlarda daha başarılı oldukları gözlemlenmştr. Çalışmada tepe tırmanmada en dk nş yöntem kullanılmıştır. Bu yöntemde breyn tüm komşularına bakıldığından tırmanma süres uzun olmaktadır. Br sonrak aşamada dğer optmzasyon yöntemler de kullanılablr. Örneğn "greedy descent" yöntem kullanıldığında breyn komşularına rasgele br düzende bakılıp, lk bulunan y breyden devam edldğnden hesaplama zamanı daha az olablr. Bu yöntem kullanıldığında hesaplama zamanı yanında toplumdak breylern çeştllğn nasıl etklendğ de lerk çalışmalarda nceleneblecek konular olablr. 6. Kaynaklar [] A. E. Eben, J. E. Smth, Introducton to Evolutonary Algorthms, Sprnger, 2003. [2] Jens Gottleb, Evolutonary Algorthms for Constraned Optmzaton Problems. Ph.D. Thess, Techncal Unversty of Clausthal, Clausthal, Germany, 999.
[4] T. Bäck, J.M. de Graaf, J.N. Kok, W.A. Kosters. Theory of genetc algorthms. Bulletn of the EATCS, 63:6-92, 997. [5] Smth, J. E., Vavak, F.: Replacement Strateges n Steady State Genetc Algorthms: Statc Envronments, n: Foundatons of Genetc Algorthms 5 (W. Banzhaf, C. Reeves, Eds.), Morgan Kaufmann, San Francsco, CA, 999, pp. 29-233. [6] J.K. van der Hauw. Evaluatng and mprovng steady state evolutonary algorthms on constrant satsfacton problems. MSc thess, Leden Un, 996. (http://www.lacs.nl/mscthess/ir96 2.html) [7] Dgalaks, J.G., Margartas, K. G., An expermental study of benchmarkng functons for genetc algorthms, Intern. J. Computer Math., 2002, 79(4), pp. 403_46. [9] T. Bäck, "A User's gude to GENEsYs.0," Dept. of Computer Scence, Unversty of Dortmund, 992. [0] S. Martello and P. Toth. Knapsack Problems: Algorthms and Computer Implementatons. Wley, Chchester, West Sussex, England, 990 [] J. E. Beasley, OR-Lbrary, Multdmensonal knapsack problem http://people.brunel.ac.uk/~mastb/eb/orlb/mknapnfo.htm l [2] Multmodalty Generator for Evolutonary Algorthms http://www.cs.uwyo.edu/~wspears/mult.html [3] Erc W. Wessten. "Method of Steepest Descent." From MathWorld,A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/methodofsteepestdescent.html