V. Ulusal Üreim Araşırmaları Sempozyumu, İsanul Ticare Üniversiesi, 5-7 asım 005 OBB-DOUGAS ÜRETİM FONSİYONU ÜZERİNE BİR GENEEME Necmein TANRIÖVER Başken Üniversiesi Yiği oray GENÇ Başken Üniversiesi Öze ainaa çok sayıda ve çok değişik içimde üreimlerle karşılaşırız. Bunların azıları süreksiz fonksiyonlar, azıları sürekli fonksiyonlar, azıları da diferansiyelleneilir fonksiyonlar olarak karşımıza çıkar. o-douglas üreim fonksiyonu da eskiden eri iyi ilinen ve üzerinde çok çalışılmış, endüsride ve ekonomide kullanılan, diferansiyelleneilir ir fonksiyondur. Biz urada, üreim fonksiyonunun maemaiksel ir anımını yapıp, kısmi diferansiyel denklemlerin çözüm yönemlerini kullanarak, o-douglas üreim fonksiyonunun ir genellemesini yapık, ayrıca azı üreim fonksiyonlarının kurallarını ulduk. Anahar Sözcükler: Üreim Fonksiyonu, Eş Üreim Hiperyüzeyi. GİRİŞ Genel olarak, ir üreim olayında; emek, yaırım, zaman, doğa gii girdileri, çıkılara, yani ürünlere ağlayan fonksiyona, o ürünün veya firmanın üreim fonksiyonu denir [Arya,ardner,993]. Maemaiksel olarak unu şöyle elireiliriz. +.Tanım: Girdiler kümesi B = {( x, x,..., xn ) : xi R {0}} olmak üzere, ir a ürününün üreim fonksiyonu f a : B R fa ( x, x,.., xn) = dur, öyleki; = fa( x, x,.., xn) ) 0 (poziif yarı anımlı) ) ( f ) a 0 (Burada gradien vekör alanıdır) dır. Sonuç: n=ise = f x ) ir eğridir. a( n= ise = f x, x ) ir düzlem veya yüzeydir. a( fa( x, x,.., xn n 3 ise = ) ir hiperdüzlem veya hiperyüzeydir. m.tanım: F : B R F ( x, x ) = ( f( x, x ), f ( x, x ),..., f m ( x, x )) 449
N. Tanrıöver, Y.. Genç f fonksiyonu, n-girdi kullanıp m ane ayrı ürün üreen ir firmanın üreim fonksiyonunun genel içimidir. Burada f i fonksiyonları f a fonsiyonunun şarlarını sağlar. = Örneğin, f ( x, x,.., x ) = n [ x x.. x ][. a ]. n ij x x + [.. xn x x.. n ]... xn yani ' ' ' ' = f ( x ) = x. A. x + B. x fonksiyonu kuadraik form içiminde n-değişkenli (girdili) ir üreim fonksiyonudur. Bu, geomerik olarak n+ R uzayında. dereceden n-oyulu ir hiperyüzeydir.. BAZI ÜRETİM FONSİYONU TİPERİ Emek, yaırım, zaman ve A,a,,c,d,e ler irer sai olmak üzere; ). = a.. + (ineer üreim fonksiyonu) ln( a. +. = A.. a (o-douglas üreim fonksiyonu) ) 3) = ) (ogarimik üreim fonksiyonu) 4) 5) + = a. +. + c.. + d. e. (. dereceden üreim fonksiyonu) = f (, ) + (Doğaya ağlı üreim fonksiyonu) = A( ). f (, (3-değişkenli üreim fonksiyonu) = f (, için. +. = n ise 3 3 = a.. +.. + c.. d.. e.. (üik üreim fonksiyonu) 6) c 7) ) 8) ) k., n. dereceden homojen üreim fonksiyonu olur. Burada, ye göre kısmi ürev;, ya göre kısmi ürevdir [Salvaore, 996],[Mansfield, 996],[Solow 957]. 3. OBB-DOUGAS ÜRETİM FONSİYONUNUN BİR GENEEMESİ 3.Tanım: A, a, sailer, emek (işçilik), yaırım (kapial) olmak üzere, A. a. =...() fonsiyonuna o-douglas üreim fonksiyonu denir. Şimdi u fonksiyonun, kısmi ürevli denklem çözümü ile ir genel halini ulalım..teorem:. = A.. a ) o-douglas üreim fonksiyonunun ir genellemesi =. f ( / ) içiminde ir fonksiyondur. (Burada f, ya ağlı. anımı sağlayan herhangiir fonksiyondur.). İspa: nun ve ye göre kısmi ürevlerini alalım. a = a. A.. = a. /. = a. a =. A.. =. /. =. Taraf arafa oplarsak;. +. = ( a + )....() denklemi ulunur. Bu denklem,.mereeden kısmi ürevli lineer ir denklemdir. Genel çözümü, d d d = ( a + ). =...(3) yardımcı denklem siseminden yararlanılarak hesaplanır [Ayres, 97]. Şöyle ki d d = nın genel çözümü: ln = ln + ln 450
V. Ulusal Üreim Araşırmaları Sempozyumu, İsanul Ticare Üniversiesi, 5-7 asım 005 ve olur. =...(4) d d = ( a + ). nın genel çözümü: ln = ln + ln a + den ( a + ).ln = ln + ( a + ).ln ln ) ) ) ) = ln(. =. = ( a = ) + ) ) = )...(5) () kısmi ürevli denklemin genel çözümünün; f herhangi ir fonksiyon olmak üzere, = f ( )...(6) olduğu ispalandığından [Ayres, 97], urada (4) ve (5) değerleri yerlerine konursa, genel çözüm; ) = = f ( ) ). f ( )... (7) olarak ulunur. Bu fonksiyon o-douglas üreim fonksiyonunun ir genellemesidir. Burada f, / ya ağlı.tanımı sağlayan herhangi ir fonksiyondur. Gerçekleme: Gerçeken; ilinen o-douglas üreim fonksiyonu, = A.. = = = ( a a. A.. + ). A.( / ) ) a. f ( / ) içiminde, (7) de verilen genel çözümün özel ir hali olmakadır. Yani, urada geçen f fonksiyonu f ( / ) = A.( / ) içiminde özel ir fonksiyondur. f, / yı A.( / ) ifadesine ağlamakadır. Yani o-douglas fonksiyonu (7) formundaki fonksiyonların özel ir içimidir. kısmi ürevi, üreimin yaırıma göre değişim hızını, kısmi ürevi, üreimin emeğe göre değişim hızını verir. (3) denkleminde geçen, d oranı, emek(işçilik)eki değişim oranıdır. d oranı, yaırım(kapial)daki değişim oranıdır. d oranı, üreimdeki değişim oranıdır. 45
N. Tanrıöver, Y.. Genç Örneğin; 00. olmuş demekir. d d oranı, üreimdeki değişim yüzdesidir. Yani, 00. = ise üreimde % lik ir arış d. oranı da üreimdeki değişim a + si demekir. a + Üreim dinamik ir olay olduğu için genel ir üreim olayında u değerler vardır ve ölçüleilir. Bunlara göre, üreimin diferansiyel denklemi veya kısmi ürevli denklemi yazılarak, denklem çözülmeye çalışılır. Genel çözüm ulunailirse, o üreim olayında genel olarak üreim fonksiyonunun kuralı, yani formülü ulunmuş olur. 4. ISMİ TÜREVİ DENEM ÇÖZÜMERİ İE BUDUĞUMUZ BAZI ÜRETİM FONSİYONU TİPERİ emek, yaırım, a ve sailer olmak üzere; ) =(,) üreim fonksiyonu için = a, = ise genel çözüm, yani üreim fonksiyonu, = a++ ipinde olur. Burada inegral saiidir. ) =(,) için =. ise = 6 3 +.f () + f () dır. 3) =(,) için = a. ve (,0)=. ise = a.+. dır. 4) =(,) için =. ve (,0)= + 4 ise = + + + 4 + dır. 4 (3) ve (4) eki üreim fonksiyonları, aplace dönüşümleri ve Ters aplace dönüşümleri kullanılarak kısmi ürevli denklemlerin çözümü ile ulduğumuz genel çözümlerden elde edilmiş fonksiyonlardır..teorem: emek, yaırım, zaman olmak üzere u üç değişkene ağlı ir (,,) üreim fonksiyonu için,. +. +. = ve d d d d = = = ise üreim fonksiyonu, ilk kısmi ürevli denklemin genel çözümü olan ir f(,, )= 0 kapalı T fonksiyonundan nun çekilmesiyle elde edilir. (Burada, kısmi ürevi üreiminin zamanına göre değişim hızıdır.) d d d İspa: d = ln ln = ln a d = ln ln = ln d = ln ln = ln c = a = = c ulunur. Buna göre denklemin genel çözümü; f herhangi ir fonksiyon olmak üzere, f ( a,, c) = f (,, ) = 0 kapalı fonksiyondur. Buradan çekilerek (,,) üç değişkenli üreim fonksiyonu elde edilir. 45
V. Ulusal Üreim Araşırmaları Sempozyumu, İsanul Ticare Üniversiesi, 5-7 asım 005 5. EŞ ÜRETİM EĞRİERİNİN GENEEMESİ 4.Tanım: = (,) üreim fonksiyonu verilsin. R + ir sai olmak üzere (,)= (sai) eğrisine eş üreim eğrisi denir. Bu denklemi sağlayan değişik (,)= (Emek, Yaırım) kominasyonları ile aynı mikar, yani kadar ürün üreileilir. Yani (, )= ve (, )= ise (, ) yerine (, ) kullanılarak aynı mikar ürün elde edileilir. Dolayısıyla, unların oplam maliyelerine akılıp en düşük olan ercih edileilir. 5.Tanım: = (x, x,..., x n ), n-değişkenli üreim fonksiyonu için (x, x,..., x n )= (sai) denklemine eş üreim denklemi denir. Bu R n uzayında (n-) oyulu ir hiperyüzey veya ir hiperdüzlem olur. Buna eş üreim hiperyüzeyi denir. Burada da değişik (x, x,..., x n ) kominasyonları ile aynı üreim mikarını elde emek mümkün olacakır. Böyle ir üreim olayında da oplam maliye fonksiyonu lineer veya nonlineer olailir. Bunların geomerik karşılıkları da R n uzayında (n-) oyulu ir hiperyüzey veya hiperdüzlem olurlar. Bunların maksimum veya minimum nokaları, endüsride, ekonomide önem arz eder. 6. ISITI BÖGEDE ÜRETİMİN MASİMİZASYONU n-değişkenli üreim fonksiyonunu maksimum yapan girdi mikarlarını (kominasyonlarını) ulmak için, gradien ve skaler çarpım yardımı ile ir yükseklik fonksiyonu anımlanır. Bu ve kovaryan ürev kullanılarak üreim hiperyüzeyinin eksremum nokaları ulunailir. [Thorpe,979] Bu nokalar, kısıların eliriği ölge içinde kalırsa dikkae alınır, kalmazsa dikkae alınmaz. Sonra kısı ölgesinin ayrıları olan al uzay parçalarında üreim fonksiyonunun aldığı eksremum değerler, enzer yönemle hesaplanır. Daha sonra, kısı ölgesinin köşe nokalarında, üreim fonksiyonunun değerleri ulunur. Bunların ümü ir araya geirilir. Bunların en üyüğü ya da mulak maksimum noka aranan opimum noka olur. 7. ISITAR ATINDA ARIN MASİMİZASYONU Üreimin periyodu(dönemi, süresi,zaman aralığı) T ise irim zamandaki kar fonksiyonu; (x, x,..., x n )= p.(x, x,..., xn ) - ci.xi T n i= olur. Burada p, ürünün irim saış fiyaı ;c i, x i girdisinin irim maliye fiyaıdır. Bu fonksiyon da yeni ir hiperdüzlem elirir. ısılar alında unu maksimum yapan (x, x,..., x n ) girdi kominasyonları araşırılıp ulunmaya çalışılır [Neill,00].ısılar lineer uzay parçalarından oluşmuşsa çözüm daha kolaydır. ineer olmayan kısılar varsa, agrange çarpanı gii yönemlerden de yararlanılailir. 8. SONUÇ VE TARTIŞMA Çok ürün üreen ir firmanın (üreim fonksiyonunun elirli azı özellikleri olmasına rağmen) üreim fonksiyonunun kuralını, yani denklemini, formülünü ek ir ifade ile vermek mümkün değildir. Üreim özelliklerini aşıyan çok sayıda fonksiyon olailir. Dolayısıyla üreim fonksiyonunun, öncelikle hangi ipen olduğu, yani polinom ipinde mi, üsel mi, rasyonel mi, logarimik mi, rigonomerik mi ya da unların ileşimi ipinden mi olduğu genel olarak espi edilip, denklemin formu yazılmalı. Daha sonra öyle ir fonksiyonun kuralını elirlemek için, kaç ane değer ilinmesi gerekiği elirlenmeli. Belli ir süre içinde (peryoa) isaisiksel ve fiziksel deney veya ölçümler yapılarak gerekli veriler oplanmalı. Bunlar, sınır şarları veya aşlangıç değerleri gii alınailir. Bu veriler arasındaki ağınılar, denklikler varsa ulunmalı.(işçiliğe göre hız, ivme ve yaırıma göre hız, ivme arasındaki ağınılar gii) Denklemin genel çözümü, genel üreim fonksiyonunu vereceğinden fonksiyonun genel formunda, u ölçüm değerleri kullanılarak üreim fonksiyonunun kesin kuralı ulunmaya çalışılmalıdır. esin kural ulunamaz ise, yaklaşık formülü elirlenip kullanılailir. 9. AYNAÇA AYRES, F., 97, Differenial Equaions, McGraw-Hill Book ompany. JAGDISH,. A., ARDNER, R. W., 993, Mahemaical Analysis Prenice-Hall Inc., pp:768. MANSFIED, E., 996, Managerial Economics W. W. Noron & ompany pp:5-64. NEI, R. J., 00, Producion and Producion Funcions: Some Implicaions of a Refinemen o Process Analysis, Journal of Economic Behaviour & Organizaion Volume: 497-5. 453
N. Tanrıöver, Y.. Genç SAVATORE, D., 996, Managerial Economics in a Gloal Economy McGraw-Hill Inc., pp:4-5. SOOW, R. M., 957, Technical hange and he Aggregae Producion Funcion Review of Economic and Saisics, XXXIX Ağusos, pp:3-30. THORPE, A. J., 979, Elemenary Topics in Differenial Geomery Springer-Verlag pp:96-00. 454