Diferansiel Denklemler I (M Çalışma Soruları 800 ( A Aşağıdaki diferansiel denklemlerin çözümlerini bulunuz ( ( = d n d 0 d ( sin cos d = 0 3 ( cos sin d sin d = 0 4 5 6 7 ( 5 d ( 5 d = 0 ( ( = d d 0 = cos n( n( ( d ( d = 0 8 d ( d = 0, μ= μ ( ( B ( e d ( e k d = 0 denkleminin tam diferansiel denklem olabilmesi için ugun k saısını belirleiniz Bu k saısı için tam diferansiel denklemin genel çözümünü bulunuz
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, azım hatası - eksiklikler vs olabilir kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız Çözümler (son güncelleme : 800 Önbilgi (Bazı Diferansieller Tablo du = d d, u= u(, d( = d d ( d( ± = d ± d 3 d d d( = 4 d d d( arctan =
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları Önbilgi (İntegrason Çarpan Araştırması 0 Tablo M d N d= Denk için μ İntegrason Çarpanı Araştırması Koşullar integrason çarpanı Açıklamalar ( d = ϕ( μ= μ( = e ϕ N ϕ ( (alnızca -e bağlı bir fonksion = ϕ( M μ= μ( = ( d e ϕ ϕ( (alnızca -e bağlı bir fonksion 3 ( w w N M w = ϕ μ= μ( w = ( w dw e ϕ w= w(, (hem -e hem -e bağlı, ϕ( w (alnızca w-a bağlı bir fonksion Not durum: alnızca -e bağlı; durum: alnızca -e bağlı; 3durum: hem -e hem -e bağlı : integrason çarpanı araştırmalarında kullanılacaktır!
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları 3 A (Tam Diferansiel denklem ( d ( n d = 0 için Md Nd = 0 azımından: M = N = n = = Denklem: Tam Dif d d u = d M d f ( = ( d f( = n f( (A-i N d g ( = ( n d g( n d = = I g( = n g ( (A-ii ( I için kısmi integrason ile: I = n k bulunur (inceleiniz! (A-i ve (A-ii den: g( = n, f ( = n bulunur u = n n olur Genel Çözüm u = c idi n n= c [ Genel Çözüm ]
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları 4 A (İntegrason Çarpanı ile Tam Diferansiel hale getirilebilen denklem d ( sin cos d = 0 için Md Nd = 0 azımından: M = cos sin cos N = = cos 0 = Denklem: Tam Dif DEĞİL! Ancak denklem, integrason çarpanı ile Tam Dif denklem haline getirilebilir mi? inceleelim! cos 0 = = cos N alnızca -e bağlı bir fonksion elde edildi O halde Önbilgi-Tablo: den d N cos d μ( = e = e = e sin intergrason çarpanı: sin μ ( = e Şimdi denklemin her iki tarafını sin μ ( = e ile çarpalım ve denklemin Tam Dif Denk haline geldiğini kontrol edip, çözelim sin sin e d ( sin cos e d= 0 Bu son denklem için Md Nd = 0 azımından:
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları 5 M = ( sin c os e N = e sin sin sin = cos e = Denklem: Tam Dif d d u = d M d f ( = sin = I sin ( sin cos e d f( sin = e e f ( sin ( (A-i N d g ( = sin e d g( sin = e g( (A-ii I için sin = t dönüşünü apılarak; ( t t t kısmi int egrason I = tedt = ed t te dt ( şeklinde bulunur (inceleiniz! sin (A-i ve (A-ii den: g ( = ( sin e, f ( = 0 bulunur sin sin sin u = = e ( sin e ( sin e olur Genel Çözüm u = c idi ( sin e sin = c [ Genel Çözüm ] A3 (İntegrason Çarpanı ile Tam Diferansiel hale getirilebilen denklem ( cos sin d sin d = 0 için Md Nd = azımından: 0 M = sin N = cos sin = cos cos = Denklem: Tam Dif DEĞİL!
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları 6 Ancak denklem, integrason çarpanı ile Tam Dif denklem haline getirilebilir mi? inceleelim! cos cos cos = = = cot M sin sin alnızca -e bağlı bir fonksion elde edildi O halde Önbilgi-Tablo: den d M cot d n(sin μ( = e = e = e = sin intergrason çarpanı: μ ( = sin Şimdi denklemin her iki tarafını geldiğini kontrol edip, çözelim: μ( ile çarpalım ve denklemin Tam Dif Denk haline cos ( d d 0 sn i sin = ( sin 0 Bu son denklem için Md Nd = 0 azımından: M = sin cos N = sin cos = = sin Denklem: Tam Dif
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları 7 d d u = d M d f ( sin = d f ( = ( sin f (A3-i N d g ( cos ( g( = d sin cos = sin d = I g( = g ( (A3-ii sin ( I için sin = t dönüşünü apılarak; sonuçta I = k bulunur (inceleiniz! sin (A3-i ve (A3-ii den: g= ( 0, f ( = bulunur u = olur Genel Çözüm u =c idi sin = c [ Genel Çözüm ] sin sin = 0 = kπ ( k = 0, ±, için çözüm araştırması: Denklemi sağlar (gözlemleiniz! dolaısıla denklemin bir çözümüdür Genel çözüme dikkat edilirse, Tekil-Çözümü olduğu görülür (gözlemleiniz! A4 I ol : Homojen denklemden çözüm bulunabilir! IIol : A deki apılanlara benzer şekilde Tam Dif denklemden çözüm bulunabilir! IIIol : Gruplandırma: Önbilgi-Tablo: ve den ararlanarak ( 5 d ( 5 d 0 = d d 5( d d = 0 =d( ( = d
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları 8 5 d( d( = 0 5 ( d( =0 5 ( =c [ Genel Çözüm ] A5 I ol : A deki apılanlara benzer şekilde Tam Dif denklemden çözüm bulunabilir! IIol : Gruplandırma: Önbilgi-Tablo: ve den ararlanarak = ( d ( d 0 d d ( d d d = 0 =d( = d ( = d ( n d( d( d( n = 0 ( d( n = 0 ( n= c [ Genel Çözüm ] A6 Gruplandırma: Önbilgi-Tablo: den ararlanarak = d d cos d cos =d( 5 = 0 d = ( cos d = sin c [ Genel Çözüm ] A7 Gruplandırma: n( n( ( d ( d = 0
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları 9 n ( d d = d d [ ] n ( d d d d [ ] = [ ] = d( = d( n ( d ( = ( d ( şimdi her iki tarafın integrali alınırsa, apınız! ve w wdw = k bilgilerinden; nu n u du = k (inceleip, ara işlemleri u n ( ( c = bulunur n ( = ( c [ Genel Çözüm ] A8 (İntegrason Çarpanı ile Tam Diferansiel hale getirilebilen denklem d ( d = 0 için Md Nd = azımından: 0 M = N = = = Denklem: Tam Dif DEĞİL! μ= μ ( formunda bir integrason çarpanı araştıracağız! w = w = w = Hem -e hem -e bağlı integrason çarpanı, genel formda w= w(, için aşağıdaki şekilde araştırılıor idi:
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları 0 = = w w N M ( ( ( ( ( = = = ( ( ( w ( ukarıdaki eşitlik sonucu, alnızca w-a bağlı bir fonksion elde edildi O halde Önbilgi-Tablo: 3 den dw w w N M dw w nw μ( w = e = e = e = = w intergrason çarpanı: μ = Şimdi denklemin her iki tarafını μ = ile çarpalım ve denklemin Tam Dif Denk haline geldiğini kontrol edip, çözelim d ( d = 0 Bu son denklem için Md Nd = 0 azımından: M = N = = = ( Denklem: Tam Dif
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları d d u = d M d f ( = d f = I ( = arctan f( (A8-i N d g ( = d = I g( = arctan g ( (A8-ii I için I = d = d = arctan k (, I için benzer şekilde I arctan k 3 π = bulunur, arctan k arctan = özelliğinden k ( arctan π I = k = ( arctan k3 azılabilir =k dielim (A8-i ve (A8-ii den: g ( =, f ( = 0 bulunur u = arctan olur Genel Çözüm u =c idi arctan = c [ Genel Çözüm ] 0 B ( e d ( e k d =0 için Md Nd= azımından: M = e k N = e = e k N, = e Denklemin Tam DifDenk olabilmesi için = şartı sağlanmalıdır:
Serkan İlter - Diferansiel Denklemler I (M / Çalışma Soruları e k = e k = bulunur Şimdi ( e d ( e d=0 Tam Dif Denk in çözümünü bulalım: d d u = d M d f ( = e ( d f ( = e f ( (B-i N d g ( = ( e d g ( = e g( (B-ii (B-i ve (B-ii den: g= ( 0, f ( = 0 bulunur u = c idi u = e olur Genel Çözüm e = c [ Genel Çözüm ]