FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI DERS NOTLARI Hazırlaya: Pro.Dr. Orha ÇAKIR Akara Üverstes, Fe Fakültes, Fzk Bölümü Akara, 7!
İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜLMESİ I/II 3. UYGUN EĞRİNİN BULUNMASI VE INTERPOLASYON I/II 4. SAYISAL İNTEGRAL HESAPLARI I/II 5. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜLMESİ I/II 6. BENZETİM I/II 7. FİZİKTE SEMBOLIK HESAPLAMA I/II EKLER KAYNAKLAR!
KONU 7 SAYISAL İNTEGRAL HESAPLARI I İtegraller hesaplamasıı gerektre problemler le e ve mühedslğ heme her dalıda karşılaşılır. Çok karmaşık term çere adeler aaltk tegraller hesaplaması çok zordur. İtegral alıacak adeler her zama aaltk termler olmaz bular deey verler de olablr. Böyle durumlarda sayısal tegraller hesaplaması gerekmektedr. Örek olarak, I b d a tegral hesaplaması steeblr. Burada kullaılacak yötemler, Trapez Kuralı, Smpso Kuralı, Gauss Quadrature Yötem, Mote Carlo Yötem, vb. yötemlerdr. Br oksyou alalım ve bu oksyou a le b arasıda tegral hesaplamak steyelm. Bu ade I d b a le verlr. Itegral geometrk alamı, a ve b sıırları arasıdak bölgede verle eğrs altıda kala aladır, Şekl 4.. a b a b Şekl 4. Itegral geometrk temsl! 3
Bu şeklde a ve b sıırları arasıda oksyou altıda kala ala aşağıdak gb hesaplaablr. Öcelkle a, b aralığı daha alt aralıklara bölüür bu alt bölmeler alaı yaklaşık dkdörtge şekll hesaplaır ve bular toplamak suretyle toplam ala yaklaşık olarak hesaplaır. Alt bölmeler alaı a le gösterlrse ve bularda tae varsa toplam ala I a le verlr. Eğer oksyo azala se dkdörtge alaı alt bölmeler alaıda daha büyük olacaktır, oksyo arta se dkdörtge alaı alt bölmeler alaıda daha küçük olacaktır. Çok sayıda alt bölme aldığımızda her br bölmedek hata küçük olacaktır. Buda başka eğer oksyo salıımlı se hatalar brbr yok edeblr. Bu yaklaşımla, orjal oksyo yere çeştl alt bölmeler brleştre yatay çzgler alıyoruz, Şekl 4.. a a... a Şekl 4. Br tegral dkdörtgeler kullaılarak yaklaşık olarak ade edlmes Sayısal tegrallemede çok kullaıla yötem orjal oksyo yere, terpolasyo oksyou da dele tegral kolayca hesaplaable başka br oksyo g yerleştrmektr. Bu oksyo, br doğru, parabol veya süs ve kosüs gb oksyolar şeklde br polom olablr. Geellkle, terpolasyo oksyou. mertebede br polom şeklde yazılablr. g a a a! a a! 4
Sayısal tegralleme soucuu doğruluğu bu ye oksyou orjal oksyou e kadar y temsl ettğe bağlıdır. Foksyou hesapladığı oktaları odlar olarak adladırılır. Sayısal tegrallemeler k gruba ayrılablr.. Newto-Cotes ormuller: trapez kuralı ve Smpso kuralı /3 ve 3/8 kuralları. Bu grupta [a,b] aralığı geelde eşt odlarıa bölmelemştr. Trapez kuralı ç eşt olmaya bölmeleme algortması da mevcuttur.. Gauss ormuller: Bu grupta odlar geelde eşt aralıklı değl akat mümkü ola maksmum duyarlılık ve verm elde edlecek şeklde bölmelemştr. 4.. Trapez Kuralı Brc grupta ve e bast yötemlerde brdr. Trapez kuralıda orjal oksyo, tegral uç oktalarıda a ve b oksyo değerler brleştre düz br çzg le yaklaşık olarak temsl edlr. Bu [a,b] aralığıda düz çzg altıda kala ala I b a a b le verlr. Burada [a,b] aralığı çok sayıda alt aralığa bölüerek duyarlılık artırılablr. Eğer eşt aralığa bölmeleme yapılmışsa her br bölme yükseklğ b a h olur. Eğer a ve b alırsak, tegral herbr yükseklğ h ola tae trapezod alaıı toplamı olarak ade edleblr. O zama. trapezod alaı h a [ ]! 5
le verlr, Şekl 4.3. Şekl 4.3 Itegral hesabı ç trapez kuralı Burada - ve, oksyou sırasıyla - ve de hesaplaa değerlerdr. Bu durumda toplam ala Bu ade daha kısa br bçmde aşağıdak gb yazılablr: Sayısal tegralleme yötemlerde öeml br özellk de hag mertebede keslme hatalarıı olduğudur. Bu trapez yötemde kesme hatası h 3 mertebesdedr, Oh 3. Örek Problem: Trapez kuralıı uygulayarak e eğrs altıda kala alaı, ve aralığıda hesaplayıız, h. alıız. {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} h a I!! h I! 6 -
Çözüm: Çzelge 4. de değerlere karşılık değerler verlmştr. Çzelge 4. değerlere karşılık değerler X...6.997..4.7.83864..9836.8 3.9643.3.54664.9 5.44468.4.89. 7.3896.5.3594 Eğr altıda kala ala. I { [...3.6.7.8.9.489 ]}.4.5 olarak buluur. Bu tegral aaltk hesap soucu bulua değer I.976 dır, ve sayısal tegralleme oldukça yaklaşık br souç vermştr. Yukarıdak çzelgede verle değerler ler. sütua ve ler de kc sütua gelecek şeklde br çzelgede toplamak mümküdür. Bu çzelge Wdows altıda Ecel programıda veya Lu altıda Kspread veya Opeoce Calc programıda oluşturulablr. Daha sora satır ve sütularla sayısal tegralleme şlemler yapılarak tegral soucu yaklaşık olarak hesaplaablr. Sayısal tegrallemes yapılacak oksyo blyorsa, o zama [a,b] aralığıda seçle adım aralığıa göre oksyo çağrılarak toplam kuralıda tegral hesaplaablr. Aşağıdak program -.55 oksyouu [:6] aralığıda h adım aralığı le tegre etmektedr. FORTRAN programı! 7
program trapez mplct real*8 a-h,o-z a. b6. tttrap,a,b wrte*,*tt ed Fucto trap,a,b mplct real*8 a-h,o-z hb-a/ a top do,- h toptop.* eddo toptopb trapb-a*top/.* retur ed ucto mplct real*8 a-h,o-z.-.5*5.*** retur ed! 8
Program çalıştırıldığıda souç 365.65 olarak bulumaktadır. Bu da tegral gerçek değer ola 364.583 değere braz yakıdır. Adım aralığı daha da küçültülerek bell br duyarlılığa kadar souç elde edleblr. Trapez kuralıa göre eşt bölmelemş verler sayısal tegrallemes ç aşağıdak alt program kullaılablr: FORTRAN altprogramı ucto trapv,,h dmeso top do,- toptop.* eddo toptop traph*top/. retur ed 4.. Smpso Kuralı Geel olarak çok kullaıla sayısal tegralleme ormülü Smpso kuralıdır. Trapez kuralıa bezer akat oksyouu değerler düz çzglerle brleştrmek yere br eğr parabol kullaılır. Üç oktaı mmumu br parabol taımlaması gerektğde toplam ala çt sayıda alt bölmelere ayrılır. Burada öerle parabol y A B C şekldedr, ve k bölmeye karşı gele üç oktada geçer, Şekl 4.4.! 9
Şekl 4.4 Sayısal tegralleme ç Smpso kuralı Burada A, B ve C katsayıları parabol üç oktada geçecek şeklde seçlr. [ -, ] aralığıda parabol altıda kala ala le verlr. [a,b] aralığıdak tegral elde etmek ç bu aralık çt sayıda eşt parçaya ayrılır, ve yukarıdak ormul ardışık bölme çtlere uygulaır. Alt bölmeler alalarıı toplamasıyla toplam ala buluur. Bu ade aşağıdak bçmde yazılablr. [ ] 4 3 h d C B A b a d d d d 4! 4 3 tek çt h I! y - ya BC
Örek: Smpso kuralıı uygulayarak e eğrs altıda kala alaı, ve aralığıda hesaplayıız, h. alıız. Çözüm: Öcek örekte verle Çzelge 4. dek değerler kullaarak. I [. 3.9734. 4 [..4.6.8] [..3.5.7.9]] Bu souç, aaltk hesap soucu bulua değere I.976 oldukça yakıdır. Smpso kuralıı algortmasıa göre oksyo verldğde sayısal tegralleme yapa ucto tpl FORTRAN altprogramı aşağıda verlmştr. Burada oksyou ayrıca br alt program olarak yazılmalıdır. FORTRAN programı ucto smp,a,b mplct real*8 a-h,o-z hb-a/ a top do,-, h toptop4.* h toptop.* eddo!
h toptop4.* toptopb smpb-a*top/3.* retur ed Verlerde tegral hesabı yapablmek ç aa programda bu verler grlp altprogramlara aktarılması gerekmektedr. Buu br öreğ aşağıdak programda verlmştr. Verler.,.6.97,.3.743,.483.86,.643.8,.8.3 şekldedr. Burada [:.8] aralığıda verlerde tegral ala program aşağıda verlmştr. FORTRAN programı program smpt mplct real*8 a-h,o-z dmeso :5 data /.d,.97d,.743d,3.86d,3.8d,.3d/ stsmp5,.d,.8d, wrte*,*st ed ucto smp,a,b, mplct real*8 a-h,o-z Dmeso :- hb-a/ top.d m tek/!
tek/.d-tek tek.gt..d.ad..gt. the toptopsmp38h,-3,-,-, m-3 ed m.gt. the toptopsmp3m,,h ed smptop retur ed ucto smp3,,h mplct real*8 a-h,o-z dmeso :- top do,-, toptop4.d*.d* eddo toptop4.d*- smp3h*top/3.d Retur ed ucto smp38h,,,,3 mplct real*8 a-h,o-z smp383.d*h*3.d*3/8.d! 3
retur ed Program çalıştırıldığıda.6456 değer elde edlmektedr. Burada lk k aralık ç Smpso /3 kuralı değer ~.38, so üç aralık ç de Smpso 3/8 kuralı ~.65 uygulamaktadır. Programda kullaıla verler.5-675 3-9 4 4 5 oksyouda yaklaşık olarak elde edlmştr. Foksyou verle aralıkta doğruda tegral.64533 vermektedr. Bu yaklaşımı yüzde hatası ε I doğ. -I model /I doğ. *% le verlr. Burada hata.8% cvarıdadır. Verler geelde eşt aralıklı olmadığı, bazılarıı eşt aralıklı olduğu durumlarda Trapez kuralı ve Smpso kuralı brlkte uygulaablr. Buu algortmasıa göre yazılmış br altprogram aşağıda verlmştr. FORTRAN altprogramı ucto trasm,,,tol mplct real*8 a-h,o-z dmeso, h- k top. do j, hj-j absh-h.lt.tol the k.eq.3 the toptopsmp3h,j-3,j-,j- kk- else kk ed! 4
else k.eq. the toptoptraph,j-,j else k.eq. the toptopsmp3h,j-,j-,j else toptopsmp38h,j-3,j-,j-,j ed k ed ed hh eddo trasmtop retur ed Yukarıda verle altprogramı algortması öcelkle komşu aralıkları uzuluklarıı kotrol eder, eğer k ardışık aralık eşt uzulukta se Smpso /3 kuralı uygulaır; ardışık üç eşt aralık varsa Smpso 3/8 kuralı uygulaır; komşu aralıklar eşt bölmelememşse trapez kuralı uygulaır. 4.3. Gauss Quadrature Yötem Foksyou hesapladığı oktaları sabtlemes ve eşt aralık alıması sıırlaması kaldırılırsa hesaplama algortmasıı duyarlılığı öeml ölçüde artırılablr. Bu yötem lk olarak blm adamı Carl Fredrch Gauss taraıda ortaya kouldu. Bu yaklaşımı kullaarak yapıla tegral hesaplama tekkler de Gauss quadrature olarak blr. Gauss quadrature ormuller ortagoal! 5
polomları özellkler kullaarak y br duyarlılık sağlarlar. Burada oktaları tegral şlemde maksmum verm elde edlecek şeklde seçlmştr. Sıırları - le aralığıda ola belrl br tegral I d w w w! w ades le yaklaşık hesaplaablr. Bu adede ler oksyou hesapladığı oktalar ve w ler se karşı gele ağırlık katsayılarıdır. Burada temel problem değerler ve karşı gele w ağırlık oksyolarıı belrlemektr. Gauss quadrature ormuller geellkle - ve aralığıdak tegraller csde ade edlrler. Bu ormuller mümkü olduğu kadar yüksek mertebel polomlara uyguladığıda tam değere çok yakı souçlar vermeldr. Bu ormullerle,,..., oktalarıda oksyo hesabıı gerçekleştrmek ç sabt, tae değer ve adet w değer belrlemeldr. Geelde N. mertebede br polom N katsayıya sahp olduğuda, oktalı Gauss quadrature ormüller veya daha az mertebel polomlar ç tam olmalıdır. Burada özel olarak verle ormuller Legedre polomlarıa dayadığı ç Gauss-Legedre ormuller olarak blr. İlk beş adet Legedre polomu aşağıda verlmştr. P P P 3 3 P3 5 3 4 P4 35 3 8 3 Burada. mertebede Legedre polomları Rodrguez ormulü le hesaplaablr. d P! d! 6
Böylece değerler. mertebede Legedre polomlarıı P dekleme uya köküdür. Bular orj etraıda smetrk olarak yer alır ve değerler - le arasıdadır. 4.3.. İk Noktalı Gauss-Legedre Quadrature Formuller İk oktalı Gauss-Legedre quadrature ormulü aşağıdak gb yazılablr. Burada, ve oksyou hesaplaacağı oktalar; w ve w karşı gele ağırlık katsayılarıdır. Bu blmeyeler oksyou üç veya daha az mertebel br oksyo olması durumuda yukarıdak deklemde belrleeblr. Bu deklem br sabte, doğruya, kare ve kübk 3 oksyolarıa uygulaırsa aşağıdak dört deklem elde edlr. Bu deklem sstem eşzamalı olarak çözüleblr. Böylece çözümler w w ve -/ 3-.577356..., / 3.577356... olarak buluur. Bu değerler Gauss-Legedre quadrature ormulüde yere koulursa elde edlr. Bu yaklaşım mertebes 3 veya daha az ola polomları verle aralıktak tegraller ç doğrudur. w w d I 3 3 w w d w w d w w d w w d 3 3 d I! 7
Örek: 6 3-5 3- oksyouu - le aralığıda sayısal tegral Gauss quadrature yötem le hesaplayalım. I d I -7. 33333 3 3-6. 5534-. 77995 Bu tegral aaltk değer se -/3-7.33333... dr. Burada Gauss quadrature yötem tam souç verdğ görülür. 4.3.. Çok Noktalı Gauss-Legedre Quadrature Formuller Bu yaklaşımda okta sayısıı azla alarak duyarlılık artırılablr. Bu durumda -oktalı yaklaşım mertebes N ola polomlar ç doğru olacaktır. -oktalı ormullere kadar Legedre polomlarıı kökler ve karşı gele ağırlık aktörler Çzelge 4. de verlmştr. Çzelge 4.. Farklı değerler ç ve karşı gele w değerler Noktalar w -oktalı ormül ±.57735698965. 3-oktalı ormül. ±.7745966694483 4-oktalı ormül 3 ±.3399843584856 ±.863635945 5-oktalı ormül 4. ±.53846935683 ±.9679845938664 6-oktalı ormül 5 ±.3869868396 ±.66938646664 ±.934695435.888888888888888.555555555555555.65455486546.34785484537454.568888888888888.4786867499366.36968855689.467939345769.36765734838.734493797! 8
7-oktalı ormül 6. ±.458455377397 ±.745385599394 ±.9497934758 8-oktalı ormül 7 ±.8343464495649 ±.5553499639 ±.7966664774366 ±.9689856497536 9-oktalı ormül 8. ±.3453434388 ±.633743759 ±.8363736634 ±.9686395766 -oktalı ormül 9 ±.488743389863 ±.433395394947 ±.67949568995 ±.8656336668898 ±.97396585773.4795983673469.38835558.79753948976.948496668869.3668378337836.3376645877887.3834453374.85369376.333935559.3347774.666964935.86486694857.87438836574.955447475.69667939996.986365598.4945349558.666734438688! 9
ÖZET Itegral: eğrs altıda kala alaı buluması, tegral graksel alatımı aşağıdak şeklde verlmştr.!