1 KÜMELER KÜME KVRMI Modern matematiğin en önemli ve temel öğelerinden biri küme kavramıdır. Kümeler teorisinin dili ve teknikleri matematiğe ve bilimin diğer birçok branşına temel teşkil eder. Kümenin, matematiğin tanımsız terimlerinden biri olduğunu mantık konusunda söylemiştik:. undan dolayı küme aksiyomatik bir yapıya sahiptir. Yani, kümeyi ve kümeye bağlı olan birçok terimin doğruluğunu ispatlayamayız, fakat doğru olduğunu kabul ederiz. Ünlü lman matematikçi Georg Cantor (1845-1918) ilk kez 1875 yılında kümenin tanımım nesneler topluluğu olarak yapmış ve bu tanım anlaşılması kolay olduğu için kabullenmiştir. Örneğin, sınıfımızdaki 17 yaşın üzerindeki öğrencilerin kümesi, 3 ve 12 arasındaki tam sayıların kümesi, Türkiye'nin illerinin kümesi... v.s. nesneler topluluğuna, yani kümeye örnektir. ununla birlikte; sınıftaki yakışıklı öğrenciler, Türkiye'nin en güzel köyleri, ligin en iyi futbolcuları,... v.s. küme örnekleri olamazlar. ir küme kurulurken, nesneler topluluğu tam olarak tanımlanmış olmalıdır. ir kümeye ait nesnelerin tam olarak belirlenmesine kümenin iyi tanımlanmış olması gerekir. Yukarıdaki örneklerde, yakışıklılık, güzellik ve iyi futbolculuğun objektif olmadığına ve nesnelerin iyi tanımlanma olmadığına dikkat ediniz. şağıdaki "nesneler topluluklarından hangileri küme belirtir? Neden? a. Doğal sayılar b. Elimdeki parmaklar c. Yaşayan dahi insanlar d. Üç ayaklı hayvanlar e. 2 x 1 = 0 denklemini sağlayan tam sayılar f. Hümanistler Küme teorisi matematiğin temel konularından biridir ve küme tanımsız bir terim olarak kabul edilir. Kümeyi kavram olarak irbirinden farklı bir takım nesneler topluluğu. biçiminde anlamlandırabiliriz. ncak, bir nesne topluluğunun küme olabilmesi için, hangi nesnelerin bu topluluğa dahil olup olmadığı açık ve kesin olarak söylenebilmesi gerekir. Soru : Okulumuzdaki üç öğretmenin topluluğu ir küme midir? Niçin? Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine bu kümenin bir elemanı denir. Kümeler genel olarak,, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x, kümesinin elemanı ise x biçiminde; x, kümesinin elemanı değil ise x biçiminde gösterilir. ir kümesine ait olan elemanların sayısı s( ) ile gösterilir. Soru : şağıda verilen kümelerin elemanlarını yazınız. a. Okulumuzda adı ve soyadı ile başlayan öğretmenler. b. 2 x < 10 eşitsizliğini sağlayan doğal sayılar. 1 in tamsayı kuvvetleri. c. ( )
2 Mantık konusunda doğruluğu içindeki değişkene bağlı olan önermelere açık önerme veya önerme fonksiyonu denildiğini görmüştük. x nesnesi p önermesini sağlıyorsa, bu önerme P x veya p( x ) şeklinde gösterilir. u durumda p( x ) önermesini doğru olarak alabiliriz. p( x ) açık önermesinin değili p '( x ) veya p ( x) şeklinde gösterilir. p '( x ) veya p ( x) sembolleri, x nesnesinin p önermesini sağlamadığı anlamın gelir. ir p önermesini sağlayan x nesnelerinin oluşturduğu topluluk ( ) u topluluk p önermesini sağlayan x elemanlarının oluşturduğu kümedir. p( x ) açık önermesini doğru yapan her bir x değişkeni, kümenin bir elemanıdır. x p x şeklinde gösterilebilir. p önermesi ise, kümeyi belirleyen önermedir. Yukarıdaki sembolüne küme kurma sembolü denir ve bazen : işareti ile de gösterilir. Her iki sembolde öyle ki anlamına gelir. Örneğin, tüm rakamların kümesini K ile gösterirsek, K kümesini belirleyen p önermesini " p( x) : xbir rakamdır." şeklinde tanımlayabiliriz. u durumda tüm rakamların kümesi ; K = { x p( x) } veya K x : p( x) = şeklinde yazılabilir. KÜMELERİN GÖSTERİMİ Küme sembolü dir. Kümeler üç farklı biçimde gösterilir. 1. ORTK ÖZELLİK YÖNTEMİ: ir küme, bütün elemanlarının sağladığı ortak özelliği belirten bir açık önermeden faydalanılarak x gibi bir harf seçilir. gösterilebilir. u gösterimde, kümenin elemanlarından her birini temsil eden ( ) Elemanların sağlamış olduğu açık önerme ise x e bağlı olarak belirtilir. Dolayısı ile bu küme x p ( x ) veya x : p( x ) biçimindedir. u gösterimler, ( ) p x açık önermesini sağlayan tüm x elemanların kümesi anlamında kullanılır. Örneğin; x x iki basamaklı doğal sayı = x x doğal sayıve10 x 99 ifadelerinden = veya herhangi birisi ile gösterilebilir. Soru : { x : x,6' nın pozitif tam böleni ve x } = Z kümesini liste yöntemi ile gösteriniz. Çözüm: = { 1,2,3,6 } Soru : ( ) {, :. 12,,, } = x y x y = x < y x Z y Z kümesini liste yöntemi ile gösteriniz? Çözüm: = {( 12, 1 ), ( 6, 2), ( 4, 3 ), ( 1,12 ), ( 2,6),( 3,4) }
3 2. LİSTE YÖNTEMİ: azen bir kümenin elemanlarını ortak özellik yöntemi ile göstermek yerine tek tek yazmak daha uygun olmaktadır. Kümenin elemanlarının açık olarak küme parantezi içinde (sıra önemli olmamak üzere) gösterimidir. Görüldüğü gibi liste yöntemi, elemanları çok sayıda olan kümeleri göstermede kullanışlı bir yöntem değildir. un rağmen, kümenin elemanları belirli bir kurala göre birbirini takip ediyor ise, kümeyi Z kümelerinin liste yöntemi ile göstermek uygun olmaktadır. Örneğin, doğal sayılar ( N ), tam sayılar ( ) elemanları ardışık olarak birbirini izlediği için bu kümeleri; yazılabilir. gösterilemez. N = { 0,1, 2,3,... } ve = {..., 2, 1,0,1, 2,3,... } Z biçiminde gösterebiliriz. Veya; ortak özellik yöntemi ile gösterilen, x x tek basamaklı asal sayı = kümesi liste yönteminde { 2,3,5,7} = olarak a Q = a, b Z, b 0 kümesi rasyonel sayıları belirtir, ancak liste yöntemi ile b Soru : NKR kelimesindeki harflerden oluşan kümeyi liste yöntemi ile gösteriniz. Çözüm: NKR kelimesinde, N, K, R harfleri vardır. Kümede her eleman bir kez yazıldığından istenen küme {, N, K, R } dir. Soru : { a, { b}, c, { d, e } = kümesinin elemanlarını söyleyiniz. b,d,e kümesinin elemanı mıdır? kümesinin eleman sayısını söyleyiniz? Çözüm: a { b}, c, { d, e}, dır. d, kümesinin elemanı değildir. Yani d dır. ynı şekilde b ve e dır. s( ) = 4 tür. 3. VENN ŞEMSI YÖNTEMİ: Kümenin elemanlarını, kapalı bir eğri içinde gösterme yöntemine Venn Şeması Yöntemi denir. Soru : { x : x 2 1, x } gösteriniz. = Z Kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile yazınız ve Venn Şeması ile Çözüm: x 2 1 1 x 2 1 1 x 3 ise = {1,2,3} 1 2 3
4 SONLU VE SONSUZ KÜMELER Tanım: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme, eleman sayısı sonlu olmayan kümeye sonsuz küme denir. Soru : = { x : 1 x < 20, x Z } ve { x : 2 x 4, x } sonlu veya sonsuz küme olup olmadıklarını söyleyiniz. = < R kümelerinin eleman sayılarını bularak Soru : En az iki elemanlı ardışık pozitif tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanlarının değerleri toplamı 100 dür. u şartı sağlayan kaç küme vardır? u kümeleri bulunuz. Soru : Vücudumuzdaki hücreler kümesi ve doğal sayılar kümesi ni düşünelim. İlk küme ne kadar çok elemanlı küme de olsa sonlu sayıda eleman içerirken, ikinci kümenin sonsuz sayıda elemanı vardır. Sonsuz elemanlı bir başka küme ise bir doğru üzerindeki noktaların kümesi verilebilir. Soru : rdışık pozitif tamsayılar için { 1 },{ 2,3 },{ 4,5,6 }, 7,8,9,10,., kümeleri veriliyor. (her küme kendisinden bir önceki kümeden 1 fazla elemana sahiptir ve her kümenin ilk elemanı önceki kümenin son elemanından bir fazladır.) n. kümedeki elemanların toplamı S n olmak üzere S 21 kaçtır? (4641) LT KÜME ir kümesinde bulunan her eleman aynı zamanda kümesinin de elemanı ise kümesi kümesinin alt kümesidir denir ve ile gösterilir. ifadesi, alt küme ya da yı kapsar biçiminde okunur. x için x dir. Örneğin, tamsayılar kümesi ( Z ), doğal sayılar kümesini ( N ) kapsar. Yani her doğal sayı aynı zamanda bir tamsayıdır. O halde; N Z veya Z N yazılabilir. Diğer taraftan asal sayılar kümesi ( ) tek sayılar kümesinin ( Z T ) bir alt kümesi değildir. ( Z T ). Çünkü, 2 asal sayısı çift sayıdır., Soru : = { x : 0 x < 4, x N } ve { x : x 2 3, x } kümelerinden hangisi diğerinin alt kümesidir. = < R kümeleri verilmektedir. ve
5 LT KÜMENİN ÖZELLİKLERİ 1. Her kümesi için dır. (Çünkü boş kümeye ait olup ya ait olmayan eleman yoktur.) 2. Her kümesi için dır. ( x için x olduğundan dır.) ve C C 3., ve C için ( ) 4. ve kümeleri için ( ve ) = dir. Teorem : n elemanlı bir kümenin 2 n tane alt kümesi vardır. n = 1, n n n = n, = 1 olmak üzere; 1 0 n n n n + + +... + = 2 0 1 2 n n dir. n n x y Uyarı : = ( x = y veya n = x + y) Soru : {, { a}, b, { c, d} } dır. = kümesi veriliyor. kümesi için aşağıdaki önermelerin doğru yada yanlış olduğunu belirtiniz. a) b) c) { } d) a e) {a} f) {a} g) {b} h) {b} ı) c i) {c,d} Soru : K = { 2,3,5, 6} kümesinin a. 3 elemanlı altkümelerini, b. 2 elemanlı altkümelerini, c. 4 elemanlı altkümelerini yazınız. ÖZLT KÜME ir kümesinin kendisi dışındaki her alt kümesine, kümesinin özalt kümesi denir. Soru : = { 2,3,5} kümesinin özalt kümelerini yazınız. Soru : OŞ KÜME Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve veya {} sembolleri ile gösterilir. a) = { x : x 2 = 1, x R } b) = { x : 2x 1 = 4, x Z } { : 3 0 1, } C = x x + x R kümelerinin eleman sayılarını bularak boş küme olup c) ( ) olmadıklarını belirtiniz.
6 EŞİT KÜMELER Tanım: ynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir. ve eşit kümeler ise = ile gösterilir. ve eşit kümeler değil ise ile gösterilir. Soru : { 2,0,2 } ve { x : x 3 4x 0, x } = = = R kümeleri eşit kümeler midir? DENK KÜMELER Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir. Örnek: = { 1,2,3} ve { a, b, c} kümelerdir. = dir. fakat s( ) s( ) 3 = = olduğundan ve denk UYRI: Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştiğinde küme değişmez. UYRI:Eşit kümeler denktir ama bunun karşıtı doğru değildir. KUVVET KÜMESİ ir kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine nın kuvvet kümesi denir ve P() ile gösterilir. Soru : { a, b, c} = kümesinin kuvvet kümesini yazınız. Çözüm: P = 2 =, a, b, c, a, b, a, c, b, c, a, b, c olur. ( ) Not : { a }, nın bir altkümesi iken, 2 nın bir elemanıdır. { a} ise, 2 nın bir altkümesidir. ir Kuvvet kümesinin elemanları yine kümelerdir. Dolayısı ile bu küme, kümeler ailesi veya kümeler sınıfı olarak da isimlendirilir. Örnek : = { 0,1} kümesi için aşağıdaki ifadelerin doğru yada yanlış olduğunu belirtiniz. a. { 0} b. c. 0 d. { } e. { 1} 2 f. 1 2 g. { 0,1} 2 h. 0,1 2 Sonuç : n elemanlı bir kümesinin kuvvet kümesinin eleman sayısı 2 n dir. Yani s P( ) = 2 n dir.
7 LT KÜME SYISI Soru : a) = b) = {a} c) C = {a,b} d) D = {a,b,c} e) F = {a,b,c,d} kümelerinin alt kümelerini yazarak sayısını bulunuz. Sonuç: s() = n olan bir kümesinin alt kümelerinin sayısı = 2 n ve özalt kümelerinin sayısı = dir. 2 n 1 Soru : ir kümesinin alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı 15 ise, kümesinin kaç elemanı vardır? Soru : = { a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a eleman olarak bulunur? Uyarı: s( a) = n ise kümesinin kuvvet kümesinin (yani P ( ) kümesinin); a) Eleman sayısı = b) lt küme sayısı = n 2 tanedir. n ( 2 2 ) tanedir. Soru : ir kümesinin, kuvvet kümesinin alt kümelerinin sayısı (16) 8 kaç tanedir? ise kümesinin eleman sayısı Çözüm: s() = n olsun 2 n ( 2 ) 8 4 8 32 n 5 = 16 = ( 2 ) = 2 2 = 32 = 2 n = 5 bulunur.
8 n ELEMNLI İR KÜMESİNİN ( r n ) r ELEMNLI LT KÜME SYISI ir kümesinin r elemanlı alt küme sayısı paskal üçgeni yardımı ile bulunabilir. KÜMENİN ELEMN SYISI TÜM LT KÜMELERİN SYISI ELEMNI OLMYN LT KÜME SYISI İR ELEMNLI LT KÜME SYISI İKİ ELEMNLI LT KÜME SYISI ÜÇ ELEMNLI LT KÜME SYISI DÖRT ELEMNLI LT KÜME SYISI 0 2 0 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 3 3 1 4 2 4 1 4 6 4 1 : : : : : : : ::::::: n 2 n 0 1 2 3 4... N elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısına n nin r li kombinasyonu denir ve n! C( n, r) = = formülüyle r r!( n r)! bulunur. ÖZELLİKLERİ 1. = = 1 0 n n 2. = r n r n 3. + + +... + = 2 dir. 0 1 2 n Soru : { a, b, c, d, e} = kümesinin a. 3 elemanlı, b. 3 ten az elemanlı, c. En az iki elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. d. kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde d elemanı bulunur? a, b a, b, c, d, e şartını sağlayan kaç tane kümesi vardır? e. f. kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a varken b bulunmaz? g. kümesinin 4elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b birlikte bulunur? h. kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b vardır? Çözüm : a. 3 elemanlı alt küme sayısı : 5 5! = = 10 3 3!.2! bulunur. b. 5 5 5 + + = 16 0 1 2 bulunur. 5 5 5 2 + = 32 5 + 1 = 26 1 0 c. [ ] dır.
9 { a, b, c, e} d. urada { a, b, c, d, e} = idi. 3 elemanlı altkümelerinde d elemanı olanları bulmak için K = kümesinin iki elemanlı altkümelerine bakmamız yeterli olacaktır. Örneğin; { a, b, },{ a, c, },{ a, e, },{ b, c, },{ b, e, },{,, } yerleştirdiğimizde { a, b, c, d, e} oluruz. 4 4! = = 6 bulunur. 2 2!.2! c e bu kümelerin her birine d elemanını = kümesinin 3 elemanlı altkümelerinde d elemanı olanları bulmuş e. kümesinde { a, b } mutlaka olacağı için c, d ve e elemanlarını da bulundurabilecek 3 2 = 8 tane küme bulunabilir. f. İstenen 3 elemanlı altkümelerinde a varsa a yı 3 elemanlı altkümelerine doğrudan yerleştirirsek, 4 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı altkümelerine bakmamız yeterli olacaktır. Fakat bizden birde bu altkümelerde b elemanının olmaması istendiğine göre, bizim 3 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı altkümelerine bakmamız gerekecektir. 3 3! = = 3 2 2!.1! olacaktır. g. izden istenen 4 elemanlı altkümelerde { a, b } nin birlikte olması. una göre { a, b } kesinlikle olacağına göre 3 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı altkümelerine bakmamız yeterli olacaktır. 3 3! = = 3 2 2!.1! olacaktır. h. 1.Yol: a veya b demek; s( ) = s ( ) + s ( ) s ( ) dir. una göre; 4 a nın oldukları (burada yanında b de olabilir.) = 4dür. 3 4 b nin oldukları (burada yanında a da olabilir.) = 4dür. 3 3 a ve b nin birlikte oldukları = 3 dür. 2 iz burada a ve b nin olduklarını iki kere tekrar etmiş olduk. una göre; s( ) = s ( ) + s ( ) s ( ) mantığından hareketle; 4 4 3 + = 5 olarak bulunur. 3 3 2
10 2.Yol: a veya b demek; a varken b nin olmadıkları, b varken a nın olmadıkları ve a ve b nin birlikte oldukları anlamına gelir. una göre; a veya b nin olduğu altkümeleri bulmak için; 3 3 3 + + = 5 3 3 2 bulunur. Soru : = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Soru : = {a, b, c, d, e, f, g } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a eleman olarak bulunur? Soru : ir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 6 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit ise, bu kümenin eleman sayısı kaçtır? Soru :6 elemanlı bir kümenin en fazla 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Soru : 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Soru : En çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 16 olan kümenin özalt küme sayısı kaçtır? Soru : = {a, b, c, d, e, f, g } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a eleman olarak bulunur ve b eleman olarak bulunmaz? { 1, 2,,,3, 4, } Soru: { a b} = kümesi veriliyor. a. s( ) =? b. nın özalt küme sayılarının toplamı kaçtır? Soru : 2 elemanlı altküme sayısı 28 olan bir kümenin en az 2 elemanlı kaç altkümesi vardır? Soru : oş olmayan bir kümesinin, m tane özalt kümesi vardır. kümesine 3 eleman daha katıldığında, kümesinin kaç tane alt kümesi olur? Çözüm: s() = n olsun. n 2 1 n = m 2 = m + 1 kümesine 3 eleman daha katıldığında s() = n + 3 olur. u durumda alt küme sayısı; 2 n+ 3 = 2 n.2 3 = ( m + 1).8 = 8m + 8 olur.
11 KÜMELERDE İŞLEMLER 1. KÜMELERİN İRLEŞİMİ ir şirket sahibi, ürettiği malların reklam ve promosyon işlerinde çalışmak üzere elemanlar alacaktır. Yapılan başvurular üzerine, reklam bölümü için; li, Veli ve Özlem, promosyon işi için de Ebru, Kerem, Musa ve Meryem görevlendiriliyor. yrıca şirket sahibi, Hakan, Sibel ve Gül'ün hem reklam, hem de promosyon işleriyle ilgilenmelerini istemektedir. Şirketteki bu iş bölümü aşağıdaki Venn diyagramıyla gösterilmiştir. Reklam departmanını R ve promosyon departmanını P ile ifade ettiğimizde; R = {li, Veli, Özlem, Hakan, Sibel, Gül} ve P = {Ebru, Kerem, Musa, Meryem, Hakan, Sibel, Gül} yazabiliriz. u durumda reklam ve promosyon bölümlerinin elemanlarının birlikte katıldıkları toplantıdakiler kümesi {li, Veli, Özlem, Hakan, Sibel, Gül, Ebru, Kerem, Musa, Meryem} olur. Tanım: ve kümelerinin birleşimi ; { x x veya x } kümelerinin tüm elemanlarından oluşmaktadır. = dir. birleşim kümesi ile Soru : = {1, 2, 3, 4 } ve = { 2, 4, 7, 9 } şeması ile gösteriniz. ise kümesini liste yöntemi ile yazınız ve Venn Soru : = { x : x 1 2, x R }, { x : x 3 1, x } = < R ise kümesini bulunuz. Uyarı : s( ) s( ) + s( ) olduğuna dikkat ediniz. Sonucu yorumlayınız.
12 İRLEŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. Tek Kuvvet Özelliği: Her kümesi için = 2. Değişme Özelliği: Her ve kümesi için = dır. 3. irleşme Özelliği: Her, ve C kümesi için; ( ) C = ( C) dir. 4. irim(etkisiz)eleman Özelliği : = dır. 5. Her ve kümesi için; ise = dir. İspat: 1. { x : x x } { x : x } =...( irleşimin tanımı) =...( veya nın tek kuvvet özelliği) = 3. { x : x x } { x : x x } =...( irleşimin tanımı) =...( veya nın değişme özelliği) = KÜMELERİN KESİŞİMİ Tanım: ve kümelerinin kesişimi ( rakesiti) { x x ve x } hem hem de ye ait elemanlardan oluşmaktadır. = dir. kesişim kümesi = = Soru : = { 1, a, 2, b, 3 } = {5, a, 7, b, 9 } kümeleri veriliyor. kümesini liste yöntemi ile yazınız ve Venn şeması ile gösteriniz. Soru : = { x : x 5, x R} ve = { x x 1 > 2, x R} : kümeleri veriliyor. kümesini bulunuz. Soru : = {1, 5, 8 } ve = { 2, a, b } kümeleri için =? ( ve yrık kümelerdir)
13 KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ: 1. Tek Kuvvet Özelliği: Her kümesi için ; = dır. 2. Değişme özelliği: Her ve kümesi için = dır. 3. irleşme Özelliği: Her, ve C kümesi için; ( ) C = ( C) dir. 4. Yutan Eleman Özelliği : = dir. 5. Her ve kümesi için ; ise = dir. İspat: 4. ( ) C = x : x ( ) x C x : ( x x ) x C x : x ( x x C) { x : x x ( C) } = ( C)...(Kesişimin tanımı) =... (Kesişimin tanımı) =...( nin birleşme özelliği) =... ( Kesişimin tanımı ) DĞILM ÖZELLİĞİ 1.irleşimin Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği: Her, ve c kümesi için ; ( C ) = ( ) ( C ) dir. 2.Kesişimin irleşim Üzerine Dağılma Özelliği: Her, ve c kümesi için ; ( C ) = ( ) ( C ) dir. İRLEŞİMİN ELEMN SYISI 1. ve kümeleri için ; s( ) = s() + s() - s( ) dir. İspat: x y z Yandaki Venn şemasında x, y, z bulundukları bölgenin eleman sayıları olsunlar. s( ) = x + y + z dir. s( ) = x + y s( ) = y + z olduğundan s( ) = y s( ) = s() + s() s( ) = (x + y) + (y + z) y = x +y +z
14 Soru : ve kümeleri için ; s( ) = 15, s() = 8, s( ) = 3 ise s() =? Soru : ir sporcu kafilesinde 20 kişi futbol 15 kişi basketbol ve 8 kişi hem futbol hem de basketbol oynadığına göre, bu sporcu kafilesi kaç kişidir? 2., ve C kümeleri için; s( C) = s() + s() + s(c) - s( ) - s( C) - s( C) + s( C) dir. İspat: s( C) = s( ( C)) = s() + s( C) - s( ( C)) = s() + s() + s(c) - s( C) s[( ) ( C)] = s() + s() + s(c) - s( C) [s( ) + s( C) - s[( ) ( C)]] = s() + s() + s(c) - s( C) - s( ) - s( C) + s( C) Soru :ir turist grubunda lmanca, İngilizce ve Fransızca dillerinden en az biri bilinmektedir. lmanca bilen 18, İngilizce bilen 20, Fransızca bilen 15, lmanca ve Fransızca bilen 6, lmanca ve İngilizce bilen 3, her üç dili de bilen 2 kişi vardır. Turist grubu 41 kişi ise İngilizce ve Fransızca bilen kaç kişi vardır? Soru : C ifadesini ( ) C şeklinde mi yoksa ( C) iki yazılımın hangi anlamları ifade ettiğini inceleyip, Venn şemasında gösteriniz. şeklinde mi yazmalıyız? bu Çözüm : C ( ) C C ( C) Soru : Fransızca ve lmanca bilenlerin oluşturduğu 22 kişilik bir grupta, 18 kişi Fransızca, 12 kişi de lmanca biliyor. u grupta hem Fransızca hem de lmanca bilen kaç kişi vardır? Soru : Remzi, Sabri ve Serdar kelimelerinin harflerinin kümeleri sırası ile R,S ve C olsun. una göre; a. s( R ) =?, s( C ) =?, s( S ) =? b. s( R S C) =?, s( R S C) =? c. s ( S C) R = ( )?
15 Soru : ir yaz okulundaki öğrenciler atletizm, judo ve yüzme dallarından en az birisini bilmektedirler. u yaz okulunda 45 öğrenci atletizmi, 38 öğrenci judoyu, 32 öğrenci yüzmeyi, 13 öğrenci atletizm ve judoyu, 10 öğrenci atletizm ve yüzmeyi, 8 öğrenci judo ve yüzmeyi, 5 öğrenci ise tüm branşları yapabilmektedir. una göre bu yaz okulunda kaç öğrenci vardır? Soru : 1, 2, 3,..., n kümeleri birbirinden farklı ve boş olmayan kümelerdir. una göre aşağıdaki kümelerin eleman sayıları en az kaç olur? a. 1 2 b. 1 2 3 d. 1 2 3... T c. 1 2 3 4 EVRENSEL KÜME Tanım: Üzerinde işlem yapılan bütün kümeleri kapsayan kümeye Evrensel küme denir ve E ile gösterilir. E E E C E ( C) E C TÜMLEME Tanım: ir kümesine ait olmayan fakat evrensel kümeye ait olan tüm elemanlardan oluşan kümeye kümesinin tümleyeni denir ' = x : x E ve x dır. ', ~ veya şeklinde gösterilir. E ' Soru : E = { a, b, c, d, e, f } evrensel küme; = { a, c, e} ise Soru : E { x : 2 x 5, x } = R evrensel küme; { x : x 1 3, x } ' kümesini bulunuz. = < R ise ' kümesini bulunuz. Soru : E = { 0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9 } evrensel kümesinde = { x xtek sayı}, { x x 0ve x çift sayı} C = { x x asal sayı} kümeleri veriliyor. u durumda, ', ' ve = ve C ' kümelerini liste yöntemi ile yazınız.
16 TÜMLEME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. ' = 2. ' = E 3. ( ')' = 4. ' ' dir. 5. ( ) ' = ' '...( De Morgan Kuralı) 6. ( ) ' = ' '...( De Morgan Kuralı) 7. s ( ) + s( ' ) = s( E) 8. E ' = 9. ' = E İspat: 2. ' { x : x x ' } { x : x ( x E x ) } x :( x x E) ( x x ) = { x : x E x E} =...( irleşimin tanımı ) =...( Tümlemenin tanımı ) =...( nın üzerine dağılma özelliği) = E Soru : Kan tiplerini belirlemek için üç antijenin varlığı veya yokluğu önemlidir. unlar ve antijenleri ve Rh faktörüdür. = { x xte antijeni var}, { x xte antijeni var} + = ve R { x x te Rh faktörü var} = kümeleri için I,II,III verildiğine göre aşağıdaki kümeleri belirtiniz ve uygun Venn şemalarıyla gösteriniz. I. R ' = { x x in kanı, Rh } II. ' R = { x xin kanı, Rh + } III. ' ' R ' = { x x in kanı0, Rh } a. R b. ' R c. ' R ' d. ' R ' e. ' ' R Soru : Sarışın veya esmer çocuklardan oluşan 50 kişilik bir gruptakiler mavi veya kahverengi gözlüdürler. Esmerler 31, kahverengi gözlüler 18 ve mavi gözlü sarışınlar 14 kişi iseler kahverengi gözlü esmer sayısı kaçtır? Cevap : 13
17 FRK KÜMESİ Tanım: ve kümeleri için; \ { x : x ve x } = kümesine fark kümesi denir. \ \ Soru : = { a, b, c, d, e } = { a, c, k, p } kümeleri için \ ve \ kümelerini bulunuz. Soru : = a, { b},{ c, d}, e, { f } { a}, b, { c}, d, e, f } kümelerinin sayısı kaçtır? = kümeleri için \ kümesinin iki elemanlı alt FRK KÜMESİNİN ÖZELLİKLERİ 1. \ \ 2. E \ = ' 3. \ = ' 4. \ = Soru: \ =? 5. = ise \ = Soru: \ =?, \ ' =? İspat: \ = x : x x...( Fark tanımı ) 3. { x : x x '} { x : x '} =...( Tümleme tanımı ) =...( Kesişimin tanımı ) = ' Simetrik Fark ve iki küme olsun. \ ve \ kümelerinin birleşimi olan kümeye, ile nin simetrik fark kümesi denir ve şeklinde gösterilir. ( \ ) ( \ ) = dır. Diğer bir ifade ile yada de olan elemanların oluşturduğu kümeye simetrik fark kümesi denir. Soru :, ve C herhangi 3 küme olmak üzere, \ C \ \ C = \ \ C = \ C \ ve i. ( ) ( ) ( ) ( ) ii. ( ) \ ( ) = olduğunu Venn şeması çizerek gösteriniz.
18 iii. = { x x x } Soru : ir sınıfta 25 öğrenci yalnız Matematik veya yalnız Fizik dersi alıyor. 10 öğrenci bu iki dersten hiçbirini almıyor ve 35 öğrenci de Matematik veya Fizik dersi alıyor. u sınıfta kaç öğrenci vardır? Soru : = { x 1 < x 150, x sayısı3 e bölünür} ve { x 0 x 100, x sayısı 2 ye bölünür} veriliyor. una göre şağıdakileri hesaplayınız. = < < kümeleri a. s( ) b. s( ) c. s( ) d. s( ) Soru : ir okulda öğrenciler, Türkçe, İngilizce ve Fransızca dillerinden en az birini konuşmaktadırlar. şağıda verilen kümelerin her birisini Venn şeması ile gösteriniz. a. Yalnızca Türkçe, b. Yalnızca İngilizce, c. Yalnız Türkçe veya yalnız Fransızca, d. Yalnızca Fransızca ve İngilizce, e. Yalnızca iki dil, f. Sadece bir dil, g. En az iki dil, h. En çok iki dil, i. En az bir dil konuşan öğrenciler. Soru : 480 lman ve Türk işçisinin çalıştığı bir fabrikada, erkek işçilerin sayısı kadın işçilerden 40 eksik ve araba sahibi olan işçilerle araba sahibi olmayan işçilerin sayısı birbirine eşittir. rabası olan lman kadın işçilerin sayısı, arabası olmayan Türk erkek işçilerin sayısının iki katı ve arabası olmayan Türk kadın işçilerin sayısı ise arabası olmayan lman erkek İşçilerin sayısından 60 fazladır. yrıca arabası olan ve olmayan lman erkek işçilerin sayısı da birbirine eşinir. rabası olan Türk kadın işçilerin sayısı 40 ve arabası olan Türk erkek işçilerin sayısı 60 olduğuna göre uygun bir Venn şeması çizerek aşağıdakileri hesaplayınız. a. Türk işçilerin sayısı, b. lman işçilerin sayısı, c. rabası olmayan Türk erkek işçilerin sayısı, d. rabası olmayan Türk kadın işçilerin sayısı, e. rabası olan lman erkek işçilerin sayısı, j. rabası olmayan lman erkek işçilerin sayısı, g.rabası olmayan lman kadın işçilerin sayısı, h. rabası olan lman kadın işçilerin sayısı.
19 İpucu : u özelliklere uygun bir Venn şeması aşağıdaki gibi çizilebilir. lman İşçiler Türk İşçiler rabası olan İşçiler Kadın Erkek c a a+60 2b 40 a 60 b Genel Örnekler Soru : \ kümesinin 8 tane alt kümesi, \ kümesinin 15 tane özalt kümesi vardır. s( ) = 12 ise kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? Soru : ve kümeleri için s (\) = 5 s() = 2.s() ve s ( ) = 23 ( ) kümesinin en çok 1 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? Soru :, ve C kümeleri için aşağıdaki kümeleri Venn şeması ile gösteriniz. 1. C 2. ( \ C) 3. \ ( C ) 4. ( C ) 5. ( ) \ C Soru : \ kümesinin 7 tane özalt kümesi, ' kümesinin en çok 1 elemanlı 6 alt kümesi ve s = ise ' kümesi kaç elemanlıdır? ( ) 14 Soru : ( ) ( ) aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) ) C) D) E) E Soru : = ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) = ) = C) = D) = E E) = Soru : ( \ ) ( ) aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) ) C) D) E) E Soru :( ) (\) aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) ) C) D) E) E Soru : E evrensel kümesinde ve kümeleri alınıyor. s() + s( ) = 19 s( ) + s() = 21 ise s(e) =?
20 Uyarı: Kümelerle ilgili açıklamalı problemleri çözerken Venn şemasından faydalanmak çözümü kolaylaştırır. x y z t E 1. Sadece yı yapanlar x, sadece yi yapanlar z 2. ve yi yapanlar ( Hem yı hem yi yapanlar) y 3. veya yi yapanlar x + y + z 4. veya den en çok birini yapanlar x + z + t 5. veya den en az birini yapanlar x + y + z 6. yı yapmayanlar z + t, yi yapmayanlar x + t dir. Soru : ir turist grubunda yalnız İngilizce bilen 4 kişi, lmanca bilmeyen 7 kişi, İngilizce bilmeyen 8 kişi, grup 20 kişi ise grupta hem İngilizce hem de lmanca bilen kaç kişi vardır? Soru : 21 kişilik bir sınıfta, matematik dersini alanların sayısı, İngilizce dersini alanların sayısının 3 katıdır. u sınıfta 4 öğrenci, Matematik ve İngilizce derslerinin her ikisini de almamakta ve 3 öğrenci her iki dersi aldığına göre bu sınıfta yalnızca Matematik dersini alan kaç öğrenci vardır? Soru : 36 kişilik bir grupta 15 kişi İngilizce, 16 kişi lmanca, 17 kişi Fransızca bilmektedir. Yalnız bu dillerden ikisini bilenlerin toplam sayısı bu üç dilden hiçbirini bilmeyen ve bu üç dili de bilenlerin sayısı aynıdır. Grupta bu üç dili de bilen kaç kişi vardır? Soru : 29 kişilik bir sınıfta 16 erkek ve 13 kız öğrenci vardır. Öğrencilerin 10 u Matematik dersinden geçmiştir. Matematikten geçemeyen erkek öğrenci sayısı Matematikten geçen kız öğrenci sayısının 2 katı olduğuna göre, Matematikten geçemeyen erkek öğrenci sayısı kaçtır? Soru :Gazete, dergi ve kitap okuyanlardan oluşan 40 kişilik bir grupta; I. Her üçünü okuyanların sayısı 4, II. Sadece dergi, sadece gazete ve sadece kitap okuyanların sayıları eşit, III. Gazete, dergi ve kitaptan sadece ikisini okuyanların sayısı eşittir. una göre Gazete okuyanların sayısı en az kaçtır?
Dosya adı: Dizin: Şablon: KÜMELER KONU NLTIMI C:\Users\TOLG\Desktop\INTERNET C:\Users\TOLG\ppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor mal.dotm aşlık: Konu: Yazar: TOLG KURTYEMEZ nahtar Sözcük: çıklamalar: Oluşturma Tarihi: 08.01.2017 14:54:00 Düzeltme Sayısı: 2 Son Kayıt: 08.01.2017 14:54:00 Son Kaydeden: TOLG Düzenleme Süresi: 1 Dakika Son Yazdırma Tarihi: 08.01.2017 14:54:00 En Son Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: 20 Sözcük Sayısı: 5.051(yaklaşık) Karakter Sayısı: 28.796(yaklaşık)