ırat Üiv. Müh. Bil. Dergisi ciece ad Eg. J o ırat Uiv. 8 ( 83-89 6 8 ( 83-89 6 Bir Modülüs osiyou Yardııyla Taılı Bulaı ayı Dizilerii İstatistl Yaısalığı Üzerie Özet Hısı ALTINOK ırat Üirsitesi e aültesi Mateati Bölüü 39 Elazığ-TURKEY hisialtio@gail.co (Geliş/Receid 7.3.6; Kabul/Accepted.4.6 Bu çalışada = ( dizisi ullaılara bir odülüs osiyou yardııyla taılı bulaı sayı dizilerii istatistl yaısalı avraı geelleştirilip bazı apsaa bağıtıları riliştir. Aahtar Kelieler Bulaı ayı Dizisi İstatistl Yaısalı Modülüs osiyou ar Dizisi. Abstract O tatistically Corgece o equeces o uzzy Nubers by a Modulus uctio I this paper we geeralize the cocept o statistical corgece deied by a odulus uctio o sequeces o uzzy ubers usig the sequece ( ad gi soe iclusio relatios. = Key words equece o uzzy Nubers tatistical Corgece Modulus uctio Dierece equece.. Giriş Doğrulu derecesi ço değerli bir atı ola bulaı üe teorisi il dea 965 de Zadeh [33 taraıda ortaya atılıştır. Bu teorii bulaı topoloi uzaylar bulaı ölçüler bulaı ateatl progralaa bulaı atı gibi ço çeşitli uygulaa alaları buluatadır. Bulaı sayı dizisi avraıa il dea Matloa'ı [ çalışasıda rastlaatadır. Matloa [ sıırlı yaısa bulaı sayı dizilerii taııı riş buları bazı özellilerii açılaıştır. O tarihte beri bulaı sayı dizileriyle ilgili pe ço çalışa yapılış hala bu ou üzerie çalışalar deva etetedir [368-633. İstatistl yaısalı taıı 95 de ast [7 taraıda ısa bir ot olara riliştir. choeberg [3 istatistl yaısalığı toplaabile etodu olara iceleiş istatistl yaısalığı bazı teel özellilerii belirtiştir. Bu avra arlı isiler altıda pe ço araştıracı taraıda ölçü teorisie loal os uzaylara toplaabilirli teorisie Baach uzaylarıa ourier aalizde trigooetri serilere bulaı üe teorisie uygulaıştır [388. ar dizisi bazı ar dizi uzayları il dea 98 yılıda Kızaz [ taraıda taılaış o güde beri pe ço araştıra aalesie ou oluştur. Gere reel gerese bulaı sayı dizilerii ar dizilerii e ühedisliği özellile austi alaıda ilgiç prati çeşitli uygulaalara sahip olduğu görülete Bu uygulaalarda birisi de Kawaura diğ. [9 i çalışasıdır. Bu çalışada Kawaura diğ. [9 üyeli derecesi ola osiyolar yardııyla taılaa ar dizilerii ullaara depre esasıda yer hareetlerii basit alada bulaı üe urallarıa uygu şeillere sahip olduğuu belirtip buları depre dalgalarıı tahiide ullaılabileceğii gösteriştir. Diğer yada Mursalee [4 oples terili diziler içi istatistl yaısalığı taılaış istatistl yaısalı ile aralarıdai ilişileri iceleiştir. Daha sora Altio diğ. [3 bulaı sayı dizilerii geelleştiriliş ar dizilerii
Bir Modülüs osiyou Yardııyla Taılı Bulaı ayı Dizilerii İstatistl Yaısalığı Üzerie ullaara istatistl yaısalı avraıı geişletiştir. Başa bir çalışada Altio diğ. [5 bulaı sayı dizileri içi duruuda istatistl yaısalı arasıdai bazı apsaa bağıtılarıı riştir. o zaalarda Caa Alti [7 bir odülüs osiyouu ullaara istatistl yaısa tü bulaı sayı dizilerii üesi ola ( üesii taılayara bazı souçlar elde etiştir. Bu çalışada aacıız şartlarıı sağlaya poziti dizisii terili azalaya bir 3... şelide taılaa geelleştiriliş ar operatörüü ullaara bir odülüs osiyou yardııyla istatistl yaısalı avraıı geelleştirip literatürde bulaı sayı dizilerii geelleştiriliş istatistl yaısalı teorisidei evcut boşluları dolduratır.. Teel Kavralar Bu ısıda çalışa boyuca ullaılaca teel avralara yer riliştir. R üzeride aşağıdai şartları sağlaya bir bulaı üeye bulaı sayı deir i u oraldir yai u ( x olaca şeilde bir x R sayısı vardır ii u bulaı ostir yai x y R içi u( x ( y i[ u( x u( y dir iii u üst yarı sürelidir; iv supp u cl{ xr u( x } u üesi opattır. Bir u bulaı sayısıı [u şelide gösterie sahip seviye üesi { x R u( x } [ u supp u şelide taılaır. Açıtır i u u bir bulaı sayı olası içi gere yeter şart her bir içi [u üesii apalı bir aralı [u olasıdır. Bir r reel sayısı r x x r x r şelide taılaış bir r bulaı sayısı olara düşüülebilir. Bütü reel terili u bulaı sayılarıda oluşa L (R uzayıa bulaı sayı uzayı deir. Bulaı sayılarla ilgili yapıla çalışalarda u v gibi ii bulaı sayı arasıdai uzalığı hesaplaa içi geellile u v u v sup d ( şelide taılı bir etri ullaılır. Burada etriğidir bu etri H d H u v ax u v u d H Hausdor v şelide taılıdır. d i L (R üzeride bir etri L (Rd i bir ta etri uzay olduğu bilietedir [4. Bir ( bulaı sayı dizisi N L( R şelide bir osiyodur. Bu taıa göre rile ( dizisii her bir terii aslıda bir bulaı sayıya arşılı geletedir [. Bulaı sayı dizileri içi istatistl yaısalı taııı Nuray avaş [6 riştir. x x oples terili bir dizi x x x ola üzere c dizi uzayları x x x x x x x c c x c x c c şelide taılaır. İl olara Et Çola [5 taraıda geelleştirile ar dizi uzaylarıa daha sorada Et diğ. [6 Altıo Mursalee [4 Altio diğ. [3 Tripathy Baruah [3 daha pe ço araştıracı taraıda çalışılıştır. w ( bütü bulaı sayı dizilerii üesi 84
Hısı ALTINOK olsu. 3... içi w( w( operatörü [ [ ola üzere şelide taılaır. Açıtır i geelleştiriliş ar operatörü bir lieer operatördür. Modülüs osiyou taıı il olara Naao [5 taraıda riliştir. Aşağıdai şartları sağlaya bir [ [ osiyoua bir odülüs osiyou deir. i x x ii x y x y x y iii artadır iv osiyou otasıda sağda süreli Reel bulaı sayı dizileride odülüs osiyou ousua pe ço ateatiçi taraıda çalışılatadır [793. şelide taılı dizisi ie sosuza gide poziti terili azalaya bir dizi olsu. Bu duruda I ola üzere geelleştiriliş de la Vallée-Pousi ortalaası t x x şelide taılıdır. Eğer I ie t ( x L şart sağlaırsa bir x x reel sayı dizisi L sayısıa V toplaabilirdir deir. dizisi Bu çalışa boyuca yuarıdai gibi bir dizi bir bulaı sayı dizisi geelleştiriliş ar operatörü olara alıacatır. 3. ouçlar Taı 3.. bir odülüs osiyou dizisi içi olaca şeilde poziti reel sayıları azalaya bir dizisi geelleştiriliş ar operatörü bir bulaı sayı dizisi olsu. Eğer her ( = 3 içi 85 I d ( li olaca şeilde bir L( R bulaı sayısı varsa dizisi sayısıa bir odülüs osiyou yardııyla yaısatır deir. Bu duruda ya ( ( li istatistl yazılır. Bir odülüs osiyou yardııyla taılı tü istatistl yaısa bulaı sayı dizilerii üesi ( ile gösterilecetir. Yai L( ola üzere R w } ( { ( ( d uzayı d ( Y sup N Y ( etriğiyle bir etri uzaydır. d i Y Z ( içi etri asiyolarıı sağladığı olayca gösterilebilir. Aşağıdai örete ( eleaı ola bir dizi riliştir. üesii Öre 3.. Bir ( x x sıırsız odülüs osiyouu dizisii göz öüe bulaı sayı dizisii alalı. ( 3... içi x içi x 5 x x 3 3 5 diger durularda
Bir Modülüs osiyou Yardııyla Taılı Bulaı ayı Dizilerii x 7 x 9 li I d L elde edilir. Yuarıda yapıla işleleri bezeri 86 x 78 x 89 diger durularda şelide taılayalı. Bazı ariteti işleler soucuda dizilerii seviye üeleri sırasıyla [ ( 5 ( [ 79 [ (3 8 (3 (3 5 8 (3 5 [ şelide hesaplaır. Burada d L içi d L sup d L elde edilir. d ax L ax Bezer şeilde 6 içi L L 8 içi d L 68 buluur. Bulua so etrileri odülüs osiyou altıdai görütüsü [ L 6 6 8 Bu tadirde her özel olara içi ( İstatistl Yaısalığı Üzerie dizisi içi yapılırsa ( dizisii seviye üesi [ (6 (5 (3 4 8 4 (5 4 6 (6 (5 [4 44 4 ( olara hesaplaır. Burada dizisii odülüs osiyou altıdai görütüsü 4 4 6 [ L 6 4 şelide olup her li içi I d L elde edilir. Eğer bu sürece deva edilirse geel olara her içi li I d L buluur. Böylece ( buluur. Şeil de içi ( bulaı sayı dizisii terilerii dizilişi gösteriliştir. Teore 3.3. herhagi bir odülüs osiyou bir bulaı sayı dizisi geelleştiriliş ar operatörü dizisi Taı 3. dei gibi rilsi. Bu tadirde (i Eğer ( li ( lic c (ii Eğer ( li ( liy Y Y ( li Y c R
Hısı ALTINOK L (= 5 ( 4 9 6 (= içi 3 8 5 (+= içi -7/ -33/4-65/8-8 -5 - -5/8-7/4-3/ - 3/ 7/4 5/8 5 8 65/8 33/4 7/ Şeil. = hali içi ( bulaı ar dizisii terileri Teore 3.4. ( ( olası içi gere yeter şart li i olasıdır. İspat. Kabul edeli i li i olsu. Verile bir içi böylece I d I. I ( yazılabilir. içi liit alıırsa istatistl yaısalığı bir odülüs osiyoua göre istatistl yaısalığı geretirdiği görülebilir. Kabul edeli i li i olsu x x alalı. Bu duru içi aşağıdai öreği reli Öre 3.5. li i olduğuda ( 3... olaca şeilde bir alt dizisi ( buluabilir. ( bulaı sayı dizisii I içi I içi x x 4 x 5 x 7 x 3 3 x 4 diger durularda 5 x 6 6 x 7 diger durularda şelide taılayalı. Burada ( ( ( geel olara bulaı sayı dizilerii seviye üeleri sırasıyla 4 5 7 5 I I (4 7 (7 4. I I I I. şelide hesaplaır. Böylece bulaı sayı dizisii istatistl yaısa olduğu aat x x ola üzere odülüs osiyoua göre istatistl yaısa oladığı görülür. Bu bir çelişi olduğuda li i buluur. Teore 3.6. herhagi ii odülüs osiyou geelleştiriliş ar operatörü 87
Bir Modülüs osiyou Yardııyla Taılı Bulaı ayı Dizilerii dizisi Taı 3. dei gibi rilsi. Bu tadirde ( ( ( İspat. Kabul edeli i ( tadirde her içi ( olsu. Bu I d ( li li I d ( sağlaır. ( d ( d ( d ( olduğuda aşağıdai eşitli yazılabilir I ( d (. li ( Burada olup böylece ( ( ( soucua varılır. Teore 3.7. her u [ içi u ( olaca şeilde herhagi ii ( u odülüs osiyou geelleştiriliş ar dizisi Taı 3. dei gibi operatörü rilsi. Bu tadirde ( ( İspat. ( ( her içi olsu. Bu tadirde I d ( li olaca şeilde bir bulaı sayısı vardır. Herhagi bir N içi 88 İstatistl Yaısalığı Üzerie I I eşitsizliği sağladığıda I d ( li ( yazılabilir. Böylece ( ( elde edilir. olup Teore 3.8. herhagi ii odülüs osiyou geelleştiriliş ar operatörü dizisi Taı 3. dei gibi rilsi. ( ( Bu tadirde ( İspat. olsu. Her içi süreli olduğuda olaca şeilde bir sayısı evcuttur. Diğer yada içi I d li olaca şeilde bir bulaı sayısı vardır. Bu duruda I içi ( yazılabilir. Böylece d d I ( d li ( ( ( olacağıda elde edilir. Bu da olasıı geretirir. 4. Kayalar. Alti Y. (9. Properties o soe sets o sequeces deied by a odulus uctio. Acta Math. ci. er. B Egl. E 9( 47-434.
Hısı ALTINOK. Alti Y. Et M. (5. Geeralized di-erece sequece spaces by a odulus uctios i a locally cox spaces. oochow Joural o Matheatics. 3( 33-43. 3. Altio H. Çola R. Et M. (9. dierece sequece spaces o uzzy ubers. uzzy ets ad ystes 6( 38-339. 4. Altio H. Mursalee M. (. tatistical boudedess or sequeces o uzzy ubers. Taiwaese Joural o Matheatics 5(5 8-93. 5. Altio H. Çola R. Alti Y. (. O the Class o tatistically Corget Dierece equeces o uzzy Nubers. ot Coputig 6(6 9-34. 6. Aytar. (4. tatistical liit poits o sequeces o uzzy ubers. Ior. ci. 65 9-38. 7. Caa U. Alti Y. (5. oe classes o statistically corget sequeces o uzzy ubers geerated by a odulus uctio. Iraia Joural o uzzy ystes. (3 47-55. 8. Çaa İ. (4. O the Riesz ea o sequeces o uzzy real ubers. J. Itell. uzzy yst. 6(6 685-688. 9. Çaa İ. (4. Tauberia theores or Cesaro suability o sequeces o uzzy ubers J. Itell. uzzy yst. 7( 937-94.. Çaa İ. (4. oe coditios uder which slow oscillatio o a sequece o uzzy ubers ollows ro Cesaro suability o its geerator sequece Iraia J. uzzy yst. (4 5-.. Çaa İ. (4. Hölder suability ethod o uzzy ubers ad a Tauberia theore Iraia J. uzzy yst. (4 87-93.. Çaa İ. (6. O Tauberia theores or Cesaro suability o sequeces uzzy ubers J. Itell. uzzy yst. 3 657-66. 3. Coor J. (999. A topological ad uctioal aalytic approach to statistical corgece. Aalysis o dirgece (Oroo ME 997 Appl. Nuer. Haro. Aal. Birhäuser Bosto Bosto MA 43-43. 4. Diaod P. Kloede P. (99. Metric spaces o uzzy sets. uzzy ets ad ystes 35 4-49. 5. Et M. Çola R. (995. O soe gee-ralized dierece sequece spaces. oochow J. Math. (4 377-386. 6. Et M. Altio H. Çola R. (6. O statistical corgece o dierece sequeces o uzzy ubers. Ior. ci. 76(5 68-78. 89 7. ast H. (95. ur la corgece statistique. Colloq. Math. 4-44. 8. ridy J.A. (985. O statistical cor-gece. Aalysis 5 3-33. 9. Kawaura H. Tai A. Yaada M. Tsuoda K. (99. Real tie predictio o earthquae groud otios ad structural resposes by statistic ad uzzy logic. irst Iteratioal yposiu o Ucertaity Modelig ad Aalysis Proceedigs s. 534-538. UA.. Kızaz H. (98. O certai sequece spaces. Caadia Math. Bull. 4 69-76.. Leidler L. (965. Über die de la Vallée- Pousische uierbareit allgeeier Orthogoalreihe. Acta Math. Aca ci. Hugar. 6 375-387.. Matloa M. (986. equeces o uzzy ubers. BUEAL 8 8-37. 3. Mohiuddie. A. (9. tability o Jese uctioal equatio i ituitioistic uzzy ored space. Chaos olitos & ractals 4(5 989-996. 4. Mursalee M. (. statistical corgece. Math. lovaca 5(-5. 5. Naao H. 953. Coca odulars. J. Math. oc. Japa 5 9-49. 6. Nuray. avaş E. (995. tatistical corgece o uzzy ubers. Math. lovaca 45(3 69-73. 7. Öder Z. ezer İ. Çaa İ. (5. A Tauberia theore or the weighted ea ethod o suability o sequeces o uzzy ubers. J. Itell. uzzy yst. 8 43-49. 8. Šalát T. (98. O statistically corget sequeces o real ubers. Math. lovaca 3 39-5. 9. ara B. (7. O a class o sequeces o uzzy ubers deied by odulus uctio. Iteratioal Joural o ciece & Techology ( 5-8. 3. choeberg I. J. (959. The itegrability o certai uctios ad related suability ethods. Aer. Math. Mothly 66 36-375. 3. Talo Ö. Başar. (. Certai spaces o sequeces o uzzy ubers deied by a odulus uctio. Deostratio Math. 43( 39-49. 3. Tripathy B. C. Baruah A. (9. New type o dierece sequece spaces o uzzy real ubers. Math. Modellig ad Aalysis 4(3 39-397. 33. Zadeh L. A. (965. uzzy sets. Ior ad Cotrol 8 338-353.