YAPISAL SİSTEMLERİN GÖÇME OLASILIĞININ MONTE CARLO YAKLAŞIMI İLE BELİRLENMESİ

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YAPISAL SİSTEMLERİN GÖÇME OLASILIĞININ MONTE CARLO YAKLAŞIMI İLE BELİRLENMESİ İnşaat Mühends Kadr MENTEŞ BE İnşaat Mühendslğ Anablm Dalı Yapı Programında Hazırlanan YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Sema Noyan Alacalı İSTANBUL, 009

İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... v KISALTMA LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ...v ÖNSÖZ ÖZET... x... x ABSTRACT... x 1. GİRİŞ... 1 1.1 Yapısal Güvenlrlğn Çözümlenmes ve Değerlendrlmes... 1. Güvenlrlğn Belrlenmesyle İlgl Yaklaşımlar... 3 1.3 Çalışmanın Kapsamı... 5. KISMİ GÜVENLİK KATSAYISI YAKLAŞIMI... 6.1 Kısm Güvenlk Katsayıları Yaklaşımında Karakterstk Değerler ve Tasarım Değerler... 6. Malzeme Mukavemetlerne İlşkn Kısm Güvenlk Katsayılarının Belrlenmes.. 7.3 Zamanla-Değşmeyen Yüklere İlşkn Kısm Güvenlk Katsayılarının Belrlenmes... 8.4 Zamanla-Değşen Yüklere İlşkn Kısm Güvenlk Katsayılarının Belrlenmes... 9 3. İKİNCİ MOMENT YAKLAŞIMI... 11 3.1 Güvenlrlk İndeksnn İterasyonla Belrlenmes... 11 3.1.1 Değşkenlern Korelasyonsuz Olması Durumu... 11 3.1.1.1 Eşdeğer normal dağılımlar... 18 3.1.1.1.1 Lognormal dağılıma eşdeğer normal dağılım... 19 3.1.1.1. Tp I asmptotk dağılıma eşdeğer normal dağılım... 1 3.1. Değşkenlern Korelasyonlu Olması Durumu... 4. MONTE CARLO YÖNTEMİ... 6 4.1 Rasgele Sayıların Üretlmes... 7 4.1.1 Sözde Rasgele Sayılar... 7 4.1.1.1 Sürekl rasgele değşkenler... 30 4. Örnek Boyutuyla İlgl Hata... 34 4.3 Özet... 35 5. SAYISAL ÖRNEKLER... 39 5.1 Örnek 1... 39 5.1.1 Monte Carlo Yöntemne Göre Çözüm... 40

5.1. İknc Moment Yaklaşımına Göre İterasyonlu Çözüm... 41 5. Örnek... 41 5..1 Monte Carlo Yöntemne Göre Çözüm... 4 5.. İknc Moment Yaklaşımına Göre İterasyonlu Çözüm... 44 5.3 Örnek 3... 56 5.3.1 Monte Carlo Yöntemne Göre Çözüm... 57 5.3. İknc Moment Yaklaşımına Göre İterasyonlu Çözüm... 58 5.4 Örnek 4... 58 5.4.1 Monte Carlo Yöntemne Göre Çözüm... 60 5.5 Örnek 5... 61 5.6 İrdelemeler... 68 6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 71 KAYNAKLAR... 73 EKLER... 75 ÖZGEÇMİŞ... 76

SİMGE LİSTESİ a Sözde rasgele sayıların üretm çn kullanılan parametre c Sözde rasgele sayıların üretm çn kullanılan parametre C Kovaryans matrs C İndrgenmş değşkenlere göre kovaryans matrs Cov Kovaryans D Göçme yüzey üzerndek ndrgenmş değşkenler sstem noktalarının orjne olan mnmum uzaklığı E Olay E(X) X rasgele değşkennn beklenen değer f (.) Olasılık yoğunluk fonksyonu (.) Brkml dağılım fonksyonu g(x) X rasgele değşkennn genel fonksyonu g(x) Z performans fonksyonu G Gradyan vektörü G t G k L(.) m m x m z n N N(.) P <P> ˆp p p S Q R s Gradyan vektörünün transpozes Zamanla değşmeyen yükler ve bu yükler belrten alt notasyon Sözde rasgele sayıların üretm çn kullanılan parametre Olablrlk fonksyonu, lagrange çarpanlar yöntemne lşkn fonksyon Sözde rasgele sayıların üretm çn kullanılan poztf tamsayı, ortalama değer Performans fonksyonu değşkenlerne at ortalama değer Performans fonksyonuna at ortalama değer Örnek büyüklüğü Parametrenn normal dağılıma lşkn olduğunu belrten üst notasyon Normal dağılım yoğunluk fonksyonu Olasılık (htmal) P olasılığının güven aralığı P olasılığının tahmn değer Sstemn göçme olasılığı Sstemn kalıcılık olasılığı Zamanla değşen yükler ve bu yükler belrten alt notasyon Mukavemet (kapaste) Standart normal rasgele değşkenn değer S Örnek uzay, standart normal rasgele değşken, standart ekstrem değşken, yük ya v

T u U V Var da yük etks bleşen (talep, stem) Ortogonal transformasyon matrs Tp I asmptotk dağılıma lşkn yer parametres, standart ünform dağılımlı rasgele sayılar Standart ünform değşken Varyasyon katsayısı Varyans x, y, z X, Y, Z değşkenlerne lşkn değerler x ' x (x' ' ' 1, x...x n ) en olası göçme noktası x d =X değşkennn tasarım değer X, Y, Z Rasgele değşkenler (genel) X (X 1, X, X 3,..,X n ) rasgele değşkenlernn vektöryel bleşkes X (X' ' ' 1, X,..., X n ) ndrgenmş değşkenlernn vektöryel bleşkes X t X ' t Z=g(X) α α β ρ σ x σ z λ ζ γ Ф(.) X matrsnn transpozes X ' matrsnn transpozes Sstemn durumunu ya da performansını belrten fonksyon Duyarlılık katsayısı parametres, Tp I asmptotk dağılımla lgl ölçek parametres İndrgenmş değşkenler sstemnde en olası göçme noktasına lşkn doğrultu kosnüsler (x lere lşkn duyarlılık katsayıları) Güvenrllk ndeks, Tp I asmptotk dağılımla lgl ölçek parametres Korelasyon katsayısı Performans fonksyonu değşkenlerne at standart sapma değer Performans fonksyonuna at standart sapma değer Lagrange çarpanlar yöntemnde br parametre, log-normal dağılıma lşkn dağılım parametres Log-normal dağılıma lşkn dağılım parametres Kısm güvenlk katsayısı Standart normal dağılım fonksyonu φ (.) Standart normal yoğunluk fonksyonu v

KISALTMA LİSTESİ DIN JCSS ODG vd. Deutsches Insttut für Normung (Alman Standartları Ensttüsü) Jont Commttee on Structural Safety (Yapısal Güvenlk Ortak Komtes) Olasılık dağılım grubu ve dğerler v

ŞEKİL LİSTESİ Şekl 1.1 Z güvenlk payının olasılık yoğunluk fonksyonu.... Şekl 1. Göçme ve kalıcılık olasılıklarının tam-olasılıksal yöntemle belrlenmes.... 3 Şekl.1 Malzeme mukavemetler çn kısm güvenlk katsayıları... 8 Şekl. Zamanla-değşmeyen yükler çn kısm güvenlk katsayıları... 9 Şekl.3 Zamanla-değşen yüklere lşkn kısm güvenlk katsayıları... 10 Şekl 3.1 İk değşkenl doğrusal olmayan br performans fonksyonu çn güvenlrlk ndeksnn belrlenmes ( x' noktasında Z = 0)... 1 Şekl 3. Karakterstk en büyük değern, u n, tanımlanması... 1 Şekl 3.3 X koordnatlarının Y ye döndürülmes... 4 Şekl 4.1 Brkml dağılım fonksyonu... 31 Şekl 4. Monte Carlo yöntemne lşkn akış şeması... 38 Şekl 5.1 Çelk çerçeve sstem ve yükleme şekl... 56 Şekl 5. Baskın göçme mekanzma durumları... 56 Şekl 5.3 Sünek çerçeve, yükleme bçm ve plastk mafsal noktaları... 58 Şekl 5.4 Baskın göçme mekanzma durumları... 59 Şekl 5.5 İk katlı k açıklıklı smetrk olmayan çerçeve... 61 Şekl 5.6 Baskın mekanzma durumlarına at plastk mafsal noktaları... 63 v

ÇİZELGE LİSTESİ Çzelge 4.1 Lehmer (1951) e göre hesaplanmış u değerler... 9 Çzelge 5.1 Değşkenlern statstksel değerler (Örnek 1)... 39 Çzelge 5. Monte Carlo yöntemne göre bulunan göçme olasılıkları (Örnek 1)... 40 Çzelge 5.3 Değşk dağılımlar çn Monte Carlo yöntemne göre bulunan göçme olasılıkları (Örnek 1)... 40 Çzelge 5.4 Değşkenlern statstksel değerler (Örnek )... 41 Çzelge 5.5 Monte Carlo yöntemne göre bulunan göçme olasılıkları (Örnek )... 4 Çzelge 5.6 Değşk dağılımlar çn Monte Carlo yöntemne göre bulunan göçme olasılıkları (Örnek )... 4 Çzelge 5.7 Monte Carlo yöntemne göre bulunan korelasyonlu göçme olasılıkları (Örnek )... 43 Çzelge 5.8 Değşk dağılımlar çn Monte Carlo yöntemne göre bulunan korelasyonlu göçme olasılıkları (Örnek )... 43 Çzelge 5.9 İknc moment yaklaşımına göre terasyon aşamaları (Örnek )... 45 Çzelge 5.10 İknc moment yaklaşımına göre değşk dağılımlar çn terasyon aşamaları (Örnek )... 46 Çzelge 5.11 İknc moment yaklaşımına göre korelasyonlu terasyon aşamaları (Örnek ).. 50 Çzelge 5.1 İknc moment yaklaşımına göre değşk dağılımlar çn korelasyonlu terasyon aşamaları (Örnek )... 54 Çzelge 5.13 Değşkenlern statstksel değerler (Örnek 3)... 57 Çzelge 5.14 Mekanzma durumlarına at performans fonksyonları (Örnek 3)... 57 Çzelge 5.15 Çerçeve sstemn Monte Carlo yöntemne göre elde edlen göçme olasılıkları (Örnek 3)... 57 Çzelge 5.16 Değşkenlern statstksel değerler (Örnek 4)... 59 Çzelge 5.17 Mekanzma durumlarına at performans fonksyonları (Örnek 4)... 60 Çzelge 5.18 Çerçeve sstemn Monte Carlo yöntemne göre elde edlen göçme olasılıkları (Örnek 4)... 60 Çzelge 5.19 Örnek 5 çn verler... 6 Çzelge 5.0 Mekanzma durumlarına at performans fonksyonları (Örnek 5)... 63 Çzelge 5.1 Çerçeve sstemn Monte Carlo smülasyonu ve knc moment yaklaşımına göre bulunan göçme olasılıkları (Örnek 5)... 65 Çzelge 5. Örneklere lşkn göçme olasılıklarının karşılaştırılması... 67 v

ÖNSÖZ Yapısal sstemlern güvenlğ, esk çağlardan ber mühendsler lglendren temel br sorun olmuştur. Güvenlrlk, göçme ve kalıcılık olasılıksal kavramlardır. Bu kavramlar br belrszlkler ortamında değerlendrlr. Belrszlkler ve rskler statstksel verlern olasılıksal kurallara göre değerlendrlmesyle çözümleneblr. Bu değerlendrme, br mühendslk sstemnn şmdk ve gelecektek performansı hakkında mnmum hatayla tahmnlerde bulunmamızı sağlar. Bu çalışmada göçme olasılığının tahmn edlmesnde kullanılan yaklaşımlar tanıtılmış, bu yaklaşımlardan Monte Carlo Yaklaşımı üzernde durulmuş ve hazırlanan blgsayar programı yardımıyla farklı mühendslk problemlernn çözümler karşılaştırmalı olarak rdelenmştr. Elde edlen sonuçların ışığında güvenlrlk ve göçme olasılıklarının belrlenmesnde en duyarlı ve en hızlı çözüm yolları araştırılmıştır. Bu tezn hazırlanmasında her konuda görüş ve önerlern esrgemeyen tez danışmanım Sn. Yrd. Doç. Dr. Sema Noyan ALACALI ya, blgsayar programının hazırlanması ve kaynak taraması esnasındak katkılarından dolayı arkadaşım Ömer YOKMAÇ a teşekkürlerm sunarım. Ayrıca eğtm ve öğrenm hayatım boyunca benm çn her türlü mkanı sağlayıp desteklern esrgemeyen aleme de çok teşekkür ederm. x

YAPISAL SİSTEMLERİN GÖÇME OLASILIĞININ MONTE CARLO YAKLAŞIMI İLE BELİRLENMESİ Kadr MENTEŞ İnşaat Mühendslğ, Yüksek Lsans Tez Yapısal sstemlern tasarımında, modellern çerdğ parametreler çoğu zaman rasgele değşkendr. Bu nedenle tasarımda rsk kaçınılmaz şeklde her zaman vardır, yok edlemez. Şu halde yapısal güvenlk ancak göçme olasılığı belrlenerek sağlanablr. Günümüzde, yapısal sstemlern göçme olasılıkları dolayısıyla güvenlrlkler çeştl teknklerle ve yaklaşımlarla çözümleneblr. Bu çalışmada göçme olasılığının tahmn edlmesnde kullanılan yöntemler açıklanmış, bu yöntemlerden, tam-olasılıksal yöntemler sınıfına gren Monte Carlo Yaklaşımı hakkında blg verlmştr. Bu yaklaşıma dayalı Matlab 7.0 programında hazırlanmış blgsayar programı yardımıyla çeştl mühendslk problemler çözülmüş, çözüm sonuçları kncmoment yaklaşımı le elde edlen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Çözümlemelerde, değşkenler arasındak korelasyonun etks de göz önüne alınmıştır. Ayrıca karmaşık sstemlern göçme olasılığının tahmnnde Monte Carlo Yaklaşımı nın etknlğ ve başarısı ortaya konmuştur. Anahtar Kelmeler: Monte Carlo yaklaşımı, yapısal güvenlrlk, göçme ve kalıcılık olasılıkları, korelasyon. x

DETERMINATION O AILURE PROBABILITIES O STRUCTURAL SYSTEMS BY THE MONTE CARLO SIMULATION Kadr MENTEŞ Cvl Engneerng, M.S. Thess In the desgn of structural systems, the models consst of many parameters whch are n the majorty of cases random varables. Therefore, there s always an unavodable rsk n desgnng and ths can not be annhlated. In that case, structural safety can only be provded by determnaton of falure probablty. Currently, the probablty of falure and consequently the relablty of structural systems can be calculated wth varous technques and approaches. In ths study, methods that can be used for the predcton of falure probabltes are demonstrated and one of these methods the Monte Carlo Approach whch s classfed as a method of exact-probablty s explaned n detal. Usng the Monte Carlo Approach varous engneerng problems are analyzed by the use of Matlab 7.0 and the results are compared wth the results obtaned by the second-moment approach. In ths analyss the correlaton effect of the varables was also consdered. urthermore, the effcency and success of the Monte Carlo Approach n calculatng the falure probablty of complex systems was demonstrated. Key Words: Monte Carlo approach, structural relablty, falure and stablty probabltes, correlaton. x

1 1. GİRİŞ Mühendslk sstemleryle lgl sorunlar br belrszlkler ortamında çözülür. Belrszlkler temelde, bu sstemlern çerdğ parametrelern rasgele değşken olmasından kaynaklanır. Rsk ve güvenlrlk olasılıksal kavramlardır. Günümüzde mühendslk alanında rsk, sstemde stenmeyen br olayın oluşması htmal, güvenlrlk se stenmeyen br durumun oluşmaması htmaln belrtr. Güvenlrlk teorsnde, br rskn gerçekleşmesn, br tehlkenn oluşumunu fade eden bu durum, lmt durum; lmt duruma ulaşılması htmal de göçme rsk ya da göçme olasılığı termyle adlandırılır. Göçme (falure) en genel anlamda, herhang br lmt durumun oluştuğunu belrtmek çn kullanılan br termdr. Göçme, aslında mühendslk sstemlernn çerdğ fzksel parametrelern yapısında var olan rasgelelkten kaynaklanan br tehlkedr. Bu tehlke azaltılablr, ama yok edlemez. Bu nedenle mühendslk sstemler, potansyel göçme rskler, kabul edleblr düzeyler aşmayacak şeklde tasarlanmalıdır. Özetle mühendslk etknlkler, temel neden göçme rsknn ortadan kaldırılamaması olan belrszlkler ortamında gerçekleştrlr (Gündüz, 1996). Br mühendslk sstemnn güvenlğ, sstemn göçme ya da kalıcılık olasılığı le değerlendrlr ( p ve p S ). Göçme, stenmeyen br olguyu, br lmt durumu belrtr. Lmt duruma örnek olarak; br yapısal sstemn kısmen ya da tamamen çökmes (servs dışı kalması) ; br su dağıtım sstemnn hasar görmes; br elektrk şebekesnn veya br elektronk devrenn arızalanması olablr. O halde br mühendslk sstemnn güvenlrlğ, sstemn servs ömrü (kullanım ömrü) süresnce öngörülen performansı gösterme olasılığı olur. Dolayısıyla güvenlrlk, performans güvencesnn ölçüsü olarak tanımlanablr. Sstemn sağlanan performansı kapaste, gereksnm duyulan performansı se stem termyle adlandırılablr. Yapısal sstem güvenlğnn söz konusu olduğu br olguyu ele alalım. Sstemn güvenlğ, sstem oluşturan elemanların mukavemetne veya yük taşıma kapastesne bağlıdır. Bu olguda yük ya da yük kombnasyonları stem (gereksnm), yapısal sstemn mukavemet se kapaste olur. Bu bakımdan yapının güvenlğ ya da kullanılablrlğ, yapısal kapastenn (mukavemet), yapı ömrü süresnce oluşablecek maksmum yükü karşılamaya elverşl olduğu gerçekç şeklde gösterlerek güvence altına alınablr. Anılan güvence de sadece olasılıksal kavramlarla belrtleblr.

1.1 Yapısal Güvenlrlğn Çözümlenmes ve Değerlendrlmes Br yapısal sstemn güvenlrlğ en genel anlamda, sstemn amaçlanan hzmet süresnce, öngörülen performansı (olumlu davranışı) gösterme olasılığıyla tanımlanır. Yapısal ssteme lşkn güvenlrlğn belrlenmes ancak karşıtı olan rskn belrlenmesyle mümkündür. Başka br anlatımla, bu k zıt anlamlı olasılık termler br bütün oluşturur. Bu da br değerndek br alanla betmleneblr. O halde, kalıcılık olasılığı (güvenlrlk) ve göçme olasılığı (rsk), sırasıyla ps ve p termleryle fade edlrse, ps + p = 1 olur. Yapısal ssteme veya elemana etkyen yük ya da yük etklernn vektörel bleşkesn S (stem), sstemn ya da elemanın mukavemetn oluşturan öğelern vektörel bleşkesn R (kapaste) rasgele değşkenyle gösterelm. Bu durumda güvenlrlk çözümlemesnn amacı; sstemn ya da elemanın kullanım ömrü boyunca (R>S) olayının gerçekleşeceğnn güvence altına alındığını göstermektedr. Bu güvence sadece P(R>S) olasılığıyla belrtleblr. Bu olasılık, sstemn ya da elemanın güvenlrlğnn gerçekç br ölçüsü olur. (R<S) olayının olasılığı se güvenlr olmamanın ölçüsüdür. Mukavemet-yük (kapaste-stem) sorunu güvenlk payı termyle fade edleblr: Z = R S. R ve S rasgele değşken olduğu çn Z güvenlk payı da olasılık yoğunluk fonksyonu f Z(z) olan rasgele değşken olur. Bu olguda göçme, (Z < 0) olayının oluşmasıdır. Dolayısıyla göçme olasılığı; 0 p = f Z(z)dz = Z(0) (1.1) Bu olasılık Şekl 1.1 de f Z(z) eğrsnn altında ve sıfırın solunda kalan alana eşttr. f Z(z) Alan = p f Z(z) 0 z Şekl 1.1 Z güvenlk payının olasılık yoğunluk fonksyonu. Yapısal sstemlere lşkn mukavemet ve yük ya da yük etks fonksyonları genellkle çok

3 sayıda değşken çermektedr. Bu nedenle, yapısal sstemn davranışını yansıtan ve bu değşkenlern tümünü çeren, br matematksel model gelştrleblr. Model, performans fonksyonu ya da davranış fonksyonu termyle adlandırılablr (Gündüz, 1996). Z = g(x 1, X,..., X n ) = g(x) (1.) Z, sstemn performans fonksyonu; X 1, X,..., X n se sstemn tasarım değşkenlerdr. Sstemn davranışını belrgn br hale getrmek çn Z = 0 le sınırlandırılablr. Bu durum sstemn lmt durumunu belrtr. Z = 0, geometrk olarak n boyutlu br yüzeydr. Bu yüzeye lmt durum yüzey ya da göçme yüzey denr. Lmt durum yüzeynn br tarafı güvenl bölgey, Z > 0, dğer tarafı se güvensz bölgey, Z < 0, gösterr. Bu nedenle X 1, X,..., X n tasarım değşkenlernn ortak olasılık yoğunluk fonksyonu f X 1,X,...,X (x n 1, x,..., x n ) blnyorsa, p ve ps aşağıdak bağıntılarla fade edleblr. (1.3) p = f (x)dx =... f (x, x,..., x )dx dx...dx Z< 0 X X 1,X,...,Xn 1 n 1 n Z< 0 (1.4) p = f (x)dx =... f (x, x,..., x )dx dx...dx S Z> 0 X X 1,X,...,Xn 1 n 1 n Z> 0 X = (X1, X,..., X n ), sstemn tasarım değşkenlernn vektörel bleşkes; f X(x) performans fonksyonu değşkenlernn ortak olasılık yoğunluk fonksyonu olarak tanımlanır. f X( x ) Z < 0 Alan = p 0 Z > 0 Alan = p S z = g( x ) Şekl 1. Göçme ve kalıcılık olasılıklarının tam-olasılıksal yöntemle belrlenmes. 1. Güvenlrlğn Belrlenmesyle İlgl Yaklaşımlar Yapısal güvenlrlk problemlernn çözümü çn Jont Commttee on Structural Safety/Yapısal Güvenlk Ortak Komtes tarafından üç yöntem önerlmştr (JCSS, 1981).

4 Brnc düzey ( yarı-olasılıksal) yöntemler Yapısal güvenlğn yüklere ve malzeme mukavemetlerne lşkn karakterstk değerlerle ve kısm güvenlk katsayılarıyla sağlandığı tasarım algortmalarını çerr. Tasarımda göçme rsk hesaplanmaz; rskn, kısm güvenlk katsayılarının tahmn edlmesnde kabul edlen düzeyde olduğu varsayılır. Bu yöntemlere kısm güvenlk katsayısı yaklaşımı adı verleblr. Kısm güvenlk katsayıları kullanılarak var olan yapıların güvenlk düzey hakkında yüzeysel fkr ednleblr. İknc düzey ( yaklaşık-olasılıksal ) yöntemler Göçme ya da kalıcılık olasılıklarının yaklaşık hesabını kapsar. Bast yapısal sstemlern güvenlrlğ knc-moment yaklaşımları le yaklaşık bçmde çözümleneblr. Üçüncü düzey ( tam-olasılıksal ) yöntemler Göçme ya da kalıcılık olasılıklarını tanımlayan entegrallern kesn çözümünü çerr. Göçme ve kalıcılık olasılıklarının tam-olasılıksal yöntemle (1.3) ve (1.4) bağıntılarıyla belrlenmes deal çözümdür. Ancak bu bağıntılarla hesap yapılablmes çn performans fonksyonu değşkenlernn olasılık yoğunluk fonksyonlarını belrleyen statstksel blglern sağlanmış olması gerekr. Oysa pratkte, bu değşkenlere at mevcut statstksel blgler çoğu zaman, değşkenlern ortalama değerleryle ( m ) ve standart sapmalarıyla ( σ ) sınırlı kalmaktadır. X Ayrıca yoğunluk fonksyonlarını belrleyen statstksel blgler elde edlmş olsa ble, farklı göçme mekanzmalarına lşkn ortak olasılık yoğunluk fonksyonlarını belrleyen çok-katlı entegrallern çözümü çn kapsamlı blgsayar programlarına olan gereksnm; ve rasgele değşkenler arasındak korelasyonun göz önüne alınması durumunda karşılaşılan güçlükler nedenyle günümüzde tam-olasılıksal yöntemler oldukça seyrek kullanılmaktadır. Bu bağlamda performans fonksyonları ne denl karmaşık ve çerdğ değşkenler ne kadar fazla olursa olsun Monte Carlo yöntemyle fonksyona lşkn rasgele sayılar üretleblr ve büyük boyutlu örnekler oluşturulablr; bu yapay örnekler değerlendrlerek göçme ve kalıcılık olasılıkları belrleneblr. Bu nedenle farklı göçme modlarına lşkn matematksel modeller türetlmş karmaşık yapısal sstemlern göçme ve kalıcılık olasılıkları Monte Carlo yöntem (Hammersley ve Handscomb, 1965; Sobol, 1984; Vahd, 1991) le tahmn edleblr. Bu anlamda olasılıksal sorunların Monte Carlo benzeşmyle çözümü, yöntem sınıflandırmasında üçüncü düzeye dahl edleblr. Büyük ölçüde tekrarlanan smülasyonlar söz konusu olduğu çn anılan yöntem Monte Carlo X

5 Smülasyonu olarak da anılablr. Monte Carlo yöntemnn çözümsel yöntemlern yetersz kaldığı olgularda ya da bu yöntemlerden elde edlen sonuçların geçerllğnn denetlenmesnde kullanılması uygundur. 1.3 Çalışmanın Kapsamı Çalışma 6 bölümden oluşmaktadır. Çalışmanın. ve 3. bölümlernde öncelkle yapısal sstemlern göçme olasılıklarının belrlenmesyle lgl brnc ve knc düzey yaklaşımlar hakkında blg verlmştr. 4. bölümde çalışmanın konusunu oluşturan Monte Carlo Yöntem hakkında blg verlmş ve Monte Carlo Yöntemne göre göçme olasılıklarının çok kısa sürede belrlenmesn sağlayan br blgsayar programı gelştrlmştr. Çalışmanın 5. bölümünde se, farklı mühendslk problemlernn göçme olasılıkları knc moment yaklaşımı ve Monte Carlo Yöntemne göre blgsayar programı le çözülerek sonuçlar karşılaştırılmıştır. Çözümlemelerde değşkenlern statstksel bağımsız olmasının yanısıra, değşkenler arasındak korelasyon etks de dkkate alınmıştır.

. KISMİ GÜVENLİK KATSAYISI YAKLAŞIMI 6 Beton yapıların lmt durumlara göre tasarımında yapısal güvenlk kısm güvenlk katsayısı yaklaşımı le sağlanır. JCSS sınıflandırmasına göre yaklaşım brnc-düzey dedr; yarıolasılıksaldır. Güvenlk elemanları; malzeme mukavemetler ve yüklere lşkn kısm güvenlk katsayılarıdır. Tasarımda göçme rsk hesaplanmaz. Rskn, kısm güvenlk katsayılarının belrlenmesnde kabul edlen düzeyde olduğu varsayılır (Gündüz, 1996). Bu nedenle yaklaşım yarı-olasılıksaldır. Yapısal tasarımda kabul edlen nomnal göçme rsk, şlemsel göçme olasılığı/şlemsel göçme rsk termyle adlandırılablr. Göçme nedenyle oluşması beklenen can kaybı sayısı ve zarar malyetne göre şlemsel göçme olasılığı son lmt durumlar çn 5 10 ( β = 4.7), 6 10 ( β = 4.75) ve 7 10 ( β = 5.0) kabul edleblr. İşletleblme lmt durumlarına göre tasarımda se rskn 3 10 ( β = 3.09 ) alınması uygundur (DIN 1981). Kısm güvenlk katsayılarının belrlenmesyle lgl bağıntılar şlemsel göçme olasılıkları karşılığı β değerlernn ve varyasyon katsayılarının fonksyonu olarak elde edlmştr..1 Kısm Güvenlk Katsayıları Yaklaşımında Karakterstk Değerler ve Tasarım Değerler Karakterstk değer, kabul edleblr br rskle meydana gelmes beklenen nomnal değerdr. Lmt durumlara göre tasarımda karakterstk değerlern kullanılması, farklı ortalama değerlere ve standart sapmalara göre hesap yapılmasının yol açacağı tasarım çeştllğn ortadan kaldırır (Gündüz, 1986, 1996). Belrl br malzeme ve lmt durum çn tasarım mukavemet( f d ), karakterstk mukavemetn ( f k ) söz konusu malzeme ve lmt durum çn belrlenen kısm güvenlk katsayısına, ( ) m γ bölünmesyle elde edlr; fd = f k / γ m. Genel anlamda karakterstk yük ( k ), kabul edleblr br rsk olan ve yapının gereksenen ömrü boyunca aşılmaması öngörülen yük değerdr. Belrl br yük tp ve lmt durum çn tasarım yükü ( d ), karakterstk yükün lgl kısm güvenlk katsayısıyla, γ f, çarpılmasıyla belrlenr; d = γ fk.

. Malzeme Mukavemetlerne İlşkn Kısm Güvenlk Katsayılarının Belrlenmes 7 Malzeme mukavemetlerndek statstksel değşmler genellkle log-normal dağılım le tanımlanır (Ang ve Tang,1975; Gündüz, 1986-1, 1988-, 1996). Olasılık dağılımı log-normal olan br X rasgele değşkenn göz önüne alalım. Dağılımı lognormal ve V 0.30 olan br X malzeme mukavemetnn s = -αβ=-0.75β karşılığı bastleştrlmş knc-düzey tasarım değer aşağıdak bağıntıyla belrleneblr. f d = mexp(-0.75βv - 0.5V ) (.1) Br (x X malzeme mukavemetnn karakterstk değer se, - m ) s = σ yararlanarak şöyle yazılablr. lşksnden f k = m + sσ = m (1+ sv ) (.) O halde söz konusu malzeme mukavemetnn brnc-düzey tasarım değer; f f k d = = γ m m (1+ sv) γ m (.3) Böylece malzeme mukavemetlerne lşkn kısm güvenlk katsayıları (.1) ve (.3) bağıntıları eştlenerek aşağıdak bağıntı le bulunur. 1+ sv γ = (.4) exp(-0.75βv - 0.5V ) m % 5 rsk çn s = -1.64 ; % 10 rsk çn s = -1.8 olur. Çeştl güvenlrlk ndeksler ve varyasyon katsayıları (V m) çn malzeme mukavemetlerne lşkn kısm güvenlk katsayıları, karakterstk mukavemetn farklı tanımlarına göre (s = -1.64, s = -1.8) (.4) denklemyle hesaplanmış ve Şekl.1 dek abaklarda gösterlmştr (Gündüz, 1986-1, 1988-, 1996).

8 1.8 γ m 1.8 γ m 1.7 1.6 s = 1.64 4.75 1.7 1.6 s = 1.8 4.75 1.5 1.4 β = 5. 4.7 1.5 1.4 β = 5. 4.7 1.3 1.3 β = 3.09 1. 1.1 β = 3.09 1. 1.1 1.0 0 0.05 0.10 0.15 0.0 0.5 0.30 1.0 0 0.05 0.10 0.15 0.0 0.5 0.30 V m V m Şekl.1 Malzeme mukavemetler çn kısm güvenlk katsayıları.3 Zamanla-Değşmeyen Yüklere İlşkn Kısm Güvenlk Katsayılarının Belrlenmes Zamanla-değşmeyen yüklerdek (hareketsz yükler, G) statstksel değşmler normal dağılımlı olarak kabul edleblrler. (Ang ve Tang, 1984; Gündüz, 1983, 1986-1, 1988-, 1996). Bu kabullere göre knc-düzey ve brnc-düzey tasarım değerler, sırayla, şöyle olur. G d = m G + 0.75βσ G = m G (1+ 0.75βV G ) (.5) G d =γfg G k =γ fg (m G +1.64σ G ) =γfg m G (1+1.64V G ) (.6) Zamanla-değşmeyen yüklere lşkn kısm güvenlk katsayıları (.5) ve (.6) bağıntıları eştlenerek aşağıdak bağıntıyla belrleneblr. 1+ 0.75βVG γ = (.7) 1+1.64V fg G arklı güvenlrlk ndeksler ve varyasyon katsayıları çn zamanla-değşmeyen yüklere at kısm güvenlk katsayıları (.7) bağıntısıyla hesaplanmış ve Şekl. dek abakta gösterlmştr (Gündüz,1986-1, 1988-, 1996).

9 1.5 γ fg 1.4 1.3 β = 5. 4.7 4.75 1. 1.1 β = 3.09 1.0 0 0.10 0.0 0.30 V G Şekl. Zamanla-değşmeyen yükler çn kısm güvenlk katsayıları.4 Zamanla-Değşen Yüklere İlşkn Kısm Güvenlk Katsayılarının Belrlenmes Zamanla-değşen yüklere (örneğn hareketl yükler, Q) lşkn ekstrem değer dağılımları çn çoğunlukla Tp I asmptotk dağılım model esas alınablr (Galambos vd., 198; Gündüz 1986-1, 1986-3, 1996). Çünkü yapısal güvenlrlkte zamanla-değşen yüklern maksmum değerler dkkate alınır. Zamanla-değşen yüklere lşkn knc düzey tasarım değer, 6 Q = m 1- V 0.577 + ln -lnφ(0.75β) π d Q Q { [ ]} (.8) bağıntısı le; brnc düzey tasarım değer se 6 Q d =γfq Q k =γfq mq 1- VQ [ 0.577 + ln(-ln0.99) ] π (.9) le tanımlanırsa, (.8) ve (.9) bağıntıları eştlenerek Q yüküne lşkn kısm güvenlk katsayısı,

10 6 1- VQ 0.577 + ln -lnφ(0.75β) π γ fq = 6 1- VQ [ 0.577 + ln(-ln0.99) ] π { [ ]} (.10) le elde edleblr. Çeştl güvenlrlk ndeksler ve varyasyon katsayıları çn zamanla-değşen yüklere lşkn kısm güvenlk katsayıları (.10) bağıntısıyla hesaplanmış ve Şekl.3 de gösterlmştr (Gündüz, 1986-, 1987, 1988-1, 1988-, 1996). 1.8 γ fq 1.7 β = 5. 1.6 1.5 4.75 1.4 4.7 1.3 1. 1.1 1.0 β = 309. γ = 10. fq 0 0.10 0.0 0.30 0.40 0.50 V Q Şekl.3 Zamanla-değşen yüklere lşkn kısm güvenlk katsayıları

11 3. İKİNCİ MOMENT YAKLAŞIMI Daha önce de belrtldğ gb göçme olasılığının tam ve kesn olarak hesaplanması, rasgele değşkenlern olasılık dağılımlarının blnmesn gerektrr. Uygulamada se performans fonksyonu değşkenlerne at statstksel blglern yeterszlğ yüzünden anılan blg çoğu zaman sağlanamaz ya da sağlanması güç olur, elde edleblen blgler, lgl rasgele değşkenlern ortalama değerler (brnc moment) ve standart sapmaları (knc moment) le sınırlı kalablr. Bu nedenle X rasgele değşkenlerne at f X (x ) yoğunluk fonksyonları ve f X(x) ortak olasılık fonksyonu tam olarak belrlenemez. Bu gb olgularda yapısal güvenlrlk ya da göçme rsk adını varyanstan alan knc-moment yaklaşımları le tahmn edleblr (Ang ve Tang, 1984; Ranganathan, 1990; Gündüz, 1996). İknc moment yaklaşımları göçme ya da kalıcılık olasılıklarının yaklaşık hesabını kapsar. Bast yapısal sstemlern güvenlrlğ yaklaşık bçmde çözümleneblr. İknc-moment yaklaşımları yöntem sınıflandırmasında knc düzey/yaklaşık olasılıksal yöntemler sınıfına dahl edleblr. Göçme ya da kalıcılık olasılıklarının belrlenmesnde malzeme mukavemetler ve yükler dkkate alınan temel değşkenlerdr. Uluslararası statstksel verlere göre: malzeme mukavemetler normal ya da terchen log-normal; zamanla-değşmeyen yükler normal; zamanla-değşen yükler Tp I asmptotk; rüzgâr ve deprem Tp I ya da Tp II asmptotk; kar Tp I asmptotk ya da Webull dağılımlarıyla belrlenr (Galambos vd.,198; Ang ve Tang, 1984; Gündüz, 1986-1, 1988-,). Önce de belrtldğ gb, normal olmayan dağılımlar eşdeğer normal dağılıma dönüştürülerek hesap yapılablr. 3.1 Güvenlrlk İndeksnn İterasyonla Belrlenmes 3.1.1 Değşkenlern Korelasyonsuz Olması Durumu Performans fonksyonunun Z = g(x) = g(x 1, X,...,X n ) şeklnde genel bçm göz önüne alınırsa; Z > 0, Z < 0 ve Z = 0 sırasıyla, güvenl, göçme ve lmt durumları belrtr. Korelasyonsuz ndrgenmş değşkenler takımı da şöyle yazılablr; (X ' - m X ) X = ; = 1,,..., n σ X (3.1) Lmt durum denklem ndrgenmş değşkenler sstemne ( X ) göre şöyle fade edleblr. '

1 ' ' X1 X1 1 Xn Xn n g(m +σ X,..., m +σ X ) = 0 (3.) Lmt durum yüzeynn (göçme yüzeynn) g(x) = 0 orjnden olan uzaklığı güvenl bölgenn büyümes veya küçülmes anlamına gelr. Yan göçme yüzeynn ndrgenmş değşkenler sstemnn orjn noktasına göre bağıl konumu sstemn güvenlrlğn fade eder. İndrgenmş değşkenlern orjne olan mnmum uzaklığı göçme yüzeynn yern ( g(x) = 0) belrler (Ang ve Tang, 1984; Ranganathan, 1990; Gündüz, 1996; Nowak ve Collns, 000). Göçme yüzey üzernde bulunan ve orjne mnmum uzaklıkta olan ( x ') noktası en olası göçme noktasıdır. En olası göçme noktası lmt durum denklemn en büyük olasılıkla sağlayan nokta şeklnde tanımlanablr (Şekl 3.1). x ' x ' = ( x m ) / σ Teğet (doğrusallaştırma) g( x ) = 0, konveks x ' β x ' x ' x 1 ' (, ) Göçme bölges Güvenl bölge g( x ) = 0, konkav 0 x 1 ' x 1 ' Şekl 3.1 İk değşkenl doğrusal olmayan br performans fonksyonu çn güvenlrlk ndeksnn belrlenmes ( x ' noktasında Z = 0) En olası göçme noktasının orjne olan uzaklığı se mnmum uzaklıktır. Analtk geometr kurallarına göre mnmum uzaklık d mn aşağıdak bağıntıyla belrleneblr. ' ' ' 1/ 't ' 1/ D = (X 1 + X +...+ X n ) = (x X ) (3.3) Bu bağıntıda yer alan 't X, ' X matrsnn transpozesdr. Göçme yüzey üzernde ve orjnden mnmum uzaklıkta bulunan x ' = (x' ' ' 1, x,..., x n) noktası, hem D fonksyonunu mnmum yapmalı hem de g(x) = 0 koşulunu sağlamalıdır. Bu amaçla Lagrange çarpanlar yöntem kullanılablr. Yönteme lşkn fonksyon;

13 L = D +λg(x) 't ' 1/ L = (X X ) +λg(x) ' ' ' 1/ L = (X 1 + X +...+ X n ) +λg(x 1, X,...,X n ), şeklnde tanımlanır. L nn mnmum olması çn şu koşullar gerçekleşmeldr. ' X g ' ' ' ' 1/ ' 1 n L = +λ = 0; = 1,,..., n X (X + X +...+ X ) X (3.4) L = g(x 1, X,..., X n ) = 0 λ (3.5) Yukarıdak (n +1) blnmeyenl (n +1) denklemden oluşan denklem takımı çözülerek ndrgenmş değşkenler sstemne lşkn en olası göçme noktası belrleneblr. ' ' ' (x 1, x,..., x n) Aşağıdak gradyan vektörü gözönüne alınırsa; g g g G =,,..., X X X ' ' ' 1 n. g ' X termler ' X X X = m +σ X lşksnden yararlanılarak belrleneblr. g ' X g = X dx dx ' ve dx =σ dx ' X olduğu çn; g ' X =σ X g X (3.4) denklem takımı matrs formunda yazılırsa; X ' 't ' 1/ (X X ) +λg = 0 (3.6) elde edlr. Bu bağıntıda t (X X ') yerne (3.3) bağıntısıyla belrl değer yazılırsa;

14 ' X = -λdg (3.7) bulunur. ' X nün bu değerne göre (3.3) bağıntısı şu şeklde yazılablr; t 1/ t 1/ D = (λdg )(λdg) =λd(g G) (3.8) Bu bağıntıdan λ değer çeklrse; t -1/ λ = (G G) (3.9) olur. λ nın bu değer (3.6) bağıntısında yerne yazılırsa; ' -GD t 1/ X = (G G) (3.10) ve bu bağıntının k tarafı t G le çarpılırsa; t t ' -(G G)D t 1/ t 1/ G X = = -(G G) D (G G) (3.11) elde edlr. Bu bağıntıdan D değer çeklrse; t ' -G X D = (3.1) (G G) t 1/ dolayısıyla β değer, t t 1/ ' -G X β = (3.13) (G G) bulunur. g g g En olası göçme noktasındak gradyan vektörü G =,,..., ' ' ' X X X 1 n bağıntısında yerne yazılırsa güvenlrlk bağıntısı aşağıdak bağıntıyla bulunablr. değer, (3.13)

15 β = n ' g - x ' =1 X 1/ n g ' =1 X (3.14) Bağıntıdak g X ' kısm türevler, en olası göçme noktasına (x' ' ' 1, x,..., x n) göre değerlendrlr. Göçme yüzey üzerndek en olası nokta; (3.10) bağıntısındak D yerne (3.13) bağıntısıyla belrl d mn =β değer yazılarak belrleneblr. -G β = (3.15) (G G) X' t 1/ ' X vektörü bleşenlernn skaler bçm; ' x = -α β; = 1,,..., n (3.16) α = g ' X 1/ n g ' =1 X (3.17) α ler, ndrgenmş değşkenler sstemne lşkn boyutsuz duyarlılık katsayıları olup β nın eksenlerne göre doğrultu kosnüslerdr. Bu nedenle; ' x n =1 α = 1 (3.18) (3.14) bağıntısı le tanımlı β güvenlrlk ndeks Z = g(x) = g(x 1, X,...,X n ) performans fonksyonunun, göçme yüzey üzernde bulunan x noktasına göre Taylor sersne açılması, ve bu açılımın yalnızca doğrusal termlernn gözönüne alınmasıyla da belrleneblr. Z = g(x, x,..., x ) + (X - x )( g/ X ) n 1 n =1

16 n n +(1/) (X - x )(X j - x j) ( g/ X X j ) +... (3.19) =1 j=1 Performans fonksyonunun brnc-aşama yaklaşık fades açılımın sadece doğrusal termler gözönüne alınarak elde edleblr; g Z (X - x )( ) n =1 X (3.0) Bağıntıdak (X - x ) ve g ( ) X termler şu şeklde fade edleblr; ' ' ' ' X X X X X X - x = (m +σ X ) - (m +σ x ) =σ (X - x ) g X ' ' g dx = ( )( ). X dx ' σx X Öte yandan g 1 g = ( )( ) bulunur. Şu halde; X g Z (X - x )( ) n ' ' ' =1 X X ' = m X +σ X X olduğu çn dx ( ) =σ ' dx X Dolayısıyla; (3.1) Bu bağıntı şu şeklde yazılablr; g g Z ( ) X - ( ) x n n ' ' ' =1 X =1 X ' (3.) Öyleyse Z nn ortalama değer ve varyansı şöyle belrleneblr. g g m ( ) E(X ) - ( ) x n n ' ' Z ' ' =1 X =1 X (3.3) ve ' E(X ) = 0 olduğu çn; N(m,σ) = N(0,1) g ' mz - ( ) x n ' =1 X (3.4) g Var(Z) =σ ( ) Var(X ) - 0 n ' Z ' =1 X (3.5)

17 ve ' Var(X ) = 1 olduğu çn; g σ ( ) n Z ' =1 X (3.6) Şu halde; m σ Z Z = n ' g - x ( ) =1 n g ( ) ' =1 X ' X 1/ (3.7) m (3.14) le (3.7) bağıntıları özdeştr. Buna göre Z σ sstemnde, göçme yüzey üzernde olan Z oranı, yne ndrgenmş değşkenler x ' noktasından geçen teğet düzlemn orjne uzaklığına eşttr. Br başka anlatımla göçme yüzeynn, ndrgenmş değşkenler sstemnn orjnne olan mnmum uzaklığıdır. O halde güvenlrlk ndeks şöyle yazılablr. m β = σ Z Z (3.8) Yukarıdak bağıntılar esas alınarak güvenrllk ndeks, aşağıdak teratf algortmayla belrleneblr (Rackwtz,1976; Ang ve Tang 1984; Ranganathan, 1990). Algortma (1) x ( = 1,,..., n) ler çn değşkenlern ortalama değerler (m ), başlangıç değerler kabul edlerek (x ' -m X ) x = σ X değerler hesaplanır. () x çn g ( ) X ' ve α değerler belrlenr. (3) x = mx X -α σ β bağıntıları oluşturulur. (4) (3) te β türünden elde edlen x değerler g(x 1, x,..., x n) = 0 lmt-durum denklemnde yerlerne konulur ve denklem çözülerek β belrlenr. (5) (4) de belrlenen β değerne göre x = -α β yenden hesaplanır. '

(6) () den (5) e kadar olan şlemler β değerlernde yakınsaklık sağlanana dek tekrarlanır. 18 3.1.1.1 Eşdeğer normal dağılımlar Br Z = g( X ) performans fonksyonundak rasgele değşkenlern dağılımları normal dağılıma sahp değlse p göçme olasılığı ve bağıntılarıyla belrleneblr. Bununla brlkte p S kalıcılık olasılıkları en genel anlamda (1.3) ve (1.4) p göçme olasılığı ve p S kalıcılık olasılıkları daha once de belrtldğ gb eşdeğer normal dağılımlara dönüştürüleblr. Normal dağılımlı değşkenlerden oluşan performans fonksyonu çn önerlen teratf şlemler eşdeğer normal dağılım çn de geçerldr. Göçme yüzey üzerndek br x noktasında normal olmayan dağılım ve buna karşı gelen eşdeğer normal dağılıma at brkml olasılıkların ordnatları brbrne eştlenrse; x -m Φ = (x ) N X N X σ X (3.9) yazılablr. (3.9) bağıntısında N m X ve σn X sırasıyla X değşkennn eşdeğer normal dağılımına at ortalama değer ve standart sapma değerlern göstermektedr. X (x ); X değşkennn orjnal brkml dağılım fonksyonunun x noktası çn belrlenen değerdr. Φ(.) ; standart normal dağılıma lşkn brkml dağılım fonksyonu (3.9) bağıntısından; N x -m X -1 =Φ N X (x ) σ X değer çeklrse; N N -1 X X X m = x -σ Φ (x ) (3.30) elde edlr. Ayrıca olasılık yoğunluk ordnatlarının x noktasındak eştlğnden;

19 σ = f (x ) N 1 x -mx φ N N X X σ X (3.31) yazılablr. Burada φ (.) ; standart normal dağılıma lşkn olasılık yoğunluk fonksyonunu fade etmektedr. (3.9) bağıntısından elde edlen yerne yazılırsa; N x -m X -1 =Φ N X (x ) σ X değer (3.31) bağıntısında φ Φ 1 N X (x ) = f X (x )σx (3.3) -1 { Φ X (x ) } φ σ = (3.33) f (x ) N X X bağıntısı elde edlr. Yukarıdak belrlemelere göre, normal olmayan dağılıma sahp br performans fonksyonu değşkennn eşdeğer normal dağılıma dönüştürülmes çn ortalama değer ve standart sapmanın da eşdeğer normal dağılıma dönüştürülmes gerekr. Bu dönüşüm (3.30) ve (3.33) bağıntılarıyla yapılır. Daha sonra, belrlenen N m X ve güvenlrlk ndeks hesaplanır ve p S =Φ(β) olasılığı belrlenr. N σ değerler kullanılarak β X 3.1.1.1.1 Lognormal dağılıma eşdeğer normal dağılım Lognormal dağılımlı br X değşkenne lşkn eşdeğer normal dağılımın ortalaması ve standart sapması şu yol zlenerek belrleneblr. Öncelkle logartmk normal dağılıma lşkn lnx n ortalama değer λ X ve standart sapması X ζ aşağıdak bağıntılarla hesaplanır. λ X = lnmx - 0.5ζ X (3.34) σx X m X ζ = ln(1+ ) (3.35)

0 x göçme noktasında dağılıma lşkn brkml olasılık ve olasılık yoğunluk fonksyonları aşağıdak bağıntılarla belrleneblr (Ang ve Tang, 1984; Ranganathan, 1990; Gündüz, 1996; Nowak ve Collns, 000). X(x ) =Φ lnx -λx ζx (3.36) 1 lnx -λ X X φ x ζ ζ X X f (x ) = (3.37) (3.36) ve (3.37) bağıntılarıyla belrl değerler (3.33) bağıntısında yerne yazılırsa lognormal dağılıma eşdeğer dağılımın standart sapması; N 1 1 ln x λ X σ X = φ Φ Φ f X (x ) ζ X = φ 1 ln x λ X f X (x ) ζx N σ X = xζ X (3.38) ve, (3.36) bağıntısı le belrl brkml olasılık yoğunluk fonksyonu (3.30) bağıntısında yerne yazılırsa eşdeğer normal dağılıma lşkn ortalama değer de, m = σ Φ Φ = N N 1 ln x X X x λ X ζx ln x λ X = x x ζ X = ζx N m X = x (1- lnx +λ X) (3.39) olarak bulunur.

1 3.1.1.1. Tp I asmptotk dağılıma eşdeğer normal dağılım En büyük değer çn Tp I asmptotk dağılımlı br X değşkenne lşkn brkml olasılık ve olasılık yoğunluk fonksyonları aşağıdak bağıntılarla belrlenr. Tp I asmptotk dağılımın en büyük değere lşkn dağılım fonksyonu şöyledr. n (x u n ) X n (x) = exp e α (3.40) u n ve α n, sırayla, yer (locaton) ve ölçek (scale) parametreler. ekstrem değşken. X n, en büyük değere lşkn u n, lglenlen orjnal X değşkennn karakterstk en büyük değerdr. Karakterstk en büyük değer; olablr en büyük değerlern yoğunlaştığı yern (merkezsel yer) belrlenmesne elverşl br ölçüdür. Br orjnal X değşkenne lşkn büyüklüğü n olan br örnek çn, steğe bağlı br x değernden büyük olan örnek değerlernn beklenen sayısı n[ 1 (x)] bağlamda karakterstk en büyük değer, örnekte, dr. Bu u n : orjnal X toplumundan sağlanan n boyutlu br u n den büyük olması beklenen örnek değerler sayısının br olduğu özel X değerdr; [ ] n 1 (u ) 1.0 X n = ya da X n olasılığı 1/ n olan değerdr. se X n nn dağılışının ölçüsüdür. (u ) = 1 (1/ n). Başka br anlatımla u n, X n aşılması u n, aynı zamanda f X(x) X n nn modal (en muhtemel) değer, X 1/ α n, f X(x) Alan=1/n 0 u n x Şekl 3. Karakterstk en büyük değern, u n, tanımlanması X n ekstrem değşkennn olasılık yoğunluk fonksyonu şöyledr (Şekl 3.), n (x u n ) n (x u n ) f X (x) = α n ne α exp e α (3.41) Dolayısıyla knc moment yaklaşımında eşdeğer normal dağılıma lşkn N m X ve N σ X

değerler, (3.40) ve (3.41) bağıntıları le belrl brkml olasılık dağılım ve olasılık fonsyonlarının (3.30) ve (3.33) bağıntılarında yerne yazılması le elde edlr. 3.1. Değşkenlern Korelasyonlu Olması Durumu Daha öncek bölümlerde göçme ya da kalıcılık olasılıklarının belrlenmesnde zlenen algortmalar X 1, X,..., X n rasgele değşkenlernn korelasyonsuz, dğer br anlatımla statstksel bağımsız oldukları kabulüne dayanmaktaydı. Korelasyonlu rasgele değşkenler söz konusu olduğu zaman, orjnal değşkenler korelasyonsuz değşkenler takımına dönüştürülür (Ang ve Tang, 1984). Bu dönüşüm, orjnal değşkenlern kovaryanslarını çeren [ C ] kovaryans matrsnn oluşturulması le sağlanır. [ C] σx1 Cov(X 1, X ) Cov(X 1,X 3)... Cov(X 1, X n ) Cov(X,X 1) σx Cov(X, X 3)... Cov(X,X n ) = : : : : Cov(X n, X 1) Cov(X n,x ) Cov(X n, X 3)... σxn j (3.4) Cov(X,X ) X ve X j orjnal değşkenler arasındak kovaryanstır. Buna karşı gelen ndrgenmş değşkenler sstemndek X ' ve ( ' )( ' X ) X j Cov(X ', X ') j = E X ' m X ' m j X j ' arasındak kovaryans se; E (X m X )(X j m X ) j Cov(X, X j) = = = ρ σ. σ σ. σ X X X j X j X,Xj (3.43) Bu sonuç, X ' ve X j ' değşkenler arasındak kovaryansın X ve X j orjnal değşkenler arasındak korelasyon katsayısına eşt olduğunu göstermektedr. Bu nedenle ( X 1 ',X ',...X n ') ndrgenmş değşkenlere göre kovaryans matrs [ C' ], ( ) korelasyon matrsdr. X, X,...X değşkenlernn 1 n [ C' ] 1 ρ ρ... ρ 1 13 1n ρ1 1 ρ3... ρ n = : : : : ρn1 ρn ρn3... 1 (3.44) Korelasyonsuz dönüştürülmüş değşkenler takımı Y, aşağıdak ortogonal transformasyondan

3 elde edleblr. Y t = T X ' (3.45) { X ', X ';..., X '} X ' =, İndrgenmş değşkenler takımı, 1 n { Y, Y,..., Y } Y = Korelasyonsuz dönüştürülmüş değşkenler takımı, 1 n T = Br ortogonal transformasyon matrs. [ C' ] korelasyon matrsnn öz değerlerne (egen value) karşı gelen öz vektörlerden meydana gelen T br ortogonal transformasyon matrsdr. t [ ] [ ] T C' T = λ (3.46) Bu bağıntıda [ λ ], [ C' ] nün öz değerlern çeren br dyagonal matrsdr. ' X ndrgenmş değşkenler ve X orjnal değşkenler Y ye bağlı olarak yazılablr. T ortogonal 1 t olduğu çn T = T dr ve t Y = T X ' den X değer çeklrse; t 1 t t t X ' = YT = Y(T ) = Y(T ) = YT olur ve, [ ] [ ] X = σ X ' + m = σ TY + m Bu bağıntıda, X X X X σx 1 0... 0 0 σ... 0 : : : 0 0... σx n X σ X = ve m X mx 1 mx = : m X n Y nn kovaryans matrs; t t t t t [ ] = = = C E(YY ) E(T X 'X ' T) T E(X 'X ' )T Y 't ' E(X 'X ) = C Böylece (3.46) bağıntısından hareketle, [ C ] T t [ C '] T [ ] Y = = λ (3.47)

4 Bu nedenle [ C' ] nün öz değerler aynı zamanda Y 1, Y,...,Y n değşkenlernn varyanslarıdır. σy1 Cov(Y 1, Y ) Cov(Y 1,Y 3)... Cov(Y 1,Y n ) λ1 0... 0 Cov(Y, Y 1) σy Cov(Y,Y 3)... Cov(Y,Y n ) [ CY ] = 0... 0 : : : : = λ 0 0... λn Cov(Y n,y 1) Cov(Y n, Y ) Cov(Y n, Y 3)... σyn λ = σ Y Şekl 3.3 X koordnatlarının Y ye döndürülmes Y dönüştürülmüş değşkenler uzayında kısm türevler aşağıdak gb hesaplanablr. g n g X j ' = Y X ' Y j= 1 j (3.48) g g dx g j = = σ ' ' X j X j X j dx j X j İk değşkenl br olguda t Y = T X ' bağıntısı le sağlanan dönüşüm koordnatların X den Y ye dönmesn sağlar, bu dönüşüm Şekl 3.3 de gösterlmştr. Y aksının orjn X aksının orjn le aynı kalmaktadır. Bu dönüşüm doğrusal performans fonksyonlarına da uygulanablr. Bu durumda (3.48) bağıntısına göre belrlenen kısm türevler değşkenlerden bağımsız olduğu çn y ve x göçme noktaları doğrudan belrleneblr. Dğer br anlatımla çözümde br terasyon yeterldr. Ayrıca performans fonksyonunun doğrusal olması halnde güvenlrlk ndeks aşağıdak bağıntı le doğrudan belrleneblr.

5 n a0 + a m m x β = z = = 1 σz n n a a j ρj σx σ X j = 1 j= 1 (3.49) Orjnal rasgele değşkenlern dağılımları normal değlse eşdeğer normal dağılımlar kullanılarak güvenlrlk ndeks belrlenr. Bu durumda, eşdeğer normal dağılıma lşkn ortalama değer m N X ve standart sapma σ N X değerler, m ve σ yerne yazılmalıdır. X X

6 4. MONTE CARLO YÖNTEMİ Olasılıksal sorunların Monte Carlo yöntem le çözümü daha önce de belrtldğ gb yöntem sınıflandırmasında üçüncü düzey/tam-olasılıksal yöntemler sınıfına grmektedr. Performans fonksyonları ne denl karmaşık ve çerdğ değşkenler ne kadar fazla olursa olsun Monte Carlo yöntemyle fonksyona lşkn rasgele sayılar üretlerek büyük boyutlu örnekler oluşturulablr, ve bu yapay örnekler değerlendrlerek karmaşık yapısal sstemlern göçme ve kalıcılık olasılıkları tahmn edleblr (Hammersley ve Handscomb, 1965; Sobol, 1984; Vahd, 1991). Üstelk değşkenler arasında varsa korelasyon etks de dkkate alınablr. Monte Carlo yöntem br smülasyon teknğdr. Smülasyon, br takım varsayımlara dayanan, gerçek dünyaya benzeşm sürecdr. Deneysel veya teork olarak gerçekleştrleblr. Uygulamada, teork smülasyon genel olarak sayısal şeklde kullanılır. Blgsayarların gelşmesyle bu şlem daha pratk hale gelmştr. Aslında, teork smülasyonu sayısal deneym veya blgsayar deneym olarak adlandırablrz. Mühendslk amaçları çn, smülasyon teknğ br sstemn tepksn ve/veya performansını tahmn etmek veya ncelemek amacıyla uygulanır. Tekrarlanan smülasyonlar süresnce, sstem performansının hassasyet, sstem parametrelernn değşm le orantılı olarak ncelenr ve değerlendrlr. Bu şlem sayesnde, smülasyon, alternatf veya optmum tasarımları elde etmek amacıyla kullanılır. Blnen (veya tahmn edlen) olasılık dağılımlarına at rasgele değşkenler çeren problemler çn Monte Carlo Smülasyonu gerekldr. Her br smülasyonda, lgl olasılık dağılımına at üretlen rasgele değşkenler kullanılır. Tekrarlanan süreç boyunca, farklı rasgele değşken takımlarına at çözüm örnekler elde edlr. Monte Carlo smülasyonuna at örnekler, deneysel gözlemlere at örneklerle benzeşr. Bu yüzden Monte Carlo smülasyon sonuçları statstksel olarak şlem göreblr. Ayrıca bu sonuçlar, hstogram formunda sunulablr ve statstksel tahmn yöntem olarak da kullanılablr. Bu nedenlerden ötürü Monte Carlo yöntem br örnekleme teknğdr ve örnekleme teorsne at benzer problemler de çerr. Monte Carlo yöntemn sonuçları sonu bell olan örneklerdr ve örnek boyutu sonsuza yakın olacak kadar büyük seçlmedkçe kesn (mutlak) sonucu da vermez. Teorde, smülasyon metotları büyük ve karmaşık sstemlere uygulanablr. Bununla brlkte genellkle analtk modellern dealzasyonu ve bastleştrlmes kolaylık sağlar ve daha gerçekç smülasyon modellemeler sonucunu verr.

7 akat uygulamada, Monte Carlo smülasyonu blgsayar kapastes le sınırlı olduğundan smülasyondan elde edlen sonuçlar, genel br sonucun çıkarılması amacı çn uygun olmayablr. Bu nedenle Monte Carlo yöntemnn çözümsel yöntemlern yetersz kaldığı olgularda ya da bu yöntemlerden elde edlen sonuçların geçerllğnn denetlenmesnde kullanılması uygundur. 4.1 Rasgele Sayıların Üretlmes Monte Carlo smülasyonu uygulanırken anahtar görevlerden br, rasgele değşkenlere at uygun değerlern üretlmesdr. Bu değerler belrlenmş olasılık dağılımlarına göre oluşturulur. Bast rasgele değşkenler çn özel aygıtlar kullanılablr. Örnek olarak, br maden para veya 6 yüzlü br zarın kullanılması gb. Eşt aralıklara bölünmüş br daresel tekerlek (örnek olarak rulet verleblr), ünform dağılmış rasgele sayıları belrlemek çn uygun araç olablr. Daha önce belrtldğ gb, Monte Carlo smülasyonu blgsayarlar sayesnde en etkl ve en pratk çözümdür. Belrlenmş dağılımlara at rasgele sayıların (u ) otomatk olarak üretlmes gerekl olacaktır. Bunun sstematk olarak gerçekleşmes çn, lk olarak 0 le 1 arasında ünform dağılmış rasgele br sayı üretlr. Belrtlen olasılık dağılımı le dğer rasgele sayılar uygun dönüşümler kullanılarak belrlenr. Rasgele değşkenlere lşkn değerlern üretlme yöntemler se genellkle üç sınıfa ayrılablrler; rasgele sayı tabloları, rasgele sayı üretcler ve sözde rasgele sayılar. Rasgele sayı tabloları ve rasgele sayı üretcler günümüzde pek kullanılmayan teknkler olup, blgsayar kullanımına daha uygun olan sözde (psuedo) rasgele sayıların üretlmes aşağıda açıklanacaktır. 4.1.1 Sözde Rasgele Sayılar Hesaplarda kullanılan rasgele sayılara, özel testler uygulandığı ve denetlendkler çn, uygun sonuç alınması halnde nasıl üretldkler öneml değldr. Ntekm bu rasgele sayılar, önceden belrlenmş br bağıntıyla ble üretleblr. akat böyle br bağıntı çok yetkn olmalıdır. Böyle br bağıntıyla üretlen standart ünform rasgele değşken, U, değerlernn benzetm olan sayılara sözde rasgele sayılar denr. Benzetm sözcüğü, bu şeklde üretlen sayıların gerekl testler sağladığını ve U rasgele değşkenn temsl edebleceğn fade eder. Sözde ( psuedo) sözcüğü se, böyle br bağıntıyla üretlen sayıların önceden blndğn ve dolayısıyla tam

anlamıyla rasgele olmayıp br anlamda determnstk sayılar sayılableceğn belrtr. 8 Sözde rasgele sayıların üretlmes çn lk algortma, J. Neumann tarafından gelştrlmştr. Yaygın adı orta-kare yöntem (md-square method) olan yöntem br örnekle açıklayalım. Standart ünform değşkene lşkn n sayıda dört rakamlı sayılar üretmek steyelm. Başlangıç değer u0 = 0.9876 olarak tespt edlmş olsun. u 0 ın kares alınırsa, sekz rakamlı br sayı elde edlr: u0 = 0.97535376. Bu sayının ortasından dört rakam alınır ve u 1 olarak kabul edlr, ve bu şeklde şlemlere devam edlrse: u1 = 0.5353 ; u = 0.4850116 ; u3 = 0.8501 ; u1 = 0.8654609, u = 0.6546 ; u3 = 0.767001; u4 = 0.670.. ve un sayıları elde edlr. Ne var k gerekl testler sonucu bu sayıların dağılımının uygun olmadığı ve küçük sayıların gereğnden fazla olduğu tespt edlmştr. Lehmer (1951), sözde rasgele sayıların üretm çn aşağıdak tekrarlama bağıntısını gelştrmştr. x = ax (mod m) (4.1) 1 Daha sonra bu bağıntıyı genelleştrmştr. 1 ( )( ) x = ax + c mod m (4.) Burada a, c ve m negatf olmayan tam sayılardır. Bağıntı, ax ya da ax + c termnn m ye bölünmes sonucu kalan kısmın, x + 1 e eşt olduğunu fade eder. m, kullanılan blgsayarın tasarımına bağlı olarak belrlenen büyük br poztf tamsayıdır ve genellkle ya da 10 tabanın yüksek br kuvvet halnde fade edlr. Başlangıç değer olarak önceden saptanan x 0, a ve c, 0 le m-1 arasındak tamsayılardır. ( ax ) / m ya da ( ax ) bağıntıları aşağıdak gb fade edleblr. + c / m bağıntılarının tamsayı kısmı k le gösterlrse, (4.1) ve (4.) k = nt ( ax / m) ya da k nt ( ax c / m) = + (4.3) x = 1 ax + mk (4.4) x = 1 ax + + c mk (4.5) O halde, sözde rasgele değşkenn, U, 0 le 1 arasındak değerler takımı aşağıdak gb

9 hesaplanablr. u x m = + 1 (4.6) + 1 Br dz rasgele sayının üretm şlemn br örnek üzernde açıklayacak olursak; a = 3, c = 1, m = 5 ve başlangıç değer x0 = 1 kabul edlrse, sözde rasgele sayılar (4.3), (4.4), (4.5) ve (4.6) bağıntıları le aşağıdak gb üretlr. 3 1+ 1 k0 = nt = nt ( 0.8) = 0 5 x1 = 3 1+ 1 5 0 = 4 u1 = 4 / 5 = 0.8 3 4 + 1 k1 = nt = nt (.6) = 5 x = 3 4 + 1 5 = 3 u = 3/ 5 = 0.6 Bu şeklde hesaplanan gösterlmştr. u değerler peryodk olarak hesaplanmış ve Çzelge 4.1 de Çzelge 4.1 Lehmer (1951) e göre hesaplanmış u değerler 1 3 4 5 6 7 8 u 0.8 0.6 0.0 0. 0.8 0.6 0.0 0. Görüldüğü gb, üretlen sözde rasgele sayılar, dört aşamadan sonra tekrarlanmaktadır. Bu durumda rasgelelğe güveneblmek, peryodun mümkün olduğu kadar büyük olması le sağlanablr. Bu nedenle pratk amaçlarla tespt gerekmektedr. u nn üretlmesnde, m çn büyük br değern Yukarıda açıklanan yöntemle üretlen rasgele sayılar her ne kadar determnstk temele

30 dayansa da, büyük br m değer çn, ünform dağılımlı ve statstksel bağımsız oldukları, Knuth (1969) tarafından gösterlmştr. Ayrıca Greenberger (1961) (4.) bağıntısıyla üretlen x ve x + 1 sayıları arasındak korelasyon katsayısının değer aralığını aşağıdak gb belrlemştr. 1 6c c a ρ = 1 ± a a.m m m (4.7) (4.7) bağıntısında açıkça görüleceğ gb, m nn ve a nın büyük değerler çn ρ sıfıra yaklaşır. (4.1) ve (4.) bağıntılarıyla üretlen rasgele sayılara, aşağıda verlen parametre değerler çn statstksel testler uygulanmış ve uygun sonuç verdğ kanıtlanmıştır (Rubnsten, 1981). 35 m =, 7 a = + 1 c = 1 Üretlen sözde rasgele sayıların, hesaplarda sağladığı kolaylıklar şöyle sıralanablr: Her sayının üretm çn brkaç bast şlem yeterldr. Üretm hızı blgsayarın şlem hızına eşttr. Sayıların üretm çn yapılan program, blgsayar belleğnn sadece küçük br bölümünü kapsar. Bağıntıların çerdğ parametrelern belrl değerler çn, üretlen sayılara gerekl statstksel testler uygulanır ve uygun sonuç alınırsa, bu bağıntılarla, aynı parametreler kullanılarak çok sayıda problem çözüleblr. Özetle, Monte Carlo yöntemnn çeştl problemlern çözümünde kullanılablmes ancak sözde rasgele sayıların üretlmes le mümkündür. Günümüzde Matlab gb blgsayar programları benzer algortmaları kullanarak bast kodlar sayesnde sözde rasgele sayıların üretmn kendlğnden sunmaktadır. Bu bağlamda bundan sonrak bölümde açıklanacağı gb, sözde rasgele sayıların uygun şeklde dönüştürülmesyle herhang br f ( ) fonksyonuna sahp X rasgele değşkenne lşkn değerler kolaylıkla üretleblr. x x olasılık yoğunluk 4.1.1.1 Sürekl rasgele değşkenler Br (a, b) aralığında X(x) olasılık yoğunluk fonksyonuna sahp br X rasgele değşkenne lşkn değerlern üretlmes stenmş olsun. Önce bu değerlern aşağıdak bağıntıyla belrlenebleceğn kabul edelm. Sonra bu kabulün geçerllğn kanıtlayalım (Gosav 003).