Ünite 1: SAYMA Konu : Sıralama ve seçme Alt Konu : Toplama ve çarpma yolu ile sayma Neler öğreneceksiniz? Olayların gerçekleşme sayılarını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplamayı öğreneceksiniz. GİRİŞ : Şu anda yaşadığımız dünyada saymanın ne kadar önemli olduğunu belirtmeye gerek yok sanırım. Saymak, ister istemez günlük yaşamımız da kullandığımız yöntemlerden biri olarak karşımızda her zaman vardır ve varolmaya devam edecektir. Saymak için kullandığımız en temel yöntem nedir? Sorusuna yanıt vermeye çalışalım.bir çocuğa Hadi kızım(ya da oğlum) say bakalım dendiğinde her hangi bir nesneye bağlı olmaksızın 1,2,3,.. diye saymaya başlar. Burada yaptığı aslında nasıl bir saymadır? İlk önceleri nesneleri saymaya başlayan ve her bir çokluğa bir ad vermeye çalışan çocuk sonra nesnelerden bağımsız bir sayma gerçekleştirir. Bu tür sayma da çocuk ister istemez bir soyut dünyayla karşılaşır. Sayma sayılarıyla nesneler arasında bir ilişki kurar. Bu ilişkiye biz birebir eşleme yolu ile sayma diyoruz. Yani nesnelerin sayısını sayma sayıları kümesinin bir elemanına eşleriz. Bu sayma çeşidi en ilkel sayma çeşidi olup buna birebir eşleme yolu ile sayma diyoruz.birebir eşleme yolu ile sayma bir süre sonra bize çok ta yeterli olmaz. Örneğin yan komuşumuz 6 kişilik bir aile, bizde 4 kişilik bir aileyiz. Hep birlikte kaç kişiyiz? sorusuna toplamayı bilmeyen ama saymayı bilen bir çocuk muhtemelen en baştan birebir eşleyerek sayacaktır. Bundan daha da ileri giderek şöyle bir soru düşünelim. Her bir katta 3 daire olan 8 katlı bir apartmanda kaç daire vardır?elbette sizler çarpmayı bildiğinizden şimdi hemen 24 diyebilirsiniz. Demekki bir takım nesneleri ya da durumları saymak için bazen toplama bazende çarp-ma yollarından biririni ya da bazen her ikisini kullanabiliriz.bu bölümde toplama yolu ve çarpma yolu ile saymayı öğreneceğiz. Aşağıdaki tabloda bir Meslek Lisesinin şube adları ve bu şubedeki öğrenci sayıları verilmiştir. Her bir şubedeki sınıftaki öğrenci sayısı ile toplam öğrenci sayısını bulalım. Bu tobloda verilenlere göre : Bu Meslek Lisesi öğrencilerinden A veya B şubesinden bir öğrenci kaç değişik biçimde seçilebilir? 12 sınıflardan bir öğrenci temsilcisi ve 11 sınıflardan da bir yardımcı kaç farklı biçimde seçilebilir? Bu iki sorunun yanıtını bulmak için kullandığımız yöntemler birbirinden farklı. Bu farkı daha yakından anlamaya çalışalım. Elimizde bir bayrağın renklerinin beyaz kırmızı ve sarı renklerden oluştuğunu bildiğimizi varsayalım. Örneğin bu renkler aşağıdaki gibi olsun. Bu renklerle kaç farklı bayrak deseni oluşturulabilir? 1

Aşağıda izmirden Ankara ya gidecek biri için aşağıdaki seçenekler söz konusudur. Afyon da karşısına iki farklı seçenek çıkacaktır. Böylece ilk durumda 3 ikinci durumda ise 2 seçenekle karşılaştığından toplamda 3.2=6 değişik biçimde Ankara ya gidebilir. Bir başka örnek verelim. İbrahim beyin ( ) 4 tane A marka gömleği 5 tane de B marka gömleği vardır. İbrahim bey bir gömleği kaç değişik biçimde seçebilir? Bu kişinin İzmir den Ankara ya gitmek için kaç değişik seçeneği vardır? Sayalım İzmir Eskişehir-Ankara 1.yol İzmir-Kula-Ankara.2. yol İzmir-Kula-Denizli-Konya-Ankara 3. Yol İzmir-Denizli-Kula-Ankara 4. Yol İzmir- Denizli-Konya-Ankara 5. Yol Demek ki 5 seçeneği varmış Sorusuna toplama yolu ile mi yoksa çarpma yolu ile mi yanıt bulurdunuz? Bir başka örnek daha İbrahim bey 4 tane gömlek 5 tane de pantolon içersinden bir gömlek ve bir pantolon seçecektir. İbrahim Bey kaç farklı seçim yapabilir Şimdi diyelimki İzmir den Ankaraya gitmek isteyen biri mutlaka Afyona uğrayacak. İzmir den Afyon a 3 değişik seçeneği Afyon dan Ankara ya 2 farklı seçeneği varsa İzmir den Ankara ya kaç değişik biçimde gidebilir? Sorusuna toplama yolu ile mi yoksa çarpma yolu ile mi yanıt bulurdunuz? Bu örneklerden sonra sizce ne zaman çarparak ne zaman toplayarak saydık? Yukarıdaki örnekleri bir de geçen yıl 9.sınıfta öğrendiğiniz kavramlarla karşılaştıralım. İzmir den Afyon a kaç değişik biçimde gidebilir? Elbette 3 değişik biçimde gidebilir. Şimdi herhangi bir yolu seçtiğini varsayalım. Örneğin; İbrahim beyin A marka 4 gömleği B marka 5 gömleği varsa bir gömleği kaç değişik biçimde seçebilir? Sorusunu geçen yıl öğrendiğiniz kümelerde birleşim işlemiyle ilişkilendirebilir miyiz? 2

Çarparak saydığımız şu örneğe geri dönelim. İbrahim bey 4 tane gömlek 5 tane de pantolon içersinden bir gömlek ve bir pantolon seçecektir. İbrahim Bey kaç farklı seçim yapabilir Bu soruyu geçen yıl yine kümeler konusunda öğrendiğiniz hangi kavramla ilişkilendirebiliriz? O halde birinci örnekte toplayarak ikinci örnekte ise çarparak saydığımızı kümeler ile şöyle ifade edebiliriz. A ile B kümesinin ortak elemanı yok ise A veya B nin eleman sayısı s(a B)=s(A)+s(B) dir. ÖRNEK 4: Aşağıdaki tabloda bir marketteki değişik markalarda ürünler bulunmaktadır. A markasından bir buzdolabı C markasından bir televizyon almak isteyen birinin kaç değişik seçeneği vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 A kümesi ile B kümesinin kartezyen çarpımının çarpımı ise s(axb)= s(a).s(b) dir. Bu iki kavram bize ne zaman toplayarak ne zaman çarparak sayacağımızı söyleyecektir. Artık örneklere geçebiliriz. ÖRNEK 1: A marka 5 farklı kalemi B marka 3 farklı kalemi ve C marka 4 farklı kalemi bulunan biri bir kalemi kaç değişik biçimde seçebilir? A) 12 B) 15 C) 20 D) 40 E) 60 ÖRNEK 2: Aşağıdaki tabloda bir marketteki değişik markalarda ürünler bulunmaktadır. ÖRNEK 5: Aşağıdaki tabloda bir marketteki değişik markalarda ürünler bulunmaktadır. B markasından bir televizyon ya C markasından ya da D markasından bir buzdolabı almak isteyen birinin kaç değişik seçeneği vardır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20 Bir televizyon almak isteyen birinin kaç değişik seçeneği vardır? A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 10 ÖRNEK 3: Aşağıdaki tabloda bir marketteki değişik markalarda ürünler bulunmaktadır. ÖRNEK 6: Bir firma 6 farklı bölgede distiribütörlük ve bunların her birine bağlı 4 farklı mağaza açmıştır. Bu firmaya bağlı kaç mağza vardır? A) 24 B) 18 C) 16 D) 12 E) 10 Bir buzdolabı almak isteyen birinin kaç değişik seçeneği vardır? A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11 3

ÖRNEK 7: 8 kişinin yarıştığı ve beraberliğin olmadığı bir yarışmanın birincisi ve ikincisi kaç değişik biçimde oluşur? A) 24 B) 36 C) 42 D) 56 E) 64 ÖRNEK 11: n elemanlı bir kümenin kaç alt kümesi vardır? A) 2.n B) 2 n C) 2 n-1 D) 2 n -1 E) n ÖRNEK 12: Bir lokantdaki menü aşağıdaki gibidir. ÖRNEK 8: Sadece 1 ve 0 rakamlarını istediği kadar kullanan biri 5 haneli bir şifre oluşturuyor. Kaç değişik şifre oluşturabilir? A) 16 B) 32 C) 48 D) 64 E) 72 Ana Yemek Tatlılar İçecekler Tas Kebabı Baklava Kola Türlü Kadayıf Ayran Pilav Sütlaç Meyve suyu Etli Patetes Künefe Kuru Fasülye Bu lokantaya giden biri, her türün içinden bir tür seçerek kaç farklı sipariş verebilir? A) 13 B) 18 C) 21 D) 60 E) 120 ÖRNEK 9: XYZ nin harflerini yer değiştirerek kaç değişik şifre oluşturabilir? A) 4 B) 6 C) 9 D) 18 E) 27 ÖRNEK 13: A= {a,b,c,d,e} B={1,2,3} kümesinin elemanlarını birer kez kullanarak ilk iki hanesi rakam son üç tanesi harften oluşan kaç değişik şifre oluşturabilir? A) 240 B) 360 C) 180 D) 210 E) 120 ÖRNEK 10: Yukarıda verilen şekilde gittiği yolu geriye dönerken kullanmamak koşuluyla kaç değişik biçimde A dan C ye gidip tekrar A ya dönülebilir? ÖRNEK 14: A= { 1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarını birer kez kullanarak üç basamaklı sayılar oluşturuluyor. Buna göre bu koşula uygun içinde 2 rakamı görünen kaç tane üç basamaklı doğal sayı vardır? A) 36 B) 24 C) 18 D) 12 E) 6 A) 96 B) 81 C) 72 D) 60 E) 45 4

ÖRNEK 15: A= { 0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarını birer kez kullanarak üç basamaklı sayılar oluşturuluyor. Buna göre bu koşula uygun kaç tane üç basamaklı doğal sayı vardır? A) 120 B) 100 C) 90 D) 60 E) 24 ÖRNEK 19: A= { 0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı sayılar oluşturuluyor. Buna göre bu koşula uygun rakamları farklı 300 den büyük kaç çift doğal sayı vardır? A) 36 B) 32 C) 28 D) 20 E) 18 ÖRNEK 16: A= { 0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı sayılar oluşturuluyor. Buna göre bu koşula uygun en az iki basamağı aynı rakamdan oluşan üç basamaklı doğal sayı vardır? A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 120 ÖRNEK 20: A= { 0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarını kullanarak doğal sayılar oluşturuluyor. Buna göre bu koşula uygun rakamları farklı 400 den küçük kaç doğal sayı vardır? A) 60 B) 75 C) 85 D) 90 E) 91 ÖRNEK 17: A= { 0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı sayılar oluşturuluyor. Buna göre bu koşula uygun en çok iki basamağı aynı rakamdan oluşan üç basamaklı doğal sayı vardır? A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 175 ÖRNEK 18: A= { 0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı sayılar oluşturuluyor. Buna göre bu koşula uygun rakamları farklı kaç çift doğal sayı vardır? ÖRNEK 21: TANIM: Tersten okunuşları aynı olan sayılara polindrom sayılar denir. Örneğin 121, 222,3443 gibi sayılar polindrom sayılara birer örnektir. A= { 0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarını kullanarak 5 basamaklı polindrom sayılar oluşturuluyor. Buna göre bu koşula uygun en çok kaç tane POLİNDROM sayı yazılabilir? A) 180 B) 120 C) 80 D) 60 E) 45 A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 120 5

Alt Konu : Faktöriyel-Sıralama(Permütasyon) Neler öğreneceksiniz? Faktöriyel kavramını, Çarpmanın temel prensibini kullanarak permütasyon (sıralama) kavramını öğreneceksiniz. FAKTÖRİYEL : Aşağıda verilen işlemleri yapalım. SIRALAMA (Permütasyon) Daha önce gördüğümüz çarparak say-manın temel ilkesini kullanarak aşağıdaki soruları faktöriyel ile ifade etmeye çalı-şalım. ÖRNEK 22: 5 farklı kişi düz bir sıra boyunca kaç değişik biçimde sıralanır? 1.2=. 1.2.3.4= 1.2.3=.. 1.2.3.4.5= 1.2.3.4.5.6=. 1.2.3.4.5.6.7=.. 1 den 12 ye kadar ardışık doğal sayıların çarpımı kaçtır?... Yukarıdaki işlemler sayı büyüdükçe zorlaşıyormu? Örneğin 1 den 50 ye kadar sayıların çarpımını hesap makineniz yoksa kolayca bulabilirmisiniz? 9. sınıfta n >0 doğal sayısı için 1 den n doğal sayısına kadar olan sayıların çarpımını kısa bir şekilde nasıl ifade ediyor ve nasıl okuyor-duk? 1.2.3.n=.. TANIM : n>0 olmak üzere 1 den n doğal sayısına kadar olan sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve 1.2.3.4 (n 1).n=n! İle gösterilir. Eğer n=0 ise 0!=1 kabul edilir. Aşağıda verilen noktalı yerleri dolduralım. ÖRNEK 23: 8x8 lik bir renksiz bir sat-ranç tahtası her bir satır ve sutunda yanlızca bir kare olacak şekilde boyanacaktır. En çok kaç farklı desen oluşturulabilir? ÖRNEK 24: Sekiz kişi 4 kişilik koltuğa kaç değişik biçimde sıranabilir? (oturabilir?) 1.2.3.4.5.6.7.8=! 1.2.3.4.5.+1.2.3=!+! 12!=10!... 6!.7.8.9=7!...=8!..=4!.....! 5.6.7..! 4.5.6..!..! 9.8.7.6..!..! 4.5.6..!..! 8.7..!..! 7.6.20..! O halde elimizde birbirinden farklı n tane nesne varsa bu nesnelerin düz bir hat boyunca sıralanma sayısı. kadardır. Ya da, n tane nesneden n tanesinin sıralanışlarının sayısı..kadardır. 6

Elimizde birbirinden farklı n tane nesne olsun. Bu nesnelerden r tanesinin farklı sıralanışlarının sayısını nasıl bulabiliriz? Hemen bir örnekle bu soruya yanıt bulmaya çalışalım. ÖRNEK 25: {A,B,C,D,1,2} kümesinin elemanlarını birer kez kullanarak 3 haneli kaç şifre üretebiliriz? ÖRNEK 27 : A={a,b,c,d,e} ve B={1,2,3,} kümeleri veriliyor. Bu kümenin elemanlarını birer kez kullanarak ilk ikisi A kümesinden son ikisi B kümesinden alınarak 4 haneli kaç değişik şifre oluşturulabilir? Bu durumu genellemeye çalışalım. MOLA n farklı nesneden r tanesini kaç değişik biçimde sıralayabiliriz? Elimizde r kutu olsun. ÖRNEK 28 : Düz bir rafa 4 farklı matematik kitabı ve 3 kimya kitabı aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmaması koşuluyla kaç değişik biçimde sıralanır? n.(n 1).(n 2) (n r +1) ifadesini daha farklı nasıl yazabiliriz? n.(n 1).(n 2)...(n r 1)... r...1 Demek ki yukarıdaki ifadeyi n! yazabiliriz. Artık tanımı yapalım. (n r)! TANIM : n tane nesneden r tanesinin farklı sıralanışlarının herbirine n nin r-li permütasyonu denir. Bu permütasyonların sayısı n! P(n,r) ile hesaplanır. (n r)! ÖRNEK 29 : Düz bir rafa 4 farklı matematik kitabı 3 kimya kitabı herhangi iki matematik kitabı arasında bir kimya kitabı olacak şekilde kaç farklı biçimde sıralanır? ÖRNEK 26 : {1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı rakamları farklı kaç değişik doğalsayı yazılabilir? ÖRNEK 30 : Düz bir rafa 5 farklı matematik kitabı 2 kimya kitabı, iki kimya kitabı yanyana olacak şekilde kaç farklı biçimde sıralanır? 7

ÖRNEK 31: İçlerinde Deniz ve Can ın bulunduğu 6 kişilik bir grup yanyana fotoğraf çekilecektir. Deniz ve Can yanyana olmak istemediklerine göre kaç değişik biçimde fotoğraf çekilebilirler? ÖRNEK 35 : 5 bay 5 bayan öğretmen herhangi iki bay ve herhangi iki bayan yanyana oturmayacak şekilde düz bir hat boyunca kaç değişik biçimde sıralanır? ÖRNEK 32 : İçlerinde Deniz ve Can ın bulunduğu 6 kişilik bir grup yanyana fotoğraf çekilecektir. Deniz, Can ın hep sağında olmak istediğine göre kaç değişik biçimde fotoğraf çekilebilirler? ÖRNEK 36: 6 farklı oyuncak 4 çocuğa her biri sadece 1 oyuncak alması koşuluyla kaç değişik biçimde dağıtılır? ÖRNEK 33 : İlk üçü farklı rakamlardan son dördü farklı harflerden oluşan 6 haneli bir şifre kaç değişik biçimde yazılır? ÖRNEK 37 : 4 farklı oyuncak 6 çocuğa herhangi bir çocuk en çok 1 oyuncak alması koşuluyla kaç değişik biçimde dağıtılır? ÖRNEK 34 : 6 erkek ve 5 kız yanyana dizileceklerdir. Herhangi iki kız yanyana gelmeyecek şekilde kaç değişik biçimde sıralanırlar? ÖRNEK 38 : Deniz,Serkan,Barış ve Aydın 1,72 cm boyunda Cengiz 1,80 cm Nejdet 1,70 cm ve İbrahim 1,88 cm boyundadır. Bu kişiler boy sırasına geçeceklerdir. Kaç değişik biçimde boy sırası olabilirler? 8

ÖRNEK 39 : Deniz adında biri ismindeki harflerin yerlerini değiştirerek bir şifre oluşturuyor. Şifresini unutan Deniz, n harfinin i harfinden önce ama z harfinden sonra olduğunu hatırladığına göre, Deniz unuttuğu şifresini en çok kaç denemede bulabilir? ÖRNEK 42 : Dört evli çift evli çiftler birbirinden ayrılmamak koşuluyla kaç değişik biçimde sıralanabilir? ÖRNEK : 40 {1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı en çok 4 basamaklı en çok kaç doğal sayı yazılır? ÖRNEK 43: İçlerinde Barış ve Özgür ün olduğu beş arkadaş bir sinema salonundaki beş koltuğa Barış ve Özgür koltukların birer uçlarında yer almak koşuluyla kaç değişik biçimde sıralanabilir? ÖRNEK 41: {1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı en çok 4 basamaklı sayılar yazılıp küçükten büyüğe sıralanıyor. Buna göre baştan 301. sayı kaçtır? ÖRNEK 44 : Aşağıdaki 9 kareden her bir satırı ve sutunda yanlızca bir kare olacak şekilde 3 farklı renk ile boyanacaktır. Her renk yanlızca bir kez kullanılacağına göre, kaç değişik desen elde edilebilir? 9

ÖRNEK 45 : P(7,3)-P(6,3) farkının değeri kaçtır? A) 60 B) 75 C) 80 D) 90 E) 120 1. ÜNİTE:SAYMA ÖRNEK46 : P(n,3) =120 eşitliğini sağlayan n doğal sayısı için, P(n,4) kaçtır? A) 180 B) 240 C) 320 D) 360 E) 480 ÖRNEK 47 : P(n+2,2)+18 =P(n+3,2) eşitliğini sağlayan n doğal sayısı kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 10