III-V YARIĐLETKENLERĐNDEN OLUŞAN HETEROYAPILARIN ELEKTRONĐK ÖZELLĐKLERĐNĐN YOĞUNLUK FONKSĐYONELĐ TEORĐSĐ ĐLE ĐNCELENMESĐ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

III-V YARIĐLETKENLERĐNDEN OLUŞAN HETEROYAPILARIN ELEKTRONĐK ÖZELLĐKLERĐNĐN YOĞUNLUK FONKSĐYONELĐ TEORĐSĐ ĐLE ĐNCELENMESĐ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ FĐZĐK ANABĐLĐM DALI Harun ÖZKĐŞĐ Danışman: Doç. Dr. Seyfettn DALGIÇ 010-EDĐRNE

T.C. TRAKYA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ III-V YARIĐLETKENLERĐNDEN OLUŞAN HETEROYAPILARIN ELEKTRONĐK ÖZELLĐKLERĐNĐN YOĞUNLUK FONKSĐYONELĐ TEORĐSĐ ĐLE ĐNCELENMESĐ HARUN ÖZKĐŞĐ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ FĐZĐK ANABĐLĐM DALI Bu tez 1 / 01 /010 tarhnde aşağıdak jür tarafından kabul edlmştr. Doç.Dr. Seyfettn DALGIÇ Doç.Dr. Mesut KAÇAN Yrd. Doç. Dr. Gülsen TEZGÖR Danışman Üye Üye

ÖZET Bu çalışmada (001) yönünde tek, kşer ve üçer katmanlı olarak modellenmş AlAs/GaAs bulk hetero yapıların, taban durumundak örgü sabt, toplam enerjs ve ortalama etkn potansyel, yoğunluk fonksyonel teors kullanılarak ncelenmştr. Sstem z eksen boyunca optmze edlerek bu bulk yapının en kararlı durumu elde edlmştr. Hesaplamalar, temel yoğunluk fonksyonel teorsne dayanan düzlem dalga öz uyum alan programı kullanılarak yapılmıştır. Ayrıca AlAs/GaAs hetero bulk yapısındak arayüzeyde etkn potansyel farkı olduğu gözlenmştr. Bundan dolayı bu sstemler elektronk ve opto-elektronk aletlern yapımında önemldr. Anahtar Kelmeler: Yoğunluk fonksyonel teors, Örgü sabt uyuşmayan yarıletkenler, Bulk hetero yapılar, Etkn potansyel.

ABSTRACT In ths study, ground state of lattce constant, total energy and average effectve potental of AlAs/GaAs bulk heterostructures whch are modeled as monolayer, blayer and trple-layered n the drecton of (001) have been nvestgated by usng Densty Functonal Theory. Equlbrum state of ths bulk structure has been obtaned by optmzng the system along z axs. The calculatons have been done by usng Plane Wave Self Consstent Feld Program whch s based on Densty Functonal Theory. It has been observed that there s an effectve potental dfference at the nterface whch s n AlAs/GaAs bulk heterostructure. Therefore, t has an mportant role n nvent of electronc and opto-electronc devces. Keywords: Densty functonal theory, Lattce-matched semconductor, Bulk heterostructures, Effectve potental.

TEŞEKKÜR Bana bu çalışma ortamını sağlayan, danışmanlığımı üstlenen ve çalışmamın her adımında blglernden yararlandığım sayın hocam Doç. Dr. Seyfettn DALGIÇ a sonsuz teşekkürlerm sunarım. Çalışmanın yapıldığı T.Ü. Fen Edebyat Fakültes Fzk Bölümü Başkanı Prof. Dr. Hasan AKBAŞ a ve yardımlarından dolayı Prof. Dr. Serap DALGIÇ a teşekkür ederm. Blgsayar Programlarını kullanmamda bana yardımcı olan ve engn blglern benm le paylaşan sayın hocam Yrd. Doç. Dr. Hande TOFFOLĐ ye teşekkür ederm. T. Ü. Blmsel Araştırma Projeler Brm tarafından desteklenen çalışmalarımdan dolayı TÜBAP Başkanlığı na teşekkür ederm. Bu çalışma boyunca madd ve manev desteğn üzermden eksk etmeyen değerl AĐLEM e ve değerl arkadaşlarım Barış ÖZKAPI, Sena GÜLER ve Araş. Gör. Mutlu ÇOLAKOĞLU na teşekkürü br borç blrm.

v ĐÇĐNDEKĐLER ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR ĐÇĐNDEKĐLER v ŞEKĐLLERĐN LĐSTESĐ v TABLOLARIN LĐSTESĐ v 1. GĐRĐŞ 1. TEORĐ 4.1. Yoğunluk Fonksyonel Teors 4.1.1. Yük Yoğunluğu Tabanlı Enerj Đfades 6.1.. Hohenberg-Kohn Teoremler 10.1.3. Kohn-Sham Denklemler 13.1.4. Kohn-Sham Denklemlernn Matrs Gösterm 17.1.5. Pseudopotansyel Formalzm 18.1.6. Sstem Parametreler 1. E cut 1. K pont.. Heteroyapılar 3..1. Band Yapıları 3... Öz Uyum Hesaplamaları 5..3. Süperhücre ve Mkroskobk Averaj Teknğ 7..4. Potansyel Bant Kıyı Kaymaları 8..5. Bant Ayarlaması ve Schottky Barrers 30..6. Örgüsü Uyuşan Yarımetal Arayüzeyler 31 3. SONUÇLAR VE TARTIŞMA 33 3.1. AlAs Bulk Oluşturulması ve Yakınsaması 33 3.1.1. AlAs Đçn Örgü Sabtnn Yakınsaması 34

v 3.1.. AlAs Đçn E cut Yakınsaması 35 3.1.3. AlAs Đçn K pont Yakınsaması 37 3.. GaAs Bulk Oluşturulması ve Yakınsaması 39 3..1. GaAs Đçn Örgü Sabtnn Yakınsaması 40 3... GaAs Đçn E cut Yakınsaması 41 3..3. GaAs Đçn K pont Yakınsaması 43 3.3. AlAs/GaAs Katmanlı Bulk Yapısı 45 3.3.1. AlAs/GaAs Arayüzeynn z Yönünde Örgü Sabt Optmzasyonu 47 3.3.. AlAs/GaAs Arayüzeynn Efektf Potansyel Eğrs 51 3.4. Sonuç 55 KAYNAKLAR 56

v ŞEKĐLLERĐN LĐSTESĐ Şekl.1. Kohn-Sham denklem kullanılarak kendn doğrulama yöntem le yapılan toplam enerj hesabının şeması. 16 Şekl.. Bast br atom modelnde kabuk bölges ve valans bant bölges. 18 Şekl.3 V s br sstemn pseudopotansyeln, φ dalga fonksyonunu, V R gerçek potansyeln, ψ gerçek dalga fonksyonunu ve r c se kabuk bölgesnn yarıçapı temsl eder. 19 Şekl.4. Đletkenlk derecesne göre değşen bant enerjlernn bast br gösterm (a) Đletken, (b) Yarıletken, (c) Yalıtkan 4 Şekl 3.1. Yüzey merkezl kübk yapıdak AlAs bulk yapısı. 34 Şekl 3.. AlAs bulk yapısı çn toplam enerjnn örgü sabtne göre değşm. 35 Şekl 3.3. AlAs bulk yapısı çn toplam enerjnn E cut a göre değşm. 36 Şekl 3.4. AlAs bulk yapısı çn 0, 30, 40 Ryd. E cut değerlerndek Toplam enerjnn örgü sabtne göre değşm. 37 Şekl 3.5. AlAs bulk yapısı çn toplam enerjnn k pont e göre değşm. 38 Şekl 3.6. AlAs bulk yapısı çn farklı k pont değerlerndek Toplam enerjnn örgü sabtne göre değşm. 39 Şekl 3.7. Yüzey merkezl kübk yapıdak GaAs bulk yapısı. 40 Şekl 3.8. GaAs bulk yapısı çn toplam enerjnn örgü sabtne göre değşm. 41

v Şekl 3.9. GaAs bulk yapısı çn toplam enerjnn E cut a göre değşm. 4 Şekl 3.10. GaAs bulk yapısı çn farklı 0, 30, 40 Ryd. E cut değerlerndek Toplam enerjnn örgü sabtne göre değşm. 43 Şekl 3.11. GaAs bulk yapısı çn toplam enerjnn k pont değerne göre değşm 44 Şekl 3.1. GaAs bulk yapısı çn farklı k pont değerlerndek Toplam enerjnn örgü sabtne göre değşm. 45 Şekl 3.13. a) Tek katmanlı yapı ( (1+1) br katman AlAs br katman GaAs), b) Đkşer katmanlı yapı ((+) k katman AlAs k katman GaAs), c) Üçer katmanlı yapı ((3+3) üç katman AlAs üç katman GaAs) hetero bulk yapıları. 46 Şekl3.14. AlAs/GaAs (1+1) tekl bulk yapısının Toplam enerjsnn z konum değernn sıkıştırma ve çekme durumlarına göre değşm. 48 Şekl 3.15. AlAs/GaAs (+) kşerl bulk yapısının Toplam enerjsnn z sıkıştırma ve çekme durumlarına göre değşm. 50 Şekl 3.16. AlAs/GaAs (3+3) Üçerl bulk yapısının Toplam enerjsnn z konumunun sıkıştırma ve çekme durumlarına göre değşm. 51 Şekl 3.17. AlAs/GaAs (1+1) Tekl bulk yapısının potansyel üzernden elde edlen averaj eğrs. 5 Şekl 3.18. AlAs/GaAs (+) Đkşerl bulk yapısının potansyel üzernden elde edlen averaj eğrs. 53 Şekl 3.19. AlAs/GaAs (3+3) Üçerl bulk yapısının potansyel üzernden elde edlen averaj eğrs. 54

v TALOLARIN LĐSTESĐ Tablo 3.1. AlAs/GaAs çn tekl bulk heteroyapının z konumu, örgü sabt ve buna karşılık toplam enerj değerler. 47 Tablo 3.. AlAs/GaAs çn kşerl bulk heteroyapının z konumu, örgü sabt ve buna karşılık toplam enerj değerler. 49 Tablo3.3. AlAs/GaAs çn üçerl bulk heteroyapının z konumu, örgü sabt ve buna karşılık toplam enerj değerler. 50

1 BÖLÜM 1 GĐRĐŞ Günümüzde yapılan blmsel çalışmalarda maddelern nanometre düzeynde nceleneblmes konusunda öneml adımların atılması le brlkte, teknolojde çok hızlı lerlemeler kaydedlmş ve blm dünyasında nanoteknoloj çağı yaşanmaya başlanmıştır. Çalışılan parçacıkların atomk boyutlarda, yan nanometre mertebesnde (nanometre =10-9 m ) oluşundan dolayı bu yen teknoloj nanoteknoloj smn almıştır. Br başka tanım se, üretlmek stenen maddenn, atomlarından başlayarak elde edlmesdr. Bu kavramı lk defa dle getren Amerka Brleşk Devletlern den Erc Drexler dr. Nanoteknoloj üzerne yoğunlaşan Foresght Ensttüsü nn kurucusu Drexler K.E. (1986), ünlü MIT laboratuarındak eğtm sırasında, byolojk sstemlerden esnlenerek, moleküler makneler yapılableceğn önermştr ve nanoteknoloj kavramını ortaya atan kş olmuştur. Nanoteknoloj, fzk, kmya, byoloj, matematk, blşm teknolojler ve malzeme blm gb blm dalları arasında dsplnler arası gelşen br alan olup çersnde brçok blm dalını barındırmaktadır. Elektronkten tekstle, enerj üretmnden nşaat sektörüne, tıptan uzaya kadar hemen hemen tüm alana grmş olan nanoteknoloj, nsan yaşamında olumlu etklere neden olmuştur ve olmaya devam etmektedr. Bu blm dalları arasından fzk dalının araştırma konusu olan nanoyapılar; nanoteller, nanonoktalar, nanoflmler, nanotüp ve heteroyapılar olarak smlendrleblr. Doğada bulunan veya sun olarak laboratuarlarda üretlen maddelerden mümkün olduğunca yararlanmak çn, tasarlanacak veya tasarlama yapmak çn kullanılacak malzemelern fzksel ve kuantum kmyasal özellklernn tespt edlmes çok önemldr. Bu özellklern tespt çn de maddenn elektronk yapısını belrlemek şarttır. Krstal yapıdak maddelern, özellkle de karmaşık krstallern elektronk yapılarını belrleme şlem her zaman zor ve uzun zaman alan br şlem olarak blnmektedr. Ancak son yıllarda kullanılmakta olan ve sürekl olarak da gelştrlen blgsayar destekl ve temel

lkelere dayanan ab-nto yöntemlern gelşmesyle oldukça karmaşık yapılarda ble elektronk yapı hesaplarını yapmak oldukça kolay hale gelmş ve bu tür hesaplamaların zamanı daha da kısalmıştır. Malzemelern fzksel ve kuantum kmyasal özellklern belrlemede kolaylık sağlayan bu yöntemn temelnde Yoğunluk Fonksyonel Teors (DFT) bulunmaktadır. Bu teornn temeller 1960 ların ortalarında çok elektronlu sstemlern temel hal özellklernn (yapısal, elektronk ve ttreşmn) belrlenmes çn ortaya atılmıştır. Bu metot Hohenberg Kohn (1964) ve onun devamı olan Kohn Sham teorem le yerel yoğunluk yaklaşımı ve pseudopotansyel metodu kullanılarak brbrnden farklı brçok değşk sstem çn, kesn ve beklenen sonuçların elde edlmesnde bast br taslak oluşturmayı sağlar (Srvastava, G.P, 1990). DFT; atom, molekül ve katıların elektronk yapılarını hesaplayablen br teordr. Bu teor bulk hacml malzemelern yanı sıra proten ve karbon nanotüpler gb kompleks materyallere de uygulanablmektedr. Temel kuantum mekank yasalarından yararlanarak malzeme özellklern ncel olarak anlamayı amaçlamaktadır. Geleneksel elektronk yapı metotları, atom çekrdeklernce oluşturulan elektrostatk potansyel gb br dış potansyel alanında hareket eden N tane elektronun Schrödnger denklemn yaklaşık olarak çözmeye çalışır. Böylece sstemn fzksel özellkler belrleneblmektedr. Kısaca artık günümüzde elektronk bant yapısı hesabı sıradan br ş halne gelmş ve maddelern elektronk özellkler kolaylıkla ncelenmeye başlanmıştır. Br taraftan bu hesaplara yönelk yen teorler gelştrlmş, dğer taraftan gelştrlen bu teorlere dayanan blgsayar programları yazılmaya başlanmış ve her geçen gün bu yazılımların daha da mükemmel olması çn yen gelşmeler sağlanmıştır. Bu gelştrme sürec halen hızlı hareketl br şeklde devam etmektedr. Nanoyapılar olarak adlandırılan, yarıletkenlerden oluşan heteroyapılar üzernde son yıllarda öneml çalışmalar yapılmaktadır. Heteroyapı kavramı lk olarak ABD'de (Kroemer, 1963) ve Sovyetler Brlğnde (Alferov, USSR Patent 181737) aynı zamanlarda teklf edlmştr. Genel olarak heteroyapıları oluşturan yarı letkenler k gruba ayrılmaktadır. Bunlardan brncs, peryodk tablonun 4A Grubunda yer alan elementel yarıletkenlerdr. C, S, Ge, Sn, Pb bunlara örnek verleblr. Đknc grup se peryodk tablonun 3A (Al, Ga, In) ve 5A (N, P, As, Sb) grubunda bulunan elementlern oluşturduğu bleşkler (GaAs, InP, GaN) le B (Zn, Cd) ve 6A (O, S, Se) grubunda bulunan elementlern bleşğnden (ZnO, ZnSe) oluşan yarıletkenlerdr (Neaman 199).

3 Bu yarı letkenlerden ametal/ametal ve metal/ametal şeklnde oluşan heteroyapıların ara yüzey özellkler modern elektronk ve opto-elektronk aletler açısından öneml br rol oynamaktadır. Özellkle III-V yarı letkenlern bleşklernden oluşan heteroyapılar (AlAs/GaAs) bu çalışma alanında öneml br yere sahptr. Bu materyaller üzernde DFT yardımıyla yapılan çalışmalar sonucunda elektronk ve opto-elektronk alanlarında öneml gelşmeler kaydedlmştr. Heteroyapıların ara yüzey özellklernn yanı sıra yarıletken teknolojsndek en öneml ve sıkça kullanılan özellklerden brs de alaşım ve katkılıma yoluyla elektronk özellklern çsel olarak değştrleblme olasılığıdır. Yapılacak yen araştırmalar sonucunda heteroyapıların daha y anlaşılmasına, esk verlern yleştrlmesne katkı sağlayacak ve belk yen kullanım alanlarının ortaya çıkmasına olanak sağlayacaktır. Hatta önceden yapılmış çalışmaların yen ve farklı yöntemler kullanılarak tekrarlanması, seçlen heteroyapılı malzemenn fzksel özellkler belrlenmes çn en y yöntemn bulunmasına uygun düşünceler verecektr. Sunulan bu tez çalışmasında, örgü sabtler uyuşan (001) yönünde modellenen AlAs/GaAs yarı letkenlern oluşturduğu bulk heteroyapılarının elektronk ve yapısal özellkler teork olarak hesaplanmıştır. Hesaplamalarda, temel Yoğunluk Fonksyonel Teors ne (DFT), düzlem dalgalara ve pseudopotansyellere dayanan, Espresso Programı nın temel bleşenlernden br olan Düzlem Dalga Öz-Uyumlu Alan program set Plane-Wave Self-Consstent Feld (PWscf) kullanılmıştır. Tezn brnc bölümde yarıletken ve heteroyapılar hakkında kısa br grş yapılmış, bu yapıların genel özellklernden bahsedlmştr. Đknc bölümde se hesaplamalarda kullanılan Yoğunluk Fonksyonel Teors ele alınmış ve heteroyapıların genel teors ayrıntılı br şeklde anlatılmıştır. Son bölümde AlAs ve GaAs çn örgü sabt belrleme hesaplamaları yapılarak bu hesaplamalar çn grafkler elde edlmştr. Ayrıca bu bölümde, sırasıyla tek, kşer ve üçer katmanlı AlAs/GaAs yarıletken bulk heteroyapı modellenmes, bu yapıların örgü sabtler, z yönündek optmzasyonu ve ortalama etkn potansyeller hesaplanmıştır.

4 BÖLÜM TEORĐ.1. Yoğunluk Fonksyonel Teors Bu teornn temeller 1960 ların ortalarında çok elektronlu sstemlern temel hal özellklernn (yapısal, elektronk ve ttreşm) belrlenmes çn ortaya atılmıştır. Bu metot Hohenberg Kohn (1964) ve onun devamı olan Kohn Sham teorem le yerel yoğunluk yaklaşımı ve pseudopotansyel metodu kullanılarak brbrnden farklı brçok değşk sstem çn, kesn ve beklenen sonuçların elde edlmesnde bast br taslak oluşturmayı sağlar (Srvastava, 1990). Çok parçacıklı br sstem göz önüne alındığında Schrödnger denklem, r r r r H ψ ( R, ) = Eψ ( R, ) (.1) r r formundadır. Burada Ĥ sstemn Hamltonyen, ( R, ) ψ konumları sırasıyla r r ve R r le fade edlen sstemn elektron ve nükleonlarını temsl eden toplam dalga fonksyonunu ve E se sstemn toplam enerjsn göstermektedr. N e tane elektron ve N n tane nükleonun (çekrdek) kend aralarında etkleşmelern çeren br sstem çn Hamltonyen, Hˆ = Tˆ + Vˆ + Tˆ + Vˆ + Vˆ (.) n nn e ee en

5 şeklnde yazılablr. Burada Tˆ n çekrdeğn knetk enerj, Vˆ nn çekrdeklern brbrnden etkleşmnden kaynaklanan potansyel enerj, Tˆ e elektronların knetk enerj, Vˆ ee elektronların kend aralarındak etkleşmnden doğan potansyel enerj ve Vˆ en se elektronlarla çekrdekler arasındak etkleşmden doğan potansyel enerj termn göstermektedr. Atomk brmler göz önüne alındığında bu Hamltonyen, Hˆ = N 1 N 1 M e n e n I = 1 I= 1 I = 1 I = 1 N N ZI v r r R 1 I N + N e e = 1 j> 1 r r j + N N n n I= 1 j> I Z Z I j r r R R I j (.3) şeklnde yazılablr. Çok parçacıklı br sstemde nükleonlar elektronlara göre çok daha yavaş hareket ettğ kabul edlr (Born ve Oppenhemer, 197). Bu durumda sstem çn şu yorumlar yapılablr. ) E nn Nükleon-nükeleon (çekrdek-çekrdek) etkleşmesnden doğan enerj br sabt değer alarak kabul edlr. ) T n nükleonun knetk enerj operatörü sıfır olacaktır. buradan Hamltonyen, Hˆ = 1 Z v r (.4) Ne Ne Nn N e N e I 1 1 + + r r = 1 = 1 I = 1 r R = 1 j> I j formunda olur. Bu eştlktek brnc kısım knetk enerj term, knc kısım dış potansyel termn, üçüncü kısım se elektron-elektron etkleşmesnden kaynaklanan dış potansyel termn temsl etmektedr ve bu fade daha bast br şeklde,

6 Hˆ 1 = r ( ) + + ˆ 1 1 Vdıı r r = 1 j> j (.5) yazılablr. Yoğunluk fonksyon teors bu eştlkten yola çıkarak, br elektron sstem çn toplam enerj fadesndek her br termn elektron yük yoğunluğu n (r) nn fonksyonu olarak yazılmasını amaçlamaktadır. Daha sonra yük yoğunluğu cnsnden yazılan Hamltonyenn kullanılmasıyla enerj özdeğerler, E ψ Hˆ ψ = (.6) formunda verlr ve öz fonksyonlarını bulmak çn kullanılır..1.1. Yük Yoğunluğu Tabanlı Enerj Đfades Blndğ gb çok parçacıklı sstemler çn temel durum dalga fonksyonları le yazılmış Schrödnger eştlğnn çözümü tek parçacıklı sstemlere göre çok zordur. Bu yüzden dalga tabanlı Schrödnger eştlğ yoğunluk fonksyonu n (r) cnsnden fade edleblrse problemn çözümü kolaylaşacaktır. Çok parçacıklı br sstemn yoğunluğunu bulmak çn, çok-csm dalga fonksyonu çn tek-parçacık yoğunluk operatörünün beklenen değern hesaplamak gerekr. Bu durumda sstemn yoğunluk operatörü ve buna bağlı fonksyon fades sırasıyla, r nˆ( ) N = = 1 r r δ ( ) (.7) N r r r r r r r r n( ) = ψ nˆ( ) ψ = δ ( ) ψ (... ) dr... d (.8) 1 N 1 N n r = 1 r r r r ψ (.9) ( r) = N ( r... rn ) dr... drn formunda olur. Bu eştlğn her k tarafının r r üzernden ntegral alınırsa,

7 r r r r r r r n( ) dr = N ψ (... N ) drdr... drn = N (.10) sstemn parçaçık sayısı elde edlr. Buradan sstemn Hamltonyen, Hˆ Tˆ + Vˆ + Vˆ = (.11) e dıı ee şeklnde yazılablr. Burada brnc term knetk enerj, knc term dış potansyel ve üçüncü term elektron-elektron etkleşmesnden kaynaklanan potansyel enerj term temsl etmektedr. Bu enerj termlern braz daha açmak faydalı olacaktır. Knetk enerj termn yoğunluk cnsnden tam olarak yazılması mümkün değldr. Bu yüzden term aynı yoğunluğa sahp yardımcı br sstem le tanımlanmalıdır. Bu sstemn N tane etkleşmeyen parçacık çn yoğunluk fades, r n( ) N = e r ( ) φ (.1) formundadır. Knetk enerjnn yalnızca br kısmını temsl eden fade se, T s = 1 * r r ( ) r φ ( ) r d φ (.13) şeklnde fade edlr. Knetk enerjy tem olarak fade edeblmek çn bu terme ek br knetk enerj term T eklenmeldr. Son olarak gerçek knetk enerjn tamamı, T 1 * r r ( ) r φ ( ) r = φ dr + T (.14) şeklnde yazılablr. Dış potansyel enerj term sstemn Hamltonyenndek dış potansyel termnn beklenen değer, E = ψ V ˆ r ( ) ψ dıı dıı (.15)

8 şeklnde fade edlr. Buradak şlem N tane parçacık çn yapılırsa dış potansyel enerj, E dıı r r r r r ψ (.16) =... V ( r ) ( r... r ) dr... dr dıı 1 N N şeklnde yazılır. Denklem (.8) bu eştlkte yerne koyulursa enerj değer E dıı r r r = V ( ) n( ) d (.17) dıı olarak yoğunluk cnsnden yazılmış olur. Elektron-elektron etkleşmesnden oluşan potansyel enerj term Hamltonyendek elektron-elektron etkleşmesn temsl eden, Vˆ ee = 1 = 1 j> r 1 r r (.18) j termnn N parçacık çn beklenen değer hesaplanarak, E E ee ee 1 1 r r r r... r = > r ψ (... N ) dr... d (.19) 1 1 1 j = N 1... r = ( r1... rn ) dr3... dr N j dr r dr r 1 r r r r r ψ (.0) r 1 eştlkleryle fade edlr. Bu term elektron-elektron etkleşmesn fade ettğ çn sstem k parçacık yoğunluğu, n () r r (,, r r, () r r, ) = n( ) n( ) + n (, ) (.1) şeklnde yazılır. Burada r r br elektronu ve, r de knc br elektronun konumunu temsl etmektedr. Bu yoğunluk (.0) de yerleştrldğnde enerj değer, E ee 1 r r n( ) n(, ) r r r r, r r drdr + `, = Eee (.)

9 şeklnde olur. Bu termlern toplamı alınarak çok parçacıklı br sstem çn yoğunluk cnsnden toplam enerj fades, 1 E = * r * r r φ ( ) rφ ( ) dr + r + 1 V dıı r r r ( ) n( ) dr r r n( ) n( r r `,, ) r r drdr, + T + E ee (.3) şeklnde fade edlr. Bu eştlktek son k term, E = T + (.4) xc E ee şeklnde yazılır ve bu term çalışılmakta olan maddeye göre değşk yaklaşımlarla fade edlmektedr. Bu tez çalışmasında sstem çn LDA yaklaşımı yapılmıştır. Burada sstemn değşm korelasyon fades olup LDA yaklaşımına göre, E xc E LDA xc r r r = n( ) ε ( n( )). d (.5) xc şeklnde fade edlr. Bu fade yerne yazıldığında sstemn toplam enerjs, 1 E = * r * r r φ ( ) rφ ( ) dr + r + 1 V dıı r r n( ) n( r r `, r r r ( ) n( ) dr, ) r r drdr, + (.6) r r r n( ) ε ( n( )). dr xc şeklnde olur. Bu eştlk sstemn toplam enerjsnn yoğunluğunun br fonksyonel olarak fadesn vermektedr.

10.1.. Hohenberg-Kohn Teoremler Hohenberg ve Kohn (1964), Thomas-Ferm modeln araştırırken n (r) elektron yoğunluğunun değşken fonksyon olduğu varyasyonal br yöntem gelştrdler ve k öneml teoremn spatını verdler. Bu yöntemde, dış potansyel ne olursa olsun temel durumdak tüm elektronk sstemlere uygulanan br F [ n( r)] evrensel fonksyonel vardı ve esas ş bu fonksyonel tanımlayablmekt. Bu fonksyonel blndğnde verlen br dış potansyelde temel durum enerjsn belrlemek kolaylaşıyordu. Teorem 1 Br dış potansyel V dıı (r) altında parçacıkları etkleşen herhang br sstem br sabt le n (r) temel durum elektron yoğunluğu tarafından benzersz br şeklde belrlenr. Teoremn 1 n Sonucu Sstemn Hamltonyen, enerjy sadece kaydıracak br sabt dışında tamamen belrlenmş olacağından, sstemn çok elektron dalga fonksyonu ve dğer özellkler tamamen belrleneblr. Sstemn Hamltonyenn, Hˆ = Fˆ + ˆ (.7) V dıı şeklnde yazalım. Buradak Fˆ değer, Fˆ = Tˆ + ˆ (.8) V ee knetk enerj ve elektron-elektron etkleşmes termnn toplamını fade eden Hamltonyen termn göstermektedr. Bu durumda n ( ) temel durum yoğunluktak (1) sstem çn k farklı ( r) () ψ ve ( r) dıı dıı 0 r ψ dalga fonksyonundan elde edlmş k faklı

11 ˆ ) ˆ ) ( 1 ( H dıı ( r) ve H dıı ( r) Hamltonyenn eşt olmayan k tane dış potansyel olduğunu varsayalım. Varyasyonel prensbe göre enerj değer, ˆ (1) V dıı ve () V ˆdıı ( 1) (1) ˆ (1) (1) () ˆ (1) () = H H (.9) E ψ ψ < ψ ψ şeklndedr. Bu temel durumun dejenere olmadığını düşünürsek, eştszlk tamamıyla kaldırılablr (Koh, 1985, Levy, 198, Levy and Perdew, 1985). Çünkü k Hamltonyende aynı n ( ) temel durum yoğunluğuna sahptr. Bu durumda (.9) eştlğn yenden, 0 r () Hˆ (1) () () r = Hˆ () () r Vˆ () ψ ψ ψ ψ ] n ( ) d (.30) + Vˆ (1) [ dıı dıı 0 şeklnde yazılır. Bu durumun ters düşünülürse aynı fade, (1) Hˆ () (1) (1) r = Hˆ (1) (1) r Vˆ (1) ψ ψ ψ ψ ] n ( ) d (.31) + Vˆ () [ dıı dıı 0 şeklnde de fade edleblr. Denklem (.9) dan yola çıkılarak (1) E ve () E, ( ψ ˆ ψ 1) () (1) () E < H (.3) ( ψ ˆ ψ ) (1) () (1) E < H (.33) şeklnde yazılablr. Buradak (1) E ve yerleştrlrse ve eştlkler taraf tarafa toplanırsa, () E fadelerne sırsıyla denklem (.30) ve (.31) E E E + E (1) () (1) () + < (.34) şeklnde fade edlen çelşkl br durum ortaya çıkacaktır. Bu da bzm teorem olmayana erg yöntem le spatlamamızı sağlamaktadır.

1 Teorem Tüm elektron sstemler çn, n (r) elektron yoğunluğunun fonksyonel olarak enerj E [ n( r)] evrensel fonksyonel şeklnde tanımlanablr. Bu tanım aynı zamanda V dıı (r) çnde geçerldr. Sstemn temel durum enerjs, verlen br V dıı (r) dış potansyel çn global mnmum değerne sahptr ve fonksyoneln mnmze eden n (r) yoğunluğu, temel durum yoğunluğu n ( ) dr. 0 r Teoremn nn Sonucu E [ n( r)] fonksyonel tek başına temel durum enerjsn ve yoğunluğunu belrlemek çn yeterldr. Genel olarak uyarılmış elektron durumları başka yöntemlerle belrlenmeldr. Sstemn toplam enerj fadesn n (r) nn br fonksyonel olarak, E HK r r r [ n] = T[ n] + Eç[ n] + Vdıı ( ) n( ) dr + EII (.35) şeklnde fade edlr. Buradak E II karşılıklı etkleşen çekrdeklern enerj fadesn göstermektedr. Bu denklemdek F [n] sstemn knetk ve ç potansyel enerjsn temsl etmekte ve F [ n] T[ n] E [ n] = (.36) HK + ç şeklnde yazılmaktadır. Bu fade bütün sstemler çn aynı şeklde fade edlmektedr. (.36) fades (.35) te yerleştrlrse sstemn toplam enerj fades, E HK r r r [ n] F [ n] E (.37) HK + V ( r ) n( r ) dr + dıı II formunda yazılır. Temel durumdak br sstemn enerjs tek br temel durum yoğunluğu (1) r n kullanılıp Hamltonyenn beklenen değer hesaplaması, ( )

13 E E [ n ] = ψ H ψ HK ( 1) (1) (1) ˆ (1) (1) = (.38) () şeklnde fade edlr. Varyasyonel prensbe göre farklı br n ( r ) r yoğunluğu çn mutlaka daha büyük br enerj değer elde edlecek ve lk enerjyle brlkte, ( 1) (1) ˆ (1) (1) () ˆ (1) () () = ψ H ψ < ψ H ψ E (.39) E = şeklnde fade edlr. Bu şeklde yapılan hesaplamalar sonucunda sstemn toplam enerjsnn mnmum olduğu zaman k yoğunluğu, sstemn temel durum yoğunluğu olarak kabul edlr..1.3 Kohn-Sham Denklemler Çok-elektronlu sstemler çn Kohn ve Sham (1965), değşm ve korelasyon etklern de çeren, Hartree-Fock denklemlerne benzeyen öz-uyumlu denklemler çn br formülasyon fade ettler. Bu formülasyona göre gerçek ve etkleşen elektronların olduğu br sstem, etkleşmenn olmadığı hayal br ssteme dönüştürülüp elektronlar etkn br potansyel etksnde hareket ettrlmektedr. Đşte elektronların hayal br sstemde hareketn sağlayan bu potansyele Kohn-Sham tek-parçacık potansyel denmektedr. Dğer br taraftan Yoğunluk fonksyonel teors, dalga fonksyonlarını kullanmadan sadece temel durum elektron yoğunluğunu kullanarak çok elektron sstemlernn özellklern belrlemey amaçlamaktadır. Çok parçaçıklı br sstemn toplam enerj fadesnn türevn alalım δe δn r = ε φ ( ) (.40) δn δφ r * k k k

14 N elektronlu br sstem çn relatvstk olmayan Schrödnger denklemnn elde edlen yoğunluğa bağlı toplam enerj fades Denklem (.5) tek gb olduğu düşünülürse toplam enerjnn her br termnn türev alınacaktır. Denklem (.5) e göre dış potansyel enerj term, E dıı r r r = V ( ) n( ) d (.41) dıı şeklndedr ve bu fadenn türev, δe dıı δn δn δφ r r = V ( ) φ ( ) (.4) r * dıı k k olarak hesaplanmaktadır. Knetk enerj term, T s = 1 * r r ( ) r φ ( ) r φ d (.43) şeklndedr ve bu fadenn türev se, Ts n 1 r = rφ ( ) r k (.44) şeklnde olur. Aynı şekl Hertre enerjs term, E H = 1 r r n( ) n( r r `,, ) r r drdr, (.45) şeklndedr ve bu fadenn türev se, r, r E H n 1 n( ) r, r VHφk ( ) = = dr ( ) * r r φ `, k (.46) n φ k olarak hesaplanır. Son olarak değşm korelasyon enerj term (XC),

15 E LDA xc r r r = n( ) ε ( n( )). d (.47) ec şeklndedr ve bu fadenn türev se, V XC r φ ( ) k E n LDA XC hom n hom r r ε XC r = ε ( n( )) n( ) ( ) * XC + φ k φk n = (.48) olarak hesaplanır. Bütün enerj termler br arada yazılırsa toplam fade, E n LDA XC n φ 1 = r n( ) r r r r + r r dr + V ( ) V ( ) ( ), dıı + XC φk = ε kφ (.49) k r * k şeklde olacaktır. Buradak eştlkte potansyel fadelern toplamı etkn potansyel olarak smlendrlr ve V = V ( r ) + V et dıı XC (.50) şeklnde yazılır. Toplam fadey oluşturan tüm termler Kohn-Sham denklemler ya da Kohn-Sham orbtaller olarak blnr. konulursa le fade, ( ˆ r r T V ) φ ( ) = ε φ ( ) et k k k Vˆ et potansyel fades denklem (.49) da yerne + (.51) şeklnde olur. Bu eştlktek knetk enerj ve etkn potansyel Kohn-Sham Hamltonyenn oluşturur ve H ˆ = Tˆ + (.5) KS V et formunda fade edlmektedr. Son olarak sstemn Schrödnger denklem, Hˆ KS r r φ ( ) = ε φ ( ) (.53) k k k

16 şeklnde yazılablr. N elektronlu br sstem çn Schrödnger denklem Kohn-Sham eştlklerne göre yazılmış olur. Bu denklem yapılan hesaplamaların temeln oluşturmaktadır. Tahmn br n ( ) belrle 1 r Hˆ KS r r φ ( ) = ε φ ( ) k k k Yen br n(r) yoğunluğu belrle Çözüm kend çnde tutarlımı? EVET HAYIR Toplam enerjy hesapla Yen br n ( ) yoğunluğu belrle r Şekl.1. Kohn-Sham denklem kullanılarak kendn doğrulama yöntem le yapılan toplam enerj hesabının şeması.

17.1.4. Kohn-Sham Denklemlernn Matrs Gösterm Kohn-Sham denklemlern matrs formunda göstereblmek çn düzlem dalga fonksyonundan yaralanmak gerekr. Br sstemn düzlem dalga fonksyonu yoğunluğa bağlı br şeklde, N r r φ ( ) = b C Χ n( ) (.54) k n= 1 kn olarak fade edlr. Bu Düzlem dalga fonksyonunu Kohn-Sham Hamltonyenne uygularsak fade, Hˆ KS φ = k ε k φ k (.55) H ˆ ε C Χ (.56) KS C Χ = kn n n k n kn n formlarında olur. Daha sonra eştlğn dğer tarafına da aynı fonksyon uygulanıp enerjnn beklenen değer, C ˆ ε C Χ Χ (.57) Χ H Χ kn m KS n = n k n kn m n Şeklnde yazılmış olacaktır. Burada, mn = m n δ Χ Χ =1 (.58) olduğu blndğne göre Khon-Sham denklem son olarak ε H KS, C = C (.59) mn kn k kn n H KS C k ε = C (.60) k k şeklnde yazılır ve bu da Kohn-Sham eştlğnn matrs gösterm olarak blnmektedr.

18.1.5. Pseudopotansyel Formalzm Elektronk dalga fonksyonları Bloch teorem kullanılarak düzlem dalga setlerne göre yazılablrler. Fakat elektronk dalga fonksyonlarını düzlem dalga baz setlerne göre yazmak her zaman y br yöntem değldr. Çünkü bu yöntem le sıkı bağlı durumda olan kabuk orbtallern açmak ve kabuk bölgesndek valans elektronlarının dalga fonksyonlarının çok hızlı salınımlarını tanımlamak çok kolay br ş değldr. Bu tanımlamayı yapablmek çn çok fazla sayıda düzlem dalgaya gerek vardır. Bu da elektronk dalga fonksyonlarının hesaplanmasını çok zorlaştırmakta ve hesaplamanın uzun zaman almasına yol açmaktadır. Ortogonalze düzlem dalga (OPW) metoduna (Herrng, 1940) dayanan pseudo-potansyel yöntem (Phllps, 1958, Cohen ve Hene, 1970; Yn ve Cohen, 198), çok az sayıda düzlem dalga setler kullanılarak elektronk dalga fonksyonlarının yazılmasına olanak sağlamaktadır. Bu yönteme göre br atomun enerj sevyeler Şekl. dek bast atom modelnde gösterldğ gb k kısma ayrılmaktadır. Bunlar sıkı bağlı elektronların ve çekrdeğn oluşturduğu dptek kabuk sevyeler ve bu sevyelerden daha yukarıda olan ve genellkle atomun elektronk özellklern belrleyen valans bant enerj sevyeler olarak blnmektedr. Şekl.. Bast br atom modelnde kabuk bölges ve valans bant bölges. Kabuk bölgesnde valans sevyeler, kabuk sevyelernden daha yüksek toplam enerjlere sahp olduğundan ve kabuk elektronlarındak aynı büyük ve negatf

19 potansyele maruz kaldıklarından, valans elektronları daha yüksek knetk enerjde olmalıdırlar. Bu durum bant yapısı hesaplamalarında öneml br soruna neden olmaktadır. Pseudopotansyel yöntem bu sorunu ortadan kaldırmaktadır. Bu yöntemle valans elektronlarını etkleyen ve kabuk elektronlarının kısmen perdelenen yonk potansyel yerne br pseudo-potansyel (Antonck, 1959; Phllps ve Klenman, 1959a,b) tanımlanır. Bu şeklde tanımlanmış olan pseudopotansyel Şekl.3 te görüldüğü gb kabuk bölgesnde düzensz br görüntüde olan dalga fonksyonu yerne daha düzgün ve yumuşak br fonksyon özellğ göstermektedr. Bu potansyel belrl br r c kesme mesafesnden sonra valans dalga fonksyonları çn değşmez aynı kalır ama kabuk bölges çn se daha düzgün ve yumuşak pseudo-fonksyonlarla yer değştrmektedr. Şekl.3. V s br sstemn pseudopotansyeln, φ dalga fonksyonunu, V R gerçek potansyeln, ψ gerçek dalga fonksyonunu ve r c se kabuk bölgesnn yarıçapı temsl eder.

0 Şeklden de görüldüğü gb toplam enerj fades, ( V ) φ = εφ T (.61) + s olarak yazılablr. Buradak tc br potansyel V R le etkn br potansyel olan V A nın brbrleryle yaptıkları etkleşmesnden meydana gelen potansyel, V = V + V (.6) s A R şeklnde yazılır. Burada fade edlen potansyel zayıf etkldr. Şekle dkkat edlrse kabuk bölges dışında k potansyel ve dalga fonksyonu brbrnn aynıdır. Bu yöntem bze sstem tanımlamamızı sağlamakta ve şlem açısından büyük kolaylıklar getrmektedr. Temel lkelere dayanan yöntemlerle elde edlen pseudopotansyeller, br sstemn tüm elektronlarını çeren atomk hesaplamalar yapılarak üretlrler. Yoğunluk fonksyonel teors (DFT) çerçevesnde bu ş, küresel perdeleme yaklaşımı yapılarak ve radyal Kohn-Sham denklem öz-uyumlu çözülerek yapılır (Trouller ve Martns, 1991). Bu çözüm, 1 d l( l + 1) + + V ( n( r)) rr ( r) ( r) R ( r) nl = ε nl nl dr r (.63) eştlğ göz önüne alınarak yapılır. Burada V ( n( r)) öz uyumlu tek elektron potansyeln göstermektedr ve Z LDA V ( n( r)) = + VH ( n( r)) + VXC ( n( r)) (.64) r şeklnde yazılır. Burada n (r), R nl (r) dalga fonksyonları çn toplam elektron yoğunluğunu, V H ( n( r)) Hartree potansyeln ve V LDA ( n( r)) de yerel yoğunluk yaklaşımına göre değşm korelasyon fonksyonunu göstermekterr. XC

1.1.6. Sstem Parametreler Bu çalışmada ab-nto alt yapılı Quantum Espresso Programı nın temel bleşenlernden br olan Düzlem Dalga Öz-Uyumlu Alan programı kullanılmıştır. Espresso, nano boyuttak yapıların gerçeğe uygun br şeklde modellenmes ve elektronk yapısının hesaplamalarının yapılması çn kullanılan br programdır. Araştırmacıların son zamanlarda lg odağı olan ve hesaplamalarında sıkça kullanılan br program olarak blnr. Bu program düzlem dalga ve pseudo potansyeller yardımı le Yoğunluk Fonsyonel Teors temelne göre çalışmaktadır. Bu çalışmada programın relaxon ve scf yapı hesaplamaları kullanılmıştır. Program çn öneml olan nput dosyasındak bazı öneml parametreler aşağıdak gbdr. Calculaton: Yapılacak olan hesaplamanın tpn tanımlar (scf, nscf, relax, bant) pseudo_dr: Programın, pseudo-potansyel hang konumdan okuyacağını belrtr. Đbrav: Bravas örgünün tpn belrler celldm(): Krstaln örgü parametresn belrtr. Prefx: Grd ve çıktı dosyalarının smlern belrtr E cutwfc : Dalga fonksyonu çn knetk enerj keslm değern belrtr E cutrho : Yük yoğunlugu çn knetk enerj keslm değern belrtr Bu parametreler çalışılmakta olan sstemne göre değşen öneml parametreler olarak blnr. Bu parametreler dışında E cut ve K pont olarak blnen ve sstemn mnmum kararlı haln belrlemeye yarayan kavramlarda bulunmaktadır. Bu kavramların fzksel anlamları vardır. ) E cut Düzlem Dalga Baz Setler Bloch teoremne göre elektronk dalga fonksyonu her br noktasında br keskl düzlem dalga setne göre, r nk ( r r r r ( k + G ) ) = C r re r n, k + G G ψ (.65)

formunda verlr (Payne ve vd. 199). Bu fadeden görüldüğü gb elektronk dalga fonksyonunu açmak çn sonsuz br düzlem dalga setne gereksnm vardır. Ancak hesaplamalarda bu sonsuz düzlem dalga setne br sınırlama getrlr. Bu sete sadece knetk enerjler belrl br kesme enerjsnden küçük düzlem dalgalar dâhl edlr. h m r r k + G E cut (.66) Fakat düzlem dalgaları bu şeklde kesmek, toplam enerjnn hesaplanmasında hataya yol açmaktadır. Ancak kesme enerjsnn değernn artırılmasıyla hatanın büyüklüğü azaltılablr. Sstemde toplam enerj değer bell br mnmuma yakınsadığında kesme enerjsn artırmanın artık br anlamı yoktur. Buda E cut olarak smlendrlen, br sstem çn en uygun kesme enerj değer olarak blnr. ) k pont Krstallerde brçok hesaplamada dalga vektörünün peryodk br fonksyonunun Brlloun bölges üzernden ntegralnn alınması gerekr. Bu şlem oldukça zor br ştr. Çünkü bu fonksyonun her br noktasındak değern blmek gerekmektedr ve gerçek krstallerde neredeyse sonsuz sayıda elektron olduğu blndğne göre, sstem çn sonsuz sayıda da k noktası olacaktır. Ancak elektronk dalga fonksyonunun değer brbrlerne yakın k noktalarında hemen hemen aynı olduğundan çok sayıda k noktasının yerne sadece br tek k noktası çn ntegral almak doğru olacaktır. Dolayısıyla tüm Brlloun bölges üzernden ntegral almak yerne belrl br sayıda k noktaları üzernden ntegral almak yeterl olacaktır. Bu şlem bze büyük kolaylık kazandırmaktadır. Bunun çn Brlloun bölgesnde bazı özel nokta setler oluşturmak gerekmektedr. Bu özel noktaların üretm çn çeştl yöntemler gelştrlmştr (Chad-Cohen, 1973, Monkhorst-Pack, 1976). Bunun yanında düzlem dalga baz setlern kullanmanın getrdğ sorunlardan br de baz durumlarının sayısının kesme enerjsne göre süreksz olmasıdır. Bu sürekszlkler farklı noktaları çn farklı kesme enerjlernde olacaktır. Bu sorun daha yoğun kxkxk nokta setler kullanılarak haffletleblr.

3.. Heteroyapılar Hetroyapılar AlAs, GaAs, S, Ge gb yarı letken malzemelerden oluşmuş yapılardır. Bu yapıların yarıletkenlerden oluşmasının sebeb yarı letkenlern göstermş olduğu öneml elektronk ve optk elektronk özellklere sahp olmasından kaynaklanmaktadır(peress ve Bnggel, vd. 1998). Bu özellkler söyle sıralanablr. Aynı yarıletken malzemeden hem letken hem de yalıtkan özellk gösteren malzeme elde etmek mümkün. Đletkenler her zaman tümüyle letken, yalıtkanlarda her zaman tümüyle yalıtkandırlar. Buna karşı yarıletkenler k özellğ de göstereblr. yarıletkenlern dğer br özellğ se aynı yarıletken malzemeye farklı katkı atomları eklenerek bu maddelern elektronlarla veya deşklerle yük taşınması mümkün olacaktır. Bu özellklern br sonucu olarak heteroyapılardan: Dyot (k uçlu) ve transstör (üç uçlu) gb kontrol şlevl devre elemanları yapmak mümkün olmaktadır. Bu üç uçlu devre elemanları (VE, VEYA) mantık sstemne göre çalışan mantık elemanları yapımını olanaklı kılmaktadır. Günümüz teknolojs bu sevyeye elektronk mantık elemanlarının üretm sayesnde ulaşmıştır...1. Bant Yapıları Br materyaln yüzey atomk yapısının belrlenmes ve yüzey atomk yapısının materyaln elektronk özellkler le lşks modern yüzey blmnde ve teknolojde öneml br rol oynamaktadır. Günümüzün çok kuvvetl deneysel teknkler ve teork modeller özellkle yarıletken yüzeylerne odaklanmıştır. Son yrm yılda elektronk özellkler, geometrk yapı, ttreşmler ve optk özellkler üzerne bnlerce çalımsa yapılmıştır. Yapılan bu çalışmalarda deneysel teknkler, yarıletken yüzeylern çalışılmasında başarılı br şeklde kullanılmıştır. Bu teknkler le ölçülen değerler, teork metotlar kullanılarak hesaplanan değerlerle y br uyum sağlamaktadır. Yarıletken çalışmalarında kullanılan son teork yaklaşımların hemen hemen heps enerj bant teors üzerne kurulmuştur. Bu teor lk defa Bloch tarafından

4 çalışılmıştır. Bloch, kusursuz br krstalde enerj bant yapı hesabı çn kuantum mekanğn kullanmıştır. Teor tek elektron yaklaşımı üzerne kurulmuştur. Fakat elektron-elektron etkleşmesn yok saydığından deal değldr. Bu sebeple en güvenlr yaklaşım, öz-uyum alan teorsn kullanan Kohn-Sham ve Hohenberg n Yoğunluk Fonksyonel Teors üzerne temellendrlr. Şekl.4. Đletkenlk derecesne göre değşen bant enerjlernn bast br gösterm (a) Đletken, (b) Yarı letken, (c) Yalıtkan Şekl.4 letken, yarıletken ve yalıtkan maddelern temel br şeklde enerj bant yapısını göstermektedr. Şeklde de görüldüğü gb letken maddelern letm bantı le valans bantı arasında hç boşluk yoktur ve bu yüzden letken özellk gösterrler. Yalıtkanların se letm ve valans bantı arasındak mesafe çok büyük olduğundan elektronlar letm bantına geçememekte ve bu yüzden letm gerçekleşmemektedr. Yarı letkenlerde de boşluk bantı vardır. Bu bant aralığı yarı letkenn duruma göre hem letken hem yalıtkan özellk göstermesn sağlar. Bunun yanında yarı letkenler drek ve ndrek olmaküzere k çeşt bant aralığına sahptr. Yarı letkenlern bu karakter optk

5 özellklern belrler ve opto-elektronk uygulamalar çn kullanılıp kullanılmayacağı konusunda öneml br rol oynamaktadır. Yukarıda da görüldüğü gb bant aralığı br maddenn letkenlğ çn çok öneml br unsurdur. Çünkü br maddenn letm yapablmes çn valans bantındak elektronların uyarılıp letm bantına geçmes gerekmektedr. Buna bağlı olarak bant aralığı ne kadar kısa se letm özellğ o kadar çok olacaktır. Örneğn Ge un bant aralığı 0,6 ev (yarıletken) ken C un bant aralığı 5,4eV (yalıtkan) olarak blnmektedr. Yarı letkenler genelde komşu atomları le kovalent bağ oluşturur. Her ne kadar komşu atomlar elektronlarını ortaklaşa kullanarak kovalent bağ oluştursalar da, bazı elektronlar gerekl ısı enerjsne sahplerse, bulundukları bağı terk edeblrler. Bu olayın olması çn ısı enerjs mktarının en az Eg olarak adlandırılan bant aralığına eşt olması gerekr. Eğer elektronların enerjler Eg den büyük se elektronlar krstal çersnde serbest olarak dolaşırlar. Böylece elektronların terk ettğ bağlarda boşluklar oluşur. Dolayısıyla bu durumda letkenlk bantında elektronlar, değerlk bantında se boşluklar letkenlğ sağlarlar.... Öz Uyum Hesaplamaları Yarıletken teknolojsnde en öneml ve sıkça kullanılan özellklerden brs bant düzenszlklernn temelde ana bleşenlernn bulk özellkler tarafından belrlenp belrlenmedğ durumudur. Dğer öneml br özellk se yarı letkenlern alaşım ve katkımla yoluyla elektrk özellklernn çsel olarak değştrleblme olasılığıdır. Potansyel bant kıyı kayması problem le lgl teork araştırmaları k kısma ayrılablr(peress ve Bnggel, vd. 1998). ) Arayüzeydek elektronk yük dağılımını sağlayan ve uyumlandırma, tutarsızlık ve kusur gb öneml arayüzey detaylarının çalışmasını sağlayan özuyum ab-nto hesaplamaları. ) ab-nto hesabının yanı sıra model teorler olarak adlandırılan arayüzey tanımlamasında bastleştrlmş ve etkl uygulamaların yapılabldğ teorlerdr.

6 Bu tez çalışmasında son zamanlarda çok elektronlu sstemlern enerjk ve elektronk yapısının çalışılabldğ ab-nto hesaplaması kullanılmıştır. Bu hesaplama amprk parametre kullanmadan kuantum mekank eştlğnn çözümü temelne dayanmaktadır. Bu çözüm sayesnde deneylerle anlamalı br karşılaştırma yapmak ve henüz denenmemş kesn tahmnler elde etmek mümkündür. Bu şeklde yapılan çözümlerle, deneysel çalışmalarla br karşılaştırma yapmak ya da henüz hç denenmemş çalışmalara da ışık tutmak amaçlanmaktadır. Ab-nto programlarında yerel yoğunluk yaklaşımının (LDA), yoğunluk fonksyonel teorsne (DFT) (Hoenberg and Kohn, 1964, Kohn and Sham, 1965) uygulanması güvenlr sonuçlar vermektedr. Bu, güvenlrlk krstal sstemlern elektronk taban durum özellkler çn geçerl sonuçlar sağlamaktadır (Lundqvst and March,1983, Martn, 1985, Jones and Gunnarson, 1989, Cohen, 1985). DFT brbrleryle etkleşen elektronların çok csm problemn öz-uyumla çözümlenmş (SCF) le tek parçacıklı Schrödnger sstem eştlğne ndrgemektedr (Kohn and Sham 1965, Ceperley and Alder 1980). Bu hesaplamalar da aynı zamanda br maddenn kmyasal bağ olayından sorumlu olan ve lgl fzksel özellkler belrleyen valans elektronlarınla lgl olan (Pckett,1989) pseudopotansyel uygulaması yapılmaktadır. Sstemn öneml parametrelernden olan, peryodk katılar çn kullanılan düzlem dalga baz setler genellkle tek parçaçıklı elektron orbtallerne yayılır. Bu yüzden sstem bell br knetk enerj kesm değerne uyarlanan düzlem dalga baz setler çermektedr. Düzlem dalgaların değerler sstemn tanımlanması ve hesaplamaların hassasyet çn çok önemldr. Düzlem dalga baz set seçm elverşl br ters uzay formülasyonuna ve sstemn toplam enerjsnn bast br tesptne olanak sağlamaktadır (Nelsen and Martn, 1985). Bu özellk aynı zamanda atomk yapının relax olması çn kullanılanılır. Bunun yanında br koplex süper hücrede bulk krstal veya optmze olmuş br yüzey krstal veya optmze olmuş br yüzey geometrs çn yapısal parametrelern dengesne zn vermektedr(peress ve Bnggel, vd. 1998). Elektron yoğunluğundak gb mktarı belrlemede öneml br yer olan Brlloun Zone (BZ) dak ntegraller br takım özel k noktaların ayrık toplamı tarafından hesaplanır (Balderesch, 1973). Bu setlern

7 yoğunluğu aynı zamanda hesaplamaların doğruluğunu belrleyen br maddedr. Küçük değerlerdek belrszlk k noktaları ve buna benzer bazı parametrelern yakınsama hesapları le tahmn edlmeye çalışılır. Aynı kural süper hücre sstemlernn deal mnmum enerj sevye durumunun tanımlanması çn de geçerldr (Baron ve Peres, vd. 1993). Bu belrszlk üzerne br başka araştırma se hesaplardak pseudopotansyel seçm ve kullanılan örgü parametre sonuçlarıdır (Balderesch ve Peres, vd. 1993). Bu çalışmada kullanılan sstemlern atomk yapısı relax olarak hesaplanmış ve E cut, k pont ve örgü sabt gb parametrelern yakınsama çalışması yapılmış sstemn mnmum enerjdek yapısı tanımlanmıştır. Bu şlemlern yapılmasıyla sstemdek belrszlk durumlarının ortadan kaldırılması amaçlanmaktadır. Belrszlk ne kadar az olursa, sstem de o kadar gerçeğe yakın br şeklde tanımlanmış olacaktır...3. Süperhücre ve Mkroskobk Averaj Teknğ Arayüzeyler, makul derecede küçük atom değerlernde ve problemdek ters uzay formülasyonuna uygunluğuna zn veren süper hücrelern peryodk tekrarı şeklnde çalışılmaktadır. Genel anlamda süper hücreler stekometr ve geometr bakımından eş değer olan düzensz etkler yüzünden elektrk alandan kaçınmak amacıyla k ara yüzey çermektedr. Eğer btşk ara yüzeyler brbrlern etklemeyecek şeklde yeter kadar ayrı olurlarsa bu zole edlmş arayüzey komfügrasyonu y temsl edlmş olacaktır. Aynı zamanda süperhücrelerde oluşan arayüzeylern öz-uyum hesapları bze elektronk yük yoğunluğu dağılımlı ve buna bağlı olarak ta elektrostatk potansyel bulmaktadır. Arayüzeyler geometrk olarak x,y düzlemlernde peryodk olduklarından, yalnızca z nn fonksyonu olacak br şeklde, 1 f ( z) = f ( x, y, z) dxdy (.67) S s formunda verlr ve buna fade düzlemsel averaj olarak blnr. Bu eştlkten üç boyutlu elektronk yük yoğunluğundan tek boyutlu yük yoğunlu n (z) ve buna bağlı olan

8 bağlı olarak V (z) elde etmek mümkündür. Arayüzeydek etk buradak peryodk fonksyonlar arasındak farkla lşkldr. Bunun gb br farklılık makroskobk averaj teknğ yardımı bulk yapıdak salınımdan kurtulunarak gelştrleblr ( Baron ve Resta, vd.1989, Balderesch ve Baron, vd. 1988 ). Bu makroskobk averaj klask elektromagnetzmanın temel br kavramıdır ( Jackson, 1975 ). Mcroskobk değer ( ) f mcro ( ) ( r) ve makroskobk averajda f macro ( r) gösterldğ düşünülürse bu k fade, f ( macro) ( r) dr, ( macro),, = w( r r ) f ( r ) (.68) olarak brbrne bağlı br şeklde yazılablr. Burada w (r) problemn geometrsne ve karakterstk uzunluk ölçüsüne bağlı özenle seçlmş fltre fonksyonudur. Bu uygulama k eş yapılı örgüsü uyuşan materyaller arasındak arayüzeyler çn w (r) nn materyallerden bağımsız br değer olduğu blnen açık br uygulamadır. Burada düzlem averaja uygun olarak hareket eden fltre fonksyon, 1 a w( z) = Θ z (.69) a şeklndedr. Buradak Θ tek boyutlu basamak fonksyonunu temsl eder ve 1 z = + a /,, f ( z) f ( z ) dz (.70) z a / a eştlğ le fade edlr. Makroskobk olarak averaj edlen sstemde ara yüzeyn her k tarafında mkroskobk salınım serglenmez ve bu karşı sabt br sürekl değer olarak yleştrlmş k hacm yapıda makroskobk br lmt olarak göründüğü blnmektedr. Bu makroskobk değerdek sapmalar arayüzey bölgesn gösterr ve keyf deal referans komfgürasyonlarından bahsetmekszn ara yüzey dpolü olarak adlandırılablr.

9..4. Potansyel Bant Kıyı Kaymaları Coulomb etkleşmnn uzun menzll karakter genel kötü tanımlanmış br sonsuz sstemn ortalama elektrostatk potansyeln <V> yapar (Baron ve Resta, vd. 1989, Baron ve Peres, vd. 1993). Buna bağlı olarak, potansyel bant kıyı kaymaları arayüzey üzernden k yarı-sonsuz katı arasında sadece bulk değerler arasındak fark olarak bast br şeklde hesaplanmamaktadır. Bunun yanında lke olarak arayüzeyn ayrıntılı yapısına bağlıdır. Bu durum arayüzeylerdek bant hzalanmasını zor kılar ve lke olarak arayüzey yük dağılımını ve ortak elektrostatk potansyel tam olarak hesaplamayı gerektrmektedr(peress ve Bnggel, vd. 1998). Buna göre k bulk bölgesnde elektrostatk potansyel makroskopk ortalamaları arasındak fark tam olarak elektrostatk potansyel bant kıyı kayması V olarak smlendrlr ve V = 4π e zρ ( z) dz (.71) şeklnde fade edlr. Burada ρ hacms bölgelerde sıfıra eşt olan dpol anındak toplam yük yoğunluğu olarak blnr. Denklem (.71) herhang br yüzey ve ara yüzey çn arayüzey dpol kavramını açık br şeklde tanımlamaktadır. Genellkle sınırlı br sstemdek ortalama potansyel, V ~ 4πe = lm ( ) lm ~ q 0 V q = q 0 ρ ( q) (.7) q şeklnde yük dağılımının ortalama dalga boyu lmtne bağlı olarak gösterlr. Burada ρ yük yoğunluğu, = ( r ρ ( r ) ρ R) (.73) R loc şeklnde yazılan kafestek yük dağılımını nötr olan ve dpol veya quadrapol term çermeyen br fadedr. Bu değer bölgesel atomsu dağılımlara ayrıştırılablen sstemler çn, denklem (.7) de br sınırı vardır ve bu durumda ortalama potansyel sınırsız krstallerde tanımlanablr br sürekllk durumun olur. Sert nötr yapılardan oluşan br krstal çn potansyel ne yarı sınırsız br örnek yüzeyn altına düşer, ne de br

30 arayüzeydek bant kıyı kaymaları yüzey veya arayüzey yapısının detaylarına bağlıdır. Böyle sstemler çn potansyel bant kıyı kaymaları bastçe, denklem (.7) den hesaplanan k sınırsız katının ortalama potansyeller arasındak farktır ve aynı zamanda bulk özellkler tarafından kontrol edlen bant kıyı kaymalarını karakterze eden geçşllk lşksn kanıtlamaktadır...5 Bant Ayarlaması ve Schottky Barrers Valans Bant Ayarlaması (Schottky Barrers) olarak blnen φ y teorye uygun p br şeklde cebrsel br fadeyle, φ = + V (.74) p E p şeklnde yazılmaktadır. Burada E bant yapı term olarak fade edlmştr. Tek p parçacık öz değerler ortak bulk krstalndek ortalama elektrostatk potansyelle lgl olarak ölçüldüğünde, bant yapısı term k materyaldek lgl valanstak bant uçları arasındak farktır. Bu durum metaln Ferm sevyes ve br metal-yarımetal kontağı çn yarı letken valans bant ucu olarak da blnmektedr. Bu term her krstal çn standart bulk bant yapısı hesaplamalarında elde edleblr. Fakat lke olarak ara yüzeyn yapısal ve kmyasal özellkleryle lgl olan elektrostatk potansyel bant kıyı kaymaları çn durum böyle değldr. Bu tanıma göre quaspartcle spectra üzerndek çok parçacık etks gb (Hybertsen ve Loue, 1986, Zhang ve Tom anek, vd. 1988, Zhu ve Loue, 1991), mkroskobk quantum etklernn hepsnn bant yapısı termn E de saklıdır. p Şunu vurgulamak gerekr k φ nn br potansyel bant kıyı kayması bölümü ve p tek br bant term değldr. V, elektronk ve yonk yük dağılımları tarafından üretlen uzun erm elektrostatk potansyeln bant kıyı kaymalarını kapsamalıdır. Potansyeln kısa erm bölgesel bleşenleryle lgl bütün mktarlar bulk mktarlarıdır ve steğe göre k termden brne dahl edleblr. Kısa sürel bölgesel potansyel bleşenleryle lgl bütün ncelkler, dğer br değşle değşm korelasyonu, pseudo

31 potansyeln br kısmı ve yonk noktasal yük arasındak farklar hacmsel ncelklerdr ve steğe bağlı olarak k termden brnde bulunablr. Süper hücre hesaplarında Bant Ayarı veya Schottky Barrers Bölgesel Durum Yoğunluğu (LDOS), N( ε, z) olarak adlandırılan fade, = ρ ( z) δ ( ε N( ε, z) ε (.75) k, n k, n k ) eştlğ le doğrudan değerlendrleblr. Burada ( ) yoğunluğu temsl eder ve elektronk dalga fonksyonuna bağlı olarak, ρ k, n r k, n ( r) ψ k. n ( r) ρ = (.76) şeklnde yazılır. LDOS, arayüzeylerden yan hetero-eklemlerden uzak olan her k taraftak LDOS, bant uçları arasındak farktan elde edlr. Buna rağmen, LDOS, potansyel bant kıyı kaymaları yük yoğunluğu sağlamak çn htyaç duyulanlarla karşılaştırıldığında, çok sayıda k noktalı süperhücre hesaplaması ve enerj kesnts gerekmektedr. Bunun yanında daha büyük süperhücre kullanılması gerekmektedr. Çünkü LDOS yük yoğunluğundan daha yavaş olan bulk özellkleryle boyutsal br brleşme sahptr...6 Örgüsü Uyuşan Yarımetal Arayüzeyler GaAs/AlAs bulk heteroyapılar örgüsü uyuşan heteroyapılar arasına grmektedr. Bu konuda çok öneml çalışmalar yapılmakta ve yapılmaya da devam edlmektedr. Br referans krstal Ga1 / Al1/ As seçldğn düşünelm. Bu durumda br elektronk yük yoğunluğu olan n c (r) ye bağlı olarak arayüzeyde oluşan potansyel fark, 8πe Ac 4πe V = = r n ( r) dr (.77) c Ω 3Ω

3 şeklnde yazılablr. Buradak potansyel fark k bağımsız süperhücrenn (r) olarak fade edlen öz-uyumlu hesaplamalar sonucu belrlenen yoğunluk yardımı le hesaplanmaktadır. Bu eştlk (001) yönünde çoğaltılmış br ssteme uygulandığında AlAs/GaAs arayüzey çn potansyel bant kıyı kaymaları, n c 4πe V = z n ( z) dz c a (.78) formunda yazılablr. Buradak a değer ardışık katyon düzeyler arasındak mesafedr. AlAs/GaAs (001) arayüzey çn yapılmış olan bu hesaplama tutarlı br hesaplama olan yne arayüzeylere uygulanan LDA-SCF hesaplamaları le doğrulanmaktadır.

33 BÖLÜM 3 SONUÇLAR VE TARTIŞMA Bu tez çalışmasında, AlAs ve GaAs yarı letkenler ele alınarak her br yarıletkenn brm hücreler seçlmştr. Bu brm hücreler art arda dzlerek AlAs/GaAs bulk heteroyapısı oluşturuldu. Bulk yapıyı oluşturan bu malzemelern seçlme neden bant yapıları ve elektronk özellkler, elektronk ve optk aletlern yapılması çn uygunluk göstermesdr. Bu çalışmada GaAs ve AlAs çn toplam enerj ve temel durum hesaplamalarında br sstem tanımlamak çn çok öneml br yere sahp olan k pont, E cut ve örgü sabtnn yakınsama hesapları yapıldı. Bu hesaplamalardan sonra sstemlern z yönündek optmzasyon hesabı ele alındı. Daha sonra toplam enerjnn mnmum durumunda elde edlen, y tanımlanan sstemlern sırasıyla potansyel eğrs hesaplamaları yapılmıştır. 3.1. AlAs Bulk Oluşturulması ve Yakınsaması Brm hücres yüzey merkezl kübk yapı şeklnde olan AlAs yarımetal madde olarak blnmektedr. AlAs yarıletkennn bulk yapıdak brm hücres Şekl 3.1 de gösterlmştr.