TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM Tüme varım. Kazaım : Tüme varım yötemii açılar ve uygulamalar yapar. Toplam ve Çarpım Sembolü. Kazaım : Toplam sembolüü ve çarpım sembolüü açılar, ullaışları ile ilgili özellileri açılar ve temel toplam formüllerii modelleyere işa eder.

TÜME VARIM ÖNERME Doğru ya da yalış, esi bir hüüm bildire ifadelere öerme deir. Öreği; Türiye i başeti Aara dır. ifadesi doğru bir öermedir. = 6 ifadesi yalış bir öermedir. ÖRNEK A = {,, } ve B = {x: x, x Z} ümeleri içi, A = {,, }, B = {,, } olduğuda A = B dir. Ayrıca s(a) = s(b) olduğuda A B dir. AÇIK ÖNERME İçide e az bir değişe bulua öermelere açı öerme deir. Açı öermeler, bu değişelere verile değerlere göre doğru ya da yalış bir yargı bildirir. Açı öermeyi doğru yapa değişeleri ümesie öermei doğrulu ümesi deir. SONLU ve SONSUZ KÜME Elema sayısı tespit edilebile ümeye solu üme deir. Elema sayısı tespit edilemeye ümeye sosuz elemalı üme deir. N + içi A = {,,,..., } ümesie de olabile veya elemaı olmaya her üme solu ümedir. Solu olmaya üme ise sosuz ümedir. ÖRNEK bir doğal sayı olma üzere, P() : 5. > açı öermesii doğrulu ümesi edir? A = { x: x < 6, x N } ümesi solu ümedir. B = { x: < x < 6, x Z } ümesi solu ümedir. C = { x: < x < 6, x R } ümesi sosuz ümedir. N + = {,,,... } ümesi sosuz ümedir. N 5 = { 5, 6, 7, 8,... } ümesi sosuz ümedir. SAYILABİLİR KÜME N + = {,,,...,,...} ümesii bir alt ümesie de ola ümelere sayılabilir üme deir. A = {,, 5,..., 007} sayılabilir solu üme, B = {,, 5,...,,...} sayılabilir sosuz ümedir. EŞİT KÜME, DENK KÜME Ayı elemalarda oluşa ii ümeye eşit ümeler deir ve A = B biçimide gösterilir. Elema sayıları eşit ola ümelere de ümeler deir ve A B biçimide gösterilir. TÜME VARIM YÖNTEMİ P() bir açı öerme ve a N öermeyi doğrulaya e üçü sayı olsu. a ve N olma üzere, i. P(a) ı doğruluğu gösterilir, ii. P() ı doğruluğu abul edilip, P( + ) i doğruluğu gösterilirse, P() açı öermesii doğruluğu ispatlamış olur. 66

Tüme Varım ETKİNLİK Tüme varım yötemii daha iyi avrayabilme içi sosuz domio doğrusu öreğii ele alalım. Domio taşlarıı, biri düşüce bir sorai de düşece şeilde ayarlayara, birici domio taşıı düşürmele ardı ardıa hepsii de basitçe düşürebiliriz. P() öermesii doğruluğuu ispatlama, domio taşlarıda biricisii düşürme gibidir. P() öermesii doğruluğuu abul edip P( + ) öermesii doğruluğuu gösterme, domio taşlarıda biri düşüce bir sorai de düşece şeilde ayarlamasıa bezer. ÖRNEK Her N + içi ( + ) P() : + + +... + = olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. Tüme varımda, P() doğru ise P() doğru olmalıdır, P() doğru ise P() doğru olmalıdır, P() doğru ise P(4) doğru olmalıdır,... şelide işlem devam eder. Böylece P() öermesii içi doğru olduğu ispatlamış olur. ÖRNEK 4 Her N + içi P() : + 4 + 6 +... + =.( + ) olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. 67

Tüme Varım ÖRNEK 5 Her N + içi P() : + + 5 +... + ( ) = olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ETKİNLİK Aşağıdai şeillerde are sayıları hesaplamıştır. İceleyiiz. ÖRNEK 6 + + + Her N + içi P() : + + +... + ( + ).( + ) = 6 olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. + + + 4 + + + 4 + 5 + + + 4 + 5 + 6 68

Tüme Varım ÖRNEK 7 Her N + içi P() : + + +... + = ( + ) ; E olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ÖRNEK 8 Her N + içi P() : + + + + =.. 4..( + ) + olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. 69

Tüme Varım ÖRNEK 9 Her N +, r içi P() : + r + r + r +... + r = r r olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ÖRNEK 4 ve N içi P() :! > olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ÖRNEK 0 Her N + içi P() :! +.! +.! +... +.! = ( + )! olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. 70

ÖRNEK Her N + içi P() :! olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ii. Tüme Varım = içi ifadesi ile tam bölüsü. Bu durumda, r Z olma üzere, =.r = + r dir. = + içi ( + ) ( + ) sayısıı ile tam bölüdüğüü gösterelim. ( + ) ( + ) = + + = +, ( = + r ) = + r + = ( + r), ( + r Z) buluur. O halde, ( + ) ( + ) ifadesi de ile tam bölüür. Bu durumda, P() öermesi doğrudur. ÖRNEK 4 Her N + içi P() : 7 sayısı 5 ile tam bölüür. öermesii doğruluğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ÖRNEK Her N + içi P() : sayısı ile tam bölüür. öermesii doğruluğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. 7

Tüme Varım ÖRNEK 5 i = olma üzere, her N + içi P() : (cosθ + i.siθ) = cosθ + i.siθ olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ÖRNEK 7 Beroulli Eşitsizliği deile, N + ve h > içi ( + h) +.h olduğuu ispatlayıız. ÖRNEK 6 ve N içi P() : > + olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. 7

ALIŞTIRMALAR. N + içi aşağıdai öermeleri doğruluğuu tüme varım yötemi ile ispat ediiz. ( + ).( + ) a..+.+.4+... +.(+) = 5. olma üzere, earlı bir oves çogei öşegelerii sayısıı olduğuu ( ) ispatlayıız. b. + + + =. 5. ( )( + ) + c. + + +... + =!! 4!!! d. + + 5 +... + ( ) = ( 4 ) 6. N + ve a, b R içi (a+b) = c m a + c m a. b + c m a. b + + c m 0 b teoremii (Biom teoremi) doğruluğuu tüme varım yötemiyle ispatlayıız. e. + 5 + 5 +... + 5 = 5 4. Aşağıdai öermeleri N + içi doğruluğuu gösteriiz. a. 4 > 7. 5 ve N içi > olduğuu ispatlayıız. b. 5 + 4. c. + + + + < 4 8 ( )! 4 8. > ve N içi > (!) + ispatlayıız. olduğuu d.!.4!.6!... ()! [( + )!] +. N + içi, 6 sayısı 5 ile tam bölüebilir. öermesii doğruluğuu ispatlayıız. 9. N içi + + 5 + ifadesii ile bölüebildiğii ispatlayıız. 4. olma üzere, earlı bir oves çogei iç açılarıı ölçülerii toplamıı ( ).80 olduğuu ispatlayıız. 0. N içi 4 + 5 ifadesii 9 ile bölüebildiğii ispatlayıız. 7

Toplam ve Çarpım Sembolleri TOPLAM SEMBOLÜ ( Σ ) f: Z R, f() = a ve r, (r, Z) olma üzere, f(r) = a r, f(r + ) = a r+, f(r + ) = a r+,..., f() = a terimlerii toplamıı a r + a r+ + a r+ +... + a = a r biçimide ifade edebiliriz. Burada ullaıla sembol, toplam sembolü ya da Yua alfabesii (sigma) sembolüdür. ÖRNEK 9 4 + 7 + 0 + +... + 00 ifadesii sembolü ile yazıız. a r ifadeside; r alt sıır, üst sıır ve değişedir. Bu ifade = r de ye adar a sayılarıı toplamı şelide ouur. ÖRNEK 0 ÖRNEK 8 Aşağıdai öreleri iceleyiiz. a + a 4 + a 5 +... + a 5 = 5 a + 5 + 0 + 7 + 6 +... + 66 ifadesii sembolü ile yazıız. + + +... + 5 = 5 0 + + +... + 5 = 5 0 + 4 + 9 +... + 69 = = 5+ 5+ 5+ + 5 = 5 44444444 tae =. +. +.4 +... + 50.5 =.( + ) 50 ÖRNEK + + 4... 9 + 0 ifadesii sembolü ile yazıız. = + ( ) + 0 + + + = 5 = 4 + 6 + 8 + 0 = 8 5 = 5 + 6 + 7 +... + 5 = 5 74

Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 5 ( + ) ifadesii değeri açtır? ÖRNEK 5 6 6 d ifadesii değeri açtır? r r= 0 ÖRNEK 6 ÖRNEK f(x) = x +, x =, x = 4 olduğua göre, ( x + ). f( x) ifadesii değeri açtır? i= i i + logc m= olduğua göre, açtır? = ÖRNEK 7 5 ifadesii eşiti açtır? = ÖRNEK 4 a = ( + 4) ise a 4 açtır? = m m + = 0 dır. ÖRNEK 8 5 ( + ) ifadesii eşiti açtır? = 4 75

Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 9 80 cos a ifadesii eşiti açtır? a = ÖRNEK 50 ifadesii eşiti açtır?! ÖRNEK 0 90 si r ifadesii eşiti açtır? = TOPLAM FORMÜLLERİ Tüme varımda ispatıı yaptığımız bazı öemli toplam formülleri aşağıda verilmiştir. Bu formülleri ezberleme bize, toplam sembolü ile ifade edile değeri olayca hesaplamamızı sağlayacatır. + + +... + = = ( + ) = ÖRNEK i = olma üzere, 50 + i d = ifadesii eşiti edir? + 4 + 6 +... + = ( ) = ( + ) = + + 5 +... + ( ) = ( ) = = + + +... + = = ( + )( + ) = 6 + + +... + = = ( + ) = ; E + r + r +... + r r = r =, (r ) r = + + + = =.. ( + ) ( + ) + = 76

Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK Aşağıdai öreleri iceleyiiz. 0 0 0.( 0 = ^h= 0.(0 + ) = 0. = 0 0 ( ) = 0 = 0 = 0.( 0 + ).(. 0 + = Toplam Sembolüü Kullaımı İle İlgili Özelliler ^a! b h = (a b ) + (a b ) +... + (a b ) = ^a! b h= a! b = = = = (a + a +... + a ) (b + b +... + b ) = a! b = = 0 = 0.( = ; ÖRNEK 5 8 ^ h ifadesii soucu açtır? = 0 = = 0 0 = ( + ) 5 5 5 5.( + r+ i = = r = i = c =. c dir. = ÖRNEK 4 0 + + +... + 0 toplamıı değeri açtır? c = c+ c+ + c =. c = 4444 4 tae ÖRNEK 6 0 5 ifadesii soucu açtır? 77

Toplam ve Çarpım Sembolleri ca. = c. a dir. = = a = a = a dir. p r + r + r r p r p+ r ca. = c.a + c.a + c.a +... + c.a = 0 ÖRNEK 7 = c.(a + a + a +... + a ) = c. a = ( 5.) i ifadesii soucu açtır? i= r a + r p r = = a p r+r + a p r++r +... + a r+r + r a r p+ r = a p + a p+ +... + a = a p = a p+r r + a p+r+ r +... + a +r r ÖRNEK 9 0 = a p + a p+ +... + a = a ( ) ifadesii soucu açtır? 4 p a + a = a dir. = p p a + a = a + a +...+ a p + a p+ + a p+ +... + a = p+ = p+ = a + a +... + a = a = ÖRNEK 8 0 5 + ifadesii soucu açtır? = 0 ÖRNEK 40 8 ^ + h ifadesii soucu açtır? 78

Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 4 ^+ + h ifadesii soucu açtır? = = 0 ÖRNEK 4 5 ifadesii soucu açtır? = ÖRNEK 4 0 [ ^+ h^ h] ifadesii soucu açtır? = ÖRNEK 44 f ( ) = ^i+ h ve g ( ) = i ise i = (fog)() ü değeri açtır? i = 79

Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 45 5 = ifadesii soucu açtır? ÖRNEK 47 6 m m= = ifadesii soucu açtır? ÖRNEK 48 ÖRNEK 46 0 5+ 6 ifadesii soucu açtır? = 4 0 ^+ h = A ise = B =. +.4 + 4.5 +... +. toplamıı A türüde değeri edir? 80

ALIŞTIRMALAR. Aşağıdai toplamları Σ sembolü ile ifade ediiz. a. 5 + 0 + 7 + 6 +... + 45 0 g. ^ + + h = b. 8 5... + 4 + 7 0 h. ^a + h a= 0 4 7 c. + + + + 5 7 0 i. ^ + h = d. + + 4... 9 + 0 j. ^5+ 4h = e... +..4 +.4.5 +... + 50.5.5. Aşağıdai toplamları soucuu buluuz. f.. +.7 +. +... + 4.55 + 5.59 4 a. ^r + h r =. Aşağıdai toplamları soucuu buluuz. 8 a. ^ h 8 b. 8 5 5 b. ^m h m= = a a= b = c. b 0 c. = 4 d. ^z+ y+ xh x= y = z = d. i i = 5 e. r r= 0 5 f. ^+ h = = 4. a = + ise a 5 + a 6 açtır? 5. f(x) = x ve g(x) = x ise ^gofh^xh ifadesii değeri açtır? 4 x= 8

Toplam ve Çarpım Sembolleri 6. ( + ) ifadesi eye eşittir? = 0. ^ + 5h ifadesi eye eşittir? 7. ifadesi eye eşittir? = + 5 r. ^ h. ^r h ifadesi eye eşittir? r = 0 + 8. logc m ifadesi eye eşittir? =. a = + + +... + 4 ifadesi aça eşittir? ise a 9. [ f ^ + h f ^ h] ifadesi eye eşittir? = 4. S =! ise S + S + S 4 açtır? = 0. ifadesi eye eşittir? 4 = 5. 5 = 40 ise açtır? = 0 8

Toplam ve Çarpım Sembolleri ÇARPIM SEMBOLÜ ( ) f: Z R, f() = a ve r, (r, Z) olma üzere, f(r) = a r, f(r+) = a r+, f(r+) = a r+,..., f() = a terimlerii çarpımıı a r.a r+.a r+.....a = a r biçimide ifade edebiliriz. Burada ullaıla sembol, çarpım sembolü ya da Yua alfabesii pi (π) harfii içere sembolüdür. a r ifadeside; r alt sıır, üst sıır ve değişedir. Bu ifade = r de ye adar a sayılarıı çarpımı şelide ouur. ÖRNEK 50.8.5.4...0 ifadesii sembolü ullaara yazıız. ÖRNEK 49 ÖRNEK 5 Aşağıdai öreleri iceleyiiz. a 4.a 5.a 6...a 6 = 6 a 4 0...4...0 = 98 c + m ifadesii değeri açtır? + 4 6.7.8.9...4 = 6 5.4.6.8...50 = ^h.4.9.6...69 = = 666.. 6= 6 4444 tae = 5.5.5...5 = 5 = ÖRNEK 5 55 log + h ifadesii değeri açtır? ^ 0 = 4 4 0 + = ( ).( ).0...4 = 0 5 a= aaaaa.... = a = 5 8

Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 5 0 ^ + 6h ifadesii değeri açtır? = ÖRNEK 56 x 6x 4 = 0 delemii öleri x ve x olma üzere x ifadesii eşiti açtır? ÖRNEK 54 0 ^ 9h ifadesii değeri açtır? = ÖRNEK 57 x + x x = 0 delemii öleri x, x ve x olma üzere, x + x ifadesii eşiti açtır? = ÖRNEK 55 89 ta a ifadesii değeri açtır? a = ÖRNEK 58 = 4 c m ise açtır? = 4 84

Toplam ve Çarpım Sembolleri Çarpım Sembolüü Özellileri c = c dir. = ÖRNEK 6 5 ^h ifadesii soucu açtır? c= ccc.. c= c = 44 tae ÖRNEK 59 6 ifadesii soucu açtır? r = r dir. = r = ( + ) = r.r.r...r = r +++...+ = r ( + ) ÖRNEK 6 =! dir. = = =.. =! 6 ifadesii soucu açtır? ÖRNEK 60 0 ifadesii soucu açtır? ^a. b h = a. b dir. = ^a. bh = a.b.a.b...a.b = = a.a...a.b.b...b = = = a. = = b ^ca. h= c. a dir. = ^ca. h = c.a.c.a.c.a...c.a = = = c.a.a.a...a = c. a = ÖRNEK 6 5 ^.h ifadesii soucu açtır? 85

Toplam ve Çarpım Sembolleri a = a^ ph= a^ m m+ p + p a^ p h m+ p + p p dir. m p = a (m+p p).a (m+p+ p)...a (+p p) = a m.a m+...a = a m + ph ÖRNEK 66 5 ^p. h ifadesii soucu açtır? p = p a^ + p h m p = a (m p+p).a (m p++p)...a ( p+p) = a m.a m+...a = a m ÖRNEK 64 7 ^r+ h ifadesii soucu açtır? r= ÖRNEK 67 c m ifadesii soucu açtır? r r = ÖRNEK 65 0 5 ifadesii soucu açtır? 5 ÖRNEK 68 f a p = d a dir. = m p p = p = = m f a p = ^a. a a m p = p = = p m h ^m+ + h ifadesii soucu açtır? m= = = (a.a...a m ).(a.a...a m )...(a.a...a m ) m m m = a. a a p p p p = p = p = m = ^a. a a h = d a p p = p p p m m p = = 86

Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 69 ^m+ + h ifadesii soucu açtır? = m = 5 ÖRNEK 7 d ifadesii soucu edir? i= r = ÖRNEK 7 c + + = m 00 ise açtır? = m m p = p = p = = a a dir. p 0 ÖRNEK 70 ^r + rh ifadesii soucu açtır? r = ÖRNEK 74 log 4 ifadesii eşiti edir? = 5 ÖRNEK 7 d ifadesii soucu edir? i= r = 87

Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 75 a = x ve log^a h= ise x açtır? r = r r = r ÖRNEK 78 0 5 ^r. 4. h ifadesii eşiti açtır? r = ÖRNEK 76 = 0 ise açtır? = ÖRNEK 79 f, g : N + N +, f(x) = ve g(x) = x = ise (gof)(5) aça eşittir? x = ÖRNEK 80 x 6x + = 0 delemii öleri x ve x olma üzere, x. xm ifadesii soucu açtır? m= ÖRNEK 77 4 5 log 4 ifadesii eşiti açtır? 88

ALIŞTIRMALAR. Aşağıdai çarpımları sembolü ile ifade ediiz. a. 5.7.9...8. Aşağıdai ifadeleri soucuu buluuz. 4 a. ^. h = b. 4.6.8...80 c. 7.0..6...79 b. = c m = d..( 5).7.( 9)...( 4).4 4 5 c. = e. 9. 9. 9...9 9 f...... 9 4 x d. 0 =. Aşağıdai çarpımları soucuu buluuz. a. 5 c m f. 0 = 4 5 e. = b. 0 c m g. ^h t= 0 = f. 8 6 p= = 0 c. h. 0 d. t i. [. ^ + h] t= 8 5 x g. p= = 6 e. ^ h j. ( + 0) = 5 = 0 0 h. = 89

Toplam ve Çarpım Sembolleri 4. = a b = = = a b olduğuu gösteriiz. 0. + + ifadesii eşiti edir? = 80 5. cos a ifadesii değeri edir? a = 0 89. cot a ifadesii değeri edir? a = 0 0 6. ifadesii değeri edir? =. 0 9 ifadesii soucu açtır? 4 = 4 7. f: N + R, f(x) = olduğua göre, (fof)() aça eşittir? x = 0. P(x) = ^x h poliomuu sabit terimi açtır? = 50 8. ^ h ifadesii eşiti açtır? = 0 4. > olma üzere, log + h ifadesii değeri edir? m ^ 5 9. log + + + h ifadesii eşiti edir? = ^ 5. log = x ve log = y olduğua göre, log + h ifadesii x ve y türüde ^ değeri edir? 90

TEST Toplam Sembolü. ^ h ifadesii soucu açtır? A) 4 B) 0 C) D) 40 E) 5 5. ifadesii eşiti açtır? = A) 5 B) 8 C) 7 D) 9 E) 0 6. ^ h ifadesi aça eşittir? A) 56 B) 60 C) 64 D) 70 E) 78 6. ^ h. ^+ h ifadesi aça eşittir? = A) B) 7 C) D) 7 E) 0. ifadesii eşiti aşağıdailerde hagisidir? A) + B) C) D) E) 7. 80 [ log log ( + )] ifadesii eşiti edir? A) B) C) D) 4 E) 5 5 4. ^5+ h 5 ifadesii eşiti açtır? = 5 = A) 0 B) 0 C) D) 45 E) 46 8. i = olma üzere, 9 i ifadesii soucu edir? A) B) 0 C) i D) i E) 95

Toplam ve Çarpım Sembolleri 9 9. ^ + h ifadesii eşiti açtır? A) 50 B) 44 C) 6 D) 0 E) 4. + + + + x = 0. = = = = olduğua göre, x açtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 0. ^r + 8 +, 6h ifadesii eşiti açtır? r = 6 A) 048 B) 064 C) 408 D) 44 E) 4408 4. ax + bx + c = 0 delemii öleri x ve x dir. Bua göre, x x ifadesii eşiti edir? = A) a b B) b c C) a a D) c E) 0 a x. ^x+ h= 48 ise x açtır? = A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 90 5. cos a ifadesii eşiti açtır? a = A) 0 B) 44 C) 89 D) 45 E) 9 5 5. i ifadesii eşiti açtır? i= j = A) 80 B) 9 C) 94 D) 00 E) 05 x 6. f.() = x olduğua göre, f(0) açtır? = A) B) 9 0 C) D) 0 E) 0.B.D.E 4.C 5.A 6.B 7.D 8.E 9.A 0.C.D.E.A 4.B 5.C 6.B 96

TEST Çarpım Sembolü 0. ifadesii soucu edir? A) 0! B) 0! D) 0 E) 5! C) 0 8 5 5. cos a ifadesii soucu edir? a = A) B) C) 0 D) E) 8. ^ h ifadesii soucu edir? = 4 7 6. log h ifadesii soucu edir? 4 ^ A) B) C) D) E) 4 A) 0 B)! C) (!) D)! E) (!) 5. ifadesii soucu edir? 8 7. ifadesii soucu edir? = A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 A) B) 6 C) 0 D) E) 5 4. 5 c m ifadesii soucu edir? 4 A) B) C) D) E) 6 5 4 5 8. log + h ifadesii soucu edir? = ^ A) 5 B) 4 C) D) E) 99

Toplam ve Çarpım Sembolleri 9. 90 cos^a h ifadesii soucu edir? si a a =. x c + m= 7 olduğua göre, x açtır? = A) 0 B) 45 C) D) E) 45 A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 7 0. x + 4x + = 0 delemii öleri x ve x ise ^x h çarpımıı soucu edir? i= i A) 0 B) C) D) E) 4. 0 = 0 4 = 7 ifadesii eşiti edir? A) 0 B) 4 C) 8 D) E) 6. ^ih ifadesii soucu edir? i= = A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 0 5. ^ + h ifadesii soucu aşağıdailerde = hagisidir? A).0! B) (0!) C) (0!). D) 0!. E) (0!). x. 4 log 4 ifadesii soucu aşağıdailerde = hagisidir? A) x B) x C) 4x D) 6x E) 6! 0 0 = 6. ifadesii eşiti aşağıdailerde hagisidir? A) (0!) 55 B) (0!) 0! C) (0!) 0 D) 0 55 E) 0 0.A.A.D 4.B 5.C 6.D 7.E 8.B 9.C 0.E.D.C.B 4.C 5.E 6.A 00

TEST 6. = = ^ + h log ^ + h = olduğua göre, açtır? A) B) 5 C) 7 D) 9 E) 4 0 5. ^+ + h ifadesii soucu açtır? = 0 A) 0 B) 85 C) 770 D) 540 E) 0 t. + x = t ^ h olduğua göre, x 5 açtır? = A) 4 B) 9 C) 4 D) 6 E) 5 6. 5 te üçü çift doğal sayıları areleri toplamı açtır? A) 800 B) 400 C) 600 D) 700 E) 00. Şeilde grafiği verile y = f(x) parabolüe göre, f ( ) ifadesii değeri açtır? 7. ^ h. ifadesii soucu açtır? 0 A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 A) 5 B) C) 0 D) E) 5 4. 0 c m ifadesii soucu açtır? = A) 00 B) 0 C) 40 D) 50 E) 70 5 8. x = 0 olduğua göre, = 4 9 + 4 ^+ h ifadesii eşiti açtır? 0 x A) 5 B) 0 C) 45 D) 65 E) 75 05

Toplam ve Çarpım Sembolleri 0 5 = 9. [( ). ] ifadesii soucu aşağıdailerde hagisidir? A) 0.5! B) 5.5! C) 0 D) 5.5! E) 0.5!. f, g: N + R, f(x) = ve g(x) = ^.h x = x = ise (gof)() açtır? A) 0 B) 0 C) 0 D) 40 E) 50 88 98 0. ^ h ifadesii soucu açtır? x= y = A) 98 B) 88 C) D) E) 88 4. x 4x + x + 6 = 0 delemii öleri x, x, x olma üzere, x + x ifadesii soucu açtır? i i= j = j A) 6 B) 4 C) D) E) 4 5 =. ^ + 5+ 6h ifadesii soucu aşağıdailerde hagisidir? A) (6!) B) (6!).7 C) (7!) D) (7!).8 E) (8!) 6 4 ifadesii değeri açtır? 5. > ^ xhh m= = 4 A) 9 B) 8 C) 6 D) 8 E) 0 5 m. = log 5 5 d G ifadesii soucu m = = açtır? A) B) 5 C) 6 D) 8 E) 0 6. 5 a c + m ifadesii değeri açtır? b a= b = A) 70 B) 480 C) 60 D) 40 E) 0.C.A.E 4.B 5.D 6.C 7.B 8.D 9.C 0.B.D.E.B 4.C 5.E 6.A 06

TEST 7 0 0. f ^ h= a, f ^ h= b, f ^ h= c 0 = = 0 ise f(0) u a, b ve c ciside değeri aşağıdailerde hagisidir? A) a b + c B) a b c C) b + c a D) a + b c E) a + b + c 5. f(x) = x olma üzere, 6 [f(x ) f (x)] ifadesii eşiti aşağıdailerde x= hagisidir? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 0. ^ h^ h ifadesii eşiti aşağıdailerde hagisidir? 6. 7 + ifadesii eşiti aşağıdailerde = hagisidir? A) 94 B) 95 C) 96 D) 97 E) 98 A) 6 5 B) 7 6 C) 8 7 D) 9 8 E) 0 9. 6 + + ifadesii eşiti aşağıdailerde = hagisidir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 00 7. ^ h= 0x eşitliğii sağlaya x = açtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4. 4 ^ + h! ifadesii eşiti aşağıdailerde hagisidir? A) B) 4 C) 44 45 D) 78 79 E) 9 0 8. = + 0 ise açtır? = = A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 07

Toplam ve Çarpım Sembolleri 9. 4 d ifadesii eşiti açtır? 0 05 0 0 99 97 A) B) C) D) E) 8 8 8 8 8. ^ h= x ise ^ + h ifadesii x 9 ciside değeri aşağıdailerde hagisidir? A) x B) x C) x D) x E) x 0 4 6 8 0. 0 c + m ifadesii eşiti aşağıdailerde ha- gisidir? 4. 6 c + + m ifadesii eşiti aşağıdailerde = hagisidir? A) 5 B) 6 C) 49 D) 64 E) 8 A) 44 B) 50 C) 55 D) 60 E) 66. f(x) = x ise = f( 8) açtır? f( 7) A) B) C) 4 D) 6 E) 9 5. 5 ifadesii eşiti aşağıdailerde hagisidir? A) 5. B) 5. C) 5. 0 D) 5. 9 E) 5. 8. = 49 eşitliğii sağlaya açtır? = A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 eşitliğii sağlaya x 6. = x!. ^x+ h! = açtır? A) B) C) D) 4 E) 5.C.C.B 4.E 5.B 6.A 7.C 8.D 9.A 0.E.C.D.A 4.C 5.A 6.C 08

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 ÖYS ^y + h= + ve ^x ahy = 0, (α R) i = i xy i değeri aşağıdailer- olduğua göre, de hagisidir? a A) i = i i = i i B) α C) α i 5. 986 ÖYS de ye adar ola tae doğal sayıı areleri toplamı, T = + +... + dir. Bu tae sayıda herbiri adar artırıldığıda, T e adar artar? A) ( + ) B) ( ) C) ( + ) D) E) D) α E) ( )α. 98 ÖYS f ve g, N N aşağıdai biçimde taımlı ii fosiyodur. f: x x, g: x = x = verildiğie göre (fog)() i değeri edir? 6. 989 ÖYS 0 ^+ ah= 70 olduğua göre, a açtır? = A) B) C) D) E) 5 6 7 8 9 A) B) C) 4 D) 5 E) 6. 98 ÖYS f(x) = x +, x =, x = 4 olduğua göre ^x hf^xh toplamı açtır? i= i i A) B) 0 C) D) E) 5 7. 990 ÖYS 4 ^4s + h ifadesii değeri açtır? s = A) B) 8 C) 0 D) 6 E) 4 4. 986 ÖYS 4 = m = m > ^ 6hH toplamıı sayısal değeri açtır? A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) 0 8. 994 ÖYS 0 8 ^m h ifadesii değeri açtır? = m = A) 76 B) 6 C) 0 D) 6 E) 76 09

Toplam ve Çarpım Sembolleri 9. 996 ÖYS 0 ile 5 arasıda bulua ve 5 ile alasız bölüebile sayıları toplamı açtır? A) 9875 B) 000 C) 050 D) 50 E) 75. 0 LYS Karmaşı sayılar ümesi üzeride f fosiyou f(z) = 0 z 0 biçimide veriliyor. Bua göre, f(i) değeri edir? A) + i B) i C) i D) i E) 0. 007 ÖSS içi a a 99 = = ^ + h olduğua göre aşağıdailerde hagisidir? 4. 0 LYS 7 = ( + ) sayısı 0 m ile tam bö lü e bil di ği e gö re, m i ala bi le ce ği e büyü tam sayı değeri açtır? A) 50 49 B) 49 50 C) 98 99 A) B) C) 4 D) 5 E) 6 D) 00 99 E) 99 00. 008 ÖSS pozitif tam sayı olduğua göre, 8! + ^+ h!. ^+ h 0 toplamı aşağıdailerde hagisie eşittir? 5. 0 LYS 9 + f p = 4 = işlemii soucu açtır? A) 45 B) 48 C) 50 D) 5 E) 54 A) ( + 7)! B) ( + 8)! C) ( + 9)! D) ( + 8)! E) ( + 0)!. 00 LYS 00 = 0 toplamıı 5 ile bölümüde ala açtır? A) 0 B) C) D) E) 4 0

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT DİZİLER Diziler. Kazaım : Dizi, solu dizi ve sabit diziyi açılar, dizileri eşitliğii ifade eder ve verile bir dizii grafiğii çizer.. Kazaım : Verile (a ), (b ) gerçe sayı dizileri ve c R içi (a ) + (b ), (a ) (b ), c. (a ), (a ).(b ) ve N + içi b 0 olma üzere (a ) : (b ) dizilerii bulur.. Kazaım : Arta, azala, azalmaya ve artmaya dizileri açılar. Aritmeti ve Geometri Diziler. Kazaım : Aritmeti diziyi açılar, özellilerii gösterir ve aritmeti dizii il terimii toplamıı bulur.. Kazaım : Geometri diziyi açılar, özellilerii gösterir ve geometri dizii il terimii toplamıı bulur.

DİZİLER DİZİLER Taım ümesi sayma sayıları ola her fosiyoa dizi deir. f: N + R taımlı bir fosiyo f() = a ile gösterilir. Burada a ye (a ) dizisii. terimi ya da geel terimi deir. (a ) = (a, a, a,..., a,...) yazılışıda dizii; birici terimi: f() = a, iici terimi: f() = a, üçücü terimi: f() = a,,. terimi: f() = a dir. Diziler değer ümelerie göre adladırılır. Öreği; f: N + R, f() = a reel sayı dizisi, f: N + N +, f() = a sayma sayı dizisidir. Asi belirtilmediçe dizi sözüde reel (gerçel) sayı dizisi alaşılır. Diziler geel terimleri ile belirleir. Geel terimi verilmede yazıla sayı grupları dizi belirtmez. (a ) yazılışı a dizisii ifade edere, a yazılışı dizii geel terimii ifade etmetedir. Öreği; f() = dizisi (a ) = ( ) şelide yazılabildiği gibi, (a ) = (,, 5,...,,...) şelide de açı olara yazılabilir. Bu dizii geel terimi a = şelide yazılır. Burada, dizi yazare paratez ullaıldığıa, geel terim yazare ise paratez ullaılmadığıa diat ediiz. ^a h ÖRNEK = c m ifadesi bir dizi belirtir mi? Eğer bir dizi belirtiyorsa, il dört terimii yazara grafiğii çiziiz. ^a h ÖRNEK = c m ifadesi bir dizi belirtir mi? Eğer bir dizi belirtiyorsa grafiğii çiziiz. 4

Diziler ÖRNEK Aşağıdai bağıtılarda hagileri bir reel sayı dizisii geel terimi olabilir? a. a = 5+ b. b = + + ÖRNEK 4 Geel terimi a ola dizii il üç terimii toplamı açtır? + ^ h = c. c = + d. d = e. e = + 5 f. f = cot g. g = cos h. h = log( ) ÖRNEK 5 Geel terimi a = *, 0 ^mod h, ^mod h ola (a ) diziside, a + a 4 + a 5 açtır? ÖRNEK 6 Geel terimi a +, te ise = *, çift ise ola (a ) dizisi içi, a 4 + a 5 + a 6 toplamı açtır? 5

Diziler ÖRNEK 7 Bir (a ) diziside N + içi, a + = a + ve a = 6 ise a 0 açtır? ÖRNEK 0 Bir (a ) diziside, a = 5 ve a + = 4 + a olduğua göre, bu dizii geel terimi edir? ÖRNEK 8 Bir (a ) diziside N + içi, a + = a + ve a = ise a 5 açtır? ÖRNEK Geel terimi a terimi açtır? = c m ola dizii altıcı = ÖRNEK 9 Geel terimi a = log + ( + ) ola dizii il 78 terimii çarpımı açtır? ÖRNEK Geel terimi a = ola dizi içi a 0 açtır? = 6

Diziler ÖRNEK ^a h = c m dizisii açıcı terimi tir? + 5 ÖRNEK 6 ^a h = c m dizisii aç terimi te üçütür? 4 ÖRNEK 4 ^a h = c m dizisii aç terimi egatiftir? ÖRNEK 7 ^ah = d + + 9 dizisii aç terimi tam sayıdır? ÖRNEK 8 ÖRNEK 5 ^a h = + 4 c m dizisii aç terimi pozitiftir? 9 4 Geel terimi a = ola dizii aç terimi tam + sayıdır? 7

Diziler ÖRNEK 9 ola dizii aç teri- + 8 Geel terimi a = + mi tam sayıdır? ÖRNEK 0 ^a h = c m dizisii aç terimi (, ) aralığıdadır? + 4 Fiboacci Dizisi...,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89, 44,... Bir terim edide öcei ii terimi toplamıa eşittir. Öreği; + =, + = 5, + 5 = 8, 5 + 8 =, 8 + =, + = 4,... gibi. Bu dizii ileri elemalarıda, bir sorai elemaı bir öceie oraı altı ora adı verile ve yalaşı,68 değerie eşit bir sayıyı verir. Altı oraa uygu ölçülerdei eseler ve calılar daha esteti ve daha güzel görüür. 5 8 Fiboacci dizisii görüdüğü ve ullaıldığı bazı yerler:. Ayçiçeği: Ayçiçeğii merezide dışarıya doğru sağda sola ve solda sağa doğru taeler sayıldığıda çıa sayılar Fiboacci dizisii ardışı terimleridir.. Papatya Çiçeği: Papatya çiçeğide de ayçiçeğide olduğu gibi bir Fiboacci dizisi mevcuttur.. Çam Kozalağı: Çam ozalağıdai taeler ozalağı altıdai sabit bir otada ozalağı tepesidei başa bir sabit otaya doğru spiraller (eğriler) oluşturara çıarlar. İşte bu taeler solda sağa ve sağda sola sayıldığıda çıa sayılar, Fiboacci dizisii ardışı terimleridir. 4. Tütü Bitisi: Tütü bitisii yapralarıı dizilişide bir Fiboacci dizisi söz ousudur; yai yapraları dizilimide bu dizi mevcuttur. Buda dolayı tütü bitisi Güeş te e iyi şeilde güeş ışığı ve havada e iyi şeilde arbodiosit alara fotosetezi müemmel bir şeilde gerçeleştirir. 5. Ömer Hayyam veya Pascal veya Biom Üçgei: Ömer Hayyam üçgeidei tüm atsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alıdığıda Fiboacci dizisi ortaya çıar. 6 5 0 5 6 4 6 4 5 0 0 5 5 8 8

Diziler ÖRNEK (a ) = ( + 9 4) dizisii e büyü terimi açtır? ÖRNEK (a ) = ( + 4 + ) dizisii aç terimi pozitiftir? SONLU DİZİ ÖRNEK (a ) = ( 4 5) dizisii e üçü terimi açtır? Z + ve A = {,,,..., } Z + olma üzere, taım ümesi A ola her fosiyoa solu dizi deir. Öreği; A 6 = {,,, 4, 5, 6} olma üzere, A : A 6 R, (a ) = () dizisi soludur. Üsteli, (a ) = (, 4, 6, 8, 0, ) olup (a ) dizisii 6 terimi vardır. Solu dizi olduğu belirtilmediği sürece her dizii sosuz dizi olduğu alaşılır. ÖRNEK 4 + ^a h = c m ifadesii bir solu dizi belirtebilmesi 8 içi terim sayısı e ço aç olabilir? 9

Diziler SABİT DİZİ Bütü terimleri birbirie eşit ola dizilere sabit dizi deir. (a ) bir sabit dizi ise, a = a = a =... = a = c, (c R) dir. Öreği; (a ) = (5) dizisi bir sabit dizidir. Çüü (a ) = (5, 5, 5,..., 5,...) olup dizii bütü elemaları 5 e eşittir. ÖRNEK 5 (a ) = (( ) ) dizisi sabit dizi midir? DİZİLERİN EŞİTLİĞİ N + içi a = b oluyorsa, (a ) ve (b ) dizilerie eşit diziler deir ve (a ) = (b ) şelide gösterilir. ÖRNEK 8 (a ) = (cos(π)) ve (b ) = (( ) ) olma üzere, (a ) = (b ) olduğuu gösteriiz. ÖRNEK 6 (a ) = (cos(π)) dizisi sabit dizi midir? ÖRNEK 9, 0 (mod ) (a ) = (( ) + ) ve (b ) = {, (mod ) dizileri eşit midir? ÖRNEK 7 ^a h = + c m ifadesi bir sabit dizi olduğua göre, + açtır? : I. Yol ÖRNEK 0 Geel terimi a = x + y + z ve b = = ola dizilerde (a ) = (b ) ise x.y.z açtır? ^ h 0

Diziler DİZİLERDE İŞLEMLER (a ) ve (b ) herhagi ii dizi ve c R olma üzere, (a ) + (b ) = (a + b ) (a ) (b ) = (a b ) (a ).(b ) = (a.b ) ^ah a = c m, ^b 0h ^b h b ÖRNEK Geel terimi a +, te, te = * ve b = *, çift +, çift ola diziler içi aşağıdai işlemleri iceleyiiz. c.(a ) = (c.a ) şelide dizileri geel terimleri arasıda yapıla dört işleme, dizilerde dört işlem deir. ÖRNEK (a ) = ( ) ve ^b h = c m olma üzere, aşağıda yapıla işlemleri iceleyiiz. ÖRNEK 4 Z,, < 5 ] ^ah= * ve ^bh= [, < < 5 +, 5 ] \ +, 5 içi (a + b ) dizisii buluuz. ÖRNEK 4 (a ) = c m ve (b + ) = c m dizileri içi 5 (a.b ) dizisii üçücü terimi açtır?

Diziler MONOTON DİZİLER Bir (a ) diziside her terim bir soraide hep üçü alıyorsa, bu dizilere mooto arta dizi deir. (a ) mooto arta dizi ise, a < a < a <... < a < a + <... olur. ÖRNEK 7 (a ) = ( 4) dizisii mootoluğuu iceleyiiz. Bir (a ) diziside her terim bir soraide hep büyü alıyorsa, bu dizilere mooto azala dizi deir. (a ) mooto azala dizi ise, a > a > a >... > a > a + >... olur. Mooto arta ya da mooto azala dizilere, mooto diziler deir. ÖRNEK 5 (a ) = ( + ) dizisii mootoluğuu iceleyiiz. (a ) bir dizi olsu. N + içi, a + > a (a ) mooto artadır. a + < a (a ) mooto azaladır. ÖRNEK 6 (a ) = ( ) dizisii mootoluğuu iceleyiiz. a + a (a ) mooto azalmayadır. a + a (a ) mooto artmayadır. a + = a (a ) sabit dizidir. Bir (a ) dizisii mootoluğuu icelere a + a farıı işaretie baılır. a + a > 0 a + > a olup mooto artadır. a + a < 0 a + < a olup mooto azaladır.

Diziler ÖRNEK 8 (a ) = ( + ) dizisii mootoluğuu iceleyiiz. ÖRNEK 40 ^a h = + c m dizisii mootoluğuu iceleyiiz. + ÖRNEK 9 (a ) = ( + ) dizisii mootoluğuu iceleyiiz. ^a h = a. + b c m şelidei dizilerde mootolu c. + d durumu aşağıdai gibi de iceleebilir. d Paydaı öü; < ise dizi mootodur. c a.d b.c > 0 ise, dizi mooto artadır. a.d b.c < 0 ise, dizi mooto azaladır. a.d b.c = 0 ise, dizi sabit dizidir. Paydaı öü; değildir. d > ise dizi mooto c ÖRNEK 4 ^a h = + c m dizisii mootoluğuu iceleyiiz.

Diziler ÖRNEK 4 ^a h = c m dizisii mootoluğuu iceleyiiz. + ÖRNEK 45 + b ^a h = c m dizisii sabit bir dizi olması içi b + 4 e olmalıdır? ALT DİZİ Bir (a ) dizisi verildiğide, ( ) mooto arta bir ÖRNEK 4 ^a h = + c m dizisii mootoluğuu iceleyiiz. 5 sayma sayı dizisi olma üzere elde edile (a ) dizisie (a ) dizisii bir alt dizisi deir ve (a ) (a ) şelide gösterilir. Burada ( ) mooto arta bir dizi ve N + içi N + olmalıdır. ÖRNEK 46 Aşağıda (a ) = () dizisii bazı alt dizileri yazılmıştır. İceleyiiz. ÖRNEK 44 ^b h = a. + c m dizisii mooto azala olması içi + 4 a ı alabileceği e büyü tam sayı değeri açtır? 4

Diziler ÖRNEK 47 4 + ^b h = c m dizisii ^a h + = bir alt dizisi olduğuu gösteriiz. c m dizisii + ^a ÖRNEK 50 h = açtır? + c m ise (a + + ) dizisii. terimi ÖRNEK 5 N + da taımlı ve geel terimi; a =.(!) ola bir dizide, a +, a i aç atıdır? ^a ÖRNEK 48 + h = + c m olduğua göre (a + ) dizisii buluuz. ÖRNEK 49 ( ) (a ) = c m dizisi veriliyor. (a + 5 + ) alt dizisii. terimi açtır? ÖRNEK 5 Z +, ( mod ) ] Geel terimi, a = [ + ola ], 0 ( mod ) \ (a ) dizisii (a ) ve (a + ) alt dizilerii buluuz. 5

ALIŞTIRMALAR. Aşağıdai ifadelerde hagileri bir dizii geel terimi olabilir? + 4. (a ) = c m dizisii açıcı terimi tür? 4 + a. + b. c. + 5 d. 9 e. 6 f. ta(π) 5. Geel terimi a = ola dizii açıcı terimi tür? + 4 + 4 g. cot r h. log( v). Aşağıda geel terimleri verile dizileri il üç terimlerii grafiğii oordiat düzlemide gösteriiz. a. si r c. ^ h b. ( )! d. = 6. Geel terimi a =.( + )! ola dizi içi a a oraı açtır? 7. N + içi a = ve a + = a ola (a ) dizisii geel terimi edir? 0 9 e. + + + + + + + + 8. Geel terimi a = + ola dizii aç tae f. Z ] [ ] \, 0^mod h +, ^mod h terimi 4 te büyütür?. Bir (a ) diziside N + içi a = a + ve a = ise a 9 açtır? 9. (a ) = ( 8 + ) dizisii aç tae terimi egatiftir? 6

0. (a ) = 7 c m dizisii aç tae terimi pozitif- tir? Diziler 6. (a ) = ( + 8 + ) dizisii e büyü terimi açtır?. (a ) = ( 8 + 5) dizisii aç terimi pozitif değildir? 7. (a ) = c m dizisi sabit dizi olduğua göre, c. + c açtır? + + 6. ^ah = c m dizisii aç terimi tam sayıdır? 8. (a ) = (t + t + ) dizisii sabit dizi olması içi t i alabileceği değerleri toplamı açtır?. Geel terimi a terimi tam sayıdır? = + + ola dizii aç 9. A 4 = {,,, 4}, a : A 4 R, (a ) = ( ) solu dizisii terimlerii toplamı açtır? 4. (a ) = ( 6 + ) dizisii e üçü terimi açtır? 0. (a ) = ( + + +...+ ) ve (b ) = (x + y) 5. (a ) = ( + 4 + ) dizisii e üçü terimi açtır? dizileri eşit olduğua göre, x.y açtır? 7

Diziler. Geel terimleri a = + ve + b = c. + 6 d. + 9 ola diziler eşit olduğua göre, c + d açtır? 4. ^a h =. 6 c m dizisii mooto arta olması + 5 içi ı alabileceği e üçü tam sayı değeri açtır?. Geel terimleri a = + ve b = ola + (a ) ve (b ) dizileri içi aşağıdai işlemleri yapıız. a. (a ) + (b ) b. (a ) (b ) 5. Aşağıdai dizileri mooto olup olmadılarıı gösteriiz. a. c + m b. c m c. ^+ 6 h d. (! ) c. (a ).(b ) d. ^ah ^b h e. ( 4) f. ( + ) e. (a ) (b ) f. ^ah ^b h g. i. ^ h d + h. c m + + c m j. c m +. Geel terimleri a = ( ).( + ) ve b, 0^mod h = * ola ^a h ve ^b h +, ^mod h dizileri içi aşağıdai işlemleri yapıız. a. (a ) + (b ) b. (a ) (b ) 6.. + p c m dizisi olduğua göre, + p açtır? c m dizisii bir alt dizisi + c. (a ).(b ) d. ^ah ^b h 7. (a + ) = ( ) dizisie göre aşağıdai dizileri geel terimlerii buluuz. a. (a ) b. (a + ) e. (a ) (b ) f. ^ah ^b h c. (a ) d. (a + ) 8

Diziler ÖRNEK 54 İl terimi ve orta farı 4 ola bir (a ) aritmeti dizisii geel terimi edir? ÖRNEK 55 İl terimi 4 ola bir (a ) aritmeti diziside a 0 a 9 = ise a 5 açtır? ARİTMETİK DİZİ Ardışı terimleri arasıdai far hep ayı sabit sayıya eşit ola dizilere aritmeti dizi, bu sabit fara da orta far deir. Bua göre, N + içi a + a = r ise r R sayısıa bu dizii orta farı deir. (a ) bir aritmeti dizi ve r R ise a a = a a = a 4 a =... = a + a = r dir. Öreği; (a ) = (4, 6, 8,..., +,...) mooto arta, (b ) = (9, 5,,..., 4,...) mooto azala, (c ) = (,,,...,,...) sabit dizileri birer aritmeti dizidir. ÖRNEK 5 (a ) = + 6 c m dizisii aritmeti dizi olduğuu gös- teriiz. ÖRNEK 56 Geel terimi a = ola aritmeti dizii orta farı açtır? Aritmeti Dizii Geel Terimi İl terimi a ve orta farı r ola (a ) aritmeti dizisii geel terimi a = a + ( ).r olara buluur. Çüü, a + a = r a + = a + r olduğuda, a = a + r a = a + r a 4 = a + r... a = a + r + a = a + r+ r+ r+ + r 4444 4444 tae a = a + ( ).r olara buluur. ÖRNEK 57 İl terimi a ve orta farı r ola bir aritmeti dizii 4. terimi 6 ve 6. terimi 9 olduğua göre, a + r açtır? 9

Diziler ÖRNEK 58 İl terimi ve orta farı ola bir aritmeti dizii 0. terimi açtır? ÖRNEK 6 Bir aritmeti dizii ardışı üç terimi sırasıyla, x, x +, x 4 ise x açtır? ÖRNEK 59 Bir dörtgei iç açılarıı ölçüleri bir aritmeti dizii ardışı 4 terimidir. E üçü açıı ölçüsü 0 olduğua göre, diğer açılarıı ölçülerii buluuz. ÖRNEK 6, x, y, z, 58 solu dizisi bir aritmeti dizi ise x + y + z açtır? ÖRNEK 60 5 ile 7 sayılarıı arasıa il terimi 5, so terimi 7 ola aritmeti dizi oluşaca şeilde 0 terim daha yerleştiriliyor. Oluşa aritmeti dizii 8. terimi aç olur? Bir aritmeti dizide, her terim ediside eşit uzalıtai ii terimi aritmeti ortalamasıdır. a p+ a+ p a =, ^ > ph ÖRNEK 6 Bir aritmeti dizii 8. terimi ve 0. terimi 6 ise 4. terimi açtır? 0

Diziler Aritmeti Dizii İl Terimii Toplamı Orta farı r ola bir (a ) aritmeti dizisii il terimii toplamıı S ile gösterelim. S = a + a + a +... + a ÖRNEK 65 Geel terimi a = + ola aritmeti dizii il 8 terimii toplamı açtır? = a + (a + r) + (a + r) +... + [a + ( )r] =.a + r + r +... + ( )r =.a + r( + +... + ( )) ^ h. =.a + r. = [a + ( )r ] = [a + a + ( )r ] = (a + a ) buluur. ÖRNEK 66 0 ile 00 sayıları arasıda ile tam bölüebile tam sayıları toplamı açtır? S = (a + a ) ÖRNEK 64 İl terimi ve orta farı ola (a ) aritmeti dizisii il 0 terimii toplamı açtır? ÖRNEK 67 Yaşları toplamı 68 ola dört işii yaşları bir aritmeti dizi oluşturmatadır. Bu 4 işii e büyüleri 0 yaşıda olduğua göre, e üçüleri aç yaşıdadır?

Diziler ÖRNEK 68 İl terim toplamı S = 7. terimi açtır? ola bir aritmeti dizii ÖRNEK 7 x x + ax + 8 = 0 delemii öleri bir aritmeti dizi oluşturduğua göre, a açtır? ÖRNEK 69 İl terimii toplamı S = + ola bir (a ) aritmeti dizisi içi a + a 4 + a 5 toplamı açtır? ÖRNEK 7 ÖRNEK 70 İl terimi toplamı S ola bir aritmeti dizide N + içi S = S + + ise bu dizii 5. Bir aritmeti dizii 8. ve 9. terimlerii toplamı 5 olduğua göre, il 6 terimii toplamı açtır? terimi açtır?

ALIŞTIRMALAR. Aşağıda verilelerde hagileri bir aritmeti dizii geel terimidir? a. a = b. a = + 4. İl terimi ve orta farı 4 ola bir aritmeti dizii açıcı terimi 7 dir? c. a = d. a = + 5., a, b, c,, d sayıları bir aritmeti dizii ardışı altı terimi ise a + b + c + d açtır?. Aşağıda il terimi ve orta farı verile aritmeti dizileri geel terimlerii buluuz. a. a = 5, r = 5 b. a =, r = 6., log a, 9 sayıları bir aritmeti dizii ardışı üç terimi ise a açtır? c. a = 0, r = v. Aşağıda ii terimi verile aritmeti dizileri geel terimlerii buluuz. a. a = 5, a 7 = 7. (a ) aritmeti diziside a a = ise a 0 a 9 farı açtır? b. a = 4, a 4 = 6 c. a = 5, a 8 = 6 8. İl terimi ve orta farı ola bir aritmeti dizii 5. terimi açtır?

Diziler 9. (a ) aritmeti diziside a + a = 7 ve a + a 6 = 5 ise a 0 açtır? 4. Bir (a ) aritmeti diziside a = ve N + içi a + = a + olduğua göre, dizii il 0 terimii toplamı açtır? 0. İl terimii toplamı S = + 4 ola bir aritmeti dizii. terimi açtır? 5. Baada alıa faizsiz 080 TL deste redisi içi il ay 00 TL, iici ay 0 TL, üçücü ay 0 TL vb. ademeli ödeme plaı uygulamıştır. Bua göre, borcu bitmesi aç ay sürer?. (a ) = ( ) aritmeti dizisii il o terimii toplamı açtır?. 4 ile tam bölüebile ii basamalı sayıları toplamı açtır? 6. Bir tiyatro salouu birici sırasıda 6 oltu, iici sırasıda 8 oltu, üçücü sırasıda 0 oltu vardır. Saloda bu şeilde devam ede toplam 40 sıra olduğua göre, saloda toplam aç oltu vardır?. (a ) aritmeti diziside, a + 8 =.a 8 eşitliği sağlaıyorsa dizii il yirmi terimii toplamı açtır? 7. 8 ile 4 sayılarıı arasıa il terimi 8, so terimi 4 ola aritmeti dizi olaşaca şeilde 6 terim daha yerleştiriliyor. Oluşa aritmeti dizii 40. terimi aç olur? 4

Diziler GEOMETRİK DİZİ Ardışı ii terimii oraı hep ayı sabit sayıya eşit ola dizilere geometri dizi, bu sabit oraa da orta çarpa deir. Bua göre, N + a+ içi = r ise r R sayısıa bu dizii a orta çarpaı deir. (a ) bir geometri dizi ve r R ise a a a a4 a + = = = = = r dir. (r 0) a a a ÖRNEK 75 (a ) = ( + ) bir geometri dizi midir? Geometri Dizii Geel Terimi ÖRNEK 7 (a ) = (. ) dizisii geometri dizi olduğuu gösteriiz. İl terimi a ve orta çarpaı r ola bir geometri dizii geel terimi a = a.r dir. a a + = r a + = a.r olduğuda a = a.r a = a.r a 4 = a.r... a = a.r x a = a. rrr... r 44 44 a = a.r tae olara buluur. ÖRNEK 76 ÖRNEK 74 (a ) = c m dizisii geometri dizi olduğuu gösteriiz. (a ) geometri diziside a = ve a + a = eşitlileri veriliyor. Bua göre, bu dizii geel terimi edir? 5

Diziler ÖRNEK 77 İl terimi ve orta çarpaı ola bir geometri dizii. terimi edir? ÖRNEK 8 Bir geometri dizii. terimi 50 ve 6. terimi 5 ise orta çarpaı açtır? ÖRNEK 78 Bir geometri dizii il 5 terimii çarpımı, olduğua göre, bu dizii üçücü terimi açtır? Bir geometri dizide, herhagi bir te ri mi a re si e di si de eşit uza lı tai ii terimi çarpımıa eşittir. (a ) = a p.a +p, ( > p) ÖRNEK 79 Geel terimi a = 4 8 orta çarpaı açtır? ola (a ) geometri dizisii ÖRNEK 8 Pozitif terimli bir geometri dizii iici terimi 4 ve seizici terimi 9 ise beşici terimi açtır? ÖRNEK 8 ola geometri di- ÖRNEK 80 Orta çarpaı ve 5. terimi 6 zii 8. terimi açtır? (a ) geometri dizi ve a.a 4.a 5.a 6.a 7 = ise a 5 açtır? 6

Diziler ÖRNEK 84 a = ve > içi a + = a ve b = a ile verile (b ) dizisii geometri dizi olduğuu gösteriiz ve b geel terimii buluuz. Geometri Dizii İl Terimii Toplamı Orta çarpaı r ola bir (a ) geometri dizisii il terimii toplamıı S ile gösterelim. S = a + a + a +... + a = a + a.r + a.r +... + a.r = a ( + r + r +... + r ) = a r buluur. r S = a r, (r ) r ÖRNEK 86 Orta çarpaı ve dördücü terimi 6 ola (a ) geometri dizisii il dört terimii toplamı açtır? ÖRNEK 85 (a ) pozitif terimli bir geometri dizidir.. a. a a 7 açtır? = a olduğua göre, dizii orta çarpaı 9 7

Diziler ÖRNEK 87 İl terim toplamı S = = c m G ola (a ) geometri diziside a 7 + a 8 açtır? ÖRNEK 89 x 7x + x 8 = 0 delemii öleri bir geometri dizii ardışı üç terimi ise açtır? ÖRNEK 88 Bir geometri dizii il terimi, orta çarpaı ve. terimi 6 ise bu solu dizii terimleri toplamı açtır? ÖRNEK 90 (a ) = (. ) geometri dizisii il terimii çarpımı eye eşittir? 8

Diziler ÖRNEK 9 Mooto arta bir geometri dizii ardışı üç terimii çarpımı 64 ve bu terimlerii aritmeti ortalaması tür. Bua göre, bu üç terimi buluuz. 4 ÖRNEK 9 (a ) = (x+y, +y, x y) dizisi hem aritmeti hem de geometri bir dizi ise x.y açtır? ÖRNEK 94 ÖRNEK 9 (a ) = (x, y, z) dizisii hem aritmeti hem de geometri dizi olması içi x, y, z arasıda asıl bir bağıtı olmalıdır? a b c olma üzere, a, b, c sayıları verile sırayla aritmeti dizi ve ab, bc, ac sayıları verile sırayla geometri dizi oluşturmatadır. Bua göre, geometri dizii orta çarpaı açtır? (a ) = (x, y, z) di zi si i hem arit me ti hem de geomet ri dizi olması içi x = y = z olmalıdır. 9

Diziler ÖRNEK 95 ÖRNEK 97 600 üfuslu bir öyü üfusu yılda ortalama artıyor. Bua göre, 0 yıl sora öyü üfusu yalaşı olara aç olur? Yuarıdai grafi, bir ailei 00 005 yılları arasıdai yıllı gelirii göstermetedir. Bu ailei 00 005 yılları arasıdai yıllı geliri, her yıl ortalama 5 artmıştır. Bua göre, bu ailei bu döemdei 5 yıllı toplam geliri yalaşı aç TL dir? ÖRNEK 96 Bugüü değeri 500 TL ola paraı.5 aylı faiz oraı ile 6 ay soudai değeri aç TL dir? 40

ALIŞTIRMALAR. Aşağıda verilelerde hagileri bir geometri dizii geel terimi olabilir? 4. Bir (a ) geometri diziside a 5 = ve a 8 = 4 olduğua göre, a 0 açtır? a. a = + b. a = 5 c. a = ( ) d. a = 5. +. Aşağıda il terimi ve orta çarpaı verile geometri dizileri geel terimlerii buluuz. a. a =, r = 5., a, b, c, 9, d sayıları bir geometri dizii ardışı altı terimi ise a.b.c.d 9 açtır? b. a = v, r = v 6. Bir (a ) geometri diziside a 7 = ve c. a =, r = a 0 = 4 ise orta çarpa açtır?. Aşağıda ii terimi verile geometri dizileri geel terimii buluuz. a. a = 8, a 4 = 7. Beşici terimi ola bir geometri dizii il douz terimii çarpımı açtır? b. a =, a 6 = 8 c. a 8 = 5, a = 5 8. Geel terimi a =.5 + ola (a ) geometri dizisii orta çarpaı açtır? 4

Diziler 9. Orta çarpaı ve dördücü terimi 6 ola bir geometri dizii il beş terimii toplamı açtır? 4. a, 5, b solu dizisi hem aritmeti hem de geometri dizi ise a + b açtır? 0. Bir (a ) geometri diziside a = ve a 7 = 4 ise a.a.a 4.a 5.a 6 çarpımı açtır? 5. a = ve N + içi.a =.a + olduğua göre, (a ) dizisii il dört terimii çarpımı açtır?. İl terimii toplamı S =.( ) ola (a ) geometri diziside a 4 + a 5 toplamı açtır? 6. Bir (a ) geometri diziside 4.a = a + ise a 4 açtır? a 6. İl terimii toplamı S = ola bir geometri dizii orta çarpaı açtır? 7. 0 yıl öce yılda 6000 TL ile işe gire bir işii ücreti, her yıl 0 artmıştır. Bu 0 yıl boyuca aldığı toplam ücret aç TL dir?. Pozitif terimli bir geometri dizii il altı terimii toplamı, il üç terimii toplamıı 9 atı ise bu dizii orta çarpaı açtır? 8. Bir bateri çeşidii üfusu, uygu bir ortamda her 0 saiyede bir iiye atlamatadır. Başlagıçta ortamda 0 tae bateri olduğua göre, 5 daia sora ortamda aç tae bateri olur? 4

TEST Geel Terim Mooto Dizi Alt Dizi. Aşağıdailerde aç taesi bir dizii geel terimi olur? I. II. v5 III. + 5. A 5 = {,,, 4, 5}, a : A 5 R, (a ) = () solu dizisii terimlerii toplamı açtır? A) 0 B) 4 C) 0 D) 5 E) 0 IV. V. 5 VI. si A) B) C) 4 D) 5 E) 6. Geel terimi a = + ola (a ) dizisii il dört terimii toplamı açtır? A) 6 B) C) 7 D) 5 E) 8 + c 6. ^ah = c m ve ^bh = b l + d+ olma üzere (a ) = (b ) ise c + d açtır? A) B) C) 0 D) E). (, x) iilisi (a ) = ( ) dizisii ardışı ii terimide oluştuğua göre x aşağıdailerde hagisi olabilir? A) B) C) 8 D) 46 E) 6 7. ^a h = 7 c m dizisii aç tae terimi pozitif + değildir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4. J K K ^ah = K K L = = N log ^ + ho O O ise a 8 açtır? ^ h O P A) B) C) D) E) 64 4 6 8 8. ^a h = + 6 c m dizisii aç tae terimi tam sa- yıdır? A) B) C) D) 4 E) 5 47

Diziler 9. (a ) = ( 6 + 6) dizisii e üçü terimi edir? A) B) C) D) E). Geel terimi a = + + ola (a ) dizisii il 0 terimii toplamı açtır? 5 A) B) C) D) E) 4 0. (a ) = ( + 5) dizisii aç terimi te üçütür? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 4. Geel terimi a = 0 ola (a ) dizisii = 5. terimi aç basamalı bir sayıdır? A) 0 B) C) D) E) 4. ^a h = d ^+ h^ h dizisii aç terimi egatiftir? A) B) C) D) 4 E) 5 5. Geel terimi a =.! ola bir (a ) diziside, ( + ). terim. terimi aç atıdır? A) B) C) + D) + E) +. ^a h = + c m dizisii sabit dizi olması içi 4+ reel sayısı aç olmalıdır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 6. Aşağıdailerde hagisi mooto azala bir dizidir? + A) c m B) ^ h. c m C) d + + + D) c m E) c m + +.D.C.B 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D 9.A 0.A.D.E.D 4.B 5.E 6.D 48

TEST 4 Aritmeti Dizi. Aşağıdailerde hagisi bir aritmeti dizii geel terimi olabilir? A) B) C) D) E) ( ) + 0 5. Geel terimi a = ola bir aritmeti dizii il altı terimii toplamı açtır? A) 6 B) 4 C) D) 0 E) 8. İl terimi ve orta farı 5 ola bir aritmeti dizii açıcı terimi 47 dir? 6., a, b, 4 sayıları solu bir aritmeti dizii ardışı terimleri olduğua göre, a + b açtır? A) B) 4 C) 9 D) 5 E) 6 A) 9 B) 0 C) D) E). (a ) aritmeti bir dizi olma üzere, a 5 = ve a 5 = ise a açtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7. İl terimi ve orta farı ola bir aritmeti dizii geel terimi aşağıdailerde hagisidir? A) + 8 B) + 9 D) + E) + 5 C) + 7 4. ile 5 arasıa tae sayı yerleştirilmiştir. Bu 4 tae sayı il terimi ola bir aritmeti dizii ardışı terimleridir. Oluşa bu dizii 8. terimi açtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 8. İl terimi ve so terimi 5 ola bir solu aritmeti dizii terimleri toplamı 5 olduğua göre, bu dizii terim sayısı açtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5

Diziler 9. (a ) aritmeti diziside, a 0 + a + a + a + a 4 = 0 ise a 6 + a 8 toplamı aça eşittir? A) 6 B) 0 C) D) 5 E) 8. Bir üçgei açılarıı ölçüleri, bir aritmeti dizii ardışı üç terimidir. Bu üçgei e üçü açısıı ölçüsü 0 ise e büyü açısıı ölçüsü aç derecedir? A) 80 B) 90 C) 00 D) 0 E) 0 0. Bir aritmeti dizii il terimii toplamı S = ise dizii 6. terimi açtır? A) 6 B) C) 0 D) 8 E) 6 4. İl terim toplamı S = + 4 ola (a ) aritmeti dizisii geel terimi aşağıdailerde hagisidir? A) B) C) + D) + E) +. Orta farı ve il terimi birbirie eşit ola bir aritmeti dizii il 6 terimii çarpımı 6.6! ise, bu dizii 7. terimi açtır? A) 8 B) C) 4 D) 7 E) 0 5. x x 6x + d = 0 delemii öleri bir aritmeti dizi oluşturuyorsa d açtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E). (a ) aritmeti diziside a x + a y = 6 olduğua göre, a x+y aça eşittir? A) B) C) 6 D) 8 E) 6. (a ) bir aritmeti dizi ve.a r+ = a + a r ise r açtır? A) B) C) D) 4 E) 5.D.A.A 4.C 5.B 6.E 7.C 8.B 9.C 0.D.B.B.C 4.E 5.C 6.C 54

TEST 5 Geometri Dizi. Aşağıdailerde aç taesi bir geometri dizii geel terimi olabilir? I. 5 II. e III. IV. V. VI.! 5. Dördücü terimi 4, altıcı terimi 8 ola geometri dizii beşici terimi açtır? A) B) 6 C) 4v D) v E) v A) B) C) D) 4 E) 5. Bir (a ) pozitif terimli geometri diziside, a = ve a 6 = ise a 5 açtır? A) 0 B) 4 C) 6 D) E) 8 6. Orta çarpaı ola bir geometri dizii. terimii iici terimie oraı 56 olduğua göre, açtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. Bir (a ) geometri diziside, a = 4 ve a 4 = 9 6 ise orta çarpa açtır? A) B) C) D) E) 4 4 7. v ve c sayılarıı arasıa aşağıdai sayılarda hagisi oulursa, geometri bir dizi meydaa gelir? A) B) v5 C) v6 D) v7 E) v8 4. (a ) geometri bir dizi olma üzere, a6 = ve a9 = ise a 6 açtır? A) 8 B) 4 C) D) 4 E) 8 8., x, y, z, beş terimde oluşa solu bir geometri dizi ise x.y.z çarpımı 8 açtır? A) B) C) D) E) 5 8 4 8 8 55

Diziler 9. Bir (a ) geometri diziside a = ve a 4 = 7 ise bu dizii il beş terimii toplamı açtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). Bir geometri dizii il terimii toplamı S = 4 ise bu dizii dördücü terimi açtır? A) 7 4 B) 7 C) 9 4 D) 5 E) 8 0. İl üç terimi a +, 5, b ola solu dizi hem aritmeti hem de geometri dizi olduğua göre, b a açtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 4. Bir geometri dizii il 6 terimii çarpımı, il terimii çarpımıı 64 atı ise bu geometri dizii 5. terimi açtır? A) B) 4 C) 8 D) 6 E). (a ) pozitif terimli bir geometri dizi olma üzere, a r = a. a r 4r ise r açtır? A) B) C) D) 4 E) 5 5. Pozitif terimli bir geometri dizii il 4 terimii toplamı, il terimii toplamıı 7 atı olduğua göre, bu geometri dizii orta çarpaı açtır? A) 6 B) 8 C) 4 D) E). x 6x + cx 4 = 0 delemii öleri bir geometri dizi oluşturuyorsa c açtır? A) 0 B) 6 C) 4 D) 48 E) 5 6. Pozitif terimli bir geometri dizide, a = ve a 5 = 8 ise, bu dizii geel terimi aşağıdailerde hagisidir? A) B) C) D) + E) +.C.C.D 4.B 5.C 6.E 7.C 8.A 9.E 0.E.B.E.A 4.B 5.C 6.B 56

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 ÖYS Dördücü terimi, yedici terimi 8 ola bir geometri dizii, yirmici terimi aç olur? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 0 5. 987 ÖYS a 0 =, a =.a ve N olduğua göre a 6 A) 6! B) 5! açtır? D) 5! E) 6! C) 5!.6!. 98 ÖYS Bir geometri dizii il terimi a, orta çarpaı, ici terimi b dir. Bu dizii, il terim toplamıı a ve b ye bağlı olara ifadesi aşağıdailerde hagisidir? A) b a B) b + a C) b a + D) b a E) b a 6. 988 ÖYS Dışbüey bir dörtgede, açılar bir aritmeti dizii ardışı dört terimidir. E üçü açı 0 olduğua göre, e büyüğü aç derecedir? A) 60 B) 55 C) 50 D) 45 E) 40. 984 ÖYS N + da taımlı, geel terimi a = 5.(!) ola bir dizide a, a i aç atıdır? A) + 5 B) 5 C) D) 5 E) 5( ) + 5 7. 989 ÖYS Bir dizii geel terimi, 8 a =.a dir. a = olduğua göre, a 6 açtır? A) B) 6 C) D) 5 E) 5! 5! 6 6! 4. 986 ÖYS x + ax + bx + c = 0 delemii öleri bir aritmeti dizi olduğua göre ortaca öü değeri aşağıdailerde hagisidir? A) a b D) a + b B) a b C) E) a + b + c 8. 990 ÖYS Bir aritmeti dizii 8. terimi a olduğua göre,. ve 4. terimleri toplamı edir? A) a B) a C) a D) a E) a 57

Diziler 9. 99 ÖYS Bir geometri dizii il terimi, iici terimi olduğua göre, altıcı terimi açtır? A) 8 B) 0 C) D) 9 E) 48. 994 ÖYS Yaşları toplamı 48 ola 6 ardeşi yaşları bir aritmeti dizi oluşturmatadır. E üçü ardeş yaşıda olduğua göre, e büyü ardeşi yaşı açtır? A) 9 B) C) 4 D) 5 E) 7 0. 99 ÖYS Bir geometri dizii ardışı üç terimi sırasıyla x, x +, x + 5 olduğua göre, x açtır? A) B) 0 C) D) 0 E) 4. 996 ÖYS =,,,... olma üzere il terimii toplamı S = + ola bir dizii 7. terimi açtır? A) 0 B) 4 C) D) 6 E). 99 ÖYS Bir geometri dizii il altı terimii toplamıı, il üç terimii toplamıa oraı Bu dizii r orta oraı açtır? A). D) dir. B) v C) v E) 5. 998 ÖYS Bir geometri dizii il üç terimi (a ), (a ) ve (4a + ) tür. Bua göre, bu dizii beşici terimi açtır? A) 45 B) 54 C) 6 D) 8 E) 4. 994 ÖYS Geel terimi a = ^+ h. ^+ h, N+ ola dizii il 7 terimii toplamı açtır? A) 8 45 B) 8 C) 4 D) 6 5 E) 0 6. 009 ÖSS ve 6 arasıa uygu ola tam sayı yerleştirilere 5 sayıda oluşa bir geometri dizi oluşturuluyor. Bu üç sayıı toplamı açtır? A) 78 B) 80 C) 8 D) 86 E) 90 58

Diziler 7. 00 LYS {a } ve {b } dizileri aşağıdai biçimde taımlaıyor. Z 0, 0 ( mod ) ise ] a = [, ( mod ) ise ], ( mod ) ise \ b = a = 0 Bua göre, b 4 açtır? A) B) C) 0 D) E) 9. 0 LYS (a ) dizisi +, 0( mod ) a = *, ( mod ) biçimide taımlaıyor. a9 a7 Bua göre, ifadesii değeri açtır? a8 4. a6 A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 8. 0 LYS (a ) dizisi a = 40 a + = a ( =,,,...) biçimide taımlaıyor. Bua göre, a 8 terimi edir? A) 4 B) 7 C) D) 5 E) 9 59