BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU Yaemi KUZU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR HAZİRAN

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU Yaemi KUZU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN: Prof. Dr. Mahir KADAKAL KIRŞEHİR HAZİRAN

ONAY Fe Bilimleri Etitüü Müdürlüğü e Bu çalışma jürimiz tarafıda Matematik Aabilim Dalıda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Başka Prof. Dr. Mahir KADAKAL Üye Yrd. Doç. Dr. İ. Our KIYMAZ Üye Yrd. Doç. Dr. Muharrem AKTÜMEN Oay Yukarıdaki imzaları, adı geçe öğretim üyelerie ait olduğuu oaylarım. /6/ Etitü Müdürü Doç. Dr. Mahmut YILMAZ i

ÖZET Bu çalışmada, ıır şartlarıda özdeğer parametrei buludura Sturm- Liouville problemi icelemiştir. Beş bölümde oluşa bu çalışmaı Giriş bölümüde, Sturm-Liouville deklemi, matematikel fizik, Sturm ad Liouville ile ilgili bilgiler verilmiştir. Literatür özeti bölümüde özdeğer parametrei içere lieer diferaiyel deklemler içi ıır değer problemlerii geel tarihie ve diğer çalışmalarda elde edilmiş ouçları kıa bir özetie değiilmiştir. Geel Bilgiler bölümüde tez koumuzla ilgili ola geel bilgilere ve taımlara yer verilmiştir. Bulgular ve Tartışma bölümüde Sturm-Liouville problemii özdeğerleri icelemiş, aimptotik ifadeler ve Gree Fokiyou bulumuştur. Çalışmamızı oucu bölümü ola Souç ve Öeriler bölümüde ie araştırmamızda elde edile ouçlara ve bu ouçları öemie yer verilmiştir. Aahtar Kelimeler: Sıır değer problemi, Sturm-Liouville teorii, diferaiyel operatör, özdeğer, özfokiyo, aimptotik davraış, Gree Fokiyou ii

ABSTRACT I thi tudy we have eamied Sturm-Liouville Problem which ha eigevalue parameter i the boudary coditio. Thi tudy ha arraged i 5 chapter, i The Itroductio chapter, iformatio related to Sturm-Liouville equatio, mathematical phyic, Sturm ad Liouville ha bee give. I The Literatur chapter, we have metioed the geeral hitory of boudary value problem for liear differetial equatio which ha eigevalue parameter ad a brief ummary of the reult obtaied from other tudie. I The Geeral Kowledge chapter, we have metioed the geeral kowledge ad defiitio about the ubject of our thei. I Fidig ad Dicuio chapter, we have eamied eigevalue of Sturm-Liouville Problem ad obtaied aymptotic formula ad Gree fuctio. I Cocluio ad Recommedatio chapter, we have metioed poible olutio obtaied from the tudy ad importat of thee olutio. Key Word: Boudary value problem, Sturm-Liouville Theory, Differetial operator, eigevalue, eigefuctio, aymptotic behavior, Gree Fuctio. iii

TEŞEKKÜR Yükek lia öğreimim boyuca olduğu gibi tez çalışmamı da her aşamaıda her türlü deteğii ve emeğii eirgemeye; kıymetli zamaıı, fikirlerii ve bilgilerii beimle paylaşa; göterdiği ouz alayış ve ilgiyle tezimi ortaya çıkmaıa yardımcı ola aygıdeğer daışma hocam Prof. Dr. Mahir KADAKAL a miettarlığımı uarım. Yükek lia öğreimim boyuca maddi ve maevi deteklerii bede hiçbir zama eirgemeye bölümümüzü değerli hocalarıa şükralarımı uarım. Öğreim hayatım boyuca olduğu gibi bu çalışma döemimde de hep yaımda ola kıymetli ae ve babama, bei bu tarz çalışmalara teşvik ede değerli kardeşlerime ve ouz deteklerii bede hiçbir zama eirgemeye evgili eşime teşekkür ederim. iv

İÇİNDEKİLER DİZİNİ ONAY...i ÖZET...ii ABSTRACT...iii TEŞEKKÜR...iv İÇİNDEKİLER DİZİNİ v SİMGELER VE KISALTMALAR.vi. GİRİŞ.... LİTERATÜR ÖZETİ 5 3. GENEL BİLGİLER..9 3.. Lieer Operatörler.9 3.. Lieer Diferaiyel İfade ve Sıır Şartları... 3.3. Diferaiyel Operatörleri Özdeğerleri ve Özfokiyoları... 3.4. Metrik Uzayları 3.5. Normlu Uzaylar ve Baach Uzayları 3.6. İç Çarpım Uzayları ve Hilbert Uzayları... 3.7. Hilbert Uzayıda Simetrik Operatörler...3 3.8. L a, b Uzayı ve Sobolev Uzayı 3 3.9. Komplek Fokiyoları Sıfır Yerlerii Sayıı...4 3.. Mutlak ve Düzgü Yakıaklık..4 3.. SDP i Çözümüü Varlığı, Tekliği ve Parametreye Göre Tamlık Teoremi...7 3.. Aimptotik Davraışlar...7 3.3. Sturm-Liouville Problemleri..9 3.4.İkici Mertebede Lieer Diferaiyel Deklemler İçi Paramatreleri Değişimi Yötemi. 3.5.Gree Fokiyou 4 4. MATERYAL VE METOD.6 5. BULGULAR VE TARTIŞMA...7 5.. Sıır Değer Problemii İfadei...7 5.. Sıır Değer Problemi ile Ayı Özdeğere Sahip Ola Lieer Operatörü Kurulmaı... 7 5.3. SDP ile İlgili Yardımcı BDP lerii Çözümleri ve Özdeğer Parametreie Göre Aalitikliği... 3 5.4. Temel Çözümler ve Karakteritik Fokiyo..4 5.5. ve 5.6. ve Çözüm Fokiyolarıı Aimptotiği...44 Fokiyolarıı Wrokiaıı Aimptotiği...56 5.7. Gree Fokiyouu Kurulmaı...58 5.8. Özdeğerler İçi Aimptotik Formlar...6 6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER 7 KAYNAKLAR...7 ÖZGEÇMİŞ.74 v

SİMGELER VE KISALTMALAR E E, K,, : Lieer veya Vektör uzayı X X, d : Metrik uzay E, : Lieer ormlu uzay y, : ve y elemalarıı iç çarpımı E E,, : İç çarpım uzayı, L a b : Karei itegralleebile fokiyolar uzayı W f, g : Wrokia determiatı q H : Özdeğer Ca, b :,, : Potaiyel fokiyou : Hilbert Uzayı ab aralığıda taımlı ve ürekli ola fokiyoları lieer uzayı W : Sobolev Uzayı O, o, : Aimptotik davraışları tarif etmek içi kullaıla imgeler SDP BDP : Sıır Değer Problemi : Başlagıç Değer Problemi vi

. GİRİŞ Iıı bir ee üzeride, belli bir koumda ve zamada, aıl dağılacağıı taımlaya parçalı diferaiyel dekleme ıı deklemi deir. Kartezye koordiat itemide, (, y, z ) koumu ve t zamaı götermek üzere, ıı deklemii geel ifadei t y z u u u u k şeklidedir. Burada k bir abit ve u u(, y, z, t) dir. Iı deklemi bir boyutta ie şeklidedir. u u k t Matematik fiziği birçok problemlerii çözümüde e etkili ve klaik yötemlerde biri, Fourier yötemidir. Değişkelerie ayırma yötemi de deile bu yötemi uygulamaı oucuda, birçok problem, adi diferaiyel deklemler içi ıır değer problemie döüştürülür. Acak, Fourier yötemii ealadırılmaı içi elde edile ıır değer problemii, özfokiyolarıı baz oluşturmaı veya hiç olmaza, özfokiyoları ve bu fokiyolara bağlamış fokiyoları tam olmaı göterilmelidir. Bu ie, Lieer Diferaiyel operatörleri pektral teoriii başlıca kouudur. Matematik fizikte biliiyor ki, u, t fokiyou t,, u u t (.) deklemii ağlar. Burada, teli yapıldığı maddeye uygu fizikel abittir. ( ; K -dahili ıı iletme katayıı, - yoğuluk, c - ıı tutumudur.) c K Başlagıç aıda teli her oktaıdaki ııı değeri başlagıç şartıı almış oluruz. (.) deklemii f ile göterilire, u, f, (.) u, t, u, t, t (.3) çözümüü bulacağız. Fourier yötemie göre (.) deklemii herhagi çözümüü

, X T t u t şeklide arayalım. (.4) ü (.) de yerie yazarak, olduğuda elde edilir. (.5) deklemii (.4) u XT, u TX, u TX t XT X T (.5) X T (.6) X T şeklide yazarak değişkelerie ayırmış oluruz. Sol taraf adece değişkeie, ağ taraf ie adece t değişkeie bağlı olduğuda, (.6) eşitliğii her iki tarafı e ve t ye bağlı olmaya herhagi abitie eşittir (Bu abite, ayırma abiti deir.). Böylece edilmiş olur. X ve X T X T Tt fokiyoları içi iki adi diferaiyel deklem elde X X T (.7) T (.3) ıır şartları ie (.4) deklemide yararlaılarak ve şeklie döüşür. Böylece, X T t u t u, t X T t X T t X u, t X T t X T t X X fokiyou içi X X X (.8) X (.9) ıır değer problemi elde edilmiş olur. Şimdi elde edile bu ıır değer problemii çözelim. Kolaylık olmaı içi ile göterelim. O halde (.8) deklemi X (.) X

şeklide yazılır. olduğuda bu deklemi geel çözümü X k k şeklidedir. (.9) ıır şartlarıda yerie yazarak k k u, t, yai trivial (aşikar) çözümü elde edildiğide hali icelemelidir. O halde (.) deklemii geel çözümü; i i co X k e k e k k i (.) şeklide olur. (.9) ıır şartlarıda yerie yazarak buluur. Bezer şekilde X içi olur. k içi (.) deklemi X içi X k co k i k X k co k i k i co i X olduğu görülür. Bu ie bizi u, t aşikar çözüme götürür. O halde k, i durumu icelemelidir. X ike i görülür. olduğuda ifadeide,,,... olduğu elde edilir. Bu ayılara (.8), (.9) ıır değer problemii özdeğerleri deir. Bu değerlere uygu gele çözümler ie X i,,,... fokiyolarıdır ve buları keyfi abitle çarpımlarıdır. Bu fokiyolara ie (.8), (.9) ıır değer problemlerii özfokiyoları deir. (.7) i çözümleri ie şeklide buluur. O halde T t e t t U, t e i 3

fokiyou (.) deklemii ve (.3) ıır şartlarıı ağlar. Bu durumda (.) başlagıç şartı şartıa döüşür. O halde f f i (.), (.) şeklide değile (.), (.3) ıır değer problemii (.) şeklide çözümü bulumaz. (.) deklemi ve (.3) ıır şartları homoje olduklarıda m m u, t u, t C e i C şeklideki lieer birleşimlerde (.) deklemii ve (.3) ıır şartlarıı ağlar. (.) başlagıç şartıı ağlamaı içi f fokiyou m f i C (.3) şeklide olmalıdır. (.3) şartı ie (.) ve (.3) problemi içi hem fizikel, hem de matematikel açıda çok ağır ola ıırlayıcı şarttır. Buu arada kaldırabilmek içi f X C eriie açıldığıı kabul edelim. Bu halde belli şartlar altıda t u, t u, t C e i C fokiyou (.), (.3) problemii çözümü oluyor. Yukarıdaki örekte görüldüğü gibi birçok matematikel fizik problemii çözümü uygu özdeğer problemii özdeğer ve özfokiyoları kullaılarak işa edilebilir. 4

. LİTERATÜR ÖZETİ So yıllarda oldukça çok öem arz ede ve üzerie bir çok çalışma yapıla Sturm-Liouville problemleri ilk olarak 9. yüzyılı ortalarıda araştırılmaya başlamıştır. C. Sturm ve J. Liouville iimli iki bilim adamı ıı iletimi problemii Fourier yötemi ile araştırdıklarıda karşılarıa özdeğer parametrei içere adi diferaiyel deklemi bazı ıır şartlarıı ağlaya çözümlerii araştırılmaı problemi çıkmıştır. Adi diferaiyel deklemler içi ıır değer problemii geel hali ( y, ) y p (, ) y... p (, ) y (.) ( ) ( ) K K (.) V ( y, ) a y b y, j,,..., j jk jk K biçimide ifade edilebilir. Burada p, p, p cot,,..., p, a, b fokiyoları ie ı poliomlarıdır. m jk jk (.), (.) tipide problemleri araştırılmaı G.D.Birkoff u [3] ve [4] çalışmalarıyla başlamıştır. G.D.Birkhoff ı bu çalışmalarıda özdeğer parametreie bağlı lieer diferaiyel operatörler içi temel çözüm itemii oluştura çözümleri aimptotik davraışları icelemiş ve bazı aimptotik eşitlikler bulumuştur. Ayrıca G.D.Birkhoff u bu çalışmalarıda adi diferaiyel operatörler içi regular ıır şartları kavramı taımlamış ve uygu ıır değer problemii kök fokiyolarıı (yai, özfokiyolarıı ve şerik fokiyolarıı (eige fuctio ad aociated fuctio)) tamlığı hakkıda teorem ipatlamıştır. Bu tip problemler ilerleye yıllarda, J.D.Tamarki i [] çalışmaıda (.) deklemii temel çözüm itemii oluştura fokiyoları aimptotik davraışları icelemiş regular ve güçlü reguler ıır değer problemi kavramı taımlamıştır. Güçlü regular ıır değer problemii özdeğerleri içi aimptotik formüller bulumuştur. Regular problemler içi ie Gree fokiyou değerledirilmiştir ve kök fokiyoları üzerie açılım teoremleri ipatlamıştır. Daha oraki yıllarda bu ve bezer problemler birçok matematikçi tarafıda yoğu şekilde araştırılmıştır. 5

So yıllarda adi diferaiyel operatörler teorii ile ilgili farklı problemler de yoğu bir biçimde icelemiş ve adece deklemde değil, ıır şartlarıda da özdeğer parametrei buludura Sturm-Liouville tipide problemler özel ilgi çekmeye başlamıştır. Bu kouda çok ayıda çalışma yapılmış, makale ve kitaplar yazılmıştır. Bu koudaki öemli çalışmalar hakkıda [7], [8], [9], [4], [5], [7], [8], [], [5], [8], [3] kayaklarıda yeteri kadar bilgi verilmiştir. İkici mertebede adi diferaiyel deklemler içi bazı kedie eşleik ıır değer problemleri [], [], [], [], [9], [], [7], [9] çalışmalarıda icelemiştir. Öreği; J. Walter ı [7] çalışmaıda pu qu u, a, a (.3) r u a ua u a ua (.4) u a ua u a ua (.5) biçimide Sturm-Liouville problemi içi yei bir ölçümü taımlamış (problemi katayı fokiyoları ola uygu p ve r fokiyolarıda bağımlı ola ölçüm) ve L a, b ; Hilbert uzayıda (.3)-(.5) problemie uygu A: L a, b ; L a, b ; operatörü taımlayarak (.3)-(.5) problemii operatör-teorik yorumlamaıı vermiştir. Daha ora A operatörüü kedie eşleikliğii ipatlayarak, kedie eşleik operatörleri fokiyoel aalizide bilie özellikleride yararlamakla açılım teoremi ipatlamıştır. Scheider i [] çalışmaıda ie pu qu ru ua u b ub u b ub ıır şartlarıı adece bir taeide özdeğer parametrei içere uygu problem içi S-hermitye ıır değer problemleri yötemiyle araştırılabileceğii götermiş ve özfokiyolar itemi üzerie açılımı düzgü ve mutlak yakıaklığı içi yeter şartlar bulmuştur. 6

Fulto u [8] çalışmaıda, : u qu u cou a iu a u b ub u b ub şeklide bir problem ele almış ve problemde adece fokiyoel aalizi yötemlerii değil, Titcmarh ı [5] çalışmaıı klaik yötemleride de faydalaarak özdeğer parametreii ıır şartlarıda adece bir taeide buluduğu durum içi çalışmalar yapmıştır. Çalışmalarıda uygu problem içi özdeğer ve özfokiyoları aimptotiğii bulmuş ve farklı açılım teoremleri ipatlamıştır. Ruakovkiy i [9] çalışmaıda, ıır şartları poliom biçimide özdeğer parametrei içere problemleri operatör-teorik yorumuu vermiştir. Kerimov ve Mamedov u [] çalışmaıda problemie uygu, u q u u (.6) u u (.7) u u (.8) A B C biçimide operatörler demetii kurarak (.6)-(.8) problemie farklı bir yaklaşımla operatör-teorik yorum getirmişlerdir. Bu çalışmada özdeğer ve özfokiyoları aimptotik davraışları icelemiş ve ayrıca özfokiyoları ıfır yerleri hakkıda klaik orulara bezer ouçlar bulmuşlardır. Tez çalışmamızda ie ıır şartlarıda özdeğer parametrei buludura Sturm- Liouville tipideki bir problemii özdeğerleri ve özfokiyoları icelemiştir. 7

3. GENEL BİLGİLER Bu bölümde tez çalışmamızda yararladığımız temel kavram ve ouçlar hakkıda kıa ve öz bilgilere yer verilmiştir. 3.. Lieer Operatörler E kümei ve bu kümei elemaları araıda aşağıdaki şartları ağlaya işlemi : E E taımlaı;. y y (Değişme özelliği). y z y z (Birleşme özelliği) 3. " " ile göterile ve E içi şartıı ağlaya bir tek E elemaı mevcuttur. 4. Her E içi ile göterile ve şartıı ağlaya bir tek E elemaı mevcuttur. Yai her E içi y olacak şekilde bir tek y E vardır. Bu durumda y elemaı ile göterilir. Ayrıca bir K cimi (geel olarak K veya olarak düşüülür, ayı cimi olarak da adladırılır) içi K ile E i elemaları araıda ile göterile :K E E işlemi taımlaı ve bu işlem içi aşağıdaki özellikler ağlaı; 5. 6. (, K ve E içi) y y 7. 8. ( K cimii birim elemaı) Bu şartları (akiyomları) ağlaya E E, K,, kümei K cimi üzeride lieer veya vektör uzay olarak adladırılır. Kıaca E lieer uzaydır deir. E lieer uzayıı herhagi D alt kümeii elemaları E lieer uzayıda taımlı ve işlemlerie göre bir lieer uzay oluşturuyora, D ye E lieer uzayıı lieer alt uzayı deir. E lieer uzayı, bu uzayı bir D lieer alt uzayı ve bir A: D E döüşümü verili. Eğer her, y D ve her K içi 8

, A y A Ay A A şartları ağlaıyora, A döüşümü lieer operatör olarak adladırılır. D ye A lieer operatörüü taım bölgei deir [7]. 3.. Lieer Diferaiyel İfade ve Sıır Şartları p ( ) : ( i,,,..., ), ürekli fokiyolar olmak üzere i ( y) : p ( ) y p ( ) y... p ( ) y, ( a, b) ( ) ( ) biçimide ifadeye mertebede lieer diferaiyel ifade deir. Geel olarak her içi p ( ) olduğu kabul edilir. ( ) ( ) U( y) : y( a) y ( a)... a y ( a)+ y( b) y( b)... y ( b) biçimideki ifadeye ie ıır değer ifadei deir. U ( y), i,,..., m ifadeleri ıır değer ifadeleri olduğuda U ( y), i,,..., m biçimideki eşitlikler ıır şartları olarak adladırılır. Bilidiği gibi, fokiyoları lieer uzayı göterilir. ( ) lieer uzayı ie C, i i C a b ile, ab, aralığıda taımlı ve ürekli ola ( ),,,...,, f C a b f f f C a b a b biçimide göterilir. Ca b L : C a, b, ( ) D( L) D y C a, b y C a, b, U ( y), i,,..., m L( y) ( y) p ( ) y p ( ) y... p ( ) y ( ) ( ) eşitlikleri ile taımlaa L lieer operatörüe lieer diferaiyel operatör veya ( y ) diferaiyel ifadei ile U ( y), i,,..., m ıır şartlarıı ürettiği lieer diferaiyel operatör deir [7]. i i 9

3.3. Diferaiyel Operatörleri Özdeğerleri ve Özfokiyoları E lieer uzayıda taım bölgei D A ola A: E verili. Eğer herhagi ve herhagi uh, u içi Au u E lieer operatörü eşitliği ağlaıra, ayııa A operatörüü özdeğeri, uh, u elamaıa ie özdeğerie uygu özelemeti (özfokiyou) deir [7]. 3.4. Metrik Uzaylar X kümei ve d : X X döüşümü içi, yd, y d, y, d, y y, y X. d, y d y,, y X. d, y d, z d z, y, y, z X 3. özellikleri ağlaıra X X, d d X uzayı metrik uzay olarak adladırılır. X, d metrik uzayıda bir ie,, dizii dizii verili. Eğer d diziie yakıak dizi deir. dizii ve bir oktaıa yakııyor deir., olacak biçimde 3.4.. Taım: X X, d metrik uzayı ve bu uzayda Eğer d, m ie bu durumda m, 3.4.. Taım: X X, d uzaya Tam Metrik Uzay deir [8]. oktaı verili. Eğer X mevcuta dizii verili. dizii Cauchy dizii olarak adladırılır. metrik uzayıda her Cauchy dizii yakıak ie bu 3.5. Normlu Uzaylar ve Baach Uzayları E lieer uzayı veya cimi üzeride ve : E döüşümü içi aşağıdaki şartları ağladığıı kabul edelim; E

. E içi ve. E ve içi 3., y E içi y y Bu durumda E lieer uzayıda bir orm taımlamıştır deir. e elemaıı ormu, üzeride orm taımlamış E lieer uzayıa lieer ormlu uzay deir ve E, şeklide göterilir. Lieer ormlu uzayda, d y y eşitliği bir metrik taımlar. Bu edele her ormlu uzay ayı zamada bir metrik uzay kabul edilir. Eğer lieer ormlu uzay tam ie (lieer ormlu uzay d, y y metriğie göre metrik uzay olarak kabul edildiği içi metrik uzaylardaki bütü kavramlar lieer ormlu uzaylar içi de taımlamış olur) bu uzay Baach Uzayı olarak adladırılır [8]. 3.6. İç Çarpım Uzayları ve Hilbert Uzayları Komplek ayılar cimi üzeride E lieer uzayı verili. Bu uzayda her, y E elema çiftie y, ile göterile bir tek komplek ayı karşılık getirilmişe ve de bu durumda her, y, z E ve her komplek ayıı içi., y y,., y, y 3.,,, 4., y z, y, z şartları ağlaıra, E de bir iç çarpım taımlamıştır. y, ayııa ve y elemalarıı iç çarpımı deir. E E,, ie iç çarpım uzayı olarak adladırılır. E E,, iç çarpım uzayıda, eşitliği ile bir orm taımlar. Bu edele her iç çarpım uzayı bir ormlu uzay, dolayııyla bir metrik uzay olarak kabul edilir. Eğer E iç çarpım uzayı tam ve de ouz boyutlu ie (yai olu boyutlu değile) Hilbert uzayı olarak adladırılır [8].

3.7. Hilbert Uzayıda Simetrik Operatörler H Hilbert uzayı ve A: D A H H lieer uzayı verili. A, y, Ay H eşitliği her, y D A H içi ağlaıyora A operatörüe imetrik operatör deir. Simetrik operatörleri bütü özdeğerleri reel ve farklı özdeğerlere uygu özfokiyoları ortogoaldır []. 3.8. L a,b Uzayı ve Sobolev Uzayı Verilmiş ab, aralığıda taımlı ve Lebegue alamıda ölçülebilir ola f( ) fokiyou içi f( ) fokiyou bu aralıkta Lebegue alamıda itegralleebilire f( ) fokiyoua ab, aralığıda karei itegralleebilir fokiyo deir. Karei itegralleebilir fokiyoları lieer uzayıda b f, g : f ( ) g( ) d a ile göterile bu formül bir iç çarpım taımlar. Bu şekilde taımlaa iç çarpım uzayıı bir Hilbert uzayı olduğu bilimektedir. Bu uzay L, a b ile göterilir. ab, aralığı olu olduğu durumda L a b de ola her bir fokiyou ab,, aralığıda Lebegue alamıda itegralleebilir olacağı açıktır [7]. ve 3.8.. Taım: ab, aralığıda taımlı ve lokal itegralleebilir ola u v fokiyoları verili. Eğer ouz mertebede diferaiyelleebilir ve, şartıı ağlaya her Supp a b eşitliği ağlaıyora b a geelleştirilmiş türevi deir. ile b a fokiyou içi u d v d v fokiyou ab, aralığı q reel ayıı ve u fokiyouu mertebede m m tamayıı verildiğide W a, b ab, aralığıda Lebeque alamıda ölçülebilir ve q m u, u,..., u

geelleştirilmiş türevleri bulua ve her k,,..., m içi k u L a b ola, fokiyoları lieer uzayıı götereceğiz. Bu uzayda m k u, v u, v k m W a, b L a, b k formülü bir iç çarpım taımlıyor. Bu uzaylara Sobolev uzayları deir. Bu uzayları Hilbert uzayları olduğu bilimektedir. [6] 3.9. Komplek Fokiyoları Sıfır Yerlerii Sayıı 3.9.. Taım: Bir f z komplek fokiyou düzlemi keyfi bir z oktaıı komşuluğuu tüm oktalarıda diferaiyelleebiliyora f z fokiyoua z oktaıda aalitiktir deir [6]. 3.9.. Taım: Bütü komplek düzlemde aalitik ola fokiyolara tam fokiyo deir. Tam fokiyoları ıfır yerlerii olu veya e fazla ayılabilir ayıda olduğu komplek aalizde bilimektedir. : fokiyou ve z oktaı verildiğide ie bu durumda z z k f ile taımlı f z k f z f z... f z, f z oktaıa f z fokiyouu k katlı ıfır yeri deir. Tam fokiyoları (ıfır olmaya) bütü ıfır yerlerii olu katlı olduğu açıktır [5]. 3.9.3. Rouche Teoremi: Eğer f z ve z komplek fokiyoları kapalı düzleebilir Jorda eğrii ola üzeride ve içide aalitiklere ve her z içi, şartı ağlaıyora; o halde eğriii içide f z z f z z fokiyou ıfır yerlerii ayıı ile f ıfır yeri katı ayıda heaplamak üzere) eşittir [4]. z fokiyouu ıfır yerlerii ayıı (her 3.. Mutlak ve Düzgü Yakıaklık a a, a,..., a olmak üzere k k k k a dizii verilmiş olu. k 3

ifadeie a a... a... a a, a,..., a k k k k k k k de eri deir. S... k k a a a ya erii kımi toplamı ve S k diziie ie erii kımı toplamlar dizii deir ( k,,... ) S kımi toplamlar dizii a a, a,..., a k ye yakıak ie a k k erii a ya yakıaktır deir ve ak a yazılır. k k S ırakak ie eriye ırakak deir (Burada a k imgeii yerie göre eriyi, yerie göre ie erii toplamıı k göterdiğie dikkat ediiz) []. 3..3. Taım: de a k erii verilmiş olu. Eğer k a k reel erii k! yakıak ie a k eriie mutlak yakıak deir []. k 3..4. Taım: : ayıı verilmiş olu. Bütü ve f S olmak üzere k k k içi S de k f f f fokiyo dizii ve olacak şekilde, adece a bağlı fakat e bağlı olmaya bir k ayıı vara S de düzgü yakıaktır deir []. k 3..5. Teorem (Diziler içi Cauchy Kriteri) : fk : S olmak üzere f dizii ve verilmiş olu. f yeter şart k p k içi S de k olacak şekilde bir k i olmaıdır []. İpat: k k k k f, ı düzgü yakıak olmaı içi gerek ve p f f (3..) f dizii S de f ye düzgü yakıak ve verilmiş olu. Bu takdirde her S ve her k k içi fk f 4

olacak şekilde k vardır. Böylece her S ve k p k içi ( ) f f f f f f f f f f k p k p k p olur. Terie olarak, verilmiş ayıı ve k p k içi S de k p f f olacak şekilde k pozitif tam ayııı olduğu yai (3..) Cauchy şartıı ağladığıı farz edelim. Bu demektir ki her bir S içi f dizii bir Cauchy dizii ve dolayııyla yakıaktır. lim f k f k olu. Şimdi bu yakıamaı düzgü olduğuu göterelim. Eğer verilmişe bu halle ilgili kabulde dolayı her S ve k p k olacak şekilde k vardır. Bu takdirde her S içi lim k p k p içi f f f f, k k f f k p k yazabiliriz ve böylece fk f dir. 3..6. Teorem (Weiertra M-Kriteri): fk : A olmak üzere her A içi f M olacak şekilde M k reel ayılar mevcut ve k k M k erii k yakıak ie fk erii düzgü ve mutlak yakıaktır []. k İpat: Teoremi ipat etmek içi (3..) Cauchy şartıı ağladığıı götermek yeterlidir. Hipotezde dolayı M k yakıak olduğu içi k ve k p k içi üçge eşitizliğide k M olacak şekilde p k ayıı vardır. Böylece geelleştirilmiş k k k S S f f M k p p p p 5

yazılabilir. Demek ki her A içi S S k ve böylece f p k erii k A da düzgü yakıaktır. Ayrıca o eşitizlikte dolayı yakıaktır. f erii de k 3.. SDP i Çözümüü Varlığı, Tekliği ve Parametreye Göre Tamlık Teoremi q : a, b ile taımlı kabul edelim. O halde diferaiyel deklemii q fokiyou ürekli bir fokiyo olduğuu,, u q u u a b i, ua co,, u a ıır şartlarıı ağlaya bir tek u, çözümü buluur ve bu çözüm her a, b içi parametreii tam fokiyoudur [5]. bait 3.. Aimptotik Davraışlar Verilmiş f fokiyouu içi davraışı bazı durumlarda bilie g fokiyouu içi davraışıda yararlaılarak ifade edilebilir. Böyle durumlarda iceleirke o, O, içi f ve g i içi davraış yakılığı gibi imgelerde yararlaılmaktadır. Ayrıca, g üzerie öcede hiçbir şart koulmamaktadır. Komplek düzlemi herhagi G bölgeide taımlı ola f z, g z ve h z fokiyoları verili. Eğer f z g z fokiyou bu bölgede ıırlı ie, yai;, : f z M g z z G z z R eşitizliği ağlaacak şekilde R, M ayıları mevcuta,, f z O g z z G z (3..) 6

şeklide yazılır. Bu ifadeye aimptotik eşitlik deir. Eğer, f z hz Og z, z G, z ie yazılır. z yazılır ve f z hz Og z, z G, z (3..) G verili. Bu taktirde zz, zg z f lim g z,, f z o g z z G z (3..3) f z fokiyou z oktaıı yakı komşuluğuda ouz küçüktür deir. ıırlı ie yazılır. Eğer ie f z g z fokiyou g z ye göre z oktaıı herhagi komşuluğuda,, f z O g z z G z z (3..4) zz z f lim g z,, f z g z z G z z (3..5) yazılır. Hagi G bölgeide bahedildiği açık şekilde biliire z G yazıı atılır. a, b ve olduğuda yazılır. a c Ob şeklide göterilir. olduğuda bu eşitlik a c reel veya komplek ayı dizileri verildiğide dizii ıırlı b olduğuda ie bu eşitlik a O b (3..6) a c O b (3..7) a lim b 7

şeklide göterilir. a c ob a o b (3..8) olduğuda ie bu eşitlik a c o b (3..9) şeklide göterilir. (3..)-(3..9) şeklideki formüllere aimptotik formüller deir [5]. 3.3. Sturm-Liouville Problemleri H herhagi Hilbert uzayı L : H H ie bu uzayda taımlı ola lieer operatör olu. Eğer herhagi kaleri içi ( H uzayıı cimide alımış) Ly y olacak biçimde yh, y elemaı buluura, ayııa L operatörüü özdeğeri, y elemaıa ie bu özdeğere uygu ola özelema (veya özvektör) deir. Uygulamalarda ık ık ratlaa diferaiyel operatörlerde biri de d L q( ) d biçimide ifade edile operatördür (bu operatör geelde H L a b biçimideki, Hilbert uzaylarıda icelemektedir). L operatörü içi e öemli ıır şartları,, biçimide veya biçimide verilmiş ıır şartlarıdır. y( a)co y( a)i y( b)co y( b)i y a y b y a y b Ly y q y y (3.3.) (3.3.) deklemii (3.3.) veya (3.3.) tipideki ıır şartlarıı ağlaya çözümlerii bulumaı problemi klaik Sturm-Liouville problemi olarak adladırılır. Eğer ab, aralığı ıırlı, g fokiyou ie itegralleebilir ie o halde böyle problemlere Regüler Sturm-Liouville problemleri deir. Daha geel ola y p y r y (3.3.3) 8

biçimideki diferaiyel deklemlerde y, değişkeleride tu, değişkelerie p d a, 4 a t u b t r e y a r d r d Laplace döüşümü ile geçerek, (3.3.3) deklemi u q t u u deklemie döüşür. Burada r olmak üzere, ikici mertebede ürekli diferaiyelleebilir bir fokiyo; p ie. mertebede ürekli diferaiyelleebilir fokiyodur. Ayrıca bu durumda ab, aralığı da, aralığıa döüşmüş olur [4]. 3.3.. Wrokia Determiatı f, g C herhagi iki fokiyo olmak üzere f g W f, g f g f g f g şeklide taımlaa determiata Wrokia determiatı deir [3]. 3.3.. Teorem: a, a,..., a fokiyoları bir I açık aralığıda ürekli ve bu aralıktaki içi a olu. Bu takdirde Ly a y a y... a y a y (3.3.4) homoje lieer diferaiyel deklemii y, y,..., y çözümlerii I da lieer bağımız olmaı içi gerek ve yeter koşul, I aralığıdaki her içi olmaıdır [6]. W y, y,..., y İpat: Öce koşulu, yeter bir koşul olduğuu ipat edelim. Buu içi (3.3.) homoje lieer deklemii y, y,..., y çözümlerii Wrokkiaıı I aralığıdaki her içi ıfırda farklı, fakat bu çözümleri I da lieer bağımlı 9

olduğuu varayalım. Bu takdirde hepi birde ıfır olmaya b, b,..., b abitleri ve I aralığıdaki her içi b y b y... by (3.3.5) b y b y... b y b y b y... b y (3.3.6) bağıtıları ağlaır. I aralığıdaki her içi (3.3.5) ve (3.3.6) bağıtılarıa, b, b,..., b bilimeyelerie göre bir homoje cebirel deklem itemi olarak W y, y,..., y dir. bakılabilir. Bu itemi katayılar determiatı, açıkça y, y,..., y çözümleri I da lieer bağımlı varayıldığıda, öz kouu homoje cebirel deklem itemi aşikar olmaya bir çözüm takımıa ahip olmalıdır. Buu içi, homoje cebirel deklem itemleri teoriide bilidiği üzere, I aralığıdaki her içi itemi katayılar determiatı ıfır, yai W y, y,..., y olmalıdır. Bu I aralığıdaki her içi W y, y,..., y kabulüyle çelişir. Demek ki, her I içi W y, y,..., y ie, (3.3.4) homoje lieer diferaiyel deklemii y, y,..., y çözümleri I da lieer bağımızdır. Şimdi koşulu, gerek bir koşul olduğuu ipat edelim. Buu içi, a y a y... a y a y homoje lieer deklemii y, y,..., y çözümlerii I da lieer bağımız, fakat I ı hiç olmaza bir oktaıda W y, y,..., y olduğuu varayalım. içi (3.3.5) ve (3.3.6) cebirel deklem itemii tekrar göz öüe alalım. itemi, b y b y... b y b y b y... b y (3.3.7) W y, y,..., y olduğuda, e az bir b, b,..., b çözüm takımıa ahiptir ve b i leri hepi birde ıfır değildir. Şimdi (3.3.5) i bir çözümü ola bu b, b,..., b abitleriyle

b y b y b y fokiyouu taımlayalım. Bu fokiyo... a y a y... a y a y homoje deklemii bir çözümüdür ve (3.3.7) gereğice,,..., Başlagıç koşullarıı ağlar. Böylece I aralığıdaki her içi dır. Burada, I aralığıdaki her ve hepi birde ıfır olmaya b, b,..., b abitleri içi b y b y... by elde edilir. Bu y, y,..., y leri I da lieer bağımız olduğu varayımıyla çelişir. Demek ki a y a y... a y a y homoje lieer diferaiyel deklemii y, y,..., y çözümleri I da lieer bağımız W y, y,..., y dır. ie, I daki tüm ler içi 3.4. İkici Mertebede Lieer Diferaiyel Deklemler İçi Paramatreleri Değişimi Yötemi: Parametreleri değişimi yötemi deklemie ait a y a y... a y a y Q (3.4.) a y a y... a y a y homoje lieer deklemii lieer bağımız çözümüü (dolayııyla geel çözümüü) bilimei halide (3.4.) deklemii bir özel çözümüü bulumaıda etkilidir. Yötemi öce, ikici mertebede a y a y a y Q (3.4.) deklemi içi açıklayalım. (3.4.) ye ait homoje lieer deklemii a y a y a y (3.4.3)

h y C y C y (3.4.4) geel çözümüü bilidiğii varayalım. Burada C ve C keyfi abitlerdir. (3.5.4) de C ve C yerie ıraıyla v, v fokiyouu teşkil edelim. Acaba p fokiyolarıı alarak y v y v y (3.4.5) v ve v, (3.4.5) ifadei (3.4.) deklemii bir çözümü olacak şekilde belirtilebiliir mi? Soruyu cevapladırmak içi (3.4.5) deki y p yi ve buu y v y v y v y v y p y v y v y v y v y v y v y p türevlerii (3.4.) deklemide yerlerie koyalım. Gerekli düzelemelerde ora a v y v y a v y v y a v y v y Q a y a y a y v a y a y a y v (3.4.6) elde edilir. y ve y (3.4.3) homoje lieer deklemii çözümleri olduğuda v ve v i katayıları ıfırdır. Böylece (3.4.6) olur. a v y v y a v y v y a v y v y Q (3.4.7) v ve v fokiyolarıı belirtmek içi, bular araıda iki bağıtı bulmak yeterlidir. I aralığıdaki her içi v y v y eçilire, (3.4.7) ifadeide I aralığıdaki her içi a v y v y Q buluur. Yai v ve v içi v y v y Q v y v y (3.4.8) a deklemleri elde edilir. (3.4.8), her I içi v, v bilimeyelerie göre homoje olmaya bir lieer cebirel deklem itemi olarak düşüülebilir. Bu itemi katayılar determiatı

y y y y dir. Bu, (3.4.3) homoje lieer difereiyel deklemii lieer bağımız y, y çözümlerii Wrokiaıdır ve Teorem 3.3. gereğice ıfırda farklıdır. Dolayııyla (3.4.8) itemi bir ve yalız bir, ahiptir. v ve v i fokiyoları olup buları itegralleri fokiyolarıı verir. Demek ki, v, v (3.4.) deklemii bir çözümü olacak şekilde belirtilebilir. Şimdi varayalım ki, v, v v v çözüm takımıa v ve v fokiyoları (3.4.5) fokiyou (3.4.8) itemii (tek) çözümüdür. Bu takdirde, aşikar olarak, her I içi (3.4.7) ağlaır. Yai p y v y v y fokiyou (3.4.) deklemii bir çözümüdür [6]. I da Soucu bir teorem olarak ifade edelim. Teorem 3.4.. a, a, a ve Q fokiyoları bir I açık aralığıda ürekli ve a olu. y ve y I da (3.4.3) homoje lieer difereiyel deklemii lieer bağımız iki çözümü olu. Eğer v ve v fokiyoları v y v y Q v y v y a itemii ağlıyora, y v y v y bir çözümüdür [6]. p fokiyou (3.4.) deklemii 3.5. Gree Fokiyou Aşağıdaki şartları ağlaya G, : a, b a, b L operatörüü Gree Fokiyou deir.., G fokiyou üreklidir ve e göre mertebe dahil) bütü ürekli türevleri vardır. C fokiyoua. mertebeye kadar (bu 3

. Her ab, içi, fokiyouu mertebede türev fokiyou özelliğie ahiptir. a ve,b aralıklarıı her biride G,. ve. mertebede türevleri var ve e göre. 3. Her bir, G, G, p a ve,b aralığıda, fokiyou gibi G,,, [7]. v G fokiyou değişkeii U G v ıır değer problemii çözümüdür 4

4. MATERYAL ve METOD Bu tez çalışmaıda materyal olarak kayaklar kımıda verile kitap ve makalelerde ve gerekire çalıştığımız kou ile ilgili yei kayaklarda yararlaılmıştır. Bu kayaklarda uygulaa yötemler iceleerek tez koumuzdaki probleme uygulaabilir hale döüştürülmüştür. Adi diferaiyel deklemler içi ıır değer problemlerii özdeğerlerii aimptotik davraışlarıı icelemei içi uygulaa karakteritik fokiyou kurulmaı yötemide, klaik Sturm-Liouville teorii yötemleride, fokiyoel aalizde bazı temel taımlar ve imetrik operatörleri bazı temel özelliklerde, komplek aalizdeki tam fokiyoları ıfır yerleri ile ilgili ola teoremlerde, o yıllardaki çalışmalarda uygulaa yötemlerde ve aimptotik yötemlerde yararlaılmıştır. 5

5. BULGULAR VE TARTIŞMA 5.. Sıır Değer Problemii İfadei Bu bölümde Sturm-Liouville deklemide, u : u q u u (5..) u u u u 3u( ) 4u( ) 3u( ) 4u( ) (5..) (5..3) ıır şartlarıda oluşa ıır değer problemii özdeğer ve özfokiyoları icelemiştir. Burada parametreidir. q,, aralığıda ürekli ve komplek özdeğer 5.. Verile Sıır Değer Problemi İle Ayı Özdeğere Sahip Ola Lieer Operatörü Kurulmaı f( ) F F, f L,, F, F F Üç bileşeli elemaları lieer uzayıı H L, ile göterelim. Eğer biçimideki, olmak üzere, kabul ederek içi 3 3 4 4 f g F F H, G G H F G F, G f g d F G F G (5..) iç çarpımıa göre H lieer uzayı bir Hilbert uzayı taımlar. Bu Hilbert uzayı (5..)- (5..3) ıır değer problemie uygu Hilbert uzayıdır. İşlemleri kolaylığı içi 6

,, N u u u N u u u N u u u N u u u 3 4 3 4 ifadelerii taımlayalım. Diğer tarafta determiatıı şeklide göterirek, ifadelerii elde ederiz. Gerçekte; f ve g fokiyolarıı Wrokia, ; W f g f g f g, ;, ; N f N g N f N g W f g N f N g N f N g W f g f f g g N f N g N f N g f f g g olduğu görülür. Bezer şekilde f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g W f, g; 3 f 4 f 3g 4g N f N g N f N g f f g g 3 4 3 4 f g f g 3 3 3 4 f g f g 3 4 4 4 f g f g 3 3 3 4 f g f g 3 4 4 4 34 34 f g f g W f, g; (5..) eşitliği göterilebilir. Bua göre (5..)-(5..3) ıır değer problemie uygu A: H H operatörüü 7

f f D A N f H f W N, f f q f AF N f N eşitlikleri ile taımlayım. Burada F D A biçimide taımlıdır. O halde, eşitliği, ve biçimide yazılır. (5..6) eşitliğide elde edilir. Ayrıca f f F N f N f f q f A N f N f N f N f AF (5..3) (5..4) dır. Yai A operatörü F (5..5) f q f f N f N f N f N f f q f f f f f f N f N f f f f f 3 4 3 4 f F F D A F N f N f olduğu içi F N f ve F N f eşitlikleri ağlaır. O halde, (5..)-(5..3) ıır değer problemi (5..6) 8

olmak üzere AU U u u U N u N imetrik olduğu (5..) ifadeleri gereği açıktır. 5...Teorem: H L eşitlikleriyle taımlı A operatörü imetriktir. İpat: Her F, G D A biçimide yazılabilir. Taımladığımız bu A operatörü, Hilbert uzayıda (5..3)-(5..4) içi AF, G F, AG gerekir. Gerçekte H Hilbert Uzayıdaki iç çarpımı taımı gereği olduğuu götermemiz AF, G f q f g d N f N g N f N g f g d q f g d N f N g N f N g yazabiliriz. So eşitliği birici itegralie şeklide kımi itegrayo uygulaıra; f d dv, f v g u, gd du f g d g f f g d (5..7) olur. Bulua bu eşitliği ağ tarafıdaki itegrale şeklide kımi itegrayo uygulaıra; f d dt, f t g z, g d dz f g d g f f g d (5..8) elde edilir. (5..7) ve (5..8) eşitlikleride yararlaılarak AF, G ifadei 9

AF, G f g d q f g d g f g f N f N g N f N g f g d q f g d g f g f g f g f N f N g N f N g, ;, ; f g d q f g d W f g W f g N f N g N f N g şeklide yazılır. Diğer tarafta H uzayıdaki iç çarpımı taımı gereği F, AG f g q g d N f N g N f N g f g d f q g d N f N g N f N g dir. Ütteki iki eşitlik taraf taraf çıkarılıra ve (5..) ifadeleride yararlaılıra; AF, G F, AG W f, g; W f, g; N f N g N f N g N f N g N f N g, ;, ;, ;, ; W f g W f g W f g W f g elde edilir. Dolayııyla her F, G D A içi, AF, G F, AG eşitliği buluur. 5... Souç: Eğer ve 34 34 şartları ağlaıyora (5..)-(5..3) ıır değer problemii bütü özdeğerleri reeldir. İpat: ayııı (5..)-(5..3) ıır değer problemii özdeğeri olduğuu kabul edelim. Bu durumda ayıı (5..3)-(5..5) eşitlikleri ile taımlı A operatörüü özdeğeri olacaktır. Dolayııyla U, A operatörüü özdeğerie uygu herhagi bir öz elemeti olmak üzere U, U U, U AU, U U, AU U, U U, U H H H H H H eşitliğii elde ederiz. Burada 3

( ) U, U yazabiliriz. U, U olduğuda dolayııyla buluur. Buu alamı bütü özdeğerler reeldir. H H 5..3. Souç: Eğer ve 34 34 şartları ağlaıyora (5..)-(5..3) ıır değer problemii iki farklı ve özdeğerlerie karşılık gele u ve u özfokiyoları içi aşağıdaki eşitlik ağlaır. u u d N u N u N u N u (5..9) İpat: H - Hilbert uzayıda (5..4) ile taımlı A operatörü içi u( ) u ( ) U : N( u ( )), U : N( u ( )) N ( u ( )) N ( u ( )) elemalarıı ve özdeğerlerie karşılık gele öz elemetleri olduğu açıktır. ve özdeğerlerii reel ve A operatörüü H -Hilbert uzayıda imetrik olduğuu dikkate alırak, U, U U, U AU, U U, AU U, U U, U H H H H H H bulmuş oluruz. Burada U, U U, U ( ) U, U yazılabilir. olduğuda H H H U, U (5..) dır. O halde H-Hilbert Uzayıda taımlamış olduğumuz (5..) iç çarpım formülüü dikkate alırak (5..9) ile (5..) ifadelerii eşdeğer olduğu görülür. H 5.3. Sıır Değer Problemi İle İlgili Bazı Yardımcı Başlagıç- Değer Problemlerii Çözümleri ve Bu Çözümleri Özdeğer Parametreie Göre Aalitikliği deklemii Bu bölümde verile,, u q u u (5.3.) 3

u u u u u u u u 3 4 3 4 (5.3.) (5.3.3) ıır şartlarıı ağlaya çözümüü araştırmak içi bazı yardımcı başlagıç-değer problemlerii çözümlerii mevcutluğu ve bu çözümleri komplek özdeğer parametreie göre bütü komplek düzlemde aalitikliği göterilecektir. Daha ora (5.3.) deklemii (5.3.)-(5.3.3) problemi içi temel olacak çözümleri taımlaacaktır. 5.3.. Teorem: Her içi başlagıç değer problemii, bir tek,, u q u u (5.3.4) u (5.3.5), değişkeii her bir değeride fokiyoudur. u (5.3.6) u çözümü mevcuttur ve ayrıca fokiyou parametreii tam İpat: Adi diferaiyel deklem teoriide çok iyi bilie ve bu teorii e temel teoremleride biri ola Cauchy-Picard teoremi gereği (5.3.4)-(5.3.6) başlagıç-değer problemii (Cauchy problemii) her içi bir tek çözümü mevcuttur. Bu teoremi ea ve öemli ola kımıı, yai çözümüü, değişkei her bir, komplek düzlemde aalitik olduğuu ipat edelim. ve her içi (5.3.4) deklemii ağladığıda değeri içi değişkeie göre bütü q fokiyou her, deklemii ağlayacaktır. Burada her iki tarafıı, aralığıda itegrali alııra, qt tdt C (5.3.7) biçimide eşitlik elde edilir. ya bağlı ola yazarak C ifadeii bulmak içi (5.3.7) de 3

C (5.3.8) eşitliği elde edilir. Diğer tarafta fokiyouu taımı gereği, eşitliği ağlaır. (5.3.8) ve (5.3.9) ifadeleride (5.3.9) C (5.3.) eşitliği elde edilir. (5.3.) ifadei (5.3.7) de yerie yazılıra her, içi geçerli ola qt tdt ve her (5.3.) eşitliği elde edilir. (5.3.) eşitliği, aralığıda itegralleire, (5.3.) d qt tdt C eşitliği elde edilir. Bu eşitliği başlagıç şartıı ağladığıı da dikkate alırak, içi yazarak C fokiyouu (5.3.5) (5.3.3) eşitliği elde edilir. Diğer tarafta fokiyouu taımı gereği, eşitliği ağlaır. (5.3.3) ve (5.3.4) ifadeleride (5.3.4) C (5.3.5) eşitliği elde edilir. (5.3.5) ifadei (5.3.) de yerie yazılıra, d qt tdt (5.3.6) olur. Eşitliği ağ tarafıdaki itegral ifadede itegralleme ıraı değiştirilire, d qt tdt dt qt td qt t tdt, ve her t eşitliği buluur. So eşitliği (5.3.6) de yerie yazarak her içi geçerli ola 33

qt t tdt (5.3.7) eşitliği (özdeşliği) elde edilir. Böylece çözüm fokiyou içi (5.3.7) biçimide verilmiş itegral deklem elde edildi. Bu itegral deklemi çözümüe (yai fokiyoua) yakıaya fokiyo diziii işa edilmei içi, itegral deklemler teoriide iyi bilie ardışık yaklaşma yötemide yararlaılacaktır. Bu yötem gereği aşağıdaki rekurret (ard-arda birbirii ürete) fokiyolar dizii işa edilecektir. (5.3.8) q t t t dt,,,... (5.3.9) qt ve K M : ma t, ma t, t göterimleride yararlaılarak R keyfi ayı olmak üzere fokiyolar diziii herhagi kapalı ve ıırlı R yuvarıda (5.3.) fokiyolar diziii yakıaklık durumu iceleecektir. Bu fokiyolar dizii ile fokiyolar diziii ya her ikiii yakıak ya da her ikiii ırakak oldukları ve de yakıak oldukları durumda verilmiş (5.3.) eriii toplamı ile diziii limitii ayı olduğu açıktır. Bu edele dizii yerie (5.3.) erii iceleecektir. Bu erii terimleri ard arda değerledirilecektir. q t t t dt R M K t dt eşitizliği buluur. R M K (5.3.) q t t t dt 34

q t t t dt ifadeleride yararlaılarak içi geçerli ola q t t t t dt (5.3.) eşitliği elde edilir. (5.3.) eşitizliğide ve (5.3.) eşitliğide yararlaılarak (5.3.) eriii diğer terimleri değerledirilecektir. içi q t t t t dt R M K t tdt R M K 4 4! buluur. Böyle devam ederek tümevarım yötemi ile eşitizliğii her, =,,... (5.3.3)! R M K içi ağladığı kolayca buluur., olur. Dolayııyla (5.3.3) ifadeide eşitizliği elde edilir. R M K! K ( R M ) K( ) ( )! olduğu içi ayıal erii yakıak olduğuda Weiertra M-Kriteri gereği (5.3.) erii mutlak ve düzgü yakıaktır. fokiyolarıı (5.3.8) ve (5.3.9) eşitlikleri ile verilmiş taımları gereği bu fokiyoları her biri her, içi : R bölgeide aalitik olduğuda ve her, içi dizii fokiyoua düzgü olarak yakıak olduğuda ( ) fokiyou da her, içi değişkeii tam fokiyoudur. 35

5.3.. Souç: ağlaya ve her, fokiyou (5.3.) deklemii ve (5.3.) ıır şartıı içi parametreii tam fokiyou ola çözümdür. 5.3.3. Teorem: Her içi başlagıç değer problemii, bir tek,, u q u u (5.3.4) u 4 4 (5.3.5) u 3 3 (5.3.6) u çözümü mevcuttur ve ayrıca, değişkeii her bir değeride fokiyoudur. fokiyou parametreii tam İpat: Adi diferaiyel deklem teoriide çok iyi bilie ve bu teorii e temel teoremleride biri ola Cauchy-Pikard teoremi gereği verilmiş (5.3.4)- (5.3.6) başlagıç-değer problemii (Cauchy problemii) her içi bir tek ( ) çözümü mevcuttur. Bu teoremi ea ve öemli ola kımıı, yai ( ) çözümüü, değişkeii her bir, komplek düzlemde aalitik olduğuu ipat edelim. ve her içi (5.3.4) deklemii ağladığıda değeri içi değişkeie göre bütü q fokiyou her, deklemii ağlayacaktır. Burada her iki tarafıı, aralığıda itegrali alııra, qt tdt C (5.3.7) biçimide eşitlik elde edilir. ya bağlı ola ifadeide yazarak C ifadeii bulmak içi (5.3.7) C (5.3.8) eşitliği elde edilir. Diğer tarafta fokiyouu taımı gereği, 3 3 eşitliği ağlaır. (5.3.8) ve (5.3.9) ifadeleride (5.3.9) C (5.3.3) 3 3 36

Eşitliği elde edilir. (5.3.3) ifadei (5.3.7) de yerie yazılıra her, içi geçerli ola ve her qt tdt 3 3 (5.3.3) eşitliği elde edilir. (5.3.3) eşitliği, aralığıda itegralleire, d qt tdt 3 3 C (5.3.3) eşitliği elde edilir. Bu eşitliği içi yazarak fokiyouu (5.3.5) başlagıç şartıı ağladığıı da dikkate alırak, C 3 3 (5.3.33) eşitliği elde edilir. Diğer tarafta fokiyouu taımı gereği, 4 4 eşitliği ağlaır. (5.3.33) ve (5.3.34) ifadeleride (5.3.34) C (5.3.35) 4 4 3 3 eşitliği elde edilir. (5.3.35) ifadei (5.3.3) de yerie yazılıra, d qt tdt 3 3 4 4 (5.3.36) eşitliği elde edilir. So eşitlikte itegralleme ıraı değiştirilire, d qt tdt dt qt td qt t tdt, ve her t eşitliği buluur. So eşitliği (5.3.36) de yerie yazarak her içi geçerli ola qt t tdt 3 3 4 4 3 3 (5.3.37) eşitliği (özdeşliği) elde edilir. Böylece çözüm fokiyou içi (5.3.37) biçimide verilmiş itegral deklem elde edildi. Bu itegral deklemi çözümüe (yai fokiyoua) yakıaya fokiyo diziii işa edilmei içi, itegral deklemler teoriide iyi bilie ardışık yaklaşma yötemide 37

yararlaılacaktır. Bu yötem gereği aşağıdaki rekurret (ard-arda birbirii ürete) fokiyolar dizii işa edilecektir. (5.3.38) 3 3 4 4 3 3 q t t t dt,,,... (5.3.39) İlk öce yararlaılarak qt ve K M : ma herhagi kapalı ve ıırlı t, ma t, R keyfi ayı olmak üzere R yuvarıda t göterimleride fokiyolar diziii (5.3.4) fokiyolar diziii yakıaklık durumu iceleecektir. Bu fokiyolar dizii ile fokiyolar diziii ya her ikiii yakıak ya da her ikiii ırakak oldukları ve de yakıak oldukları durumda verilmiş (5.3.4) eriii toplamı ile ( ) diziii limitii ayı olduğu açıktır. Bu edele dizii yerie (5.3.4) erii iceleecektir. Bu erii terimleri ard arda değerledirilecektir. q t t t dt R M K t dt eşitizliği buluur. R M K (5.3.4) q t t t dt q t t t dt ifadeleride yararlaılarak içi geçerli ola q t t t t dt (5.3.4) eşitliği elde edilir. (5.3.4) eşitizliğide ve (5.3.4) eşitliğide yararlaılarak (5.3.4) eriii diğer terimleri değerledirilecektir. içi 38

q t t t t dt R M K t tdt R M K 4 buluur. Böyle devam ederek tümevarım yötemi ile eşitizliğii her 4! R M K!, =,,... (5.3.43) içi ağladığı kolayca buluur., olur. Dolayııyla (5.3.43) ifadeide eşitizliği elde edilir. R M K! K R M K! olduğu içi ayıal erii yakıak olduğuda Weiertra M-Kriteri gereği (5.3.4) erii mutlak ve düzgü yakıaktır. fokiyolarıı (5.3.38) ve (5.3.39) eşitlikleri ile verilmiş taımları gereği bu fokiyoları her biri her, içi : R bölgeide aalitik olduğuda ve her, içi fokiyoua düzgü olarak yakıak olduğuda dizii ( ) da her, içi değişkeii tam fokiyoudur. 5.3.4. Souç: ağlaya ve her, fokiyou fokiyou (5.3.) deklemii ve (5.3.3) ıır şartıı içi parametreii tam fokiyou ola çözümdür. 5.4. Temel Çözümler ve Karakteritik Fokiyo Bu keimde u : u q u u,, (5.4.) 39

: u u u u : 3u 4u 3u 4u (5.4.) (5.4.3) ıır değer problemii özdeğerleri ve özfokiyoları araıdaki bazı temel bağıtıları iceleecektir.,, u q u u u u şartlarıda oluşa başlagıç-değer problemii çözümüü ile, şartlarıı ağlaya çözümüü,, u q u u u 4 4 u 3 3 ile göterelim. Bu ve (5.4.4) (5.4.5) çözüm fokiyoları parametreii tam aalitik fokiyolarıdır [4]. Buda dolayı,, ; W W (5.4.6) Wrokia determiatı, aralığıda - değişkeide bağımız olup [5], ı tam aalitik fokiyoudur. W, ; Wrokia determiatıı değişkeide bağımız olduğu açıktır. Bu edele buda ora W, yerie adece W yazacağız. Burada özel olarak yazarak, bu fokiyo içi W N N ifadeii, özel olarak yazarak, bu fokiyo içi W N 3 3 4 4 3 3 4 4 N ifadeii elde ederiz. Bezer olarak 4

eşitliği buluur. acak N N 3 4 3 4 4 4 3 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 5.4.. Teorem: (5.4.)-(5.4.3) ıır değer problemii özdeğerleri acak ve W fokiyouu ıfır yerleride ibarettir. İpat: olacaktır. Bu durumda W ı bir ıfırı olu. O halde, W ve fokiyoları, diferaiyel deklemler teoriide bilie y ( ), y ( ),..., y( ) fokiyoları. mertebede diferaiyel deklemi lieer bağımız çözümleri ie, bu fokiyoları Wrokia determiatı bütü oktalarda ıfırda farklıdır. teoremii oucu olarak lieer bağımlıdır. Yai k,, (5.4.7) olacak şekilde bir k abiti mevcuttur. fokiyou (5.4.) deklemii ve (5.4.) ıır şartıı, fokiyou ie (5.4.) deklemii ve (5.4.3) ıır şartıı ağladığı açıktır. Dolayııyla (5.4.7) gereği bu fokiyoları her biri iki ıır şartıı da ağlar. O halde bu fokiyolar (5.4.)-(5.4.3) ıır değer problemii çözümü olur. Bu ie ayııı özdeğer olduğuu göterir. Şimdi ie ayııı, (5.4.)-(5.4.3) problemii özdeğeri olduğuu kabul ederek, W eşitliğii doğruluğuu ipatlayalım. Herhagi özdeğeri içi, W olduğu kabul edili. O halde ve fokiyoları lieer bağımız olur [5]. (5.4.) deklemii geel çözümü içi, u C C yazılabilir. Dolayııyla özdeğerie uygu ola her bir u çözüm fokiyou içi, 4

u C C olacak şekilde e az biri ıfırda farklı ola C, C ayıları buluur. (5.4.) eşitliği ile verile u eşitlikleri geçerlidir. özfokiyou (5.4.)-(5.4.3) ıır şartlarıı ağladığıda C C C C C i katayılarıı e az biri ıfırda farklı olduğu içi burada (5.4.8) elde edilir. Şimdi bu determiatı elemaları heaplaıra, ve, fokiyolarıı taımı gereği, N N W 3 4 3 4 N N W 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 elde edilir. Bulua bu eşitlikler (5.4.8) determiatıda yerlerie yazılıra, 4

W W W W W eşitliği elde edilir. Bu ie W kabulüyle çelişir ve teoremi ipatı tamamlaır. Şimdi ie ormalleştirilmiş özelemetleri bulalım. ıfırlarıı,,,... olmak üzere ile göterirek eşitliği ile taımladığımız deklemii ağlar. Dolayııyla N N elemetleri W fokiyouu her A D A W fokiyouu ler A operatörüü özelemetleri olur. ıfırı içi (5.4.6) gereği lieer bağımlı olurlar. O halde her,,,... içi k,, ile olacak şekilde k abiti vardır. A operatörü imetrik olduğu içi m ike bu özdeğerlere uygu ola ve m özelemetleri ortogoal olur [3]. Yai, m dır. O halde A operatörüü özelemetlerii ormalleştirilmiş halii şeklide göterebiliriz. N N 5.5. ve Çözüm Fokiyolarıı Aimptotiği 5.5.. Lemma: olmak üzere (5..) diferaiyel deklemii (5.4.4) şartıı ağlaya çözümü 43

co i i yq y ydy itegral deklemii ağlar. İpat: (5..) diferaiyel deklemii u u qu (5.5.3) biçimide yazdıkta ora bu deklemi homoje olmaya deklem gibi düşüerek abiti değişimi yötemiyle çözelim. Uygu u u deklemii geel çözümü u, C co C i biçimide olduğu içi (5.5.3) deklemii geel çözümüü u(, ) C (, )co C (, )i (5.5.4) biçimide arayacağız. Sabiti değişimi yötemi gereği, C, co C, i, i, co, C C q u deklem itemii ağlaılar. Bu itemi C, ve C lieer deklem itemi gibi çözerek, q u, i C, q u, co C,, değişkelerie göre (5.5.5) buluur. (5.5.5) de bulduğumuz ifadelerii (5.5.4) de yerie koyarak, C y q y u y dy C, i, C y q y u y dy C, co, u, co i y q yu y, dy i co y q yu y, dy C co C i i y qyu y, dy C co C i (5.5.6) 44

eşitliğii elde ederiz. (5..) deklemii (5.4.4) şartıı ağlaya çözümüü aradığımızda bu şartları kullaırak y q y u y dy C C i, co i ifadei elde edilir. Burada C buluur. (5.5.6) ifadeii türevii alırak, elde edilir. Burada, i i, u y q y u y dy co i q u, i q u, co co y q y u y, dy i co q u, co q u, C i C co i i y q y u y, dy co co y q y u y, dy C i C co u, co y q y u y, dy C i C co (5.5.7) eşitliğii elde ederiz. Bu ifadede (5.4.4) şartıı kullaırak yq yu y dy C C ifadei elde edilir. Burada co, i co C buluur. Bulua C, C değerlerii (5.5.6) ve (5.5.7) ifadeleride yerlerie yazıp gerekli düzelemeleri yaparak, u, co i i yq yu y, dy, i co co, u y q y u y dy itegral deklemleri elde edilir. Burada co i i yq y ydy yazılabilir ve ipat tamamlaır. 45

5.5.. Souç: çözüm fokiyou içi co i i yq yydy i co co y q y y dy eşitlikleri ağlaır. 5.5.3. Lemma: olmak üzere (5..) diferaiyel deklemii (5.4.5) şartıı ağlaya çözümü 3 3 4 4co i i yq y ydy itegral deklemii ağlar. İpat: Bezer şekilde ipat edelim. O halde (5.5.5) de bulduğumuz ifadelerii (5.5.4) de yerie koyarak, C y q y u y dy C, i, C y q y u y dy C, co, u, co i y q yu y, dy i co y q yu y, dy C co C i i y qyu y, dy C co C i (5.5.8) formülüü elde ederiz. (5..) deklemii (5.4.5) şartıı ağlaya çözümüü aradığımızda bu şartları kullaırak 4 4 i y q y u y, dy C co C i ifadei elde edilir. Burada 4 4 buluur. (5.5.8) ifadeii türevii alırak, C co C i (5.5.9) 46

, i i, u y q y u y dy elde edilir. Burada + co i q u, i q u, co co y q y u y, dy i co q u, co q u, C i C co i i y q y u y, dy co co y q y u y, dy C i C co u, co y q y u y, dy C i C co (5.5.) eşitliğii elde ederiz. Bu ifadede (5.4.5) şartıı kullaırak 3 3 co y q y u y, dy C i C co ifadei elde edilir. Burada buluur. (5.5.9) ifadei toplaıra, C i C co (5.5.) 3 3 co ile, (5.5.) ifadei i ile çarpılıp, taraf tarafa co i C co C i co i 4 4 3 3 buluur. Öte yada, (5.5.9) ifadei taraf tarafa toplaıra, C 4 4 3 3 co C 4 4 3 3 i i ile, (5.5.) ifadei co ile çarpılıp, i co C i C co i co 4 4 3 3 C 4 4 3 3 i C 4 4 3 3 co 47

buluur. Bulua C, C değerlerii (5.5.8) ve (5.5.) ifadeleride yerlerie yazıp gerekli düzelemeleri yaparak, u 4 4 3 3, co i i yq yu y, dy, i co u 4 4 3 3 co y q y u y, dy itegral deklemleri elde edilir. Burada 4 4 3 3 ( ) co i yazılabilir ve ipat tamamlaır. 5.5.4. Souç: i yq y ( y ) dy çözüm fokiyou içi aşağıdaki eşitlikler ağlaır: 4 4 3 3 ( ) co i i y q y ( y) dy 4 4 3 3 ( ) i co co y q y ( y) dy 5.5.5. Teorem:,, i, i ( i, 4) kabul edelim ve, it ile göterelim. O halde öyle aimptotik eşitlikler ağlaır. vardır ki içi aşağıdaki ) ie ) ie t ( ) O e (5.5.) 3 t ( ) O e (5.5.3) t ( ) O e (5.5.4) t ( ) O e (5.5.5) 48

İpat: Öce içi ( ) çözüm fokiyouu aimptotiğii bulalım. ile göterelim. O halde F fokiyou t F : e ( ) (5.5.6) t t F e co i e i yq y ydy t t y t e co i i yq yf ye e dy t t y e co i i yq yf ye dy (5.5.7) itegral deklemii ağlar. (5.5.7) de her iki tarafıı mutlak değerii alırak, t F e co i t y i y q y F y e dy t t t t y t y e e e e q y F y e dy q y F y dy eşitizliğii elde ederiz. Burada ile göterirek, oucu eşitizlikte, M : ma F (5.5.8) M M q ydy eşitizliği elde edilir. Burada ie M q ydy 3 eşitizliği buluur. O halde q y dy : r (5.5.9) 49

içi buluur. Burada M 3 r r r M M (5.5.) M 3 r r r dır. Dolayııyla r ayıı (5.5.9) ile taımlamak üzere r içi (5.5.6), (5.5.8) ve (5.5.) de eşitizliği elde edilir. Burada ie t ( ) M e (5.5.) ( ) O e yazılır ve (5.5.) eşitliği ipatlamış olur. Şimdi (5.5.3) eşitliğii doğruluğuu ipatlayalım. (5.5.) eşitizliği ve Souç 5.5.. gereğice r içi t t t y t e e e q y y dy ifadeide t t y t y e e q y M e dy 3 t t 3 e e M q ydy M 3 r r r r M M r 3 e r t 3 M e t 3 q y d y e t eşitizliği elde edilir. Burada ie ( ) 3 O e t 5