E³tszlkler Ders Notlar-I wwww.sbelia.wordpress.com E³itsizlikleri çözerke sklkla saylar ve matematiksel ifadeleri kar³la³trrz. Yada bize verile bir matematiksel ifadei e büyük yada e küçük de erii bulmaya çal³rz. Bu ders otumuzda e³itsizlik sorularda sklkla kar³mza çka temel tip e³itsizlikleri ve uygulamalar görece iz. Aritmetik Orta-Geometrik Orta-Harmoik Orta E³itsizli i. a, a,, a > 0 ve a i R içi, AO = a + + a GO = a a a HO = E³itlik olmas durumuda ise a = a = = a Örek.()A0 GO e³itsili i ile, x > 0 olmak üzere, x + x x x = E³itlik ise x = durumuda sa laacaktr. () AO HO e³itsizli ide e er a, a,, a > 0 ise (a + a + + a )( a + a + + a ) a + a + + a () a, b, c > 0 ve abc = ise (a + b + c)(ab + cb + ac) çarpm e küçük de erii buluuz. Çözüm.AO GO e³itsizli ide, ise a + b + c abc ve ab + bc + ac (a + b + c)(ab + ac + bc) 9 Bua göre istee e küçük de er 9 (4) Z + ise ( + ) ( + + )+ e³itsizli ii katlayz. ab bc ac
Çözüm. Varsayalm a = a = = a = + ve a + = olarak alalm. Bua göre, AO GO e³itsizli ide AO = ( + ) + + = + + GO = ( + + ) e³itsizli ide soruda istee durum elde edilir. (5)(964, IMO) a, b, c bir üçgei kear uzuluklardr. Bua göre, e³itizli ii katlayz. Çözüm. Varsayalm, a (b + c a) + b (c + a b) + c (a + b c) abc x = a + b c, y = b + c a, z = c + a b olarak alalm. Burada a = x + z, b = x + y, c = y + z olaca da e³itsizli imiz (x + z) y + (x + y) z + (y + z) x (z + x)(x + y)(y + z) E er so buldu umuz so e³itsizli i düzelersek, y + y z + z x + xy + yz + z 6xyz e³itsizli ii elde ederiz. Burada e³itsizli i sol tarafa AO GO e³itsizli i uygularsa soruda istee e³itsizlik katlam³ olur. (6)(008, AUMO ) do al says kaç tae de eri içi, x + + + x = 9 + + + x x = deklem sitemii pozitif reel saylarda çözümü vardr? Çözüm. AO HO e³itsizli ii kullarsak, x + + + x x + + + x 9 9 oldu ua göre, =,, de erlerii alabilir. Acak, = de eri içi do rulamad açktr. Öyleyse sadece ve içi çözümlüdür. Cauchy-Schwartz E³itsizli i. a, a,, a ve b, b,, b reel saylar içi (a b + a b + + a b ) (a + a + + a )(b + b + + b ) e³itsizli i vardr. E³itlik durumu a i b j = a i b j, i, j =,, içi vardr. (7) 0 θ < π içi a cos θ + b si θ Atalya Üiversitesi Matematik Olimpiyatlar, 008
ifadesii alabilece i e büyük ve e küçük de erleri buluuz. Çözüm. C.S. e³itsizli ide e³itsizli ide, (a cos θ + b si θ) (a + b )(cos θ + si θ) a + b a cos θ + b si θ a + b aral buluur. (8)(978, USAMO ) a, b, c, d, e reel saylar içi a+b+c+d+e = 8 ve a +b +c +d +e = 6 ise, e'i alabilece i e büyük de eri buluuz. Çözüm. C.S. e³itsizli ide, ise (a + b + c + d) ( + + + )(a + b + c + d ) (8 e) 4(6 e ) Burada da, e(5e 6) 0 ise 0 e 6/5 C.S. e³itsizli ii, e³itlik duruu kullalrsa a = b = c = d = 6/5 ve e max = 6/5 (9) a, b, c > 0 ve abc = ise e³itizli ii katlayz. Çözüm. x = a = bc, y = b = ac, z = c Burada, x + y + z = a (b + c) + b (a + c) + c (a + b) x z + y e³itli ie C.S.E. e³itsizli ii uygularsak, (x + y + z) ( x = ab alrsak, e³itsizli i so hali x + z + x + y y x + z x + z + z x + y x + y )((z + y) + (x + z) + (y + x)) x + y So e³itsizli i ve A.O. G.O. e³itsizliklerii kullarsak, buluur. x + y x + y + z xyz = Yeide Düzeleme (Permütasyo) E³itsizli i. a a a ve b b b ise, a b + a b + + a b a b r + a b r + + a b r a b + a b + + a b Uited States Of America Math Olympiads, 978
e³itsizli i vardr. Burada (b r, b r,, b r ) dizilimi (b, b,, b ) dizilimii bir permütasyoudur. (0)(978, IMO ) c, c,, c farkl pozitif tamsaylardr. Bua göre, c + c + + c + + + e³itsizli ii katlayz. Çözüm. Varsayalm (a, a,, a ) dizilimi c i 'leri arta srayla dizilimi olsu. a i 'ler farkl pozitif tamsaylar oldu ua göre, a, a,, a diyebiliriz. Burada, ve a < a < < a ise Y.D.E.'e göre > > > > c + c + + c a + a + + a + + + () Örek (9)'u Y.D.E. kullaarak yapz. Çözüm. x, y, z içi tamlamalarmz (9)'daki gibi olsu. Geelli i kaybetmede x y z alalm. xyz = ve y z oldu ua göre /(z + y) /(x + z) /(y + x) üçlüsüde ikici dizilimimiz olsu. Bu oktada Y.D.E.'yi iki defa uygularsak, e³itsizliklerii taraf tarafa toplarsak, e³itsizli ii elde ederiz. x + y x + y x + y + x + y + x + z z + y x + y + ( y + x + + y y + z + + z + x ) a + b a + b e³itsizli ii, sa taraf paylar içi kulladkta sora A.O. G.O. e³itsizli ii kullarsak, e³itsizli i elde edilir. x + y (y + x + z + y + x + z ) = x + y + z xyz = Chebyshev E³itsizli i. E er a a a ve b b b ise Iteratioal Math Olympiads, 978 a b + a b + + a b (a + + a )(b + + b ) 4
e³itsizli i vardr. ()(974, USAMO 4 ) a, b, c > 0 ise a a b b c c (abc) (a+b+c)/ oldu uu katlayz. Çözüm. Üçlülerimizi (a, b, c) ve (log a, log b, log c) olarak seçersek, a log a + b log b + c log c (a + b + c)(log a + log b + log c) log a a b b c c (a + b + c) log(abc) log a a b b c c log(abc) (a+b+c)/ a a b b c c (abc) (a+b+c)/ () 0 a k <, k =,,,, ve S = a + a + + a ise k= a k S a k S e³itsizli ii katlayz. Çözüm. Geelli i kaybetmede a a a 0 alabiliriz. Bua göre, 0 < a a a ve Chebysev e³itsizli ide, a a a a a a S = a ( a ) + a ( a ) + + a ( a ) a a a a k ( a k ) = S a k a k a k k= k= k= Matematikte ve tabii ki istatistikte sklla ortalamalr kullamaya ihtiyaç duyarz. AO, GO, HO d³da kullad mz Kuvvet Ortalamas ve Simetrik Ortalar da vardr. Aslda, bu iki ortalama AO ve GO'yda özel birer durum olarak içerir. Kuvvet Ortalamas E³itsizli i. a, a, a,, a > 0 ve s < t içi M s = ( as + as + + as ) /s M t = ( at + at + + at ) /t e³itsizlikleri vardr. E³itlik a = a = = a durumuda vardr. 4 Uited States Of America Math Olympiads, 974 5
Not. Bu e³itsizlikte M = A.O., M = H.O. ve M ise Karesel Ortalamadr. Karesel Orta istatistik ve zikte kullalr. Ayrca, limitlerii alrsak, M + ifadesi MAX = max{a, a,, a } ve M 0 ifadesi Geometrik Orta ve de M ifadesi MIN = mi{a, a,, a } Dolaysyla elimizde, MAX KO AO GO HO MIN e³itsizli i olu³acaktr. Maclauri Simetrik Orta E³itsizli i.a, a,, a > 0 içi AO S S / S / = GO Mesela, S j ifadesie = 4 içi bakalm S = a + a + a + a 4 4 (4) x, y, z pozitif saylar oldu ua göre, S = a a + a a + a a 4 + a a + a a 4 + a a 4 6 S = a a a + a a a 4 + a a a 4 + a a a 4 4 S 4 = a a a a 4 x 5 + y 5 + z 5 x 5 y yz + y5 zx + z z5 xy e³itsizli ii katlayz. Çözüm. Varsayalm a = x, b = y, c = z olsu. Bua göre e³itsizli imiz, Bua göre, KOE'yi kullarsak (5) a, b, c > 0 ise, a 0 + b 0 + c 0 a + b + c a + b + c = M = M 0 M M 0 0 M 0 = (a 0 + b 0 + c 0 )abc e³itsizli ii katlayz. Çözüm. E³itsizli i düzelersek, abc a + b + c a8 + b 8 + c 8 a b c a 8 + b 8 + c 8 a b c ( a + b + c ) = (abc) (bc + ac + ab) KOE ve SOE'yi kullarsak, a 8 + b 8 + c 8 = M8 8 M 8 = S 8 = SS 6 (S / ) 6 (S / ) = (abc) (bc + ac + ab) 6
(6) a, a,, a 0 ve ( + a )( + a ) ( + a ) = ise, oldu uu gösteriiz. Çözüm. SO e³itsizli ide, a a a = ( + a )( + a ) ( + a ) ( ) ( ) = + S + S + + S + S ( ) ( ) + S / + S / + + S + S = ( + S / ) ise + S / ve S = a a a olur. 7
ALI TIRMALAR. Kou alatmda verile tüm örekleri çözümlerie bakmada yapz.. x,,, x > 0 içi e³itsizli ii katlayz.. 0 < a, b, c < ve a + b + c = ise e³itsizli ii katlayz. 4. E er a, b, c, d > 0 ve c + d = (a + b ) ise e³itsizli ii katlayz. + x x + + x x x + + + x 8( a)( b)( c) abc a c + b d 5. a, a,, a > 0 ve a + a + + a = ise ifadesii e küçük de erii buluuz. (a + a ) + (a + a ) + + (a + a ) 6. E er a, b, c, d > 0 ve S = a + b + c + d ise a + b + c a + b + c e³itsizli ii katlayz. + a + b + d a + b + d + a + c + d a + c + d + b + c + d b + c + d 7. E er x,,, x > 0 ve x + + + x = ise, e³itsizli ii katlayz. k= x k xk 8. a, b, c bir üçgei kear uzuluklar oldu ua göre, e³itsizli ii katlayz. k= xk a b(a b) + b c(b c) + c a(c a) 0 S 8