Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu Dönüşümü Durum Uzayında Doğrusallaştırma

Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu Dönüşümü Durum Uzayında Doğrusallaştırma 1

Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulması gerektiğini, tabiattaki tüm dinamik sistemlerin Diferansiyel Denklemler ile modellendiğini, sonra bu diferansiyel denklem modelinin, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir forma dönüştürüldüğünü söylemiştik. Bu dönüşüm için iki yaklaşım söz konusuydu: 1. Frekans Domeni Yaklaşımı (Klasik Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Laplace Dönüşümü yoluyla frekans domeninde ifade edilir. Bu yaklaşım sadece doğrusal sistemlere uygulanabilir.. Zaman Domeni Yaklaşımı (Modern Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Durum-Uzay Dönüşümü yoluyla zaman domeninde ifade edilir. Bu yaklaşım hem doğrusal, hem de doğrusal olmayan sistemlere uygulanabilir. Bir önceki derste klasik yaklaşımdan bahsettik. Bugün ise modern yaklaşım tanıtılacaktır.

Klasik yaklaşım, sistemi modelleyen diferansiyel denklemi, Laplace dönüşümü yoluyla cebirsel bir denkleme dönüştürür. Bu yaklaşımın temel dezavantajı, sadece doğrusal zamanla değişmeyen sistemlere uygulanabilmesidir. Temel avantajı ise, kararlılık ve geçici zaman cevabı gibi temel performans spesifikasyonları ile ilgili olarak çok fazla matematiksel işleme gerek bırakmadan bilgi sağlamasıdır. Soğuk savaş döneminde uzay araştırmalarının yoğunlaşması, hem kontrol sistemlerine duyulan ihtiyacı artırmış, hem de doğrusal olmayan sistemlerin daha yaygın bir biçimde ortaya çıkmasına sebep olmuştur. Bu nedenle yeni bir modelleme ve kontrol yaklaşımına ihtiyaç duyulmuştur. Modern Yaklaşım, ya da diğer isimleri ile Zaman Domeni Yaklaşımı ve Durum-Uzay Yaklaşımı bu ihtiyacın sonucu olarak ortaya çıkmıştır. Modern yaklaşımın temel avantajı hem doğrusal hem de doğrusal olmayan sistemlere uygulanabilir olmasıdır (bugünkü derste sadece doğrusal sistemlere, son hafta ise doğrusal olmayan sistemlere uygulanmasını inceleyeceğiz,). Temel dezavantajı ise sistem performansının belirlenmesi için görece daha fazla matematiksel hesap gerektirmesidir. Ancak günümüz bilgisayarları ve ticari paket programlar bu hesaplamaları çok kısa sürede yapabilmektedir. 3

Durum-Uzay Yaklaşımı ağırlıklı olarak matris cebrine dayalıdır. Bu nedenle temel Lineer Cebir tanım ve aksiyomlarını gözden geçirmeniz önerilir. Şimdi Durum-Uzay Yaklaşımında sıkça kullanacağımız bazı ek kavramların tanımlarını verelim: Lineer Kombinasyon: i, {i=1,,,n} ile gösterilen n adet değişkenin lineer kombinasyonu, S K K... K n n n1 n1 1 1 ile gösterilen toplamdır. Buradaki her bir K i katsayısı birer sabittir. Lineer Bağımsızlık: Bir değişken kümesi, eğer o kümedeki elemanların her biri diğerlerinin lineer kombinasyonu şeklinde yazılamıyorsa lineer bağımsızdır. Örneğin 3 elemanlı, 1, ve 3 değişkenlerinden oluşan kümeyi ele alalım. Eğer bu kümede =5 1 +6 3 şeklinde ise, bu küme lineer bağımsız değildir! Çünkü değişkenlerden biri, diğer ikisinin lineer kombinasyonu şeklinde yazılabiliyordur. Bir elektrik devresinde direncin uçlarındaki gerilim ile direnç üzerinden akan akımdan, yani v r ve i r değişkenlerinden oluşan bir küme düşünelim. v r =Ri r olduğu için, yani bu iki değişken birbirinin lineer kombinasyonu şeklinde yazılabildiği için, bu küme de lineer bağımsız değildir. Bir kümede, ancak tüm K i =0 ve i 0 olduğu zaman S 4 toplamı sıfır oluyorsa o küme bağımsızdır.

Sistem Değişkeni: Bir sistemde, herhangi bir girişe (etkiye) tepki üreten tüm değişkenler, o sistem için birer sistem değişkenidir. Örneğin bir elektrik devresine gerilim uygulanırsa, devreden bir akım geçmeye başlar ve bu nedenle akım bir sistem değişkenidir. Ya da dönen bir mekanik sisteme tork uygulanırsa açısal konum değişeceğinden, açısal konum (yerdeğiştirme) bir sistem değişkenidir. Durum Değişkeni: Sistem değişkenlerinin birbirinden lineer bağımsız olanların en küçük kümesine durum değişkenleri denir. Durum değişkenlerinin seçimi, Durum-Uzay Yöntemi için kritik öneme sahiptir. Durum Vektörü: Elemanları durum değişkenleri olan vektördür. Durum Uzayı: Eksenleri durum değişkenleri olan n-boyutlu uzaydır. 5

Durum Uzayı kavramını görselleştirmek için aşağıdaki şekli göz önünde bulunduralım. Bu örnek şekilde, bir elektrik devresine ait iki adet durum değişkeni vardır: Direncin uçlarındaki gerilim v R ve kondansatörün uçlarındaki gerilim v C. Bu iki değişken şekildeki gibi boyutlu bir uzay oluşturur. Durum vektörü (t), bu iki değişkeni içeren bir vektördür. Yani; vr () t v C şeklindedir. Yörünge (trajectory), zaman geçtikçe bu vektörün uzayda aldığı değerleri gösterir. Örneğin t=4 anında durum vektörü, yörünge üzerinde şekilde gösterilen konumdadır. 6

Durum Denklemleri: n tane durum değişkeni içeren bir sistemin, n adet birinci mertebeden diferansiyel denklem kümesidir. Yani, sistemi modelleyen diferansiyel denklem kullanılarak, sistemin her bir durum değişkeni için bir adet birinci mertebeden diferansiyel denklem yazılır. Çıkış Denklemi: Çıkış değişkeni olarak seçilen değişkene ilişkin denklemdir. Bu denklem, durum değişkenleri ve giriş değişkenlerinin bir kombinasyonudur. Bu kadar göz korkutucu tanımdan sonra, bir sistemin durum-uzay modelinin genel formunu verip, daha sonra örnekler üzerinden, diferansiyel denklem modeli bilinen bir sistemin durum-uzay modelinin nasıl oluşturulacağını açıklayalım. 7

Bir sistemin durum-uzay modelinin genel formu aşağıdaki gibidir: A Bu y C Du Bu dersin geri kalan kısmında artık sıkça göreceğiniz bu iki denklemden ilki Durum Denklemi, ikincisi ise Çıkış Denklemi olarak adlandırılır. (Bu denklemlerdeki değişkenler birer vektör/matris olduğu için, matematiksel notasyon gereği kalın yazılırlar). Bu değişkenlerden her biri aşağıdaki gibi isimlendirilir: : Durum vektörü (Elemanları durum değişkenleri olan vektör) : Durum değişkenlerinin zamana göre türevi y : Çıkış vektörü (Elemanları çıkış değişkenleri olan vektör) u : Giriş vektörü (Elemanları giriş değişkenleri olan vektör) A : Sistem matrisi B : Giriş matrisi C : Çıkış matrisi D: İleribesleme matrisi 8

A Bu y C Du Diferansiyel denklem modeli bilinen bir sistemin, bu diferansiyel denklem modelinin yukarıdaki durum-uzay formuna sokulmasına ilişkin aşamalar şu şekildedir: 1. Durum değişkenlerinin seçilmesi. Diferansiyel denklem modelinin, cebirsel işlemlere her biri durum değişkenlerinden birinin birinci mertebeden diferansiyel denklemi olacak şekilde yeniden yazılarak Durum Denkleminin oluşturulması 3. Çıkış Denkleminin oluşturulması Buradaki ikinci ve üçüncü aşama basit matematiksel işlemlerden oluşmaktadır. Ancak ilk aşama, yani durum değişkenlerinin seçimi üzerine birkaç önemli noktayı vurgulayalım. 9

Her şeyden önce durum değişkenleri lineer bağımsız olmalıdır. Genellikle durum değişkenlerinin sayısı, sistemi modelleyen diferansiyel denklemin mertebesine eşittir. Durum değişkenlerinin seçimine ilişkin pratik bir yaklaşım, sistemde enerji depolayan elemanlara ilişkin değişkenlerin, durum değişkeni olarak seçilmesidir. Örneğin bir elektrik devresinde enerji depolayan elamanlar indüktör ve kapasitördür. İndüktör, enerjiyi manyetik alanda depolar. Manyetik alan, akımın bir fonksiyonu olduğu için indüktör akımı durum değişkeni olarak seçilir. Kapasitör ise enerjiyi elektrik alanda depolar. Elektrik alan, gerilimin bir fonksiyonudur ve bu nedenle kapasitör uçlarındaki gerilim durum değişkeni olarak seçilir. Mekanik sistemlerde ise (genellikle) kütlenin pozisyonu ve hızı durum değişkeni olarak seçilir. Tüm bu bilgilere ek olarak, durum değişkenlerinin seçimi genellikle mühendislik tecrübesi yoluyla edinilen bir yetidir. Tüm bu sıkıcı tanım ve açıklamaları örneklerle somutlaştıralım: 10

Ör: İlk önce basit bir diferansiyel denklem modelini Durum-Uzay formuna dönüştürmekle başlayalım. Daha sonra diğer örneklerde fiziksel sistemlere ve bu fiziksel sistemlerde durum değişkenlerinin nasıl seçileceğine geçelim. Aşağıdaki ikinci mertebeden diferansiyel denklemi göz önünde bulunduralım: z( t) z( t) 7 z( t) 3 u( t) İkinci mertebeden bu doğrusal diferansiyel denklemde bağımsız değişken her ne kadar doğrudan görünmese de, (dot) operatörü genellikle zamana göre türevi sembolize eder. Şimdi durum-uzay denklemlerinin genel formunu hatırlayalım: A Bu y C Du Durum Denklemi Çıkış Denklemi Yapmamız gerekenler sırasıyla; (1) durum değişkenlerini () seçmek, () durum değişkenlerinin türevini, yine durum değişkenleri () ve giriş değişkeni (u) cinsinden birinci mertebeden denklemler şeklinde yazarak durum denklemini oluşturmak, (3) çıkış değişkenini (y) seçmek ve çıkış değişkenini durum değişkenleri ve giriş değişkeni cinsinden yazmak. 11

z( t) z( t) 7 z( t) 3 u( t) Bu diferansiyel denklem ikinci mertebeden olduğu için iki adet durum değişkeni olacaktır. Bu durum değişkenlerini 1 z() t z() t olarak seçelim. Bu durum değişkenlerinin türevini aldığımızda; z() t 1 z( t) 7 3u 1 Böylece durum değişkenlerinin türevini, yine durum değişkenleri ve giriş değişkeni cinsinden ifade etmiş olduk. Yani artık durum denklemini yazabiliriz: A Bu 1 0 1 1 0 u 7 3 A B 1

Çıkış değişkenini de y=z olarak seçelim. Bu durumda çıkış denklemi vektör-matris formunda aşağıdaki gibi olacaktır: y 1 0 1 Bu örnekte çıkışın (y), giriş (u) ile doğrudan bir bağıntısı olmadığı için D matrisi sıfıra eşittir. Sonuç olarak bu diferansiyel denklemin durum-uzay gösterimi aşağıdaki gibi olacaktır: A Bu y C Du C 1 0 1 1 0 u 7 3 y 1 1 0 13

Sistem n boyutluysa, yani sistemi modelleyen diferansiyel denklem n inci mertebeden bir denklemse, A matrisi n n boyutlu bir kare matristir. Bu örnekte iki durum değişkeni olduğu için, A matrisi bir matristir. Sistemdeki diğer matris ve vektörlerin boyutu aşağıdaki gibidir: (Bu örnekte sistem Tek Giriş Tek Çıkış bir sistemdir. Birçok sistem Çok Giriş Çok Çıkış (Multi Input Multi Output) olabilir. Yani birden fazla giriş ve/veya çıkış değişkenine sahip olabilir. Bu nedenle aşağıda matris boyutlarının en genel hali verilmiştir. p giriş değişkeni sayısını, r ise çıkış değişkeni sayısını göstermektedir.) : n 1 : n 1 y : r 1 u : p 1 A : n n B : n p C : r n D: r p 14

A Bu y C Du Sistemi modelleyen diferansiyel denklemi neden yukarıdaki formda yazmaya zorladığımız sorusu haklı olarak akla gelebilir. Hatırlanacağı üzere klasik yaklaşımda sistemi modelleyen diferansiyel denklemi Laplace Dönüşümü yoluyla frekans domeninde ifade edip, daha sonra transfer fonksiyonunu yazıyorduk. Bunun nedeni, transfer fonksiyonunun sistemin davranışı hakkında bize kullanışlı bilgiler sağlamasıydı. Örneğin sistem kararlılığı, geçici hal cevabı gibi önemli performans kriterlerini transfer fonksiyonu yoluyla belirleyebiliriz. Aynı neden, modern yaklaşım için de geçerlidir. Yani sistemi modelleyen diferansiyel denklemi Durum- Uzay Dönüşümü yoluyla yukarıdaki formda yazmamızın nedeni, buradaki A, B, C ve D matrislerinin sistem performansı hakkında kullanışlı bilgi sağlamasıdır. Örneğin sistemin kararlı olup olmadığı A matrisinin özdeğerleri bulunarak belirlenebilir. Aynı diferansiyel denklemi hem transfer fonksiyonu formunda hem de durum-uzay formunda ifade edersek, A matrisinin özdeğerleri ile transfer 15 fonksiyonunun kutuplarının tamamen aynı değerde olduğunu görürüz.

Ör: Şimdi de daha önce transfer fonksiyonunu türettiğimiz aşağıdaki mekanik sistemin durum-uzay denklemlerini türetelim. Cisme etki eden kuvvetler şekilde gösterildiği gibidir. Newton yasasına göre; F ma d t f ( t) fv K( t) m dt ( ) d ( t) Sistemin giriş değişkeninin f(t) olduğunu biliyoruz. Çıkış değişkeni olarak, yani değişimini gözlemek istediğimiz değişken olarak (t) yi seçelim. Yukarıdaki diferansiyel denklem ikinci mertebeden olduğu için iki adet durum değişkeni olmalıdır. Bu değişkenlerin bu tür mekanik sistemlerde genellikle kütlenin konumu (t) ve hızı v(t) olarak seçildiğini daha önce vurgulamıştık. dt 16

Durum değişkenlerini 1 d ( t) d( t) m f ( ) ( ) v K t f t dt dt () t d() t dt olarak seçelim. Bu durum değişkenlerinin zaman göre türevini aldığımızda 1 fv k 1 1 f () t m m m elde ederiz. Çıkış denklemi ise şu şekildedir: y 1 17

1 fv k 1 1 f () t m m m Durum Denklemi y 1 Çıkış Denklemi Bu denklemler, vektör-matris formunda aşağıdaki gibi yazılır: A Bu y C Du 0 1 0 1 1 k f v 1 m m m y 1 1 0 f() t 18

Ör: Şimdi de elektriksel bir sistemin durum-uzay denklemlerini türetelim. Aşağıdaki devrede çıkış değişkeni olarak direncin üzerinden akan akımı, i R (t), seçelim. Giriş değişkeninin ne olduğu ise aşikardır: v(t). Daha önce elektrik devrelerinde durum değişkenlerinin seçimi ile alakalı olarak şunları söylemiştik: Bir elektrik devresinde enerji depolayan elamanlar indüktör ve kapasitördür. İndüktör, enerjiyi manyetik alanda depolar. Manyetik alan, akımın bir fonksiyonu olduğu için indüktör akımı durum değişkeni olarak seçilir. Kapasitör ise enerjiyi elektrik alanda depolar. Elektrik alan, gerilimin bir fonksiyonudur ve bu 19 nedenle kapasitör uçlarındaki gerilim durum değişkeni olarak seçilir.

Bu nedenle durum değişkenlerini i L ve v C olarak seçelim. Bu aşamadan sonra sistemi modelleyen denklemler türetilip, bu denklemler yardımıyla durum değişkenlerinin türevinin, durum değişkenlerinin kendisi ve giriş değişkeni cinsinden yazılması gerekir. Yani Kirchhoff kanunları yardımıyla yazacağımız denklemler üzerinde manipülasyon yapıp, bu denklemleri durum değişkenlerinin türevinin, durum değişkenlerinin kendisi ve giriş değişkeni cinsinden yazılmış forma sokmamız gerekir. Durum değişkenlerinin türevi bize aşağıdaki büyüklükleri verir: dv di C C ic L vl dt dt 0

1 nolu düğümden: Bu denklem, birinci durum değişkeninin türevinin, durum değişkenlerinin kendisi cinsinden yazılmış formunu verir. Çünkü i C akımı birinci durum değişkeni olan v C nin türevine eşittir. Yani C dv dt C i C i i i C R L 1 v R olduğu için, birinci durum değişkenine ilişkin denklem şu şekilde olur: dvc 1 1 vc i dt RC C L C i L 1

İkinci durum değişkeni için, Kirchhoff un Gerilimler Kanununa göre, dış çevreden şu denklemi yazabiliriz: v v v() t L C Bu denklem yardımıyla da ikinci durum değişkeninin türevini, durum değişkenlerinin kendisi ve giriş değişkeni cinsinden yazabiliriz. Yani L di L dt olduğu için, ikinci durum değişkenine ilişkin denklem şu şekilde olur: v dil 1 1 vc v () t dt L L L

Son olarak çıkış denklemi de i R 1 v R olarak yazılırsa, sistemin durum-uzay denklemleri aşağıdaki gibi olur: C 1 1 0 vc RC C vc 1 vt () i L 1 i L 0 L L i R 1 vc 0 R i L 3

Alıştırma: Aşağıdaki sistemin durum-uzay denklemlerini türetiniz. Çıkış değişkeni olarak v o (t) değişkenini seçiniz. y 1/ C1 1/ C1 1/ C1 0 1/ L 0 0 1 vi ( t) 1/ C 0 1/ C 0 0 0 1 4

Alıştırma: Aşağıdaki sistemin durum-uzay denklemlerini türetiniz. Çıkış değişkeni olarak (t) değişkenini seçiniz. İpucu: Bu sistemde hareket eden iki adet kütle olduğu için, her birine ilişkin birer tane ikinci mertebeden diferansiyel denklem olacaktır. Dolayısıyla her bir kütleye ilişkin ikişer tane de durum değişkeni, yani toplamda dört durum değişkeni olacaktır. Bu durum değişkenleri 1, v 1, ve v dir. 5

1 0 1 0 0 1 0 v 1 K / M1 D / M1 K / M1 0 v 1 0 0 0 0 1 0 v K / M 0 K / M 0 v 1/ M f() t Çıkış denklemi? 6

Daha önce bir sistemin transfer fonksiyonu modeli ile durum-uzay modelinin birbirinin duali olduğunu, sistemin dinamik davranışı hakkında aynı bilgileri verdiklerini, örneğin transfer fonksiyonunun kutupları ile sistem matrisi A nın özdeğerlerinin aynı olduğunu söylemiştik. Bu durumda bu iki modelin birbirine dönüştürülmesi mümkündür. Her iki modelleme yaklaşımının da birbirlerine göre avantajlı yönleri vardır. Dolayısıyla bu dönüşümlerde amaç, dönüşüm yapılan modelleme yaklaşımının avantajlarından faydalanmaktır. Bir sistemin transfer fonksiyonu modelinin, durum-uzay modeline nasıl dönüştürüleceğinden başlayalım. Bunun için önce o transfer fonksiyonuna ilişkin diferansiyel denklem yazılır, daha sonra bu dif. denklem durum-uzay formuna dönüştürülür. Önce n inci mertebeden bir diferansiyel denklemin durum-uzay formunda yazılmasını aşama aşama anlatıp, daha sonra bunun transfer fonksiyonlarına nasıl uygulanacağını gösterelim. n inci mertebeden sabit katsayılı lineer bir diferansiyel denklemin genel formu n n1 n d y d y d y n 1 1 n... dy n n n 1 0 0 a a a a y b u dt dt dt dt şeklindedir. 8

n n1 n d y d y d y n 1 1 n... dy n n n 1 0 0 a a a a y b u dt dt dt dt şeklindedir. Bu diferansiyel denklemi durum-uzay formunda ifade etmek için, durum değişkenlerini birbirinin ardışık türevi olacak şekilde aşağıdaki gibi seçelim: dy 1 y 1 dt dy d y dt 3 dt d y 3 3 Denklemlerin her iki d y 3 4 dt tarafının türevi alınırsa: 3 dt...... n d dt n1 y n1 n d y n a01 a1... a n n1n b9 0u dt

Bu durumda bu diferansiyel denklemin durum-uzay formu aşağıdaki gibi olacaktır. 1 0 1 0 0... 0 1 0 0 0 1 0... 0 0 3 0 0 0 1... 0 3 0.......... u..... 0 0 0 0... 1 0 n1 n1 n a0 a1 a a3... a n1 n b0 Yukarıdaki forma faz-değişkeni formu denir. Bu form, sistem matrisindeki ve 1 ve 0 ların deseninden kolayca tanınabilir. 30

Çıkış değişkeni, diferansiyel denklemin çözümü olan y(t) dir. Bu değişken 1 olarak seçildiği için, çıkış denklemi ise şu şekilde olacaktır: 1 3. y 1 0 0 0... 0.. n1 n Özet olarak, transfer fonksiyonunu durum-uzay formuna dönüştürmek için, önce o transfer fonksiyonunun içler-dışlar çarpımı yoluyla ve tüm başlangıç koşulları sıfır kabul edilerek Ters Laplace Dönüşümü ile diferansiyel denklemi yazılır, daha sonra bu diferansiyel denklem yukarıda anlatıldığı gibi faz-değişkeni formu nda durumuzay denklemlerine dönüştürülür. Örneklerle somutlaştıralım: 31

Ör: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun durum-uzay gösterimini türetiniz. Cs ( ) 4 R s s s s 3 ( ) 9 6 4 C: Bu dönüşüm, aşağıda adım adım gösterilmiştir: Adım 1: Transfer fonksiyonunu diferansiyel denkleme dönüştür: İçler-dışlar çarpımı yapılırsa: 3 s s s C s R s 9 6 4 ( ) 4 ( ) Ters Laplace Dönüşümü alınırsa: (Tüm başlangıç koşulları = 0) c 9c 6c 4c 4r Adım : Durum değişkenlerini seç: Durum değişkenleri, çıkış değişkeninin ardışık türevleri olarak seçilirse: 1 3 c c c Denklemlerin her iki tarafının türevi alınırsa: 1 3 4 6 9 4r 3 1 3 3

Çıkış denklemi de y=c= 1 olduğu için, verilen transfer fonksiyonunun durum-uzay formu aşağıdaki gibi olur: 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 r 3 4 6 9 3 1 y 1 0 0 1 3 Sağdaki şekil ise, bu sistemin blok diyagramıdır. 33

Bu örnekte, verilen transfer fonksiyonunun pay kısmında sadece bir sabit sayı (4) vardı. Peki pay kısmında bir polinom olması durumunda dönüşümün nasıl bir form alır? Genel formu Şekil (a) da görülen bu tür bir transfer fonksiyonunun durumuzay formunun hesaplanması için en pratik yöntem, Şekil (b) de görüldüğü gibi transfer fonksiyonunu iki ayrı blok diyagramın kaskat bağlı hali gibi düşünmektir. Böylece ilk önce R(s) ile X 1 (s) arasındaki transfer fonksiyonunun durum-uzay formu, az önceki örnekte anlatıldığı gibi elde edilir. 34

Bu durumda çıkışın ifadesi: C( s) b s b s b X ( s) 1 0 1 d 1 d1 1 0 1 Ters Laplace Dönüşümü alınırsa: y( t) c( t) b b b dt dt Durum değişkenleri, çıkış değişkeninin ardışık türevleri olarak seçildiği için, bu denklem aynı zamana şuna eşittir: y( t) c( t) b3 b1 b01. Yani pay kısmındaki polinom, sadece çıkış denklemini etkiler. Buna ilişkin bir örnek yapalım.

Ör: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun durum-uzay gösterimini türetiniz. C: Bu dönüşüm, aşağıda adım adım gösterilmiştir: Adım 1: Transfer fonksiyonunu aşağıdaki gibi iki blok halinde ayır: Adım : R(s) ile X 1 (s) arasındaki transfer fonksiyonunu bul: Payda polinomunun katsayıları bir önceki örnekle aynıdır (sadece pay kısmında 4 yok) 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 r 3 4 6 9 3 1 36

Adım 3: Çıkış denklemini elde et: C s s s X s ( ) 7 1( ) y( t) c( t) 7 1 1 1 y( t) c( t) 7 3 1 y 7 1 1 3 37

Alıştırma: Aşağıda verilen transfer fonksiyonunun durum-uzay formunu elde ediniz. Gs () s s 1 7s9 y 0 1 0 rt () 9 7 1 1 38

Şimdi de dinamik modeli durum-uzay formunda verilmiş bir sistemin transfer fonksiyonunun nasıl bulunacağını inceleyelim. Durum denkleminin ve çıkış denklemlerinin genel formu: A Bu Denklemlerin her iki tarafının Laplace Dönüşümü alınırsa: Durum denklemi X(s) için çözülürse: sx ( s) AX ( s) BU( s) Y ( s) CX ( s) DU( s) si A X ( s) BU( s) y C Du 1 X ( s) si A BU( s) X(s) için elde edilen bu ifade çıkış denkleminde yerine yazılırsa: 1 Y ( s) C si A BU( s) DU ( s) 1 Y ( s) C si A B DU( s) (I: Birim matris) Dikkat edilirse bu denklem, sistem çıkışı Y(s) ile sistem girişi U(s) i doğrudan birbiriyle 40 ilişkilendirir. Eğer giriş ve çıkış skaler ise, bu denklem kullanılarak transfer fonksiyonu yazılır.

1 Y ( s) s ( s) C I A B D U T() s Ys () C si A 1 B D Us () Bu denklem kullanılarak transfer fonksiyonunun nasıl hesaplanacağına ilişkin bir örnek yapalım. 41

Ör: Aşağıda durum-uzay modeli verilen sistemin transfer fonksiyonunu türetiniz. y 0 1 0 10 0 0 1 0 u 1 3 0 1 0 0 Ys () T() s C si A 1 B D Us () C: Dönüşüm, denklemi kullanılarak yapılır. Bu denklemin en çok hesap yükü gerektiren kısmı (si-a) -1 matrisidir. Bu matrisin hesaplanması için öncelikle (si-a) matrisi hesaplanıp, daha sonra bu matrisin tersi bulunur. s 0 0 0 1 0 s 1 0 si A 0 s 0 0 0 1 0 s 1 0 0 s 1 3 1 s 3 4

si s 3s s 3 1 1 s( s 3) s 1 adj si A s (s 1) s A 3 det si A s 3s s 1 T() s Ys () C si A 1 B D Us () s 3s s 3 1 1 s( s 3) s 10 s (s 1) s Ts ( ) 1 0 0 0 0 3 s 3s s 1 0 Ts () 10 s 3s 3 s s s 3 1 C (si-a) -1 B D 43

Alıştırma: Aşağıda durum-uzay modeli verilen sistemin transfer fonksiyonunu türetiniz. y 4 1.5 u 4 0 0 1.5 0.65 Gs () s 3s 5 4s6 44

İlk hafta, doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemin nasıl doğrusallaştırılacağını görmüştük. Bu haftaki dersin son kısmında ise, doğrusal olmayan bir sistemin durum-uzay denklemlerinin nasıl doğrusallaştırılacağından bahsedeceğiz. Esasen kullanacağımız yöntem tamamen geçen hafta kullandığımız yöntemle aynıdır: Taylor Serileri Açılımı! Bu nedenle de tamamen aynı formülasyonu kullanacağız. Bunu oldukça yaygın olarak kullanılan bir örnekle açıklayalım: Sarkaç 46

Ör: Şekildeki sarkaçta T sarkaca uygulanan tork, Mg sarkacın ağırlığı, J eylemsizliği, L uzunluğu ve θ sarkacın konumudur. Önce bu sistemin hareket denklemini yazalım, daha sonra durum-uzay denklemlerini türetip, bu denklemleri denge noktasının küçük komşulukları için doğrusallaştıralım: Hareket Denklemi: Bu doğrusal olmayan modeli, denge noktası 1 =0 ve =0 noktasının etrafında doğrusallaştıralım. (Model neden doğrusal değil? Belirtilen noktanın bir denge noktası olduğunu nasıl bulduk? Başka denge noktası/noktaları var mı?) d MgL J sin T dt Durum değişkenleri: 1 d dt Durum-uzay modeli: 1 MgL sin J 1 T J

1 1 Bu aşamadan sonrası daha önce gördüğümüz doğrusallaştırma yaklaşımının uygulanması işlemidir. Elde ettiğimiz durum denklemlerinde, durum değişkenleri 1 ve yerine, onların denge noktası [0,0] etrafındaki küçük değişimlerini temsil eden 1 1 değerlerini yazalım. Bu durumda denklemler MgL sin J 1 0 0 MgL sin J T 1 halini alır. İlk denklem zaten doğrusal bir denklemdir. Bu modeli doğrusal olmayan bir model yapan, ikinci denklemdeki sin terimidir. Dolayısıyla doğrusallaştırılacak olan ifade, f()=sin(δ 1 +0)= sinδ 1 ifadesidir. J T J

Bunun için daha önce elde ettiğimiz değerleri yerine koyalım: df f ( ) f 0 d 0 denkleminde df f ( ) f 0 d 0 sin sin 0 d(sin ) 1 1 1 d 0 1 Buradan, doğrusal olmayan terimin, denge noktasının küçük komşulukları için doğrusallaştırılmış hali şu şekilde bulunur: sin 1 1 Böylece, doğrusallaştırılmış durum-uzay denklemleri şu şekilde elde edilir: Çıkış denklemi? 1 MgL 1 J T J

Alıştırma: Aşağıdaki şekilde görülen mekanik sistemde yay, doğrusal olmayan bir karakteristiğe sahiptir ve yayın kuvveti f s ile yerdeğiştirmesi s arasındaki ilişki f s denklemi ile verilmektedir. sistemin durum-uzay modelini türetiniz ve denge noktası etrafında doğrusallaştırınız. Çıkış değişkeni olarak kütlenin yerdeğiştirmesi, (t), değişkenini seçiniz. Sisteme uygulanan kuvvet f(t)=10+δf(t) değerine sahiptir ve burada δf(t), 10 N kuvvet değerinin küçük komşuluklarını temsil etmektedir. (İpucu: Bu değer, denge noktasını bulmanıza yarar.) s y 0 1 0 f() t 4 5 0 1 1 0 50