Içindekiler. Karşk Örnekler 37

Transkript

1 Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Tolamlar - Çarmlar Kesirlere Ayrarak ya da Parçalayarak Tolamlarn Hesalanmas 9 Faktöriyel Içeren Tolamlarn Hesalanmas Tolanan Terimleri Grulayarak Tolamn Hesalanmas Terimlerin Eşlenikleri Ile Çarlarak Tolamn Hesalanmas Ardşk Saylarn Tolam (Gauss Tolam) 4 Tolamlarn Tolam Sembolü Ile Gösterilmesi 8 Tolam Formüllerini Kullanarak Tolamn Hesalanmas 9 Tamdegerli Tolam Sorular 5 Sonsuz Tolamlar (Seriler) 8 Sonlu Çarmlar Çarm Sembolü 5 Karşk Örnekler 7 ÇÖZÜMLÜ TEST 47 ÇÖZÜMLER 55 TÜBITAK SORULARI (Tolamlar ve Çarmlar) 68 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI (Tolamlar ve Çarmlar) 7 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 79 IKINCI BÖLÜM Kombinatorik Kümeler 8 Dahiliyet - Hariciyet Prensibi 85 Tolama ve Çarma Ilkesi 87 Permütasyon 9 Dairesel Permütasyon 9 Tekrarl Permütasyon 94 Kombinasyon 98 Daglm 04 Olaslk Ayrk Iki Olayn Herhangi Birinin Olma Olaslg

2 Ayrk Olmayan Iki Olaydan Herhangi Birinin Olma Olaslg Bagmsz Olaylarn Olaslg 4 Koşullu Olaslk 7 Sonsuz Örnek Uzayl Olaylar 8 Karşk Örnekler 0 ÇÖZÜMLÜ TEST 7 ÇÖZÜMLER TÜBITAK SORULARI (Kombinatorik) 44 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI (Kombinatorik) 56 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 8 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM Binom Açlm Binom Açlm 89 Binom Katsaylarnn Özellikleri 90 Multinom Açlm 95 Karşk Örnekler 98 ÇÖZÜMLÜ TEST 0 ÇÖZÜMLER 06 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 4 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM Isat Yöntemleri Dogrudan Isat 5 Ters Durum Isat 9 Olmayana Ergi (Çelişkiyle Isat ) Teknigi Tümevarm Ile Isat 4 Var Olma Isatlar 8 Tek Olma Isatlar 9 Güvercin Yuvas Ilkesi 0 Karşk Problemler ÇALIŞMA SORULARI 55 YANIT ANAHTARI 65

3 Önsöz Türkiye'deki Matematik Olimiyatlar Konusunda Ksa Bilgi Türkiye'de olimiyat etkinlikleri, TÜBITAK Bilim Insan Destekleme Daire Başkanlg (BIDEB) tarafndan yürütülmektedir. Bu çalşmalar hem ulusal düzeyde hem de uluslararas düzeyde yalmaktadr. Ulusal düzeyde gerçekleştirilen Ilkögretim Matematik Olimiyat ile Liseler Için Matematik Olimiyatlar sonuçlarna göre ülkemizi Uluslararas yarşmalarda temsil edecek takmlar belirlenmektedir. Uluslararas Bilim Olimiyatlarnda ülkemizi temsil edecek takmlar matematik olimiyat kamlarnda başarl olmuş ögrencilerin, çeşitli snavlar sonucunda seçilmeleriyle oluşmaktadr. Şu ana kadar katldgmz Uluslararas Matematik Olimiyatlarnda, Umut Varolgüneş, Melih Üçer, Ömer Faruk Tekin, Cafer Tayyar Yldrm, Selim Bahadr ( kez), Nizameddin Ordulu, Mehmet Bumin Yenmez ülkemize altn madalya kazandran ögrencilerdir. Son yllarda, birçok üniversite lise ögrencilerine yönelik olarak matematik olimiyatlar düzenlemektedir. Bunlardan en eskisi Akdeniz Üniversitesi tarafndan düzenlenen Ulusal Antalya Matematik Olimiyatlardr, bu olimiyat birincisi test ve ikincisi klasik olarak iki aşamada yalmaktadr. Yine, Fatih, Koç, Doguş, Mersin, Sabanc üniversiteleri de matematik olimiyat düzenleyen üniversitelerden bazlardr. Matematik Olimiyatlarna Hazrlanan Bir Ögrenci Ne Kazanr? Matematik olimiyatlarna hazrlanmak hem zor hem de zevklidir. Matematik olimiyatlarna hazrlanan bir ögrenci snavn sonucunda hangi dereceyi alrsa alsn asla kaybetmez. Ögrendigi konular ve zor sorularn yannda, beynini zorlamas ufkuna açmasna ve ileride zor roblemler ile karşlaştgnda daha saglkl ve daha tutarl yorumlar yamasn saglayacaktr. Sorla ugraşan bir sorcu katldg olimiyatta başarl olamasa bile, hazrlanma aşamasnda vücudunun saglkl olmas için yatg çalşmalarn faydasn gördügü gibi, matematik olimiyatlarna hazrlanan bir ögrenci de, zor roblemlere kafa yormasnn sonucu olarak beynini geliştirir. Insanlar düşündükçe akln kullandkça, matematik roblemi çözdükçe beyin hücrelerinin yollar açlr. Bilim adamlar, normal insanlarn mevcut beyin kaasitelerinin çok az bir ksmn kullanabildigini söylemektedirler. Bu kaasite elbette sradan işlerle ugraşarak, beyni yormayarak, basit ve birbirine benzeyen roblemleri çözerek artmayacaktr. Beyni yormak gerekir. Beyni zorlamak, sürekli yeni roblemlerle meşgul etmek gerekir. Beyin hücreleri kullanlmaz ise kaybedilir. O halde, bir matematik yarşmasna girsek de girmesek de zor sorular ile ugraşmalyz.

4 Matematik Olimiyatlarna Nasl Hazrlanlmal? Matematik Olimiyatlarna hazrlanmak gerçekten zordur. Zaman ister. Tk olimiyata hazrlanan bir haltercinin sürekli kendini geliştirmesi, yavaş yavaş agrlklar kaldrmas ve bunu başarabilmek içinde gerekli zaman harcay vücudunu geliştirmesi gibi, yavaş yavaş ilerlenmesi gereken bir çalşmadr. Olimiyat sorularn çözmeye yeni başlayan birisine, baz sorularn oldukça zor gelmesi normaldir. Bu biraz bilgiye, biraz tecrübeye biraz da üf noktal sorulara hazrlkl olmaya göre degişir. Sorularn zorluk derecesi, elbetteki, bir halterin agrlg gibi net olarak ifade edilmese de, bildiginiz bir konuda sorulan bir sorudaki ince bir üf nokta o soruyu çok zor hale getirebilir. Bir soru ögrenildikten sonra kolaydr. Ögreninceye kadar zor bir sorudur. Bu kitabn amaçlarndan biri de size göre zor olan sorularn saysnn azalmasna yardmc olmaktr. Olimiyatlara hazrlanan bir ögrenci herşeyden önce, kararl olmal, kendine güvenmeli, fakat ne kadar kendine güvenirse güvensin yaamayacag sorularn oldugunun farknda olu, çözemedigi sorular karşsnda umutsuzluga düşmek yerine, çözemedigi sorularn çözümlerini ögrenerek ilerlemesi gerektiginin bilincinde olmaldr. Ksaca, matematik olimiyatlarna hazrlk, kararllk, sabr ve azim isteyen bir iştir. Acele etmemek gerekir. Hatta baz sorularn çözümü de anlaşlamayabilir veya bir sorunun çözümü ögrenildikten sonra tekrar karşlaşldgnda o soruyu yaamayabilirsiniz. Ögrencilerden, bu konu ile ilgili en çok karşlaştgm soru, "çözümünü gördügümüz zaman anlyoruz ama kendimiz yaamyoruz, ne yamalyz?" sorusudur. Aslnda bu normaldir. Olimiyat sorularnn kendine has çözme yöntemleri olabilir. Bu yöntemleri bir anda ögrenmek elbette kolay degildir. Bu kitata konular ve konu ile ilgili sorulan sorular mümkün oldugu kadar, o konuya gelinceye dek ögrenilen bilgileri içerecek şekilde ele alnmştr. Bir soruyu çözerken, soruyu önce kendiniz çözmeye çalşnz. Çözemez iseniz, çözümünü inceleyi nasl bir yöntem kullanldgn inceleyiniz ve soruda üf nokta var ise, o üf noktay mutlaka görmeden soruyu geçmeyiniz. Sorunun çözümünü anlamaz iseniz, bu konu ile ilgili bilgilerinizin eksik olabilecegini göz önünde bulundurarak umutsuzluga kalmaynz. Unutmayn sizi zorlayan her soru sizin için zor ve güzel bir sorudur. Baz sorularda hata da olabilir. Bu tür hatalar bildirirseniz, kitabn bundan sonraki basmlarnda daha hatasz olarak size ulaştrabiliriz. Hangi Ciltte Hangi Konular Var? Birinci ve ikinci ciltte, olimiyatlar için en gerekli temel kavramlarn ve yöntemlerin verilmesi amaçland. Bunun için, temel kavramlar, tanmlar, gösterimler verilerek, roblem tileri, çaranlara ayrma, çözümleme, tolamlar, kombinatorik, binom açlm, isat yöntemleri konular ele alnd. Üçüncü ciltte ise, saylar teorisi konusu ele alnarak, bölünebilme, asal saylar, obeb-okek, modüler aritmetik, Fermat, Euler, Wilson teoremleri, Çin kalan teoremi, denklikler, tamdeger, konular verildi. Dördüncü ciltte ise, fonksiyonlar, olinomlar, olinom denklemler ve eşitsizlikler, diziler, denklemler ve denklem sistemleri konularna yer verildi.

5 Son cillte ise, logaritma ve trigonometri bilgisi, limit, süreklilik, türev, fonksiyonel denklemler ve eşitsizlikler konular verildi. Her bir kitata öncelikle, konuya ve o konu ile ilgili örnek ögretici olabilecek sorulara yer verdim. Daha sonra, her bir konu ile ilgili dünyada degişik olimiyatlarda sorulmuş sorular da içeren bir tane çözümlü test koydum. Son olarak da o konu ile ilgili TÜBITAK Matematik Olimiyatlarnda çkmş sorular ve çözümlerini verdim. Test sorularnn bir çogu aslnda, klasik olimiyat sorulardr. Bunun yannda, klasik sorular vererek olimiyatlarn soru şeklinden uzaklaşmamaya çalştm. Umarm, faydal olur. Başka Hazrlanabilecegimiz Olimiyat Kitab Var m? Türkiye'de matematik alannda olimiyatlara hazrlananlar için, Türkçe kaynak oldukça azdr. Aşagda, matematik olimiyatlarna hazrlanan ögrenciler için faydal olacagna inandgm baz kitalar yazdm.. Saylar Teorisinde Ilginç Olimiyat Problemleri ve Çözümleri, H. Ibrahim Karakaş, Ilham Aliyev (TÜBITAK Yaynlar).. Analiz ve Cebirde Ilginç Olimiyat Problemleri ve Çözümleri, H. Ibrahim Karakaş, Ilham Aliyev (TÜBITAK Yaynlar).. Ulusal Antalya Matematik Oimiyatlar Sorular ve Çözümler, Ilham Aliyev, Mustafa Özdemir, Dilber Şhaliyeva (TÜBITAK Yaynlar). 4. Sonlu Matematik, Refail Alizade, Ünal Ufuktee (TÜBITAK Yaynlar). 5. Meraklsna Matematik, Rece Yücesan (Zambak Yaynlar). 6. Meraklsna Geometri, Ömer Gürlü (Zambak Yaynlar). 7. Tübitak Ulusal Matematik Olimiyat Soru ve Çözümleri, Mustafa Töngemen, (Altn Nokta Yaynlar) (Bu Kitata Tübitak olimiyatlarnda çkmş tüm sorularn çözümlerini bulabilirsiniz.) Teşekkür Öncelikle, Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümünde bana çalşma frsatnn yolunu açan, bana her konuda örnek olan, kendisine her zaman müteşekkir oldugum Prof. Dr. Halil Ibrahim Karakaş hocama, 996 ylnda başlayan matematik olimiyat sorularna olan ilgimin artarak devam etmesini saglayan, bu konuda beni teşvik eden, Prof. Dr. Ilham Aliyev hocama, her konuda beni destekleyen ve yardmc olan, örnek almaya çalştgm yüksek lisans ve doktora danşman hocam, Prof. Dr. Abdullah Aziz Ergin'e teşekkür ederim. Ayrca, kitabn hazrlanmas srasnda, kitabn hem içerigi hem de düzeni konusunda zaman harcay, tavsiye ve düzeltmelerde bulunan Prof. Dr. Ali Nesin hocama teşekkür ederim. Sorularn ve çözümlerin tashihinde bana yardmc olan, Yüksek Lisans Ögrencisi Osman Palanc'ya, Yard. Doç. Dr. Gültekin Tnaztee'ye ve Oguz Yegin'e ve kitabn hazrlanma aşamasnda bana destek olan eşim Burcu Özdemir'e teşekkür ederim. Ayrca, kendilerinden gerektigi kadar yararlanamadan aramzdan ayrlan degerli hocalarm Fikri Gökdal ve Prof. Dr. Dogan Çoker hocalarm da saygyla anyorum.

6 Ksa Özgeçmiş Mustafa Özdemir, 975 ylnda Konya'nn Bozkr ilçesinde dogdu. Ilk, orta ve lise ögrenimini Antalya'da tamamlad. 99 ylnda girdigi Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Egitim Fakültesi Matematik Ögretmenligi Bölümü'nden 996 ylnda mezun oldu yllar arasnda, Akdeniz Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalnda yüksek lisans ve doktorasn tamamlad. Halen, Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümünde çalşmaktadr. NOT : Hatal soru çözümleri, bask hatalar, eksik çözümler, yanlş ifade edilişler ile ilgili her türlü hatalarm mozdemir@akdeniz.edu.tr mail adresine gönderirseniz sevinirim.

7 Tolamlar ve Çarmlar Belirli bir kurala uygun şekilde devam eden saylar tolarken, degişik yöntemler kullanrz. Bu bölümde, bu tolamlarn sonucunun nasl bulunacagn, soru tilerine göre inceleyecegiz.. Kesirlere Ayrarak ya da Parçalayarak Tolamlarn Hesalanmas Bu tür sorularda tolamdaki her bir terim kesirlere ayrlr ve gerekli sadeleştirmeler yalarak tolama işlemi yalr. Örnek S = =? Çözüm : Tolamdaki her bir kesiri, = ; = ; :::; 00 0 = 00 biçiminde yazabiliriz. Yani; her bir terimi k (k + ) = k k + 0 şeklinde basit kesirlere ayrabiliriz. Bu bagnty S tolamndaki her bir terime uygularsak; S = = 0 = 00 0 elde edilir. Örnek S = =? Çözüm : Her bir kesiri yine iki ksma ayrarak çözebiliriz. Kesirin aydasndaki saylar arasndaki artş miktarnn 4 oldugu göz önüne alnarak; verilen tolamdaki her bir terim 5 = ; = ; :::; = olarak yazlabilir. Yani; her bir terim S = 4 bulunur. (4n + ) (4n + 5) = 4 (4n + ) şeklinde yazlabilir. Buna göre; arantezine alarak; Problem : 05 (4n + 5) = =? Yant: 7 04 =

8 0 Matematik Olimiyatlarna Hazrlk Örnek tolamn hesalaynz. 5 8 Çözüm : Paydada saynn çarm oldugundan; iki kesire ayrrken aydadaki ortanca çaran iki kesirde de kullanarak arçalayabiliriz. Paydadaki saylar arasnda aritmetik bir artş oldugunu ve en küçük say ile en büyük say arasndaki farkn 6 olduguna dikkat ediniz. Buna göre; = = = = 6 eşitliklerinin taraf tarafa tolanmasyla; S = 6 4 elde edilir = Not : Her bir kesiri nasl ayrabilecegimizi matematiksel olarak; (n + ) (n + 4) (n + 7) = A (n + ) (n + 4) + B (n + 4) (n + 7) eşitliginden A ve B saylar bulunarak görülebilir. Gerçekten; A + B = 0 ve 7A + B = denklemlerinden A = =6 ve B = =6 bulunur. Böylece; tolamdaki her bir terimi; (n + ) (n + 4) (n + 7) = 6 (n + ) (n + 4) (n + 4) (n + 7) şeklinde ayrabiliriz. 8 Problem : =? Yant : = 88 44

9 Tolamlar ve Çarmlar. Faktöriyel Içeren Tolamlarn Hesalanmas Her bir terim; faktöriyelin tanm kullanlarak; tolandgnda birbiri ile sadeleşecek şekilde ksmlara ayrlmaya çalşlr. Örnek 4! +! +! ! tolamn hesalaynz. Çözüm : k k! = ((k + ) ) k! = (k + )! k! oldugundan, her bir terimi S = (!!) + (!!) + (4!!) + + (0! 00!) şeklinde yaz sadeleştirirsek; S = 0! Örnek 5! +! + 4! + + n (n + )! =? n (n + ) Çözüm : = = (n + )! (n + )! n! S =! +! + 4! + + n = = elde edilir.! +!! (n + )! (n + )! +! bulunur. eşitligi kullanlrsa; (n + )!! + + 4! n! (n + )! Örnek 6 S =! +! +! + 4! +! + 4! + 5! + 4! + 5! ! + 99! + 00! tolamn hesalaynz. Çözüm : Her bir terim; (k + ) formundadr. Düzenlersek; k! + (k + )! + (k + )! (k + ) k! + (k + )! + (k + )! = k + k! ( + (k + ) + (k + ) (k + )) = k! (k + ) Bu ifadenin ay ve aydasn (k + ) ile çaralm ve k + ifadesi yerine k + yazalm. Bu durumda; (k + ) k! + (k + )! + (k + )! = k + = (k + )! (k + )! elde edilir. Buradan; k yerine 'den 98'e kadar degerler verilerek; bulunur. S =!! +! 4! + 4! 5! ! (k + )! 00! =! 00!

10 Matematik Olimiyatlarna Hazrlk. Tolanan Terimleri Grulayarak Tolamn Hesalanmas Tolamdaki saylar grulandgnda; her bir grudaki saylarn tolam sabit ayn sayy veriyorsa tolam hesalamak kolaylaşr. Örnek tolamn hesalaynz. Çözüm : = ; = ; ::: oldugu kolayca + görülebilir. Yani; n Z için; n + + n + = oldugundan; n = ; ; :::; 00 için, 00 tane vardr. n = 0 için de, 0 + = oldugundan, S = 00 + = = 00; 5 bulunur. Örnek 8 f (x) = 9x 9 x olduguna göre; + f f 007 tolamn hesalaynz. + f 007 Çözüm : Verilen fonksiyon için; f (x) + f ( Gerçekten; 9 x 9 x x 9 x + = 9x 9 x + + bulunur. Buna göre; olacagndan f f 007 f 007 f 007 f f x) = oldugunu kullanacagz. 9 9 x 9 = 9x 9 x + 9 x x = + f = ; + f = ;. + f = + f f = 00 elde edilir.

11 Tolamlar ve Çarmlar.4 Terimlerin Eşlenikleri ile Çarlarak Tolamn Hesalanmas Paydasnda köklü ifade içeren tolam sorularnda; her bir kesir, aydas rasyonel olacak şekilde uygun say ile çarlr. Örnek =? Çözüm : Her bir terimin aydasndaki ifadeyi, eşlenigiyle çararak; = = 5 elde edilir. Örnek tolamn hesalaynz. Çözüm : Paydadaki ifadeler; a + ab + b formundadr. Buna göre, her bir kesiri, a b ile çar, a + ab + b a b = a b oldugu kullanlrsa; A = + elde edilir. Örnek f (k) = k + k +k+ olduguna göre; k +9k + 8 = 7 = S = f () + f (4) + f (7) + + f (4) tolamn hesalaynz. Çözüm : f (k) ifadesini; aydann eşlenigi ile çararsak; k +k k +9k + 8 (k + ) f (k) = (k +k) (k = k +k k +9k + 8) 6 +9k + 8 elde edilir. Yani; f (k) = ( k k + k + k + 6)=6 olur. Buna göre; k'ya srasyla ; 4; 7;...; 4 degerleri verilirse; S = olur. Hesalanrsa; f () + f () + + f (4) = = 6 6 bulunur.

12 4 Matematik Olimiyatlarna Hazrlk.5 Ardşk Saylarn Tolam (Gauss tolam) Belirli bir kurala göre art arda gelen say dizilerine ardşk saylar denir. Artş miktar k olan n tane saynn tolamn hesalamak için, bu saylar artan srada ve azalan srada alt alta yaz tolarsak, olur. Buradan; S = m+kfi + m+kfi+ ` + m+nkfi +S = m+nkfi + m+ n?fikfi+ ` + m+kfi S = m+ n+fikfi+ m+ n+fikfi+ ` + m+ n+fikfi (m + (n + ) k) S = n elde edilir. Yani; ardşk saylarn tolam; ilk terimle son terimin tolamnn yarsnn; terim says ile çarlmasyla bulunur. Ksaca; T = Ilk terim + Son terim Son terim - Ilk terim Artş Miktar + {z } Terim says formülü kullanlr. Örnegin; n (n + ) n = n = n (n + ) (n ) = n oldugu kolayca görülebilir. Örnek f0; ; ; ; :::; 9g kümesinin her bir eleman ile f0; ; ; ; :::; 9g kümesinin elemanlar çarlarak tolanrsa tolam kaç olur? Çözüm : Soruda istenen ( )( ) çarmnn sonucudur. Buna göre; (9 + 0) = = 45 (9 + 0) = = 45 oldugundan = 5 55 elde edilir. Örnek n tane ardşk saynn tolam 000 olduguna göre; n'nin alabilecegi degerleri bulunuz. Çözüm : S = (m + ) + (m + ) + + (m + n) = 000 olarak yazabiliriz. n (m + n + ) S = = 000 eşitliginden n (m + n + ) = 000 = 4 5 olur.

13 Tolamlar ve Çarmlar 5 Buna göre, 000 = n (m + n + ) = n + mn + n > n oldugundan n 000 = 44 olur. Diger taraftan; eşitligine göre; 4 5 = n (m + n + ) i) n tek say ise; (m + n + ) çifttir ve bu durum için n = ; 5 ve 5 seçilebilir; ii) n çift say ise; (m + n + ) ifadesi tektir ve bu ancak n = 4 = 6 olmasyla mümkündür. 00 says ardşk saylarn tolam şeklinde kaç farkl şekilde yazla- Örnek 4 bilir? Çözüm : n (m + n + ) = 00 = 5 ve n 00 = 4 olmaldr. Diger taraftan; önceki sorudaki gibi; n (m + n + ) çaranlarnn biri tek biri çift olmaldr. n çift iken çözümün olmas; 'nin en büyük kuvveti durumunda iken mümkündür. Buna göre; n = ; 5 ya da n = 8 alnabilir. NOT : Bir say en az iki ardşk saynn tolam şeklinde ise n biçiminde yazlamaz. n biçiminde yazlamayan her say en az iki ardşk saynn tolamdr. Gerçekten; S = (m + ) + (m + ) + + (m + n) ise S = n (m + n + ) olur. Bu ifadede; n ve (m + n + ) ifadelerinin biri tek digeri çifttir. O halde; sol tarafdaki S saysnn da bir tek ve bir çift saynn çarm olabilmesi için; S'nin mutlaka bir tek çarana sahi olmas gerekir. S tek çarana sahi ise; S = n (m + n + ) denklemini saglayan m ve n saylar bulunabilir. Aksi halde; m ve n saylar bulunmaz. O halde; S says n biçiminde ise; en az ardşk iki saynn tolam şeklinde yazlabilmesi mümkün degildir. Örnek 5 000'den küçük olan ve veya daha fazla ardşk ozitif tamsaynn tolam olarak yazlamayan kaç ozitif tamsay vardr? (UMO 006) A) 6 B) 0 C) 6 D) 68 E) 7 (m + n + ) n Çözüm : S = (m + ) + (m + ) + + (m + n) = olarak yazabiliriz. S = (m + n + ) n ifadesinde; n tek ise (m + n + ) çift ve n çift ise; (m + n + ) tektir. Dolaysyla; sorunun çözümü için; 'den 000'e kadar olan saylarn katnn; bir tek ve bir çift çarana sahi olmayanlarn bulmamz gerekir. Bu durum; sadece ; ve 'nin kuvvetlerinde mümkündür. Böylece istenen saylar ; ; 4; 8; 6; ; 64; 8; 56 ve 5 olur ve 0 tanedir.

14 6 Matematik Olimiyatlarna Hazrlk Örnek 6 A kümesi tolam m olan m tane ardşk saydan ve B kümesi de tolam m olan m tane ardşk saydan oluşmaktadr. A ve B kümelerinin en büyük elemanlarnn arasndaki farkn mutlak degeri ise m kaçtr? m(a + m + ) Çözüm : (a+)+ +(a+m) = = m eşitliginden; m = a ve (b + ) + + (b + m) = m(b + m + ) = m eşitliginden de m = b elde edilir. Bu iki denkleme göre a ve b'nin negatif olmas gerektigi görülür. O halde; eşitliginde m = olur. j(a + m) (b + m)j = ja b mj = b yazlrsa; jaj = eşitliginden a = ve m = ( ) = 5 Örnek 7 says en çok sayda ardşk ozitif tamsaynn tolam olarak yazldgnda ilk say kaç olur? Çözüm : (k + ) + (k + ) + + (k + m) = olacak şekildeki en büyük m saysn aryoruz. m (k + m + ) = eşitligine göre; m < k + m + olacak şekilde; m en büyük 5 seçilebilir. Bu durumda; eşitliginden k = 5 k = 6 = elde edilir. O halde; ilk say olur. Örnek 8 ; ; ; :::; 007 say dizisindeki tüm saylarn rakamlarnn tolam kaçtr? Çözüm : ; ; ; :::; 999 saylarnn rakamlarnn tolamn bulalm. 0; ; ; :::; 9 rakamlar ile oluşturulacak üç basamakl bir sayda her bir basamakta 0; ; ; :::; 9 rakamlar 000=0 kez bulunur. O halde; ; ; ; :::; 999 saylarnn rakamlarnn tolam ( ) = 500 olur. Bu durumda; ; ; ; :::; 999 saylarnn rakamlarnn tolam ise = 8000 elde edilir. Geriye 000; 00; :::; 007 saylarnn rakamlar tolamn bulmak kalr. Bu da 8 + (7 8) = = 44 olur ki; istenen yant 8044 olur.

15 6 Matematik Olimiyatlarna Hazrlk Örnek 6 dbjxjce ; x saysnn x'den büyük olmayan en büyük tamdegerini gösterdigine göre; tolamn hesalaynz. Çözüm : dbj x jce = m eşitligini saglayan x degerleri m x < (m + ) aralgndadr. Buna göre; = = = ; ( = tane ) 4 = 5 = = 8 = ; ( = 5 tane ) 9 = 0 = = 5 = ; (4 = 7 tane ) şeklinde devam edersek; 8 = 8 = = 99 = 9; (0 9 = 9 tane 9) olacagndan; = olacaktr. Bu tolam; tolam formülüyle 9X (k + ) k k= k= k= şeklinde yazabiliriz. Böylece, 9X 9X (k + ) k = k + k = bulunur = 65 Not : En genel halde; n + n = n n 6 n oldugunu gösteriniz. Örnek 7 göre; dbjxjce ; x saysnn x'den büyük olmayan en büyük tamdegerini gösterdigine n + n tolamn hesalaynz. Çözüm : dbj xjce = m eşitligine göre m x < (m + ) oldugundan; önceki sorudakine benzer şekilde; = 7 tane ; = 9 tane ; vardr.. n (n ) tane n ;

16 Matematik Olimiyatlarna Hazrlk Diger taraftan, oldugundan, n n 4 + n + = n + n + = (n + ) (n + ) + n n + (n + ) (n + ) + elde edilir. Buna göre, tüm terimleri bu şekilde kesirlere arçalarsak, S = = + eşitliginden, S = = bulunur.! Örnek ) P n= n n serisinin degerini bulunuz. (Harvard MIT Math. Tournament Çözüm : n = n + n + n n + biçiminde çaranlara ayrlabileceginden, P n P n= n 4 = n + 4 n= (n + n + ) (n n + ) = P 4 n= (n n + ) (n + n + ) = P 4 n= (n ) + (n + ) + elde edilir. Buna göre, P bulunur. n= n n = = + 8

17 4 Matematik Olimiyatlarna Hazrlk Örnek ( + ) ( + ) (4 + ) (00 + ) =? Çözüm : ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) şeklinde çaranlara ayralm. ((n + ) ) = n + ve (n + ) (n + ) + = n + n + oldugundan; sadeleştirmeler yalarak; ( ) ( ) ( + ) (99 + ) (00 + ) = = elde edilir. Örnek 5 T n = n ve P n = T T T T T 4 T 4 T n T n olmak üzere; P 00 =? n (n + ) Çözüm : T n = eşitliginden; n (n + ) T n T n = n (n + ) n (n + ) = = n (n + ) n (n + ) (n ) (n + ) elde edilir. Buna göre; P n = (n ) n (n ) (n + ) n (n + ) (n ) (n + ) = n (n + ) olur. Böylece; P 00 = 00 0 = 50 7 bulunur. Örnek 5 T n = n ve 4T P n = (T T ) 4T (T T ) 4T n n (T n T n ) olmak üzere; P 5 =? n (n + ) Çözüm : T n = ve T n T n = n oldugu göz önüne alnrsa; n (n + ) 4 4T n n (T n T n ) = n + n n = n olur. Buna göre; P 5 = = 69 bulunur. 5

18 Tolamlar ve Çarmlar 7. Karşk Örnekler = n n 4n Örnek 56 S = ifadesinin n n 9n sonucunu bulunuz. (KANADA M.O. 975) Çözüm : S = n! = = n = = 7 bulunur. Örnek 57 A = tolamnn karekökünün; virgülden sonraki 50'nci rakam kaçtr? Çözüm : Yani; 0 50 A saysnn birler basamagn aryoruz. r A = = 00 9 dür < < oldugundan; tane z } { 99:::9 < 0 50 A < tane z } { < :::9 6 A < olur. Yani; 0 50 A says; :::'den büyük ve :::'den küçüktür. O halde; birler basamag 'dir. Dolaysyla; A saysnn 50'nci basamag olur. Örnek 58 Birbirinden farkl ozitif reel saylardan oluşan fa ; a ; :::; a 00 g kümesinin boş olmayan her bir alt kümesinin elemanlar tolanarak 00 tane tolam elde ediliyor. Buna göre; en az kaç farkl tolam elde edilebilir. (SSCB M.O. 96) Çözüm : a < a < < a 00 kabul edebiliriz. Bu durumda; tolamlar eleman saysna göre; artan srada yazalm. elemanllar için; a < a < < a 00 ise 00 farkl tolam vardr. elemanllar için; a + a 00 < a + a 00 < < a 99 + a 00 ise 99 farkl tolam vardr. elemanllar için; a + a 99 + a 00 < a + a 99 + a 00 < < a 98 + a 99 + a 00 ise 98 farkl tolam vardr. Bu şekilde devam edersek; 00 elemanl a + a + + a 00 ; yani; farkl tolam elde edilir. Böylece; farkl tolamlarn says en az : = (00 0) = = 5050 elde edilir.

19 40 Matematik Olimiyatlarna Hazrlk Örnek 6 a = ; a = ; :::; a n+ = + a a :::a n (n ) olarak tanmlanyor. S n = ve P n = a a a n a a a n olduguna göre; S 0 + P 0 tolamn hesalaynz. Çözüm : S + P = ; S + P = = ; ::: oldugundan; S n + P n = oldugunu iddia ediyoruz. S n+ = S n + ve P n+ = P n oldugundan; a n+ a n+ P n P n+ = P n P n a n+ = P n a n+ (a n+ ) = (a a a n ) a n+ = = S n+ S n a n+ elde edilir. Böylece, S n+ + P n+ = S n + P n = bulunur. Örnek 64 n says 'den büyük bir tamsayy gösterdigine göre; n n > n + n oldugunu kantlaynz. (KANADA M.O. 998) Çözüm : n > () eşitsizliginin n saglandg aşikardr. Eşit sayda terim var ve sag taraftaki ifadelerin aydalar daha büyük oldugundan; sag taraftaki ifade daha küçüktür. Diger taraftan; n oldugundan; n n veya n n olur. Bu eşitsizlikle () eşitsizligini taraf tarafa tolarsak; n > + n n veya n n > n + n elde edilir.

20 Tolamlar ve Çarmlar 4 Örnek 65 F = ; F = ; ve F n+ = F n + F n şeklinde tanmlanan F n P F k Fibonacci dizisi için; serisinin degerini hesalaynz. k= k P Çözüm : S = F k k= k = F + F 9 + P F k + F k k= k S = P F k P k= k + F k k= k olur. Burada tolam semollerindeki snrlar degiştirirsek, S = P F k k= k + P F k 9 k= k S = S + 9 S; eşitliginden; S = 5 bulunur. Örnek 66 f (x) = ( x)009 x ve x i = i olduguna göre, 009 f (x ) + f (x ) + + f (x 009 ) tolamn hesalaynz. Çözüm : f (x) + f ( f (x) + f ( x) = ( x)009 x 'dir. Diger taraftan, oldugundan olur. Buna göre, elde edilir. x i = x) tolamnnn 'e eşit oldugunu kullanacagz. Gerçekten, + x009 ( x) i 009 ve x i = 009 i = f (x 009 i ) 009 f (x i ) + f (x 009 i ) = f (x ) + f (x ) + + f (x 009 ) = f (x 009 ) = f () = 004 = 007 =

21 44 Matematik Olimiyatlarna Hazrlk Örnek 7 x + 4 x x x 00 ifadesinin, (x ) (x + 0) + (x ) (x + 9) + + (x 0) (x + ) ifadesine eşit oldugunu gösteriniz. (SSCB M.O. 968) Çözüm : Sol tarafdaki ifade; x + 4 x x = x x + + x x 00 x x + 0 x 0 ve sag tarafdaki ifade ise; (x ) (x + 0) + (x ) (x + 9) + + (x 0) (x + ) = x x x x x 0 x + oldugundan eşitlik görülür. Örnek 7 S (n) ; ilk n ozitif tamsaynn tolamn göstersin. Buna göre; eger n ve S (n) saylarnn her ikisi de bir tamkare ise n saysna fantastik say diyelim. Örnegin; 49 says fantastik bir saydr; çünkü; 49 = 7 ve S (49) = = 5 = 5 saylar tamkaredir. 49 saysndan büyük başka bir fantastik say bulunuz. Çözüm : n = k olsun. n (n + ) S (n) = = k k + saysnn tamkare olmasn istiyoruz. k bir tamkare oldugundan; k + = saysnn tamkare olmas yeterlidir. O halde; k + = = m ; m Z olsun. Bu durumda; k m = k + m k m = olmaldr. Bu eşitligi (k; m) = (7; 5) saglar. Yani; soruda verilen örnek saglanr. Bu eşitligi; + = ile çaralm. Bu çarma P dersek, P = (7+5 )(7 5 )(+ )( ) = (7+5 )(+ )(7 5 )( ) = (4 + 9) (4 9 ) = 4 9 = oldugundan; (k; m) = (4; 9) say çifti de; k m = eşitligini saglar. Böylece; n = 4 = 68 says da bir fantastik saydr.

22 Tolamlar ve Çarmlar 45 Örnek 7 S = Çözüm : (n ) (n) (n + ) = oldugundan; S (n) = + eşitligine göre; S = ( )n+ + = ln olsun. Bu durumda; n + serisinin degerini hesalaynz (n ) n + (n + ) = + (n ) n (n ) (n + ) n n! ( )n+ + n + S = ln + ( + ln ) = ln elde edilir. Örnek 74 (n + ) ( )n+ + n Her k ozitif tamsays, 0 f i i ve 0 < f m olmak üzere, k =! f +! f +! f + + m! f m! n biçiminde tek türlü yazlabilir. Buradaki, (f ; f ; f ; :::; f m ) ifadesine k saysnn faktöriyel taban açlm diyelim. Buna göre, (f ; f ; f ; :::; f n ), 6!! + 48! 64! ! 984! + 000! ifadesinin faktöriyel taban açlm olduguna göre, f f + f f ( ) n+ f n =? ifadesinin degeri kaçtr? (AIME 000) Çözüm : (n + )! = (n + ) n! = n n! + n! biçiminde yazlabilir. Şimdi, benzer şekilde eşitligin sag tarafndaki ifadeyi yeniden yazalm. Buna göre, olur. (n + )! = n n! + (n ) (n )! + (n )! = n n! + (n ) (n )! + (n ) (n )! + (n )! = n n! + (n ) (n )! + (n ) (n )! + +! +!