ATATÜRK ANADOLU LİSESİ MATEMATİK. Karmaşık Sayılar Üzerine Kısa Çalışmalar

Transkript

1 ATATÜRK ANADOLU LİSESİ MATEMATİK Karmaşık Sayılar Üerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 07

2 KARMAŞIK SAYILAR. Karmaşık Sayılar Kavramı Denklemlerin, baı kümelerde çöümleri bulunmamaktadır. x 5 0 denkleminin doğal sayılar kümesinde çöümü mevcut olmamasına rağmen tam, rasyonel ve gerçel sayılar kümesinde çöümü mevcuttur. x 9 0 denkleminin çöüm kümesi ise her üç sayı kümesinde de mevcut değildir. Bu ve bunun gibi denklemlerin çöümünün yapılabilmesi için karmaşık sayılar kümesi geliştirilmiştir. Karmaşık sayılarla verilen kurallar, alternatif akım elektroniğinin oluşumunda kısaca elektronikteki ilerlemelerin de temelini oluşturmuştur. Böylece geometrik toplamlar cebirsel toplamlar haline gelirken vektörel işlemler de skaler işlemler şekline dönüşmüştür... Gerçel Sayılar Kümesinin Genişletilmesi Gerçel sayılar kümesi üerinden karmaşık sayılar kümesi tanımlanarak gerçel sayılar kümesi genişletilmiştir. Tanım (KARMAŞIK SAYILAR) (x,y) x,y olmak üere kümesine karmaşık sayılar kümesi, nin her bir elemanına karmaşık sayı denir. (x,y) ise x sayısına karmaşık sayının gerçel kısmı, y sayısına da sanal kısmı denir. Bir karmaşık sayı (x,y) ise karmaşık sayısının gerçel kısmı Ger() x ve sanal kısmı San() y biçiminde ifade edilir. Örnek : a, a b sıralı ikilisinin bir karmaşık sayı olması için a ve b yi bulunu. Yanıt : a ve a b kesirlerinin tanımsı olduğu noktalar: a ve b 0 dir. Dolayısıyla, a ve b 0 olduğu takdirde a, a b sıralı ikilisi bir karmaşık sayıdır.. Birbirinden farklı 7 karmaşık sayı bulunu..., a, sıralı ikilisinin bir karmaşık olabilmesi için a sayısının alması gereken değerleri bu- 5 a sıralı ikilisinin bir karmaşık olabilmesi için a sayısının alması gereken değerleri bulunu. 4. (cos60, sin0 ) karmaşık sayısının eşiti lunu. hangi karmaşık sayıdır? Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

3 . İki Karmaşık Sayının Eşitliği Tanım (KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ) Herhangi iki karmaşık sayı (x, y) ve (u,v) olmak üere x u ve y v dir. Örnek : ( x,y ) ve (,6 y) karmaşık sayıları eşit ise x y kaçtır? Yanıt : ( x,y ) (,6 y) x ve y6 y x ve y 6 x ve y 4 Bu durumda, x y 7 dir.. ( x, y) (y5, 4 x) ise bu karmaşık xy. e,,x y ise bu karmaşık sayılar sayılar için x ve y nedir? için x kaçtır? y. Karmaşık Sayılar Kümesinde İşlemler Karmaşık sayılar kümesindeki işlemler:. Toplama İşlemi. Çıkarma İşlemi. Çarpma İşlemi 4. Bölme İşlemi.. Toplama İşlemi Tanım (TOPLAMA İŞLEMİ) Karmaşık sayılar kümesinde : : (x,y), (u,v) (x u, y v) şeklinde tanımlanan işlemine toplama işlemi denir. Örnek : (, 5) ve (4,7) karmaşık sayılarının toplamını bulunu. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

4 Yanıt : (, 5) (4,7) ( 4, 5 7) (7,) Karmaşık Sayılar Örnek : ( x,y ) ve ( x,6 y) karmaşık sayıları ise nedir? Yanıt : ( x,y ) ve ( x,6 y) ( x,y ) ( x,6 y) ( x ( x),y (6 y)) ( x x,y 6 y) (,4). (, 5) ve (4,57) karmaşık sayılarının. (,5) ve ( 4, 57) karmaşık sayılarının toplamını bulunu.. ( x y,y 5) ve (4 x y,7 y) karmaşık toplamını bulunu. 4. (5 x y,y 5 x) ve (4x y,7 x y) sayılarının toplamını bulunu. karmaşık sayılarının toplamını bulunu... Çıkarma İşlemi Tanım (ÇIKARMA İŞLEMİ), olmak üere ( ) sayısına in den farkı denir. Bu fark biçiminde gösterilir. Örnek : (, 5) ve (4,7) karmaşık sayılarının farkını bulunu. Yanıt : (, 5) (4,7) (, 5) (4,7) (, 5) ( 4, 7) ( 4, 5 7) (, ) Örnek : ( x, y ) ve ( x,6 y) karmaşık sayıları ise nedir? Yanıt : ( x, y ) ve ( x,6 y) ( x, y) ( x,6 y) ( x ( x), y (6 y)) ( xx, y6 y) (, 8) Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 4

5 Örnek : (, 5) ve ( 9, 7) karmaşık sayılarının farkını bulunu. Yanıt : (, 5) ( 9, 7) (, 5) ( 9, 7) (, 5) (9,7) ( 9, 5 7) (,). (, 5) ve (4,57) karmaşık sayılarının. (,5) ve (4, 57) karmaşık sayılarının farkını bulunu. farkını bulunu.. ( x y,y 5) ve (4 x y,7 y) karmaşık sayılarının farkını bulunu. karmaşık sayılarının farkını 4. ( x y,y 5 x) ve (4 x y,7 y x) bulunu... Çarpma İşlemi Tanım (ÇARPMA İŞLEMİ) Karmaşık sayılar kümesinde : : (x,y), (u,v) (xu yv, xv yu) şeklinde tanımlanan işlemine çarpma işlemi denir. Örnek : (, 5) ve (4,7) karmaşık sayılarının çarpımını bulunu. Yanıt : (, 5) (4,7) ( 4 ( 5) 7, 7 ( 5) 4) ( ( 5), ( 0)) ( 5, 0) (47,) Örnek : (, 5) ve ( 4,7) karmaşık sayılarının çarpımını bulunu. Yanıt : (, 5) ( 4,7) ( 4) ( 5) 7,( ) 7 ( 5) ( 4) ( 5), ( 0) 5, 0 47, 4. (, 5) ve (4,57) karmaşık sayılarının çarpımını bulunu.. (,5) ve (0,) karmaşık sayılarının çarpımını bulunu.. ( x y,y 5) ve (4 x y,7 y) karmaşık 4. (,0) ve (0,) karmaşık sayılarının çarpımını sayılarının çarpımını bulunu. bulunu. 5 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

6 ..4 Bölme İşlemi Karmaşık Sayılar Tanım (BÖLME İŞLEMİ), ve 0 olmak üere sayısına in ye bölümü denir. Bu bölüm biçiminde gösterilir Burada bir karmaşık sayının çarp işlemine göre tersinin tanımı yapılacaktır...4. Bir Karmaşık Sayının Çarpma İşlemine Göre Tersi Tanım (BÖLME İŞLEMİ) (a,b) ve 0 olmak üere a b a b a b, sayısına nin çarpma işlemine göre tersi denir ve biçiminde gösterilir Örnek : (, 5) karmaşık sayısının tersini bulunu. Yanıt : (, 5) 5 ( 5) ( 5), 5, , 4 4 Örnek : (,4) karmaşık sayısının tersini bulunu. Yanıt : (,4) 4 4 4, 4, , 5 5 Örnek : (, 5) ve (4,7) karmaşık sayılarının bölümünü bulunu. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 6

7 Yanıt : (, 5) (, 5) (4,7) (4,7) (, 5) (4,7) 4 7 (, 5), (, 5), (, 5), ( 5), ( 5) , , Örnek 4: (,) ve (,6) karmaşık sayıları için kaçtır? Yanıt 4: (,) (,6) (,) (,6) 6 (,), (,), (,), 0 0, , , 0 0 (, ) (,). işleminin sonucu nedir?. (, ) (, ) (0,) işleminin sonucu nedir?. (,) ve (5,6) karmaşık sayıları 4. (,5) ve (,5) karmaşık sayıları için kaçtır? için kaçtır? 7 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

8 .4 Grup Karmaşık Sayılar Bir matematik yapısının Grup (, ) olabilmesi için G: Kapalılık öeliği G: Birleşme öeliği G: Birim eleman öeliği G4: Ters eleman öeliği bu dört belit sağlanırsa yapı Grup (, ) olur. G5: Değişme öeliği belitinin sağlanması ile yapı Değişmeli Grup (, ) olur. Teorem Karmaşık sayılar kümesi toplama işlemine göre değişmeli bir gruptur. Yani (, ) matematik yapısı değişmeli gruptur. İspat: Grup belitlerini göstermek teoremin ispatı için gerektir ve yeterdir. Değişmeli grup için G: Kapalılık öeliği G: Birleşme öeliği G: Birim eleman öeliği G4: Ters eleman öeliği G5: Değişme öeliği belitlerini ispatlayalım. G: Kapalılık öeliği:, önermesinin doğru olması gerekir. (a,b) ve (c,d) ise (a,b) (c,d) (a c, b d) ac ve bd olduğundan dir. G: Birleşme öeliği:, toplama işlemine göre kapalıdır.,, ( ) ( ) önermesinin doğru olması gerekir. (a,b), (c,d) ve (e,f) ise ( ) ( ) olacaktır. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 8

9 ( ) (a,b) (c,d) (e,f) G: Birim eleman öeliği: (a c,b d) (e,f) (a c) e, (b d) f a (c e), b (d f) (a,b) (c e, d f) ( ) nin toplama işlemine göre birim elemanı vardır. Bu birim eleman (0,0) dır. (a,b) için (a,b) (0,0) (a 0,b 0) (a,b) (0,0) (a,b) (0 a,0 b) (a,b) G4: Ters eleman öeliği: (a,b) karmaşık sayısının toplama işlemine göre bir tersi vardır. Bu ters eleman ( a, b) dir. (a,b), (u,v) için (0,0) (a,b) (u,v) (0,0) (a u, b v) (0,0) a u 0 ve bv 0 u a ve v b (u,v) ( a, b) (a,b) karmaşık sayısının toplama işlemine göre tersi ( a, b) dir. G5: Değişme öeliği: nin toplama işlemine göre değişme öeliği vardır. (a,b), (c,d) için (a,b) (c,d) (a c,b d) (c a,d b) (c,d) (a,b) Örnek : (, 5) ve (4,7) karmaşık sayılarının toplamını bulunu. Yanıt : (, 5) (4,7) ( 4, 5 7) (7, ) veya (4,7) (, 5) (4, 7 ( 5)) (7, ) Örnek : (, 5) ve (4,7) karmaşık sayılarının toplama işlemine göre tersi olan karmaşık sayıları bulunu. 9 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

10 Yanıt : (, 5) karmaşık sayısının toplama işlemine göre tersi : (, 5) (,5) (4,7) karmaşık sayısının toplama işlemine göre tersi : (4,7) ( 4, 7). (,5) ( 4, 7) toplamının sonucu nedir?. ( 4, 7) toplama işlemine göre tersi nedir?.5 Cisim Bir matematik yapısının Cisim (,, ) olabilmesi için G: Kapalılık öeliği G: Birleşme öeliği G: Birim eleman öeliği G4: Ters eleman öeliği G5: Değişme öeliği Ç: Kapalılık öeliği Ç: Birleşme öeliği Ç: Birim eleman öeliği Ç4: Ters eleman öeliği Ç5: Değişme öeliği Ç6: Dağılma öeliği belitlerin sağlanması ile yapı Cisim (,, ) olur. Grup belitlerinde toplama işlemi, Cisim belitlerinde ise toplama (Grup) ve çarpma işlemleri kullanılmaktadır. Teorem Karmaşık sayılar kümesi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir cisimdir. Yani, (,, ) matematik yapısı bir cisimdir. İspat: Cisim (,, ) belitlerini göstermek teoremin ispatı için gerektir ve yeterdir. Grup (, ) için G: Kapalılık öeliği, G: Birleşme öeliği, G: Birim eleman öeliği, G4: Ters eleman öeliği, G5: Değişme öeliği belitleri sayfa 5 de..5. Çarpma İşlemi Tanım (ÇARPMA İŞLEMİ) Karmaşık sayılar kümesinde : : (x,y), (u,v) (xu yv, xv yu) şeklinde tanımlanan işlemine çarpma işlemi denir. Örnek : (, 5) ve (4,7) karmaşık sayılarının çarpımını bulunu. Yanıt : (, 5) (4,7) ( 4 ( 5) 7, 7 ( 5) 4) Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 0

11 ( ( 5), ( 0)) ( 5, 0) (47,) Örnek : (, 5) ve ( 4,7) karmaşık sayılarının çarpımını bulunu. Yanıt : (, 5) ( 4,7) ( 4) ( 5) 7,( ) 7 ( 5) ( 4) ( 5), ( 0) 5, 0 47, 4 5. (, 5) ve (4,57) karmaşık sayılarının çarpımını bulunu. 7. (,5) ve (0,) karmaşık sayılarının çarpımını bulunu. 6. ( x y,y 5) ve (4 x y,7 y) karmaşık 8. (,0) ve (0,) karmaşık sayılarının çarpımını sayılarının çarpımını bulunu. bulunu..5. Bölme İşlemi Tanım (BÖLME İŞLEMİ), ve 0 olmak üere sayısına in ye bölümü denir. Bu bölüm biçiminde gösterilir Burada bir karmaşık sayının çarp işlemine göre tersinin tanımı yapılacaktır..5.. Bir Karmaşık Sayının Çarpma İşlemine Göre Tersi Tanım (BÖLME İŞLEMİ) (a,b) ve 0 olmak üere a b a b a b, sayısına nin çarpma işlemine göre tersi denir ve biçiminde gösterilir Örnek : (, 5) karmaşık sayısının tersini bulunu. Yanıt : Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

12 (, 5) 5 ( 5) ( 5), 5, , 4 4 Karmaşık Sayılar Örnek : (,4) karmaşık sayısının tersini bulunu. Yanıt : (,4) 4 4 4, 4, , 5 5 Örnek : (, 5) ve (4,7) karmaşık sayılarının bölümünü bulunu. Yanıt : (, 5) (, 5) (4,7) (4,7) (, 5) (4,7) 4 7 (, 5), (, 5), (, 5), ( 5), ( 5) , , Örnek 4: (,) ve (,6) karmaşık sayıları için kaçtır? Yanıt 4: (,) (,6) (,) (,6) 6 (,), 6 6 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

13 6 (,), (,), 0 0, , , 0 0 (, ) (,) 5. işleminin sonucu nedir? 7. (, ) (, ) (0,) işleminin sonucu nedir? 6. (,) ve (5,6) karmaşık sayıları 8. (,5) ve (,5) karmaşık sayıları için kaçtır? için kaçtır? Grup konusunda ispatlanmıştır. Aşağıda Cisim (,, ) için verilen çarpma işlemi belitleri ispatlanmıştır. Ç: Kapalılık öeliği, önermesinin doğru olması gerekir. (a,b) ve (c,d) ise (a, b) (c,d) (ac bd, ad bc) ac bd ve ad bc olduğundan dir., çarpma işlemine göre kapalıdır. Ç: Birleşme öeliği,, ( ) ( ) önermesinin doğru olması gerekir. göre; (a,b), (c,d) ve (e,f) ise ( ) ( ) olacaktır. Bu duruma ( ) (a,b) (c,d) (e,f) (ac bd,ad bc) (e,f) (ac bd)e (ad bc)f,(ac bd)f (ad bc)e ace bde adf bcf,acf bdf ade bce Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

14 ( ) (a,b) (c,d) (e,f) (a,b) (ce df,cf de) Karmaşık Sayılar a(ce df) b(cf de),a(cf de) b(ce df) ace adf bcf bde,acf ade bce bdf vardır. Buradan ( ) ( ) olduğundan nin çarpma işlemine göre birleşme öeliği Ç: Birim eleman öeliği nin çarpma işlemine göre birim elemanı vardır. Bu birim eleman (,0) dır. (a,b) için (a,b) (,0) (a b0,a 0b) (a,b) (,0) (a,b) ( a 0b, b0a) (a,b) Ç4: Ters eleman öeliği (a,b) (0,0) karmaşık sayısının çerpma işlemine göre bir tersi vardır. Bu ters a b eleman, a b a b dir. (a,b), (x, y) için (a,b) (x,y) (,0) (ax by,ay bx) (,0) (x,y) (a,b) (,0) (xa yb,ya xb) (,0) Karmaşık sayıların eşitliğinden ax by ay bx 0 x a a b y a b b ve a b Ters eleman (x,y) a b a b dir. de (0,0) karmaşık sayısı hariç tüm karmaşık sayıların çarpma işlemine göre tersi vardır. Ç5: Değişme öeliği nin çarpma işlemine göre değişme öeliği vardır. (a,b), (c,d) için (a,b) (c,d) (ac bd,ad bc) (ca db,da cb) (c,d) (a,b) Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 4

15 Ç6: Dağılma öeliği de çarpma işleminin toplama işlemi üerine sağdan ve soldan dağılma öeliği vardır. (a,b), (c,d), (e,f) için (a,b) (c,d) (e,f) ( ) (a,b) (c e,d f) a(c e) b(d f), b(c e) a(d f) (ac ae bd bf, ad af bc be) (ac bd ae bf, bc ad af be) (ac bd, bc ad) (ae bf, af be) (a,b) (c,d) (a,b) (e,f) (c,d) ( ) (e,f) (a,b) (c e,d f) (a,b) (c e)a (d f)b, (c e)b (d f)a (ca ea db fb, cb eb da fa) (ca db ea fb, cb da fa eb) (ca db, cb da) (ea fb, fa eb) (a,b) (c,d) (a,b) (e,f) Böylece nin bir Cisim (,, ) olduğu ispatlanmış olur. Örnek : (, 5) karmaşık sayısının tersini bulunu. Yanıt : (a,b) karmaşık sayısının tersi (u,v) olsun. Buna göre a b (u,v), a b a b 5, ( 5) ( 5) 5, 5 5 5, 6 6. (,7) karmaşık sayısının tersini bulunu.. (,0) karmaşık sayısının tersini bulunu..6 Sadeleştirme Teorem, 0, v 0 ise v v dir. 5 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

16 İspat: v (v) v v ( v)( v) ( v)( v ) ( v)(v ) (vv ) Karmaşık Sayılar Örnek : (, 5) (9,7) (,5) (9,7) karmaşık sayısını sadeleştirini. Yanıt : (, 5) (9,7) (,5) (9,7) (, 5) (,5) 5 (, 5), , , 7 7. (,5) (,4) (,5) (,4) ( 4,) (5,7) karmaşık sayısını sadeleştirini. 4. (,5) (5,7) karmaşık sayısını sadeleştirini..7 Gerçel ve Karmaşık Sayılar Arasındaki İlişki İkinci bileşenleri sıfır olan, (x,0) karmaşık sayılar kümesini ile belirtelim. (x,0) x dir. toplama ve çarpma işlemlerine göre bir cisim (,, ) olamaya devam eder. Sayfa 0 deki.5 Cisim konusundaki teorem ve ispatı ile ispatlanabilir. Matematik yapısı Gerçel sayılar kümesinin de Cisim (,, ) olduğu biliniyor. Bu iki Cisim arasındaki ilişki tanımlanırsa: f: f :(x,0) x buna göre toplama, çarpma ve fonksiyonun birebir ve örten fonksiyon olma öeliklerini verelim. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 6

17 i. (a,0),(b,0) için (a,0) (b,0) ve (a b,0) elemanlarının f ile elde edilecek görüntüsü a b dir. f (a,0) (b,0) a b ii. f (a,0) (b,0) a b iii. f fonksiyonu birebir ve örten fonksiyondur. İki sistem arasında işlem-koruyan (homomorfim) bir fonksiyon varsa ve bu fonksiyon aynı aman da birebir ve örten (iomorf) ise bu iki sistem birbirine denk olur. Bu durumda herhangi bir önerme biri için doğru ise diğeri için de doğrudur. Buna göre (x,0) ile x aynı sayının iki farklı gösteriminden başka bir şey değildir. Örnek : (,0), (,0), (0,0),,0 karmaşık sayılarının hangi gerçel sayılara eşit olduklarını bulunu.,0 ve Yanıt : (,0), (,0), (0,0) 0,,0,,0. (,0), (,0), (0,0),,0 ve,0 karmaşık sayılarının hangi gerçel sayılara eşit olduklarını bulunu.. ( 7,0), (0,0), (0,0), 9,0 ve 6,0 karmaşık sayılarının hangi gerçel sayılara eşit olduklarını bulunu..8 Karmaşık Sayıların Normal Biçimi Euler Leonhard (707-78) tarafından matematiğe kaandırılan i sayısı tanımlanacak ve öelikleri verilecektir. dir. Tanım (I SAYISI) (0,) i Teorem i dir. 7 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

18 İspat: i ii (0,) (0,) (00,0 0) (,0) Karmaşık Sayılar Örnek : 4 ve 0 ifadelerinin eşitlerini bulunu. Yanıt : 4 4 i 4 i i i i 0 i 4 5 i 5 5 i Örnek : i 5 ve i 7 i ifadelerinin eşitlerini bulunu. Yanıt : 5 i i i i i i i i i 7 i i 6 6 i i i i 6 i i Örnek : i 8 7 i i ve i Yanıt : i 8 i i 8 i i i ifadelerinin eşitlerini bulunu. 5 7 i i i i i i i i 5 i i i i i i i i Örnek 4: Yanıt 4: 7 5 P() 5 ise P(i) nedir? 7 5 P(i) i i i 5i P(i) i i i i i i 5i Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 8

19 P(i) i i i 5i P(i) i () i i 5i P(i) i i i 5i P(i) 0i Örnek 4: n olmak üere A i i i i 4n 4n 4n 4n ifadesinin eşitini bulunu. Yanıt 4: 4n 4n 4n 4n n n n n A i i i i i i i A i i i i Örnek 5: n n n n A i i i A i i i A i i i Ai ( ) i i A i i A 0 4 Qii i i i ifadesinin eşitini bulunu. Yanıt 5: 4 Qii i i i Q Q i Q Q i 4 i () i 76 Q i 8 Q 8 Q Örnek 5: ifadesinin eşitini bulunu. Yanıt 5: Tanım (NORMAL BİÇİM veya CEBİRSEL BİÇİM) a ib karmaşık sayısına (a,b) nin normal biçimi veya cebirsel biçimi denir. Teorem (a,b) ise (a,b) a b i dir. 9 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

20 İspat: (a,b) (a,0) (0,b) (a,0) (0,) (b,0) a i b Karmaşık Sayılar Tanım (GERÇEL ve SANAL KISIM) a ib karmaşık sayısındaki a sayısına gerçel kısım, b sayısına sanal kısım denir. a Ger() ve b San() biçiminde ifade edilir. Örnek : 5i karmaşık sayısının gerçel ve sanal kısımlarını bulunu. Yanıt : Gerçel kısım : Ger() Sanal kısım : San() 5 Örnek : 8 5i karmaşık sayısının gerçel ve sanal kısımlarını bulunu. 4 Yanıt : 8 5i 8 5 i Gerçel kısım : Ger() 4 5 Sanal kısım : San() ifadesinin eşiti nedir? 8. i i i ifadesinin eşiti nedir? i i i i i ifadesinin eşiti nedir? i i 8 4. ifadesinin eşiti nedir? i P(x) x 4x x 5 ise P(i) nedir? 6. n olmak üere A i i 4i ifadesinin eşiti nedir? 8n 8n 8n n 8n 7. n olmak üere A i i ifadesinin eşiti nedir? 8. i karmaşık sayısının gerçel ve sanal kısımlarını bulunu i karmaşık sayısının gerçel ve 5 4 sanal kısımlarını bulunu. 0. i karmaşık sayısının gerçel ve sanal kısımlarını bulunu. 4. i ise Ger() San() nedir? 5 5. i ise Ger() San() nedir?.9 Karmaşık Sayının Geometrik Gösterimi Karmaşık sayılar kümesinin elemanları ile analitik dülemin noktaları arasında, Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 0

21 a bi (a,b) biçiminde birebir ve örten eşlemesi kurulabilir. Böylece her karmaşık sayı için analitik dülemde bir nokta karşılık gelir. Bu nokta karmaşık sayının geometrik gösterimidir. (Şekil ) Analitik dülemin noktaları ile başlangıç noktası olan (0,0) ile belirtilen yönlü doğru parçalarının belirttiği vektörler arasında birebir eşleme olduğundan b O y x a Şekil Karmaşık sayı x iy (x,y) vektörü arasında birebir eşleme yapılabilir. Bu durumda, (x,y) vektörü karmaşık sayısının bir geometrik gösterimi olmaktadır. İki karmaşık sayının toplamına, bu karmaşık sayılara karşılık gelen vektörlerin toplamına karşılık geleceğinden, karmaşık sayıların geometrik olarak toplanması vektörlerde olduğu gibi paralelkenar kuralı gereğince yapılır. (Şekil ) y O Şekil Vektör x yapını. Örnek : i, i ve 5 i karmaşık sayılarının geometrik gösterimini Yanıt : i, i, 5 i Geometrik gösterimi Şekil de verilmiştir. O y 5 x Şekil Geometrik Gösterim. 4i ve i ise karmaşık sayısının geometrik gösterimini yapını. sayısının geometrik gösterimini. 4 i ve 5i ise karmaşık yapını..0 Karmaşık Dülem Tanım (KARMAŞIK DÜZLEM) Karmaşık sayılar kümesi ile birebir eşlenen düleme karmaşık dülem denir. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

22 Tanım (EKSENLER) Karmaşık dülemde 0x-eksenine gerçel eksen, 0y-eksenine sanal eksen denir. Örnek : 5i karmaşık sayısını karmaşık dülemde gösterini. Buna göre, karmaşık sayısı yandaki karmaşık dülemde gösterilmiştir. Yanıt : 5i olduğuna göre, Ger() San() 5 y 5 x O Şekil 4 Karmaşık Sayı. 5i karmaşık sayısını karmaşık dülemde gösterini. lemde. 9 5i karmaşık sayısını karmaşık dü- gösterini.. Bir Karmaşık Sayının Eşleniği Tanım (KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ) x iy bir karmaşık sayı ise x iy karmaşık sayına bu karmaşık sayının eşleniği denir ve biçiminde gösterilir. x iy karmaşık sayısı ile eşleniği olan x iy karmaşık sayıları x-eksenine göre simetriktir. Örnek : 5i karmaşık sayısının eşleniğini bulunu. Yanıt : 5i 5i 5i Örnek : 5i ve 5 i karmaşık sayıları için yi bulunu. Yanıt : ( 5i) (5 i) ( 5) i(5 ) 8 8i 8 8i Örnek : 5i ve 5 i karmaşık sayıları için yi bulunu. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

23 Yanıt : (,5) (5,) (,5) (5,) 5 (,5), , , i i i karmaşık sayısının eşleniğini bulunu. için yi bulunu.. 5i ve 5 i karmaşık sayıları. 6 4i ve 5 i karmaşık sayıları 4. 4i ve 4 i karmaşık sayıları için yi bulunu. için : yi bulunu... İki Karmaşık Sayının Toplamının, Çarpımının ve Bölümünün Eşleniği Aşağıdaki teoremde iki karmaşık sayının toplamının, çarpımının ve bölümünün eşleniği ile ilgili öelikler verilmiştir. dir. Teorem, olmak üere ( 0) 5. Ger() ( 0) 6. i San() İspat: x iy ve u iv olsun. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

24 . (x iy) (u iv) (x u) (iy iv) (x u) i(y v) (x u) i(y v) x u iy iv x iy u iv. (x iy) (u iv) (xu yv) i(xv yu) (xu yv) i(xv yu) xu yv ixv iyu xu i yv ixv iyu xu ixv i yv iyu x(u iv) iy( iv u) (x iy)(u iv) Karmaşık Sayılar. x iy x y i x y x y x y i x y x y x iy x iy x y i x y x y x iy x iy x iy x iy x Ger() 6. x iy x iy x iy (x iy) x iy x iy iy i San() Örnek : 4i ve 4 i ise sonucunu bulunu. Yanıt : ( 4i) (4 i) ( 4) i( ) Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 4

25 7 i 7 i Örnek : 4i ve 4 i ise sonucunu bulunu. Yanıt : ( 4i) (4 i) ( 44 ( )) ( ( ) 4 4)i ( 8) ( 6 6)i 0 0i 0 0i Örnek : 4i ise Yanıt : 4i 4i 4i (4i) 4i 4i i 5 5 sonucunu bulunu. Örnek 4: 4i ve 4 i ise Yanıt 4: 4i 4i 4 i 4 i 4i 4i 4 i 4 i (4 i) sonucunu bulunu. (4i)(4i) 4 ( 8) ( 6 6)i 0 4i 0 i 5 0 Örnek 5: 4i ise sonucunu bulunu. Yanıt 5: Ger() için Ger() olduğundan 6 5 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

26 Örnek 4: 4i ise sonucunu bulunu. Karmaşık Sayılar Yanıt 6: i San() ve San() 4 olduğundan i 4 8i. i ve i ise ve değerlerini bulunu.. i ve i ise ve değerlerini bulunu.. i ve değerlerini bulunu. 4. i ve i ise ve değerlerini bulunu. 5. i ise ve Ger() değerlerini bulunu. 6. i ise ve i San() değerlerini bulunu.. Bir Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü) Tanım (KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)) a ib olmak üere a b gerçel sayısına a ib karmaşık sayısının mutlak değeri (modülü) denir ve biçiminde gösterilir. Yukarıda verilen mutlak değer tanım Gerçel sayılar kümesindeki mutlak değer tanımının genişletilmiş halidir. Buna göre y a ib a b dir. Bir karmaşık sayının mutlak değeri (modülü), karmaşık sayı ile karmaşık dülemin başlangıç noktası arasındaki uaklığı belirtir. (Şekil 5) O Şekil 5 Modül x Örnek : i ise nin modülünü bulunu. Yanıt : i ise 9 4 Örnek : i ise yi bulunu. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 6

27 Yanıt : i ise ( ) 4 5 Örnek : i ( 4i) ise nin modülünü bulunu. Yanıt : i ( 4i) ii 4i i 4i 4 i 4 i a i ve 4 ise a yı bulunu.. x y ise karmaşık sayısını x ve y türünden bulunu... Karmaşık Sayıların Mutlak Değeri İle İlgili Öelikler Teorem, olmak üere... Ger() Ger() 4. San() San() İspat: x iy ve u iv olmak üere 7 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

28 . x iy x y Karmaşık Sayılar x ( y) x iy x iy x y ( x) ( y) x iy (x iy). x y x y (x iy) (x iy). 4. x y x y x x Ger() x Ger() y y San() y San() 5. x y x y 0 x y 0 (x 0 ve y 0) 0i () () ( ) () () ( ) olduğundan, her iki tarafın poitif olmasından dolayı karekökü alınırsa,. 8. olduğundan, her iki tarafın poitif olmasından dolayı Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 8

29 karekökü alınırsa, Örnek : a bi ise i bulunu.. Yanıt : olduğundan a bi a b dir. Örnek : 4i ise i bulunu. Yanıt : olduğundan 4i Örnek : i ve i ise i bulunu. Yanıt : olduğundan i i ( ) Örnek 4: i ve i ise i bulunu. Yanıt 4: olduğundan i i ( ) Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

30 . 5i ise yi bulunu.. 5i ise yi bulunu.. 5i ise yi bulunu. Karmaşık Sayılar 4. 5i ve 4i ise yi bulunu. 5. 5i ve 4i ise : yi bulunu.. Karmaşık Sayılar Kümesinde İşlemler Karmaşık sayılar kümesindeki işlemler:. Toplama işlemi. Çıkarma işlemi. Çarpma işlemi 4. Bölme işlemi.. Toplama dir. Tanım (TOPLAMA İŞLEMİ) a ib, c id karmaşık sayılarının toplamı (a c) i(b d) Örnek : 4i ve 5 6i ise toplamını bulunu. Yanıt : 4i ( 5 6i) ( 5) 4 ( 6) i 5 4 6i i Örnek : p i ve r 5 6i ise r p toplamını bulunu. Yanıt : i (5 6i) 5 ( 6) i i. 5 7i ve 7 8i ise toplamını. 4i ve 4i ise toplamını bulunu. bulunu. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 0

31 ... Toplama İşleminin Geometrik Yorumu a bi ve c di karmaşık sayılarını ve (a c) i(b d) karmaşık sayısını dülemde gösterelim. Orijin ve bu karmaşık sayılar A, B ve C birleştirilirse bir paralelkenar ortaya çıkar. Bu paralelkenar (Şekil 6) OACB dir. OC, paralelkenarın köşegenidir. AOE CBD olduğundan AE CD b ve OE BD a dır. Bu durumda C noktasının koordinatları C(a c,b d) dir. Buna göre C noktası y b d D E x O a c Şekil 6 Toplama İşlemi sayısının karmaşık dülemdeki görüntüsüdür. (a c) (b d)i Örnek : i ve i ise karmaşık sayısının geometrik gösterimini yapını. Yanıt : i ve i ise i i 5 i y O 5 x Geometrik gösterimi Şekil 7 de verilmiştir. Şekil 7 Geometrik Gösterim. i ve 5 i ise karmaşık sayının geometrik gösterimini yapını. sayının geometrik gösterimini. i ve 5 8i ise karmaşık yapını.... Toplama İşleminin Öelikleri Toplama işleminin öelikleri:. Kapalılık öeliği. Değişme öeliği. Birleşme öeliği 4. Birim eleman öeliği 5. Ters eleman öeliği Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

32 ... Kapalılık Öeliği Karmaşık Sayılar Tanım (KAPALILIK ÖZELİĞİ) a ib ve c id karmaşık sayıları için (a c) i(b d) olur. Karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin kapalılık öeliği vardır. Örnek : 4i ve 5 6i ise toplamını bulunu. Yanıt : 4i ( 5 6i) olduğundan kapalıdır. ( 5) 4 ( 6) i 5 4 6i i... Değişme Öeliği Tanım (DEĞİŞME ÖZELİĞİ) a ib ve c id karmaşık sayıları için (a c) i(b d) (c a) i(d b) dir. Karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin değişme öeliği vardır. Örnek : 4i ve 5 6i ise değişme öeliğini gösterini. Yanıt : 4i ( 5 6i) ( 5) 4 ( 6) i i 5 6i 4i i i olduğundan değişme öeliği vardır.... Birleşme Öeliği Tanım (BİRLEŞME ÖZELİĞİ) a ib, c id ve q e if karmaşık sayıları için ( ) q ( q) dir. Karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme öeliği vardır. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

33 Örnek : 4i, 5 6i ve q i ise birleşme öeliğini gösterini. Yanıt : ( ) q 4i ( 5 6i) i 5 (46)i i ( i) i ( ) ( )i i 4i ( 5 6i) i q 4i ( 5 ) ( 6 )i 4i ( 4 5i) ( 4) (4 5)i i olduğundan birleşme öeliği vardır....4 Birim Eleman Öeliği Tanım (BİRİM ELEMAN ÖZELİĞİ) a ib karmaşık sayısı için 0 0 dir. Karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin birim eleman öeliği vardır ve 0 (sıfır) dır. Örnek : 4i ise birim eleman öeliğini gösterini. Yanıt : 00 0i ve 4i olduğundan 0 4i 0 0i ( 0) (4 0)i (0) (0 4)i 00i 4i 0 olduğundan birim eleman öeliği vardır ve 0 (sıfır) birim elemandır....5 Ters Eleman Öeliği Tanım (TERS ELEMAN ÖZELİĞİ) a ib karmaşık sayısı için ( ) ( ) 0 dır. karmaşık sayısının tersi öeliği vardır. dir. Karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin ters eleman Örnek : 4i ise ters eleman öeliğini gösterini. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

34 Yanıt : 4i ve 4i olduğundan Karmaşık Sayılar ( ) 4i ( 4i) ( ( )) (4 ( 4))i (( ) ) (( 4) 4)i ( 4i) 4i ( ) 0 olduğundan ters eleman öeliği vardır ve nin toplama işlemine göre ters elemanı dir.. 4i ve q i ise değişme öeliğini. 5i ise birim eleman öeliğini gösterini. gösterini.. 5 4i, 6i ve q i ise birleşme öeliğini gösterini. 4. p 7i ise ters eleman öeliğini gösterini... Çıkarma dir. Tanım (ÇIKARMA İŞLEMİ) a ib, c id karmaşık sayılarının farkı ( ) (a c) i(b d) Örnek : 4i ve 5 6i ise farkını bulunu. Yanıt : 4i ( 5 6i) ( 5) 4 ( 6) i 5 4 6i 8 0i Örnek : 4 6i ve 5 8i ise farkını bulunu. Yanıt : 4 6i (5 8i) ( 8) i 9 6 8i 9 4i Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 4

35 . 44i ve 9i ise toplamını bulunu. nı. 4i ve 9 i ise toplamı- bulunu.... Çıkarma İşleminin Geometrik Yorumu (a c) i(b d) kar- a bi ve c di maşık sayısını dülemde gösterelim. karmaşık sayılarını ve c di c di y Orijin A, B ve C birleştirilirse bir paralelkenar ortaya çıkar. Bu paralelkenar (Şekil 8) OACB dir. OC, paralelkenarın köşegenidir C noktasının koordinatları (a c,b d) olmaktadır. Böylece, (a c, b d) olur. Buna göre, E b D d O a c x olur. (a c) (b d)i Şekil 8 Çıkarma İşlemi. 44i ve 9i ise farkını geometrik olarak gösterini. geometrik olarak. 4i ve 9 i ise farkını gösterini.... Çıkarma İşleminin Öelikleri Çıkarma işleminin öelikleri:. Kapalılık öeliği Karmaşık sayılar kümesinde çıkarma işleminin herhangi bir başka öeliği mevcut değildir.... Kapalılık Öeliği Tanım (KAPALILIK ÖZELİĞİ) a ib ve c id karmaşık sayıları için dir. Karmaşık sayılar kümesinde çıkarma işleminin kapalılık öeliği vardır. Örnek : 4i ve 5 6i ise farkını bulunu. 5 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

36 Yanıt : 4i ( 5 6i) 4i (5 6i) ( 5) (4 6)i 8 0i Karmaşık Sayılar. 4i ve 8 6i ise farkını. 4i ve 58i ise farkını bulunu. bulunu... Çarpma dir. Tanım (ÇARPMA İŞLEMİ) a ib, c id karmaşık sayılarının çarpımı (ac bd) i(ad bc) Örnek : 4i ve 5 6i ise çarpımını bulunu. Yanıt : ( 4i) ( 5 6i) ( 5) 4 ( 6) ( 6) 4 ( 5) i 5 ( 4) 8 ( 0) i i 9 8i Örnek : i ve 4 i ise çarpımını bulunu. Yanıt : ( i) (4 i) 4 4i i 4 8i. 4 i ve 6 5i ise çarpımını bulunu.. v 7i ve 5 i ise v çarpımını bulunu.. q 4 i ve r 6 4i ise rq ve qr çarpımını bulunu. 4. t 7 5i ve p 9i ise t p ve p t çarpımını bulunu. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 6

37 ... Çarpma İşleminin Öelikleri Çarpma işleminin öelikleri:. Kapalılık öeliği. Değişme öeliği. Birleşme öeliği 4. Birim eleman öeliği 5. Ters eleman öeliği 6. Dağılma öeliği... Kapalılık Öeliği Tanım (KAPALILIK ÖZELİĞİ) a ib ve c id karmaşık sayıları için (a ib) (c id) (ac bd) i(ad bc) dir. Karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin kapalılık öeliği vardır. Örnek : 6 4i ve 5 6i ise çarpımını bulunu. Yanıt : 6 4i ve 5 6i olduğuna göre, ( 6 4i) ( 5 6i) 6 ( 5) 4 ( 6) 6 ( 6) 4 ( 5) i 0 ( 4) 6 ( 0) i i 54 6i olduğundan kapalılık öeliği gösterilmiş olur.... Değişme Öeliği Tanım (DEĞİŞME ÖZELİĞİ) a ib ve c id karmaşık sayıları için dir. Karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme öeliği vardır. Örnek : 6 4i ve 5 6i ise değişme öeliğini gösterini. 7 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

38 Yanıt : ( 6 4i) ( 5 6i) 6 ( 5) 4 ( 6) 6 ( 6) 4 ( 5) i 0 ( 4) 6 ( 0) i i 54 6i ( 5 6i) ( 6 4i) Karmaşık Sayılar 5 ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) i 0 ( 4) 0 6i i 54 6i olduğundan değişme öeliği gösterilmiş olur.... Birleşme Öeliği Tanım (BİRLEŞME ÖZELİĞİ) a ib, c id ve q e if karmaşık sayıları için () q ( q) dir. Karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme öeliği vardır. Örnek : 6 4i, q 7 4i ve 5 6i ise birleşme öeliğini gösterini. Yanıt : ( ) q ( 6 4i) ( 5 6i) ( 7 4i) (54 6i) ( 7 4i) 4 8i ( 6 4i) ( 5 6i) ( 7 4i) ( q) ( 6 4i) ( 6i) 4 8i olduğundan birleşme öeliği gösterilmiş olur....4 Birim Eleman Öeliği Tanım (BİRİM ELEMAN ÖZELİĞİ) a ib ve i0 karmaşık sayıları için dir. olduğundan birim eleman dir. Karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin birim eleman öeliği vardır. Örnek : 6 4i ise birim eleman öeliğini gösterini. Yanıt : 6 4i ve i0 olduğuna göre Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 8

39 ( 6 4i) ( 0i) ( 6 40) ( 6 04 )i 6 4i ( 0i) ( 6 4i) ( ( 6) 04) ( 40 4)i 6 4i birim eleman öeliği gösterilmiştir....5 Ters Eleman Öeliği Tanım (TERS ELEMAN ÖZELİĞİ) a ib ve c id karmaşık sayıları için dir. karmaşık sayısı karmaşık sayısının tersidir. Karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin ters eleman öeliği vardır. Örnek : 6 4i ise ters elemanını bulunu. Yanıt : 6 4i karmaşık sayısının tersi a ib olsun. ( 6 4i) (a ib) ( 6a 4b) ( 6b 4a)i ( 6a 4b) ( 6b 4a)i olduğundan 6a 4b ve 6b 4a 0 i 6 6a 4b ve 4a 6b 6a 4b ve a b 6a 4b ve 6a 9b b ve a 6 (a ib) ( 6 4i) ( 6a 4b) (4a 6b)i ( 6a 4b) (4a 6b)i olduğundan, 6a 4b ve 4a 6b 0 i 6 6a 4b ve 4a 6b 6a 4b ve a b 6a 4b ve 6a 9b b ve a 6. 5i karmaşık sayınının tersi olan karmaşık sayıyı bulunu. maşık sayıyı. 8 i karmaşık sayınının tersi olan kar- bulunu. 9 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

40 ...6 Dağılma Öeliği Karmaşık Sayılar Tanım (DAĞILMA ÖZELİĞİ) a ib, c id ve q e if karmaşık sayıları için (q) (q) dir. Karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üerine dağılma öeliği vardır. Örnek : 6 4i, q 7 4i ve 5 6i ise dağılma öeliğini gösterini. Yanıt : ( q) ( 6 4i) ( 5 6i) ( 7 4i) ( 6 4i) ( 5 6i) ( 6 4i) ( 7 4i) (0 4) (6 0)i (4 6) (4 8)i 54 6i 58 4i i ( q) ( 5 6i) ( 7 4i) ( 6 4i) ( 5 6i) ( 6 4i) ( 7 4i) ( 6 4i) (0 4) (6 0)i (4 6) (4 8)i 54 6i 58 4i i dağılma öeliği gösterilmiş olur.. 6 4i, q i ve 5 6i karmaşık sayıları için ( q) ve q işlemlerini i, q i ve 5 6i karmaşık sayıları için (q) ve q yapını. işlemlerini yapını.. 6 4i, q i ve 5 6i karmaşık i, q i, r 5 i ve 5 6i sayıları için (q) ve q işlemlerini karmaşık sayıları için (q r) ve yapını. q r işlemlerini yapını.. 6 4i, q i ve 5 6i karmaşık i, r i, q 5i ve 5 6i sayıları için (q ) ve q karmaşık sayıları için (q r) ve işlemlerini yapını. q r işlemlerini yapını...4 Bölme dir. Tanım (BÖLME İŞLEMİ) a ib, c id karmaşık sayılarının bölümü Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 40

41 ..4. Bölme İşleminin Öelikleri Bölme işleminin öelikleri:. Kapalılık öeliği Karmaşık sayılar kümesinde bölme işleminin herhangi bir başka öeliği mevcut değildir Kapalılık Öeliği Tanım (KAPALILIK ÖZELİĞİ) a ib ve c id 0 karmaşık sayıları için dir. Karmaşık sayılar kümesinde bölme işleminin kapalılık öeliği vardır.. 6 4i, q i ve 5 6i karmaşık. 6 4i, q i, r i ve 6i sayıları için bölme işleminin kapalılık öeliğini gösterini. lık öeliğini karmaşık sayıları için bölme işleminin kapalı- gösterini..4 Karmaşık Dülemde İki Karmaşık Sayı Arasındaki Uaklık Tanım (İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK) x iy ve u iv karmaşık sayıları için (x u) (y v) değerine karmaşık sayısı ile karmaşık sayısı arasındaki uaklık denir. Örnek : 5i ve 4 i karmaşık sayıları arasındaki uaklığı bulunu. Yanıt : 5i A (,5) 4 i A (4,) Uaklık: d ( 4) (5 ) ( 7) () i ve 4 i ise ve. i, 5i ve i ise değerlerini bulunu. ve değerlerini bulunu. 4 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

42 .4. 0 r Eşitliğine Uyan Karmaşık Sayıların Kümesini Bulma 0 r koşuluna uyan karmaşık sayılarının kümesinin, 0 sayısına uaklığı r olan noktaların kümesidir. Bu küme merkei 0 ve yarıçapı r olan bir çemberdir. x iy, 0 a ib ve r olsun. 0 x iy (a ib) x a i(y b) (x a) (y b) r (x a) (yb) r (x a) (yb) r Bu denklem, Merkei M(a,b) ve yarıçapı r olan çember denklemidir. Örnek : ( i) eşitliğine uyan karmaşık sayısının kümesini ifade eden çember denklemini, çemberin merkeini ve yarıçap uunluğunu bulunu. Yanıt : ( i), bu eşitliğe göre çemberin merkei M(,) ve yarıçap r dür. Çember denklemi: (x ) (y ) dir. Örnek : i 5 eşitliğine uyan karmaşık sayısının kümesini ifade eden çember denklemini, çemberin merkeini ve yarıçap uunluğunu bulunu. Yanıt : i 5 ise (i) 5, bu eşitliğe göre çemberin merkei M(, ) ve yarıçap r 5 dür. Çember denklemi: (x ) (y ( )) 5 ise (x ) (y ) 5 dir.. i 7 eşitliğine uyan karmaşık sa-. 5i 5 eşitliğine uyan karmaşık sayısı- yısının kümesini ifade eden çember denklemini, çemberin merkeini ve yarıçap uunluğunu bulunu. nın kümesini ifade eden çember denklemini, çemberin merkeini ve yarıçap uunluğunu bulunu r Eşitsiliğine Uyan Karmaşık Sayıların Kümesini Bulma 0 r koşuluna uyan karmaşık sayılarının kümesi, 0 sayısına uaklığı r olan çemberin içidir. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 4

43 x iy, 0 a ib ve r olsun. 0 x iy (a ib) x a i(y b) (x a) (y b) r (x a) (yb) r (x a) (yb) r Bu denklem, Merkei M(a,b) ve yarıçapı r olan çember denkleminin iç bölgesidir. Örnek : (i) 5 eşitsiliğine uyan karmaşık sayılarının kümesini, merkeini ve yarıçapını bulunu. Yanıt : x yi olsun. (i) 5 ise (x ) (y) 5 ise (x ) (y ) 5 Merke M(,) ve yarıçap r 5 dir.. i 4 eşitsiliğine uyan karmaşık sayılarının kümesini, merkeini ve yarıçapını yılarının kümesini, merkeini ve yarıçapını. i eşitsiliğine uyan karmaşık sa- bulunu. bulunu r Eşitsiliğine Uyan Karmaşık Sayıların Kümesini Bulma 0 r koşuluna uyan karmaşık sayılarının kümesi, 0 sayısına uaklığı r olan çemberin dışıdır. x iy, 0 a ib ve r olsun. 0 x iy (a ib) x a i(y b) (x a) (y b) r (x a) (yb) r (x a) (yb) r Örnek : (i) 5 eşitsiliğine uyan karmaşık sayılarının kümesini, merkeini ve yarıçapını bulunu. Bu denklem, Merkei M(a,b) ve yarıçapı r olan çember denkleminin dış bölgesidir. Yanıt : x yi olsun. 4 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

44 (i) 5 ise (x ) (y) 5 ise (x ) (y ) 5 Karmaşık Sayılar Merke M(,) ve yarıçap r 5 dir.. i 4 eşitsiliğine uyan karmaşık sayılarının kümesini, merkeini ve yarıçapını yılarının kümesini, merkeini ve yarıçapını. i eşitsiliğine uyan karmaşık sa- bulunu. bulunu..4.4 Eşitliğine Uyan Karmaşık Sayıların Kümesini Bulma koşuluna uyan karmaşık sayılarının kümesi ve sayılarına eşit uaklıkta bulunan noktaların kümesidir. Bu durum ile karmaşık sayılarını birleştiren doğru parçasının orta nokta dikmesini oluşturan bir doğru denklemidir. x iy, a ib, ve a ib olsun. x iy (a ib ) x a i(y b ) (x a ) (y b ) x iy (a ib ) x ai(y b ) (x a ) (y b ) (x a ) (y b ) (x a ) (y b ) (x a ) (y b ) (x a ) (y b ) x a x a y b y b (a a )x (b b )y a a b b 0 x a x a y by b ax a by b a x a by b ax a x b y by a a b b Bu denklem ve yi birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir. Örnek : i eşitliğine uyan karmaşık sayılarının kümesini bulunu. Yanıt : x iy olsun. i (0 i) ( 0i) x yi (0 i) x yi ( 0i) Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 44

45 (x 0) (y )i (x ) (y 0)i (x 0) (y )i (x ) (y 0)i (x 0) (y) (x ) (y0) x (y) (x ) y x (y ) (x ) y x y y x 6x 9 y y 6x 9 6x y 8 0 x y4 0 Bu denklem i ve karmaşık sayılarını birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir.. i i eşitliğine uyan karmaşık. i i eşitliğine uyan karmaşık sayılarının kümesini bulunu. sayılarının kümesini bulunu..4.5 k Eşitliğine Uyan Karmaşık Sayıların Kümesini Bulma ( k ) k koşuluna uyan karmaşık sayılarının kümesi, ve karmaşık sayılarına uaklıkları toplamı k olan noktaların kümesidir. Bu küme ise odak noktaları ile karmaşık sayıları olan bir elips denklemidir. Örnek : i eşitliğine uyan karmaşık sayılarının kümesini bulunu. Yanıt : x iy olsun.. i koşuluna uyan karmaşık. i i koşuluna uyan sayılarının kümesini bulunu.. i denklemi bir elips olduğuna göre, elipsin odaklarını bulunu. karmaşık sayılarının kümesini bulunu. 4. i i denklemi bir elips olduğuna göre, elipsin odaklarını bulunu..4.6 k Eşitliğine Uyan Karmaşık Sayıların Kümesini Bulma ( k ) 45 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

46 k koşuluna uyan karmaşık sayılarının kümesi, ve karmaşık sayılarına uaklıkları farkı k olan noktaların kümesidir. Bu küme ise odak noktaları ile karmaşık sayıları olan bir hiperbol denklemidir.. i koşuluna uyan karmaşık. i i koşuluna uyan sayılarının kümesini bulunu.. i denklemi bir hiperbol olduğuna göre, hiperbolün odaklarını bulunu. karmaşık sayılarının kümesini bulunu. 4. i i denklemi bir hiperbol olduğuna göre, hiperbolün odaklarını bulunu..4.7 k Eşitliğine Uyan Karmaşık Sayıların Kümesini Bulma (k ) k koşuluna uyan karmaşık sayılarının kümesi ve karmaşık sayılarına uaklıkları oranı k olan noktaların kümesidir. Bu küme ise bir çemberin üerindedir. Bu çembere Apolonyus çemberi denmektedir. x iy, k, a ib, ve a ib olsun. x iy (a ib ) x a i(y b ) (x a ) (y b ) x iy (a ib ) x ai(y b ) (x a ) (y b ) k (x a ) (yb ) k (x a ) (y b ) k (x a ) (y b ) (x a ) (y b ) k (x a ) (y b ) (x a ) (y b ) (x a ) (y b ) k (x a ) (y b ) (x a ) (yb ) k (x a ) (yb ) x ax a y b y b k x a x a y by b x a x a y b y b kx ka x ka ky kb y kb Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 46

47 x kx a x ka x a ka y ky b y kb yb kb 0 ( k)x a ( k)x ( k)a ( k)y b ( k)y ( k)b 0 x a x a y b yb 0 x y a x b ya b 0 Bu noktalar, çember üerindedir. Bu çembere Apolonyus çemberi denir. Örnek : i eşitliğine uyan karmaşık sayıların kümesini bulunu. Yanıt : x yi olsun. i x yi i x yi x (y) (x ) y x (y) 4 (x ) y x y y 4 (x x y ) x y y 4x 8x 4 4y x y 8x y 0 8 x y x y x y 9 Örnek : i i eşitliğine uyan karmaşık sayıların kümesini bulunu. Yanıt : x yi olsun. i i x yi i x yi i (x ) (y) (x) (y ) (x ) (y) x (y ) x x x x 0 47 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri x. i eşitliğine uyan karmaşık sayıların kümesini bulunu. maşık sayıların kümesini. i i eşitliğine uyan kar- bulunu.

48 .5 Cauchy Schar Eşitsiliği Teorem i,,,,n için x i,yi olsun. dir. n n n xiyi xi yi i i i.6 Üçgen Eşitsilikleri Teorem, olmak üere.. İspat: x iy ve u iv olsun.. (x u) i(y v). (x u) (y v) (x xu u ) (y yv v ) (x y ) (u v ) (xu yv) (x y ) (u v ) (xu yv) xu yv x y u v (x y ) (u v ) x y u v x y u v dir. Buradan elde edilir. Bener şekilde elde edilerek bulunur. Buna göre, elde edilir. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 48

49 .7 Karmaşık Sayıların Kutupsal Koordinatları Analitik dülemde, herhangi bir A noktasının yeri (x, y) sıralı ikilisi ile belirtilir. Bunun gibi dülemin noktaları kutupsal koordinatlar ile de belirtilebilir. A Dülemde bir O noktası başlangıç noktası, Ox ekseni de başlangıç ışını olarak seçilirse O başlangıç noktasına, kutup noktası; Ox başlangıç ışınına da kutup ekseni veya x-ekseni denir. Ve böylece kutupsal koordinat sistemi oluşturulmuş olur. O r x.7. Kutupsal Koordinat Sistemi Tanım (KUTUPSAL KOORDİNAT SİSTEMİ) Dülemde bir kutup noktası ve bir kutup ekseninden oluşan koordinat sistemine kutupsal koordinat sistemi denir..7. Kutupsal Koordinatlar Tanım (KUTUPSAL KOORDİNATLAR) Dülemde bir A noktasının kutup noktasına olan uaklığı OA r birim, xoa yönlü açısının ölçüsü m(xoa) ise (r, ) ikilisine, A noktasının kutupsal koordinatları denir. denir. A noktasının kutupsal koordinatları (r, ) ise r ye yarıçap bileşeni; ya açısal bileşen Bir A noktasının kutupsal koordinatları (r, ) ise bu nokta (r, 4 ), (r, ), (r, ), (r, 4 ), ikililerin herhangi biri ile gösterilebilir. r k için (r, k ) O x Şekil 9 Kutup Ekseni ikilisi de, A(r, ) noktasının kutupsal koordinatlarıdır. Kutupsal koordinat sisteminde, koordinat dülemindeki herhangi bir noktasına birden çok kutupsal koordinat ikilisi eşlenebilir..7. Karmaşık Sayının Argümenti (Genliği) Tanım (KARMAŞIK SAYININ ARGUMENTİ (GENLİK)) Kutup ekseni ile karmaşık sayısını başlangıç noktasına birleştiren ışın arasındaki poitif yönlü açıya karmaşık sayının argumenti veya genliği denir. arg() biçiminde gösterilir. 49 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

50 Karmaşık sayıların, karmaşık dülemde bir noktaya karşılık geldiğini biliyoru. Bu noktayı, orijine birleştiren doğru parçasının gerçel eksenle poitif yönde yaptığı açının, Trigonometri konusundaki esas ölçü kavramı ile karşılaştırını. Tanım (KARMAŞIK SAYININ ESAS ARGUMENTİ (GENLİĞİ)) k için (r, k ) ikilisi, bir karmaşık sayısının kutupsal koordinatları olmak üere, kutupsal koordinatlardaki değerine karmaşık sayının esas argumenti denir. Esas argument Arg() biçiminde gösterilir. bağıntısı vardır. Argument ile esas argument arasında tanım gereği, herhangi bir karmaşık sayısı için arg() Arg() k Şekil 0 deki kümeler ve x yi karmaşık sayısı için OA ise Arg() 0 y B ise Arg() arctan x OB ise Arg() y B ise Arg() arctan x OC ise Arg() y B ise Arg() arctan x OD ise Arg() y B 4 ise Arg() arctan x. Bölge (B ) B y. Bölge (B ) A x C O D. Bölge (B ) 4. Bölge (B 4) Şekil 0 Bölgeler Örnek :,, i, i ve bulunu. (Şekil 0 Bölgeler) Yanıt : için OC olduğundan, Arg( ) i karmaşık sayılarının esas argumentlerini ve argumentlerini ve arg( ) k için OA olduğundan, Arg() 0 ve arg() 0k i için i OB olduğundan, Arg(i) ve arg(i) k i için OD olduğundan, Arg( i) ve arg( i) k i için B olduğundan, Arg( i) ve arg( i) k 4 4 Not : Argument (genlik), periyodik eğrilerde ordinatların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farkın yarısıdır. Örneğin, y sin(x) eğrisinin genliği dir. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 50

51 . i karmaşık sayısının esas argumentini ve argumentini bulunu.. i karmaşık sayısının esas argumentini ve argumentini bulunu.. i karmaşık sayısının esas argumentini ve argumentini bulunu. 4. i karmaşık sayısının esas argumentini ve argumentini bulunu. 5. i karmaşık sayısının esas argumentini ve argumentini bulunu. 6. i karmaşık sayısının esas argumentini ve argumentini bulunu..7.4 Bir Noktanın Karteyen Koordinatları İle Kutupsal Koordinatları Arasındaki Bağıntılar x yi olsun. (x,y) biçiminde Karteyen koordinatları olarak ifade edilir. karmaşık sayısının kutupsal koordinatları da (r, ) olsun. Bu durumda, bu iki ifade aynı karmaşık sayıyı göstereceğinden aşağıdaki bağıntılar oluşur. Yandaki şekli de inceleyini. elde edilir. AOB üçgenin de, OB cos OB OA cos x cos () OA AB sin AB OA sin y sin () OA AB tan OB y tan () x () ve () deki bağıntılar, x yi karmaşık sayısında değerleri yerine konulursa; x cos ve y sin cos sin i Esas ölçü durumuna göre (cos isin ) k alınırsa, k cos( k ) isin( k ) (cos isin ) yerine kısaca cis kullanılabilir. C O y B A Şekil Karmaşık Sayı x 5 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

52 .8 Kutupsal Biçimdeki Karmaşık Sayılarla İşlemler Karmaşık Sayılar Kutupsal biçimdeki karmaşık sayılar ile yapılacak işlemler:. Toplama. Çıkarma. Çarpma 4. Bölme.8. Toplama Kutupsal biçimdeki karmaşık sayıların toplama işlemi sayılar standart biçime yani a bi biçimine dönüştürülerek gerçekleştirilir. Örnek : cos0 isin0 ve cos60 isin60 ise toplamını bulunu. Yanıt : cos0 isin0 ve cos60 isin60 olduğuna göre, (cos0 isin0 ) (cos60 isin60 ) i i i i. (cos0 isin0 ) ve (cos60 isin60 ) ise toplamını bulunu.. cos80 isin80 ve cos90 isin90 ise toplamını bulunu..8. Çıkarma Kutupsal biçimdeki karmaşık sayıların çıkarma işlemi sayılar standart biçime yani a bi biçimine dönüştürülerek gerçekleştirilir. Örnek : cos0 isin0 ve cos60 isin60 ise farkını bulunu. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 5

53 Yanıt : cos0 isin0 ve cos60 isin60 olduğuna göre, (cos0 isin0 ) (cos60 isin60 ) i i i i. (cos0 isin0 ) ve (cos60 isin60 ) ise toplamını bulunu.. cos80 isin80 ve cos90 isin90 ise toplamını bulunu..8. Çarpma dir. İki karmaşık sayının çarpımını aşağıdaki teorem vermektedir. Teorem Herhangi iki karmaşık sayı (cos isin ) ve (cos isin ) olsun. (cos( ) isin( ) İspat: (cos isin ) ve (cos isin ) karmaşık sayılarının çarpımı; (cos isin ) (cos isin ) (cos isin ) (cos isin ) (cos cos sin sin ) i (cos sin sin cos ) (cos( ) isin( ) Örnek : cos0 isin0 ve cos60 isin60 ise çarpımını bulunu. Yanıt : (cos0 isin0 ) (cos60 isin60 ) cos(0 60 ) isin(0 60 ) cos(90 ) isin(90 ) 5 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

54 Örnek : cos55 isin55 ve cos65 isin65 ise çarpımını bulunu. Yanıt : (cos55 isin55 ) (cos65 isin65 ) yıllarında yaşamış Fransı asıllı İngili matematikçisi olan Abraham de Moivre, Karmaşık Anali üerine çalışmıştır. Abraham de Moivre nin Karmaşık Anali ile ilgili trigonometrik çalışmalarında en önemli teoremi aşağıda verilmiştir. dir. Teorem (De Moivre Formülü) n ve r(cos isin ) ise İspat: Tümevarım yöntemi ile ispat yapılırsa, n n k n k Böylece ispat gerçekleştirilmiştir. Örnek : cos0 isin0 ise değerini bulunu. Yanıt : cos(55 65 ) isin(55 65 ) cos(0 ) isin(0 ) 6 Örnek 4: cos0 isin0 ise değerini bulunu. n n r (cosn isinn ) k k r (cos(k ) isin(k )) k k r cos (k ) isin (k ) k k k k r (cos(k ) isin(k )) r(cos isin ) k k r (cos(k ) isin(k )) (cos isin ) k k r cos (k ) isin (k ) k k cos0 isin0 cos0 isin0 7cos( 0 ) isin( 0 ) 7cos(0 ) isin(0 ) Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 54

55 Yanıt 4: 6 6 cos0 isin0 cos0 isin0 6 cos( 0 ) isin( 0 ) 6 cos(90 ) isin(90 ) cos(0 70 ) isin(0 70 ) cos(0 ) isin(0 ) Teorem, olduğuna göre, dir. ve, Arg() Arg(), n 0, Arg() Arg(),, Arg() Arg(), Arg( ) Arg() Arg() n İspat: Arg() s ve Arg() t olmak üere, yukarıdaki ilk teoreme göre, gerçel sayılarından her biri s t, st, st çarpım karmaşık sayısının bir argumentidir. s ve t olduğundan st dir. s t;,,, veya, aralıklarının birinde ve yalnı birinde yer alır. olduğundan st, s t veya st gerçel sayılarından biri ve yalnı biri çarpımının asıl argumentidir. n nin tanımı gö önüne alındığında, elde edilir. st 0st s t st 0 st st 0 Arg( ) Arg() Arg() n 55 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

56 Örnek 5: (cos0 isin0 ) ve (cos60 isin60 ) ise Arg( ) yi bulunu. Yanıt 5: Si yapını. Örnek 6: (cos0 isin0 ) ve (cos60 isin60 ) ise Arg( ) yi bulunu. Yanıt 6: Si yapını.. (cos0 isin0 ) ve (cos60 isin60 ) ise çarpımını bulunu.. cos80 isin80 ve cos90 isin90 ise çarpımını bulunu.. cos80 isin80 5 ise değerini bulunu cos0 isin0 6 ise değerini bu- lunu cos8 isin8 ise değerini bulunu. 6. (cos70 isin70 ) ve 4(cos80 isin80 ) ise Arg( ) yi bulunu. 7. 4(cos isin ) ve 7(cos80 isin 80 ) ise Arg( ) yi bulunu. 8. cis ve ise 4cis 5 Arg( ) yi bulunu cis ve ise 4cis 8 Arg( ) yi bulunu..8.4 Bölme İki karmaşık sayının bölümünü aşağıdaki teorem vermektedir. Teorem Herhangi iki karmaşık sayı (cos isin ) ve (cos isin ) olsun. cos( ) isin( ) dir. İspat: (cos isin ) ve (cos isin ) 0 karmaşık sayılarının bölümü; Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 56

57 (cos isin ) (cos isin ) (cos isin ) (cos isin ) (cos isin ) (cos isin ) (cos isin ) (cos isin ) (cos isin ) (cos isin ) (cos isin ) (cos cos sin sin ) i (cos sin sincos ) cos sin (cos( ) isin( ) cos( ) isin( ) Örnek : cos60 isin60 ve cos0 isin0 ise : bölümünü bulunu. Yanıt : (cos60 isin60 ) (cos0 isin0 ) cos(60 0 ) isin(60 0 ) cos(0 ) isin(0 ) Örnek : cos95 isin95 ve cos65 isin65 ise : bölümünü bulunu. Yanıt : (cos95 isin95 ) (cos65 isin65 ) cos(95 65 ) isin(95 65 ) cos(0 ) isin(0 ) 57 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri

58 Teorem Arg() olduğuna göre, Arg(),, Arg( ) Arg(),, Karmaşık Sayılar dir. Teorem, karmaşık sayılarının her ikisi sıfırdan farklı ve n yukarıdaki teoremde tanımlanan tam sayı olduğuna göre, Arg Arg() Arg() n dir. Teorem (cos isin ) ve n olduğuna göre, n n cos( n ) isin( n ) dir.. cos95 isin95 ve cos65 isin65 ise : bulunu. bölümünü. cos 95 isin 95 ve cos70 isin 70 ise : bulunu. bölümünü.9 Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökü Tanım (KARMAŞIK SAYILARIN n. DERECEDEN KÖKÜ) n ve n olduğuna göre, denklemini gerçekleyen karmaşık sayılarından n her birine nin n inci dereceden kökü denir. nin n inci kuvvetten köklerinin kümesi ile gösterilir. Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri 58

59 Teorem Sıfırdan farklı bir karmaşık sayının n inci dereceden, birbirinden farklı n tane kökü vardır. r(cos isin ) n k 0,,,, olmak üere ve olduğuna göre n k k k cos isin n n eşitliği ile belli k karmaşık sayılarından her biri nin n inci dereceden bir köküdür. İspat: k0,,,, olman üere k karmaşık sayılarının argumentleri birbirinden farklı olduğundan bu karmaşık sayılar birbirinden farklıdır. Diğer taraftan, ( ) k n n n k k cos isin n n (cos isin ) n olduğundan, her bir k karmaşık sayısı nin n inci dereceden bir köküdür. İspatı tamamlamak için nin n inci dereceden başka bir kökünün var olduğunu varsayarsak, bu sayıyı, ile gösterilsin. Buna göre, yaılabilir. Bu durumda, dır. Bu durum bir çelişkidir. Öyleyse, varsayım yanlıştır. Yani, nin n inci dereceden farklı kökleri n tanedir. Not : karmaşık sayısının n. dereceden kökleri, merkei analitik dülemin başlangıç noktasında ve yarıçap uunluğu n s (cos isin ) n s cos(n ) isin(n ) (cos isin ) s (cos isin ) k olan çember içinde dügün bir çokgen oluşturur. Örnek : 44i karmaşık sayısının üçüncü dereceden köklerini bulunu. Yanıt : 44i Arg() 4 arctan 4 arctan( ) 4 59 Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Himetleri