Biçimselleştirme. - 4 sayısını gösterir. Mantıktaki örnekte ise parantezleri kullanarak P S) ifadesini elde ederiz

Transkript

1 Biçimselleştirme Burada sunulan haliyle bu sembolik gösterim diline önermeler mantığı dili denir. Şimdi günlük dilden çeşitli cümlelerin sembolik biçimler şeklinde nasıl ifadelendirilebileceğini (yani bu cümlelerin nasıl biçimselleştirilebileceğini) göstererek ve sonra bu dil için olan dilbilgisi kurallarını (oluşturma kuralları) açıkça tayin etmek suretiyle bu dilin sözdizimini (sentaksını) inceleyeceğiz. Sembolleştirme işlemi bir Türkçe cümleyi veya kanıtlamayı, cümle harfleri ve mantıksal operatörlerden oluşmuş bir yapı olan bir cümle biçimine veya bir kanıtlama biçimine dönüştürür. Cümle harfleri kendi başına alındıklarında bir anlamları yoktur, fakat özel bir meseleye/konuya dair bağlamda belirli önermeleri veya yargıları ifade ediyor olarak yorumlanırlar. Bununla beraber bu yorumlama, biçimin kendisine kıyasla özsel değildir. Farklı bir mesele/konu söz konusu olduğunda aynı cümle harfleri farklı yargıların yerini tutabilir. Bir cümle harfinin anlamı, mevcut mesele/konu tarafından belirlenen özel yoruma göre tayin edilmiş olan anlamdır. Basit Türkçe cümlelerin sembolleştirimi oldukça kolaydır. Eğer bir cümle harfi olan P yi mesela Bugün Pazartesidir olarak yorumlarsak bu durumda Bugün Pazartesi değildir cümlesi basitçe P olarak sembolleştirilir. Ama Türkçe cümlelerin birden fazla mantıksal operatörler içerdiği durumlarda dikkatli olmak gerekir. Örneğin diyelim ki Bugün hem Pazartesi hem Salı değildir cümlesini sembolleştirmek istiyoruz. Bunun için basitçe P S yazamayız. Buradaki eklemi aynen cebirdeki eksi işareti gibi ifadenin en küçük parçasına uygulanır. Mesela ifadesinde - işareti sadece 1 e uygulanır, dolayısıyla ifadenin tümü 2 sayısını gösterir. Benzer şekilde P S ifadesinde sembolü sadece P harfine uygulanır, dolayısıyla P S ifadesi Bugün Pazartesi değildir ve bugün Salıdır anlamına gelir ki bu bizim söylemek istediğimiz şey değildir. Bununla birlikte, parantezler kullanmak suretiyle eklemin uygulandığı kısmı her durumda genişletmek mümkündür. Mesela cebirdeki örnekte bunu uyguladığımızda - (1 + 3) ifadesini elde ederiz ki bu da - 4 sayısını gösterir. Mantıktaki örnekte ise parantezleri kullanarak P S) ifadesini elde ederiz ki bunun anlamı Bugünün hem Pazartesi hem Salı olduğu doğru değildir olur ve tam olarak bizim söylemek istediğimizi dile getirir. Farklı bir örnek olarak, diyelim ki Ya bugün Pazartesi veya bugün Salı ve seçim günüdür cümlesini sembolleştirmek istiyoruz. Bu bir seçenekli evetlemedir ve burada ikinci seçenek Bugün Salı ve seçim günüdür şeklindeki birlikte evetlemedir. Bu cümle P (S Ç) şeklinde sembolleştirilebilir. Eğer parantezleri kullanmaz ve basitçe P S Ç diye yazarsak bunun anlamı açık olmayacaktır. Çünkü bu ifade bir birlikte evetleme olarak okunabilir ve Bugün Pazartesi veya Salı şeklindeki seçenekli evetleme de bunun birinci müştereği gibi anlaşılabilir, dolayısıyla bu ifade Bugün Pazartesi veya Salı, ve bugün seçim günüdür cümlesini dile getiriyor olur ki bu bizim başlangıçtaki cümlemizden oldukça farklıdır. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.5 Yağmur yağıyor için cümle harfi Y ve Kar yağıyor için cümle harfi K yı kullanarak aşağıdaki her bir Türkçe cümlenin önermeler mantığı dilindeki biçimini yazınız.

2 (a) Yağmur yağıyor. (b) Yağmur yağmıyor. (c) Ya yağmur yağıyor veya kar yağıyor. (d) Hem yağmur yağıyor hem de kar yağıyor. (e) Yağmur yağıyor fakat kar yağmıyor. (f) Hem yağmur yağıyor hem de kar yağıyor olduğu doğru değildir. (g) Eğer yağmur yağmıyor ise kar yağıyor. (h) Eğer yağmur yağıyor ise kar yağıyor olduğu doğru değildir. (i) Eğer kar yağıyor ise yağmur yağıyor olduğu doğru değildir. (j) Eğer ve ancak eğer yağmur yağıyor ise kar yağmıyor. (k) Ne yağmur yağıyor ne de kar yağıyor. (l) Eğer hem kar yağıyor hem de yağmur yağıyor ise kar yağıyor. (m) Eğer yağmur yağmıyor ise hem kar yağıyor hem de yağmur yağıyor olduğu doğru değildir. (n) Ya yağmur yağıyor veya hem kar yağıyor hem de yağmur yağıyor. (o) Ya hem yağmur yağıyor hem de kar yağıyor veya kar yağıyor ama yağmur yağmıyor. ÇÖZÜM (a) Y. (b) Y. (c) Y K. (d) Y K. (e) Y K. (f) (Y K). (g) Y K. (h) (Y K). (i) (K Y). (j) Y K. (k) (Y K) veya Y K; bu iki biçim de eşdeğerdir ve her ikisi de doğrudur. (l) (K Y) K. (m) Y (K Y). (n) Y (K Y). (o) (Y K) K Y). Dikkat ediniz ki bu biçimler şu üç sembol kümesi kullanılarak oluşturulmuştur: Cümle harfleri: Herhangi bir büyük harf bir cümle harfi olarak kullanılabilir. Bazı hallerde bunların altına rakamlar eklemek suretiyle ilave cümle harfleri elde edebiliriz. Buna göre S 1, S 2, S 3, vb. gibi harflerin hepsi S ten ayrı birer cümle harfidir. Mantıksal operatörler (eklemler):,,,, Parantezler: (, )

3 Bu üç sembol kümesi önermeler mantığı dilinin sözcük dağarcığını oluştururlar. Bir biçimsel dilin sözcük dağarcığı genellikle mantıksal semboller ve mantıksal-olmayan semboller diye ikiye ayrılır. Bizim biçimsel dilimizin mantıksal sembolleri mantıksal operatörler ve parantezlerdir; mantıksalolmayan sembolleri ise cümle harfleridir. Anlamları bağlamdan bağlama değişen cümle harflerinden farklı olarak, mantıksal sembollerin yerine getirdikleri işlev veya yorumlanmaları daima sabittir, değişmez. Önermeler mantığı diline ait bir biçim, bir öğeler dizisidir öyle ki bu öğeler bu söz dağarcığı içinden seçilmiştir. Bu yüzden örnek 3.5 teki cevapların hepsi de birer biçimdir, fakat şunun gibi, (( (P anlamsız diziler de birer biçimdir. İşte böyle anlamsız dizileri anlamlı biçimlerden ayırmak için dilbilgisine uygun veya dilbilgisel dediğimiz iyi-kurulmuş biçim kavramını ileri süreceğiz ve bunu kısaca ikb ile göstereceğiz. Bu kavram, oluşturma kuralları denen ve bu biçimsel dilin dilbilgisini meydana getiren aşağıdaki kurallara göre tanımlanmıştır. Bu kurallardaki her bir Yunanca harf, bu biçimsel dilin söz dağarcığına ait değildir ve bir biçimin yerini tutmaktadır. (1) Herhangi bir cümle harfi bir ikb dir. (2) Eğer Φ bir ikb ise Φ de bir ikb dir. (3) Eğer Φ ve Ψ birer ikb ise (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) de birer ikb dir. Bu kurallara uymayan bir biçim bir ikb değildir. Karmaşık ikb ler basit olanlara bu kuralların tekrar tekrar uygulanması ile oluşturulurlar. Mesela kural (1) gereği P ve Q birer ikb dir. Bu durumda kural (3) gereği (P Q) bir ikb olur. Buradan da kural (2) gereği (P Q) bir ikb olur. Veya mesela kural (1) gereği P bir ikb dir ve dolayısıyla kural (2) gereği P bir ikb olur ve yine kural (2) gereği P bir ikb olur. Aslında istediğimiz kadar değilleme sembolünü arka arkaya ekleyerek bir ikb oluşturabiliriz: P bir ikb dir. Dikkat ediniz ki kural (3) gereği, ne zaman bir ikili operatör eklersek buna karşılık gelen bir çift parantezi de eklememiz icap etmektedir. Bu yüzden (P Q) bir ikb iken mesela P Q bir ikb değildir. Bununla birlikte her şeyi içine alan parantezler biçimin anlamını daha açık hale getirmezler, dolayısıyla en dıştaki parantezleri kullanmak gerekmeyebilir, ama resmi olarak (kurallar gereği) kullanmak gerekir. Bu yüzden kurallar gereği 3.5 (c) deki Y K biçimi resmi olarak (Y K) şeklinde yazılmalıdır. En dıştaki parantezlerin dikkate alınmaması oluşturma kurallarını izin verdiği tek istisnadır. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.6 Oluşturma kurallarını kullanarak aşağıdaki biçimlerden hangilerinin birer ikb olduğunu ve hangilerinin olmadığını saptayınız ve nedenini açıklayınız. (a) R. (b) ( R). (c) PQ. (d) P Q. (e) (P Q). (f) (P Q).

4 (g) ((P Q) R). (h) (P Q) R. (i) P Q). (j) ((P Q) R S)). (k) ((P) Q)). (l) (P Q R). (m) P Q R)). (n) P Q R)). (o) (P P). ÇÖZÜM (a) İkb. Çünkü R bir ikb ise kural (2) üç defa uygulanarak R elde edilir. (b) İkb değil. Parantezler sadece ikili operatörler ile birlikte eklenir. (c) İkb değil. İki veya daha fazla cümle harfi ancak bir ikili operatör ile birlikte bir ikb oluşturur (kural (3)). (d) Resmi olarak bir ikb değil. Dış parantezler kullanılmamış. Ama böyle biçimleri gayrı resmi olarak kullanabiliriz. (e) İkb. P ve Q birer ikb, o halde kural (3) gereği (P Q) bir ikb dir. (f) İkb. (e) ye kural (2) nin uyguanması. (g) İkb. P, Q ve R kural (1) gereği birer ikb dir. Kural (3) gereği (P Q) bir ikb olur ve ikinci defa kural (3) uygulandığında ((P Q) R) elde edilir. (h) Resmi olarak bir ikb değil. (i) İkb. P ve Q kural (1) gereği birer ikb dir. Kural (2) gereği P ve Q birer ikb olur ve bu sefer kural (3) gereği ( P Q) bir ikb olur ve son olarak kural (2) gereği ( P Q) bir ikb olur. (j) İkb. P, Q, R ve S kural (1) gereği birer ikb dir. O halde kural (3) gereği (P Q) ve (R S) birer ikb dir ve yine kural (3) gereği ((P Q) (R S)) bir ikb olur. (k) İkb değil. Kurallar cümle harflerini parantez içine almaya izin vermiyor. (l) İkb değil. Kural (3) her seferinde yalnızca iki cümle harfini birleştirmeye izin veriyor. (m) İkb. P, Q ve R kural (1) gereği birer ikb dir. O halde kural (2) gereği P bir ikb ve kural (3) gereği (Q R) bir ikb olur. Yine kural (3) gereği ( P (Q R)) bir ikb olur. (n) İkb. (m) den P ve (Q R) nin birer ikb olduklarını biliyoruz. O halde kural (3) gereği (P (Q R)) bir ikb ve kural (2) gereği (P (Q R)) bir ikb olur. (o) İkb. P kural (1) gereği bir ikb dir. O halde kural (3) gereği (P P) bir ikb ve buna kural (2) nin iki defa uygulanması ile (P P) bir ikb olur. Cümle harfleri birer atomik ikb dir, diğer bütün ikb ler birer molekül veya bileşik ikb dir. Bir altikb bir ikb nin kendi de bir ikb olan bir kısmıdır. Demek ki (P Q) daki P bir altikb dir ve R ifadesinde R bir altikb dir. Her ikb kendisinin bir altikb si olarak kabul edilir.

5 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.7 Aşağıdaki kanıtlamaları yatay gösterim kullanarak ve belirtilen cümle harflerini kullanarak sembolleştiriniz. Öncülleri ve sonuçları saptamak için çıkarım belirticilerinden faydalanınız. En dış parantezleri dikkate almayınız. (a) Eğer Tanrı varsa hayatın bir anlamı var. Tanrı var. O halde hayatın bir anlamı var. (H, T) (b) Tanrı yok. Çünkü eğer Tanrı varsa hayatın bir anlamı vardır. Oysa hayatın bir anlamı yok. (T, H) (c) Eğer uçak düşmemiş olsaydı onunla daha önce telsiz teması kurabilirdik. Onunla daha önce telsiz teması kuramadık. O halde uçak düşmüştür. (D: düşmüş, T) (d) Bugün Perşembe olmadığı için Cuma olmalı. Çünkü bugün ya Perşembedir veya Cuma. (P, C) (e) Eğer bugün Perşembe ise yarın Cumadır. Eğer yarın Cuma ise yarından sonraki gün Cumartesidir. Sonuç olarak, eğer bugün Perşembe ise yarından sonraki gün Cumartesidir. (P, C 1, C 2 ) (f) Maç, bir hafta sonunda olacak, eğer ve ancak eğer maç ya bir Cumartesi veya bir Pazar günü olacaksa. O halde, maç bir hafta sonunda olacak, zira maç bir Pazar gününde olacak. (H, C, P) (g) Maç bir hafta sonunda olacak eğer maç ya bir Cumartesi veya bir Pazar gününde olacaksa. Fakat maç bir hafta sonunda olmayacak. Dolayısıyla maç bir Cumartesi gününde olmayacak ve maç bir Pazar gününde olmayacak. (H, C, P) (h) Maç bir hafta sonunda olacak ancak eğer maç ya bir Cumartesi veya bir Pazar gününde olacaksa. Maç bir Cumartesi gününde olmayacak. Maç bir Pazar gününde olmayacak. O halde, maç bir hafta sonunda olmayacak. (H, C, P) (i) Bağış teklifinin olduğu zarf postada. Eğer zarf Cumaya kadar bilirkişilerin eline geçerse teklife onay verecekler. O halde, teklife onay verecekler, zira eğer teklif zarfı postada ise, zarf Cumaya kadar ellerine geçecektir. (P, C, O) (j) O ya evde değil veya telefona cevap vermiyor. Fakat eğer evde değilse birileri tarafından kaçırılmıştır. Ve eğer telefona cevap vermiyorsa başka bir tehdit var demektir. O halde, o ya birileri tarafından kaçırılmıştır veya başka bir tehdit altındadır. (E, C, K, T) ÇÖZÜM (a) T H, T H (b) T H, H T (c) D T, T D (d) P C, P C (e) P C 1, C 1 C 2 P C 2 (f) H (C P), P H (g) C P H, H C P (h) H (C P), C P H (i) P, C O, P C O

6 (j) E C, E K, C T K T Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi), bu deyimin içinde geçtiği cümlelerin doğruluk ve yanlışlığına yaptığı katkıdır. Bir yargının doğruluk veya yanlışlığına o yargının doğruluk değeri denir. Yani bir mantıksal operatörün semantiği, bu operatörü içeren bileşik yargının doğruluk değerini tayin eden kural ile verilir. Semantik kuralları betimlerken ikideğerlilik ilkesini kabul edeceğiz. Yani sadece iki doğruluk değeri vardır: Doğru ve Yanlış. Her durumda, her yargı bu değerlerden yalnız birine sahip olabilir: ya doğrudur veya yanlış. Klasik mantık (burada sunulan mantık) iki değerli bir mantıktır. Değillemenin semantiği basittir. ɸ yargısının değillemesi, yargının kendisi yanlış ise doğru, doğru ise yanlıştır. Bu yargı ister basit isterse bileşik olabilir. Bundan böyle doğru için D ve yanlış için Y kullanacağız. Değillemenin semantiği şu şekilde özetlenir: ɸ D Y ɸ Y D Bu gösterime doğruluk tablosu denir. Birlikte evetlemenin semantiği de benzer şekilde basit ve dolambaçsızdır: φ ψ ɸɅψ D D D D Y Y Y D Y Y Y Y Birlikte evetleme iki yargıyı işleme soktuğu için burada olası dört durum vardır.

7 Seçenekli evetlemede ise seçeneklerden birinin doğru olması durumunda biçimsel ifade doğru, diğer durumlarda yanlıştır: φ ψ ɸVψ D D D D Y D Y D D Y Y Y Koşul operatörü, diğerleri içinde günlük dildeki anlamına en az benzerlik gösterenidir. Önbileşen ile ardbileşen arasındaki ilişkinin farklı olduğu birden çok türde koşullunun bulunduğu kabul edilmektedir. Bizim burada kullandığımız ve işaretiyle gösterdiğimiz koşulluya maddi koşul denir. P Q ile tam olarak ifade edilen şudur: P-olduğu ve Q-olmadığı doğru değildir. Dolayısıyla bir kişi Eğer Özlem giderse, Olcay da gidecek cümlesini maddi koşul anlamında söylüyorsa, Özlem in gittiği halde Olcay ın gitmeyeceği bir durumun söz konusu olmadığını demek istemektedir. Bu yargı (PɅ Q) biçimine sahiptir ve P Q ile aynı anlama sahip olduğu için ikisi de tamamen aynı doğruluk koşullarına sahiptir.o halde, P Q için olan doğruluk tablosunu, (PɅ Q) için olan doğruluk tablosunu bularak oluşturabiliriz. Bunu, ~ ve Ʌ için olan doğruluk tablolarını kullanarak yapabiliriz. Bileşik/karmaşık bir ikb için bir doğruluk tablosu oluştururken, önce onun en küçük altikb lerinin doğruluk değerlerini hesaplarız ve sonra mantıksal operatörleri kullanarak daha uzun altikb lerin doğruluk değerlerini hesaplarız ve bu işlemi başlangıçtaki ikb nin tam halinin değerlerini elde edene kadar tekrarlarız. (PɅ Q) nin en küçük altikb leri P ve Q dur ve dolayısıyla bu cümle harfleri için olan sütunları, bu harflerin biçim içinde her tekrar edildikleri yerin altına kopyalarız: P Q (P Ʌ Q) D D D D D Y D Y Y D Y D Y Y Y Y

8 Bundan sonraki en küçük al kb Q dur. Q nun doğruluk değerleri Q nun tam tersidir; bunları Q daki, ~ in altına yazarız: P Q (P Ʌ Q) D D D Y D D Y D D Y Y Y Y Y D Y Y Y D Y Aslında Q sütununun değilini alıp doğrudan Q nun altına yazmak suretiyle zaman kazanabilirdik. Şimdi PɅ Q biçimi bir birlikte evetleme olduğu için her iki müşterek de doğru olduğunda doğrudur. Bunun sağlandığı tek durum tablonun ikinci satırıdır. Bu biçim tablonun ikinci satırında doğru diğer satırlarda yanlıştır: P Q (P Ʌ Q) D D D Y Y D D Y D D D Y Y Y Y Y Y D Y Y Y Y D Y Son olarak, (PɅ Q) biçimi, PɅ Q biçiminin değilidir; bunlardan ilkinin doğruluk değerleri Ʌ nin altındaki sütundur ve bunların tersini ~ in altına yazarız. Bu son yazdığımız değerlerin, biçimin bütününün doğruluk değerleri olduğunu belirtmek için onları çember içine alırız: P Q ( P Ʌ Q ) D D D D Y Y D D Y Y D D D Y Y Y D Y Y Y D Y Y D Y Y D Y

9 Demek ki maddi koşullunun doğruluk tablosu şudur: φ ψ ɸ ψ D D D D Y Y Y D D Y Y D Maddi koşullu önbileşen doğru ve ardbileşen yanlışken yanlıştır, diğer hallerde doğrudur. Demek ki önbileşenin yanlış olduğu her durumda doğrudur. Ardbileşenin doğru olduğu her durumda da doğrudur. Sonuç olarak maddi koşullu bizde biraz çelişik bir sezgi yaratır. Mesela Eğer sen ölü isen, sen hayattasın cümlesi, buradaki sen size ve Eğer ise deyimi de maddi koşulluya işaret ediyorsa doğru olmaktadır. Siz gerçekten hayatta olduğunuz için önbileşen yanlış ve ardbileşen de doğru olmaktadır ki bu da koşullunun bütününü doğru yapmaktadır. Böyle acayiplikler, maddi koşullu ile, günlük dilde olağan anlamda kullanılan koşullu cümleler arasındaki orantısızlığı açığa çıkarmaktadır. Yine de maddi koşullu şimdilik bilinen ve anlamı bir doğruluk tablosu ile gösterilebilen en basit koşulludur. Ayrıca, edinilen tecrübeler, maddi koşullunun pek çok mantıksal ve matematiksel maslahatlara uygun geldiğini göstermiştir, bu yüzden mantık ve matematikte standart koşullu olarak benimsenmiştir. Daha önce gördüğümüz üzere P Q biçimindeki yargı (P Q) (Q P) ile aynı anlama gelmektedir ve buradaki maddi koşullunun sembolüdür. Bununla uygun şekilde sembolüne maddi karşılıklı koşullu denilir. O halde P Q için doğruluk tablosu, maddi koşullu ve birlikte evetlemenin tablolarından hareketle (P Q) (Q P) için doğruluk tablosu oluşturarak elde edilebilir. P ve Q harflerinin altındaki sütunları bu harflerin her geçtiği yere aynen yazarız: P Q (P Q) (Q P) D D D D D D D Y D Y Y D Y D Y D D Y Y Y Y Y Y Y Şimdi P Q ve Q P için doğruluk değerleri, maddi koşullu için mevcut olan doğruluk tablosuna bakılarak hesaplanabilir. Bir maddi koşullu, önbileşeni doğru ve ardbileşeni yanlış iken yanlıştır; diğer hallerde doğrudur. Demek ki P Q ikinci satırda ve Q P üçüncü satırda yanlıştır ve her iki ifade de diğer satırlarda doğrudur. Bu doğruluk değerlerini sembolünün geçtiği yerlerin altına yazarız:

10 P Q (P Q) (Q P) D D D D D D D D D Y D Y Y Y Y D Y D Y D D D D Y Y Y Y D Y Y D Y Tabloyu tamamlamak için bütün bir birlikte evetlemenin doğruluk değerlerini P Q ve Q P nin değerlerini kullanarak hesaplarız. Bunları da sembolünün altına yazarız: P Q (P Q) (Q P) D D D D D D D D D D Y D Y Y Y Y Y D Y D Y D D Y D D Y Y Y Y D Y D Y D Y Çember içine alınmış değerler karşılıklı koşullunun doğruluk tablosunu gösterirler. Demek ki karşılıklı koşullu, eğer her iki bileşeni de aynı doğruluk değerine sahipse doğru, bunun dışında yanlıştır: φ ψ ɸ ψ D D D D Y Y Y D Y Y Y D Aslında, semantik kuralları bu şekilde tanımlanmış olan bütün bu operatörleri kullanmak zorunlu değildir; sadece, ile kullanarak diğer bütün mantıksal operatörleri ifade etmek mümkündür. Bu beş tane operatörü muhafaza etmemiz ve kullanmaya devam etmemiz açıklık ve notasyonda kolaylık sağlamak içindir. Hatta sembolünün yanında ile sembollerinden tek başına bir tanesi bile yeterlidir. Zira P Q ifadesi P-değil ve Q-değil olduğu doğru değildir anlamına gelmektedir ki bu da ( P Q) olarak gösterilebilir. Aynı şekilde P Q ifadesi de P-değil veya Q- değil olduğu doğru değildir demektir ve ( P Q) olarak gösterilebilir. Değillemenin yanında birlikte evetleme veya seçenekli evetlemeye sahip olduğumuzda bütün diğer mantıksal operatörleri (en azından, anlamı bir doğruluk tablosu ile dile getirilebilen her mantıksal operatörü) ifade etmenin mümkün olduğu gösterilebilir. Söz konusu operatörlerin bu durumuna, bu mantıksal operatörler kümesinin işlevsel tamlığı denilmektedir. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.8 Türkçe deki ne ne de deyimine ayrı bir mantıksal operatörün gerekli olmadığını, çünkü, ne P ne de Q ifadesinin elde mevcut operatörler kullanılarak biçimselleştirilebilir olduğunu gösteriniz.

11 ÇÖZÜM ne P ne de Q şeklindeki bir cümle hem P hem Q yanlış olduğunda doğru olmaktadır. Demek ki P ve Q doğru iseler, yani ( P Q) doğru ise bu cümle doğru olmaktadır. Dolayısıyla bu deyim için fazladan özel bir operatör gerekli değildir: değilleme ve birlikte evetleme yeterlidir. ne P ne de Q için bir diğer olası gösterim de (P Q) biçimindedir ki sadece değilleme ile seçenekli evetlemeyi kullanır.