6.8 Aşağıdaki biçimlerin neden birer ikb olmadıklarını açıklayınız.

Transkript

1 6.7 x ( Fx zgzx) biçiminin bir ikb olduğunu gösteriniz. Kural 1 gereği Fa ve Gba birer ikb dir. Bu durumda, kural 2 ve 4 gereği, sırasıyla Fa ve zgza birer ikb dir. Bu iki biçime kural 3 ün uygulanması ( Fa zgza) nın bir ikb olduğunu gösterir. Dolayısıyla, kural 4 gereği x ( Fx zgza) bir ikb dir, ki buradan da kural 2 gereği x ( Fx zgza) bir ikb dir. 6.8 Aşağıdaki biçimlerin neden birer ikb olmadıklarını açıklayınız. (a) xl xz (b) (Fa) (c) ( x Fx Gx) (d) x (Fx) (e) ( x Fx) (f) x y Fx (g) x x (Fx Gx) (h) xfx xgx (a) z değişkenine karşılık gelen bir niceleyici yok. (b) Atomik ikb ler paranteze alınmaz (bkz. kural 1). (c) x değişkeni, son kullanımı için nicelenmemiş. Bununla beraber x (Fx Gx) nin bir ikb olduğuna dikkat ediniz. (d) Gereksiz parantezler. (e) Gereksiz parantezler. (f) y niceleyicisi y nin ikinci kez kullanılmasını gerektiriyor (bkz. kural 4). (g) Niceleyiciler mantıksal biçimin çakışan kısımlarına uygulanmış. (h) Parantezler eksik. Önermeler mantığında olduğu gibi burada da en dış parantezlerin kaldırılması şeklindeki istisnayı uygulayacağız. Bu yüzden, örnek 6.8 (h) deki biçim resmi olarak bir ikb olmasa da bunu kısaltılmış bir yazım olarak göreceğiz. Bununla birlikte, parantezler en dış parantezler olmadıklarında onları kaldırmaya izin yoktur. Bu yüzden, örneğin x(fx Gx) biçimindeki parantezleri kaldıramayız.

2 Modeller Şimdi, daha önceki bölümlerde örtülü şekilde varsaymış olduğumuz, bu biçimsel dilin semantiğini daha kesin olarak tanımlayacağız. Burada iki türlü güçlükten söz edebiliriz. Yüklemler mantığının kimi atomik biçimleri bileşik bir yapıya sahip olarak ele alındıkları halde, önermeler mantığının tüm atomik biçimleri ise daha fazla çözümlemeye tabi tutulmamış atomik birimlerdir (yani cümle harfleridir). Bu yeni atomik biçimlere ise (örneğin Fa gibi) bir doğruluk değeri atanamaz: onların doğruluk değerleri yüklem harfi ve onun içinde kullanılan ad harflerinin (örneğin F ve a harfleri gibi) yorumlanmasına bağımlı olmak zorundadır. İkinci güçlük ise, yüklemler mantığının, önermeler mantığında bulunmayan mantıksal operatörler (niceleyiciler) içermesinden kaynaklanmaktadır. Böyle operatörlerin yorumlanması için klasik mantıkta Venn diyagramları yöntemi kullanılmaktadır. Ancak yüklemler mantığı, kategorik yargılar mantığının bir yeniden formülasyonu olarak görülemez, ya da bundan ibaret değildir. Yüklemler mantığının dili, bir niceleyicinin başka niceleyiciler ile veya doğruluk-işlevsel operatörler ile, hiçbir kategorik yargıya karşılık olamayacak şekilde birleştiği ikb ler içerir ve Venn diyagramları böylesi bir çeşitlilikteki dilsel yapıları ele almak için yetersiz kalır. Bu güçlüklerden birincisiyle baş edebilmek için gerekli olan ana kavram bir model kavramıdır, veya yorumlama yapısı kavramıdır. Bir model, bir ikb deki veya bir grup ikb deki mantıksal-olmayan semboller için bir yorum (veya anlam değeri) sunar. Yorumun doğası (nasıl olacağı) sembolün tipine bağlıdır. Sembol ad harfi Yorum bireysel nesne (örneğin, Ay) sıfır-değişkenli yüklem harfi doğruluk değeri (D veya Y) bir-değişkenli yüklem harfi n-değişkenli yüklem harfi (n>1) nesneler sınıfı veya kümesi (ör. insanlar sınıfı/kümesi) n adet nesne arasındaki ilişki (ör. birincinin ikinciden büyük olduğu durumda iki nesne arasında sağlanan ilişki) Aynı tipten olan farklı sembollerin farklı yorumlamaları olması gerekli değildir. Günlük dildeki adlar ve yüklemlerde olduğu gibi, ayrı ad harfleri aynı nesneye ve ayrı yüklem harfleri aynı sınıfa veya ilişkiye işaret edebilir (ör. insan ve ademoğlu gibi). Diğer taraftan eğer aynı yüklem harfi farklı değişken sayısına sahip yüklemleri göstermek için kullanıldıysa, örneğin Fa Fbc gibi, o zaman bu modelin bu harfi, her bir ayrı kullanımda farklı tarzda yorumladığını farzedeceğiz. Demek ki, nasıl ki sözlükler çok anlamlı bir sözcüğü ayrı sözcükler halinde ele alıyorsa (ör. yer adı ile yer fiili gibi), bir model bir yüklem harfinin farklı/ayrı kullanımlarını ayrı yüklemler olarak yorumlayacaktır. Yine de, uygulamada böyle bir uzlaşım nadiren gerekli olacaktır, zira farklı yüklemleri ayrı harflerle veya eğer aynı harf kullanılıyorsa numaralandırılmış harflerle tercüme etmek her zaman tavsiye edilendir. Mantıksal-olmayan sembollerin yorumuna ilave olarak, bir ikb için veya ikb grubu için olan bir model, ayrıca bir yorum evreni (universe)veya yorum için bir konu alanı (domain) belirler: bu, yorum

3 gereği ad ve yüklem harflerinin yerini alan/yerine geçen nesnelerin sınıfı/kümesidir. Mesela, eğer yorumlamanın konu alanı canlı varlıkların kümesi ise ve F harfi de insanların kümesi/sınıfı olarak yorumlanmışsa, bu durumda hepimiz bu yoruma dahil oluruz; ama eğer konu alanı mitolojik yaratıklar ise, bu durumda F harfinin yorumu her türden hayvanı içerebilir ama bizim hiçbirimizi içeremez. Yorum evreni boş olmadığı sürece bir modelin evrenine dahil edilebilecek olan nesne türlerinin bir sınırı yoktur. Özetle, bir model, bir konu alanı veya evren ile birlikte verili bir ikb de geçen mantıksalolmayan semboller için karşılık gelen bir yorumlama belirler. Bir model verilmişse, bu modelin sunduğu sembollerden kurulu her bir atomik biçim Φ, aşağıdaki kurallara göre bir doğruluk değeri alır: Bir modelde doğruluk değerinin saptanması için kurallar (Model Kuralları): (1) Eğer Φ tek bir cümle harfinden oluşuyorsa, bu durumda onun doğruluk değeri doğrudan doğruya model tarafından belirlenir. (2) Eğer Φ tek bir ad harfinin takip ettiği bir yüklem harfinden oluşuyorsa, bu durumda eğer ad harfinin işaret ettiği nesne, yüklem harfinin işaret ettiği sınıfın/kümenin bir elemanı ise Φ nin doğruluk değeri D, bunun dışındaki durumlarda Y dir. (3) Eğer Φ iki veya daha fazla ad harfinin takip ettiği bir yüklem harfinden oluşuyorsa, bu durumda eğer ad harflerinin işaret ettiği nesneler birbirleri ile yüklem harfinin işaret ettiği ilişki içindeler ise Φ nin doğruluk değeri D, bunun dışındaki durumlarda Y dir. Bir modelde D derini alan bir cümle veya yargının bu modelde doğru olduğu söylenir ve aynı şekilde, bir modelde Y değerini alan bir cümle veya yargının bu modelde yanlış olduğu söylenir. 6.9 Aşağıdaki atomik biçimleri altta verilmiş M modelinde (modele göre, modelin içinde) değerlendiriniz (doğruluk değerlerini belirleyiniz). (a) Pc (b) Pe (c) Se (d) Tce (e) Tec (f) Tee Evren : dünyadaki her nesne, insanlar ve hayvanlar dahil. c : Bill Clinton e : Empire State binası P : tüm insanların kümesi S : tüm saksafon çalanların kümesi T : x, y den uzun olduğunda x ve y nesneleri arasında sağlanan ilişki (a) D

4 (b) Y (c) Y (d) Y (e) D (f) Y Atomik biçimlerin nasıl değerlendirileceği, yani hangi doğruluk değerlerini aldığı biliniyorsa, niceleyici içermeyen bileşik yapıdaki ikb lerin doğruluk değerleri de önermeler mantığının kurallarına uygun olarak belirlenir; bunun için doğruluk-işlevsel operatörlerin doğruluk tablolarından faydalanırız Aşağıdaki ikb yi örnek 6.9 da verilen modele göre değerlendiriniz. (Pc Tce) ( Pc Tec) Bu bir seçenekli evetleme. Birinci seçenek bir birlikte evetleme ve Y değerine sahip çünkü Tce yanlıştır. İkinci seçenek de bir birlikte evetleme ve Y değerine sahip çünkü Pc yanlıştır. İki seçenek de yanlış olduğu için biçimin bütünü de yanlıştır. Şimdi, daha önce bahsettiğimiz ikinci güçlük olan, nicelenmiş ikb ler için doğruluk koşullarını ele alabiliriz. Farz edelim ki, x Sx şeklindeki ikb yi örnek 6.9 da verilen modele göre değerlendirmek istiyoruz ve buradaki S yüklem harfi tüm var olan şeyler içinde tüm saksafon çalanların kümesi olarak yorumlanıyor olsun. Bu ikb tüm şeyler (her şey) bir saksafon çalıcısıdır dediği için bu modelin içinde yanlıştır, zira modelin içinden herhangi bir nesnenin, örneğin Empire State binası gibi, S nin bir elemanı olmadığını gösterebiliriz. Demek ki, modelin içinde x Sx nin bir özellemesi yani Se yanlıştır diyebiliriz. Özelleme dediğimiz işlem şöyle yapılır: baştaki niceleyici ve yanındaki değişken, yani x kaldırılır, geri kalan biçimde ise x değişkeni yerine bir ad harfi geçirilir. Bu işlemin sonunda bir atomik biçim elde ederiz ki bunun da doğruluk değeri yukarıdaki Model Kurallarından ikincisine göre belirlenebilir. Diğer taraftan, xsx şeklindeki ikb ise bu modelde doğrudur çünkü verili evrenin içinde saksafon çalıcısı olan bir nesne, örneğin Bill Clinton gibi, kolayca bulunabilir. Demek ki, modelin içinde xsx nin bir özellemesi yani Se doğrudur diyebiliriz. Bu işlem, aşağıdaki örneklerde göreceğimiz gibi, özellemeleri atomik biçimler olmayan nicelenmiş ikb lere de kolayca genelleştirilebilir Aşağıdaki ikb yi altta verilmiş M modelinde değerlendiriniz. x(cx Ox) Evren : tüm insanların kümesi, geçmiş ve mevcut zaman dahil. g : Abdullah Gül e : Kenan Evren C : T.C. cumhurbaşkanları kümesi O : ordu mensubu olanların kümesi

5 Ce Oe şeklindeki koşul önermesi, model kuralı 2 gereği bu modelde doğrudur, çünkü Kenan Evren cumhurbaşkanları kümesinin (C nin) bir elemanıdır. Dolayısıyla koşul önermesinin önbileşeni, yani Ce doğrudur. Kenan Evren aynı zamanda ordu mensubu olanlar kümesinin de (O nun) bir elemanıdır, dolayısıyla koşul önermesinin artbileşeni de, yani Oe doğrudur ve koşul önermesinin bütünü de doğru olur. Ama Cg Og şeklindeki koşul önermesi bu modelde yanlıştır, çünkü Abdullah Gül C nin bir elemanı fakat O nun bir elemanı değildir, dolayısıyla önbileşeni doğru artbileşeni yanlış olan bir koşul önermesi yanlıştır. O halde, x(cx Ox) ikb si bu modelde yanlıştır. Kural olarak şunu belirleyebiliriz: Evrensel olarak nicelenmiş bir ikb, onun tüm özellemeleri doğru ise doğru olabilir Aşağıdaki ikb yi örnek 6.11 de verilen modelde değerlendiriniz. x( Cx Ox) Cg Og şeklindeki seçenekli evetleme önermesi bu modelde yanlıştır, çünkü Cg doğru olduğu için birinci seçenek olan Cg yanlıştır, zira Abdullah Gül cumhurbaşkanları kümesinin (C nin) bir elemanıdır. İkinci seçenek olan de yanlıştır, çünkü Abdullah Gül bir ordu mensubu değildir. Dolayısıyla seçenekli evetleme önermesinin bütünü de yanlış olur. Bununla birlikte Ce Oe şeklindeki seçenekli evetleme önermesi bu modelde doğrudur, çünkü ikinci seçenek yani Oe doğrudur, zira Kenan Evren bir ordu mensubudur. O halde, x( Cx Ox) ikb si bu modelde doğrudur. Kural olarak şunu belirleyebiliriz: Varlıksal olarak nicelenmiş bir ikb, onun en az bir özellemesi doğru ise doğru olabilir. Bazı hallerde, modelin bize sunduğundan daha fazla özellemeyi göz önüne almamız gerekli olabilir. Örneğin, x Cx şeklindeki ikb yi örnek 6.11 in verdiği modelde değerlendirmek için sadece Cg ve Ce gibi iki özellemeyi göz önüne almak yeterli olmayacaktır. Bu iki özelleme de yanlıştır, zira ikisi de doğru atomik biçimlerin değillemeleridir. Bununla birlikte, Gül ve Evren in birer cumhurbaşkanı olmaları, cumhurbaşkanı olmayan bir şeyin (verili evren içinde) varlığını yadsımaya hiç kuşkusuz yetmez: niceleme evrenin tüm elemanlarına uygulanmaktadır ve bunlar arasında modelin herhangi bir ad harfi atamamış oldukları da vardır. Bu zorluğun üstesinden gelmek için, yeni bir ilave özelleme üretiriz, mesela Ca gibi ve ad harfi a için olası tüm yorumlarda bunun doğruluğunu göz önüne alırız. Eğer a yı Gül veya Evren olarak yorumlarsak bu durumda Ca nın doğruluk değeri Cg ve Ce ile aynı olur. Ama eğer a yı mesela, İbrahim Tatlıses olarak yorumlarsak Ca doğru olur, zira bu, yanlış bir atomik biçim olan Ca nın değilidir. Verili bir modelin, burada gösterildiği gibi yeni bir a ad harfinin yorumlanması suretiyle genişletilmesi neticesinde elde edilen yeni modele, verili modelin

6 bir a-çeşitlemesi denilir. Burada Ca yı doğru yapan en az bir a-çeşitlemesi bulunduğu için, varlıksal olarak nicelenmiş ikb x Cx bu modelde doğru değeri alır Aşağıdaki ikb yi altta verilmiş M modelinde değerlendiriniz. x( Cx Ex) Evren : tüm insanların kümesi, geçmiş ve bugün dahil. g : Abdullah Gül E : tüm erkek insanlar C : T.C. cumhurbaşkanları kümesi Cg Eg şeklindeki önerme bu modelde yanlıştır, ama bu durum x( Cx Ex) i değerlendirmek için yeterli değildir. Bu ikb yi değerlendirmek için evrende verilen tüm nesneleri dikkate almalıyız, sadece Abdullah Gül ü değil. Bunun için Ca Ea şeklinde yeni bir özelleme oluşturuyoruz. Bu yeni özelleme, verilen modelin tüm olası a-çeşitlemelerini ele alıp değerlendirmemizi sağlar. Bu modelde a- çeşitlemeleri iki sınıfa ayrılır. Evrendeki insanlardan bazıları cumhurbaşkanıdır bazıları değildir. Cumhurbaşkanı olmayanlar içinde hem kadın hem de erkekler vardır. Demek ki, eğer a yı cumhurbaşkanı olmayan bir erkek olarak yorumlarsak Ca Ea doğru olacaktır. O halde, verili modelin, Ca Ea özellemesini doğru kılan a-çeşitlemeleri bulunduğu için, varlıksal olarak nicelenmiş ikb x( Cx Ex) in bu modelde doğru olduğu sonucuna varıyoruz. Artık, nicelenmiş ikb ler için doğruluk koşullarını daha kesin olarak belirleyebiliriz. M diye bir modelin verildiğini ve α nın bir ad harfi olduğunu kabul edelim. M nin bir α-çeşitlemesi, genel olarak, α yı M den serbestçe seçilmiş bir nesne olarak yorumlamak suretiyle elde edilen herhangi bir model olarak tanımlanır. Eğer M, α ya hiçbir yorum atamıyorsa, bu durumda α-çeşitlemesi M modelinden birazcık daha zengin olacaktır: çünkü α-çeşitlemesi M modelinin sunduğu yorumlara ilave olarak, ayrıca α için de bir yorum sunacaktır. (Bu, yukarıdaki örneklerde verilen a-çeşitlemelerindeki duruma karşılık gelmektedir.) Diğer taraftan, eğer M zaten α ya bir yorum atamışsa, bu durumda M nin bir α- çeşitlemesi, diğer her şeyi M de olduğu gibi muhafaza etmek suretiyle sadece α yı yorumlamanın yeni bir tarzı anlamına gelecektir. Bu yeni halde, α nın yeni yorumunun onun M deki yorumundan farklı olduğu farz edilmez: α-çeşitlemesinin M ile örtüştüğü durumda yeni yorum aynı olabilir. Bir başka deyimle, bir modelin bir ad harfi α ya bir yorum atadığı her durumda, modelin kendi kendisinin bir α- çeşitlemesi sayılır. İşte, bir α-çeşitlemesi kavramını kullanmak suretiyle, nicelenmiş yargılar için doğruluk koşulları aşağıdaki gibi tanımlanır:

7 Model Kuralları (4) ve (5): (4) βφ şeklindeki bir evrensel niceleme, bir M modelinde doğrudur, eğer Φ α/β şeklindeki ikb M modelinin her α-çeşitlemesi için doğru oluyorsa. Burada α, Φ de geçmeyen, alfabetik sıraya göre ilk ad harfini, ve Φ α/β ise Φ de β değişkeni yerine α değerini yazarak elde edilen ikb dir. Eğer Φ α/β ikb si M nin tek bir α-çeşitlemesinde yanlış oluyorsa βφ, M de yanlıştır. (5) βφ şeklindeki bir varlıksal niceleme, bir M modelinde doğrudur, eğer Φ α/β şeklindeki ikb M modelinin en az bir α-çeşitlemesi için doğru oluyorsa. Burada α, ve Φ α/β kural 4 tekş gibi yorumlanır. Eğer Φ α/β ikb si M nin tüm α-çeşitlemelerinde yanlış oluyorsa βφ, M de yanlıştır. (örnek 6.13 te Φ ikb si ( Cx Ex), α ad harfi a, β değişkeni x ve Φ α/β ikb si de ( Ca Ea) dır.) Alfabetik sıranın öyle tanımlandığını varsayacağız ki t den sonra gelen ilk ad harfinin a 1 ve ondan sonra gelenin a 2 vb. olduğunu kabul edeceğiz. İkb ler daima sonlu sembol dizileri olduğu için, daima bir ilk ad harfinin mevcut olduğu da kesindir. α nın Φ de geçmeyen alfabetik sıraya göre ilk ad harfi olmasını da kesin bir şart gibi görmemek gerekir; yani alfabetik sıraya göre ilk harf olmayabilir yeter ki Φ de geçmeyen bir harf olsun. Ama Φ de geçmeyen bir harf olması şartı hayati önemdedir. Bunu görebilmek için, farz edelim ki Φ ikb si xuxc olsun ve bu ikb yi örnek 6.9 da verilen modelde değerlendirmek istiyoruz, öyle ki c harfi Bill Clinton olarak ve U harfi de den uzundur ilişkisi olarak yorumlansın. Eğer α olarak ad harfi c yi seçersek, elde edeceğimiz Φ α/β ikb si Ucc olacaktır. Ve hiçbir şey kendi kendisinden uzun olmadığı için de bu ikb modelin her α- çeşitlemesinde yanlış olacaktır. Bu da sonuçta xuxc ikb sine Y değerinin verilmesi demektir. Oysa açıktır ki bu ikb bu modelde doğrudur, zira bu modelin içinde Bill Clinton dan uzun olan bir şey vardır (mesela Empire State binası gibi) Aşağıdaki ikb yi altta verilmiş M modelinde değerlendiriniz. xgxa Evren : tüm insanların kümesi a : Abdullah Gül G : x, y den genç olduğunda x ve y nesneleri arasında sağlanan ilişki Verilen ikb bir varlıksal niceleme ve bunda geçmeyen ilk harf b dir. Demek ki Gba nın içinde doğru olduğu b-çeşitlemelerine bakacağız. Eğer böyle bir çeşitleme varsa verilen ikb M modelinde doğru olur. Böyle çeşitlemeler pek çoktur, zira Abdullah Gül den genç olan pek çok insan vardır. Demek ki, xgxa ikb si M modelinde doğrudur. Dikkat edilirse, bu örnekte Bill Clinton ad harfi a nın yorumudur, ad harfi c nin değil (ki bu harf modelde yorumlanmış değildir). Adlar nesneler olarak, yüklemler de sınıflar/kümeler veya ilişkiler olarak yorumlandığı sürece mantıksal-olmayan bir sembolün bir modelde nasıl yorumlanacağına ilişkin bir sınırlama yoktur.

8 6.15 Aşağıdaki ikb yi altta verilmiş M modelinde değerlendiriniz. Ca x(cx Ex) Evren : tüm insanların kümesi, geçmiş ve bugün. a : Abdullah Gül E : tüm erkek insanlar C : T.C. cumhurbaşkanları kümesi Verilen ikb bir koşul önermesidir (koşullu). Koşullunun önbileşeni bir atomik biçimdir ve model kuralı 2 gereğince M de doğrudur (zira a ile işaret edilen nesne bir T.C. cumhurbaşkanıdır). Koşullunun artbileşeni ise varlıksal olarak nicelenmiş bir ikb dir ve model kuralı 5 gereğince, ancak Ca Ea nın içinde doğru olduğu M nin bir a-çeşitlemesi varsa M de doğrudur. (Burada a verilen ikb x(cx Ex) de geçmeyen ilk ad harfidir; bu harfin Ca da kullanılmış olması bu özgül durum için bağlayıcı değildir.) Ca Ea ikb si bir birlikte evetlemedir ve her iki müşterek de a nın bir erkek T.C. cumhurbaşkanı olarak yorumlandığı herhangi bir a-çeşitlemesinde doğrudurlar. Erkek T.C. cumhurbaşkanları olduğu için böyle bir a-çeşitlemesi de vardır. (M modelinin kendisi böyle bir çeşitlemedir zira Abdullah Gül bir erkek cumhurbaşkanıdır.) Bu yüzden x(cx Ex) ikb si M de doğrudur. O halde, Ca x(cx Ex) koşullusunun hem önbileşeni hem de artbileşeni M de doğru oldukları için, koşullunun kendisi de M de doğrudur Aşağıdaki ikb yi altta verilmiş M modelinde değerlendiriniz. xcx xex Evren : tüm insanların kümesi, geçmiş ve bugün. E : tüm erkek insanlar C : T.C. cumhurbaşkanları kümesi Verilen ikb bir birlikte evetlemedir (bunu x(cx Ex) ikb si ile karıştırmayınız, x(cx Ex) ikb si birlikte evetleme değil nicelenmiş bir ikb dir). Dolayısıyla her iki müşterek de doğru olduğunda doğrudur. Birinci müşterek varlıksa olarak nicelenmiş xcx ikb sidir ki ad harfi içermemektedir. Bu yüzden Ca nın M nin a-çeşitlemeleri içinde aldığı değerleri göz önüne alacağız. T.C. cumhurbaşkanları kümesi boş küme olmadığı için, içinde a nın bir T.C. cumhurbaşkanı olarak yorumlandığı a-çeşitlemeleri kesinlikle vardır. Bu modellerde Ca doğru olur. Bunun sonucu olarak da xcx ikb si M de doğru olur (model kuralı 5). Benzer bir akıl yürütme ikinci müşterek olan xex in de M de doğru olduğunu gösterecektir. Bu

9 yüzden xcx xex ikb si de M de doğru olur. Dikkat ederseniz bu örnekte model hiçbir ad harfi tanımı sunmuyor Aşağıdaki ikb yi altta verilmiş M modelinde değerlendiriniz. x(çx Tx) Evren : tüm pozitif tamsayıların kümesi Ç : tüm çift tam sayılar T : tüm tek tam sayılar x(çx Tx) bir evrensel nicelenmiş ve içinde ad harfi geçmeyen ikb dir, dolayısıyla model kuralı 4 gereğince, ancak Ça Ta özellemesi M nin her a- çeşitlemesinde doğru ise M de doğru olur. Yalnızca iki ihtimal vardır. Ya a bir çift tamsayı olarak yorumlanacaktır ki bu durumda Ç ile gösterilen kümenin bir elemanı olacaktır, ya da a bir tek tamsayı olarak yorumlanacaktır ki bu durumda T ile gösterilen kümenin bir elemanı olacaktır. Her iki halde de, Ça Ta nın seçeneklerinden bir tanesi doğru olacaktır, bu yüzden seçenekli evetleme de doğru olacaktır. Dolayısıyla, M nin her a-çeşitlemesinde Ça Ta ikb si doğrudur. Bu yüzden x(çx Tx) ikb si M de doğru olur. Bu örnek aynı zamanda bir modelin istediğimiz her şeyi içerebileceğini göstermiş oluyor, bu durumda sayılar gibi Aşağıdaki ikb yi altta verilmiş M modelinde değerlendiriniz. x(kx Mx) Evren : tüm canlıların kümesi M : tüm mavi şeylerin kümesi K : tüm kanatlı atların kümesi Bu ikb ancak ve ancak Ka Ma koşullusu M nin her a-çeşitlemesinde doğru ise M de doğrudur. a nın nasıl yorumlandığı hiç mesele değildir, çünkü bu koşullunun önbileşeni daima yanlıştır, zira kanatlı atlar yoktur. Bu yüzden, önbileşeni yanlış olan bir koşullu daima doğru olacağı için, Ka Ma ikb si M nin tüm a-çeşitlemelerinde doğru olacaktır. Sonuç olarak x(kx Mx) ikb si M de doğrudur Aşağıdaki ikb yi örnek 6.18 de verilmiş modelde değerlendiriniz. x(kx Mx)

10 Bu ikb ancak ve ancak Ka Ma koşullusu M nin her a-çeşitlemesinde doğru ise M de doğrudur. Örnek 6.18 de kullanılan aynı akıl yürütme burada da durumun böyle olduğunu gösterir. Bu yüzen x(kx Mx) ikb si M de doğrudur. Son iki örnek, everensel nicelenmiş bir maddesel koşullunun önbileşeni boş küme ise (yani hiçbir şeye uygulanmıyorsa)bu koşullunun her halükarda doğru olacağını gösteriyor. Bu da, boş küme olan sınıf terimlerinin özne yapıldığı A-biçimi (tümel olumlu) önermelerin daima doğru olduklarını söylemek demektir. Aşağıdaki örnekler, iç içe niceleyiciler içeren ikb leri değerlendirmek için model kuralı 4 ve 5 in birden fazla kez uygulanabileceğini gösterir Aşağıdaki ikb yi altta verilmiş M modelinde değerlendiriniz. x(çx y Bxy) Evren : tüm pozitif tamsayıların kümesi Ç : tüm çift tam sayılar B : den büyüktür ilişkisi Bu ikb ancak ve ancak Ça y Bay koşullusu M nin her a-çeşitlemesinde doğru ise M de doğrudur. Şimdi M 1 böyle çeşitlemelerden bir tanesi olsun. Eğer a bir tek tamsayı olarak yorumlanırsa, Ça önbileşeni M 1 de yanlıştır, bu yüzden artbileşenin ne değer aldığından bağımsız şekilde koşullu doğru olur. Bununla birlikte, farz edelim ki M 1 modeli a yı bir çift tamsayı olarak yorumluyor. Böyle bir halde önbileşen M 1 de doğrudur, bu yüzden ancak artbileşen, yani y Bay, M 1 de doğru olursa koşullu da M 1 de doğru olur. Bu evrensel nicelenmiş bir ikb dir, dolayısıyla sadece Bab özellemesi ( y nin yerine sıradaki ilk ad harfi yazılarak elde edilir) M 1 in her b-çeşitlemesinde doğru ise M 1 de doğrudur. Oysa açıktır ki böyle değildir: b nin a dan büyük bir tamsayı olarak yorumlandığı M 1 in herhangi bir b-çeşitlemesi Bab yi yanlış yapar. Demek ki, eğer a M 1 de bir çift tamsayı olarak yorumlanırsa, Ça y Bay koşullusu M 1 de yanlış olmaktadır. M 1 modeli M modelinin bir a-çeşitlemesi olduğu için, sonuç olarak x(çx y Bxy) ikb si M de yanlıştır Aşağıdaki ikb yi örnek 6.20 de verilmiş modelde değerlendiriniz. x y Bxy Bu ikb ancak ve ancak y Bay koşullusu M nin her a-çeşitlemesinde doğru ise M de doğrudur. Şimdi M 1 böyle çeşitlemelerden bir tanesi olsun. Eğer y Bay

11 M 1 de doğru ise Bab ikb si M 1 in her b-çeşitlemesinde doğru olmalıdır. Oysa bu imkânsızdır, zira a ile hangi sayı gösteriliyor olursa olsun, b nin a dan büyük bir sayı olarak yorumlandığı sonsuz sayıda b-çeşitlemeleri bulunduğunu düşünebiliriz. O halde, içinde y Bay nin doğru olduğu M nin bir a-çeşitlemesi bulunduğu varsayımı bir çelişkiyle sonuçlanıyor. Bu yüzden x y Bxy nin M de yanlış olduğu sonucuna varıyoruz. (Sezgisel olarak: bir tamsayının diğer tüm tamsayılardan büyük olduğu yanlıştır.) 6.22 Aşağıdaki ikb yi örnek 6.20 de verilmiş modelde değerlendiriniz. y x Bxy Bu ikb ancak ve ancak x Bxa koşullusu M nin her a-çeşitlemesinde doğru ise M de doğrudur. Şimdi M 1 böyle çeşitlemelerden bir tanesi olsun. Eğer x Bxa M 1 de doğru ise Bba ikb si M 1 in en az bir b-çeşitlemesinde doğru olmalıdır. Bu mümkündür, zira a ile hangi sayı gösteriliyor olursa olsun, b nin a dan büyük bir sayı olarak yorumlandığı bir b-çeşitlemesi bulunduğunu daima düşünebiliriz. M 1 modeli hakkında özel varsayımlarda bulunmadığımız için, bu husus x Bxa ikb sinin M nin her a-çeşitlemesinde doğru olduğu anlamına gelir. Bu yüzden y x Bxy ikb si M de doğrudur. (Sezgisel olarak: verili bir y tamsayısı için y den büyük bir x tamsayısının olduğu doğrudur.)