(F ile a aynı yönlüdür)

Transkript

1 9 ÖÜM 3 3. MDDESE NOKTNIN KİNETİĞİ. 3. NEWTON UN. KNUNU: i maddesel nokta üzeine kuet tesi ettiğinde, bu kuet ile maddesel noktanın imesi aasında sabit bi oan adı. uada oantı katsayısı olan m sıfıdan büyük bi sabit olup maddesel noktanın kütlesine eşitti. F ma F // a F a > (F ile a aynı yönlüdü) Maddesel nokta üzeine kuet uygulandığında et-tepki pensibi geeği maddesel nokta uygulanan kuete eşit şiddette e zıt yönde bi kuetle kaşı koya. u kuet atalet kueti deni. Yani, + F Fat yazılı. u duuma dinamik denge hali deni. ÖRNEK: Şekildeki cismi bi makaadan geçen iple cisi haeket ettimektedi. Makaa dönmemektedi. Makaa ile ip aasındaki sütünme katsayısı µ dü. Cisimlein imesini e ipteki geilme kuetini hesaplayınız. İplei keseek ayı ayı denge denklemleini yazalım. T m a π µ T Te mg T ma π π µ µ e T e m a π µ T Te mg T ma π µ mg m + e m a

2 9 a mg π µ + m e m T m a T m m g π µ + m e m π µ T Te T m m g π µ e π µ + m e m ÖRNEK: Toplam kütlesi m e uzunluğu olan bi zinci yaısı sütünmesiz bi masa üzeinden sakmış aziyette ilk hızsız olaak haekete tek ediliyo. Zinciin son baklası masayı tek ettiği andaki zinciin hızını e bu ana kada geçen zamanı hesaplayınız. Hehangi bi anda zinciin masa üzeinden sakmış kısmı x olsun. u duumdaki zincii iki paçaya ayıalım e dinamik denge denklei yazalım. mg m x x T a m T ( x) a mg m x m x a + ( x) a ma mg dx d x m m dt dt d dx d m m dx dt dx mg md x dx mg md xdx mg m ( x + C ) x mg + C C

3 93 g x Zinciin son baklası masayı tek ettiğinde x olu. g 3 g 4 g x dx dx g x dt dt x coshu dx sinhudu dx dt g x sinhudu g cosh u sinhudu dt g cosh u du dt g dt u t + C g g u + ( t C ) g x coshu cosh t + C x cosh g ( + C ) C

4 94 cosh cosh g x u t g x cosh t g g t 4 t x x e + e 4x t e + e e t e + g g t t g g t g g t 4 t x e t e + e g t x x g x x t ln x x t ln g t ln ln( 3) x g g t ln zaman negatif olamaz g g < t ln g g

5 95 3- NEWTON KNUNUN GÖK MEKNİĞİNE UYGUNMSI. uada haeket denklemleini çıkatıken, kütleleden biinin sabit duduğunu e diğe gök cisimlein haeket halindeki maddesel noktaya tesileinin olmadığını kabul ediyouz. Newton un kütle çekim kanununa göe, Mm F K e ma Mm d dθ d θ ddθ K e m t e + + e θ dt dt dt dt dt M d dθ d θ ddθ K e e + + e θ dt dt dt dt dt M d dθ K e e dt dt d θ ddθ + e θ dt dtdt M d dθ dt dt d θ dd K θ + dt dtdt d θ ddθ + dt dtdt d dθ dt dt ifadenin sıfı olabilmesi için ya olması eya hızının büyüklüğüdü. d θ h : sabit d θ olması geeki. alan dt dt Demek ki, gaitasyonel kuetlein tesii altına haeket eden maddesel noktalaın alan hızlaı daima sabitti. (Keple kanunu II) Şimdi M d dθ K dt difeansiyel denklei çözeek yöünge denklemleini çıkatalım. dt

6 96 d d θ M + K dt dt u yazalım. dθ h hu dt e d dudθ dt dθdt d du dθ dt dθ dt d du h dt dθ d d d d du dθ h dt dt dt dθ dθ dt d d d d du h du h 4hu dt dt dt dθ dθ dθ değişken dönüşümleini denklemde yeleine yazalım. θ dt d d dt du 4hu 4 dθ u 4 h u K M K M du M u K dθ + 4h şeklinde. metebeden sabit katsayılı linee bi difeansiyel denklem elde edili. u denkle gene çözümü M u K + sinθ + cosθ 4h

7 97 şeklinde olup bu denklem yöüngenin kutupsal koodinatladaki ifadesidi e e integal sabitleidi. u integal sabitlei için sını değele dikkate alını. θ için olacak şekilde eksen takımı taif edilise du d cosθ + sinθ θ dθ dθ elde edili. M K + cosθ 4h M 4h K cos + θ 4h KM M K ( + εcosθ) 4h şeklinde denklem yeniden düzenleneek en son halde, K ( εcosθ) ε a yöüngenin eksantisitesi deni. M + bulunu. u denklemde 4h M ε için K : sabit yöünge bi çembedi 4h M < ε < e θ için K ( + ε) 4h Yöünge kapalı bi eğidi e ellipsdi. M < ε < e θ π için K ( ε) 4h ε e maks M 4h θ için K ( + ) ε e θ π için ε > e θ π maks maks M K ( ) 4h M 4h için K ( + ε) ε > e θ π için maks M K ( ε) < 4h maks < olamaz en fazla sonsuz olabili. M K ( + εcosθ) 4h yapan θ değei asmiptotun Yöünge paaboldü Yöünge hipeboldü

8 98 eğim açısıdı. θ accos ε Gaitasyonel kuetlein tesii altına haeket eden maddesel noktalaın yöüngelei bi konik eğisidi. Eğe yöünge kapalı ise sabit kütle yöüngenin odağında bulunu. (Keple kanunu I) < ε < için, θ θ π maks M 4h K ( + ε) K ( ε) maks M 4h ikame edildikten sona, M + K 4h maks M K ε 4h maks maks maks ε maks + + maks bulunu. i elipste, a + maks f a f + maks maks b a f maks ε f + a maks maks lan hızı: Hız ektöü yöüngeye teğet e bi elipste sadece P e Q noktalaında ye ektölei teğete dik olduğuna göe bu iki nokta için,

9 99 P maks Q h Yöüngenin peiyodu: Peiyot: maks + maks + π π lan π ab τ lanhızı P P maks Q maks maks Keple kanunu III: Elliptik bi yöünge üzeinde dolanan bi gezegenin peiyodunun kaesi ile elipsin büyük eksen uzunluğunun küpü doğu oantılıdı. π ab τ 4π b 4π π a a h h P maks maks 3 3 ( ) a maks + P + maks + maks maks M K 4h maks 4h + K M maks π ab P τ 4π b 4π maks π maks π 4h 3 3 a a ( ) a h maks h maks h K M + + P τ 4π 3 a K M Dünyanın çeesindeki yöüngele için bu sabit değe, K M R g τ π π π s / m 3 a

10 olaak hesaplanı. u sabitin değei güneşin etafında dolanan gezegenle için en son ölçümlee göe şu şekilde hesaplanmıştı. τ s /m 3 a 9 3 Öneğin, bi gezegeninin güneşe olan uzaklığının gezegeninin güneşe olan uzaklığından döt kat daha büyük olduğunu düşünelim. u duumda gezegeni he tuda, gezegeninden 4 kat daha fazla yol kat edecekti e dahası gezegeni gezegeninin yaısı kada bi hızla haeket edecekti. Yasaya göe, toplamda gezegeninin yöüngeyi tamamıyla dolanması için geçen süe, gezegeninin yöüngeyi dolanması için geçen süeden 4 8 kat daha büyük olacaktı (8 4 3 ). ÖRNEK: i uydunun dünyanın yüzeyine en yakın noktası 5 km, en uzak noktası km di. u uydunun dünyaya en yakın e en uzak noktadaki hızlaını e peiyodunu hesaplayınız. Ne kada zaman sona en uzak noktaya ulaşı. En uzak noktaya ulaşan uydunun motolaı ateşleneek bi daha gei dönmemek üzee uzayın boşluğuna göndeilmek isteniyo. Uydunun sahip olması geeken imum hız nedi? Poblem dünya çeesindeki uydu için eildiğine göe, bi cis dünya yüzeyindeki ağılığı, dünya ile cisim aasındaki çekim kuetine eşitti. M m mg K R K M R g buada R 637 km dünyanın yaıçapı e g 9. 8 m/s yeçekimi imesidi. yöüngenin eksantisitesi: maks 5 95 ε maks P P R g + 4 P R g + ( ε) ( εcos ) m/s. 555 km/s P

11 P maks ( ). 555 ( ) Q ( + ). Q ( ) ( + ). Q ( ) Q km/s km/s Q km/s Peiyot: maks + π maks τ P ( + 637) + ( ) π + + τ ( ) ( 637) ( 5 637) τ s h 58' 48'' En uzak noktaya ulaşması için geçmesi geeken zaman, τ s h 58' 48'' h 9' 4'' Yöünge en az paabol olmalıdı. Uydunun bulunduğu nokta yeni yöünge için du. ε alaak, P P R g + 4 P R g ( ) + ( cos ) ( ) + 637

12 m/s km/s Q ÖRNEK: i habeleşme uydusu dünyanın çeesinde çembesel bi yöünge üzeinde dolanmaktadı. Uydunun dünyanın mekezinden olan uzaklığını e uydunun hızını hesaplayınız. ε R g R g 864 ( ) + π π 4 Uydunun açısal hız dünyanın açısal hız ile aynı olması geektiğine göe, π w 864 R g π R g π 4 π m km İmpuls: F t Momentum: mv 3-3 İMPUS VE MOMENTUM İmpuldaki değişim momentumdaki değişim d ( F t ) d ( mv ) F dt dmv + mdv dm dv F V + m dt dt ÖRNEK: i yangın söndüme uçağı haeket halinde iken bi gölden haznesine su doldumaktadı. Yangın söndüme uçağının haznesi 5 m 3 tü. Su dolduma işlemi 3 s sümektedi. Su dolduma işlemi sıasında uçağın hızının 5 km/h olaak sabit kalması için lazım gelen ek itme kueti nedi?

13 3 d ( F t ) d ( mv ) F dt dmv + mdv dm F V dt Haeket doğusal olduğuna göe, dm 5 5 F V N dt 3 36 ÖRNEK: iim uzunluğunun kütlesi k e toplam boyu olan bi zinci bi masa üzeinde dumaktadı bu zinci bi ucundan çekileek y dan başlayaak sabit hızı ile yukaı doğu çekilmektedi. Zincii yukaı doğu çeken F kuetini y nin fonksiyonu olaak bulunuz. m ky dm dy k k dt dt dm F kyg ( k ) dt dm F kyg + k dt ÖRNEK: aşlangıçtaki kütlesi m olan bi oket ilk hızı sıfı olacak şekilde fılatılmıştı. Rokette biim zamanda tüketile yakıt miktaı q kg/s di. Yanmış gazla oketten oketteki gözlemciye göe u hızı ile atılmaktadı. Roketin zaman bağlı olaak hız ifadesini elde ediniz. aşlangıçtaki kütlesinin yaısına düştüğünde oketin hızının ne olduğunu bulunuz.

14 4 t+ dt () () + () () () mt t t+ dt t F t dt mt+ dt t+ dt + dmt t u F() t dt yandaki eğinin altında kalan e t ile t dt t + doğulaının sınıladığı alana eşitti. dt sıfıa çok yakın olduğundan bu integalin değeinin yani eği altında kalan alanın taalı alan olaak alınmasıyla bi hata t+ dt F t dt F t dt yazılabili. yapılmış olmaz. Öyleyse, () () t () () () () mt t + F t dt mt+ dt t+ dt + dm t u mt m m qt t t+ dt () () () dmt qdt mt+ dt m dm m qt qdt t t+ dt + d () () F t dt F t dt mgdt ( m qt ) mgdt ( m qt qdt )[ + d] + qdt [ u] ( m qt ) mgdt m qt qdt+ m qt d qddt + qdt qudt

15 5 mgdt m qt d qudt qu d g dt ( m qt ) qu d g dt ( m qt ) qu d g ( m qt ) u ln m qt gt + lnc t ln( ) ln u ln m qt m gt m u ln gt m qt m m qt için m ( m qt ). t m q m u ln gt u ln g bulunu. q u m lnc ÖRNEK: Kütlesi m olan bi adam, kütlesi M olan bi abanın üzeinde aabanın bi uçtan diğeine doğu haeket ediyo. dam e aabadan meydana gelen siste Kütle mekezinin yeinin değişmediğini ispat ediniz.. aşlangıçta kütle mekezinin yei: x ma + M b m + M

16 6 e V sabit eksen takımına göe hızlaı gösteise momentumun kounumu pensibine göe: m M V m MV t saniye sona adam : a + t e aabanın kütle mekezi b V t noktasındadı. Yeni konumda kütle mekezi. x x m a + t + M b V t m + M ma + M b + ( m M V ) t m + M x ma + M b m + M ÖRNEK: oyu kütlesi M olan bi sandalın iki ucunda kütlelei m olan iki akadaş otumaktadı. kadaşladan hehangi bi, hehangi bi t anında suya düşmüştü. Sandalın üzeindeki diğe kişi akadaşını kutamak üzee sandalın diğe ucuna doğu haeket etmişti. Sandalın üzeindeki kiş sandalın diğe ucuna adığında sandalın sudaki adamdan uzaklaşma miktaını hesaplayınız. i önceki önekte olduğu gibi kütle mekezinin yeinin değişmeyeceğinin kabulüyle. damın suya düştüğü anda sandal e adamdan meydana gelmiş siste kütle mekezi m b M b + x m + M Sandal yeinde kalsın. dam diğe taafa gidince kütle mekezinin yeni yei, m b + M b + x m + M Şimdi de sandalı ne kada haeket ettielim ki, x x olsun

17 7 x x + f f x x m b + M b m b M b + + f m + M m + M f m m + M bulunu. Sandal sol taafa doğu f m m + M kada haeket ede. 3-5 İKİ MDDESE NOKTNIN N ÇRPIŞMSI. Küe şeklinde olan e yüzeylei püüzsüz, sütünmesiz e kütlelei m e m iki maddesel nokta, hızlaı > olmak üzee aynı doğu boyunca haeket halinde olsun. u maddesel noktala aasında bi çapışma meydana geli. Çapışmadan sona < olmak üzee iki maddesel nokta bibiinden ayılaak yoluna deam ede. Çapışma esnasında cisin hızı olan düşeken e,, hızına hızına yükseliken çok kısa bi süe he iki maddesel noktanın hızlaı otak hızına eşit olu. u esnada he iki maddesel noktanın kütle mekezlei bi biine en yakın duumda olu. Çapışması iki safhaya ayıaak e bu maddesel noktayı tek tek ele alaak momentum e impuls değişii ele alalım. iinci safha, maddesel noktalaın hızlaının eşit oluncaya kada geçen safha; bu andan sona maddesel noktalaın tamamen ayılıncaya kada geçen safha ikinci safhadı.

18 8 cismi için Ú t t t m - F dt m Ú t m - Rdt m cismi için Ú t t t m + F dt m Ú t m+ Rdt m u ifadelei taaf taafa toplayaak, Ú t m - F dt m t Ú t m - Rdt m Ú t t t t t m + F dt m Ú m+ Rdt m m + m m + m Çapışmanın ikinci safhasındaki impuls değişii, ilk safhasındaki impul değişie oanlayıp çapışma katsayısı dediğimiz katsayıyı hesaplayalım. Ú t Rdt m -m m -m - - e t t F dt m -m m -m - - t Ú Çapışma katsayısında geçen otak hız yok edileek, e elde edili. una göe çapışma katsayısı, çapışmadan sonaki hız faklaının çapışmadan önceki hız faklaına oanıdı. Çapışma katsayısının değei daima e olmaktadı. e tam plastik çapışmaya, e tam elastik çapışmaya tekabül ede. Tam elastik çapışmada eneji kaybı meydana gelmez. Tam plastik çapışmada ise, çapışmadan sona maddesel noktalaın hızlaı bibileine eşitti. Yani maddesel noktala bibileinden ayılmazla.

19 9 ÖRNEK: h yüksekliğinden bıakılan bi maddesel nokta h yüksekliğine kada gei sıçıyo. Çapışma katsayısını hesaplayınız. Maddesel noktanın yee çapma hızı: gh Maddesel noktanın sıçama hızı: - gh Çapışma katsayısı: ( gh) e - gh h h ÖRNEK: h yüksekliğinden bıakılan bi maddesel nokta sükunete einceye kada sıçamaya tek ediliyo. Maddesel noktanın aldığı toplam yolu hesaplayınız. Çapışma katsayısı e< di. n sıçama için alınan toplam yol: h + h + h + h + h + h + h + h h + h + h + + h + h n- n 3 n- n n- Â h + h + h i i n h e h 3 h e h e h 3 h e h e h 4 3 n- n- n- n- h e h e h n n- h e h e h

20 n- n È Â i Í Î i 3 n- n- { È Í Î } 3 n- n- È { Í } ( e ) ( e ) 3 - n- h + h h + e h + e h + e h + + e h + e h h + e + e + e + + e + e h + + e + e + e + + e - + e Î n- Ï È Ô - hì + Í - + Ô Í -e Ó Î Ï Ô hì + ÔÓ e e - -e n- + ( e ) n- Ô Ô n- Ô Ô Sükûnete ulaşıncaya kada alınan toplam yol: olu. n- Ï e e Ô - n-ô + e lim hì + + ( e ) h næ Ô -e Ô -e Ó 3-6 OİK ÇRPIŞM. Çapışam maddesel noktalaın hız ektölei bibileine paalel değillese oblik çapışma meydana geli. ÖRNEK: Hız ektöleinin aasında α+ β kada açı bulunan iki maddesel nokta çapışıyo. Çapışma katsayısı e olduğuna göe çapışmadan sonaki hızlaını e hız ektölei aasındaki açılaı bulunuz. Maddesel noktalaın kütle mekezleini bileştien eksen x, bu eksene dik olan eksen y olsun. Hız ektöleinin y eksenine paalel bileşenlei için çapışma etkili değildi. Çapışmadan önce e sona bu bileşenlede bi değişiklik olmaz. x eksenine paalel bileşenle için çapışma kanunlaı geçelidi. Çapışmadan önce: - sinα x - cosα y sinβ x - cosβ y

21 Çapışmadan sona: - cosα y - cosβ y m + m m + m x x x x ( sinα) ( sinβ) m - + m m + m x x - e - x x x x m + m m + m x x x x - + e - x x x x x x ( ) m + m + me - m + m m x x x x È e e Î m m + m x x x x x m + m -meè - Î m + m x x x x ( ) m + m È + e -e Î m + m x x x m kg, m kg, m/s, m/s, α 45, β 3 e. 5 e alaak, Çapışmadan önce:

22 - - - x y sinα sin 45 m/s cosα cos 45 m/s x y sinβ sin 3 m/s cosβ cos 3 m/s Çapışmadan sona: - cos cos 45 m/s y α cos cos 3 m/s y β x x x x m ( ) È e e Î m m + m x x x È Ê ˆ Í( +. 5) Á Ë Î m/s + m + m ( ) x È + e -e x x Î m + m Ê ˆ È Ê ˆ Á- + ( +. 5) Ë Í Á Ë Î. 5 m/s +. 5i- j m/s i- j m/s ÖRNEK: i top şekilde olduğu gibi sabit bi yüzeye çapıyo. Geliş açısı ile yansıma açısı aasında bi ilişik bulunuz. Çapışma katsayısı e di.

23 3 x x sinα sinβ sinα sinβ ( y) - - e - y y y e cosβ cosβ sinα cosβ cosα cosα sinβ cosα y y e tanα tanβ 3-7 MDDESE NOKT İÇİN İŞ VE ENERJİ. i F kueti bi maddesel noktayı yöüngesi boyunca bi noktasından diğe bi noktasına götüsün. u kueti yaptığı iş, I F d F d cosθ Ú Ú şeklinde taif edili. u ifadeden göülmektedi ki yapılan iş skale bi büyüklüktü. yıca kuet ektöünün iş yapan bileşeni yöünge üzeindeki iz düşüm bileşenidi. Kuet e difeansiyel ye değiştime ektöü açık yazılısa, ( x y z ) ( x y z ) I F d Fi+ F j+ Fk dxi+ dyj+ dzk Fdx+ Fdy+ Fdz Ú Ú Ú elde edili. Difeansiyel iş ifadesi, di Fdx x + Fdy y + Fdz z şeklindedi.

24 4 ÖRNEK: i maddesel nokta noktasından (, 4) F yi-xj N kueti taafından paabolü üzeinde O (, ) y x noktasına getiiliyo. u kuetin bu yöünge boyunca yaptığı toplam işi hesaplayınız. Koodinatla mete cinsinden ölçülmüştü. y x dy x dx di ydx -x dy Ú Ú Ú Ú Ú 3 3 ( ) I di ydx - x dy x dx- x x dx x - x x y x x Joule x x I Joule ÖRNEK: i maddesel nokta O (, ) noktasından (, 4) F yi-xj N kueti taafından y x doğusu üzeinde noktasına getiiliyo. u kuetin bu yöünge boyunca yaptığı toplam işi hesaplayınız. Koodinatla mete cinsinden ölçülmüştü. y x dy dx di ydx -x dy 4 I ÚdI Ú ydx - x dy x dx x ( dx) x x x Ú y Ú - x Ú - x - Joule x x I - Joule

25 5 ÖRNEK: i maddesel nokta F yi-xj N kueti taafından x y 8,, 4 noktasına getiiliyo. u kuetin bu yöünge boyunca yaptığı toplam O noktasından işi hesaplayınız. Koodinatla mete cinsinden ölçülmüştü. paabolü üzeinde x y 8 dx ydy 4 di ydx -x dy Ê ˆ 4 Ê ˆ I ÚdI Ú ydx - x dy y ydy y dy y y x Ú y Ú Á - - y Ë 4 Ú Á y Ë Joule y y I 6 3 Joule ÖRNEK: i maddesel nokta noktasından (, 4) F yi+ xj N kueti taafından paabolü üzeinde O (, ) y x noktasına getiiliyo. u kuetin bu yöünge boyunca yaptığı toplam işi hesaplayınız. Koodinatla mete cinsinden ölçülmüştü. y x dy x dx di ydx + x dy Ú Ú Ú Ú Ú 3 3 ( ) I di ydx + x dy x dx+ x x dx x + x x y x x Joule x x I 8 Joule

26 ÖRNEK: i maddesel nokta O (, ) noktasından (, 4) F yi+ xj N 6 kueti taafından y x doğusu üzeinde noktasına getiiliyo. u kuetin bu yöünge boyunca yaptığı toplam işi hesaplayınız. Koodinatla mete cinsinden ölçülmüştü. y x dy dx di ydx + x dy 4 I ÚdI Ú ydx + x dy x dx x ( dx) x x x Ú y Ú + x Ú + x + Joule x x I 8 Joule ÖRNEK: i maddesel nokta F yi+ xj N kueti taafından x y 8,, 4 noktasına getiiliyo. u kuetin bu yöünge boyunca yaptığı toplam O noktasından işi hesaplayınız. Koodinatla mete cinsinden ölçülmüştü. paabolü üzeinde x y 8 dx ydy 4 di ydx + x dy Ê ˆ 4 Ê ˆ I ÚdI Ú y dx + x dy y y dy y dy y y x Ú y Ú Á + + y Ë 4 Ú Á y Ë Joule y y I 8 Joule u altı önekten gömekteyiz ki, kuet değiştiğinde hangi yoldan gidesek gidelim yaptığımız iş değişmemektedi. u duumda iş yola bağlı değildi deni. bu duumda kuet konseatifti. Daha genel olaak kapalı bi

27 7 çeim boyunca yapılan toplam iş sıfısa iş yola bağlı değildi deni. Kapalı bi çeim boyunca bi tüe fonksiyonunun integali sıfısa, intgal sonucu elde edilen fonksiyonun gadyentinin otasyoneli sıfı olmalıdı. Yani, φ Ê φ φ φ ˆ Ê φ φ φ ˆ dφ Á dx+ dy+ dz i+ j+ k dxi+ dyj + dzk gad d Ë x y z Ë Á x y z Ú Ú Ú Ú i j k ( φ) Ÿ gadφ Rot gad x y z φ φ φ x y z Ê φˆ Ê φˆ Á yë z zë Á y φ φ yz z y Ê φˆ Ê φˆ Á Á xë z zë x φ φ x z z x Ê φˆ Ê φˆ Á x Á Ë y yë x φ φ x y yx olmalıdı bu takdide dφ tam difeansiyeldi. Şimdi iş ifadesine dönelim I F d F d+ F d Ú Ú Ú I + I di + di di - di - Fdx+ Fdy+ Fdz dφ x y z

28 8 ( x y z ) dφ - Fdx+ Fdy+ Fdz ( x y z ) dφ - Fi+ F j+ Fk dxi+ dyj + dzk φ φ φ dφ dx+ dy+ dz x y z Ê φ φ φ ˆ Á i+ j+ k dxi+ dyj+ dzk Ë x y z gadφ d ( Fi x Fyj Fk z )( dxi dyj dzk) Ê φ φ φ ˆ F Fi x + Fyj + Fk z - Á i+ j+ k - gadφ - φ Ë x y z olaak elde edili. Eğe, i j k x y z F F F x y z y x x ( Fz) ( Fy) ( F ) ( F ) z z z ( Fy) ( Fx) y x ise, φ ile gösteilen bi potansiyel fonksiyonu taif edili. Ú Ú Ú Ú Ú di - di - Fdx+ Fdy+ Fdz dφ x y z Fdx+ Fdy+ Fdz dφ φ -φ x y z Ú

29 9 bulunu. ÖRNEK: i maddesel nokta noktasından (, 4) F yi-xj N kueti taafından paabolü üzeinde O (, ) y x noktasına getiiliyo. u kuetin konseatif olup olmadığını kontol ediniz. Eğe konseatif ise potansiyel fonksiyonunun bulunuz. Kuetin yaptığı işi hesaplayınız. i j k È È È - (-x) i- - ( y) j+ (-x)- ( y) k x y z Í y z Í x z Í x y Î Î Î y -x -k π Kuet konseatif değildi. i potansiyel fonksiyonu bulunamaz. ÖRNEK: i maddesel nokta noktasından (, 4) F yi+ xj N kueti taafından paabolü üzeinde O (, ) y x noktasına getiiliyo. u kuetin konseatif olup olmadığını kontol ediniz. Eğe konseatif ise potansiyel fonksiyonunun bulunuz. Kuetin yaptığı işi hesaplayınız. i j k È È È - (-x) i- - ( y) j+ ( x) - ( y) k x y z Í y z Í x z Í x y Î Î Î y -x Kuet konseatifti. i potansiyel fonksiyonu bulunu. Ê φ φ φ ˆ F yi+ xj - Á i+ j+ k Ë x y z φ - y x φ -y x Ú Ú α φ - y x+ y - C φ -y x+ αy - C φ α - x - x+ y y α α

30 φ -y x C potansiyel fonksiyonudu. u bi eği ailesidi. bu eği ailesi bi hipebol ailesidi. u eği ailesine eş potansiyel eğile deni. Eğe poblem üç boyutlu uzayda eilmiş ise eş potansiyel yüzeyle söz konusudu. u duumda da uzayda eş potansiyel yüzey ailesi söz konusudu. Eş potansiyel eğile boyunca eya eş potansiyel yüzeyle üzeinde yapılan haekette iş yapılmaz. İşin söz konusu olabilmesi için bi eş potansiyel eğiden eya yüzeyden diğe eş potansiyel eği eya yüzeye geçilmesi söz konusudu. noktasından başka Mesela eş potansiyel eğileden hehangi biisi üzeinde olan bi ( 5, 9) bi ( 8. 5, ) yapmaz. ncak bu kuet bu maddesel noktayı noktasından bi ( 3, 3) noktasına bi kuet bi maddesel noktayı götüüse bu kuet hiçbi iş C noktasına götüüse bi iş yapılı. u esnada takip edilen yolun bi önemi yoktu. Yani iş yola bağlı φ - φ joule kadadı. Önek olaak dan C ye değildi. Yapılan iş C bi doğu boyunca gidilsin. Yöünge denklemi, y y y -y ( x x ) C - - xc -x 3-9 y y x ( x )

31 dy dx 5 di ydx + x dy Ê ˆ 3 Ê ˆ I ÚdI Ú ydx + x dy x 96 dx x dx x 5 Ú y 9 Ú Á - + x 5Ë Á 5 Úx 5 Ë ˆ Ê Á x - 96x + x Ë 5 5 x 5 x 5 ( 3 5 ) 96( 3 5) ( 3 5 ) È È Í Joule 5 Í - 5 Î Î I 675 Joule elde edili. ÖRNEK: Dünyanın yüzeyinden bi cisim uzayın sonsuzluğuna bi daha gei dönmemek üzee göndeiliyo. u cismi uzayın sonsuzluğuna götüecek kuetin yapacağı toplam işi bulunuz. di F d M m m R g di K e de d m R g Ú di d R Ú R I m R g - m g R R elde edili. u ifadede K eensel çekim sabitini, R dünyanın yaıçapını göstei. Dünyanın potansiyel fonksiyonu, m R g I φ di. Dünyanın yüzeyinden bi maddesel noktayı sonsuza götümek için yapılacak iş, φ m R g I φ R - m g R

32 olu. ÖRNEK: Dünyanın yüzeyinden bi cisim dünyaya çok yakın e h > h olmak üzee h << R noktasından h << R kada uzaklaştıılıyo. u cismi dünyadan uzaklaştıan kuetin yaptığı işi hesaplayınız. ( + ) ( + ) R+ h -( R+ h) ( R h ) ( R h ) m R g m R g φ( + ) - φ( + ) - m R g R+ h R+ h Í + + I R h R h h -h m R g R h R h h e hr yanında ihmal edileek, φ I φr+ h - R+ h m g h - h m g D h È Î elde edili. m gh e m gh ifadesine maddesel noktanın bulunduğu noktaladakipotansiyel enejisi deni. 3-8 MDDESE NOKTNIN KİNETİK ENERJİSİ i maddesel noktayı hızlandıan eya yaaşlatan hehangi bi kuetin bu esnada yapmış olduğu pozitif eya negatif işin kaşılığı olaak maddesel noktanın depoladığı eya kullandığı işe kinetik eneji deni. i F kueti maddesel nokta üzeine yol boyunca etsin. u maddesel noktanın başlangıçtaki hızı olsun. Yolun sonunda maddesel noktanın hızı değişimi, d di F d m dt m d dt I ÚdI ÚF d ÚÚ md m I ÚdI ÚF d m - ( ) olaak bulunu. φ ( ) ( ) I φr+ h - R+ h m g h - h m -

33 3 yazılaak, m gh + m m gh + m PE + KE PE + KE SİT elde edili. Sonuç olaak sadece gaitasyonel kuetin tesii altında haeket halinde olan o bi maddesel noktanın kinetik enejisi ile potansiyel enejisinin toplamı yöüngesi boyunca sabitti. una enejinin kounumu pensibi deni. ÖRNEK: Kütlei kg olan bi aaba eğilik yaıçapı ρ 5 m olan bi halkanın C noktasından ancak yüzeyi tek etmeyecek kada hızda geçiyo. u aabanın ulaşabileceği h yüksekliğini bulunuz. C C noktasındaki imum hız: m g m ρ 5 g m/s C Enejinin kounumu pensibine göe:

34 4 m g 35+ m 5 g m gh D 5 hd m bulunu. 3-9 YYRD DEPONN ESTİK E ENERJİ i yaya ait kaakteistik yanda olduğu gibi olsun. u kaakteistik he bi biim uzamasına kaşılık yayı geen kuet değei kaydedileek elde edili. una göe yayın geilmiş x boyundan x boyuna kada uzatılması için yaya eilmesi geeken eya diğe bi ifade ile yayda depolanan elastik eneji, Ú x x I F x dx ile hesaplanı. Yapılan iş eya yayda depolanan elastik eneji integalin geometik ifadesine göe yay kaakteistiği eğisi altında kalan alana eşitti. ÖRNEK: Kütlesi kg olan bi blok püüzsüz bi çubuk üzeinde sükûnettedi. İki adet yay bu bloğa e çubuklaın uçlaına bağlanmıştı. Yaylaın geilmesiz boylaı m di. lok şekilde olduğu gibi s. 5 m haeket ettiilip blok sebest bıakılısa s olduğunda bloğun hızını hesaplayınız. m ks + ks ( k+ k ) s m ( + 5) 5. m/s. 369 m/s ÖRNEK: i cisim yaıçaplı bi silindiin tepe noktasına yeleştiiliyo. o nutka kaasız denge noktasıdı. u noktadan haekete başlayan bu cisim kayaak ileliyo. Sütünme olmadığına göe bu cis silindi yüzeyini tek ettiği noktası i, için θ açısını hesaplayınız.

35 5 m g m g cosθ+ m Yüzeyi tek etme kitei: m m g cosθ m g m g cosθ+ m 3 m g m + m m g 3