Otomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Ders Notu

Transkript

1 16 Otomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Des Notu Pof. D. Halit KARABULUT

2 GİRİŞ Dinamik cisimlein kuvvet altında davanışlaını inceleyen bi bilim dalıdı. Kinematik ve kinetik konulaını kapsamaktadı. Kinematik geometik yoldan, yol hız ve ivmenin ilişkisini ele alı. Kinetik ise veilen bi kuvvetin yaattığı haeketin yolu hızı ve ivmesini ele alı. Bunun tesi de olabili. Yani geometik olaak tanımlanmış bi haeketi yaatan kuvvetin belilenmesi de kinetik kapsamına gimektedi. Dinamik bilimi çok kapsamlı bi bilim olup kendi içeisinde alt bölümlee ayılmaktadı. Dinamiğin katı maddele ile ilgilenen dalına katıla dinamiği, sıvıla ve gazla ile ilgilenen dalına akışkanla dinamiği denmektedi. Bu des notu katı cisimle dinamiği üzeine hazılanmıştı. Katı cisimle dinamiği de paçacık dinamiği ve sistem dinamiği olmak üzee iki dala ayılmaktadı. Bu des kapsamında daha çok paçacık dinamiği ele alınacak, bununla bilikte belili ölçüde çok paçalı sistemlede sınılı ölçüde ele alınacaktı. Tek paçadan ibaet olan bi cisim ye değiştime ve dönme olmak üzee iki haeket segileyebili. Ye değiştime umumiyetle yol olaak adlandıılmaktadı. Yol yeine öteleme kelimesi de kullanılmaktadı. Haeketli bi cismin bi koodinat düzenine göe bulunduğu anlık ye tanımlı ise yol belilenebili. Bi cisim bi doğu üzeinde, bi düzlem üzeinde veya üç boyutlu bi uzayda haeket edebili. Eğe doğu üzeinde haeket ediyosa onun haeketine doğusal haeket deni ve bi skala fonksiyon ile tanımlanabili. Bi cisim bi düzlem üzeinde haeket ediyosa onun anlık konumu iki boyutlu bi vektö ile tanımlanabili. Üç boyutlu uzayda haeket eden bi cismin konumunu tanımlamak için üç boyutlu vektö kullanmak geeki. Dönme haeketi de üç boyutlu bi vektö ile tanımlanmaktadı. SI biim sistemi Faklı ülkelede faklı biim sistemlei kullanılmakla bilikte ülkemizde akademik alanda SI olaak adlandıılan uluslaaası bi biim sistemi kullanılmaktadı. Bu biim sistemi ülkemizde patikte de kısmen kullanılmaktadı. Bu biim sisteminde uzunluk, kütle, zaman ve sıcaklık temel büyüklükle olaak kabul edilmektedi. Uzunluğun biimi mete (m), kütlenin biimi kilogam (kg), zamanın biimi saniye (s), sıcaklığın biimi Kelvin ya da santigat (K, C ) olaak seçilmişti. Diğe biimle tüetme biimle olup söz konusu büyüklüğün tanımından belilenmektedi. Matematiksel bi eşitliğin doğu olması için söz konusu eşitliğin he iki taafının biimce aynı olması geekmektedi. Bunun haicinde eşitliğin bi taafında biden çok teim va ise teimlein hepsinin aynı biimi taşıması geekmektedi. SI biim sisteminde açının biimi açının tanımından tüetilise açının temel biimle cinsinden biimsiz bi büyüklük olduğu göülmektedi. SI biim sisteminde bazı büyüklüklein biimleinin temel biimle cinsinden ifadesinin aynı olduğu Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 1

3 göülebili, tok ve işin he ikisinin biimleinin Newton mete olması gibi. Aşağıdaki tabloda dinamik desinde kullanılan belli başlı büyüklükle ve biimlei listelenmişti. büyüklük sembol biim sembolu biim adı uzunluk l, d, s, u m mete zaman t s saniye kütle m kg kilogam sıcaklık T K, C Kelvin, santigad hız V, v, u, w... m / s ivme a m / s kuvvet F kg m / s, N Newton basınç p N / m, Pa Pascal iş ve eneji W, E Nm, J Joule güç P, N J / s, W Watt açı,,,... ad,deg adyan, deece açısal hız, ad / s açısal ivme ad / s Tok T, M Nm Dinamiğin başlangıcı Galileo ya dayanmakla bilikte hâlihazıda mevcut olan dinamik biliminin dayandığı ilkele Newton taafından otaya atılmış olan yasaladı. Newton un pozitif bilimle ile ilgili çok sayıda yasası mevcut olup bunladan hangisinin biinci yasa hangisinin ikinci ya da üçüncü yasa olduğu belili değildi. Dinamik bilimi ile ilgili olanla aşağıdaki paagaflada tanıtılmaktadı. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa

4 Yasa-1: Bi cisme etkiyen kuvvetle bibiini dengelediği süece cisim mevcut statüsünü koumaya devam ede. Dumakta olan cisimle dumaya, haeket etmekte olan cisimle aynı hızla haeket etmeye devam ede. Yasa-:İvmeli haeket yapan cisimlein ivmesi cisme etkiyen net kuvvet ile oantılı olup ivmenin doğultusu ile kuvvetin doğultusu aynıdı. Bu yasa matematiksel olaak F ma edilmekte olup Newton haeket yasası olaak adlandıılmaktadı. şeklinde ifade Yasa-3: Bibiine temas eden cisimlein bibiine uyguladığı etki tepki kuvvetlei şiddetçe bibiine eşit, doğultuca aynı ve yönce zıttı. Yasa-4:Kâinattaki cisimle aasında 1 / F G m m bağıntısına uygun bi çekim kuvveti mevcuttu. Bu bağıntıya Newton çekim yasası denmektedi. Bu ifadede bulunan G ünivesal bi sabit olup değei 11 3 olaak deneysel yöntemle belilenmişti m / kg s cisimlein kütleleini, cisimlein mekezlei aasındaki mesafeyi göstemektedi. m 1ve Yasa-5: Bi cismin kütlesi ile hızının çapımına momentum denmektedi. Hız bi vektö olduğu için momentumda bi vektödü. Momentumun biim zamandaki değişimi haici kuvvete eşitti. d Bu ilişki matematiksel olaak F mv şeklinde veilmektedi. dt Yasa-6:Aalaında yeteince viskoz bi sıvı bulunan iki paalel düz levhadan biisi sabit tutulu diğei paalel olaak sabit hız ile kaydıılısa oluşan kuvvetin biim alana düşen değei u / bağıntısına uymaktadı. Bu bağıntıda bulunan, u ve sıası ile dinamik viskozite, haeketli levhanın hızı ve levhala aasındaki sıvı dolu boşluğun kalınlığıdı. Bu yasanın daha anlamlı bi ifadesi du şeklinde veilmektedi. Akışkanlaın hepsi bu yasaya uymamakta, bu yasaya dy uyan akışkanlaa Newtoniyen akışkan denmektedi. Ye çekimi ivmesi Önceden Fizik desleinde anlatıldığı üzee Ağılık ye küenin üzeindeki ve civaındaki cisimlee uyguladığı bi çekim kuvvetidi. Yukaıda ikinci yasada tanıtılan kuvvet ile dödüncü yasada Gm tanıtılan çekim kuvveti bibiine eşitleneek ye çekimi ivmesi g e olaak elde edili. Bu R eşitlikte m e ye küenin kütlesi olup kg olaak belilenmişti. yaıçapını göstemekte olup değei m olaak veilmektedi. Ye çekimi ivmesi he ne m R ye küenin kada bi sabit olaak muamele göse de tamamen bi sabit değildi. Ye yüzeyinden uzaklaştıkça değei değişi. Ayıca dünyanın çevesel hızının da ye çekimi ivmesi üzeinde etkisi mevcuttu. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 3

5 Ye çekimi ivmesinin standat değei 9.81 okuyucula efeans [1] e bakabilile Noktasal cisim ve yayılı cisim m/ s olaak belilenmişti. Detaylı bilgi için Hacmi sıfı kabul edilebilen cisimlee noktasal cisim denilmektedi. Uzayda bi hacim işgal eden cisme yayılı cisim denilmektedi. Patikte bütün cisimlein hacmi mevcut olmakla bilikte bazı hallede cismin kütlesinin bi noktada toplandığını kabul edeek analiz yapmak mümkündü. Mesela bi cismin kinetik enejisini hesaplaken onun kendi kütle mekezi etafındaki dönme haeketi hesaba katılacaksa o cismi yayılı cisim olaak kabul etmek geeki. Bazı kaynaklada noktasal cisim yeine Maddesel nokta tabii kullanılmıştı. Haici ve dâhili kuvvet Bi cisme civaındaki cisimle taafından uygulanan kuvvetle haici kuvvetledi. Newton yasalaındaki kuvvetle haici kuvvetledi. Atalet kuvveti ise bi dâhili kuvvetti. Boyutla ve boyut analizi Boyut analizi sembolle ile yapılan bi biim analizidi. Bi eşitliğin doğu olması için eşitliğin he iki taafının boyutça homojen olması geekmektedi. Bi olaya iştiak eden paametele aasında basit ilişkile vasa aalaındaki ilişki boyut analizi ile belilenebili. Olaya iştiak eden paametelein sayısı çok ve bi takım belisizlikle vasa boyut analizi yalnız olaya iştiak eden paametele aasında boyutsuz guuplaın oluşmasını sağla ve olayın deneysel olaak daha kolay incelenmesine imkân vei. Olaylaın boyut analizi ile incelenmesi yeteince tecübe geektien bi işti. SI biim sisteminde mevcut olan uzunluk, kütle, zaman ve sıcaklığı temsil etmek üzee L, M, T ve sembollei kullanılmaktadı. Boyut analizinin yapılış tazını izah etmek için bi önek olaak yüksekten sebest bıakılan bi cismin yee düşme hızını boyut analizi ile ele alalım. Önce cismin yee düşme hızının nelee bağlı olabileceği konusunda bi tahmin yüütmek geeki. Vasayalım ki cismin yee düşme hızı; cismin bıakıldığı yüksekliğe, cismin yoğunluğuna ve ye çekimi ivmesine bağlıdı. Bu vasayım V f ( h,, g) şeklinde ifade edili. Sona olaya iştiak eden faktölein aasındaki ilişkinin V K h g a b c şeklinde olduğu kabul edili. Bu eşitlikte bulunan K biimsiz bi sabitti. Bu eşitlikte bulunan büyüklüklein biimlei aşağıdaki gibi sembolle ile ifade edili. m s 1 V L T h m L Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 4

6 kg 3 m 3 M L m s g L T Olaya iştiak eden faktölein aasındaki b L T L M L LT 1 a 3 V K h g c a b c ilişkisi dikkate alınaak şeklinde bi boyut denklemi yazılı. Bu boyut denkleminin kapsadığı sembollein üsleini kıyaslayaak a, b olduğunu göstei. ve T c sabitleinin değelei belileni. M in üsleinin kıyaslaması nin üsleinin kıyaslanmasından c 1 / elde edili. b L nin üsleinin kıyaslanmasından 1 a 3 b c, a 1/ belileni. Buna göe cismin yee düşme hızı V K h g olaak belileni. Bu eşitlikte bulunan K nın belilenmesi için deney yapmak geekmektedi. Eneji çeşitlei Eneji konusu ileide detaylı olaak ele alınacak olmakla bilikte, dinamik desinde konulaın bibiinden tamamen ayıştıılması mümkün olmadığından bu kısımda kısaca bi giiş yapma geeksinimi doğmaktadı. Enejinin; ısı enejisi, potansiyel eneji, kinetik eneji, iç eneji, kimyasal eneji, adyasyon enejisi gibi muhtelif tüleinin olduğunu biliyouz. Fizikte eneji maddenin yoğunlaşmış şekli olaak ifade edilmekte ve kâinattaki eneji ve madde toplamının sabit olduğu kabul edilmektedi. Maddenin enejiye dönüşümünü geçekleştien teknolojile geliştiilmişti. Dinamik desinde bizi ilgilendien daha çok katı cisimlein potansiyel ve kinetik enejileinin toplamı olup, bu toplamın değişimi sütünmesiz olaylada haici kuvvetlein yaptığı işe eşitti. Kinetik eneji hızı olan cisimlein sahip olduğu bi eneji olup büyüklüğü mv / şeklinde ifade edilmektedi. Katı bi cismin toplam kinetik enejisi iki bileşenden ibaet olup bunladan biisi cismin kütle mekezinin ötelemesinden diğei cismin kendisinin kütle mekezi etafında dönmesinden kaynaklanmaktadı. Safi dönme nedeni ile kinetik enejiye sahip olan cisimle de mevcuttu. Moto volanlaı buna önek olaak gösteilebili. Potansiyel eneji cisimlein ye seviyesine göe konumu ya da esnek cisimlein esnemesi nedeni ile cismin üzeinde toplanan bi enejidi. Yaylaın sıkışması sonucu yay üzeinde toplanan eneji bi potansiyel enejidi. Bazı dinamik olaylada cisimlein sahip olduğu kinetik ve potansiyel enejilein toplamı sabit kalmakta ancak biinden diğeine peiyodik dönüşümle olmaktadı. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 5

7 Sütünme ve yavaşlama Belili bi hız ile haeket eden bi cismi yavaşlatmak veya dudumak geektiğinde onun sahip olduğu kinetik ve potansiyel enejiyi ısı enejisine dönüştüeek atmosfee atmak geeki. Bu iş patikte en çok sütünme ile geçekleştiilmektedi. Taşıtlaın fen mekanizmalaı kinetik ve potansiyel enejiyi sütünme yolu ile ısıya dönüştüen sistemledi. Sütünme; kuu sütünme ya da hidodinamik sütünme olabili. Kuu sütünme katı cisimlein sütünmesidi. Hidodinamik sütünme akışkanlaın viskoz özelliği nedeni ile geçekleşen bi sütünmedi. Kuu sütünmenin yaattığı kuvvet ile ilgili olaak veilen en basit matematiksel ilişki F p A d şeklinde veilen Coulomb yasasıdı. Bu yasada bulunan d boyutsuz biimsiz bi paamete olup sabit olaak kabul edilmektedi. Aslında sütünen yüzeylein bibiine göe ölatif hızlaına kısmen bağımlıdı. A ve p haflei sıası ile sütünen yüzeylein alanını ve temas basıncını göstemektedi. Hidodinamik sütünmenin yaattığı kuvvet F cv şeklinde basit bi ilişkiye indigenebilmekte olup bu ilişkide c bi sabit, v haeketli yüzeyle aasındaki hız fakıdı. Kinetik ve potansiyel enejiyi manyetik sütünmele ile ısıya dönüştüen sistemlede mevcuttu. Haeket halindeki manyetik cisimle civadaki iletken malzemele içeisinde elekton akımlaı yaataak dolaylı yoldan kinetik ve potansiyel enejiyi ısıya dönüştümektedi. Bi taş paçası hava içeisinde sebest bıakıldığında gittikçe atan bi hız ile yee doğu ilele. İleleken hız attıkça çevedeki hava ile olan etkileşim nedeni ile ivmesi azalı. Bu demekti ki ivme ile hız aasında bi ilişki mevcuttu. Aynı taş paçası bi su ezevine bıakılısa taşın hızı ataken ivmesinin azalması daha çabuk olacak ve taş belili bi hızdan sona sıfı ivme ile düşmeye devam edecekti. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 6

8 BÖLÜM 1 ÖTELEME HAREKETİ YAPAN PARÇACIKLARIN KİNEMATİĞİ Bi koodinat düzenine göe haeket halindeki bi cismin anlık yeinin tanımlanması ve bu tanımlamadan faydalanaak söz konusu cismin hızının, ivmesinin ve cisme etkiyen kuvvetlein belilenmesi kinematik analiz olaak adlandıılmaktadı Doğusal haeket Öteleme, hız ve İvme aasındaki ilişkile Noktasal bi cisim doğusal bi yöünge üzeinde haeket ediyosa bu haekete doğusal haeket denmektedi. Doğusal haeketin zuhu ettiği düz çizgi üzeinde tek boyutlu bi koodinat düzeni kuulaak cismin bulunduğu ye s f () t (1.1) şeklinde tanımlanabili. Aşağıdaki şekilde koodinat düzeni tanıtılmaktadı. (-) (+) o s Şekil 1.1 Doğusal haeketin koodinat ile gösteimi Doğusal haekette öteleme, hız ve ivmeyi vektö olaak göstemek zounlu değildi. Öteleme ile zaman aasındaki ilişki veilmiş ise hızı s ds v lim s t t dt (1.) şeklinde bi limitleme ile hesaplamak mümkündü. Öteleme pozitif yönde olduğu süece hız pozitif, öteleme negatif yönde olduğu süece hız negatif olacaktı. Önek1.1 Doğusal haeket yapan bi cismin yei 3 s t t ile veiliyo. t 5. iken hızı belileyiniz. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 7

9 Çözüm Cismin5. ve 5.1 s de aldığı yolla kullanılaak s aalığındaki otalama hız s(5.1) s(5.) v m / s olaak hesaplanı. Cismin 5. ve 5.1 s de aldığı yolla kullanılaak otalama hızı s(5.1) s(5.) v m / s olaak hesaplanı. Cismin 5. ve 5.1 s de aldığı yolla kullanılaak otalama hızı v m / s olaak hesaplanı. Bu işleme limitle denmekte olup Hızın 77 m/s ye yukaıdan yaklaştığı göülmektedi. Eşitlik (1.) aynı zamanda tüevin tanımı olup hız d 3 v t t 3t dt şeklinde ifade edilebili. Bu eşitlikten hız v m / s olaak belileni. Doğusal haekette ivme v dv d ds d s a lim s t t dt dt dt dt (1.3) şeklinde ifade edilebili. Eğe hız ile zamanın ilişkisi veilmiş ise veilen bağıntının zamana göe tüevi alınaak ivmeyi veecek olan ilişki belileni. Eğe yol ile zamanın ilişkisi veilmişse adı sıa iki kee tüev alaak ivmeyi hesaplamada kullanılacak olan bağıntı elde edili. Eşitlik (1.) ve (1.3) ü ds dt s dv adt şeklindedüzenledikten sona taaf taafa böleek Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 8

10 ds s ds v (1.4) dv a dv a elde edili. Eğe ivme sabitse son eşitlik 1 s v A a (1.5) şeklinde çözülebili. Uygun sını şatlaı kullanılaak integal sabiti A yok edilebili. Mesela duağan halden haekete geçen bi cisim için v, s sını şatı kullanılabili. Bu duumda A= olu ve son eşitlik v as (1.6) şeklinde düzenlenebili.son eşitlikte bulunan yeine ye çekimi ivmesi, yüksekliği yazılısa sebest düşme fomülü olaak adlandıılan a s yeine düşme v gh (1.7) elde edili. Belili bi hızla ileleken sabit ivme ile yavaşlayan bi cisim için v v, s şatı kullanılabili. Bu duumda eşitlik (1.5) ten 1 A v a belileni. A nın bu değei eşitlik (1.5) e yazılaak s elde edili. v v a (1.8) Bazı cisimlein haeketi sıasında hız ile ivme, hız ile yol veya yol ile ivme aasında bi takım ilişkile olabili. Mesela bi otomobil hızlanıken üzgâ dienci ataak ivmenin azalmasına sebep olu. Yüksekten bıakılan bi cisim düşeken hızlanı. Hızlandıkça ona etkiyen hidodinamik dienç ataak ivmesinin azalmasına sebep olu. İvme ile hız, ivme ile yol ya da yolile hız aasındaki ilişki tanımlanabiliyosa eşitlik (1.4) ün çözümü mevcuttu. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 9

11 Önek 1. Kütlesi 15 kg olan bi otomobil 9 km/h hızla gideken fenleyeek sabit ivme ile yavaşlayaak duuyo. Otomobilin 45 m mesafede duması isteniyo. Tekeleklede oluşan sütünme kuvvetini belileyiniz. Taşıtın duma süesini belileyiniz. Fenlenme süesince oluşan ilişkisini belileyiniz. Çözüm Aacın ilk hızı v 9 5. m / s 36 s f () t olaak belileni. Aaç duduğu zaman ivme v, s 45 m olacaktı. Bunla eşitlik (1.8) ye yazılaak a m / s a 9 olaak ede edili. Tekeleklede oluşan fen kuvveti F ma N olaak belileni. Haeketin genel denklemi aşağıda tüetilmişti. İvmenin tanımından ds dt yazılı. İntegalleyeek ds 6.944t C dt 1 elde edili. Fenlemenin ilk anında hız 5 m/s olduğu için C1 5 olaak belileni. Son eşitlik ds v 6.944t 5 dt şeklinde düzenleni. Son hızın sıfı olduğu dikkate alınaak fenleme süesi son eşitlikten 3.6 s olaak belileni. Son eşitliği teka İntegalleyeek t s t C Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 1

12 elde edili. Fenlemenin ilk anında yol sıfı olduğu için denklemi C olacaktı. Bu duumda haeketin t s t olu Şekil 1. de ivme ve hızın zamana kaşı gafiklei veilmektedi. Şekil 1..a da göülen sık çizgile ile taalı şeidin yüksekliği a genişliği dt olup alanı yaklaşık olaak da adt şeklinde hesaplanabili. Haeketli bi cismin hızında dt süesi içeisinde oluşan değişme adt ile A V V olduğu açıktı. AB eğisinin altında kalan ifade edilebili. Bu duumda da dv yada alanın tamamı süesi içeisinde cismin hızının değişimine eşitti. AB eğisinin altında kalan alan ve hız eğişimi t v D B A dt t t C dt t t (a) (b) Şekil 1. Hız ve yolun gafik hesabı t A v v a dt (1.9) şeklinde hesaplanabili. Buada t anı haeketin başlangıç anı değil belili bi efeans değeidi. Şekil 1..b de göülen sık çizgile ile taalı şeidin genişliği dt yüksekliği v di. Şeidin alanı da vdt Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 11

13 olu. Haeketli bi cismin dt süesi içeisinde aldığı yol v dt olduğu için son eşitlikte da ds olduğu açıktı. Şekil 1..b de CD eğisinin altında kalan alan haeketli bi cismin t süesi içeisinde aldığı yoldu. Bu yol t A s s vdt (1.1) şeklinde hesaplanabili. Son eşitlikte bulunan t gösteilmektedi. Buada sabit ise eşitlik (1.9) ve (1.1) s ile cismin t dan önce aldığı yol haeketin başlangıcı değil belili bi efeans değedi. Eğe ivme v v at (1.11) t s s v at dt 1 s s v t at (1.1) şeklinde düzenlenebili Önek 1.3 Bi taşıtın biinci vitesteki ivmesi 5 m/ s, ikinci vitesteki ivmesi 3 m/ s, üçüncü vitesteki ivmesi m/ s, dödüncü vitesteki ivmesi 1 m/ s, beşinci vitesteki ivmesi m/ s olaak veiliyo. Taşıtın 3 saniye aa ile vites değiştidiğini kabul edeek 3 saniyede alabileceği yolu hesaplayınız. Çözüm Biinci viteste kazandığı hız ve aldığı yol v m / s s /.5 m İkinci viteste kazandığı hız ve aldığı yol v m/ s 3 s m Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 1

14 Üçüncü viteste kazandığı hız ve aldığı yol v m/ s s Dödüncü viteste kazandığı hız ve aldığı yol v m / s m s m Beşinci viteste aldığı yol s m olaak hesaplanı Aynı doğu üzeinde bağımlı haeket yapan cisimleinkinematik ilişkilei Şekil 1.3a dabi gemi ve gemi içinde gemi ile aynı doğultu ve yönde haeket eden bi adamın aldığı yolla kıyaslamalı olaak gösteilmektedi. A hafi gemiye sabitlenmiş bi noktayı göstemektedi. B hafi adamı göstemektedi. Başlangıçta hem A noktası hem de adam aynı yede bulunmaktadı. Bi süe sona A noktası geminin haeketi ( ) kada yol alacaktı. Aynı x A Adamın gözlemciden uzaklaşması (XB) B A Geminin aldığı yol (XA) Adamın gemide aldığı yol (XB/A) A' B' Gemi dışındaki sabit gözlemci Şekil 1.3a Aynı doğultuda bağımlı haeket yapan cisimle süe içinde adam gemiye sabitlenmiş olan A noktasından ( x B/ A) kada uzaklaşacaktı. Adamın geminin dışındaki gözlemciden toplam uzaklaşma miktaı Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 13

15 x x x (1.13) B A B/ A şeklinde ifade edilebili. Bu eşitlikte bulunan Son eşitlikten tüev alaak hız ve ivme için B A B/ A x BA / yadımcı bi koodinat olaak kabul edilebili. v v v (1.14) a a a (1.15) B A B/ A eşitliklei elde edili. Önek 1.4 Bi gemi a a t / t ivmesi ile,gemi üzeinde bulunan bi cisim gemi üzeinde bulunan sabit bi noktaya göe b b t / t elatifivmesi ile haekete geçiyo. Cismin haeket doğultusu geminin doğultusu ile aynıdı. Hem cisim hem de gemi için pozitif yön batıdan doğuyadı. Boyutsuzlaştıma sabitlei a m s, b m s, t 1 s olaak veiliyo. Geminin ve cismin 1 / haeketinin zaman-yol ilişkileini belileyiniz. Çözüm Geminin ötelemesi 1 / a a t t dx A a dt t t dx dt A a t t 3 3/ C 1 t, v, C 1 x A 5/ a 4t t 15 C Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 14

16 t, x, C A x A a t 4t 15 5/ Cismin gemi üzeindeki elatifötelemesi b b t t d x b B/ A t dt t dx b t dt 3 B/ A t 3 C 1 dx BA / t,, C1 dt dx b t dt 3 B/ A t 3 x b t t 1 4 C B/ A t, x, C BA / x 4 b t t 1 B/ A olu. Cismin toplam öteleme miktaı (gemi dışaısındaki sabit bi gözlemciye göe) a 4t b t / 4 B A B/ A t t x x x olaak belileni. Son eşitliğin gafiği aşağıda veilmektedi. İlk.17 saniyelik süe boyunca gemi dışındaki gözlemci cismin batıdan doğuya gittiğini, sona doğudan batıya gitmeye başladığını gömektedi.( Öğencilein gafik çizmeyi öğenmelei geekmektedi.) Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 15

17 Aynı doğu üzeinde bağımsız haeket yapan cisimlein kinematik ilişkilei Şekil 1.3b de aynı doğu üzeinde bibiinden bağımsız haeket eden iki paçanın bibiine göe konumlaı göülmektedi. He iki paça aynı noktadan haekete başlamaktadı. XA XB A XB/A B Şekil 1.3b Aynı doğultuda faklı hız ve ivme ile haeket eden paçala Paçalaın ötelemelei aasındaki ilişki x x x B A B/ A şeklinde ifade edilebili. Bu eşitlikte bulunan x BA / yadımcı bi koodinat olaak kabul edilebili. x BAnın / önündeki işaet pozitif ise A üzeinde haeket etmekte olan bi gözlemci B nin sağa doğu haeket ettiğini, / x BA göü. Son eşitlikten tüev alaak nın önündeki işaet negatif ise B nin sola doğu haeket ettiğini v v v B A B/ A a a a B A B/ A eşitliklei elde edili. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 16

18 Önek 1.5 Aynı noktadan haekete başlayan iki taşıttan biincisi (A taşıtı) a a t / t ivmesi ile, ikincisi (B taşıtı) b b t / t, t 1 ivmesi ile haeket ediyo. Boyutsuzlaştıma sabitlei s a 1 / m s, b 1 m / s olaak veiliyo. Taşıtlaın haeketinin zaman-yol ilişkileini belileyiniz. B taşıtının A ya göe konumunu, hızını ve ivmesini belileyiniz. Çözüm A taşıtının ivmesi dx A a dt t t ş şeklinde veilmektedi. Hızı dx dt A a t t 3 3/ C 1 olu. t, v, sını şatı impoze edileek C1 olaak belileni. Son eşitlik teka integallendiğinde A taşıtının yei x A a t 4t 15 5/ C olaak belileni. t, x A, sını şatı impoze edileek C belileni. B taşıtının ivmesi dx B b dt t t olaak veilmektedi. Hızı dx dt B b t t 3 3 C 1 Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 17

19 dx olu. t, B, sını şatı impoze edileek C 1 olaak belileni.hız dt dx dt B b t t 3 3 olu. Son eşitlik teka integalleneek B taşıtının yei x B 4 b t C t 1 olaak belileni. t, x B, sını şatı impoze edileek elatif konumu, C belileni. B taşıtının A ya göe b t 4t 4 5/ B/ A B A t 1 t 15 x x x a x B b t a 4t xa t 4 5/ 1 t 15 olu. Aşağıdaki gafikten göüldüğü üzee t.17 iken paantezin içeisi negatifti. Bu duumda A dan bakıldığında B nin sola (gei haeket ettiği) gittiği göülecekti. t.17 olduğunda A dan bakıldığında B nin sağa gittiği göülü. B nin A ya göe elatif hızı ve ivmesi, dx b t a t dt t t 3 3/ B/ A 3 3 d xb/ A b a t dt t t t olaak belileni. Aşağıdaki gafikte / x x x nın zamanla değişimi göülmektedi. İlk.17 B A B A saniyelik süe içinde B den bakıldığında A nın gei gittiği anlaşılmaktadı. Zaman.17 saniye olduğunda he iki taşıt yan yana gelmekte sona B taşıtı A yıgeçmektedi. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 18

20 ,8,6,4, -, -,4,5 1 1,5,5 3 Faklı doğultulada Bağımlı haeket eden paçalaın kinematik ilişkilei Şekil 1. 4 de bibiine bağlı olaak haeket eden iki cisim göülmektedi. A noktası ipin bi ucunun bağlandığı sabit bi noktadı.b noktasında sebest bi makaa bulunmaktadı. C noktasında sabit bi makaa bulunmaktadı. D noktasında ipin diğe ucunun bağlandığı elektikli bi haeket kaynağı bulunmaktadı. Elektikli haeket kaynağı ok yönünde gideken m kütlesini yukaı doğu çekecekti. İpin toplam uzunluğu sabit olduğuna göe x A x D C (1.16) yazılabili. Adı sıa iki kee tüev alaak hız ve ivme için XD A C D XA B m Şekil 1.4 Faklı doğultulada bağımlı haeket segileyen paçala Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 19

21 dx dx A D (1.17) dt dt d x d x A D (1.18) dt dt ilişkilei elde edili. Bu sistemde doğusal haeket yapan iki paça mevcut olup biinin haeketi diğeine bağlı olduğu için bu tü sistemlee bi sebestlik deeceli sistem denilmektedi. İki ve daha çok sebestlik deeceli sistemlede mevcuttu. Şekil 1.5 te iki sebestlik deeceli bi kaldıma düzeneği göülmektedi. A ile gösteilen eleman bi haeketli makaa, B ve C ile gösteilen elemanla sabit makaaladı. E ve D ile ay üzeinde kayan elektikli haeket kaynaklaı gösteilmektedi. Elektikli haeket kaynaklaından bii sabitken diğei haeket edese sistemin sebestlik deecesi bi olu. Elektikli haeket kaynaklaının ikisi biden haeket edese sistemin sebestlik deecesi iki olu. XB XA D B A E XC C m Şekil 1.5 iki sebestlik deeceli bi kaldıma düzeneği EACBD İpinin toplam uzunluğu sabit olduğuna göe x x x C (1.19) A C B olu. Son eşitlikten adı sıa iki kee tüev alaak hız ve ivmelein aasındaki ilişkile Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa

22 dx dx dx A C B dt dt dt (1.) d x dxc d x A B (1.1) dt dt dt olaak belileni Önek 1.6 Şekil 1.5 te göülen E ve D çekicilei sıası ile etmektedi. a 1 / m s, b 1 / m s, t 1 t aa 1 t s 4 ve b b e 5/ tt ivmelei ile haeket olaak veiliyo. He iki çekici biden haeket ettiileek m yükü yukaı kaldıılıyo. Kaldıma işleminin zaman-öteleme ve zaman- hız gafikleini çiziniz. Çözüm E çekicisinin öteleme denklemi dxa dt t a 1 t 4 dx A dt a t t t 3 C t, v A C a t 1 3 dx A dt a t t t 3 a t x a t t t a t t C A 3 3 t, x A 4 Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 1

23 C 1 a t x a t t t a t t a t A olaak belileni. D çekicisinin öteleme denklemi dx B dt be 5/ tt dx B tb e dt 5 5/ t t C 1 tb t, v C B 1 5 dx B t b t b e dt 5 5 5/ t t t b 5/ tt t b x e t C B 5 5 tb t, x, C B 5 t b t b t b x e t B / tt olaak belileni. Eşitlik (1.) kullanılaak dx dx dx dt dt dt t b 5/ tt t b e 5 5 C A B a t t t a t elde edili. Eşitlik (1.19) kullanılaak 1 1 x C x x C A B t b 5/ tt t b t b 1 a t t t a t t a t e t Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa

24 elde edili. Son eşitlikte C nin değei 1 olaak seçilmişti. Aşağıdaki şekilde hız ve ötelemenin gafiklei veilmişti. Hızın negatif değele almasının sebebi olmasıdı. x A ve x B ataken x C nin azalan -,1 -, -,3 -, , Katezyen koodinat sisteminde eğisel haeket Ye vektöü, hız ve ivme Haeket bi eği üzeinde oluyosa bu tü haeketlee eğisel haeket denmektedi. Eği bi düzlemde veya uzayda olabili. Böyle bi haeket söz konusu olduğunda haeket eden cismin yeini bi vektö ile göstemek geeki. Cismin yeini göstemek için çizilen vektöün başlangıç noktası bi x,y,z koodinat sisteminin oijini olabili. Ye vektölei xi yj zk (1.) şeklinde ifadeledi. Bu eşitlikte bulunan x,y,z büyüklüklei zamana bağlı olaak değişim göstei. Son eşitliği xti y t j z tk (1.3) şeklinde yazmak daha doğu olu. Bu tü ilişkilee paametik denklem denmektedi. anındaki yei t vektöünün oklu ucundan t t Bi cismin t t vektöü ilet t anındaki yei t t vektöü ile gösteilsin. vektöünün oklu ucuna çizilen bi vektöü cismin süesi içeisinde yeinindeğişmesini gösteecekti. Bu üç vektöün aalaındaki ilişki t t t (1.4) t Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 3

25 şeklinde yazılı. Şekil 1.6 da bi ye vektöünün vektöünün değişimi sıfıa gideken Bu ilişki matematiksel olaak nin t t süesi içeisindeki değişimi göülmektedi. Ye ye oanı cismin vektöel olaak hızını vemektedi. V t t t d lim lim t t t t dt (1.5) şeklinde veilmektedi. vektöünün skala değei s ile gösteileek hızın skala değei V s ds lim t t dt z (1.6) x (t+t) (t) A B y Şekil 1.6 Ye vektöünün değişimi şeklinde ifade edilmektedi. Benze şekilde ivme için dv a (1.7) dt tanımlaması yapılabili. Vektö fonksiyonlaı ve tüev kuallaı Bu deste vektö fonksiyonlaının tüevlei sıkça kullanıldığı için tüev almada uyulması geeken kualla buada tanıtılmaktadı. Bi cismin ye değiştimesi i j k x y z (1.8) Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 4

26 şeklinde bi vektö ile gösteilebili. Bu eşitlikte bulunan x, y ve z cismin x, y ve z doğultusunda aldığı yolladı. Bu yolla bi skala değişken olan zamanın fonksiyonudu. Dolayısı ile son eşitliği () t t i t j t k (1.9) x y z şeklinde ifade etmek geeki. Son eşitlik şeklinde veilen ifadelee vektö fonksiyonlaı denmektedi. Yukaıda paametik denklem olaak tanıtılan eşitlikte bi vektö fonksiyonudu. Eşitlik (1.9) tek değişkenli bi vektö fonksiyonudu.,,,, t u t u i t u j t u k (1.3) x y z şeklindeki fonksiyonla iki değişkenli vektö fonksiyonu olaak adlandıılı. Üç ve daha çok değişkenli vektö fonksiyonlaı da mevcuttu. Bu des kapsamında yalnız tek değişkenli fonksiyonlaı göülecekti. Tek değişkenli vektö fonksiyonlaını geometik olaak göstemek mümkündü. Bunlaın geometik tanımı düzlem veya uzay eğileidi. olsun. P t nin t ye göe tüevi P t bi vektö fonksiyonu dp dt P t t P t lim t t (1.31) şeklide veilmektedi. Vektö fonksiyonu P Pi P j Pk şeklinde veilmiş ise bunun tüevi x y z dp dp dp x y dpz i j k (1.3) dt dt dt dt şeklinde veilmektedi.göüldüğü üzee bu tüev skala fonksiyonlaın tüevine benzemektedi. İki vektö fonksiyonunu toplamının tüevi d P t Q t dp dq (1.33) dt dt dt Bi skala ile çapılmış bi vektö fonksiyonunun tüevi d f () t P t df dp P f (1.34) dt dt dt Vektölein skala çapımının tüevi Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 5

27 d P t Q t dq dp P Q (1.35) dt dt dt Vektölein vektöel çapımının tüevi d P t Q t P dq dp Q (1.36) dt dt dt olu. Statikten bilindiği üzee vektöel çapımda çapanlaın yeleinin değiştiilmesi mümkün değildi. Önek 1.7 Bi cisim düzlemsel bi yüzey üzeinde bulunan bi daie üzeinde sabit bi açısal hız ile dönmektedi. Uygun bi x,y koodinat sistemi oluştuaak cismin yeini ye vektöü ile tanımlayınız. Oluştuduğunuz ye vektöünü kullanaak cismin hız ve ivme vektöleini tanımlayınız. Ye, hız ve ivme vektöleinin skala değeleini hesaplayınız. Çözüm Cismin üzeinde döndüğü daienin mekezini x,y koodinat sisteminin oijini olaak kabul etmek en avantajlı koodinat düzenlemesi olaak göülüyo. Dönme haeketi aynı zamanda açısal bi haeket olduğu için cismin ye vektöünün x ve y bileşenleini tigonometik ilişkile kullanaak belilemek geekmektedi. Önce belili bi doğultuyu efeans kabul edeek cismin açısal konumunu tanımlamak sonada bu açısal konumu kullanaak tigonometik yoldan ye vektöünün x ve y bileşenleini yazmak geekmektedi. Aşağıdaki şekilde koodinat düzenlemesi ve cismin keyfi bi açısal pozisyonu gösteilmişti. y x y x Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 6

28 Yukaıdaki şekle göe cismin ye vektöü xi yj cosi sin j şeklinde yazılabili. Cismin dönme hızı sabit olduğu için açı ile zaman aasındaki ilişki şeklinde yazılabili. Bu duumda son eşitlik cost i sint j olu. Son eşitlikten ye vektöünün skala uzunluğu cos sin t t t olaak belileni. Bi daie üzeinde dönen bi cismin yukaıdaki koodinat sistemine göe koodinat oijininden uzaklığının hep aynı kalacağı aşikadı. Ye vektöü zamana göe tüetileek hız vektöü V sint i cost j olaak elde edili. Cismin hızının skala değei sin cos V t t olaak hesaplanı. Hız vektöü zamana göe tüetileek ivme vektöü a cost i sint j olaakbelileni. Cismin ivmesinin skala değei cos sin a t t olaak belileni. Yukaıda da belitildiği üzee cisim daie üzeinde sabit bi hızla dönmekte olup daieye teğet ivmesinin sıfı olduğu açıktı. Buada belilenen ivme yaıçap doğultusunda bi ivme olup mekezkaç kuvveti yaatan ivmedi. Önek 1.8 Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 7

29 t t i t j k şeklinde bi vektö fonksiyonu ile 4 t Bi noktanın haeketi cos sin veilmektedi. Sabit değele: 5 ad / s, fonksiyonun gafiğini çiziniz. Çözüm x cos5t y sin5t z t 4 t 1 m, t 1 s olaak veiliyo. Veilen eşitlikleinde ye dan başlayaak küçük aalıkla ile atan değe veileek x, y ve z nin değelei elde edili. Sona bu elde edilen değele x, y, z koodinat sistemine işleneek aşağıdaki şekil elde edili Önek 1.9 Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 8

30 Bi cismin ye değiştimesi t 1. Çözüm 3 t t t t i j j vektö fonksiyonu ile veiliyo. t t t için cismin hızını vektö olaak belileyiniz. Sabitle: d V t i j t k dt t V t i j 3k 3 3 t t 1 m, t 1 s olaak veiliyo Önek 1.1 Bi cisim A(,,) noktasında dumakta iken a a t sint i a t cos t j a t k ivmesi t t t ile haekete geçeek bulunduğu yeden uzaklaşıyo. Sabitle a 1 / 1 ad / s olaak veiliyo. Cismin hız ve öteleme vektöleini belileyiniz. Çözüm m s, 1 t s a t t i a t t j a t k d sin cos dt t t t d a t a 1 a t a 1 cost sint C i sin t cos t C j 1 dt t t t t a t 3 3/ t C k 3 Zaman sıfıken hız sıfı olduğu için a 1 C, C, C olu. Hız vektöü 1 3 t d a t a 1 a t a 1 a 1 cost sint i sin t cos t j dt t t t t t a t 3 t 3/ k Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 9

31 olaak belileni. Son eşitliğin integali alınaak ye vektöü a t a sint cost C 3 1 i t t a t a a t a 4 5/ cost sint C j t C k 3 3 t t t 15 t olaak belileni.zaman sıfıken x, y, z olduğu için integal sabitlei a C, C, C olaak belileni. Ye vektöü yeniden t a t a a a t a a t sint cost i cos t sin t j t t t t t t a t 4 15 t 5/ k şeklinde düzenleni. Ye değiştime ve hız gafiklei aşağıdadı. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 3

32 1.3 Eğisel koodinatlada kinematik bağıntıla Bi düzlem eğisi ya da uzay eğisi üzeinde haeket eden bi noktasal cismin haeketini kinematik yönden tanımlamada kullanılan koodinat düzenleinden biiside eğisel koodinat düzenidi. Eğisel koodinat düzeni olaak adlandıılan düzenleme daiesel koodinat düzeni, silindiik koodinat düzeni ve küesel koodinat düzenini içeisine aldığı gibi bi paçacığın üzeinde haeket ettiği eğiye özel bi koodinat düzenlemesi de olabili. Bu tü koodinat düzenleine teğet ve dik eksenli eğisel koodinat sistemi denmektedi.eğisel koodinat düzenlei daha çok hız ve ivme aasında ilişki kumak için kullanılmaktadı. Daiesel, silindiik ve küesel koodinat sistemleine pola koodinat sistemlei de denmektedi. Pola koodinat sistemleinin koodinat bileşenleinden en az biisi açıdı. Bu sebeple bu koodinat sistemleinde değei sabit biim vektöle tanımlamak mümkün olmamaktadı. Bu yüzden haeketli noktalaın yeini tam tekmil bi vektö fonksiyonu ile tanımlamak mümkün değildi. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 31

33 Teğet ve dik eksenden oluşan koodinat sisteminde kinematik bağıntıla Bi düzlem eğisi üzeinde geçekleşen bi eğisel haeketi incelemek için kullanılan bi teğet ve bi dik eksenden oluşan koodinat düzeni Şekil 1.7 dekine benze bi düzenlemedi. Koodinat sisteminin dik ekseni eğilik mekezine doğu yönlendiilmektedi []. Bi eği üzeinde bulunan bi ye efeans alınaak eği üzeinde haeket eden bi cismin yei şeklinde skala bi fonksiyon ile tanımlanabili. Paçacığın skala hızı ds v dt olacaktı. s f () t (a) yöünge (b) nomal koodinat n teğet koodinat t' A d ds B yöünge v(t+t) v(t) Şekil 1.7 teğet ve dik eksenden oluşan koodinat sistemi Yukaıdaki şekle göe A noktasından B noktasına giden bi paçacığın hızı ds d olu. Bu dt dt bağıntıda bulunan eğilik yaıçapı olup Mat-1 desinde şeklinde tanımlanmıştı. Paçacığın hızı vektöel olaak t t 3/ 1 dy d y 1 dx dx v e ve (1.37) şeklinde tanımlanabili. Bu eşitlikte bulunan e t teğet doğultudaki biim vektödü. Bu biim vektö eğiye teğet kalmaktadı. Biim vektöün diğe bileşeni e n olup yönü dik koodinat elemanı in yönü ile aynıdı. Eğinin doğultusu değiştikçe biim vektöün doğultusu da değişmektedi. Son eşitlikten tüev alaak ivme n Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 3

34 Otomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Des Notu d vet a vet vet (1.38) dt şeklinde belileni. Bu eşitlikte bulunan e t nin biim vektöle kuulabilmesi için Şekil 1.8 de göülen geometik ilişkile kullanılabili. e t ve e n ile ilişkisinin y i j en j et yöünge i x Şekil 1.8Eğisel ve Katezyen koodinat sisteminin biim vektölei Teğet biim vektöün Katezyen biim vektölei ile ilişkisi et cos i cos j cos i sin j (1.39) şeklinde olu. Nomal biim vektöün Katezyen biim vektöle ile ilişkisi en cos j cos i sin i cos j (1.4) şeklinde olu. Son iki eşitliğin zaman tüevlei e sin i cos j t (1.41) e cos i sin j n (1.4) olu. Eşitlik (1.39) ve (1.4) dan cos sin i et sin cos j e n (1.43) Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 33

35 matiks denklemi elde edili. Matiks denklemden i e cose t n sin j e cose sin n t (1.44) (1.45) elde edili. Bunlaı yukaıdaki (1.41) ve (1.4) denklemleine yazaak e e t n e n e t (1.47) (1.48) elde edili. Eşitlik 1.38 ile veilen ivme v a ve v e ve e ve e t n t n t n (1.49) olaak belileni. Haeket düz çizgi üzeinde ise ivme v dv a ve e e t n t dt (1.5) olaak kısalı. Haeketin skala hızı tek düze ise Eşitlik (1.49) dan a v e n (1.51) göülü. Buadan çıkatılması geeken des ivmenin; cismin skala hızının değişmesinden ve cismin doğultu değiştimesinden olmak üzee iki sebebinin mevcut olduğudu Önek 1.11 Bi cisim y y x eğisi üzeinde sabit bi teğet ivme a ile haeket ediyo. Cismin mekezcil x ivmesini belileyiniz. ile başlamaktadı. x 1 m, y 1 mveilmektedi. Haeket x noktasından v hızı Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 34

36 Çözüm Skala teğet hız v a t (a) olu. Cismin bi t süesi içeisinde aldığı yol s a t olu. Eği uzunluğu (b) x y 1 (c) x s x dx olu. Son iki eşitlikten 1/ x y 1 (d) x t x dx a elde edili.nomal ivmenin skala değei eşitlik (1.49) göe a n v at x y x y x 3/ (e) a n x y x (f) 3/ x y x y x a 1 x dx olaak belileni. Sabitlein değelei yeine yazılaak Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 35

37 4a x 4a x an 1 4x dx 1 4 d 3/ 3/ 14x 1 4x (g) elde edili. Son eşitlikte bulunan integal sayısal olaak yada analitik olaak çözülebili. Aşağıdaki EGRI adlı pogam bu denklemin sayısal çözümüdü. a 5 m / s kabul edileek aşağıdaki gafik elde edilmişti. X in küçük değeleinde nomal ivme küçüktü. Bunun sebebi hızın küçük olmasıdı. X in büyük değeleinde yine nomal ivmeküçüktü bunun sebebi de eğilik çapının çok büyümesidi Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 36

38 Daiesel koodinat sisteminde kinematik bağıntıla Daiesel koodinat sisteminin koodinat elemanlaından biisi yaı çap diğei açıdı. Daiesel koodinat sistemine düzlem-pola koodinat sistemi de denmektedi. Açının başlama noktası umumiyetle yatay çizgidi. Açının pozitif atış yönü tes saat yönü olaak seçilmektedi. Şekil 1.9 da daiesel koodinat sisteminin elemanlaı ve biim vektöle gösteilmişti. Daiesel koodinat sisteminde biim vektöle e ve e olup bunla adyal doğultuda değişmemekle bilikte açısal doğultuda he ikisi de değişmektedi. Bu sebeple ve e biim vektöleini kullanaak ye vektöü oluştumak mümkün olmamaktadı. Bu sebeple daiesel koodinat sisteminde de ye vektölei xi yj cosi sin j şeklinde veilmektedi. Şekil 1.9 dikkate alınaak bu eşitlik i j e şeklinde düzenlenebili. Netice olaak daiesel cos sin koodinat sisteminde bi noktanın ye vektöü e y e j e i Şekil 1.9 daiesel koodinat sistemi e (1.5) şeklinde veilmektedi. Göüldüğü üzee bu vektö tek bileşenli bi vektödü. Bu vektöden tüev alaak paçacığın hızı Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 37

39 v e e (1.53) şeklinde tüetili. Buada yine 1.9 dan faydalanaak e nin e ve e ile ilişkisinin belilenmesine geek vadı. Şekil e i cos j sin (1.54) e isin j cos (1.55) Yukaıda yapıldığı gibi bu iki eşitlikten i e cos e sin (1.56) j e cos e sin (1.57) elde edili. Eşitlik (1.54) ve (1.55) in tüevlei e isin j cos (1.58) e i cos j sin (1.59) olaak belileni. Eşitlik (1.56), (1.57) ve (1.58) in bileşiminden e e (1.6) eşitlik (1.56), (1.57) ve (1.59) un bileşiminden e e (1.61) elde edili. Bu sonuçla kullanılaak yukaıda veilen hız v e e e e (1.6) şeklinde tanımlanı. Son eşitlikten teka tüev alaak ivme a e e e e e (1.63) a e e e e e (1.64) Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 38

40 a e e e e (1.65) şeklinde belileni. Son eşitlikte biinci paantez adyal ivmenin skala değei, ikinci paantez teğet ivmenin skala değeini göstemektedi. Son eşitlik a a e a e (1.66) şeklinde yazılabili. Eğe haeket sabit yaıçaplı bi daie üzeinde ise ivme a e e olaak belileni. Önek 1.1 (1.67) ( t) ( t) açısal ivmesi ile haeket Bi cisim daiesel koodinatta eğisi üzeinde sabit bi etmektedi. Cismin ilk hızı ve ilk adyal konumu sıfı olaak veilmektedi. Cismin ivme vektöünü belileyiniz. Çözüm Cismin açısal hızı t olu. Açısal konumu biboyutsuzlaştıma sabiti olup değei 1 m olaak veilmektedi. () t t olu. Veilen eği denklemi kullanılaak cismin adyal konumu t () t t olaak belileni. Radyal konumun biinci ve ikinci tüevlei t Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 39

41 olu. Elde edilen bu değele eşitlik (1.65) de yeine yazılaak ivme vektöü a t e t e olaak belileni. Bu poblemin diğe bi çözüm yöntemi ye vektöünü yazaak ivmeyi ye vektöünden tüetmekti. Yöntem aşağıda tanıtılmaktadı. Cismin adyal konumu yukaıda t e olaak belilenmişti. Bu eşitlik zamana göe tüetileek hız vektöü V te t e V t e t e olaak belileni. İvme vektöü a e te t e t e t e a e te t e t e t e a t t e t t t e a t e t e Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 4

42 olaak belileni. Göüldüğü üzee he iki yoldan aynı sonuç elde edilmektedi. Coiolis İvmesi ve Kuvveti Şekil 1.1a da göülen disk sabit açısal hızı ile tes saat yönünde dönmektedi. Koodinat sistemi sabitti. Şekilde göülen insan diske göe sabit bi V adyal hızı ile diskin mekezinden dışa doğu yüümektedi. İnsanı sağ omuzunun üzeine düşümeye çalışan bi kuvvet etki etmektedi. Bu kuvvete Coiolis kuvveti bu kuvveti yaatan ivmeye de Coiolis ivmesi denmektedi. Coiolis kuvveti ve ivmesi insan döne disk üzeinde sabit duuken oluşmaz. İnsanın disk üzeindeki ölatif haeketi düz bi çizgi üzeinde olmasına ağmen yukaıdan aşağıya bakan sabit bi gözlemci insanın haeket hattını şekil 1.11b deki gibi göecekti. Geçek öteleme iki boyutludu. z y V x Şekil 1.1a y R İnsan x Şekil 1.1b Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 41

43 İnsanın he hangi bi an için koodinat oijininden ötelemesi diskin dönmesinden doğan açısal ötelemesi sistemindeki yei t R V t kada olacaktı. İnsanın kada olacaktı. İnsanın x,y koodinat R V t icost jsint (1.68) olaak ifade edilebili. Bu eşitlikte bulunan icost j sint bi biim vektö olup ye vektöünün doğultusunu göstemektedi. Bu büyüklük aynı zamanda eşitlik (1.54) ile tanımlanan e biim vektöüne de eşitti. Bu sebeple son eşitlik R (1.69) V te şeklinde yazılabili. Eşitlik (1.69) zamana göe tüetileek hız V V e V te V e V t e (1.7) olaak belileni. Son eşitlik bi kee daha tüetileek ivme a V e V e V t e V e V e V t e (1.71) şeklinde belileni. Benze teimle bileştiileek son eşitlik a V e V t e V e R e (1.7) şeklinde yazılabili.son eşitlikte bulunan biinci teim Coiolis ivmesidi. Önek 1.13 Bi disk.ad/s hızla dönmektedi. Disk üzeinde bulunanbi insan bi adyal çizgi üzeinde 1 m/s sabit hızla ilelemektedi. İnsanın mauz olduğu Coiolis ivmesini hesaplayınız. Çözüm Coiolis ivmesi a V 1..4 m / s c olaak belileni. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 4

44 Önek 1.14 Aşağıda bi su tübini çakı göülmektedi. Kül engi okla suyun tübine giiş doğultusunu 6 göstemektedi. Kanatçıklaın pofili ile veilmektedi.buada R uzunluk boyutunda bi boyutsuzlaştıma paametesidi. Tübinin kanat sayısı yeteince çoktu. Su Kanatlaın aasından geçeken boşluk oluşmamaktadı. Paçacıklaın hızını ve ivmesini daiesel koodinatta tanımlayınız. R 1 A A' y x Çözüm Yöntem-1 Kanat sayısı sonsuz olduğuna göe akışkan paçacıklaının daiesel koodinattaki yöüngesi çak sabitken kanat gibi olacaktı. Aşağıdaki şekilde kanat göülmektedi.,1,,3,4,5,6,7,8,9 1 Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 43

45 A noktasının bi akışkan taneciği olduğunu kabul edelim. A noktasının ye vektöünün skala değei pozisyonunun R olu. Akışkan taneciğinin hehangi bit t anındaki açısal olduğu göülmektedi. Kanat üzeinde haeket eden bi noktanın (şekle göe A noktası) ye vektöü olup R cos i R sin j e (a) şeklinde düzenleni. Hız vektöü v e e (b) olaak veilmektedi. Hız vektöü v e e olaak yazılabili. vektöüne yazılaak (c) 1 R 6 6 Eşitliğinden 6 7 elde edili. Bu sonuç hız 6 7.6R v e.6r e (d) elde edili. İvme vektöü a e e (e) olaak veilmektedi. Bu eşitlik a e e (f) şeklinde düzenlenebili. Kanat pofilinin ikinci tüevi Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 44

46 (g).4r.6r olaak belileni. İvme vektöü yeniden 6 7 a.6r e R.4R.6R e (h) şeklinde düzenleni. Çaktan geçen akışkan debisi he adyal kesitte aynı olacağına göe kanatlaın işgal ettiği ye göz adı edileek adyal hızın skala değei ve adyal ivmenin skala değei sıası ile Q Q Q Q wv Q V, w w w w olaak elde edili. Hızın işaetinin negatif olaak seçilmesinin sebebi akışın çakın dışından içine doğu olmasıdı. Bu sonuçla eşitlik (d) ve (h) ya yazılaak elde edili. 6 Q.6R Q v e e 8 w w Q.36R Q.1 R Q a e w w 6 Q.36R Q e 9 w 4 w NOT: Yukaıda veilen su çakının dönüş yönü saat yönüdü. Bu sebeple son iki eşitlikte bulunan ve nın değeleinin negatif sayıla olması geekmektedi. Çak saat yönünde hızlanıken nın da negatif bi sayı olması geekmektedi. Çak saat yönünde yavaşlaken nın pozitif bi sayı olması geekmektedi. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 45

47 Yöntem- He adyal kesitten geçen debi aynı olduğuna göe Q wv Q V w Q d dt w Q t C w elde edili., t o sını şatından Q o t w o C belileni. Yeine yazılaak Q t o w elde edili.radyal hız ve ivme Q Q Q t o w w w Q Q Q t o w w w 3 olaak belileni. Kanat pofilinden Q 6 Q 1 R 1 R t 1 R t o o w w Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 46

48 4 6 6 t o 3R Q Q 3R Q w w 1 w t o 1R Q Q 1R Q 1 1 w w 1 w elde edili. Standat ye vektöü e olup standat hız denklemi v e e e e şeklinde düzenleni. Netice olaak hız 6 Q 3R Q V e e 7 w 1 w şeklinde ifade edilebili. Standat ivme fomülü a e e Şeklinde düzenlenebili. İvmenin nihai şekli aşağıdaki gibi olu Q.36R Q 6R Q Q 9R Q a e 15 7 e 9 4 w 1 w w 1 w Çakın dış yaıçapı 1 o m, iç yaıçapı.5 m, kalınlığı.5 boyutsuzlaştıma paametesi R 1 m seçilise çaktan çıkan suyun hız vektöü Vi 1.73 e e olaakbelileni. i 1 3 w m su debisi Q 1 m / s, Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 47

49 Silindiik koodinat sisteminde kinematik bağıntıla Silindiik koodinat sisteminin elemanlaı göülmektedi.silindiik koodinatın biim vektöleinden biisi olup e z ile gösteilebili. Biim vektöleden bi diğei R, ve R z z olup, Şekil 1.1 da koodinatı doğultusunda doğultusunda olup e ile gösteilebili. Üçüncü biim vektö daieleesel çizgilee teğet olup e sembolü ile gösteilebili. Biim vektöleden e ve e sabit olmayıp ile değişmektedi. Fakat e z he yede sabit kalmaktadı. Daiesel koodinatlada açıklanan sebepleden dolayı silindiik koodinatlada da bi noktanın yeini e, ve e z biim vektölei ile ifade etmek mümkün olmamaktadı. e Bunun için silindiik koodinatta haeket eden bi noktanın yei xi yj zk Rcosi Rsin j zk (1.73) şeklinde bi Katezyen vektöü ile ifade edilmektedi. Bu eşitlikte bulunan bi haeketli noktanın ye vektöünü, R ise aynı noktanın adyal koodinatını göstemekte olup bi bii ile kaıştıılmamalıdı. Ye vektöünün skala büyüklüğü R z olu. Silindiik koodinatta kinematik ilişkilein oluştuulabilmesi için Eşitlik (1.73) ün silindiik şekle dönüştüülmesi geekmektedi. Bunun içinde öncelikli olaak silindiik koodinatın biim vektölei ile Katezyen koodinatın biim vektölei aasındaki ilişkilein analiz edilmesi geekmektedi. Şekil 1.11 de göülen A ve B noktalaı bi daie üzeinde olup aalaındaki mesafe ds Rd şeklinde ifade edilebili. Bu mesafe vektöel olaak ds Rd e şeklinde ifade edilebili. ds yeinedxi olu. Bu eşitlik dxi dyj Rde x y i j Re dyj yazılabili. Bu duumda son eşitlik Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 48

50 şeklinde düzenleni. Son eşitliğin solundaki tüevle belileni ve yeine yazılısa Rsini Rcos j Re elde edili. Bu eşitlikten ve y Rsin x Rcos ilişkileinden e isin j cos (1.74) olduğu göülmektedi. Silindiik koodinat sisteminin yaıçapı üzeinde bulunan iki yakın noktanın aasındaki mesafe ds dr şeklinde ifade edilebili. Bu mesafe vektöel olaak ds dr e şeklinde ifade edilebili. ds yeine dxi dxi dy j dre olu. Son eşitlik teka x y i j e R R şeklinde düzenleni. Son eşitliğin solundaki tüevle belileni ve yeine yazılısa dyj yazılabili. Bu duumda son eşitlik ve y Rsin x Rcos ilişkileinden e i cos j sin (1.75) olduğugöülü. Silindiik koodinat sisteminin mesafe ds dz z koodinatı üzeinde bulunan iki yakın nokta aasındaki bi şeklinde yazılabili. Bu mesafe vektöel olaak Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 49

51 ds dze z şeklinde gösteili. ds yeinedzk yazılabili. Bu duumda son eşitlik dz k dze z olu. Son eşitlikten ez k (1.76) olduğu göülmektedi. Eşitlik (1.74), (1.75) ve (1.76)nınmatiks şekli sin cos i e cos sin j e 1 k e z (1.77) olu. Son eşitlikten Katezyen koodinatın biim vektölei i e cos e sin (1.78) j e sin e cos (1.79) k e z (1.8) olaak belileni. Son üç eşitlik ile belilenen biim vektöle eşitlik (1.73) e yazılısa R cos e cos e sin Rsin e sin e cos ze olu. Son eşitlik z z Re ze (1.81) şeklinde kısalı. Bu eşitlik ye vektöünün silindiik şeklidi. Bu eşitliğin ye vektöü olaak bi değei olmamakla bilikte hız ve ivme vektöleinin tanımlanmasında kullanılmaktadı. Son eşitlikten tüev alınaak hız vektöü V Re Re ze ze (1.8) z z olaak elde edili. Son eşitlikte bulunan geekmektedi. e ve e nin z e, e ve e z cinsinden belilenmesi Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 5

52 Eşitlik (1.74), (1.75) ve (1.76) nın tüevlei e i cos j sin (1.83) e isin j cos (1.84) ez (1.85) olaak belileni. Eşitlik (1.83) ve (1.84) ten e e (1.86) e belileni. e (1.87) Eşitlik (1.86) ve (1.87) ile veilen tüevle yukaıda eşitlik (1.8) ile veilen hız vektöüne yazılısa v Re Re ze (1.88) elde edili. Son eşitlikten teka tüev alaak ivme z z A B d z x R y Şekil 1.11 silindiik koodinatla ve Katezyen ile ilişkisi Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 51

53 a Re Re Re Re R e ze ze (1.89) z z a R R e R R e ze (1.9) şeklinde elde edili. Küesel koodinat sisteminde kinematik bağıntıla Küesel koodinat sisteminin elemanlaı Şekil 1.1 de göülmektedi. Küesel koodinat sisteminde bi noktanın yeini tanımlamak için noktayı oijine bileştien yaıçap çizgisinin uzunluğu, yaıçap çizgisinin düşey eksenle yaptığı açısı ve yaıçap çizgisinin x-y düzlemindeki izdüşümünün x ekseni ile yaptığı sistemindeki bi ye vektöünün biim vektöleinden biisi z açısı veilebili. Küesel koodinat e olup yaıçap doğultusunda etki. Diğe biim vektöle küeye teğet doğu paçalaıdı. Bunladan biisi yatay düzleme yani x-y düzlemine paalel konumda çizili ve e ile gösteili. Üçüncüsü de e ya dik bi teğet olup e ile gösteili. e biim vektöü doğultusunda doğultusunda değişi, sabit kalı. ve değişi, Küesel ve Katezyen koodinatlaın aalaındaki ilişkile x sincos ve sabit kalı. e biim vektöü (1.91) y sinsin (1.9) z cos (1.93) Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 5

54 z z y R x y x Şekil 1.1 Küesel koodinat sisteminin elemanlaı z cos (1.94) y tg (1.95) x x y z (1.96) şeklinde veilmektedi. Küesel koodinat sisteminin biim vektöleinin doğultulaı aşağıdaki şekilde göülmektedi. Şekil 1.13 deki sembolle dikkate alınaak adyal doğultudaki biim vektö e ile, meidyen doğultusundaki biim vektö e ile, enlem doğultusundaki biim vektö e ile gösteilebili. Enlem üzeinde bulunan bibiine yakın iki noktanın aası (1.97) ds d R d x y şeklinde ifade edilebili. Vektö olaak yazılısa (1.98) ds d x y e Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 53

55 z e e e y x Şekil 1.13 Küesel koodinat sisteminin biim vektölei olu. Denklemin sağındaki ds yeine Katezyen koodinat sistemindeki kaşılığı yazılısa dxi dy j d x y e (1.99) olu. Teka düzenleyeek dx dy i j x y e d d (1.1) elde edili. Eşitlik (1.91) ve (1.9) den tüev alaak dx sinsin y d (1.11) dy sincos x d (1.1) elde edili. Son üç eşitliğin bileşiminden enlem doğultusundaki biim vektö y x e i j x y x y (1.13) Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 54

56 olaak elde edili. Meidyen üzeinde bulunan bibiine yakın iki noktanın uzunluğu ds d (1.14) olaak hesaplanı. Bu uzunluk vektöel olaak ds de (1.15) şeklinde yazılı. Eşitliğin sol taafı katezyendeki kaşılığı ile değiştiileek dxi dy j dzk de (1.16) elde edili. Son eşitlik yeniden dx dy dz i j k e (1.17) d d d şeklinde düzenleni. Eşitlik (1.91), (1.9) ve (1.93) den dx x zx cos cos z cos z d R x y (1.18) dy cos sin z sin z y zy d R x y (1.19) dz d sin R x y (1.11) elde edili. Son döt eşitliğin bileşiminden meidyen doğultusundaki biim vektö zx e i j x y k zy x y x y (1.111) zx zy x y e i j k x y z x y x y z x y x y z (1.11) olaak elde edili. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 55

57 Yaıçap üzeinde bulunan bibiine yakın iki noktanın aasındaki mesafe ds d (1.113) şeklinde yazılı. Vektöel şekilde yazılısa ds d e e (1.114) olu. Son eşitliğin sol taafı bi Katezyen vektöü olaak yazılısa dxi dy j dzk d e (1.115) olu. Son eşitlik yeniden dx dy dz e i j k d d d (1.116) şeklinde düzenlenebili. Eşitlik (1.91), (1.9) ve (1.93) den dx sincos R x x d R x y z (1.117) dy sinsin R y y d R x y z (1.118) dz z z cos d x y z (1.119) tüevlei elde edili. Bu tüevle eşitlik (1.116) e yazıldığında e sin cos i sin sin j cos k (1.1) yada x y z e i j k x y z x y z x y z (1.11) elde edili. Eşitlik (1.11), (1.116) ve (1.11) in matiks şekli Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 56

58 y x i e x y x y zx zy x y j e x y z x y x y z x y x y z x y z k e x y z x y z x y z (1.1) olu. Bu eşitlikte bulunan kae matiks in deteminantı 1 olaak belileni. Son eşitlikten Katezyen koodinat sisteminin in biim vektölei y x z x i e e e x y x y x y z x y z (1.13) x y z y j e e e x y x y x y z x y z (1.14) z y x k e e x y z x y z (1.15) i e sin e cos cos e sin cos (1.16) j e cos e sin cos e sin sin (1.17) k e cos e sin (1.18) olaak belileni. Küesel koodinat sisteminde haeket etmekte olan bi noktasal cismim ye vektöünü belilemek için xi yj zk (1.19) yazılı. Eşitlik (1.91), (1.9) ve (1.93) kullanılaak son eşitlik sin cos sin sin cos i j k (1.13) şeklinde düzenleni. Eşitlik (1.1) kullanılaak son eşitlik yeniden Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 57

59 e (1.131) şeklinde düzenlenebili. Son eşitlikten hız vektöü V e e (1.13) olaak belileni. Eşitlik (1.1) nin zamana göe tüetilise e j cos cos sin sin i cos sin sin cos sin k (1.133) olu. Son eşitlikte biim vektöle i, j ve k yeine yazılaak e e sin e (1.134) elde edili. Bu sonuç yukaıdaki hız vektöüne yani eşitlik (1.13) ye yazılaak V e e e sin (1.135) elde edili. Son eşitliğin teka tüevi alınaak ivme için a e e e e e e sin e sin e cos e sin (1.136) elde edili. Bu eşitliğin ihtiva ettiği e ve e nın edilmesi geekmektedi. Eşitlik (1.13) e, e ve e biim vektölei cinsinden ifade y x e i j sin i cos j x y x y (1.137) şeklinde düzenleni. Son eşitliğin zaman tüevi e cos i sin j (1.138) olu. Biim vektöle yeine yazılaak Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 58

60 e e cos e sin (1.139) elde edili. Eşitlik (1.11) e cos cosi sin cos j sin k (1.14) şeklinde düzenleni. Son eşitliğin zaman tüevi e sin cos i cos sin i cos cos j sin sin j cos k (1.141) olu. Biim vektöle i,j ve k yeine yazılaak e e cos e (1.14) elde edili. Eşitlik (1.134), (1.139) ve (1.14) yadımı ile yukaıda veilen ivme fomülünü, yani eşitlik (1.136) yeniden düzenleni ve sin sin sin cos sin cos sin a e e e (1.143) elde edili. Son eşitlik habeleşme yada televizyon yayıncılığı amacı ile dünya çevesine yeleştiilen uydulaın yöüngeleinin belilenmesinde kullanılmaktadı. Uydula dünya çevesine faklı mesafelee yeleştiilebilmektedi. Uydunun dünya çevesinde süekli aynı yaıçapta kalmasını sağlayan kuvvet ye küenin uyduya uyguladığı çekim kuvvetidi. Önceden göüldüğü üzee çekim kuvveti yaıçap ile tes oantılıdı. Son eşitlikten göüldüğü üzee ivmenin bileşenlei yaıçap ile oantılı atmaktadı. İvmenin bileşenlei ayıca uydunun açısal konumlaına ve açısal hızlaına ve hatta açısal ivmeleine de bağlıdı. Uydu yeleştiiliken uyduya etkiyen bileşke kuvvetin sıfı olmasını sağlayacak bi yöünge seçilmesi geeki. Bu iş için son eşitlik çok büyük bi kullanışlılık az etmektedi Önek 1.1 Bi uydunun Ankaa ya göe elatif konumunun değişmemesi isteniyo. Uydunun yöüngesinin nasıl olacağının belileyiniz. Çözüm Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 59

61 Aşağıdaki şekilde Ankaanın yei ve uydunun konumu şematik olaak gösteilmişti. Denklem (1.138) in tüetilmesinde kullanılan koodinat sisteminin oijini olaak ye küenin mekezini alalım. Ankaa nın 33 meidyen ve 4 paalel in kesişme noktasında olduğunu kabul edelim. Uydunun Ankaa nıntam üzeinde ve ye mekezinden uzaklığının sabit olduğunu kabul edelim.bu duumda 5 deece, 33 deece, ( sabit) o, olması geeki.uydunun süekli Ankaa nın üzeinde ve aynı yükseklikte kalması için,,,, dünya 466 geeki. Bunla yukaıdaki ivme denklemine yazılısa / sin 5 cos5 sin 5 a e e o dün o dün ad s, olması elde edili. Bu eşitlikte bulunan ikinci teim uyduya meidyen doğultusunda bi atalet kuvvetinin etkiyeceğini göstemektedi. Bu kuvvet aşağıdaki şekilde göülmektedi. Şekilde göülen ivmesinin yaattığı atalet kuvveti ye çekimi taafından dengelenebili. Yalnız, a a ivmesinin yaattığı kuvvetin bi dengeleyeni yoktu. Bu sebeple Ankaa nın tam üzeine yei sabit bi uydu yeleştimek mümkün göülmemektedi. e cos5 sin5 o dün teiminin sıfı olması için uydunun ekvato üzeinde bulunması geeki. Yani yei sabit uydula ancak ekvato üzeinde bulunabilile. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 6

62 dünya Ankaa Önek 1.13 Ekvato üzeine yeleştiilmiş bi uydunun yeinin sabit kalması için açısal hızı ve dünya mekezinden yüksekliği ne kada olmalıdı. Çözüm Uydunun açısal hızı dünyanın açısal hızına denk olusa uydunun ekvato üzeindeki yei sabit kalı. Dünyanın açısal hızı ad / s dünya Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 61

63 olu. Uydunun süekli Ekvatoun üzeinde ve aynı yükseklikte kalması için,, 9, olması geeki. Bunla yukadaki ivme denklemine yazılısa a e dün,, olu. Bu eşitlik a dün şeklinde düzenlenebili. Bu eşitlikte uydunun ye mekezinden uzaklığını göstemektedi. Bu mesafeye obit yaıçapı denmektedi. Bu çap uygun seçilmez ise uydu dünyadan uzaklaşı veya yee düşe. Uygun bi obit çapı bulmak için yapılacak iş ye çekimi kuvveti ile atalet kuvvetini denkleştimek olacaktı. muyd mdün G dünm uyd 4 1/3 1/ km olaak belileni. Dünyanın yaıçapı 6366 km olup bu değe dikkate alınaak uydunun yeden yüksekliği hesaplanısa h km olaak belileni. Elde edilen bu sonuç mevcut uygulamala ile uyumludu. Yukaıda veilen adyal ivme a m / s 9 dün olaak hesaplanı. Obitin bulunduğu yedeki ye çekimi ivmesi m / s Gm g e R 44 olaak belileni. Göüldüğü üzee ye çekimi ivmesi ile adyal ivme denk olmaktadı. Önek 1.14 Meidyen doğultusunda haeket eden bi uydunun yöüngesinin oluştuduğu düzlem kuzey ve güney kutup noktalaından geçmekte ve ye küeyi simetik iki yaım küeye ayımaktadı. Uydu Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 6

64 sabit hızla dönmekte ve yeden uzaklığı değişmemektedi. Uydu günde 6 kee dünyanın çevesinde tu atmaktadı. Uydunun ivme vektöünü belileyiniz. Dünyanın mekezinden uzaklığını belileyiniz. Poblemin ele alınmasında ye çekimi haicindeki kuvvetlein tamamı göz adı edilecekti. Çözüm Uydunun yeden uzaklığı değişmediğine göe haeket ettiği için, olu. Bunla eşitlik (1.143) yazılaak a e, olu. Uydu meidyen doğultusunda olu. Uydu meidyen doğultusunda sabit hızla döneceği için elde edili. Son eşitlikten göüldüğü üzee yalnız ve yalnız adyal doğultuda bi ivme mevcut olup bunu ye çekimi dengeleyecekti. Uydunun ye mekezinden uzaklığı ivme dengesinden g a Gm e 11 4 G m e km 6 olaak belileni Ödev Ankaanın üzeinden geçen ve dünyanın çevesini günde 15 kee dolaşan bi uydu için obit aaştıınız. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 63

65 BÖLÜM ÖTELEME HAREKETİ YAPAN PARÇACIKLARIN KİNETİĞİ Bi kuvvetin ya da bi takım kuvvetlein etkisi altında bi paçacığın yeinin hızının ve ivmesinin değişimleinin analizi kinetiğin konusudu. Bu konuda iki adet yasa mevcut olup bunlaa Newtonun haeket yasalaı denmektedi. Bunladan biisi haeket esnasında kütlesi değişmeyen cisimle için veilmiş, diğei he tülü hali içeisine alan genel bi yasadı. Newton haeket yasalaı en temel fizik kanunlaı olduğu için onlaı açıklamak amacı ile başka fiziki ya da matematiksel ilke ve pensiple aamak yesizdi..1 Doğusal yöünge üzeinde öteleme haeketi Doğusal haeket doğultusu değişmeyen bi çizgi üzeinde geçekleşen bi haeketti. Doğusal haekette önceki bölümde mekezcil ivme olaak tanıtılan mefhum sıfı olmaktadı. Doğusal haeket yapan bi cisme etkiyen bi kuvvet onun skala hızında bi değişme yaatı. Bu sebeple doğusal haeketin analizinde vektö kullanmak geeksizdi. Cismin haeket yönü ile kuvvetin yönü aynı ise cisim hızlanan haeket yapa. Haeketin yönü ile cismin yönü zıtsa cisim yavaşlayan haeket yapa. Hızlanma ve yavaşlama önceden bildiğimiz üzee ivme ile geçekleşi. İvmeli haekette bi işaet konvansiyonu oluştuulmak zounludu. Haeketin yönü kamaşık veya değişkense haeketin geçekleştiği doğultu üzeinde hehangi bi yön pozitif olaak seçilebili.pozitifkuvvet pozitif ivme negatif kuvvet negatif ivme yaatmaktadı.doğusal haeket için Newton un ikinci haeket yasası F ma (.1) şeklinde veilmektedi. Büyüklükle eşitliğin bi taafında toplanısa bu eşitlik F ma (.) şeklini alı. Son eşitlik Bi cisme etkiyen haici ve atalet kuvvetleinin toplamı sıfı olu şeklinde bi yasa olaak ta takdim edilmektedi. Kütle ile ivmenin çapımına atalet kuvveti denmektedi. Bi cisme biden fazla kuvvet etki ediyosa Newtonun ikinci haeket yasası F ma (.3) şeklinde uygulanı. Haeket esnasında cismin kütlesi değişiyosa bu eşitliklein uygulanabililiği yoktu. Böyle hallede İkinci haeket yasasının genel şekli olaak adlandıılan bağıntının kullanılması geekmektedi. Doğusal haeket için ikinci haeket yasasının genel şekli Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 64

66 mo.dt Otomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Des Notu F d dt mv (.4) şeklinde veilebili. Bu eşitlik dv dm F m V dt dt (.5) şeklinde de yazılabili. Kütle değişimi yoksa son eşitlik dv F m ma (.6) dt şeklinde kısalı. Bu eşitlik yukaıda veilen ikinci haeket yasasıdı. Buadan göüldüğü üzee ikinci haeket yasasının özel bi halidi. Noktasal paçacık olaak düşünülen dinamik cisimlein patikte kütlesi azalabili fakat atma olmaz. Roketle kütlesi değişen cisimlee veilebilecek tipik bi önekti. Kütlesi değişen bi cisim doğusal bi yöünge üzeinde sabit bi hız ile haeket ediyosa eşitlik (.5) F ma F dm V dt (.7) olu. V V m m-mo.dt.. VO Şekil.1 değişken kütleli bi cismin dt süesinde momentumu değişimi Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 65

67 Bu eşitlikte bulunan V oketin hızıdı. Roketten ayılan akışkanın mutlak hızının sıfı olması geekmektedi. Eğe akışkanın hızı sıfı olmaz ise son eşitliğin sağına ilave bi teim gelmektedi. İlave teimi belilemek için şekil.1 de gösteilen sistemin momentum değişiminin kuvvete eşitlenmesi yetelidi. Şekilden göüldüğü üzee t anında cismin momentumu P1 di. Zaman momentumu mv t dt (.8) olduğunda cisim iki paçaya ayılmakta ve iki paçadan oluşan sistemin o o o P m m dt V V m dt (.9) olu. Son eşitlikte bulunan m o eşitlikten biim zamandaki momentum değişimi O O ayılan kütlenin (gaz) kütlesel debisini göstemektedi. Son iki dp V V m dt (.1) olaak belileni. Cisme etkiyen haici kuvvet dp F V V O m (.11) O dt olaak belileni. Gazın kütlesel debisi ile oketin kendisinin kütlesinin değişimi aasındaki ilişki m o dm dt şeklindedi. Bu ilişki yeine yazılısa eşitlik (.11) ile tanımlanan kuvvet, dm dm dm F V V V V (.1) O O dt dt dt V yazasak son olu. Cisimden ayılan kütlenin hızının sıfı olduğunu kabul edesek yani O eşitliğin yukaıda veilen eşitlik (.7) ye dönüştüğü göülü. Eşitlik (.1) de bulunan V V O çapanı elatif hızı göstemektedi. Doğusal öteleme haeketi yapan cisimlee etkiyen kuvvetle bazen sabit olmayabili. Bazı kuvvetle yola bağlı olaak ata veya azalabili. Bazı kuvvetlede hıza bağlı olaak ata veya azalabili. Yola bağlı olaak değişen kuvvetlee yay kuvvetlei ve gaz basınçlaı önek gösteilebili. Hıza bağlı olaak değişen kuvvetlee viskoz sütünmele önek gösteilebili. Bi Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 66

68 cisme etkiyen kuvvetle yola yada hıza bağlı olaak değişiyosa bu tülü hallede yukaıda veilen Newton ilişkilei bi difeansiyel denkleme dönüşmektedi. Aşağıda bu konu ile ilgili olaak önek poblemle veilmişti Önek.1 Kütlesi 1 kg olan bi otomobilin tekelek çapı 7 cm olaak veiliyo. Otomobilin iki ön tekeleğinin he biisine5 Nm tok uygulanıyo. Otomobilin ivmesini belileyiniz. Çözüm Tekeleklein yee temas eden yüzeyinde oluşan toplam teğet kuvvet F T N R.35 olaak belileni Otomobilin ivmesi 1485 a m / s 1 olaak belileni. Önek. Bi oket 1 m/s sabit hız ile haeket etmekte ve oketin nozulundan çıkan gazın okete göe elatif hızı 3 m/s olaak veilmektedi. Roketin kütlesi he saniyede 5 g azalmaktadı. Roketin kaşılaştığı hava diencini ve oketten çıkan gazlaın mutlak hızını belileyiniz. Çözüm Eşitlik (3.11) kullanılaak hidodinamik dienç F V V m N O olaak belileni. Roketten çıkan gazlaın mutlak hızı O V W V 3 1 m / s Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 67

69 Önek.3 Doğusal bi yöünge üzeinde uçan bi cisim 1 N büyüklüğünde bi hava dienci ile kaşılaşmaktadı. Cisim sabit hız ile yoluna devam edeken kütlesi he saniyede.1 kg azalmaktadı. Cismin hızını belileyiniz. Çözüm dm F 1 F V, V 1 m / s dt dm.1 dt Eşitlik (.1) kullanılaak V belilenise sıfı olduğu göülü. Önek.4 Esneme miktaı 4 mm olan bi yay ile kütlesi 6 g olan bi ok fılatılıyo. Yayda geilme sonunda oluşan kuvvet 1 N olaak veiliyo. Kuvvet ile yayın esnemesi aasındaki ilişkiyi belileyiniz. Okun yaydan çıkış hızını belileyiniz. Yay linee yay olaak kabul edilecekti. Çözüm Linee yaylada kuvvet esneme ilişkisi F k y şeklindeveilmektedi. Veilen yayın sabiti F y max k 5 N / m max 1.4 olaak belileni. Kuvvet F 5 y olaak tanımlanı. Yay sebest bıakıldığı zaman bi süe oka hız kazandıacaktı. Bu esnada yayın oka uyguladığı kuvvet sabit kalmayıp gittikçe azalacaktı. Yay oksuz sebest bıakılsa dahi yayın geilmesiz şekline dönmesi kendisinin kütle ataleti sebebi ile zaman almaktadı. Ancak bu oksuzgenişlemenin geektidiği zaman oklu genişlemeye göe oldukça küçüktü ve göz adı edilebili. Ok bıakıldıktan sona, aşağıdaki şekle göe, yayın esneme mesafesi Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 68

70 y.4 x olup yay kuvveti F 5.4 x şeklinde tanımlanabili. Newton yasası 5.4 x ma Ymax=4 mm x y olup bu eşitlikte a dx yazılabili. İşlem dt dx dt 5 x.4 m şeklinde bi difeansiyel denklem ile sonuçlanı. Bu denklemin çözümü 5 5 x.4 Asin t Bcos t m m olu. Okun ivmelenme süecindeki hızı son eşitlikten x A cos t B sin t m m m m olaak belileni. Yay bıakıldığı an he x hem de V olacaktı. Öteleme denkleminden Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 69

71 B.4belileni. Hız denkleminden öteleme ve hız için 5 x.4.4cos t m A belileni. Bunla yeine yazılmak sueti ile 5 5 x.4 sin m m t eşitliklei belileni. Göüldüğü üzee son eşitlik bi dalga fonksiyonudu. Genişleme esnasında okun yaydan çıktığı ye hızın biinci maksimum a ulaştığı andı. Bu ana kada geçen zamanı belilemek için son eşitlikte 5 sin t m 1 1 m şatını kullanmak geeki. Son eşitlikten 5 sin t sin m 1 m 5 m t m 1 m t.7695 m1 5 s olaak belileni. Belilenen bu zaman öteleme denkleminde kullanılaak okun yaydan çıktığı ye 5 x.4.4cos m m olaak belileni. Buadan oka etkiyen kuvvet tam sıfı olduğunda okun yayadan çıktığı göülmektedi. Oka etkiyen kuvvetin sıfı olduğu an x.4 olduğu andı. Bu esnada okun yaydan çıkış hızı 5 5 x.4 sin m / s.6.6 m Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 7

72 olaak belileni. Bu hız çok yetesiz olup bi okun yayadan çıkış hızının 5 m/s seviyesinde bi sayı olması geeki. Bu seviyede bi çıkış hızı için uygun bi yay sabitinin belilenmesi öğencilee bıakılmıştı. Önek.5 Bi ateşli silahın namlu çapı 9 mm namlu uzunluğu 4 cm olaak veiliyo. Meminin namlu içeisinde ileleme miktaı x olmak üzee namlu içeisinde genişleyen gazın basıncı l x p p 1 5 l şeklinde tanımlanmıştı. Meminin kütlesini 1 g, kabul edeek meminin namludan çıkış hızını belileyiniz. Çözüm Newton haeket denklemi Ap dt m 5l d x x 1 olu. Denklemin çözümü p basıncını 1 ba z Ap x 1. m 5l dz dt Ap dx m5l dt d z dt Ap d x m5l dt Ap 5ml dz z dt 5lm Ap 5lm Ap x 5l C sin t C cos t 1 Ap 5ml Ap 5ml olu. Hız Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 71

73 5lm Ap 5 cos Ap lm x C t C Ap sin Ap t 1 Ap 5ml 5ml Ap 5ml 5ml olu. Sadeleştimele yapılaak 5lm Ap 5lm Ap x C cos t C sin t 1 Ap 5ml Ap 5ml elde edili. İntegal sabitleini belilemek için t, x, x başlangıç değelei kullanılabili. Hız denkleminden C 5l 5lm Ap C 1 elde edili. Öteleme denkleminden elde edili. Bu sabitle hız ve öteleme denklemleine yazılaak x 5l 5lm Ap Ap sin t 5 ml Ap 5ml x 5l 5l cos t elde edili. Son eşitlikten t çekilise t 5 ml 5 accos l x Ap 5l olu. Veilenson eşitliğe yazılaak meminin namludaki haeket süesi t accos s olaak belileni. Meminin çıkış hızı Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 7

74 x sin t 19.5sin(.5) 616 m / s olu..1 Eğisel yöünge üzeinde öteleme haeketi Öteleme haeketi eğisel bi yöünge üzeinde geçekleşiyosa geek kuvvet geek ivme biden fazla bileşen ihtiva edecekti. Eğisel yöünge iki ya da üç boyutlu bi katezyen koodinat sisteminde, bi daiesel yada silindiik koodinat sisteminde, özel bi eğisel koodinat sisteminde yada küesel koodinat sisteminde tanımlanmış olabili. Katezyen koodinat sisteminde Eğe haeket düzlem eğisi üzeinde ise hem kuvvet hem de ivme vektöü iki bileşenli olu. Eğe haeket bi uzay eğisi üzeinde geçekleşiyosa hem kuvvet hem de ivme üç bileşenli olu. Bi Katezyen uzay eğisi üzeinde geçekleşen bi ivmeli haeket için momentum denklemi d F m V V dt dm dt F t i F t j F t k m a t i a t j a t k x y z x y z V t i V t j V t km x y z (.13) şeklinde yazılabili. Kütlesi değişmeyen cisimlein momentum denklemi F F t i F t j F t k m a t i a t j a t k x y z x y z (.14) şeklinde veili. Hızı sabit ise a, a, a olup, kütlesi değişen cisimlein momentum denklemi eşitlik (.13) den x y z F F i F j F k V i V j V k m (.15) x y z x y z şeklinde elde edili. Bu hal bundan önceki kısımda göülen doğusal yöünge üzeindeki haeketin bi benzeidi. Fak yöüngenin bi uzay doğusu olmasıdı. Önceden de açıklandığı üzee son eşitlik Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 73

75 F V V m V V m (.16) O o o eşitliğinin bi özel halidi. Çıkan gazlaın mutlak hızının sıfı olduğu gelmektedi. V O haline kaşılık Statik desinden bilindiği üzee vektöel denklemle asal bileşenlee ayıştıılabili. Eşitlik (.14) yeine bileşenlei F x max, F ma y y F, ma z z (.17) kullanılabili Önek.6 Kütlesi 1 kg olan bi otomobil y y y x x x 4x eğisi üzeinde V 3 / m s sabit hızı ile haeket etmektedi. Otomobile etkiyen atalet kuvvetini tanımlayınız. Ye ile tekelek aasındaki teğet sütünme kuvvetini F. F kaza iski olup t ile hesaplayaak x bölgede olmadığını belileyiniz. Otomobile etkiyen Kuvvet vektöünü tanımlayınız. Çözüm Yolun gafiği aşağıdaki şekilde olduğu gibidi. n Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 74

76 Şekilden göüldüğü üzee x büyüdükçe yol düzleşmektedi. Göüldüğü üzee x ekseninin ölçeği ile y ekseninin ölçeği aynı değildi. He iki eksenin ölçeğini aynı alaak x in geniş aalığında bi gafik çizmek mümkün değildi. Eksenlein ölçeği faklı olduğu süece de bu şekil yolun tam geçek göünüşünü yansıtmamaktadı. Şekilden de anlaşılacağı üzee x in yeteince büyük değeleinde yol y eksenine paaleleleşmektedi. Otomobilin ye vektöü y y xi yj xi x x j olu. Hız vektöü ( ) x 4x dx y y dx V i x j dt x x dt ( ) olu. Hızın bileşenleinin kaeleinin toplamı V dx y y 1 ( x) dt x x olu. Son eşitlikten hızın x bileşeni dx V dt y y 1 ( x) x x olaak yazılı. Yol pofilinden hızın y bileşeni dy y y dx x dt x x dt olaak belileni. Son eşitlikten göüldüğü üzee önce hızın x doğultusundaki bileşeninin hesaplanması geekmektedi. Hızın x ve y doğultusundaki bileşenleinin x koodinatı ile değişimi aşağıda göülmektedi. Şekilden göüldüğü üzee x büyüdükçe hızın x bileşeni sıfıa yaklaşmakta, hızın y bileşeni 3 m/s ye yaklaşmaktadı. Bileşke hız 3 m/s olmaktadı. X= da he iki hız bileşeni denkleşmektedi. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 75

77 Hız vektöü dx dy dx y y dx V i j i x j dt dt dt x x dt olu. dx dt in değei yeine yazılaak hız vektöü yeniden V y y V i ( x) j y y x x 1 ( x) x x şeklinde düzenleni. Hız vektöünden tüev alaak ivme vektöü y y y V ( x) x x x y y dx a 3/ i ( x) j y y x x dt 1 ( x) x x y V x dx j y y dt 1 ( x) x x Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 76

78 olaak elde edili. dx dt nin değei yeine yazılaak ivme vektöü yeniden y y y V ( x) x x x y y a i ( x) j y y x x 1 ( x) x x y V x j y y 1 ( x) x x şeklinde düzenleni. Payda eşitlemesi yapılaak son eşitlik y y y V ( x) x x x y y a ( ) i x j y y x x 1 ( x) x x V y y y 1 ( x) x x x y y 1 ( x) x x şeklinde düzenleni. İkinci teimin payındaki paantez açılaak j Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 77

79 y y y V ( x) x x x y y a i ( x) j y y x x 1 ( x) x x y y y y V V ( x) y y y y 1 ( x) 1 ( x) x x x x x x x x j j elde edili. Biinci teim genişletileek y y y y y y V ( x) V ( x) x x x x x x a i j y y y y 1 ( x) 1 ( x) x x x x y y y y V V ( x) y y y y 1 ( x) 1 ( x) x x x x x x x x j j elde edili. Son eşitlikteki zıt işaetli benze teimle götütüleek y y y y V ( x) V x x x x a i j y y y y 1 ( x) 1 ( x) x x x x elde edili. Otak çapanla dikkate alınaak son eşitlik y V x y y a x i j y y x x 1 ( x) x x Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 78

80 şeklinde düzenleni. Spesifik değele ( x, y ) yeine yazılaak hız ve ivme vektölei yeniden V x i(1 ) j V 1 x 1 (1 ) a 1 V 1.5 x (1 ) i j x x 1 (1 ) 1 (1 ) şeklinde düzenleni. Son iki eşitlik incelendiğinde köşeli paantezlein içeisinin biim vektöle olduğu göülmektedi. Bu sebeple son iki eşitlik V V v 1 V a x 1 (1 ) 1.5 n şeklinde yazılabili. Son eşitliğin skala kısmının gafiği aşağıda göülmektedi. 1,8 1,6 1,4 1, 1,8,6,4, Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 79

81 x da otaya çıkmakta ve değei Yukaıdaki gafikten göüldüğü üzee en büyük ivme a 1.59 m / s olaak belilenmektedi. Taşıtın yola teğet ivmesi sıfı olduğu için bu hesaplanan ivme nomal ivmedi. Buna göe otomobile etkiyen savulma kuvveti F N olaak belileni. Tekeleklede oluşan lateal kuvvet F 1 g. 354 N olup taşıtın kaza yapma ihtimali zayıftı. s Taşıta etkiyen kuvveti vektö olaak tanımlamak için eşitlik (.14) ü kullanmak geeki. Kuvvet vektöü x (1 ) i j mv F m a t i a t j x y 1.5 x x 1 (1 ) 1 (1 ) olaak belileni. Önek.7 Jet kuvveti ile haeket eden bi cismin yöüngesi (doğultusu) n 1 ti t j tk 1 t t t 4 biim vektöü ile tanımlanmıştı. Cisme etkiyen haici kuvvet ( hidodinamik dienç)in 5 N olası m olaak veilmektedi. Cismin hızı istenmektedi. Çıkan gazlaın kütlesel debisi 1 g / s 1 m/s ise çıkan gazlaın hızını belileyiniz. Çözüm Cismin doğultu vektöü o Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 8

82 1 ti t j tk 1 1 n i j k 1.5 t 11 4 şeklinde düzenleni. Göüldüğü üzee doğultu zamandan bağımsızdı. Yani cismin doğultusu değişmemektedi. Cismin skala hızı doğultu vektöü ile çapılaak hız vektöü V 1 V i j k.5 olaak elde edili. Eşitlik (.16) e göe kuvvet vektöü V 1 F i j k V m O.5 olu. Çıkan gazlaın doğultusu cismin doğultusu ile aynı olmak zoundadı aksi halde cismin doğultusu değişmek zoundadı. Bu şattan dolayı VO 1 V i j k O.5 yazılabili. Son iki eşitlikten 1 1 F f V VO m i j k.5 elde edili. Kuvvetin skala değeinin F V V m o olduğu göülü. Gazın elatif hızı (cisme göe çıkış hızı) F 5 V V 5 m / s o m.1 olaak elde edili. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 81

83 Önek.8 Aşağıda bi biyel kolu ve onun kütle mekezinin eğisel yöüngesi göülmektedi. Biyel kolunun kütlesinin cg noktasında toplandığını kabul edeek biyel koluna etkiyen haici kuvvetlei belileyiniz. Kank yaıçapı R 6 mm, Biyel uzunluğu 4R, biyel kütlesi m 6 g, b biyelin A u gc y x B, 3 ad / s kütle mekezinin piston pimi mekezinden uzaklığı u.5r olaak veiliyo. Kank tes saat yönünde dönmektedi. Silindi ekseni ile biyel kolu doğultusu aasındaki pozisyona bağlı açı ile gösteilmektedi. Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 8

84 Çözüm Veilen şekle göe kütle mekezinin ye koodinatlaı x Rsin u sin y R cos u cos olu. Kütle mekezinin ye vektöü Rsin u sin i R cos u cos j olu. Kütle mekezinin hız ve ivme vektölei V Rcos u cos i Rsin u sin j a Rsin Rcos u sin u cos i R cos Rsin u cos u sin j olaak belileni. Biyel açısı ve tüevlei Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 83

85 R acsin sin Rcos cos Rsin Rcos sin cos olaak belileni. Haici kuvvet F m Rsin R cos u sin u cos i m R cos Rsin u cos u sin j olu. Spesifik değele son eşitliğe yazılısa cos F 5sin i.6 54cos tg sin j 3 cos elde edili. Aşağıdaki şekilde haici kuvvetin bileşenlei göülmektedi F x ve FX Fy F y nin kank açısı ile değişimlei ,785 1,57,355 3,14 3,95 4,71 5,495 6,8 Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 84

86 Önek.9 Bi bou içeisindeki akış çizgisi üzeinde ileleyen bi akışkan patikülünün ye vektöü ti t j k eşitliği ile veiliyo. Akış çizgisi üzeinde basınç değişimini ivme cinsinden t tanımlayınız Çözüm 1 Aşağıda bi akış çizgisi üzeinde ileleyen bi pizmatik hacim elemanı göülmektedi. Hacim elemanının yüzeylei x-y, x-z ve y-z düzlemleine paalel seçilmişti. Haeket esnasında hacim elemanının dönmediği ve kütlesinin değişmediği kabul edilmektedi. Bu pobleme ikinci kanunun F F i F j F k ma i ma j ma k x y z x y z şekli uygulanabili. Fx kuvveti elemanın sol ve sağ yüzeylei aasındaki basınç fakından, kuvveti ön ve aka yüzeyle aasındaki basınç fakından F z kuvveti alt ve üst yüzeyle aasındaki basınç fakı ve ye çekiminden oluşmaktadı. Elemanın otasındaki basınç p kabul edileek yüzey basınçlaı Taylo seisi ile hesaplanı ve yeine yazılısa son eşitlik F y Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 85

87 yöünge p-dpx p+dpz p+dpy p+dpx z dz p-dpy mg p-dpz dx dy y x p x p x p y p y p p y z i p p x z j x x y y p z p z p p yx xyzg k ma i ma j ma k x y z z z olu. Geekli götütmele yapılaak eşitlik p p p i j g k xyz ma i ma j ma k x y z x y z şeklinde kısaltılı. Son eşitlikte m xyz yazılaak teka p p p i j g k a i a j a k x y z x y z şeklinde düzenlenebili. Buadan basınç gadyanının ivme ile ilişkisi göülmektedi. İvme vektöü j k 3 t Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 86

88 olup yeine yazılısa p p p i j g k j k 3 x y z t elde edili. Bu son eşitlik ye vektöü ile bilikte kullanılaak akış alanında istenilen yedeki basınç gadyanı belileni. Mesela t=1 denise ye vektöü i j k noktasını göstei. Bu noktadaki basınç gadyanının p p p i j g k j k x y z olduğu belileni. Önek.1 Değişken kesitli bi bou içeisinde ileleyen bi akışkan taneciğinin ye vektöü 3 t i t j t k ile veilmektedi. Boudan geçen akışkanın debisi Q.1 m / s olaak veilmektedi. Bounun s aalığındaki kısmını sabit tutmak için geekli olan kuvveti belileyiniz. Akışkan sıkışmaz bi viskozitesiz akışkandı. Çözüm Hız vektöü V ti t j tk olaak belileni. Hızın skala değei V 1 t olu. İvme vektöü a i j k olaak belileni. İvmenin skala değei a 1 olaak hesaplanı. Paçacığın aldığı yol ile zamanın ilişisi Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 87

89 t 1 s 1 t dt t 4 olaak belileni. Son eşitlikten zaman t 4 1 1/4 s olaak elde edili. İvme ve zamanın çapımından paçacığın hızı 1/4 4 1/4 V 1 s 1 4 s 1 V 1 4 1/4 s şeklinde ifade edili. Son eşitlik hız ile yol aasındaki ilişkiyi göstemektedi. Bounun kesiti Q Q A V s 1 4 1/4 olaak hesaplanı. Bouya x doğultusunda etkiyen haici kuvvet Q F x a dm x x x 1/4 a Ads a ds 1 4 s Q.1 F a s N x x 1/ 1/4 1/ olaak hesaplanı. x y z bou paçasına etkiyen kuvvet vektöü a a a olduğu için kuvvetin diğe bileşenlei de aynıdı. Netice olaak F i i k olaak belileni. Teğet ve dik eksenli düzlem koodinat sistemi Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 88

90 Teğet ve dik eksenli düzlem koodinat sisteminde hızın safi teğet bileşeninin mevcut olduğunu, İvmenin hem teğet hem de dik bileşeninin mevcut olduğunu biliyouz. İvmeden kaynaklanan kuvvetlein de he iki bileşeni mevcuttu. Teğet ve dik eksenli düzlem koodinat sisteminde ivmeli haeket yapan bi paçacığa Newton yasası dv dm v dm F F e F e m v m ve e ve t t n n t n t dt dt dt şeklinde uygulanabili. Kütlesi sabit olan paçacıkla için son eşitlik (.18) v F e F e mve m e t t n n t n (.19) şeklinde kısaltılı. (a) yöünge (b) nomal koodinat n teğet koodinat t' A d ds B yöünge v(t+t) v(t) Şekil.Teğet ve dik eksenli düzlem koodinat sistemi Önek.11 Kütlesi 1 ton olan bi kamyon 5 m/s hız ile gideken fenleyeek 1 y 5 x at ivmesi ile 1 m / s eşitliği ile tanımlı bi viaja giiyo. Kamyonun ivmeli haeketine Newton yasasını uygulayaak kamyona etkiyen haici kuvveti belileyiniz. Çözüm Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 89

91 Kamyonun eğiye teğet hızı V 5 t (a) olaak tanımlanı. Kamyona etkiyen kuvvet 5 t F F e F e 1e 1 e (b) t t n n t n şeklinde ifade edili. Eğilik yaıçapı 3/ 1 x 1 (c) olaak belileni. Ye vektöü 1 xi x j 5 (d) olu. Hız vektöü 1 i j 1 dx x dx V i j 1 x dt 1 x 1 dt 1 1 x (e) olu. Skala hız Vv 1 1 i j 1 1 x dx 1 x 1 dt 1 1 x (f) V 1 dx 1 1 x dt (g) olaak belileni. Son eşitliğe yukaıdaki hız-zaman ilişkisi yazılaak 1 dx 5 t 1 1 x dt (h) Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 9

92 x t 1 5t 1 dx s 1x (i) t 5 s 65 (j) elde edili. Hangi x te haici kuvvet belilenecekse o x e kaşılık gelen s sayısal integal ile (i) eşitliği kullanılaak belileni. Belilenen s (j) eşitliğinde kullanılaak zaman belileni. Sona söz konusu x için belileni. En sonunda (b) eşitliği kullanılaak söz konusu x için haici kuvvet vektöü belileni. Aşağıdaki tabloda x e kaşı s s, ve t nin önek değelei göülmektedi. x (m) (m) (m) t (s) Viajın X=5 m sinde kamyona etkiyen haici kuvvet F F e F e 1e 1 e 51.5 t t n n t n Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 91

93 F 1 e e t n olaak belileni Daiesel koodinat sistemi Daiesel koodinat sisteminde ivmeli haeket yapan bi paçacığa Newton haeket yasasının uygulanması d mv F F e F e m e m e dt dm e e dt şeklinde olu. Cismin kütlesi sabit olduğu zaman son eşitlik (.) F m e m e (.1) şeklinde kısalı. Önek.1 Önek 1.14 deki su çakına etkiyen momenti statik hal ve 1 ad / s sabit hız için belileyiniz. Çakın dış yaıçapı 1 m, iç yaıçapı 5 cm, kağıt düzlemine dik boyutu w 5 cm, 3 tübinin su debisi 1 m / s olaak veiliyo. Çözüm Hız ve ivme vektölei önceden 6 Q.6R Q v e e 8 w w Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 9

94 1 1 6 Q.36R Q.1 R Q a e w w Q.36R Q w 4 w 6 9 e olaak belilenmişti. Bi akışkan paçacığına etkiyen kuvvet Q.36R Q.1 R Q df dm e w w 6 Q.36R Q dm e 9 w 4 w şeklinde ifade edilebili. Söz konusu akışkan paçacığı bibiine yeteince yakın iki yaıçap çizgisi aasındaki akışkan kütlesi olup aşağıdaki şekilde çak üzeinde gösteilmişti. Son eşitlik ile tanımlanan kuvvetin adyal bileşeni moment yaatmaz. Momenti yaatan teğet bileşendi. Ayıca çak sabit hızla döndüğü için olmaktadı. Moment 6 Q.36R Q dm dm 9 w 4 w 6 o Q.36R Q M wd 9 i w 4 w 6 o 18RQ M Q d 7 i 1 w M Q 6 18RQ 6 w 6 o i 6 3RQ 1 1 M Qo i w o i Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 93

95 M olaak belileni. Veilen çak saat yönünde döndüğü için geekmektedi. Bu önekte 1 ad / s nın negatif sayı olması veilmiş olup bu vei çakın yönü ile uyumludu. Eule tübin teoisinde çaklaın momenti M Q V V o, o i, i olaak veilmektedi. Daiesel koodinatta hız vektöü v e e (b) olaak veilmektedi. Bu hız vektöünde bulunan ikinci teim teğet hız bileşeni olup V (c) 1 R 6 6 olaak yazılabili. eşitliğe yazılaak teğet hız bileşeni 6 7 Eşitliğinden elde edili. Bu sonuç son 6 7.6R V.6R (d) olaak elde edili. Bu eşitlikte bulunan Q w (e) olaak tanımlanmış olup bu değe eşitlik (d) ye yazılaak V.6R 6 Q 8 w (f) elde edili. Son eşitlikten V.6R Q w 6, i i 8 i (g) Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 94

96 V.6R 6, o o 8 o Q w elde edili. Bunla Eule Tübin teoisine yazılısa 6 Q 6 Q M Q.6R.6R o 8 i 8 w w o i (h) (i) M Q o i 1 w 6 3RQ o i M Q o i 1 w 6 3RQ o i (j) (k) M (l) elde edili. Bu eşitlikte 1 yazılacaktı. Göüldüğü üzee aynı sonuç elde edilmektedi. İşaet fakı önem az etmez. +d i o dm Silindiik koodinat sistemi Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 95

97 Silindiik koodinat sisteminde ivmeli haeket yapan bi cisim için Newton Haeket yasası d mv F F e Fe Fzez (.) dt F m R R e m R R e mz e Re Re ze m şeklinde yazılabili. Kütlesi sabit cisimle için bu eşitlik z z z (.3) F m R R e m R R e mz e (.4) şeklinde düzenleni Önek.13 Aşağıdaki şekilde hem adyal hem de eksenel akışlı bi su tübininin çakı ve kanat pofili göülmektedi. Akış alanının z e dik kesiti olduğunu ile z aasında ise 1 tok unu analiz ediniz. 1 A z ile z aasında ve z e h olacak ve optimum değei aaştıılacaktı. R ile z aasında linee ilişkile şeklinde bi ilişki olduğunu kabul edeek çakın Ri A R z Re Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 96

98 Çözüm Z ile A z nin ilişkisi A A zi ze A A z Z ze h şeklinde bi linee koelasyon ile ifade edilebili. Süeklilik denklemiq V A z z olup akış z ye zıt yönde olduğu için V z Q Az A ze Q A A zi h şeklinde uygulanması geekmektedi. Bu eşitlikte dz dt A ze Q A A zi h ze z ze z V z dz dt yazaak elde edili. Son eşitlikten A A zi ze Qdt A z dz ze h A A zi ze z Qt A z C ze h ilişkisi elde edili. t, z h sını şatı kullanılaak eşitlik yeniden C A A zi ze h A h ze h A A zi ze z A A zi ze h Qt A z A h ze ze h h şeklinde düzenleni. Bu eşitlikten z çekilise belileni. Son h Qth h A A zi ze h z A z A h ze ze A A A A A A h zi ze zi ze zi ze ha ze z A A A A olu. Kökleden Qth A A A h zi ze zi zi ze zi ze Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 97

99 ha ze z A A A A Qth A A A h zi ze zi zi ze zi ze geçekçi köktü. znin zaman tüevlei A A A A zi ze Qth A A A h zi ze zi Qh z zi ze 3 Qth A A zi ze A h zi Qh A A zi ze A A zi ze z olu. Paçacığın adyal koodinatı R R h i e R R z e olaak belileni. Radyal koodinatın zaman tüevlei 1 R R i h R e z R R i h R olu. Paçacığın açısal koodinatı e z z 1 e h olup, zaman tüevlei z 1 e h 1 z h 1 z z z z e e h h h h olaak belileni. Sabit çakta haeket eden bi paçacığın ye, hız ve ivme vektölei cos Rsin t i R t j zk Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 98

100 V Re R e ze a R R e R R e ze olu. Çak dönüyosa bi paçacığın ye, hız ve ivme vektölei z cos Rsin ti R t j zk z V Re R e ze a R R e R R e ze olu. Bu eşitliklede bulunan (.3) e göe sabit çakta haeket eden bi paçacığa etkiyen haici kuvvet vektöü z çakın dönme miktaı, açısal hızı ve açısal ivmesidi. Eşitlik F dm R R e dm R R e dmz e olup, bu eşitlikte dm ile çakın bibiine çok yakın hehangi iki kesiti (z ye dik olmak kaydı ile) aasındaki su kütlesi gösteilmektedi. Kanatlaın işgal ettiği ye hesap dışı bıakılmıştı. Bu su kütlesinin atalet kuvvetinin yaattığı moment zi zi ze ze zi A A zi ze ze ze M R R R dm R R R A dz M R R R A z dz h t peyod A A zi ze M R R R A z zdt ze t h olaak hesaplanı. Son eşitlikte bulunan integalin çözümü sayısal işlem geektimektedi. Eşitliğin kapsadığı büyüklükle hepsi yukaıda tüetilmişti. Haeketli bi çak içeisinde haeket eden bi paçacığa etkiyen atalet kuvveti olup, moment F dm R R e dm R R e dmze z z z z Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 99

101 t peyod Azi Aze M R R R A t ze z zdt h olaak ifade edili. Çak sabit hız ile dönüyosa moment olu. t peyod Azi Aze M R R R A t ze z zdt h Çakın üst yaıçapı 1 m, alt yaıçapı.3 m, konik usku milinin üst yaıçapı.5 m, alt yaıçapı.15 m, çakın yüksekliği 1 m, akış kanalının mekezindeki akış çizgisinin (beyaz çizgi) başlangıç noktası (R=.75 m,, z=1 m), akış çizgisinin bitiş noktası (R=.5 m, /ad, z= m), debi 3 Q 5 m / s oluşan yöüngele aşağıdaki gibi olu. olaak kabul edilise; bii sabit diğei 6 ad/s hızla dönen iki çak içeisinde Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 1

102 Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 11

103 BÖLÜM 3DÖNME HAREKETİ YAPAN PARÇACIKLARIN KİNETİĞİ Bundan önceki bölümlede paçacıklaın doğusal yadaeğisel yöünge üzeinde yaptıklaı öteleme haeketlei incelenmişti. Bi paçacık öteleme esnasında aynı zamanda dönme haeketi de yapabili. Veya paçacığın kütle mekezinin yei değişmeden olduğu yede dönme haeketi yapabili. Bu kısımda Newton haeket yasalaının dönme haeketleine uygulaması yapılacaktı. 3.1 Açısal momentum (Momentumun momenti) Katezyen Koodinatta Açısal momentum Bi x,y,z koodinat sisteminde haeket eden bi paçacığın linee momentumu paçacığın yei de vektöü ile veilsin. Paçacığın açısal momentumu mv ile H mv (3.1) şeklinde yazılı. H vektöü ve V vektöleinin oluştuduğu düzleme dik bi vektödü. Söz konusu düzlemin tanımlaması statik desinde anlatılmaktadı. Şekil 3.1 dikkate alınaak vektöünün skala değei H mv sin (3.) şeklinde yazılabili. H Şekil 3.1 Gazi Ünivesitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü Sayfa 1