Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri

Transkript

1 Bölüm Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri Bu bölümde, birinci basamaktan başlangıç değer problemleri için Tek adım (Yamuk, Düzeltilmiş Euler(Heun), Runge-Kutta yöntemlerinin nasıl elde edildikleri, pratik problemlere nasıl uygulandıkları, hata analizleri ve diğer yöntemlere göre avantaj ve dezavantajlarını kapsamlıolarak inceliyoruz. Mevcut kaynaklardan farklı olarak, verilen probleme ait yön alanları içerisinde sayısal çözümleri değerlendirerek, yöntemlerin performansını komşu çözüm eğrilerinin davranışlarınıdikkate almak suretiyle inceliyoruz.. Yamuk yöntemi y = f(t, y), t (a, b) (.) y(a) = y

2 Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri başlangıç değer problemini göz önüne alalım. [a, b] aralığını h = (b a)/n uzunluklu n adet alt aralığa bölelim ve elde edilen aralıkların uç noktalarını t = a, t = a + h,..., t n+ = a + nh = a + n(b a)/n = b ile gösterelim. (.) ile verilen denklemin [t i, t i+ ] aralığında integralini alarak veya t i+ t i y (s)ds = y(t i+ ) = y(t i ) + t i+ t i t i+ f(s, y(s))ds t i f(s, y(s))ds (.) integral denklemini elde ederiz. (.) deki integral için farklı sayısal integrasyon yaklaşımlarıfarklıyöntemleri üretir: b Kural f(x)dx (.) için yaklaşım a Sol dikdörtgen f(a)(b a) y(t i+ ) = y(t i ) + hf(t i, y(t i )) Sağ dikdörtgen f(b)(b a) y(t i+ ) = y(t i ) + hf(t i+, y(t i+ )) (b a) y(t Yamuk (f(a) + f(b)) i+ ) = y(t i ) + h (f(t i, y(t i )) + f(t i+, y(t i+ ))) Tablodaki eşitliği sağlayan yaklaşımlarıy i+ = y(ti+ ) ve Y i = y(ti ) ile gösterelim. Böylece integral için sol dikdörtgen yaklaşımının ileri Euler, sağ dikdörtgen yaklaşımının geri Euler yöntemlerini ürettiğini görürüz. Yamuk yaklaşımıile ise Y i+ = Y i + h/[f(t i, Y i ) + f(t i+, Y i+ )], Y = y(a), i =,,... (.) ile tanımlanan Yamuk iterasyonunu elde ederiz. Geometrik olarak yönteme baktĭgımızda ise ileri Euler yöntemindeki f(t i, Y i ) eğimi ve geri Euler yöntemindeki f(t i+, Y i+ ) eğimi ile hareket etmek yerine, bu iki eğimin ortalamasıolan m = [f(t i, Y i ) + f(t i+, Y i+ )]/ (.4) eğimi esas alınmakta ve bu eğimle h adım uzunluğu kadar ilerleyerek Y i+ yaklaşımının elde edildiğini gözlemleriz.

3 . Yamuk yöntemi ÖRNEK.. y = y + t y() = başlangıç değer problemi için [, ] aralĭgında h = /4 adım uzunluğu ile ilgili yaklaşımlarıyamuk yöntemi ile hesaplayınız. Çözüm. veya (.) fark denklemini f(t, y) = y + t için uygulayarak elde ederiz. h = /4 için ve Y = y() = olmak üzere Y i+ = Y i + h/(t i + Y i + t i+ + Y i+ ) Y i+ = [( + h/)y i + (t i + t i+ )h/]/( h/) t =, t = /4, t = /, t 4 = /4, t 5 = Y = [( + (/4)/) + ( + /4) /8]/( (/4)/) = 8 Y = [( + (/4)/) + (/4 + /) /8]/( (/4)/) 8 = 5 98 elde ederiz. Benzer biçimde diğer yaklaşımlarıy 4 =.756, Y 5 =.76 olarak elde ederiz. Ayrıca gerçek çözümün de olduğuna dikkat ederek y(t) = t + e t E(t i ) = Y i y(t i ) kümülatif hatalarınıhesaplayabiliriz. Yamuk yaklaşımlarıve kümülatif hatalar Tablo. de sunulmaktadır.

4 4 Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri i t i Y i E(t i ).5 / Tablo.: Örnek. e ait yaklaşımlar ve kümülatif hata Şekil.: Örnek. e ait çözüm eğrileri ve gerçek çözüm(o) Uyarı. Komşu çözüm eğrilerinin davranışıve sayısal yaklaşımların hassasiyeti arasında bir ilişki söz konusudur. Örnek. e ait y =.5 :.5 : başlangıç değerleri için çözüm eğrileri ( ) ve h =. adım uzunluğu ile [, 4] aralığındaki yaklaşık çözümler( o) Şekil. de verilmiştir. Artan t değerleri için çözüm eğrileri birbirinden uzaklaşmaktadır. Bu durumda artan t değerleri için kümülatif hatanın artmış olması beklenen bir sonuçtur. Çünkü yöntem komşu çözüm eğrilerinin eğimi ile hareket etmektedir. TEOREM.. (Yamuk yönteminin yerel kesme hatası) y C [a, b], t i, t i+ = (t i + h) (a, b) olmak üzere (.) ile verilen Yamuk yöntemin t i noktasındaki kesme hatası, yani gerçek çözümün standart halde yazılan fark denklemini sağlamadĭgımiktar,

5 . Yamuk yöntemi 5 dir. İspat. ve E k (t i, h) = [y(t i+ ) y(t i )]/h /[f(t i, y(t i )) + f(t i+, y(t i+ )] = h /y (c), c (a, b) Taylor açılımıyardımıyla f(t i+, y(t i+ )) = y (t i+ ) = y (t i ) + hy (t i ) + h /y (c), c (t i, t i+ ) açılımlarıyerine yazılarak y(t i+ ) = y(t i ) + hy (t i ) + h /y (t i ) + h /6y (c ) E k (t i, h) = (y(t i+ ) y(t i ))/h /(f(t i, y(t i )) + f(t i+, y(t i+ )) = (y(t i ) + hy (t i ) + h /y (t i ) + h /6y (c ) y(t i ))/h y (t i ) h/y (t i ) h /4y (c )) = h /6y (c ) h /4y (c ) = h (/6y (c ) /4y (c )). = h y (c), c (t i, t i+ ) elde ederiz. O halde yamuk yönteminin kesme hatası O(h ), h dır. Buradan yerel hatanın O(h ) ve kümülatif hatanın ise O(h ), h olduğu hemen görülür. O halde yöntem ikinci basamaktandır... Yöntemin nonlineer problemlere uygulanışı (.) ile verilen kapalıfark denklemi ile ilgili Y i yaklaşımlarınıelde edebilmek için her adımda genelde ilgili nonlineer denklemin çözümü belirlenmelidir. Bunun için değişik pratik yöntemler söz konusudur. Örneğin Y (k+) i+ = Y i + h/[f(t i, Y i ) + f(t i+, Y (k) i+ )], k =,,,..; i =,,... (.5) ile tanımlanan iterasyonun birkaç kez uygulanarak her adımda Y i+ yaklaşımının belirlenmesi mümkündür. Y i+ () başlangıç değeri için uygun bir

6 6 Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri seçim bir önceki noktada elde edilen yaklaşım, yani Y i dir. Sonuçlandırma kriteri olarak uygun bir ɛ > sabiti için Y (k+) i+ Y (k) i+ < ɛ eşitsizliği kontrol edilebilir. (.5) iterasyonunun yakınsamasıiçin h adım uzunluğunun uygun biçimde seçilmesi gerekir. ÖRNEK.. y = y cos(t), y() = 7/8, 7/8 başlangıç değer probleminin belirtilen başlangıç değerleri ile çözüm eğrilerini yamuk yöntemi ile elde ediniz. Denklemin [, ] aralĭgında yön alanlarınıve aynı başlangıç değerleri için gerçek çözüm eğrilerini elde ediniz. Çözüm. Verilen problemin analitik çözümü y = sin t /y() olarak ifade edilebilir. [, ] [ 8, 8] bölgesindeki yön alanları içerisinde belirtilen başlangıç değerleri ve Yamuk yöntemi ile elde edilen çözüm eğrileri(-.) ve analitik çözüm eğrileri(-) Şekil. de sunulmaktadır. Sayısal çözümler Program. ile elde edilmiştir. Analitik ve sayısal çözümlerin uyumlu olduğu görülmektedir. ÖRNEK.. (Yamuk yöntemi pratik olarak II. basamaktandır) y = y + cos(t) sin(t), y() = başlangıç değer problemi verilsin. [, ] aralĭgında h =. ve h =. adım uzunluklarıiçin yaklaşık çözümleri Yamuk yöntemi yardımıyla elde ediniz. Kümülatif hatanın O(h ) olduğunu gözlemleyiniz. Artan t değerleri için kümülatif hatanın değişimini grafiksel olarak gözlemleyiniz. Çözüm. (.) yöntemine göre Y i+ = Y i + h/(y i + Y i+ + cos(t i ) sin(t i ) + cos(t i+ ) sin(t i+ )) iterasyonu elde ederiz. Bu denklem Y i+ e göre çözerek Y i+ = (Y i +h/(y i +cos(t i ) sin(t i )+cos(t i+ ) sin(t i+ ))/( h/) (.6)

7 . Yamuk yöntemi Şekil.: Örnek. için yön alanlarıile sayısal(-.) ve gerçek çözüm(-) eğrileri. elde ederiz. (.6) ile h =. ve h =. adım uzunlukları ile elde edilen yaklaşımlar Tablo. de verilmektedir. h =. adım uzunluğu ile elde edilen kümülatif hataların h =. adım uzunluğu ile elde edilen hataların yaklaşık dörtte biri kadar olduğuna dikkat edelim:.46/4 =.7 =.6,./4 =.5,.65/4 =.6. Bu sonuç yukarıda ifade edildiği üzere kümülatif hatanın O(h ) olduğunu doğrulamaktadır. Yani adım uzunluğu ikiye bölünmek suretiyle kümülatif hata yaklaşık olarak dört kat azalmaktadır. Öte yandan h =. için elde edilen gerçek çözüm(o) ve yaklaşık çözüm(*) ise Şekil. de verilmektedir. Şekil. den artan t değerleri için istenilen gerçek çözümden(y = sin(t)) uzaklaşan komşu çözüm eğrilerinin, yöntem ile elde edilen yaklaşımları da olumsuz olarak etkilediği görülmektedir.

8 8 Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri % % Örnek. verileri ile Sabit nokta % iterasyonlu Yamuk Yontemi % sonuc=yamuksabit(h,tmax) % function yamuksabit(h,tmax) y=7/8; n=ceil(tmax/h); eps=.; t=;y=y;t=t; y=y; for j=:n fark=*eps; while fark>eps y=y+h/*(f(t,y)+f(t+h,y)); fark=abs(y-y); y=y; end y=y; t=t+h; T=[T;t];Y=[Y;y]; end plot(t,y); function yp=f(t,y) yp=y*y*cos(t); % % Program.: Sabit Nokta iterasyonlu Yamuk Yontemi. Düzeltilmiş Euler( Heun veya Runge- Kutta-II) yöntemi Geri Euler yönteminde olduğu gibi Yamuk yönteminin de nonlineer problemlere uygulanışıher adımda bir sabit nokta iterasyonu gerektirir. (.) te yer alan Y i+ bilinmeyeni için İleri Euler yöntemine göre elde edilen yaklaşım kullanılarak m = [f(t i, Y i ) + f(t i+, Y i + hf(t i, Y i ))]/

9 . Düzeltilmiş Euler( Heun veya Runge-Kutta-II) yöntemi 9 t Y (h =.) Y (h =.) y(gerçek) Hata(h =.) Hata(h =.) Tablo.: Yamuk Yöntemi ile Örnek. e ait yaklaşımlar ve Kümülatif Hata Şekil.: Örnek. için yamuk yaklaşımları(o) ve gerçek çözüm(-),h =. eğimi ile Düzeltilmiş Euler veya Heun yöntemi olarak ta adlandırılan Y i+ = Y i + hm (.7) = Y i + h/[f(t i, Y i ) + f(t i+, Y i + hf(t i, Y i ))], i =,, yöntemi elde edilir. İşlem kolaylĭgıaçısından (.7) yöntemini p = Y i + hf(t i, Y i ) (.8) Y i+ = Y i + h/[f(t i, Y i ) + f(t i+, p)], i =,, olarak ifade etmek daha uygundur. Alternatif olarak (.8) yöntemi m = f(t i, Y i ) (.9) m = f(t i+, Y i + hm ) Y i+ = Y i + hm, i =,,... olarak ifade edilebilir. Burada m = (m + m )/ ile tanımlanan eğimler ortalamasıdır.(.9) biçiminde yazılan şekliyle yöntem Runge-Kutta-II(RKII)

10 Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri egim=m=(m +m )/ egim=m Y egim=m Y t t Şekil.4: Düzeltilmiş Euler(Heun veya Runge-Kutta) yöntemi ile Y yaklaşımı olarak bilinir ve gerçektende ikinci basamaktandır(bknz Alıştırma ). Y = y(t ) başlangıç değerinden hareketle Y yaklaşımının nasıl elde edildiği geometrik olarak Şekil.4 te sunulmaktadır. II. basamaktan Runge Kutta yöntemi ile (t i, Y i ) noktasında hesaplanan m eğimi ve ileri Euler yöntemi ile h adım uzunluğu kadar ilerlemek suretiyle ulaşılan noktada m eğimi hesaplanır ve elde edilen eğimlerin ortalamasıile h adım uzunluğu kadar ilerleyerek Y i+ noktasıelde edilir. ÖRNEK.4. problemi verilsin. y = y + sin(t) + cos(t) y() = h = /4 adım uzunluğu ile [, ] aralĭgındaki yaklaşım tablosunu RKII yöntemi yardımıyla hesaplayınız. h =. adım uzunluğu ile y = : : başlangıç değerlerine karşılık gelen çözüm eğrilerini RKII yöntemi ile [, 7] aralĭgında elde ediniz.

11 . Düzeltilmiş Euler( Heun veya Runge-Kutta-II) yöntemi Çözüm. h = /4 için t =, t = /4, t = /, t 4 = /4, t 5 = ; Y = y() = olmak üzere m = f(t, Y ) = f(, ) = m = f(t, Y + hm ) = f(/4, /4) = /4 + sin(/4) + cos(/4) =.966 m = (m + m )/ =.966/ =.98 Y = Y + hm =.458 elde ederiz. Diğer değerler Tablo. de verilmektedir i t i Y i y(t i ) = sin(t i ) E(t i ) = Y i y(t i ) / / / Tablo.: Örnek.4 için Runge-Kutta yaklaşımlarıve kümülatif hata. Örnek.4 ün çözüm eğrilerinin birlikte hareket eden veya daha teknik bir ifadeyle eş şürekli bir aile oluşturduğu görülmektedir. Bu durumda komşu çözüm eğrilerinin eğimlerini referans alan yöntemlerin iyi sonuç vermesi beklenmektedir. Şekil.5 de y = : : başlangıç değerleri için gerçek çözümleri; RKII yöntemi ile elde edilen çözüm eğrileri(o) h =. adım uzunluğu için [, 7] aralığında verilmektedir. Elde edilen sayısal sonuçların gerçek çözüm eğrileri ile uyumlu olduğu görülmektedir. ÖRNEK.5. Örnek. e ait yaklaşımlarırk-ii yöntemiyle ve h =.,.5,.5,.5 adım uzunluğu ile hesaplayınız.

12 Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri Şekil.5: Örnek.4 için yön alanlarıve y = : : başlangıç değerleri ile çözüm eğrileri, (-); y = a karşılık gelen y = sin(t) çözüm eğrisi ve RK yaklaşımı(o). Çözüm. Örnek. için sırasıyla h =., h =.5, h =.5 ve h =.5 adım uzunluklarıile elde edilen Runge-Kutta yaklaşımlarışekil.6 (a),(b),(c) ve (d) de sırasıyla sunulmaktadır. Örnek. e ait komşu çözüm eğrileri Şekil.7 de sunulmaktadır. h adım uzunluğunun küçültülmesi ile daha iyi yaklaşımlar elde edildiği görülmektedir, ancak komşu çözüm eğrilerinin farklıkalitatif davranışlarıartan zaman değerleri için kabul edilebilir yaklaşımlar elde edilmesini engellemektedir. Uyarı. Şekil.7 den y() = noktası komşuluğundaki başlangıç değerlerle başlayan çözümlerin bu başlangıç şartınısağlayan y = sin(t) çözüm eğrisinden artan t değerleri için hızla uzaklaştıkları görülmektedir. y() için problemin gerçek çözümü y = sin(t) + y()e t

13 . Düzeltilmiş Euler( Heun veya Runge-Kutta-II) yöntemi 5 5 (a) 5 5 (b) 5 5 (c) 5 5 (d) Şekil.6: Örnek.5 için farklıadım uzunluklarıile RKII yaklaşımları(o) ve gerçek çözüm(-) Şekil.7: Örnek.5 için komşu çözüm eğrileri, y() = için RKII yaklaşımı(kırmızı-o) ve gerçek çözüm(mavi çizgi)

14 4 Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri olarak elde edilir. Sıfır noktasının çok küçük komşuluğunda bile olsa y() > şartını sağlayan çözümlerin t için a ve y() < şartını sağlayan çözümlerin ise t için a yaklaşacağıgerçek çözümden görülmektedir. Daha yüksek basamaktan yöntemlerin performansları da. türündeki hassas problemler için merak edilebilir. Pratik olarak güncelliğini koruyan bir diğer yöntem IV. basamaktan Runge-Kutta yöntemidir. RKIV:IV. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi Bu yöntem, t i noktasında ve ileri Euler yöntemi ile ulaşılan t i + h/,t i+ = t i + h noktalarında hesaplanan dört eğimin ağırlıklı ortalaması ile h adım uzunluğu kadar ileri Euler yöntemiyle ilerlemek suretiyle Y i+ noktasınıbelirler: m = f(t i, Y i ) m = f(t i + h/, Y i + h m ) m = f(t i + h/, Y i + h m ) m 4 = f(t i + h, Y i + hm ) m = (m + m + m + m 4 )/6 Y i+ = Y i + hm Yukarıda tanımlanan m, m, m ve m 4 eğimlerinin {w, w,..., w k } ağırlıklarıyla oluşturulan ve m = k w i m i i= k i= w i

15 . RKIV:IV. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi 5 egim=m (t i+,y i+ ) egim=m (t i,y i ) egim=m 4 egim=m egim=m t i t i +h/ t i+ =t i +h Şekil.8: Runge-Kutta IV yöntemi ile Y i+ yaklaşımı ile tanımlanan ağırlıklıortalaması(eğimi) ile elde edilen Y i+ ileri Euler yöntemi yaklaşımışematik olarak Şekil.8 de gösterilmektedir: IV. basamaktan Runge-Kutta yöntemi ile (t i, Y i ) noktasında hesaplanan m eğimi, m eğimi ile (t i, Y i ) noktasından h/ kadar ilerleyerek elde edilen noktada m eğimi, m eğimi ile (t i, Y i ) noktasından h/ kadar ilerlemek suretiyle elde edilen noktada hesaplanan m eğimi, m eğimi ile (t i, Y i ) noktasından h kadar ilerlemek suretiyle ulaşılan noktada hesaplanan m 4 eğimlerinin m = (m + m + m + m 4 )/6 ağırlıklı ortalamasını hesaplar. Elde edilen bu ağırlıklı ortalama ile (t i, Y i ) noktasından ileri Euler yöntemiyle h kadar ilerlemek suretiyle Y i+ = Y i + hm

16 6 Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri h=. h= h=.5 h= Şekil.9: Farklıadım uzunluklarıile RKIV yaklaşımları yaklaşımıhesaplanır. İleri Euler yönemiyle ulaşılan eğim hesaplama noktaları, aranan çözüm eğrisi yerine yaklaşım hatalarınedeniyle genelde komşu çözüm eğrilerine ait eğriler üzerinde yer alırlar. O halde yöntem, komşu çözüm eğrileri üzerinden elde edilen eğimlerinin aranan çözüm eğrisi için uygun olmasıdurumunda iyi sonuçlar verir. Şekil.9 de Örnek. e ait yaklaşımlar ve gerçek çözüm eğrileri farklı adım uzunluklarıiçin verilmektedir. Şekil.6 ve Şekil.9 karşılaştırıldĭgında adım uzunluğunun küçük seçilmesi gereken problemlerde RK-IV ün RKII ye göre daha iyi sonuç verdiği, ancak elde edilen sonuçların başlangıç noktasının belirli bir komşuluğunun ötesinde tekrar yuvarlama hatalarınedeniyle komşu çözüm eğrilerinin davranışından etkilendiği görülmektedir. Bu durumda komşu çözüm eğrilerinin eğimini referans alan ileri Euler, Düzeltilmiş Euler(Heun, RKII) veya RKIV yöntemlerinin Örnek. için iyi sonuçlar vermesi beklenmemelidir.

17 . RKIV:IV. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi 7 Runge-Kutta IV, dördüncü basamaktan bir yöntemdir(alıştırma 4). Alıştırmalar... y = t + y, y() = başlangıç değer problemi verilmiş olsun. h = /4 alarak [, ] aralĭgındaki (a) Y = y() = için, Y ve Y Yamuk yaklaşımlarınıh > sabit adım uzunluğu cinsinden hesaplayınız. (b) h = /4 alarak [, ] aralĭgındaki Yamuk yaklaşımlarınıhesaplayarak aşağıdaki tabloda boş bırakılan değerleri doldurunuz. Sonuçlarınızı virgülden sonra beş basamak alacak biçimde yuvarlayınız. t i Y i (c) Problemin gerçek çözümünü belirleyiniz. (d) t = noktasındaki kümülatif hata nedir?. Soru de verilen başlangıç değer problemi ve h adım uzunluğu için yine aynıaralıkta (a) Runge-Kutta(II) yaklaşımlarınıhesaplayarak aşağıdaki tabloda boş bırakılan değerleri doldurunuz. t i Y i

18 8 Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri (b) t = noktasındaki kümülatif hata nedir?. >> f = inline( t + y, t, y ) ile fonksiyonunuzu MATLAB/OCTAVE ortamında tanıtarak >> [T, Y ] = ode(f, [, ], )(MAT LAB) veya >>T = :. : ; için Y = lsode(f,, T )(OCT AV E) komutu ile yaklaşık çözümleri elde ediniz. Elde ettiğiniz yaklaşımlarıyamuk, Runge-Kutta yaklaşımlarıve gerçek değerlerle karşılaştırınız. 4. Soru de elde ettiğiniz yaklaşımların grafiğini çizdiriniz. Ayrıca gerçek çözümün ode(veya lsode) ile belirlenen T noktalarındaki değerini hesaplayınız. Gerçek çözümün grafiğini de aynıeksende çiziniz. 5. Soru 4 de ode ile elde edilen yaklaşımları inceleyerek, T noktaları arasındaki uzaklĭgın nasıl değiştiğini gözlemleyiniz. Gerçek çözüm değerlerinin değişimi ile T noktalarıarasındaki uzaklık değişimi arasında bir ilişki görüyor musunuz? 6. Bu bölümde verilen Yamuk yöntemine ait Program. i Soru de verilen başlangıç değer problemi için [, ] aralĭgında h =. ve h =.5 adım uzunluklarıiçin çalıştırınız. Her iki h değeri için elde edilen kümülatif yaklaşım değerlerini hesaplayarak aralarındaki yaklaşık ilişkiyi gözlemleyiniz. h =.5 adım uzunluğu için de aynıişlemi tekrarlayınız. Elde ettiğiniz sonuçlar Yamuk yönteminin ikinci basamaktan bir yöntem olduğunu doğruluyor mu? 7. Yamuk yöntemi için verilen Program. i düzenleyerek >> [T, Y] = rk(f, tanim, y, h) komutu ile Runge-Kutta(II) yaklaşımlarını hesaplayacak biçimde düzenleyiniz. Burada tanim verilen problemin tanim aralĭgıdır, örneğin [, ] gibi. 8. Soru 7 de geliştirdiğiniz programısoru de verilen başlangıç değer problemi için çalıştırınız. Programla elde ettiğiniz değerler hesap makinesi yardımıyla bulduğunuz sonuçlarıdoğruluyor mu? 9. Soru 6 yırunge-kutta(ii) yöntemi için tekrarlayınız. Elde ettiğiniz sonuçlar yöntemin ikinci basamaktan bir yöntem olduğunu doğruluyor mu?

19 . RKIV:IV. Basamaktan Runge-Kutta yöntemi 9. Yamuk yöntemi için ifade edilen şartlar ile Runge-Kutta(II) yönteminin kesme hatasının da O(h ), h > olduğunu gösteriniz.. Soru 7 de geliştirdiğiniz rk programınıdüzenleyerek >> [T, Y ] = rk4(f, tanim, y, h) komutu ile Runge-Kutta(IV) yaklaşımlarını hesaplayacak biçimde düzenleyiniz.. Yöntemleri Karşılaştıralım: Yamuk yöntemi ile rk ve rk4 programlarını Soru de verilen problem için [, ] aralĭgında yaklaşık çözümlerini bulmak için kullanalım: (a) Öncelikle h =. adım uzunluğu ile yamuk yöntemi için elde ettiğiniz yaklaşımların grafiğini çiziniz. (b) Aynı adım uzunluğu için Runge-Kutta(II) yaklaşımlarının farklı bir grafik çizim işaretçisi, örneğin >> plot(t, Y, o ) komutu ile grafiğini çizdiriniz. (c) b) deki işlemleri Runge-Kutta(IV) için tekrarlayarak farklı bir grafik çizim işaretçisi, örneğin >> plot(t, Y, ) komutu ile grafiğini çizdiriniz. (d) T vektörü ile belirtilen noktalarda gerçek çözüm değerlerini elde ederek, aynı eksende ve farklı renkte (>> plot(t, Y, k ) ) grafiğini çizelim. Neler gözlemliyorsunuz? Runge-Kutta(IV) ile gerçekleştirilen ekstra işlemler diğer yöntemlere göre daha iyi bir yaklaşım elde etmenizi sağladımı?. y = y + cos(t) sin(t), y() = başlangıç değer problemini tekrar gözönüne alalım. (a) h =. adım uzunluğu ile [, ] aralĭgındaki rk4 yaklaşımlarını hesaplayalım. t = için kümülatif hata nedir? (b) h =. adım uzunluğu ile [, ] aralĭgındaki rk4 yaklaşımlarını hesaplayalım. t = için kümülatif hata nedir? (c) a) da elde ettiğiniz kümülatif hatanın b) de elde ettiğiniz hataya oranı hesaplayınız. Dördüncü basamaktan yöntem için bulmanız gereken 6 oranınıyaklaşık olarak bulabildiniz mi?

20 Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri 4. Proje: Yeterince düzgün çözüme sahip bir başlangıç değer problemi için Runge-Kutta(IV) yönteminin yerel kesme hatasının O(h 4 ), h > olduğunu gösteriniz.