DİFERENSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI ÇÖZÜLMÜŞ PROBLEMLER

Transkript

1 DİFERENSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI ÇÖZÜLMÜŞ PROBLEMLER Soru: Yan şartlı ve şartsız ekstremum Z=f(x,y)= x 4 +y 4-4xy+1 fonksiyonunun aşağıdaki şartlara göre yan şartlı ve yan şartsız çözümünü bulunuz. g 1 (x,y)=y+2=0, g 2 (x,y)=x-y=3 Yanşartsız Gerek şartlara göre.. 1.mertebe kısmi türevler F x =4x 3-4y=0 => x 3 =y F y =4y 3-4x=0 => y 3 =x X 9 =x => x 9 -x=0 =>x(x 8-1)=0 => x(x 4-1)(x 4 +1)=0 => x(x-1)(x+1)(x 2 +1)(x 4 +1)=0 den reel kökler x=0 => y 3 =x => y=0 x=1 => y 3 =x => y=1 x=-1 => y 3 =x => y=-1 A(0,0) B(1,1) C(-1,-1) f xx =12x2 f xy =-4 f yy =12y 2 => A(0,0) Eks. Nok. Değil => B(1,1) Eks. Nok. => B(1,1) Min. Nokta => C(-1,-1) Eks. Nokta => C(-1,-1) Min. Nokta Yanşartlı Ekstremum Çözümü: Lagrange Çarpanları yöntemine göre (I), (II) (II), (IV) III IV den, => 1

2 I-II den => Soru:Yan şartlı Extremum Piston gömleği üreten bir fabrikada kuru gömlek = x, yaş gömlek = y ile gösterilmektedir. Üretilen gömleklerin üretim fonksiyonu dir. Toplam stoğun 5600 olması isteniyor. Bu şartlar altında üretimi en üst düzeye çıkartacak kuru = x, yaş = y gömlek sayılarını hesaplayınız. Yan şartlar: Lagrange fonksiyonu Gerek Şartlar,, nın negatif olması yan şartın ana fonksiyon üzerinde negatif olduğunu gösterir., I. ve II. denklemlerde yerine koyarsak; => x = 2799,5 kuru gömlek sayısı => y=2802,1 yaş gömlek sayısı 2

3 Soru: Tam Dif.Denklem Üretimi yapılan bir ürünün, bir aşamasının standart zamanı x ile o ürünün hatalı yapılma ihtimali y arasındaki ilişki şöyledir. Standart zaman 0,2dk olarak alındığında hata ihtimali 0,10 olmaktadır. Buna göre standart zaman ile hata ihtimali arasındaki ilişkiyi bulunuz. O halde çözümü:,, => Dolayısıyla denklem tam diferansiyel denklemdir. (I) denkleminin y ye göre türevi alınırsa: Bulunur İfadesini (I) de yerine koyalım: çözüm fonksiyonu elde edilir. için x ve y arasındaki ilişki olmaktadır. 3

4 Soru: Tam dif.denklem Belirli bir malın x talep miktarındaki değişme ile y fiyatındaki değişme arasındaki ilişki şeklindedir. Talep miktarının 7 br olduğu zaman fiyat 10 TL ise talep miktarı ve fiyat arasındaki ilişkiyi bulunuz. Cevap: Verilen ilişkiyi şeklinde yazalım. Burada, olduğundan, bu bir tam diferansiyel denklem gösterir. O halde, bulunur. Burada da ve koyarak genel çözümü elde edilir. Bu çözümden sınır koşullar uygulanırsa, olacaktır. Böylece diferansiyel denklemin bir özel çözümü olarak, Bulunur. 4

5 Soru: Tam dif.denklem Bir malın x talep miktarı ile y fiyatındaki değişme arasındaki ilişki şeklindedir. Talep miktarının 4 br olduğu zaman fiyat 7,5 TL ise talep miktarı ve fiyat arasındaki ilişkiyi bulunuz. Cevap:,, => (tam diferansiyel) denklemdir. O halde çözüm: Denklemin y ye göre türevi alınırsa: yi (I) de yerine koyarsak: ve için c=432 bulunur. O halde denklem: bulunur. 5

6 Soru: Büyük bir satış mağazasını meydana getiren iki departmandan sağlanan kazançlar, yani satış ile toplam maliyetler arasındaki farklar; bağıntıları ile tespit edilmiştir. Burada; departmanın milyon TL olarak kazancını, Departmanın stoklarının milyon TL olarak tutarını, departman tarafından kullanılan mağaza alanının olarak değerini göstermektedir. Bu durumda, firmanın kazancını maksimum yapabilmesi için her departmana ne kadar yatırım (stoklar için) ve mağaza alanı tahsis edilmesi gerektiğini bulunuz. Şeklindeki 4 değişkenli fonksiyon firmanın toplam kazancı ve bulunur. Bu değerler Olduğundan 1. departmanın kazancını maksimum yaparlar. İkinci departman için denkleminin çözümünden ve bulunur. Bu değerler olduğundan 1. departmanın kazancını maksimum yaparlar. İkinci departman için Denkleminin çözümünden ve bulunur. Bu değerler 6

7 olduğundan 2. departmanın kazancını maksimum yaparlar. O halde firmanın toplam maksimum karı Bunu sağlamak için stoklara yapılacak toplam yatırım (13/3)+3=7.33 milyon TL, departmanlara tahsis edilecek toplam mağaza alanı, (14/3)+4=8.66 yani yaklaşık olarak 8700 dir. Yan şartlı Örneği: Yaptığımız örneği tekrar göz önüne alalım. Kazanç fonksiyonlarındaki bağımsız değişkenlerin aynı zamanda; ve şartlarını sağlamaları istendiğine göre, optimum yatırım miktarını ve mağaza alanını bulunuz. ( 6 bilinmeyenli bu sistemin çözümü ile; elde edilir. O halde sınırlayıcı şartlar yatırımın 7,33 yerine 5+3=8 milyon TL, mağaza alanının ise 8,66 yerine 4+3=7 yani olmasını gerektirmektedir. ( nün gölge fiyatlar olarak tefsiri öğrenciye bırakılmıştır.) Bu durumda net kar 25,3 milyon TL den 23 milyon TL na düşmektedir. 7

8 Soru:Yan şartlı ekstremum Bir fabrikada A ve B gibi iki ürün üretilmektedir. A ve B nin bir paketinde bulunması gereken madde miktarı X ve Y dir. Amaç denklemi: ve kısıt denklemleri ve olduğuna göre toplam maliyeti minimize eden X ve Y miktarlarını bulunuz. Lagrange fonksiyonu: Gerek şartlar: 8

9 Soru: Yan şartlı ekstremum Bir işletmenin aylık üretim miktarı 1000 birim olarak, fonksiyonu ile ifade edilmektedir. Emek ve sermaye girdilerinin birim fiyatları sırasıyla ve dir. Girdiler için yapılacak bir aylık harcamalara ilişkin bütçe sınırlaması ise TL dir. İşletme bütçe sınırlaması çerçevesindeki aylık üretim miktarını maksimumlaştırmak amacındadır. a) Optimum girdi bileşimi nedir? b) Girdilerin her birinin kullanım miktarını ve elde edilen maksimum aylık üretim miktarını hesaplayınız. a) b) 9

10 Soru:Yan şartsız ekstremum Bir projenin toplam maliyeti; x kalifiye elemanı, y de kalifiye olmayan eleman sayısını göstermek üzere maliyet fonksiyonu: olarak belirlenmiştir. a) Toplam maliyeti minimize eden, kalifiye olan ve olmayan eleman sayılarını, b) Belirlenen eleman sayıları yardımıyla minimum toplam maliyeti bulunuz. a) b) 10

11 Soru: Yan şartlı ekstremum Bir problemin (en az 2 bilinmeyenli), 1 kısıtlı, 1 kısıtsız, iki yolla çözümünü gösteriniz. Cevap: da ve kullanılan hammadde miktarını göstermek üzere yan şartlarını sağlayan hammadde miktarlarını belirleyelim. a) Gerek şartlardan: I) II) III) IV) IV ten dir. III te yerine koyarsak; Ortak çözümünden: I de II de 2/ 2 11

12 b) Yan şartsız ekstremum Gerek şartlardan; I- II- -5/ 6/ 12

13 Soru: fonksiyonunun a) Extremum noktalarını bulunuz. (yanşartsız) b) kısıt (yanşartlarını) sağlayan x ve y optimum noktasını bulunuz. a) Yan şartsız ekstremum Gerek şartlar: Kritik noktalar: Yeter şartlar: (2,1) noktası için extremum nokta değildir. (2,-1) noktası için ve min. nokta (-2,1) noktası için max. nokta (-2,-1) noktası için olduğunda extremum nokta değildir. b) Yan şartlı ekstremum Gerek şartlar: 13

14 ortak çözümü: 2/ 14

15 Soru: Taylor açılımı Fonksiyonunu ilk 4 terim için (2,0) civarında Taylor açılımını yazınız. f(x.y)= [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 15

16 Soru: Taylor açılımı Fonksiyonunu (x-1)(y+2) nin kuvvetlerine göre yazınız. [ ] [ [ ] [ ] 16

17 Soru: McLaurin Açılımı ile integral hesabı İntegral işlemini yapınız. Öncelikle bu fonksiyonun Mclaurin açılımını inceleyelim. + *Burada bulduğumuz 0 değeri 1 den küçük olduğu için; serisi. x için seriye açılabilir. Bu durumda biz de bu seriye açılımda x yerine ifadesini kullanabiliriz. yerine koyup integralini aldığımızda ( ) Açılım ifadesi yardımı ile alt sınır 1 üst sınır 2 için integral hesabı yaparsak; = bulunur. 17

18 Soru: Bernoulli Dif.Denk. Bir işletmenin maliyet kontrol ünitesi işçi sayısının artması ile büro harcamalarının ortalama aylık y maliyetinin x işçi sayısı ile aşağıdaki bağıntıya göre değiştiğini saptamıştır. Buna göre başlangıç koşullarında fonk. bulunuz. Her 2 yanı da ye bölelim. old. göre: ve Yukarıdaki eşitte yerine konmasıyla Veya lineer denklemi bulunacaktır. dönüşümü yapılıp türevi denklemde yerine konulursa 2. tarafın çözümü: Bu çözümün de yerine konması ile [ ] ve genel çözüm: başlangıç koşullarının kullanılması ile: 18

19 Soru: Dif.Denk.kurma ve çözümü 0,5 henrilik bir bobin 6 ohm luk 1 direnç, 0,02 faratlık 1 kondansatör emk i 24 sinlot, t>10 ile verilen 1 alternatif voltaj kaynağı ve 1 K anahtarı seri bağlanmıştır. 0,5 henri 0,02 farat 24 sinlot vott 6 ohm Kondansatör üzerindeki yük için 1 dif. dnk. yazınız. K anahtarı kapandığı t=0 anında kondansatör üzerindeki yük 0 ise t anındaki akım ve yükü bulunuz. Matematiksel Bağıntı: Direnç üzerindeki voltaj düşmesi 6I. Bobin üzerindeki voltaj düşmesi 0,5 di/dt ve kondansatör üzerindeki voltaj düşmesi Q/0,02=50Q dur. Buradan da fizikteki Kirchoff kanununa göre: yada Başlangıç koşulları ise t=0 iken ve (3) ün genel çözümü: olur. Başlangıç koşulları verildiğinden istenen çözüm dir. 19

20 Soru: Homogen dif. Denklem Parça başına üretim maliyeti y ile üretilen parça türü sayısı x, arasındaki ilişki şöyledir: Üretilen parça türlerinin sayısında birim artış başına üretim maliyetindeki artış için başlangıç koşulu altında parça başına üretim maliyeti ile üretilen parça türlerinin sayısı arasındaki ilişkiyi bulunuz. [ ] her iki tarafın integrali alınırsa ve için olduğundan bulunur. 20

21 Soru: Homogen dif. Denklem s sipariş miktarındaki artış ile y sipariş ve elde bulundurma maliyetindeki artış arasındaki ilişkinin olduğu gözlenmiştir. s=1 iken y=3 olan sınır koşulu altında sipariş miktarı ile sipariş ve elde bulundurma maliyeti arasındaki ilişkiyi bulunuz. integre edilirse 21

22 Soru: Homogen dif. Denklem Bir lokomotifin hızıyla orantılı olarak yakıt harcaması oranı da artmaktadır. Lokomotif 25 km/h hızla gidince 25 $ harcamaktadır. Hız dikkate alınmadan diğer ücretler 100 $ dır. Ücreti minimum yapan hız kaç km olmalıdır? Saatteki li yakıt=k Değerlerine göre yazılan ifadesine göre lokomotifin hız denklemi Olduğundan (en ekonomik hız) olduğu iddia edilmektedir. Dif. Denklemi çözerek bu sonucu doğrulayınız. 22

23 Soru: değişkenlerine ayrılabilen dif. Denklem Bir merdiven bir duvara dayandırılıyor. Merdivenin uzunluğu 20 metredir. Merdiven alttan çekilince saniyede duvardan yüksekliği 3 metre azalıyor. Ne kadar hızla çekilmeli ki merdivenin duvardaki yüksekliği 12 cm olsun? y 20 m y=12 m x olduğundan y=12 iken x=16 ise (y nin zamanla azaldığını gösterir.) Kurulan bu dif. Denklemi başlangıç şartlarına göre çözünüz. 23

24 Soru: değişkenlerine ayrılabilen dif. Denklem A ve B gibi iki kimyasal madde reaksiyona girerek C maddesi oluşturmaktadır. C nin oluşum hızı A ve B nin o andaki miktarlarının çarpımı ile orantılı olarak değişmektedir. Olay esnasında B nin het lt si için A dan 2 lt gerekmektedir. Başlangıçta 10 lt A ve 20 lt B olduğunda 20 dk sonra 6 lt C meydana gelmektedir. Herhangi bir anda C nin miktarını bulunuz. Matematiksel Bağıntı: t saatte beliren C miktarı x lt olsun. Bu taktirde oluşum hızı dx/dt dir. x lt C meydana gelmesi için 2x/3 lt B ye gerek vardır. Buna göre x lt C nin belirlediği t anında 10-2x/3 lt A ve 20-x/3 lt B mevcuttur. Bu nedenle; Burada K orantı değişmezidir. Bu denklem k diğer bir değişmez olmak üzere olarak da yazılabilir. İki koşul mevcuttur. Başlangıçta hiç C olmadığından iken dır. Diğer taraftan için dır. Gerçekten biri k yı belirlemek için diğeri diferansiyel denklemin çözümünde çıkan keyfi değişmezi bulmak için iki koşul gereklidir. Böylece, tam kuruluş ( ) [ ] 24

25 Soru: değişkenlerine ayrılabilen dif. Denklem Bir kişi sürekli bileşik faiz veren bir hesaba 5000$ yatırmıştır. Başka para çekme veya yatırma olmadığına göre, eğer faiz oranı ilk 4 yıl içinde %8,5 ve son 3 yıl içinde %9,25 ise hesapta 7 yıl sonra ne kadar para olur? 25

26 Soru: değişkenlerine ayrılabilen dif. Denklem Bir firmanın net karı P ile reklam harcamaları X arasındaki ilişki şöyle verilmiştir; Reklam harcamalarındaki artışın net arda meydana getirdiği artış, bir sabitten net karın çıkarılması ile elde edilen farkın belli bir oranıdır. Buna göre x=0 iken P= başlangıç koşulu altında reklam harcamaları ile net kar arasındaki ilişkiyi veren fonksiyonu bulunuz. Verilen ilişki, k ve a sabitler olmak üzere, Şeklinde ifade edilebilir. Buna göre, Bulunur. Başlangıç koşulları bu genel çözüme uygulanırsa, Böylece elde edilir. Bu ilişki, aşağıdaki şekilde grafik olarak gösterilmiştir. P a Net kar Reklam harcamaları Buna göre reklam harcamaları yapılmadan değerinde olan net kar, reklam harcamalarının artışı ile bir maksimum a değerine asimptotik olarak yaklaşır. 26

27 Soru: Homogen dif. Denklem Bir imalathanedeki makinelerin bakım ve işletme masrafları c nin muayeneler arası zaman periyodunun uzunluğu x e bağlı olduğu bulunmuştur ve bu ilişki a ve b sabitler olmak üzere, Diferansiyel denk. ile ifade edilmiştir. x= için c= olduğuna göre c=f(x) fonksiyonu bulunuz. Yukarıdaki denklemin birinci mertebeden lineer bir diferensiyel denklem olduğu açıktır. Buna göre; c=u(x).v(x) dönüşümü yapılıp, türevi ile birlikte verilen denklemde yerlerine konulursa yazarsak; elde edilir. Bunun eşitliğinde yerine ( ) Böylece; Genel çözümü ile ve sınır koşulu için; özel çözümü bulunur. 27

28 Soru: Dif. Denklem sistemi Bulaşıcı hastalıkların yayılması: Diferansiyel denklemler salgınlarda ve bulaşıcı hastalık çalışmalarında başarı ile uygulanır. Bu konuda ilk önemli uygulama 1760 yılında Daniel Bernoulli tarafnıdan yapılmıştır. Tarihsel önemi ve yüksek seviyede incelikli düşünce ile yürütülmesi nedeni ile Bernollini nin düşünce çizgisi tam olarak tanıtılır. Çiçek hastalığı tarihte çok önemli bir problemdi. Hastalık son derece bulaşıcıydı ama bu hastalığı yakalananlara bağışıklık kazandırıyordu. Bu hastalığı atlatan insanlarda gözlenen özelliklerden hareketle çiçek aşısı bulundu. Bu aşı çok etkiliydi ve hastalığı tüm dünyadan sildi. Çiçek hastalığının bağışıklık kazandırması gerçeği Bernoulli nin hassas analizlerinin bir parçasıdır. Bernoulli t zamanında doğan tüm insanların nüfusunu ele alarak işe başlıyor. Yaşayan insanlar Yaşayan ve henüz çiçek hastalığına yakalanmayanlar Eğer y grubundaki insanlar a oranı ile çiçek hastalığına yakalanırsa, y nüfusunun azalmasıyla ilgili dif denklem: Olur (I) Hastalığa yeni yakalananlar bunu atlatsa da atlatmasa da y nüfusundan ayrı tutulurlar. 0 b 1, b=hastalığa yakalananlar arasından ölenlerin oranını gösterir. Örneğin; b= is hastalığa yakalananların 1/4ü ölmüştür. (II) Son olarak, bütün diğer sebeplerden ölenlerden sayısı bağımsız bir fonksiyon olan d(t) olsun. (III), (IV) Tüm bu denklemlerden; (V), (VI) olur. Bu denklemlere Bernoulli denklemleri denir. (V)y-(VI)x işlemi sonucu integrasyon çarpanı ile çarpıldığında; oranı lineer eşitliği karşılar. 28

29 İlk durum sonucu, sadece çiçek hastalığından hayatta kalan kimse olmadığı durumlarda söz konusudur. t nin küçük değerleri için; z=b Homojen denklemin genel çözümü eklenerek elde edilir. için Bernoulli a=b diye tahmin etmiştir. Bu sonuç 20 yaşındaki insanların %9 unun çiçek hastalığı riski altında olduğunu gösterir. 29

30 Soru: Değişkenlerine ayrılabilen dif. Denklem Lojistik eğrisinin özelliklerini bir mamulün satış miktarının değişimini veren model üzerinde inceleyiniz. s: satış miktarları a,b: sabit sayı t: zaman Bu bağıntıdan satışların zamana göre değişimini veren s=f(t) fonksiyonunu çıkarabiliriz. Yukarıda verilen ifade değişkenlerine ayrılıp şeklinde yazıldıktan sonra iki tarafın integrali alınırsa ve buradan s çözümü verilerek; elde edilir. Çözümü grafik üzerinde gösterecek olursak; 30

31 s (satış) b P (lnc)/a t (zaman) Başlangıç anında yani t=0 da asimptotuna yaklaşır. Satış miktarı, dir. C çözülerek fonksiyonda yerine konulabilir. Öbür taraftan bulunup sıfıra eşitlendiğinde; [ ] gibi bir dönüm noktasının bulunduğu görülür. P noktası satışların azalmaya başladığı noktadır. 31

32 Soru: lineer diferansiyel denklem Bir firma satışlarından elde ettiği net kar (K) ile reklam masrafları (x) arasındaki bağıntıyı, a ve b belirli sabitler olmak üzere; denklemi tespit etmiş bulunmaktadır. Bu bağıntıdan faydalanılarak K=f(x) fonksiyonunu bulunuz? Verilen denklem tipine uymaktadır. Yani birinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklemdir. O halde p(x)=a olduğundan ( şeklinde elde edilir. x=0 için K= başlangıç şartı kullanılırsa C sabiti; den olur. Bulunan K=f(x)denkleminde ve - değişimi yapılırsa aranılan fonksiyon şekline girer. Denklemin türevi alınıp 0 a eşitlenirse; Ve buradan x çözülürse elde edilir. 32

33 Soru: Dif. Denklem sistemi Büyük bir imalat tezgahının işletmeye sağladığı karın tespiti için araştırma yapılmış ve; x(t)= makinenin t=0 anında çalışması halinde işletmeye sapladığı kazanç, = makinenin bozulması halinde çakışır durumda getirilmesi için yapılan hazırlık çalışmaları, =makine çalışırken 1 saatte sağladığı kar, =makinenin 1 saatlik tamir masrafı, =makinenin arızalanma oranı ve =ortalama tamir süresi Sembolleri kullanılmak üzere Bağıntıları tespit edilmiştir. (I) ve (II) den meydana gelen eşzamanlı denklem sistemini çözerek karın zamana göre değişim fonksiyonlarını bulunuz. İşlemde sadelik sağlamak amacıyla ve değişimlerini yaptıktan sonra (I) in türevini alalım ve (II) nin iki tarafını ile çarpalım. Bu şekilde bulunan, (III) (IV) çözülüp (III) yerine konulursa (V) Burada ( ) yerine (I)den çekilen değeri konulursa (VI) elde edilir. Bu son ifade 2. Mertebeden lineer diferansiyel denklem tipine uymaktadır. O halde ikinci taraflının bir özel çözümü; Ve ikinci tarafsızın karakteristik denklemi dan bulunan ye göre 33

34 olduğundan Genel çözüm; + (VII) şeklinde bulunur. Bu değer ve türev alınarak bulunan değeri (I)de yerine konulur ve gerekli sadeleştirmeler yapılırsa + (VIII) bulunur. Başlangıç anında yani anında herhangi bir kar söz konusu olmayacağından dır dolayısıyla (VII) ve (VIII) denklemleri için şekline girer. Buradan ve çözülürse ve bulunur. Ortalama kar ve oranın x/t ve y/t olduğu göz önüne alınır ve t büyük değerlere ulaştıkça (yani uzun vadede) bazı terimlerin ihmal edilebileceği düşünülürse; Ortalama kar oranı Elde edilir. 34

35 Soru: Değ.Ayr. Silindirik tank; 1,5 m yükseklikte ve 1 metre çapındadır. Tank belli bir miktar su ile doludur. Silindirin tabanında 1 cm çapında bir delik bulunmaktadır. Delik açıldığında su gravity sebebiyle dökülmektedir. Herhangi bir t anında tanktaki su yüksekliğini bulunuz. Sudaki bu akış, tanktaki suyun yüksekliğinde azalmaya neden olacaktır. Örneğin:, ve ; t sırasıyla 2703, 4620, 9240 sn dir. 35

36 Soru: Dif..Denk.Sist. Bir cisim eğrisi üzerinde 10m/sn bir hız ile hareket etmektedir. Eğrinin t=0 anında A(1,1) noktasından geçmesi halinde eşitliğinin bulunduğunu gösteriniz. Ayrıca olduğu bilindiğine göre için olduğundan bulunur. Böylece sonucu çıkar. 36

37 Soru: Değ.Ayr.Dif.Denk. Bir paraşütçü, paraşütü açıldığı anda hız ile düşmektedir. Eğer havanın karşı koyması (w:adam ve paraşütün toplam ağırlığıdır) ise, paraşütçünün paraşütünün açılmasından t saniye sonra hızını bulunuz. Buna göre hareket denklemi; Sistem üzerindeki net kuvvet=sistem ağırlığı havanın karşı koyması Denklem için ve için sınırları arasında integrali alınırsa; 37

38 Soru: Hom.Dif.Denk. S sipariş miktarındaki artış ile y sipariş ve elde bulundurma maliyetindeki artış arasındaki ilişkinin olduğu gözlenmiştir. iken olan sınır koşulu altında sipariş miktarı ile sipariş ve elde bulundurma maliyeti arasındaki ilişkiyi bulunuz. Buna göre; olacaktır. 38

39 Soru: Hom.Dif.Denk. Parça başına üretim maliyeti y ile üretilen parça türü sayısı x arasındaki ilişki şöyledir: Üretilen parça türlerinin sayısındaki birim artış başına üretim maliyetindeki artış için başlangıç koşulu altında parça başına üretim maliyeti ile üretilen parça türlerinin sayısı arasındaki ilişkiyi bulunuz. her iki tarafın integrali alınırsa ve için olduğundan bulunur Parça başına üretim maliyeti 1 Parça türü sayısı 39

40 Soru: Değ.Ayr.Dif.Denk. Bir tank t=0 anında içinde kg tuz içeren 100lt tuz çözeltisi ile doludur. Litresinde /3 kg tuz bulunan başka bir tuz çözeltisi 5 lt/dk lık bir hızla tanka akmaktadır. Karıştırma ile tank içinde sürekli olarak homojen bir su-tuz karışımı elde edilmektedir. Karışım aynı hızla tanktan dışarı çıkmaktadır. t anında tankta mevcut tuz miktarını veren Q (lt) ifadesini bulunuz. Herhangi bir t anında tanktaki tuz miktarının değişme hızı, birim zamanda tanka giren tuz miktarından gene birim zamanda tanktan çıkan tuz miktarının farkına eşittir. Buna göre; olur. Burada, birim zaman içinde tanktaki tuz miktarında meydana gelen artma veya azalma miktarıdır. Bu denklem yeniden düzenlenirse (1) elde edilir. Denklem (1), birinci mertebeden lineer bir diferansiyel denklemdir ve çözümü, (2) dir. Burada c, keyfi ve sabit bir sayıdır. anında tankta bulunan mevcut tuz miktarı kg olarak verildiğine göre başlangıç şartı (2) denklemine uygulandığında bulunur. c nin bu değeri (2) denkleminde yerine konulursa, (3) elde edilir. Burada Q nun birimi kg ve t nin birimi dak cinsindendir. 40

41 Soru: Değ.Ayr.Dif.Denk. n kişiden oluşan bir topluluk içinde, p sayıda insan hastalıklı ve q sayıda insan hastalıksız olarak saptanmış bulunmaktadır. Hastalık bulaşıcı olup bir zaman süreci içinde sağlamlara da bulaşması olasılığı vardır. Hasta insanların toplum içindeki oranı ve sağlamların oranı ise olur. Eğer n oldukça büyük bir sayı ise x ve y birer sürekli değişken sayı gibi kabul edilebilir. O zaman, hastalığın yayılma hızını ifade eder. İnsanların topluluk içinde serbest dolaşım içinde oldukları ve hastalığın hızının hastalıklı ve sağlıklı insanların birbiriyle fiziki teması ile orantılı olduğu kabul edilirse, herhangi bir t anında hastalıklı insanların sayısı ne olur? Hastalığın yayılma hızı hem x ile hem de y ile orantılı olduğundan bunların çarpımı ile de orantılıdır. Orantılık katsayısı k ile gösterilirse; olur. olduğundan, y yerine x cinsinden değeri yazıldığında (1) denklemi şeklini alır. İntegral alınırsa veya elde edilir. Başlangıç şartı olarak biliniyorsa, olur. Yerine konulursa 41

42 Soru: Lin.Dif.Denk. Bir firma satışlarında elde ettiği net kar (K) ile reklam masrafları (x) arasındaki bağıntıyı, a ve b belirli sabitler olmak üzere, faydalanarak fonksiyonunu bulunuz. denklemi ile tespit etmiş bulunmaktadır. Bu bağıntıdan Verilen denklem, tipine uymaktadır. Yani birinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklemdir. için başlangıç şartı kullanılırsa değişimi yapılıp (1)de konulursa şekline girer. Kârın maksimum olabilmesi için K nın türevinin sıfıra eşit olması gerekir. buradan x çözülürse 42

43 Soru: Lineer.Dif.Denk. Bir imalathanedeki makinelerin bakım ve işletme masrafları c nin, muayeneler arasındaki zaman periyodunun uzunluğu x e bağlı olduğu bulunmuştur. Ve bu ilişki a ve b sabitler olmak üzere diferansiyel denklemi ile ifade edilmiştir. için olduğuna göre fonksiyonunu bulunuz. Yukarıdaki denklemin birini mertebeden lineer bir diferansiyel denklem olduğu açıktır. Buna göre, dönüşümü yapılıp, türevi ile birlikte verilen denklemde yerine konursa, genel çözümü ile ve sınır koşulu için c İşletme ve bakım masrafları peryot Muayeneler arası 43

44 Soru: dif. denkleminin çözüm fonksiyonunu bulunuz. Cevap: 44

45 Soru: çözüm fonksiyonunu bulunuz. Cevap: 45

46 Soru: Belirli bir malın x talep miktarındaki değişme ile y fiyatındaki değişme arasındaki ilişki; şeklindedir. Talep miktarı 4 birim olduğu zaman fiyat 7,5 TL ise talep miktarı ve fiyat arasındaki ilişkiyi bulunuz. Verilen ilişkiyi, olduğundan, bu bir tam dif. denklem gösterir. O halde, bulunur. Burada da ve koyarsak, Sınır koşulları uygulanırsa y (0,27) (6,0) x 46

47 Soru: İntegrasyon Çarpanları Bir giyim imalathanesinde üretilen bir pantolonda kullanılan aksesuarlar ile bu pantolonun maliyeti arasındaki ilişki: şeklindedir. Eğer pantolon üretiminde 17 çeşit aksesuar kullanılıyorsa maliyet 38 TL oluyor. Buna göre aksesuar miktarı ile maliyet arasındaki ilişkiyi veren fonksiyonu bulunuz. çarpanı arayalım: ; Tam dif. denklem değildir. O halde integrasyon 1 denklemini ile çarpalım: tam dif denklem oldu. O halde çözüm: Bu eşitliğin (2) y ye göre türevini alalım: V(y) yi (2) de yerine yazarsak: ve için bulunur. O halde denklem 47

48 Soru: Denge fiyatı Değ.Ayr.Dif.Denk. Ekonomide, talep ve arz bir malın zam fiyatının fonksiyonudur. Fiyattaki değişme bir andaki denge fiyatı S=D şartıyla sağlanır. ve herhangi ( ) 48

49 Soru: Lineer Dif.Denk Bir malın üretiminde x ve y gibi 2 hammadde kullanılmaktadır. Bu maddelerin kullanılan miktarlarıyla maliyetleri doğru orantılıdır. Bu malın üretim fonksiyonu şeklinde verildiğine göre başlangıç şartları x=0, y=1 ve =0,2 olmak üzere bu verilere göre dif.denklemi Euler Yöntemiyle Sayısal olarak çözünüz. 1. Adım 2. Adım 3. Adım için 4. Adım 5. Adım =0,

50 0 1 0,2 0,8 0,4 0,72 0,6 0,736 0,8 0, ,98304 y 1 0,5 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 50

51 Soru: Lin.dif.Denk. Üretim ve pazarlama maliyetleri M, üretilen parça sayısı X e denklemi ile bağlıdır. X=0 için M=0 olduğuna göre M= fonksiyonl ilişkisini bulunuz. Verilen denklem birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemdir. sabitinin değiştirilmesi metodunu uygulayalım. + bunu ikinci tarafsız kısmın çözümünde yerine koyarsak X=0 için M=0 olduğuna göre genel çözümü bulunur. özel çözüm 51

52 Soru: Yüksek Mertebeden Dif.Denk. Bir füzenin uçuşunu ele alalım. Füzenin yatayla açısı yapan bir rampadan ilk hızı ile fırlatıldığını varsayarak, uçuşun bundan sonraki kısmını inceleyelim. y V mg O A x Rampa x-y koordinat sisteminin 0 orjine yerleştirilmiş olsun. Noktalı eğri merminin yörüngesi olup V vektörü ilk hızı gösterir. Bunun büyüklüğü dır. Ve x-y düzleminde x ekseninin pozitif yönü ile açısı yapacak şekilde yönelmiştir. Bu hızın x ve y doğrusundaki bileşenlerinin büyüklükleri, sırayla ve dır. Hava direnci olmadığından m kütleli füze üzerine etki eden tek kuvvet mg ağırlığıdır. Şimdi yukarı ve sağa doğru olan yönleri pozitif seçelim. Newton kanununa göre X doğrultusundaki net kuvvet= kütle X Y doğrultusundaki net kuvvet= kütle X doğrultusundaki ivme doğrultusundaki ivme Yani, dir. Fakat x doğrultusundaki net kuvvet sıfır(o) ve olduğundan veya bulunur. (I) Y doğrultusundaki net kuvvet mg (çünkü aşağı yön negatiftir) ve olduğundan veya (II)dir. Fazla olarak, problemin verilişinden, iken,, (III) Koşulları vardır. Dolayısıyla (III) koşullarına bağlı olarak (I) ve (II) denklemlerini çözmek gerekir. Diferansiyel denklemlerden hava direnci olmadığı takdirde, hareketin, m kütlesine ve dolayısıyla füzenin şekline bağlı olmadığı derhal görülür. (I): integre ederek dx/dt= bulunur. iken koşulu uygulanırsa, yani olduğu görülür. Bir kere daha integre ederek ve iken olduğundan ve bulunur. (IV) 52

53 Benzer şekilde (II)nin integrasyonu, Ve iken olduğundan verir. Buradan, iken (V) bulunur. koşulu kullanılıp bu ifade bir kere daha integre edilirse (VI) Elde eldilir. Dolayısıyla işlenen çözümler (VII)dir. Bu denklemler, fırlatıldıktan sonra (t zaman sonra) füzenin (x,y) konumunu verirler. Bunlardan hareketle ilgili her husus elde edilebilir. Örneğin aşağıdaki sorların sorulduğunu varsayalım. 1.O dan A ya (şekil II) kadar geçen toplam uçuş zamanı nedir? 2. Menzil (x ekseni üzerindeki OA uzaklığı) nedir? 3. Erişilen maksimum yükseklik nedir? 4. Füzenin yörüngesi ne tip bir eğridir? Soru 1 in cevabı y=o yapan t değerleri bulunarak verilir. (VI) denkleminden [ )] veya İken olduğu görülür. nin ikinci değeri füzen A da olduğu zamanı verir. Dolayısıyla, Uçuş süresi= (VIII)dir. =uçuş süresi olduğu zaman xin değeri hesaplanırsa soru 2 cevaplanmış olur. (VII) denklemlerin birincisinden Menzil= (IX) Olarak bulunur. (IX) denkleminde veya olduğunda menzilin maksimum ve maksimum menzilinde, olduğu açıktır. Soru 3 ü cevaplandırmak ynin ne zaman maksimum olduğunu, yani ne zaman dy/dt=0 olduğunu bulmak gereklidir. Bu en üst noktada y doğrultusundaki hızın sıfır olduğunu söylemekle aynıdır. (V) denkleminden, olmak için t= olmalıdır. (Bu akla uygun olarak toplam uçuş süresinin yarısıdır.)(vi) denkleminde t in bu değeri konursa, Maksimum yükseklik= (X) bulunur. 53

54 4. soru gerçekte bir parabolün parametrik denklemlerinin verildiği (VII) ifadesi ile cevaplandırılmıştır. Dolayısıyla füzenin yörüngesi bir parabol parçasıdır. Bu denklemler arasındaki t yok edilirse, parabolün diğer bir gösterilişi olan (XI) bulunur. 54