Sayısal Analiz. Prof. Dr. Erhan Coşkun. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Eylül, 2019
|
|
|
- Hakan Karaca
- 4 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Sayısal Analiz Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü Eylül, 2019 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
2 Matematiksel Analiz Analitik E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
3 Matematiksel Analiz Analitik Sayısal E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
4 Matematiksel Analiz Analitik Sayısal Kalitatif E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
5 Matematiksel Analiz Analitik Sayısal Kalitatif Sembolik E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
6 Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
7 Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? denklem sisteminin çözümü? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
8 Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
9 Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) noktalarından geçen doğru denkleminin belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
10 Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) noktalarından geçen doğru denkleminin belirlenmesi? y = t y, t (a, b), y(a) = y 0 başlangıç değer probleminin çözümünün belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
11 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
12 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
13 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
14 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin(x 2 )dx integralinin sonucu? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
15 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin(x 2 )dx integralinin sonucu? Grafiği, verilen (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) noktalarından geçen polinomun belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
16 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin(x 2 )dx integralinin sonucu? Grafiği, verilen (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) noktalarından geçen polinomun belirlenmesi? y = t y 2, t (a, b) y(a) = y 0 başlangıç değer probleminin çözümünün belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
17 Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek. Örneğin y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
18 Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek. Örneğin y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. 0 < y 0 < 1 için denklemin sağ tarafıpozitif, yani y > 0 olup, çözüm eğrileri artarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
19 Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek. Örneğin y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. 0 < y 0 < 1 için denklemin sağ tarafıpozitif, yani y > 0 olup, çözüm eğrileri artarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. Öte yandan y 0 < 0 için denklemin sağ yanınegatif olacağıiçin çözüm eğrilerinin devamlıolarak azalmasıgerektiği, çözüm belirlenmeksizin anlaşılmaktadır. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
20 Kalitatif Analiz Gerçekten de aşağıda Maxima nın plotdf fonksiyonu yardımıyla elde ettiğimiz çözüm eğrileri tahmin edilen davranışısergilemektedirler. y x E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
21 Sembolik analiz Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortamında Bilgisayar Cebir Sistemi adıverilen yazılımlar yardımıyla geçekleştirilen analiz yöntemidir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
22 Sembolik analiz Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortamında Bilgisayar Cebir Sistemi adıverilen yazılımlar yardımıyla geçekleştirilen analiz yöntemidir. Analitik çözümü kolayca elde edilebilen aşağıdaki başlangıç değer probleminin Maxima ortamında çözümünün nasıl elde edildiğini izleyelim: E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
23 Sembolik analiz y + y = x y(0) = 0, y (0) = 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
24 Sembolik analiz y + y = x y(0) = 0, y (0) = 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
25 Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
26 Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
27 Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem, söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
28 Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem, söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma, algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı(kodu), E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
29 Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem, söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma, algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı(kodu), Programın örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) ve E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
30 Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem, söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma, algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı(kodu), Programın örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) ve sonuç, yorum ve yöntemin kritiği(kısıtlamaları) ile mümkünse alternatif yöntem arayışlarınıiçeren aşamalardan oluşur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
31 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Problem:Verilen bir x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan fonksiyonun, söz konusu nokta komşuluğunda reel sıfır yerini(eğer mevcutsa) içeren [a, b] aralĭgınıbelirleme problemi E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
32 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Problem:Verilen bir x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan fonksiyonun, söz konusu nokta komşuluğunda reel sıfır yerini(eğer mevcutsa) içeren [a, b] aralĭgınıbelirleme problemi Sayısal yöntem(sağ veya sol yönde tarama): x 0 noktasınıiçeren uygun bir [x_ min, x_ max] = [x 0 R, x 0 + R], R > 0 sabit, kümesine sıfıryeri tarama aralığı adıverelim. x = x 0 noktasından başlayarak önce sağa doğru, uygun bir h adım uzunluklu ile tanımlanan noktalarda, x, x + h, x + 2h,... f (x)f (x + h) <= 0 eşitsizliğini sağlayan ilk (x, x + h) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda sıfır yerini içeren aralık X = [x, x + h] dır. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
33 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Eğer belirtilen kriterleri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise, bu durumda x = x 0 noktasından başlayarak, ile tanımlanan noktalarda x, x h, x 2h,... f (x h)f (x) <= 0 yukarıdaki eşitsizliğin sağlandĭgıilk (x h, x) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda sıfır yerini içeren aralık X = [x h, x] dir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
34 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Eğer belirtilen kriterleri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise, bu durumda x = x 0 noktasından başlayarak, ile tanımlanan noktalarda x, x h, x 2h,... f (x h)f (x) <= 0 yukarıdaki eşitsizliğin sağlandĭgıilk (x h, x) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda sıfır yerini içeren aralık X = [x h, x] dir. Eğer sol yönde tarama işleminde de belirtilen kriteri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise bu durumda [x_ min, x_ max] tarama aralĭgında sıfıryerini içeren alt aralık belirlenememiş olur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
35 Örnek-I:Algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
36 Örnek-I:Algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
37 Örnek-I:Algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması, yöntemin uygulanmasıiçin gerekli her bir adım ile E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
38 Örnek-I:Algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması, yöntemin uygulanmasıiçin gerekli her bir adım ile kullanıcıya iletilecek sonuçların(çıktı veya Output) açık ve net bir biçimde ifade edildiği komutlar kümesidir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
39 Örnek-I:Algoritma Girdi : f, x 0 Varsayılan parametreler: R = 10 varsayılan sıfır yeri tarama yarıçapı x_ min = x 0 R, x _ max = x 0 + R olmak üzere [x _ min, x _ max ] sıfır yeri tarama aralĭgı h = 0.1 (tarama adım uzunluğu), yani ardışık noktalar arasımesafe, x = x 0 ilk tahmini değer Sağ yönde tarama: x < x _ max olduğu sürece 1 eğer f (x)f (x + h) 0 ise X = [x, x + h] tanımla ve çık, 2 değilse x = x + h olarak tanımla ve 1 e git E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
40 Örnek-I:Algoritma Sol yönde tarama x = x 0, x > x_ min olduğu sürece 3 eğer f (x h)f (x) 0 ise X = [x h, x] tanımla ve çık, 4 değilse x = x h olarak tanımla ve 3 e git Sıfır yeri için tahmini aralık bulunamadıyaz, X = [] tanımla ve çık. Çıktı: X E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
41 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
42 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
43 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
44 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
45 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
46 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
47 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
48 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
49 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
50 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
51 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min if f (x h) f (x) <= 0 X = [x h, x]; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
52 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min if f (x h) f (x) <= 0 X = [x h, x]; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
53 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min if f (x h) f (x) <= 0 X = [x h, x]; return; else x = x h; end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
54 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min if f (x h) f (x) <= 0 X = [x h, x]; return; else x = x h; end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
55 Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min if f (x h) f (x) <= 0 X = [x h, x]; return; else x = x h; end end disp( sifir yerini iceren aralik bulunamadi ); X = []; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
56 Örnek-I:Test ve uygulama f (x) = exp(x) x 4 fonksiyonunun x 0 = 0 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgınıbelirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
57 Örnek-I:Test ve uygulama f (x) = exp(x) x 4 fonksiyonunun x 0 = 0 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgınıbelirleyiniz. >> f=@(x) exp(x)-x-4 >> X=bul(f,0) X= E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
58 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:test) f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 10 noktası komşuluğundaki sıfır yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgını belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
59 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:test) f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 10 noktası komşuluğundaki sıfır yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgını belirleyiniz. >> f=@(x) log(x)-x+4 >> X=bul(f,10) X= E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
60 Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfır yeri olarak yorumlanabilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
61 Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfır yeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
62 Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfır yeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas aldĭgıiçin sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
63 Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfır yeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas aldĭgıiçin sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. Yine aradeğer teoremi gereği, yöntem sadece sıfır noktası komşuluğunda işaret değiştiren sıfır yerlerini( tek katlı sıfır yerlerini) belirlemek amacıyla kullanılabilir, fakat f (x) = x 2 gibi çift katlısıfır yerlerine sahip olan, yani sıfır yeri komşuluğunda işaret değiştirmeyen fonksiyonların sıfır yerlerinin belirlenmesinde kullanılamaz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
64 Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfır yeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas aldĭgıiçin sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. Yine aradeğer teoremi gereği, yöntem sadece sıfır noktası komşuluğunda işaret değiştiren sıfır yerlerini( tek katlı sıfır yerlerini) belirlemek amacıyla kullanılabilir, fakat f (x) = x 2 gibi çift katlısıfır yerlerine sahip olan, yani sıfır yeri komşuluğunda işaret değiştirmeyen fonksiyonların sıfır yerlerinin belirlenmesinde kullanılamaz. Yöntem yukarıda bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek şekilde geliştirilebilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
65 Sayısal Analiz süreci(örnek-ii) Problem(Sıfıryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aralĭgında tanımlıve aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren ( f (a)f (b) < 0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b] aralĭgındaki sıfır yeri için uygun bir yaklaşımıbelirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
66 Sayısal Analiz süreci(örnek-ii) Problem(Sıfıryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aralĭgında tanımlıve aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren ( f (a)f (b) < 0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b] aralĭgındaki sıfır yeri için uygun bir yaklaşımıbelirleyiniz. Sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremi gereği problemin çözümü mevcuttur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
67 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
68 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
69 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni [a, b] alt aralĭgıbelirlenir, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
70 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni [a, b] alt aralĭgıbelirlenir, aralık bölme işlemine fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni aralık ile ve ɛ > 0 küçük sabiti için E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
71 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni [a, b] alt aralĭgıbelirlenir, aralık bölme işlemine fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni aralık ile ve ɛ > 0 küçük sabiti için b a > ɛ veya c = (a + b)/2 olmak üzere f (c) > ɛ olduğu sürece devam edilir, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
72 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni [a, b] alt aralĭgıbelirlenir, aralık bölme işlemine fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni aralık ile ve ɛ > 0 küçük sabiti için b a > ɛ veya c = (a + b)/2 olmak üzere f (c) > ɛ olduğu sürece devam edilir, elde edilen en son aralĭgın orta noktasısıfır yeri olarak kabul edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
73 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) f (x) = x 2 2, [a, b] = [0, 5] ile ikiye bölme yöntemi alt aralıklarıve yaklaşımları: E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
74 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) f (x) = x 2 2, [a, b] = [0, 5] ile ikiye bölme yöntemi alt aralıklarıve yaklaşımları: [0,5],c= [0,2.5],c= [1.25,2.5],c= [1.25,1.875],c= E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
75 Örnek-II:Algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
76 Örnek-II:Algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
77 Örnek-II:Algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 3 Eğer f (a)f (c) < 0 ise b = c, değilse a = c E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
78 Örnek-II:Algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 3 Eğer f (a)f (c) < 0 ise b = c, değilse a = c 4 f (c) > ɛ olduğu sürece a, c, b, f (c) değerlerini yaz ve (2) ye git değilse işlemi durdur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
79 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
80 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
81 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
82 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
83 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
84 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
85 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
86 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
87 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
88 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
89 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); 11 fprintf (Format, a, c, b, fc); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
90 Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); 11 fprintf (Format, a, c, b, fc); 12 end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
91 Örnek-II:Test ve uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunun [0, 2] aralĭgındaki sıfır yerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim. f fonksiyonunu E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
92 Örnek-II:Test ve uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunun [0, 2] aralĭgındaki sıfır yerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim. f fonksiyonunu komutu ile tanımlayalım. f exp(x) (x + 2); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
93 Örnek-II:Test ve uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunun [0, 2] aralĭgındaki sıfır yerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim. f fonksiyonunu komutu ile tanımlayalım. y 3 f exp(x) (x + 2); x E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
94 Örnek-II: Test ve uygulama Programıçalıştırarak, a, c, b, f (c) değerleri aşağıdaki gibi elde edilir: >>ikibol(f,0,2,1e-4) ans= E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
95 Örnek-II: Test ve uygulama Programıçalıştırarak, a, c, b, f (c) değerleri aşağıdaki gibi elde edilir: >>ikibol(f,0,2,1e-4) ans= Virgülden sonra onbeş basamağa kadar sıfır yeri için yaklaşım c = dir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
96 Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Yöntemin söz konusu aralıktaki sıfır yerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyeceği(teorem 1), sıfır yerini belirleyebilme hızı(orta noktalardan oluşan dizinin yakınsama hızıhakkında ne söyleyebiliriz? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
97 Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Yöntemin söz konusu aralıktaki sıfır yerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyeceği(teorem 1), sıfır yerini belirleyebilme hızı(orta noktalardan oluşan dizinin yakınsama hızıhakkında ne söyleyebiliriz? Teorem 1 f fonksiyonu [a, b] = [a 1, b 1 ] aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren sürekli bir fonksiyon ve r de fonksiyonun her n için f (a n )f (b n ) < 0 şartını sağlayan [a n, b n ] aralĭgındaki sıfıryeri ve {c n } n=1 ise c n = (a n + b n )/2 ile tanımlanan orta noktalar dizisi olsun. Bu taktirde dir. lim c n = r n E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
98 Örnek-II:Yakınsaklık Analizi E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
99 İspat: r sıfır yeri için n inci adımda r c n b n a n 2 olduğu açıktır. Öte yandan her bir alt aralĭgın uzunluğu önceki alt aralĭgın uzunluğunun yarısına eşit olduğundan r c n b n a n 2 = b n 1 a n = = b 1 a 1 2 n elde ederiz. Yukarıdaki eşitsizlikten lim n r c n = 0 elde ederiz. Öte yandan r c n r c n r c n eşitsizliği ve Sıkıştırma Teoreminden[7] sonuç açıkça görülür. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
100 Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Tanım 1 Bir r noktasına yakınsayan {c n } n=0 dizisi verilmiş olsun. Eğer her n N için r c n+1 α r c n β eşitsizliği sağlanacak biçimde α > 0, β 1 reel sayılarıve N > 0 tamsayısı mevcutsa {c n } n=1 dizisi β-ıncı basamaktan yakınsak bir dizidir denir. β = 1 olmasıdurumunda yakınsama için α (0, 1) olmalıdır ve bu durumda diziye lineer yakınsak dizi adıverilir. β = 2 olması durumda ise diziye kuadratik yakınsak dizi adıverilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
101 Örnek-II:Yakınsaklık Analizi İkiye bölme yöntemi için ve r c n+1 b n+1 a n+1 2 r c n b n a n 2 eşitsizliklerini karşılaştırarak r c n+1 = 1 2 r c n = 1 b n a n 2 2 elde ederiz. O halde yöntem lineer olarak yakınsaktır. r c n+1 / r c n = 1 2 sabiti ise ortalama yakınsaklık oranıolarak tanımlanır. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
102 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her adımda aralĭgıorta noktasından ikiye bölmek yerine, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
103 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her adımda aralĭgıorta noktasından ikiye bölmek yerine, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarınıbirleştiren kirişin x eksenini kesim noktasıyardımıyla aralĭgıiki alt parçaya böler ve söz konusu kesim noktasınısıfır yeri için yaklaşımlar dizisinin bir elemanıolarak kabul eder. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
104 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
105 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
106 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a Bu doğrunun x = c olarak adlandıracağımız x eksenini kesim noktası, y = 0 alarak (b a) c = a f (a) (1) f (b) f (a) elde ederiz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
107 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a Bu doğrunun x = c olarak adlandıracağımız x eksenini kesim noktası, y = 0 alarak (b a) c = a f (a) (1) f (b) f (a) elde ederiz. f (c) > epsilon olduğu sürece işleme devam edilir. (Daha etkin sonuçlandırma kriterleri düşünülebilir!). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
108 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
109 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. Bir sonraki adımda a noktası, önceki adımın b noktası, b noktasıise önceki adımın c noktasıolarak seçilmek suretiyle işleme devam edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
110 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. Bir sonraki adımda a noktası, önceki adımın b noktası, b noktasıise önceki adımın c noktasıolarak seçilmek suretiyle işleme devam edilir. f (c) > epsilon olduğu sürece işleme devam edilir. Kriteri sağlamayan, yani f (c) epsilon eşitsizliğini sağlayan ilk c değeri sıfır yeri olarak kabul edilebilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
111 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
112 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, Grafiği (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini, f fonksiyonun sıfır yeri için bir yaklaşım kabul edelim. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
113 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, Grafiği (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini, f fonksiyonun sıfır yeri için bir yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
114 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, Grafiği (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini, f fonksiyonun sıfır yeri için bir yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam f (x 3 ) > epsilon olduğu sürece işleme devam edelim. Kriteri sağlamayan ilk x 3 değerini sıfır yeri olarak kabul edelim. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
115 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, Grafiği (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini, f fonksiyonun sıfır yeri için bir yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam f (x 3 ) > epsilon olduğu sürece işleme devam edelim. Kriteri sağlamayan ilk x 3 değerini sıfır yeri olarak kabul edelim. Yukarıda ana hatlarıyla bahsedilen yöntem Muller yöntemi olarak bilinir( [6]). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
116 Örnek-III Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Problem: Verilen bir x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan bir f fonksiyonunun, x 0 noktasıkomşuluğunda ve süreklilik aralĭgı içerisindeki sıfır yerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
117 Örnek-III Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Problem: Verilen bir x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan bir f fonksiyonunun, x 0 noktasıkomşuluğunda ve süreklilik aralĭgı içerisindeki sıfır yerini belirleyiniz. Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan f fonksiyonunun sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I de geliştirdiğimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aralĭgı Örnek II deki ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonun sıfır yerini belirleyebiliriz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
118 Örnek-III Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Problem: Verilen bir x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan bir f fonksiyonunun, x 0 noktasıkomşuluğunda ve süreklilik aralĭgı içerisindeki sıfır yerini belirleyiniz. Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan f fonksiyonunun sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I de geliştirdiğimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aralĭgı Örnek II deki ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonun sıfır yerini belirleyebiliriz. Algoritma Yönteme ait algoritma aşağıda verilmektedir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
119 Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
120 Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
121 Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
122 Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
123 Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f (a) = 0 ise c = a, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
124 Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f (a) = 0 ise c = a, 2 değil ve eğer f (b) = 0 ise c = b dir, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
125 Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f (a) = 0 ise c = a, 2 değil ve eğer f (b) = 0 ise c = b dir, 3 değilse Örnek II deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
126 Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f (a) = 0 ise c = a, 2 değil ve eğer f (b) = 0 ise c = b dir, 3 değilse Örnek II deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul Çıktı: c E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
127 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
128 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
129 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
130 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
131 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
132 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
133 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
134 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
135 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
136 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
137 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
138 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
139 Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
140 Örnek-III: Test ve uygulama f (x) = ln(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
141 Örnek-III: Test ve uygulama f (x) = ln(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini belirleyiniz. >> f=@(x) log(x)-x+4 >> fsifir(f,4) ans = E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
142 Örnek-III :Test ve uygulama Aynıişlem MATLAB/OCTAVE fzero fonksiyonu yardımıyla da gerçekleştirilebilir: >> fzero(f,4) ans = E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
143 Örnek-III :Test ve uygulama f (x) = xsin(1/x) fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
144 Örnek-III :Test ve uygulama f (x) = xsin(1/x) fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini belirleyiniz. >> f=@(x) x*sin(1/x) >> fsifir(f,4) ans = E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
145 Kaynaklar Atkinson, K. An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, Coşkun, E., MATLAB/OCTAVE ile Sayısal Hesaplama ve Kodlama(URL:erhancoskun.com.tr). Coşkun, E., Maxima ile Sembolik Hesaplama ve Kodlama(URL:erhancoskun.com.tr). Coşkun, E. Vektör Cebirsel Uygulamalarla Sayısal Analize Giriş(URL:erhancoskun.com.tr). Kincaid, D., Cheney, W., Numerical Analysis, Brooks/Cole, Stoer, J., Bulirsh, R., Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag, Zill, Dennis G., Wright, Warren S.(çeviri Ed. Cangül, İ. N.), Matematik Cilt 1, Nobel yayınevi, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, / 41
Sayısal Analiz. Prof. Dr. Erhan Coşkun. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ekim, 2018
Sayısal Analiz Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü E-posta:erhan@ktu.edu.tr Ekim, 2018 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 1 / 40 Matematiksel Analiz Analitik
Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU,
Bölüm 1 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, erhan@ktu.edu.tr) Bu bölümde matematiksel analiz türleri olarak bilinen analitik, sayısal, kalitatif ve sembolik analiz yöntemlerini kısaca tanıtarak,
Sayısal Analiz Süreci
Bölüm 1 Sayısal Analiz Süreci Bu bölümde matematiksel analiz yöntemleri olarak bilinen analitik, sayısal, kalitatif ve sembolik analiz yöntemlerini kısaca tanıtarak, sayısal analiz yönteminin bütün aşamalarınıüç
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata
Bölüm 5 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Bu bölümde önelikle verilen bir ayrık veri kümesi için standart ve ağırlıklıen küçük kareler yöntemi ile en uygun yaklaşım polinomunun nasıl belirleneeğini
Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3
Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =
4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
Bilgisayar Programlamaya Giriş I KAREKÖK BULMA Acaba hesap makinesi bir sayının karekökünü nasıl buluyor? başlangıç değeri olmak üzere,
KAREKÖK BULMA Acaba hesap makinesi bir sayının karekökünü nasıl buluyor? başlangıç değeri olmak üzere, dizisi değerine yakınsar. Yani; olur. Burada birinci sorun başlangıç değerinin belirlenmesidir. İkinci
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri
Bölüm Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri Bu bölümde, birinci basamaktan başlangıç değer problemleri için Tek adım (Yamuk, Düzeltilmiş Euler(Heun), Runge-Kutta yöntemlerinin nasıl elde edildikleri,
Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
![Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak](/thumbs/17/146647.jpg "Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak")
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
2.1 Kayan Nokta aritmetiği: Nümerik Analizde Operatorler Genişletme (Kaydırma) Operatörü µ Ortalama Operatörü...
Contents GİRİŞ 5 Hata Çeşitleri 5. Kayan Nokta aritmetiği:..................................... 6. Aritmetik İşlemlerde Hata Analizi............................... 7 Nümerik Analizde Operatorler 8. İleri
ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve
Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.
Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
Bilgisayar SayıSistemi, Aritmetiği ve Hata
Bölüm 2 Bilgisayar SayıSistemi, Aritmetiği ve Hata Sayısal yöntemler için gerekli en temel araçlar bilgisayarlardır, ancak bilgisayarlar reel veya kompleks sayılar kümesi yerine, bu kümelerin sonlu sayıda
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ asondas@kocaeli.edu.tr 0262-303 22 58 1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözüm aşamasında kullanılan sayısal
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
LYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 4. Hafta DENKLEM ÇÖZÜMLERİ 2 İÇİNDEKİLER Denklem Çözümleri Doğrusal Olmayan Denklem Çözümleri Grafik Yöntemleri Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Bisection) Yöntemi Adım
1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ SORULAR ÇÖZÜMLER & MATLAB PROGRAMLAMA Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ Arş. Gör. Emre DEMİRCİ 1 4.1: Aşağıdaki verilen fonksiyonun belirten aralıklarda
Tek Değişkenli Optimizasyon OPTİMİZASYON. Gradient Tabanlı Yöntemler. Bisection (İkiye Bölme) Yöntemi
OPTİMİZASYON Gerçek hayatta, çok değişkenli optimizasyon problemleri karmaşıktır ve nadir olarak problem tek değişkenli olur. Bununla birlikte, tek değişkenli optimizasyon algoritmaları çok değişkenli
Mesleki Terminoloji. Sayısal Analiz DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK MEHMET EMRE ÖNDER DOĞAÇ CEM İŞOĞLU
Mesleki Terminoloji DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK Sayısal Analiz MEHMET EMRE ÖNDER - 12011061 DOĞAÇ CEM İŞOĞLU - 11011074 Sayısal Analiz Nedir? Sayısal analiz, yada diğer adıyla numerik analiz,
FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Ocak Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği. Doç.Dr. Ogün Dogru. Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi
Ocak 2012 Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği Doç.Dr. Ogün Dogru Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi Proje Herkes tarafından kabul görmüş yada ispatlanmış olan bilimsel
Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
4.3. Türev ile İlgili Teoremler
4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem
1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ
SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 1 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu çözümlemelerin MATLAB ile bilgisayar ortamında
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
Prof. Dr. Mahmut Koçak.
i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni
SAYISAL ANALİZ. Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ
SAYISAL ANALİZ Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ 1 SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu
2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, fonksiyonun her verilen bir noktası için kümülatif alan hesabı yapılır.
NÜMERİK İNTEGRASYON Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, onksiyonun her verilen bir noktası için kümülati alan hesabı yapılır. Nümerik integrasyonda, integralin analitik değerine, çeşitli yöntemlerle
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
Prof.Dr.Ünal Ufuktepe
İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda
SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım
ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ
ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ GRAFİK ÇİZİMİ Bir fonksiyonun denklemi verilip grafiği istendiğinde aşağıdaki yolu izlemeliyiz. ) Fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunur. ) ± için fonksiyonun limiti bulunur.
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI
.. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;
Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17
Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 SORU Lütfen çözümlerinizi basamak basamak ve net bir şekilde yaziniz. n ( n + )n3/ serisinin yakinsak olup olmadigini inceleyiniz.
Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Ders 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve hata
Bölüm 2 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve hata Sayısal yöntemler için gerekli en temel araçlar bilgisayarlardır, fakat sayısal yöntemler analitik analiz yöntemlerinden alışık olduğumuz reel veya kompleks
ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Parametrik doğru denklemleri 1
Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P
ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ
Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin
2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Mat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7
YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,
DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin
11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI
11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç
MEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELİŞTİRME PROJESİ. 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme.
PROGRAMIN ADI DERSIN ADI DERSİN İŞLENECEĞİ YARIYIL HAFTALIK DERS SAATİ DERSİN SÜRESİ AMAÇLAR 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme. MUHASEBE PROGRAMI MATEMATİK 1. Yıl I. Yarıyıl 3 (Teori:
Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi
1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.
2.2 Bazıözel fonksiyonlar
. Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()
Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)
Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak
EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil
İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
MB5002 NÜMERİK ANALİZ
MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan
OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon
OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Kısıtsız Optimizasyon Giriş Klasik optimizasyon yöntemleri minimum veya maksimum değerlerini bulmak için türev gerektiren ve gerektirmeyen teknikler olarak bilinirler. Bu yöntemler
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR
- 1-2 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR ÖĞRENME ALANI CEBİR İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere Şeklindeki açık önermelere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli
MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi
MAT9 Matematik I Ders Notları Dokuz Eylül Üniversitesi 26 2 İçindekiler Fonksiyonlar 5. Polinomlar................................................. 7.2 Trigonometrik Fonksiyonlar.......................................
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal Ara Değer Hesabı Lagrance Polinom İnterpolasyonu
Chapter 1 İçindekiler
Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan