2.1 Kayan Nokta aritmetiği: Nümerik Analizde Operatorler Genişletme (Kaydırma) Operatörü µ Ortalama Operatörü...
|
|
- Tunç Boz
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Contents GİRİŞ 5 Hata Çeşitleri 5. Kayan Nokta aritmetiği: Aritmetik İşlemlerde Hata Analizi Nümerik Analizde Operatorler 8. İleri Fark Operatörü ve Özellikleri Genişletme (Kaydırma) Operatörü Geri Fark Operatörü µ Ortalama Operatörü δ Merkezi Fark Operatörü Bölünmüş Farklar Tek Değişkenli Denklemlerin Köklerinin Yaklaşık hesabı 4. YARILAMA METODU Regula Falsi yöntemi Newton-Raphson Yöntemi Kiriş Yöntemi Sabit Nokta İterasyonu Sabit Nokta iterasyonda Yakınsaklık Hızı İnterpolasyon Teorisi 5. İnterpolasyon ve Lagrange Polinomu Bölünmüş Farklar En Küçük Kareler Metodu En Küçük Kareler Metoduyla En iyi Doğru Denklemini Bulma En Küçük Kareler Metoduyla Tablo Noktalarından Geçen En iyi Eğriyi Bulma.. 4
2 6 Nümerik Türev ve Nümerik İntegral 5 6. Analitik Yerine Koyma Metodları ile Nümerik Türev Hesaplama Richardson Eksrapolasyonu (Dış kestirim Metodu) Nümerik İntegral Birleşik Nümerik İntegral Yöntemleri Romberg İntegrasyonu Gauss İntegrasyonu Gauss İntegrasyonu Çok Katlı İntegraller Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözümü 8 7. Sabit Nokta iterasyonu Sistemler için Newton Raphson Metodu
3 Nümerik Analiz 5 GİRİŞ Nümerik analizin amacı karmaşık, analitik olarak çözümü zor ve olanaksız olan problemlere sadece basit aritmetik işlemler kullanılarak çözümler bulmaktır. Bir problem verildiğinde uygulamalı matematikçi bu problemin çözümü için gerekli olan matematiksel modeli kurar, nümerik analizci ise bu problemi çözer. Problemin çözümünde genellikle elektronik hesaplayıcılardan faydalanılır. Dolayısıyla nümerik analizin gelişimi bilgisayarın gelişimine paraleldir. Bu nedenle nümerik analize bilgisayar mühendisliği ve matematik adı da verilebilir. Hata Çeşitleri Nümerikmetodlarla çözülen problemlerin sonuçlarının yaklaşık olmasından dolayı bazı hatalar vardır. Bu hatalar dört grupta toplanabilir. A. İnsan hataları B. Kesme hataları C. Yuvarlama hataları D. Bilgisayarın yaptığı hatalar Bunları açıklamadan önce mutlak hata ve bağıl (göreceli) hata kavramlarını tanımlayalım. Tanım.. Bir s sayısının yaklaşık değeri s olsun. Bu Durumda E s = s s (.) değerine mutlak hata ve s 0 olmak üzere değerinede bağıl hata denir. B s = E s s (.) Örnek.. s = ve s = 0. olduğuna göre mutlak ve bağıl hatayı hesaplayalım. Çözüm: Hesaplayının sekiz ondalıklı işşlem yaptığını göz önünde bulunduracak olursak E s = s s =. 0 4 ve bağıl hata dir. B s = E s s =
4 6 Nümerik Analiz B. Kesme Hataları:f (x) = x fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun I = [ 0.5, 0.5] aralığındakiintegral değeri 0.5 dx + x = dir. Bu fonksiyonu dördüncü mertebeden Taylor açılımını yazarsak x = x + x x + x 4 + O ( h 5) dir. Bu açılımda kalan terimi atarak integralini hesaplarsak ( x + x x + x 4) dx =.0958 dir. Bu işlemde yapılan hata dir. Bu işlemde yapılan hata Taylor polinomunda bazı terimleri ihmal etmemizden kaynaklanmaktadır. Bu tür hatalara kesme hatası denir. C. Yuvarlama Hataları:Bu hata çeşidini anlamak için, sabit nokta aritmetiğini anlamamız gerekir.. Kayan Nokta aritmetiği: Bilgisayar kendine verilen sayıları yada işlem sırasında elde edilen sayıları, 8 veya 6 lik tabanda ifade eder. b kullanılan sayı sistemininin tabanı olmak üzere, bir u sayısını u = (.a a a n ) b b l şeklinde yazar. Burada a 0 dır. Şimdi bilgisayarda aritmetik işlemler nasıl yaptığına örnekler verelim. Örnek ve sayılarını toplayalım Çözüm: = ve 594.7= dır. Bu sayıları toplamak için üstlerini eşitlemek gerekir dır. Bir U, U = ± (.a a a n a n+ ) b b l sayısını bilgisayar aşağıdaki şekilde yuvarlar: { u = (.a U = a a n ) b b l 0 a n+ < b u = (.a a a n ) b b l b + (0.0 0) b a n+ < b ve yuvarlamada hatasının üst sınırının kolayca bl n+ olduğu gösterilebilir.
5 Nümerik Analiz 7. Aritmetik İşlemlerde Hata Analizi Bu kısımda x, inceleyeceğiz. y gibi iki yaklaşık sayının toplama, çıkarma, çarma ve bölme işlemlerinde oluşan hatayı E x ve E y x ve y nin yazılışındaki mutlak hatalar olsunlar. Bu durumda x ve y tam değerleri sırayla x + E x ve y + E y değerinden daha büyük ve x E x ve y E y değerinden daha küçük olamaz. Buna göre bu iki sayının toplamı x + E x + y + E y = x + y + (E x + E y ) ifadesinden daha büyük ve x E x + y E y = x + y (E x + E y ) ifadesinden daha küçük olmaz. Başka bir ifade ile x + y toplamındaki hata E x + E y den daha büyük değildir. Toplama işlemindeki bağıl hata ise dir. B x+y E x + E y x + y Örnek.4. Beş ondalıklı bir hesaplayıcıda (5-haneli yuvarlatma aritmetiğine göre) 5.6 ve.75 sayılarını toplayınız. Hata ve bağıl hatayı bulunuz. Çözüm: İlk önce sayıları kayan nokta aritmetiğne göre yazmamız gerekir. x = 5.6 = = x y =.75 = = y x + y = olup E x = 0, E y = dır. Bu işlemde yapılan hata E x + E y = ve bağıl hata ise dır. B x+y = = E x ve E y x ve y nin yazılışındaki mutlak hatalar olsunlar. x ve y tam değerlerinin çarpma işleminin mutlak hatanın ise xe y + ye x + E x E y ifadesinden daha büyük olmayacağı açıktır. Eğer E x E y çok küçük ise ihmal edilebilir ve mutlak hatayı E xy = xe y + ye x olarak alabiliriz. Bağıl hatayı ise Bxy = E x x + E y y
6 8 Nümerik Analiz olarak alabiliriz. Benzer şekilde bölme işlemi için E x E y ve E y ihmal edilirse mutlak hata ( ) x E x y x + E y y olacaktır ve bagıl hata ise dır. B x y = E x x + E y y Nümerik Analizde Operatorler Matematikte kısalık, anlatım kolaylığı ve diğer uygulamaya dayalı amaçlarla, bazı işlemlerin oluştuğunu göstermek için kullanılan sembollere operatör denir. Örneğin d dx türev operatörü, integral operatörü, toplam operatörü vs. Tanım.. (Temel Tanımlar ve Operatör özellikleri)a ve B iki operatör, f keyfi bir fonksiyon olsun. Eğer Af = Bf ise bu iki operatöre eşit operator denir. İki opretörün toplamı, farkı ve çarpımı ise (A ± B) f = Af ± Bf (A.B) f = A. (Bf) şeklinde tanımlıdır. Eğer If = f ise I ya birim operator denir. Eğer A.B = I ise B ye A nın tersi denir ve A ile gösterilir. Aşikar olarak A f = g Ag = f dir. a, b iki sabit ve f ve g iki keyfi fonksiyon olmak üzere dir. A (af + bg) = aaf + bag A, B ve C herhangi üç operator olsun. A + B = B + A (Toplamın değişme özelliği). A + (B + C) = (A + B) + C (Toplamın birleşme özelliği). AB = BA (Çarmada değişme özelliği) 4. A (BC) = (AB) C (Çarmada birleşme özelliği) 5. A (B + C) = AB + AC (Dağılma özelliği) 6. A p A q = A p+q
7 Nümerik Analiz 9. İleri Fark Operatörü ve Özellikleri y = f (x) fonksiyonu verilmiş olsun. Bu taktirde f (x) = f (x + h) f (x), h > 0 şeklinde tanımlanan operatöre ileri fark operatörü denir. Şimdi x k x k = h, i =,, n, diyelim ve f (x k ) yı y k ile gösterirsek, aşikar olarak y k = y k+ y k dır. Buradan ardışık olarak y k = y k = (y k+ y k ) = y k+ y k = y k+ y k+ + y k y k = y k = (y k+ y k+ + y k ) = y k+ y k+ + y k+ y k olup en genel halde dir. Böylece ileri fak toblosu n y k = n ( ( ) i n i i=0 ) y k+n i x k y k y k y k y k 4 y k x 0 y 0 y 0 x y y 0 y y 0 x y y 4 y 0 y y x y y y x 4 y 4 Tanım.. (Genelleştirilmiş Binom Katsayıları) x herhangi bir sayı olsun. ( x r ) = r = 0 0 r Z x(x ) (x r+) r! r Z + şeklinde tanımlanan fonksiyona Genelleştirilmiş Binom Katsayısı denir. A. x = 0 ise B. ( x r ( 0 r ) = 0 dır. ) x e göre r. dereceden bir polinomdur. ( x C. Eğer h = alınıırsa r ) = ( x r k ( x r ) dir. En genel halde ) = ( x r k ), k = 0,,
8 0 Nümerik Analiz İleri fark operatörü ile türevler arasında sıkı birilişki vardır. Bunu ortalam değer teoremini kullanarak kolayca gösterebiliriz. f (x) = f (x + h) f (x) = hf (ζ ) ; x < ζ < x + h f (x) = f (x) = hf (ζ ) = h (f (ζ + h) f (ζ )) = h f (ζ ) ; x < ζ < x + h en genel halde ise k f (x) = h k f (k) (ζ k ) ; x < ζ k < x + kh Teorem.. P n (x) = a 0 x n + a x n + + a n x + a n olsun bu taktirde n P n (x) = a n n!h n, n+ P n (x) = 0 dır. Örnek.4. y = x fonksiyonu için ileri fark tablosunu oluşturalım x k y k y k y k y k 4 y k 5 y k Genişletme (Kaydırma) Operatörü h > 0 olmak üzere Ef (x) = f (x + h) şeklinde tanımlanan operatöre genişletme (kaydırma) operatörü denir. Bu operatörün lineer bir operatör olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Aşikar olarak E k f (x) = f (x + kh), k =,, dır. k = 0 ise E 0 f = f dir. E k f (x) = f (x + kh) olduğundan E k f (x) = f (x kh) olacaktır. Dikkat edilirse f (x) = f (x + h) f (x) = Ef (x) If (x) = (E I) f (x) olduğundan bu eşitlik bize = E I olduğunu gösterir.
9 Nümerik Analiz. Geri Fark Operatörü y = f (x) fonksiyonu verilmiş olsun. Bu taktirde f (x) = f (x) f (x h), h > 0 şeklinde tanımlanan operatöre geri fark operatörü denir. Şimdi x k x k = h, i =,, n, diyelim ve f (x k ) yı y k ile gösterirsek, aşikar olarak y k = y k y k dır. Buradan ardışık olarak y k = y k = y k y k = y k y k + y k y k = y k y k + y k y k olup geri fark toblosu ise x k y k y k y k y k 4 y k x 0 y 0 y x y y y y x y y 4 y 4 y y 4 x y y 4 y 4 x 4 y 4 dır. Benzer şekilde E kaydırma operatörü ile geri fark operatörü arasında ilişkisi vardır. f (x) = f (x) f (x h) = If (x) E f (x) = ( I E ) f (x) Örnek.5. f (x) = x 4 x + 7 fonksiyonu veiliyor. x =,,, için geri fark tablosunu oluşturunuz. Çözüm: x f (x) f (x) f (x) 4 f (x) µ Ortalama Operatörü h > 0 olmak üzere µf (x) = [ ( f x + h ) ( + f x h )]
10 Nümerik Analiz şeklinde tanımlanan operatöre denir. y k = f (x k ) gösterimi kullanılırsa µy k = yazılabilir. ( ) y k+ + y k olarakta Örnek.6. Bir f fonksiyonu için f () =.978, f () =.4858 olduğu bilindiğine göre f fonksiyonunun x =.5 deki ortalama değeri µf (.5) = [f () + f ()] = ( ) = dir..5 δ Merkezi Fark Operatörü δf (x) = f ( x + h ) f ( x h ) şeklinde tanımlanan opretöre denir. yk = f (x k ) gösterimi kullanılırsa dır. δy k = y k+ y k δ y k = y k+ y k + y k..6 Bölünmüş Farklar Bir f (x) fonksiyonu x 0, x, noktalarında sırasıyla y 0, y, değerlerini alsın. f nin birinci bölünmüş farkı j y k = y j y k x j x k şeklinde tanımlanır ve f (x j, x k ) veya f [x j, x k ] sembollerinden birisi ile gösterilir. Benzer şekilde ikinci, üçüncü ve diğer bölünmüş farklarda ij y k = y k = ijl j y i i y k x i x j y i y k jl ij. x l x i şeklinde tanımlanabilir. Örnek.7. f (x) = x fonksiyonunun x =, 0,,, 5 değerleri için bölünmüş fark tablosunu oluşturunuz.
11 Nümerik Analiz Çözüm: y k = f (x k ) dan ardışık olarak y 0 =, y =, y = 0, y = 6, y 4 = 4 olup. Birinci bölünmüş farklar sırasıyla İkinci bölünmüş farklar ise y 0 = y = 4 y = benzer şekilde üçüncü bölünmüş fark ise y 0 = f[x 0, x ] = y y 0 = + = x x 0 y = f[x, x ] = y y = 0 + x x 0 = y = f[x, x ] = y y x x = 6 0 = 4 y = f[x, x 4 ] = y 4 y x 4 x = = 49 y y 0 = f[x, x ] f[x 0, x ] = x x 0 x x 0 + = 0 y y = x x 0 = 4 y y 4 49 = x 4 x 5 = 9 olup aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz. 0 = 4 = 0 4 = 0 x k y k f[x i, x j ] f[x i, x j, x l ] f[x i, x j, x l, x t ] f[x i, x j, x l, x t, x k ] Tek Değişkenli Denklemlerin Köklerinin Yaklaşık hesabı f(x) fonksiyonunun çarpanlara ayrılabilir bir polinom olması halinde, örneğin f(x) = x olması halinde f(x) = 0 denkleminin kökleri x = ± dir. Eğer f(x) = 0 bir polinom değilse, bu durumda f ( x) değerini küçük yapan x sayısının bulunması istenir. Bu x değerine f(x) = 0 denkleminin yaklaşık kökü denir.
12 4 Nümerik Analiz 4. YARILAMA METODU Bu yöntem ara değer teoreminin uygulamasına dayanan bir yöntemdir. Ara değer teoremi gereğincef (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve f (a) f (b) < 0 ise f (m) = 0 olacak şekilde a < m < b vardır.n = 0,, için m n = a n + b n hesaplanır. f (a n ) f (b n ) < 0 ise a n+ = a n ve b n+ = m n alınır aksi halde a n+ = m n ve b n+ = b n alınnarak devam edilmesiyle m, m,, m N dizisi elde edilir. m N m N < ε olduğunda yani iki değer arasındaki fark istenildiği kadar küçük kaldığında hesaplama durdurulur. Örnek 4.. f (x) = x + 4x 0 fonksiyonunun [,] aralığındaki bir sıfır yerini yarılama metodu ile bulunuz n a n b n m n f (m n ) Teorem 4.. f C [a, b] ve f (a) f (b) < 0 olsun. Yarılama yöntemi ile elde edilen m n dizisi fonksiyonun m kökü arasındaki bağıntı, n = 0,, için ile verilir. m n m b a n, n Proof. Yarılama yöntemi ile n adımdan sonra yaklaşık köke varıllmış ise [a, b] den elde edilen en son alt aralığın uzunluğu b a n dir. Aşikar olarak olduğundan dir. b n a n = (b a) n m n m b n a n = b a n f (x) = x x fonksiyonunun, [, ] aralığındaki sıfır yerini yarılama yöntemini kullanarak ε = 0 doğrulukla hesaplayınız. Örnek 4.. f (x) = x x fonksiyonunun, [,] aralığındaki sıfır yerini yarılama yöntemini kullanarak ε = 0 hata payıyla hesaplayınız.
13 Nümerik Analiz 5 Çözüm: m n m n (b a) < 0 hata formülünden < 0 = n 0.0 bulunur. Buradan n yi 7 almak yeterlidir. n a n b n m n f (m n ) m n m n ifadesine tolorans denir. Mutlak hata ise ve bağıl hata dır. Mapple ile bu problem m 7 m m m 7 m < b 7 a 7 = < b 7 a 7 a 7 = = < n den 6.7 < n a[0]:=;b[0]:=;n:=round(evalf[0](-*log[](0ˆ(-)/(b[0]-a[0])))); m[0]:=(b[0]+a[0])/;f:=x xˆ-x-; for k from to n do; m[k]:=evalf[0]((b[k-]+a[k-])/);if f(m[k]) 0 then a[k]:=m[k]; b[k]:=b[k-]; else a[k]:=a[k-];b[k]:=m[k] end if;a[k]:=a[k-];b[k]:=b[k-];y[k]:=f(m[k]);end do; Komut yazılımı ile çözülebilir. Örnek 4.4. x = tan x denkleminin [4, 4.5] aralığındaki kökünü ε = 0 hata payıyla hesaplayınız. Çözüm: m n m n (b a) < 0 hata formülünden n+ < 0 = 0.0 < n + den 6.7 < n + bulunur. Buradan n yi 6 almak yeterlidir. n a n b n m n f (m n ) Mutlak hata ise ve bağıl hata dır. m 7 m m m 7 m < b 7 a 7 = < b 7 a 7 a 7 = =
14 6 Nümerik Analiz 4. Regula Falsi yöntemi Bu yöntem yarılama metoduna çok benzemektedir. f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve f (a) f (b) < 0 olsun. (a, f (a)) ve (b, f (b)) den geçen doğrunun x eksenini kestiği nokta w = f (b) a f (a) b f (b) f (a) dır. Bu değere ağırlıklı ortalam denir. Eğer f (a) f (w) < 0 ise a = a, b = w aksi halde a = w, b = b yazalım. Bu şekilde ardışık devam ile w n = f (b n) a n f (a n ) b n f (b n ) f (a n ) dizisi elde edilir. Bu dizi f (x) fonksiyonunun sıfır yerine yaklaşır. Örnek 4.5. f (x) = x x 5 fonksiyonunun [,] aralığındaki sıfır yerini Regula-Falsi yöntemini kullanarak ε = 0 toloransla hesaplayınız. Çözüm: a 0 =, b 0 = olup f () = 5, f () = 4 dır. w 0 = f (b 0) a 0 f (a 0 ) b 0 f (b 0 ) f (a 0 ) = = 9 = olup f (w 0 ) =-.774 olduğundan f nin sıfır yeri [w 0, ] aralığındadır. Buradan a = , b = alınırsa w = f (b ) a f (a ) b f (b ) f (a ) = = olarak elde edilir. f( ) =-.804 olduğundan fonksiyonun sıfır yeri [ , ] aralığındadır. a = , b = alınarak işleme devam edilirse n a n b n f (a n ) f (b n ) w n f (w n ) olarak elde edilir. 0 tolarans değeri ile hesaplamamız istendiğinden w 4 w = olduğundan işlem n = 4 e kadar yapılması yeterlidir. Örnek 4.6. değrini 0 toloransla yaklaşık olarak hesaplayınız.
15 Nümerik Analiz 7 Çözüm: f(x) = x fonksiyonu ele alalım. Aşikar olarak sıfır yeri [,] aralığındadır. a 0 =, b 0 = olup f() =, f () = w 0 = f (b 0) a 0 f (a 0 ) b 0 f (b 0 ) f (a 0 ) = + = 4 =. olup f ( ) 4 = 9 dır. Buradan ara değer teoremi gereği fonksiyonun sıfır yeri [ 4, ] aralığındadır. w = f (b ) a f (a ) b f (b ) f (a ) = = 7 5 f ( ) 7 5 = 5 dır. Buradan ara değer teoremi gereği fonksiyonun sıfır yeri [ 7 5, ] aralığındadır. w = f (b ) a f (a ) b f (b ) f (a ) = = 4 7 = f ( ) 4 7 =-/89 dır. Buradan ara değer teoremi gereği fonksiyonun sıfır yeri [ 4 7, ] aralığındadır. w = f (b ) a f (a ) b f (b ) f (a ) = = 4 9 = f ( ) 4 9 = 84 4 dır. Buradan fonksiyonun sıfır yeri [ 9, ] aralığındadır. w 4 = f (b 4) a 4 f (a 4 ) b 4 f (b 4 ) f (a 4 ) = = = dır. w 4 w = olduğundan işlem durdururlur. = dır. Örnek 4.7. f (x) = x + x fonksiyonunun [0,] aralığındaki sıfır yerini Regula-Falsi yöntemini kullanarak ε = 0 toloransla hesaplayınız. Çözüm: a 0 = 0, b 0 = olup f (0) =, f () = dır. w 0 = f (b 0) a 0 f (a 0 ) b 0 f (b 0 ) f (a 0 ) = = = 0.5 olup f (w 0 ) =-0.65 olduğundan f nin sıfır yeri [0.5, ] aralığındadır. Buradan a = 0.5, b = alınırsa w = = f () 0.5 f (0.5) f () f (0.5) = olarak elde edilir. f( ) = olduğundan fonksiyonun sıfır yeri [ , ]
16 8 Nümerik Analiz aralığındadır. a = , b = alınarak işleme devam edilirse n a n b n f (a n ) f (b n ) w n f (w n ) olarak elde edilir. 0 tolarans değeri ile hesaplamamız istendiğinden w 5 w 4 = olduğundan işlem n = 5 e kadar yapılması yeterlidir. 4. Newton-Raphson Yöntemi f (x) fonksiyonunun C [a, b] olduğunu kabul edelim. f (x) fonksiyonunun gerçek sıfır yeri p olsun. p nin bir komşuluğunda seçilen x 0 noktası için (x 0, f (x 0 )) dan geçen teğet doğrusu y f (x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) dır. Bu teğet doğrusunun x eksenini kestiği noktayı x ile gösterirsek x = x 0 f (x 0) f (x 0 ) elde edilir. Benzer şekilde devam ederek x n = x n f (x n ) f (x n ) dizisi elde edilir. Bu formüle Newton-Rophson iterasyon formülü denir. Örnek 4.8. f(x) = x x fonksiyonunun sıfır yerini x 0 = alarak yaklaşık olarak hesaplayınız. Çözüm: f (x) = x olup Newton-Rophson iterasyon formülü x n = x n x n x n x n
17 Nümerik Analiz 9 dır. Buradan x = 7 = 7 7 =. x = 7 ( 7 ) 7 ( ) 7 = 7 8 = x = 7 ( 7 ) ( ) ( ) 7 = = x 4 = x 5 = x 6 = dır. Teorem 4.9. f (x) C [a, b] ve f (x) fonksiyonunun bir sıfır yeri p olsun. f (p) 0 kabul edelim. Bu durumda p noktasının yeterince küçük bir komşuluğundaki bir x 0 başlangıç değeri için Newton-Rophson iterasyon formülü ile elde edilen dizi f fonksiyonun p sıfır yerine yakınsar. Proof. f (x) fonksiyonunun. mertebeden Taylor açılımı f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (ζ) (x x 0 )! dır. Burada ζ x ile x 0 arasındadır. p fonksiyonun sıfır yeri olduğundan ( 0 = f (x 0 ) + f (x 0 ) p x f (x ) 0) f + f (ζ) (p x 0 ) (x 0 )! den p çekilirse p = x f (ζ) f (x 0 ) (p x 0) (4.) Şimdi p noktasının f (x) 0 olacak şekildeki bir komşuluğu I = (p δ, p + δ) olsun. f (x) ve f (x) fonksiyonları [a,b] kapalı aralığında sürekli olduğundan seçersek (4.) eşitliğinden yada elde edilir. x 0 I ile M = max x I f (x) min x I f (x) p x M p x 0 M p x (M p x 0 ) (4.) değeri p x 0 < δ ve M p x < olacak şekilde şeçilmişse benzer şekilde devam p x n+ < M p x n < M p x n 4. < M (M p x 0 ) n
18 0 Nümerik Analiz M p x < olduğundan n için x n p dir. Örnek 4.0. Newton-Rophson iterasyon formülünü kullanarak x cos x = 0, kökünü 0 4 doğrulukla hesaplayınız. I = [0, π ] denkleminin Çözüm: Bu problem için f (x) = x cos x, f (x) = + sin x dır. x 0 = π 4 alalım. Newton-Rophson iterasyon formülünden ardışık olarak x n = x n f (x n ) f (x n ) x n = x n x n cos x n + sin x n x = x = x = dır. x x = olduğundan işlem durdurulur. Bu problem mapple ile f : = x > x cos(x); g := x > x (x cos(x))/( + sin(x)); x[0] : = P i/4; for n from to 0 do; x[n] := evalf[0](g(x[n ])); end do; komut işlemi ile çözülebilir. Çözüm: x = 0 denkleminin kökünü I = [, ] aralığında 0 toloransla bulunuz. Çözüm: Bu problem için f (x) = x, f (x) = x dır. x 0 =.5 alalım. Newton-Rophson iterasyon formülünden ardışık olarak olup x n = x n f (x n ) f (x n ) x n = x n x n x n x 0 =.5 x = x = x = x 4 = x x = x 4 x =
19 Nümerik Analiz olduğundan 4. adımda işlem durdurulur. = Açıklama. f (x) = 0 denklemi q katlı bir köke sahip olsun. Bu durumda f (x) = (x p) q h (x) olacak şekilde bir h fonksiyonu vardır. f (x) fonksiyonunun ikinci mertebeden Taylar açılımı yardımıyla Newton-Rophson iterasyon formülünü elde ettiğimizde g (x) = x q f (x) f (x) iterasyon fonksiyonu elde edilir. Buradan elde edilen x n = x n q f (x n ) f (x n ) iterasyon formülüne hızlandırılmış Newton-Rophson iterasyon formülü denir. Örnek 4.. f (x) = (x ) (x )fonksiyonunun sıfır yerini hızlandırılmış Newton-Rophson ve Newton- Rophson iterasyon formülleri ile ayrı ayrı hesaplayınıız. Çözüm: Bu problem için f (x) = (x ) (x 4) dır. x 0 =.9 alalım. x n = x n f (x n ) f (x n ) = x n (x n ) (x n ) (x ) (x 4) Newton-Rophson iterasyon formülünden ardışık olarak x 0 =.9 x = x = x 9 = x 0 = hızlandırılmış Newton-Rophson iterasyon formülü ile hesaplasaydık ardışık olarak x n = x n f (x n ) f (x n ) = x n (x n ) (x n ) (x ) (x 4) x 0 =.9 x = x = x = x 4 =
20 Nümerik Analiz dır. Örnek 4.. f(x) = x +x denkleminin köklerini Newton-Rophson metodunu kullanarak bulunuz. Çözüm: f (x) = 0 denkleminin kökleri x =, x = , x = dir. İterasyon fonksiyonu g (x) = x x + x x + 4x dir. x n = g (x n ) Newton Raphson iterasyon formülünde x 0 =. alınırsa x = x = x = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = veya köküne yaklaşması beklenirken -+ 5 köküne yaklaşıldığı görülür. 4.4 Kiriş Yöntemi Bir f (x) = 0 denklemi verildiğinde x 0, x gibi iki başlanğıç değeri biliniyorsa kullanılabilecek en iyi yöntemlerden birisidir. Bu yöntem (x 0, f (x 0 )) ve (x, f (x )) noktalarından geçen doğru yardımıyla f (x) = 0 denkleminin kökleri bulunabilir. (x 0, f (x 0 )) ve (x, f (x )) noktalarından geçen doğrunun x eksenini kestiği noktayı x ile gösterelim. Bu durumda (x 0, f (x 0 )), (x, f (x )) ve (x, f (x )), (x, 0) noktalarından geçen doğrunun eğimi olur. Bu denklem x ye göre çözülürse bulunur. Benzer şekilde devam edilerek iterasyon formülü elde edilir. m = f (x ) f (x 0 ) x x 0 = 0 f (x ) x x (4.) x = x f (x ) (x x 0 ) f (x ) f (x 0 ) x n = x n f (x n ) (x n x n ) f (x n ) f (x n ) Örnek 4.. x + x = 0, I = [0, ] aralığındaki kökünü kiriş yöntemi ile bulunuz.
21 Nümerik Analiz Çözüm: Bu problem için f (x) = x + x dır. x 0 = 0, x = olup f (x 0 ) = ve f (x ) = olup indirgeme formülünden ardışık olarak x n = x n f (x n ) (x n x n ) f (x n ) f (x n ) ve f(x ) = dır. x = ( 0) + = 0.5 x = 0.5 dır. Benzer şekilde devam edilerek elde edilir. Bu problem Mapple ile (0.5 ) x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = x 9 = x 0 = f : = x > xˆ + xˆ ; plot(f(x), x = 0..); = x[0] : = 0; x[] := ; x[] := evalf[0](x[] f(x[]) (x[] x[0])/(f(x[]) f(x[0]))); for n from to0 do x[n] : = evalf[0](x[n ] f(x[n ]) (x[n ] x[n ])/(f(x[n ]) f(x[n ]))); end do; işlem komutuyla yapılabilir. Örnek 4.4. x = 0, I = [, ] aralığındaki kökünü kiriş yöntemi ile bulunuz. Çözüm: Bu problem için f (x) = x dır. x 0 =, x = olup f (x 0 ) = ve f (x ) = olup indirgeme formülünden ardışık olarak x = x n = x n f (x n ) (x n x n ) f (x n ) f (x n ) ( ) + = 4 =. ve f (x ) = f ( ) 4 = 9 dır. x = 4 9 ( 4 ) 9 = 7 5 =.4
22 4 Nümerik Analiz ve f ( ) 7 5 = 5 dir. x 4 = 7 f ( ) 58 4 = 68 olarak elde edilir. 5 5 ( olup benzer şekilde devam edilirse ) = 58 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = x 9 = Sabit Nokta İterasyonu Sabit nota yöntemini açıklamak için Newton Raphson formülüdeki, x n+ = x n f (x n) f (x n ) formülünü göz önüne alalım. Eğer, denirse Newton-Raphson formülü g (x) = x f (x) f (x) x n+ = g (x n ) olarak yazılabilir. Bu formül kullanılarak elde edilen x, x,, x n, dizisi bir ζ limitine yakınsar. Eğer g sürekliyse ζ = lim x n+ = lim g (x n ) = g (lim x n ) = g (ζ) dır. Buradan f (x) denkleminin ζ kökü g (x) fonksiyonunun sabit noktasıdır. Bunun terside doğrudur, yani g (x) fonksiyonunun sabit noktası f (x) = 0 denkleminin bir köküdür. Şöyle ki, ζ g (x) fonksiyonunun sabit noktası ise g (ζ) = ζ ve g (ζ) = ζ f (ζ) f = f (ζ) = 0 (ζ) dır. Örnek 4.5. f(x) = x x fonksiyonu için g iterasyon formülü kaç şekilde seçilebilir. Çözüm:. f (x) = 0 dan x = x den g (x) = x olarak seçilebir.. x = x + dan x = x + olup g (x) = x + olarak seçilebilir.. x = x + dan x = + x olup g (x) = + x olarak seçilebilir.(x 0)
23 Nümerik Analiz 5 4. x = x + dan x = x ( x x ) olup g (x) = x x + olarak seçilebilir. 5. benzer muhakemelerle istenildiği kadar seçilebilir. Örnek 4.6. g (x) = x sin πx fonksiyonun [0,] aralığında iki sabit noktası vardır. x = dir. Bunlar x = 0 ve Teorem 4.7. Eğer her x [a, b] için g C[a, b] ve g (x) [a, b] ise g nin [a,b] aralığında bir sabit noktası vardır. Bundan başka (a,b) aralığında g (x) türevi var ve g (x) k < (4.4) olacak şekilde bir k < sayısı varsa g nin [a,b] aralığında tek bir sabit noktası vardır. Proof. g (a) = a ve g (b) = b ise sabit noktanın varlığı açıktır. Şimdi g (a) > a ve g (b) < b kabul edelim. h (x) = g (x) x fonksiyonunu tanımlayalım. h (a) = g (a) a > 0, h(b) = g (b) b < 0 olduğundan aradeğer teoremine göre h (p) = 0 olacak şekilde p (a, b) vardır. Böylece g (p) p = 0 = 0 yani p, g nin sabit noktasıdır. Şimdi sabit noktanın tekliğini gösterelim. p ve q nokta olsun. Ortalama değer teoremine göre g (x) k < özelliğini sağlayan iki farklı sabit p q = g (p) g (q) = g (ζ) p q < k p q < p q olacak şekilde ζ (p, q) vardır. Bu bir çelişkidir. O halde sabit nokta tektir. Örnek 4.8. g (x) = x fonksiyonunun [, ] de tek sabit noktası vardır. gösterininiz. Çözüm: g (x) fonksiyonu I=[, ] kapalı aralığında sürekli olduğundan maksimum ve minimunu [-,] aralında alır. g mutlak minimunu x = 0 da alır ve g (0) = dir. Mutlak maksimumunu x = ± de alır ve mutlak maksimumu g (±) = 0 dır. Buradan her x I için < g (x) < dir. Teoreme göre sabit noktası vardır. Ayrıca g (x) = x < < olduğundan bu sabit nokta tektir. Şimdi bu sabit noktayı bulalım p = g (p) den p = p olup [, ] olduğundan istenen sabit noktadır. = p =, p = + Teorem 4.9. (Sabit Nokta Teoremi)g C[a, b] ve her x [a, b] için g (x) [a, b] olsun. x 0, [a, b] aralığında herhangi bir nokta ise n için x n = g (x n ) ile tanımlanan dizi [a, b] de bir tek p noktasına yakınsar.
24 6 Nümerik Analiz Proof. Bir önceki teoremden g nin [a, b] aralığında bir sabit noktası olduğunu biliyoruz. Her n için x n = g (x n ) [a, b] dir. Ortalama değer teoreminden dir. Tümevarımla dır. k < olduğundan yani x n dizisi p ye yakınsar. x n p = g (x n ) g (p) = g (ζ) x n p < k x n p x n p k x n p k k x n p k n x 0 p (4.5) lim x n p lim k n x 0 p = 0 Sonuç 4.0. Eğer g, Teorem 4.9 in hipotezlerini sağlıyorsa x n dizisinin p ye yaklaşırken meydana gelen hata her n için, x n p k n max {x 0 a, b x 0 } dır. Proof. (4.5) eşisizliğinden aşikar olarak dır. x n p k n x 0 p max {x 0 a, b x 0 } Sonuç 4.. Eğer g, Teorem 4.9 in hipotezlerini sağlıyorsa her n için, dır. x n p kn k x 0 x Proof. Teorem 4.9 in ispatındanher n için elde edilir. Buradan x n+ x n = g (x n+ ) g (x n ) k x n x n k n x x 0 (4.6) x m x n = x m x m + x m x m + x m + x n+ x n x m x m + x m x m + + x n+ x n k n ( + k + + k m n ) x x 0 (4.7) elde edilir. Teorem 4.9 e göre lim m x m = p olduğundan (4.7) nın limitini m alınırsa ispat tamamlanmış olur. Örnek 4.. g (x) = x + x + 0 olsun. sağlamadığını gösteriniz. g(x) fonksiyonunun Teorem 4.9 in koşullarını sağlayıp Çözüm: g (x) = x + olup. g (x) < olacak şekilde p noktasını içeren bir [a,b] aralığı bulunamaz dolayısıyla bu şekilde seçilen g (x) iterasyon fonksiyonu ile oluşturulacak dizi yakınsak değildir.
25 Nümerik Analiz 7 Örnek 4.. x x = 0 denkleminin [,] aralığındaki kökünü sabit nokta interpolasyon yöntemini kullanarak ε = 0 5 hata payıyla hesaplayınız. Çözüm: Bu denklem için interpolasyon polinomu bir kaç şekilde alınabilir. Örneğin g (x) = x, g (x) = (x + ) / vs. olarak alınabilir. Fakat g (x) = x ve I = [, ] aralığında g (x) < tutulamaz dolayısıyla uygun bir seçim değildir. g (x) = (x + ) / = g (x) = (x + ) / olup her x I için g (x) < / ve her x I için g (x) I dır. Dolayısıyla sabit nokta teoremi gereği g ile tanımlanan dizi [a,b] aralığında bir tek p noktasına yakınsar. Şimdi ε = 0 5 hata payıyla hesaplayalım ve x n = g (x n ) x n p kn k x 0 x < 0 5 formülünde x 0 = seçelim x = g (x 0 ) = g ( ) ( = + / ( ) = 5 ( ) n 0 ( 5 ) 6 < 6 ( 5 / ) ) / dir. Burada k = / dir. olup her iki tarafın logaritması alınırsa yani n = 6 alınabilir. sabit nokta iterasyon formülünden n < x n = g (x n ) x 0 =.5 x = x = x = x 4 = x 5 = x 6 = dir. Eğer iterasyon fonksiyonu olarak g (x) kullanılsaydı bu dizi ıraksaktır. Örnek 4.4. x x + 8 = 0 denklemi için iterasyon fonksiyonu olarak A. g(x) = x 8 x,
26 8 Nümerik Analiz B. g(x) = x x + 8 alınabilir. Bu fonksiyonlardan hangisi ile x = köküne yakınsayacak bir iterasyon dizisi elde edilebilir. Çözüm: A. g(x) = x 8 x ise g (x) = x+6 x konusunda bir yorum yapılamaz. olup g () =.5 > olduğundan x = köküne yakınsama B. g(x) = x x + 8 den g (x) = x olup g () = 0 < olduğundan g (x) < olcak şekilde yi bulunduran bir I aralığı belirlenebilir. Dolayısıyla bu iterasyon fonksiyonu ile x = köküne yaklaşılabilir Sabit Nokta iterasyonda Yakınsaklık Hızı Tanım 4.5. (x n ) yakınsak bir dizi ve p noktasına yakınsasın. Her n için e n = x n p olduğunu kabul edelim. Eğer, x n+ p e n+ lim n x n p α = lim n e n α = λ olacak şekilde pozitif λ ve α sayıları varsa (x n ) dizisi, p ye λ asimtotik sabitiyle α mertebeden yakınsaktır denir. Eğer (x n ) dizisi p = g (p) çözümüne α mertebeden yakınsak ise, x n = g (x n ) iterasyon fonksiyonuna α mertebedendir denir. A. Eğer α = ise yakınsaklık lineer B. Eğer α = ise yakınsaklık kuadratiktir. Örnek 4.6. Lineer ve kuadratik yakınsalıkları karşılaştıralım. Örneğin e. lim n+ n e n = 0.75 (Lineer yöntem) e. lim n+ n e n = 0.75 (Kuadratik yöntem) olsun. Aşikar olarak e n+ e n yazabiliriz. Buradan sırasıyla lineer yakınsama için 0.75 ve e n+ e n 0.75 e n 0.75 e n (0.75) e n (0.75) n e 0 ve kuadratik yakınsama için e n 0.75 e n 0.75 [0.75 e n ] (0.75) n e 0 n
27 Nümerik Analiz 9 yazabiliriz. Şimdi her iki yöntem için en küçük iterasyon sayısını, yapılan hatanın 0 8 geçmeyecek şekilde belirleyelim. e 0 = 0.5 olarak seçelim. Lineer yakınsama için dir. Kuadratik yakınsama için ve buradan n 5 elde edilir. e n = (0.75) n = n log 8 log (0.75) 6 e n = (0.75) n (0.5) n = (0.75) (0.75) n 0 8 Örnek 4.7. x n = n dizisinin 0 a lineer yakınsadığını gösteriniz n+ n Çözüm: x n+ x n = = n n+ n olup lim n+ = = λ olduğundan yakınsama lineerdir. Bir f (x) = 0 denklemi verildiğinde iterasyon fonksiyonunun bir kaç şekilde bulunduğu görmüştük. Fakat iterasyon fonksiyonu yardımıyla elde edilen dizinin genel terimini her zaman bulamayacağımızdan iterasyon fonksiyonunun mertebesini her zaman belirleyemeyiz. Şimdi kuadratik yakınsama için gerekli kriterleri çıkaralım. Teorem 4.8. p, x = g (x) denkleminin bir çözümü olsun. p yi içine alan bir I açık aralığında g (p) = 0 ve g (p) < M olduğunu farz edelim. bu durumda öyle bir δ > 0 sayısı vardır ki, p 0 [p δ, p + δ] için n olduğunda, x n = g (x n ) dizisi kuadratik olarak p ye yakınsar. Bundan başka yeterince büyük n değerleri için, dir. p n+ p < M p n p Şimdi f (x) = 0 denklemini Teorem 4.8 kullanarak çözelim. p noktası f (p) 0 olacak şekilde f (x)=0 denkleminin bir çözümü olsun. olacak şekilde g (x) = x ϕ (x) f (x) x n = g (x n ), n sabit nokta iterasyon fonksiyonunu göz önüne alalım. Burada ϕ (x) daha sonradan belirlenecek bir fonksiyondur. Eğer ϕ (x) sınırlı bir fonksiyon ise, g (p) = p dır ve g kuadratik olarak yakınsar. g (p) = 0 olması aşikar olarak ϕ (p) = /f (p) dir. Burada p nin durumundan dolayı f (p) yi bulamayız. Bu sebetten dolayı ϕ (x) = /f (x) olarak seçersek Newton-Raphson yöntemi elde edilir. Sonuç 4.9. Eğer f (p) = 0 olduğunda f (p) = 0 ise Newton-Raphson ve kiriş yöntemi kullanışlı değildir. Teorem 4.0. p (a, b) noktasının, f C[a, b] fonksiyonunun basit sıfır yeri olaması için gerek ve yeter şart f (p) = 0 ve f (p) 0 olmasıdır. Teorem 4.. p (a, b) noktasının, f C[a, b] fonksiyonunun m katlı sıfır yeri olaması için gerek ve yeter şart 0 = f (p) = f (p) = = f (m ) (p) olmasıdır. Ancak burada f (m) (p) 0 dır.
28 0 Nümerik Analiz Sonuç 4.. Eğer f fonksiyonunun p noktasındaki sıfır yeri basit değilse, f fonksiyonun yakınsaklığı kuadratik olmaz. Örnek 4.. p = 0 noktasının f (x) = e x x fonksiyonunun iki katlı sıfır yeri olduğunu gösteriniz. Çözüm: Aşikar olarak f (0) = f (0) = 0 fakat f (0) = olduğundan iki katlı sıfır yeridir. Şimdi p 0 alarak Newton-Raphson Yöntemiyle ardışık olarak dır. x = x = x = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = x 9 = x 0 = p, f (x) = 0 denkleminin m katlı bir kökü olsun. Bu taktirde f (x) = (x p) m q (x) dır. Şimdi µ (x) = f (x) f (x) fonsiyonunu tanımlayalım. Bu yöntemi m = için açıklayacağız m > için benzer muhakemelerle genelleştirilebilir. µ fonksiyonuna Newton-Raphson Yöntemi uygulanırsa g (x) = x µ (x) µ (x) = x f (x) f (x) [f (x)] f (x) f (x) elde edilir. Bu şekilde tanımlanan g iterasyon fonksiyonu sürekli ise, f fonksiyonunun sıfır yerine kuadratik olarak yakınsar. Örnek 4.4. f (x) = e x x fonksiyonunun sıfır yerini (4.8) formülünü kullarak bulalım Çözüm: f (x) = e x, f (x) = e x dir. Buradan iterasyon fonksiyonu dir. Buradan ardışık olarak (e x x ) (e x ) g (x) = x (e x ) (e x x ) e x x 0 = x = x = x = x 4 = x 5 = (4.8)
29 Nümerik Analiz bu işlem Mapple ile f : = x > exp(x) x ; k := x > exp(x) ; z := x > exp(x); g : = x > x (f(x) k(x))/((k(x))ˆ f(x) z(x)); x[0] : = ; for n from to 0 do; x[n] := evalf[0](g(x[n ])); end do; ile yapılabilir Örnek 4.5. x 6 x = 0 denkleminin [,] kökünü ε = 0 hata payıyla A. Yarılama metodu ile B. kiriş metodu ile C. Newton Raphson metodu ile çözünüz. D. Sabit nokta iterasyonu ile çözünüz. Çözüm: A. Yarılama metoduyla istenilen hatayla çözelim dir yani; n = 5 alınmalıdır. x n p < b a n < 0 = 00 < n = ln 00 < n 4.6 < n n a n b n m n f (m n ) B. Bu problem için f (x) = x 6 x dır. x 0 =, x = olup f (x 0 ) = ve f (x ) = 6olup indirgeme formülünden ardışık olarak f (x ) = olup x n = x n f (x n ) (x n x n ) f (x n ) f (x n ) x = x f (x ) (x x 0 ) f (x ) f (x 0 ) 6 ( ) = = x = x f (x ) (x x ) f (x ) f (x ) = = ( )
30 Nümerik Analiz f(x ) = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = C. Newton-Raphson iterasyon formülünde x 0 = alarak x n = x n f (x n ) f (x n ) x n = x n x6 n x n 6x 5 n den ardışık olarak x 0 = x =. x = x = x 4 = x 5 = D. x = (x + ) 6 dan g (x) = (x + ) 6 alalım. Aşikar olarak g (x) [, ] dir. g (x) = 6 (x + ) 5 6 < 6 5/6 < 6 elde edilir. x 0 =.5 alalım x = g (x 0 ) = den istenilen hata ile çözümü bulalım den yani n = dir. Buradan x n p < (/6)n < < log ( ) 6n = < n log 6 =.06 < n x = g (x ) = g ( ) =.7900 x = g (x ) = g (.7900) =
31 Nümerik Analiz Örnek 4.6. e x 4x = 0 denkleminin [0, ] aralığındaki kökünü sabit nokta iterasyonu ile ε = 0 hata payıyla hesaplayınız. Çözüm: x = e x dan g(x) = e x alırsak her x [0, ] = I için g (x) I dır ve g (x) < 4 e = olduğundan g uygun bir iterasyon fonksiyonudur. x 0 = 0.5 alırsak x = g (x 0 ) = g (0.5) = olup den x n p < < n k n < < k n = < n log ( ) < n = 6.9 < n elde edilir. Yani; 7. adıma kadar devam etmeliyiz. x = g (x ) = g ( ) = x = g (x ) = g ( ) = x 4 = g (x ) = g ( ) = x 5 = g ( ) = x 6 = g ( ) = x 7 = g ( ) = İnterpolasyon Teorisi İnterpolasyon bir fonksiyonun tablo halinde verilmiş değerlerinden hareketle, bu fonksiyonun bu aralıkta bilinmeyen değerlerinin hesaplanması işlemidir. Diğer bir değişle verilmiş bir fonksiyonun bilinen daha basit bir polinomla gösterilmesi veya onun yerine kullanılması için de kullanılır. Eğer bir aralıkta, bir f (x) fonksiyonu ile P (x) polinomunun aldığı değerler istenildiği kadar küçük oluyorsa yani; her ε > 0 için f (x) P (x) < ε oluyorsa P (x) polinomuna f (x) fonksiyonunun bir yaklaşım polinomu denir.
32 4 Nümerik Analiz Teorem 5.. (Weiertrass Yaklaşım Teoremi) Eğer f (x) fonksiyonu [a,b] aralında tanımlı ve sürekli ve ε > 0 sayısı verilmiş ise bu durumda [a,b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli ve her x [a, b] için olacak biçimde bir P (x) polinomu vardır. f (x) P (x) < ε Bazı hesaplamalarda Taylor polinomları yetersiz kalı örneğin f (x) = x fonksiyonunu x = noktasında Taylor serisine açarsak olmak üzere P n (x) = n k=0 f (k) () k! (x ) k = n ( ) k (x ) k k=0 f (x) = P n (x) + R n+ (x) şeklinde yazılabilir. Fakat P n () = ( ) k k fakat f() = dir. Yani Taylor polinomları yaklaşık hesaplamalarda her zaman kullanılabilecek bir yönten değildir. 5. İnterpolasyon ve Lagrange Polinomu x 0 ve x iki nokta ve f (x) fonksiyonunun bu noktalardaki değeri sırasıyla y 0 ve y olsun. (x 0, y 0 ) ve (x, y ) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşikar olarak dır. Bu doğru denklemi şeklinde yazılabilir. L 0 = x x x 0 x y y 0 = y y 0 x x 0 (x x 0 ) y = x x x 0 x y 0 + x x 0 x x 0 y ve L = x x0 x x 0 ile P (x) = L 0 y 0 + L y polinomunu tanımlayalım. Aşikar olarak P (x i ) = f (x i ) (i = 0, ) ve L 0 (x ) = 0 ve L (x ) = dir. Şimdi yukarıdaki yöntemi daha genelleyelim x 0, x,, x n noktalarında f (x) ile aynı değeri alacak p (x) = L 0 f (x 0 ) + L f (x ) + + L n f (x n ) (5.) şeklinde bir interpolasyon polinomu aranırsa P (x i ) = f (x i ) şartı bize { k = i L k (x i ) = 0 k i sonucunu verir. Böylece L k (x) polinomları L k (x) = n i=0 i k x x i x k x j ile verilebilir. Bu şekilde tanımlanan (5.) polinomuna Lagrange interpolasyon polinomu denir.
33 Nümerik Analiz 5 Teorem 5.. Eğer x 0, x,, x n, n + farklı nokta ve bu noktalarda f (x) fonksiyon değerleri verilmiş ise f ile aynı değerleri alan yani; f (x k ) = P (x k ), k = 0,,, n olan n. dereceden bir ve yanlız bir P (x) polinomu vardır. Bu Polinam (5.) şeklinde tanımlı olan polinomdur. Örnek 5.. f (x) ile ilğili aşağıdaki tablo veriliyor. Üçüncü dereceden Lagrange interpolasyon polinomunu bulunuz. x k f (x k ) 4 4 Çözüm: Olup L 0 (x) = L (x) = L (x) = L (x) = (x x ) (x x ) (x x ) (x ) (x + ) (x 4) = (x 0 x ) (x 0 x ) (x 0 x ) 6 (x x 0 ) (x x ) (x x ) (x ) (x + ) (x 4) = (x x 0 ) (x x ) (x x ) 4 (x x 0 ) (x x ) (x x ) (x ) (x ) (x 4) = (x x 0 ) (x x ) (x x ) 60 (x ) (x ) (x + ) 0 olarak elde edilir. P (x) = L k (x) f (x k ) k=0 (x ) (x + ) (x 4) (x ) (x + ) (x 4) = 6 (x ) (x ) (x 4) (x ) (x ) (x + ) = 60 x x 6 5 x Teorem 5.4. Eğer x 0, x,, x n ; [a,b] aralığında n+ farklı nokta ve f C n+ [a, b] olsun. Bu durumda her x [a, b] için, f (x) = P (x) + f (n+) (ζ) (x x 0 ) (x x ) (x x n ) (5.) (n + )! olacak şekilde ζ (a, b) vardır. Burada P (x) lagrange interpolasyon polinomu ve e hata terimi denir. f (n+) (ζ) (n + )! (x x 0 ) (x x ) (x x n )
34 6 Nümerik Analiz Örnek 5.5. f (x) = ln x fonksiyonu için logaritma tablosu aşağıdaki şekilde veriliyor. nedir? ve yapılan hatayı bulunuz. x k ln x k f (.5) değeri Çözüm: olup L 0 (x) = = L (x) = = L (x) = = L (x) = = (x x ) (x x ) (x x ) (x ) (x ) (x 4) = (x 0 x ) (x 0 x ) (x 0 x ) ( ) ( ) ( 4) (x ) (x ) (x 4) 6 (x x 0 ) (x x ) (x x ) (x ) (x ) (x 4) = (x x 0 ) (x x ) (x x ) ( ) ( ) ( 4) (x ) (x ) (x 4) (x x 0 ) (x x ) (x x ) (x ) (x ) (x 4) = (x x 0 ) (x x ) (x x ) ( ) ( ) ( 4) (x ) (x ) (x 4) (x x 0 ) (x x ) (x x ) (x ) (x ) (x ) = (x x 0 ) (x x ) (x x ) (4 ) (4 ) (4 ) (x ) (x ) (x ) 6 P (x) = f (x k ) L k k=0 (x ) (x ) (x 4) = (x ) (x ) (x 4) (x ) (x ) (x ) = x x x olup ln.5 P (.5) = 0.9 dir. (ln.5 = gerçek değer) Şimdi bu işlemde yapılan hatayı hesaplayalım. f (x) = ln x f = x, f = x, f = x, f (4) =! x 4
35 Nümerik Analiz 7 olup f (4) (ζ) 4 (.5 ) (.5 ) (.5 ) (.5 4) = f (4) (ζ) < = Bölünmüş Farklar P n ; x 0, x,, x n noktalarında f ile aynı değeri alan n. dereceden Lagrange polinomu olsun. x 0, x,, x n noktalarına göre P n (x) = a 0 + a (x x 0 ) + a (x x 0 ) (x x ) + + a n (x x 0 ) (x x ) (x x n ) (5.) olacak şekilde a 0, a,, a n değerlerini hesaplayalım. dır. Şimdi (5.) de x = x yazılırsa a 0 = P n (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) + a (x x 0 ) = P n (x ) = f (x ) = a = f (x ) f (x 0 ) x x 0 = f[x 0, x ] dir. Benzer şekilde devam edilirse a k = f[x 0,, a k ] bulunur. Buradan Lagrange polinomu dır. P n (x) = f[x 0 ] + f[x 0, x ] (x x 0 ) + + f[x 0,, x n ] (x x 0 ) (x x ) (x x n ) (5.4) Örnek 5.6. f (x) fonksiyonu ile ilgili olarak x f (x) tablosu veriliyor. Bölünmüş fark tablosunu oluşturarak interpolasyon polinomunu bularak f (.5) değerini hesaplayınız.
36 8 Nümerik Analiz Çözüm: x k f (x k ) f[x i, x j ] f[x i, x j, x k ] f[x i, x j, x k, x l ] Buna göre. dereceden interpolasyon polinomu P 4 (x) = (x ) (x ) (x.) (x ) (x.) (x.6) (x ) (x.) (x.6) (x.9) olarak elde edilir. Buradan dir. f (.5) P 4 (.5) = 0.58 Açıklama. Eğer x 0, x,, x n noktaları arasındaki fark eşit; yani x k x k = h ise,(5.4) denklemi daha basit olarak yazılabilir. Şimdi x = x 0 + sh olsun. Bu durumda (5.4) denklemi veya P n (x) = P n (x 0 + sh) = f[x 0 ] + shf[x 0, x ] + s (s ) h f[x 0, x, x ] + = +s (s ) (s n + ) h n f[x 0,, x n ] n s (s ) (s k + ) h k f[x 0,, x k ] k=0 binom katsayıları kullanılarak ( s k ) = P n (x) = P n (x 0 + sh) = s (s ) (s k + ) k! n k=0 ( s k ) k!h k f[x 0,, x k ] şeklinde yeniden yazılabilir. Bu formüle Newton ileri bölümmüş fark formülü denir. Şimdi (5.) de x = x 0 yazılırsa a 0 = f (x 0 ) dır. Şimdi (5.) de x = x yazılırsa f (x 0 ) + a (x x 0 ) = P n (x ) = f (x ) = a = f (x ) f (x 0 ) x x 0 yani a = f (x 0) h
37 Nümerik Analiz 9 dir. Dikkat edilirse f[x 0, x, x ] = f[x, x ] f[x 0, x ] x x 0 = h [ f (x ) f (x 0 ) h dir. Benzer şekilde operatörünün ardışık şekilde uygulanması ile olduğu gösterilebilir. Buradan f[x 0,, a k ] = k f (x 0 ) h k k! P n (x) = n k=0 ( s k ) k f (x 0 ) ] = h f (x 0 ) dır. Benzer şekilde eğer interpolasyon noktaları x n, x n,, x 0 şeklinde düzenlenirse, interpolasyon polinomu (5.4) denklemine benzer olarak P n (x) = f[x n ] + f[x n, x n ] (x x n ) + + n f[x 0,, x n ] (x x n ) (x x n ) (x x ) (5.5) şeklinde bir interpolasyon polinomu elde edilir. Dikkat edilirse f[x n, x n ] = f(x n) f(x n ) x n x n = h f (x n) f[x n, x n, x n ] = f[x n, x n ] f[x n, x n ] = x n x n h = h f (x n ) dir. En genel halde f[x n k, x n k+,, x n ] = k!h k k f (x n ) ( ) [ f (xn ) f (x n )] yazılabilir. Buradan (5.5) denklemi x = x n + sh ve x = x i + (s + n i) h şeklinde eşit aralıklı interpolasyon noktaları için h veya P n (x) = P n (x 0 + sh) = f(x n ) + s f(x n ) + + ( s k ) = ( ) k s (s + ) (s + k ) k! s (s + ) (s + n ) n f(x n ) n! ile P n (x) = P n (x 0 + sh) = n k=0 ( ) k ( s k ) k f (x k ) şeklinde de kısaca yazılabilir. Bu formüle Newton geri fark formülüde denir. Örnek 5.7. f (x) = log x fonksiyonu için aşağıdaki tablo veriliyor. Bu tobloya göre interpolasyon polinomunu oluşturarak f (), f (6) ve f (0) değerlerini yaklaşık olarak hesaplayınız.
38 40 Nümerik Analiz Çözüm: Bölünmüş fark tablosu aşikar olarak x k y k f[x i, x j ] f[x i, x j, x k ] f[x i, x j, x k, x t ] f[x i, x j, x k, x t, x l ] dır. Tablonun başındaki değerlere yakın bir değer sorulduğundan Newton ileri fark polinomu daha hassas sonuç verdiğinden kullanılır. Buradan dır. Buradan P 4 (x) = (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x 5) (x ) (x ) (x 5) (x 7) log P 4 () = dır (log nin gerçek değeri ). Şimdi log0 değeri istenildiğinden Newton geri fark polinomu daha hassas sonuç verdiğinden kullanılır. Buradan olup P G (x) = (x 9) (x 9) (x 7) (x 9) (x 7) (x 5) (x 9) (x 7) (x 5) (x ) dır. Newton ileri fark fomülüne göre hesaplansaydı = log 0 P G (0) = log 0 P 4 () = elde edilirdi. Buradan son noktalara yakın değerler için geri fark formülünün daha hassas sonuç verdiği görülür. Açıklama. Ortadaki noktalara yakın değerler için merkezi fark operatörü kullanılarak interpolasyon polinomları elde edilebilir. Bunlar içinde en cok kullanılan Bessel, Stirling, Everett interpolasyon polinomlarıdır. Fakat biz bu durumlara değinmeyeceğiz. 5. En Küçük Kareler Metodu Şimdiye kadar incelediğimiz interpolasyon polinomlarında verilen tablo noktaları sayısına bağlı olarak derecesi bilinen polinomlarla ilgilendik. Bu kısımda istenen dereceden polinomun en iyi yaklaşımını veren bir yol izlenecektir.
39 Nümerik Analiz 4 Tanım 5.8. Tablo noktaları yardımıyla elde edilen polinomun grafiği ile esas eğri arasında bir fark oluşacaktır. Bu farkka sapma denir. En iyi yaklaşımı bulabilmek için bu sapma miktarının toplamının minumum olması gereklidir. Tablo değerleri (x i, y i ) ve yaklaşım noktaları (x i, Y i ) olsun. n Y i y i = minimum (5.6) olmalıdır. Ancak mutlak değerli fonksiyonların minimum yerlerinde türevleri olmadığından, minimumu bulmak için türev alamayız. Bu nedenle (5.6) ifadesine denk olan ifadesini kullanalım. S = n (Y i y i ) = minimum (5.7) 5.. En Küçük Kareler Metoduyla En iyi Doğru Denklemini Bulma (x i, y i ), i =,, n toblo noktaları olmak üzere, bu noktaları en iyi karakterize eden doğru denklemini bulmak istiyoruz. Bu doğrunun denklemi Y = C 0 + C x olsun. O halde C 0 ve C değerlerini bulmalıyız. Doğru denkleminden Y i = C 0 + C x i ve n n S = (Y i y i ) = (C 0 + C x i y i ) = S (C 0, C ) dir. Bu formulde x i ve y i değerleri bilindiğinden S = S (C 0, C ) fonksiyonunun minimuma ulaşabilmesi için S C 0 = S C = n (C 0 + C x i y i ) = 0 n (C 0 + C x i y i ) x i = 0 denklemleri birlikte sağlanmalıdır. Bu denklemler n C 0 nc 0 + C x i + C n n x i = x i = n y i n x i y i bu iki denklemin oluşturduğu sistem C 0 ve C e göre kolayca çözülebilir. Örnek 5.9. Bir fabrika yıllara göre imalatı aşağıdaki tablo ile verilmiştir. Tablodaki noktaları en iyi
40 4 Nümerik Analiz temsil eden Y = C 0 + C x doğrusunu bulunuz. seneler Satıs (000)birim x i y i x i Y i Y i y i k= k = 55 0 k= y 0 i = 6.0 k= x 0 iy i = k= x i = bu veriler ile 0C C = C C = elde edilir. Bu sistemin çözümü ise C 0 =.05, C = 0.0 dir. 5.. En Küçük Kareler Metoduyla Tablo Noktalarından Geçen En iyi Eğriyi Bulma Bu kısımda doğru yaklaşımını daha da genelleyeceğiz. (x i, y i ) tablo değerleri olmak üzere bu noktalardan geçen ve m. dereceden olan bir polinomun eğerisini en küçük kareler metoduyla bulalım: Bu polinom Y = C 0 + C x + C m x m olsun. Burada C 0, C ve C m katsayılarını belirlemeliyiz. Doğru yaklaşıma benzer şekilde olacaktır. Buradan benzer muhakemelerle S = S (C, C,, C m ) = m (Y i y i ) S C 0 = S C = S C m = m (C 0 + C x + C m x m y i ) = 0 m (C 0 + C x + C m x m y i ) x i = 0. m (C 0 + C x + C m x m y i ) x m i = 0
41 Nümerik Analiz 4 veya bu denklem düzenlenirse nc 0 + C m m C 0 m C 0 x m i x i + C ( m x i + C ( m + C ( m x i x m+ i x i ) ) ) m + + C m x m i = + + C m m + + C m m x m+ i = x m+m i = m y i m x i y i. m x m i y i (5.8) dir. Bu m + bilinmeyen ve m + denklemden oluşan bir sistemdir. bu denklemin çözümü kolayca yapılabilir. Örnek 5.0. Aşağıdaki tablo değerlerini kullanarak f fonksiyonuna en iyi ikinci dereceden eğrisel yaklaşımı bulunuz. x i 4 5 y i Çözüm: Bu soru için n = 5, k = dir. İkinci dereceden Y = C 0 + C x + C x şeklinde birpolinom aradığımızdan (5.8) den elde edilir. olduğundan C 0 C 0 5C 0 + C 5 x i + C 5 x i + C 5 x i = 5 x i = 5 x i + C 5 x i + C 5 x i + C 5 i = 5, 5 i = 55, 5 y i = 8., 5 x i y i = x i = 5 x i = 5 x 4 i = 5 x i = 5 x 4 i = 5 x i y i = 5.6 C 0 C C = 5 y i 5 x i y i 5 x i y i 5 i = 55 5 i 4 =
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıHATA VE HATA KAYNAKLARI...
İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıJeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon
Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28 Bir soruyu ya
DetaylıÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ
Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıMB5002 NÜMERİK ANALİZ
MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıTek Değişkenli Optimizasyon OPTİMİZASYON. Gradient Tabanlı Yöntemler. Bisection (İkiye Bölme) Yöntemi
OPTİMİZASYON Gerçek hayatta, çok değişkenli optimizasyon problemleri karmaşıktır ve nadir olarak problem tek değişkenli olur. Bununla birlikte, tek değişkenli optimizasyon algoritmaları çok değişkenli
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
Detaylı4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
Detaylı2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
DetaylıFonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.
8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
DetaylıBilgisayar Programlamaya Giriş I KAREKÖK BULMA Acaba hesap makinesi bir sayının karekökünü nasıl buluyor? başlangıç değeri olmak üzere,
KAREKÖK BULMA Acaba hesap makinesi bir sayının karekökünü nasıl buluyor? başlangıç değeri olmak üzere, dizisi değerine yakınsar. Yani; olur. Burada birinci sorun başlangıç değerinin belirlenmesidir. İkinci
DetaylıSonsuz Diziler ve Seriler
Sonsuz Diziler ve Seriler İki veya birden çok sonlu sayıdaki sayının nasıl toplanacağını herkes bilir. Peki sonsuz tane sayıyı nasıl toplarız? Bu sorunun cevabını bu bölümde vermeye çalışacağız. Diziler
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal Ara Değer Hesabı Lagrance Polinom İnterpolasyonu
Detaylıİkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
DetaylıMühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN
Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
Detaylı1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıOkut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.
Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak
DetaylıBÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
Detaylı3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x
DetaylıElemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
DetaylıÇözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin
Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Doç. Dr. Erhan Pişkin Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ ISBN 978-605-38-45-5 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 06, Pegem Akademi
DetaylıErciyes Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü İNŞ-201 Nümerik Analiz Dersi Final Sınavı
Erciyes Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü İNŞ-201 Nümerik Analiz Dersi Final Sınavı (30)1.a) İki reel sayının mantissa ları (gövde kısımları) eşit ve mantissa1 = mantissa2
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları
HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki
DetaylıTürev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi
1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
DetaylıTürev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıMesleki Terminoloji. Sayısal Analiz DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK MEHMET EMRE ÖNDER DOĞAÇ CEM İŞOĞLU
Mesleki Terminoloji DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK Sayısal Analiz MEHMET EMRE ÖNDER - 12011061 DOĞAÇ CEM İŞOĞLU - 11011074 Sayısal Analiz Nedir? Sayısal analiz, yada diğer adıyla numerik analiz,
DetaylıMatematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3
Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıGözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi
JEODEZİ 6 1 Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi Jeodezik gözlemler, hesaplamalarda kullanılmadan önce, referans elipsoidin yüzeyine indirgenir. Bu işlem, arazide yapılan gözlemler l jeoidin
DetaylıNewton Metodu. Nümerik Kök Bulma. Mahmut KOÇAK ESOGU FEN-ED.FAK. MATEMATİK BÖLÜMÜ. mkocak
Nümerik Kök Bulma Mahmut KOÇAK ESOGU FEN-ED.FAK. MATEMATİK BÖLÜMÜ http://www2.ogu.edu.tr/ mkocak Mahmut KOÇAK, March 28, 2008 Newton Metodu - p. 1/7 f( )=0 denklemini nümerik olarak çözelim. Tahmini bir
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 4. Hafta DENKLEM ÇÖZÜMLERİ 2 İÇİNDEKİLER Denklem Çözümleri Doğrusal Olmayan Denklem Çözümleri Grafik Yöntemleri Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Bisection) Yöntemi Adım
DetaylıŞekilde görülen integralin hesaplanmasında, fonksiyonun her verilen bir noktası için kümülatif alan hesabı yapılır.
NÜMERİK İNTEGRASYON Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, onksiyonun her verilen bir noktası için kümülati alan hesabı yapılır. Nümerik integrasyonda, integralin analitik değerine, çeşitli yöntemlerle
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıSayısal Analiz. Prof. Dr. Erhan Coşkun. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ekim, 2018
Sayısal Analiz Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü E-posta:erhan@ktu.edu.tr Ekim, 2018 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 1 / 40 Matematiksel Analiz Analitik
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıProje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.
Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıYAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS ENDÜSTRİ MÜH. İÇİN SAYISAL YÖNTEMLER FEB-321 3/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili
DetaylıSÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım
DetaylıÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıChapter 1 İçindekiler
Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan
DetaylıAyrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde
Detaylı2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.
4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.
Detaylı5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR
5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı1 Primitif Kökler. [Fermat ] p asal, p a a p 1 1 (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) = 1, a φ(m) 1 (mod m) φ(1) := 1
Primitif Kökler [Fermat ] p asal, p a a p (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) =, a φ(m) (mod m) φ : Z + Z + φ() := φ(m) := {x Z x < m, ebob(x, m) = } φ fonksiyonunun özellikleri: ) m >, φ(m)
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş 1.Hafta Sayısal çözümleme nümerik analiz nümerik çözümleme, approximate computation mühendislikte sayısal yöntemler Computational mathematics Numerical analysis
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıSağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)
3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0
DetaylıŞekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ asondas@kocaeli.edu.tr 0262-303 22 58 1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözüm aşamasında kullanılan sayısal
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
Detaylı2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde
Detaylı