DİNAMİK DERS NOTLARI

Transkript

1 T.C. HARRAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Öğencilei İçin DİNAMİK DERS NOTLARI Hazılaanla : Doç. D. Zieddin MEMMEDOV Yd. Doç. D. Mehmet GÜMÜŞÇÜ ŞANLIURFA 004

2 ÖNSÖZ İnşaat Mühendisliği lisans öğetimi çeçevesinde hazılanmış bu des notlaında, ünivesitelein inşaat mühendisliği bölümleinde işlenen dinamik desi müfedat pogamına uulmuştu. Dinamik desi inşaat öğencilei için ilei sınıflada okutulan Yapı Dinamiği ve Yapılaın Depem Hesabı desleine hazılık amacı ile veilmektedi. Des notlaında; he bölümde, işlenmiş konulaın sonunda eteli saıda kaakteistik poblemlein açıklamalı çözümü veilmişti. Des notlaı edi bölümden oluşmaktadı. Bu bölümlede Bi Paçacığın Kinematiği, Bi Paçacığın Dinamiği, Rijit Cismin Kinematiği, Ötelemede Rijit Cismin Dinamiği, Rijit Cismin Düzlemsel Haeketinin Dinamiği konulaı, diğe bölümleinde ise İş ve Eneji, Mekanik Titeşimle, Vitüel İş ve Kütlesel Atalet Momentlei konulaı veilmişti. Des notlaının hazılanmasında, özellikle poblemlein seçilmesinde çeşitli des kitaplaından aalanılmıştı. Elden geldiğince açık bi anlatımla azılmaa çalışılan des notlaının öğencileimize aalı olmasını diliouz. Des notlaının bilgisaada azımında, şekil çiziminde ve düzenlenmesinde göstediği ilgi ve katkılaı için bölümümüzün Öğetim Göevlisi Mahi Kaa a ve Aaştıma Göevlisi Nila Kaa a teşekküleimizi bildiiiz. Yadımcı des kitabı olaak, öğencilein aaına sunulan bu kitapta bütün gaetleine ağmen gözden kaçması mümkün hatala ve hususlala ilgili uaı ve eleştiilede bulunacak okuuculaa şimdiden teşekküleimizi sunaız.

3 İ Ç İ N D E K İ L E R Safa. Rijit cisimle dinamiği 3 Giiş 3.Rijit cisim kinematiği 3. Bi paçacığın kinematiği 8. Önekle 3. Poblemle 0 3. Bi paçacığın dinamiği 4. Ötelemede ijit cismin dinamiği 5 5. Rijit cismin düzlemsel haeketinin dinamiği 6 6. Dönmede ijit cismin dinamiği 8 6. Önekle 3 6. Poblemle İş ve eneji Önekle Poblemle İmpuls ve momentum Önekle Mekanik titeşimle Sebest (linee titeşimle 54. Zolanmış titeşimle (sönümsüz 58. Önekle 6. Poblemle 64. Vitüel iş Kütlesel atalet momentlei 68 Kanakla 75 3

4 . RİJİT CİSİMLER DİNAMİĞİ GİRİŞ Bildiğimiz gibi ijit cisimle mekaniği statik ve dinamik die ikie aılı. Statik dengedeki, dinamik haeketteki cisimlele uğaşı. Dinamik de KİNEMATİK ve KİNETİK die ikie aılı:. Kinematik- kuvvetlein haeket üzeindeki tesiini düşünmeden, haeketin geometisi inceleni;. Kinetik- haeketi sağlaan kuvvet veildiğinde otaa çıkan haeket inceleni. Mekaniğin bu dalında da cisimlein tam ijit olduklaı kabul edilio. Geçek inşaat sistemlei hiçbi vakit salt (mutlak ijit değildi ve kendileine etkien ükle altında şekilleini değiştiile. Fakat genel olaak bu şekil değiştimele küçüktü ve göz önüne alınan sistemin haeket duumuna önemli bi etkide bulunmaz. Ancak sistemin göçme mukavemeti söz konusu olunca şekil değiştimele önem kazanı ve şekil değiştien cisimle mekaniğinin bi alt dalı olan mukavemette bunla inceleni... Rijit Cisim Kinematiği Rijit bi cisim içindeki bi noktanın e değiştimesi, hızı vea ivmesi eüzündeki sabit bi noktaa göe e değiştimesi, hızı vea ivmesidi. Yeüzünün sabit olmadığı bilinmesine ağmen, biçok mühendislik poblemleinde eüzünü sabit kabul etmek kafi (ete deecede doğudu. Rijit bi cisim içindeki bi noktanın mutlak e değiştimesi, hızı vea ivmesi, dünaa nazaan haeket eden bi noktaa göe e değiştimesi, hızı vea ivmesidi. A noktasının S A mutlak e değiştimesi, A nın B e göe elatif e değiştimesi olan S A/B ile B noktasının S B mutlak e değiştimesinin vektöel toplamıdı. Matematiksel olaak ifade edilise S A S A / B + S B (. olu. A noktasının V A mutlak hızı; A nın B e göe elatif hızı olan V A/B ile B noktasının V B mutlak hızının vektöel toplamıdı. Bu matematik olaak ifade edilise olu. v A v A / B + v B (. 4

5 A noktasının a A mutlak ivmesi; A noktasının B e göe elatif ivmesi olan a A/B ile B noktasının a B mutlak ivmesinin vektöel toplamıdı.matematiksel olaak ifade edilise A a A / B + a B (.3 a olu. Rijit bi cismin basit haeket tiplei şu şekilde guplaa aılabili: Ötelenme: Cisim içindeki he doğu paçası daima başlangıç doğultulaına paalel kalıosa bu haekete ötelenme deni. Ötelenmede cismin bütün noktalaının e değiştimesi, hızı ve ivmesi anı şekilde değişi. Dönme: Cisim içindeki bi doğu üzeinde noktala haiç olmak üzee diğe bütün noktala, mekezlei bi doğu (dönme ekseni üzeinde olan daiesel öüngelede haeket edele. Dönmede cismin bütün noktalaının dönme ekseni etafındaki açısal e değiştimesi hızı ve ivmesi anıdı. 3 Düzlem haeket: Cismin bütün noktalaı sabit bi düzlemden sabit uzaklıkta kalıla. Düzlem haekette genel olaak dünaa göe linee hızı ve ivmesi bilinen bi B baz noktası seçili. Rijit cismin diğe bi A noktasının mutlak haeketi ukaıda listesi veilen denklemlele A noktasının baz B noktasına göe elatif haeketi ile B noktasının mutlak haeketi bileştiileek bulunu. A noktasının B noktasına göe elatif haeketi bi dönmedi. Bundan dolaı ijit bi cismin hehangi bi andaki düzlem haeketi dönme ve ötelenme haeketleinin bileştiilmesi olaak göz önüne alınabili. Yukaıda veilen mutlak büüklükle ve elatif büüklüklee ait eşitlikle a ω α (.4 S A/B θ ; V A/B ω ; A/ B ( + A S B θ olu. Şekil. Buada BA ; θ : BA nın düzlem haeketteki açısal e değiştimesi ve α : BA nın açısal ivmesidi. Ani dönme ekseni: Düzlem haekette cismin içinde vea dışında olabilen hızsız bi eksendi. Haeket düzlemine dikti. Rijit cismin bütün diğe noktalaı o anda dönme ekseni 5

6 etafında dönele. Bu hızsız çizginin konumunun genellikle süekli olaak değiştiğini iice kavamak önemlidi. CORİOLİS KANUNU: Bu kanun dönen bi cismin içindeki bi öünge bounca haeket eden bi paçacığa tatbik edili. Toplam ivme a + (.5 di. p a p/ + a M v p/.ω Buada a p/ : P noktasının sabit olaak kabul edilen öüngee göe elatif ivmesi. (öüngenin teğet ve nomal bileşenlei kullanılıo; a M : hehangi bi anda P noktası ile çakışan öünge üzeindeki M noktasının ivmesi (nokta dönen öünge üzeinde bulunduğundan öüngenin dönme mekezini M noktasına bileştien aıçap vektöü ve buna dik doğultuda ivmenin bileşenlei kullanılı; vp / : P noktasının hehangi bi anda P noktası ile çakışan öünge üzeindeki M noktasına göe elatif hızı.(bu hızsadece cisim içindeki öüngede haeket eden paçacığın öüngesine teğet olaak çizilmeli; ω : öüngenin dönme mekezine göe açısal hızı. Ekseietle bu mekez öüngenin eğilik mekezi değildi. vp /.ω doğultusu v P/ i ω ile anı doğultuda bi dik açı kada döndüeek bulunan CORİOLİS bileşenidi. Önek.: L uzunluklu bi çubuk A noktasının hızı sabit şiddete ve sola önlü olacak şekilde haeket etmektedi. Haeketi inceleelim (Şekil.I. Çubuk düşele θ açısı aptığı anda w açısal hızı ve α açısal ivmesi oluştuuo. A noktasının v A mutlak hızı A nın B e göe elatif hızı cinsinden ifade edilecekti: A v A / B + v B v (I v : vektöü ata doğultuda olup; şiddeti v A a eşitti. A L A Şekil.I B θ v : düşe doğultuda olup, şiddeti bilinmio. B 6

7 v A / B : dik doğultuda olup, şiddeti bilinmio. Çubuk ekseni 90 θ v A/B v A vb Şekil.Ia Bilinmeen iki şiddetti. Tamamıla bilinen v A ile başlaan bi vektö üçgeni çizili.v A nın bi ucundan çubuğa dik bi doğu çizeek, diğe ucundan da Şekil.a da gösteildiği gibi kapaacak dik doğu çizeiz. Gösteildiği gibi düşe kol v B, çubuğa dik kolda v A/B di. Dik üçgende; (a A/B n L.w Fakat v A/B L.ω v A/B v A/cosθ olu 90 θ a B Buadan; ω v A/B /L v ω v A A /L.cos θ /L.cos θ Şekil.Ib (a A/B t L.α v A/B sol ukaı doğu önelmiş olduğundan A etafında saat ibelei önünde dönmelidi. Bundan dolaı da ω saat ibelei önündedi. Şimdi α açısal ivmesini tain edelim: B nin A a göe teğetsel bileşeni L.α dı. Denklem: A A (a A / B t + (a A / B n + ab a (II olu. a vektöünün şiddeti sıfıa eşitti (çünkü v A sabit ( a A çubuğa dik doğultuda olup şiddeti L.α a eşitti. / B t 7

8 ( a A çubuk bounca olup şiddeti, a B / B n L.ω eşitti. düşe doğultuda olup şiddeti bilinmeendi. Gösteilen iki bilinmeeni bulmak için vektöel denklemin sağ taafındaki üç vektöel büüklüğün toplamının sıfıa eşit olması geeki. Bilinen ( a A nin uçlaından bii çubuğa dik, diğei düşe, ani ( a A / B n ile / B n θ açısı apan iki doğu çizilise (Şekil b ivmenin edilmelidi. Bu dik üçgenden: ( a L.α L.ω tan θ A/B ( a A A dan B e öneldiğine dikkat / B n A α ω tan θ V.tan θ / L.cos θ bulunu. α saat ibelei önündedi. Çünkü (a A/B t teğetsel bileşen A ı B etafında saat ibelei önünde hızlandımaktadı. 8

9 . BİR PARÇACIĞIN KİNEMATİĞİ Kinematik, kuvvetlein vea diğe faktölein haeket üzeindeki tesiini düşünmeden haeketin incelenmesidi. Buada sadece haeketin geometisi inceleni. Maddesel noktanın haeketini inceleelim:. Doğusal haeket: P noktasının bi doğu (buada kolalık olsun die seçilen X ekseni bounca haeketidi. P noktasının hehangi bi t zamanındaki konumu X ekseni üzeindeki sabit O başlangıç noktasından itibaen, X e değiştimesi cinsinden ifade edili. X e değiştimesi işaet kabulüne göe pozitif vea negatif olabili. Otalama hız : Ye değiştimenin den ( + Δ e kada değiştiği t ile ( t + Δt noktasının v ot otalama hızı ( Δ / Δt oanıdı. zaman aalığında P Matematiksel olaak: Δ v ot (. Δt şeklinde azılı. Ani hız : P noktasının t anındaki ani hızı v zaman atımının ( Δ t sıfıa gitmesi halinde otalama hızın limitidi. Matematiksel olaak: v lim Δ t 0 Δ Δt d (. Otalama ivme: Hızın v den ( v + Δv e kada değiştiği t ile ( Δt otalama ivmesi Δv/Δt oanıdı. Matematiksel olaak: Δv a ot (.3 Δt Ani ivme: t + zaman aalığında P noktasının a ot P noktasının t anındaki ani ivmesi a, zaman atımının Δt sıfıa gitmesi halinde otalama ivmenin limitidi. 9

10 Matematiksel olaak: a lim Δ t 0 Δ v Δt dv d (.4 Sabit ivme ak için aşağıdaki fomülle geçelidi: v v + kt 0 v v ks 0 + s v 0t + kt v + v 0 s.t (.5 Buada v 0 ilk hız; v son hız; k sabit ivme; t zaman, s e değiştimedi.. Basit Hamonik haeket: İvmenin negatif olaak e değiştime ile oantılı olduğu doğusal bi haeketti. Eşitliği önek olaak e değiştimesi a k (.6 bsin ωt (.7 ile veilen titeşim denklemini sağla. Buada b uzunluk cinsinden genlik, ω ad / sn cinsinden sabit daiesel fekans, t sn cinsinden zamandı. Bölece; Bundan dolaı d bsin ωt den v ωbcos ωt ve d a ω bsinωs ω bulunu. (.8 a k di. Buada kω bi sabit, haeket basit hamonik bi haeketti..3 Eğisel haeket: P noktasının eğisel bi öünge üzeinde haeket etmesidi (Şekil.. P noktasının t anındaki duumu (katezen dik koodinatla ve vea kutupsal koodinatla ρ ve θ cinsinden ifade edili. 0

11 Δρ P Δθ ρ ρ ΔC Δn Δ P Δ θ ( t + Δt anında haeketli nokta koodinatlaı ( Δ + Δ noktasında bulunu. Ye değiştime P ve P i bileştien noktanın eği üzeinde aalıklaında Δ s takiben Δs Şekil. +, vea (ρ, θ+ Δθ olan P Δ c kiişi kadadı. Bu mesafe Δ s kada haeket etmesi ile medana gelmişti. Küçük zaman Δ c e eşitti: Δc Δ + Δ (.9 Vektöel olaak; Δc Δn + Δp p. Δ θ + Δp otalama hızı Ye değiştimenin Δc ( p.δ θ Δ c/δ t oanıdı: Δn (.0 Δ c kada olduğu t ve t + Δ t zaman aalığında P noktasının v ot v ot Δ c Δ Δ ( + ( Δ t Δt Δt ( v + (. ot (v ot vea; Vot Δ c Δ θ Δ n ρ + Δ t Δ t Δ t (.

12 bulunu. Buada; v ot otalama hızın şiddeti, (v ot Δ Δt otalama hızın bileşeninin şiddeti, Δ (v ot otalama hızın bileşeninin şiddeti; Δt değiştimesinin değişimini göstei. t anındaki ani hız matematiksel olaak azılısa: Δθ Δθ, p doğusunun açısal e Δt vea elde edili. Δc v lim Δt 0 Δt v lim Δ c lim ρ Δt Δ Δ lim + lim v + Δt 0 Δt 0 Δt Δ θ Δ ρ + lim Δt Δt Δt dθ dρ ρ + Buada; v, v ani hızın sıasıla, bileşenleinin şiddeti; v (.3 (.4 ρ p noktasının seçilen 0 dρ dθ kutup noktasına uzaklığı; ani hızın adal bileşeni ρ çizgisinin ani açısal hızı P noktasının t anındaki ani ivmesi otalama ivmenin Δt zaman atımı sıfıa gideken limitidi. a a P (, a Şekil. Dik koodinatlada (Şekil.:

13 a a + a dv dv + (.5 Buada a ani ivmenin şiddetidi. a ve a ani ivmenin ve bileşeninin şiddetidi..4 Daiesel haeket: Eğilik aıçapı sabit ve R olan bi eği üzeindeki haeketti. Aşağıdaki daiesel haekete ait fomülle önceki genel eşitliklein özel halleidi: t n O θ S Şekil.3 S.θ; v t.ω ; a n v t.ω v.ω t Buada; S daiesel öüngenin a uzunluğu; a t.α (.6 θ açısal e değiştime; daienin aıçapı; v t t anındaki linee hızın teğetinin şiddeti; a n ivmenin O mekezine aıçap doğultusunda öneltilmiş nomal bileşeninin şiddeti ω t anında aıçapının açısal hızı ; α t anında aıçapının açısal ivmesi. 3

14 . ÖRNEKLER: Önek.: Bi P noktası bi doğu üzeinde S4t 3 +t+5 denklemine göe haeket etmektedi: a t3 sn deki e değiştime,hız ve ivmei; Çözüm: b t4 sn esnasında otalama ivmei belitiniz. a S4t 3 +t m ds v t m/sn dv a 4t4.37 m/sn t4sn vt m/sn Δvv t4 -v t m/sn; Δv Δtt -t 4-3 sn. a ot 84 :84 m/sn Δt Önek.: Şekil. de göülen AB çubuğunun en alt A noktası sağadoğu sabit v a 5 m/sn lik hızla haeket etmektedi. θ 60 0 olduğu zaman B noktasının hızı nedi? Çözüm: + L d d olduğundan + 0 v B d d. cotgθ.(v B 0 cot g60.5,89m / sn aksi işaeti B noktasının sağa doğu haeket ettiğini göstemektedi. O B L θ A Şekil.II Önek.3: Bi noktanın e değiştimesinin ve bileşenlei mete olaak 0t +t, t 3 +5 ifadelei ile veilmişti. t3 sn de noktanın e değiştimesini, hız ve ivmesini belitiniz. d Çözüm: v 0t + ; d v t3sn. v 6 m/sn ; v 7 m/sn 3t ; t3sn, 96 m; 3 m. v v + v ,6m / sn v67,6 m/sn. 4

15 dv a dv 0; a 6t t3sn, a 0 m/sn, a 8m/sn. a a + a ,9m / sn Önek.4: Bi noktanın haeketi aşağıdaki denklemlele ifade edilmişti v 0t+5, v t -0 Aıca t0 iken, 5m ve -5m olduğu bilinmektedi. t sn için e değiştime, hız ve ivmei belitiniz. d Çözüm: v 0t + 5 den ( 0t 5 0t + 5t + C + 3 d v t t 0 den (t 0 0t + C 3 denkleminde 5, t0 ise C 5; denkleminde -5, t0 ise C -5 bulunu. 0t t 3 d d +5t+5, 0t 5, a 0 ; a t 3 tsn için 55m ; 5,3m ; v 45m/sn; v 6m/sn. m m m v v + v 45 + ( 6 47,8 ; a 0 ; a 4 ; sn sn sn m a a + a ,4. sn Önek.5: Bi maddesel nokta a v ivmesi ile düşe doğu bounca haeket 64 etmektedi. tsn iken e değiştimesi s m ve hızı v6m/sn di. t3sn 3 iken noktanın e değiştime, hız ve ivmesini hesaplaınız. Çözüm: dv a den dv dv v ise v tsn için, v6 m/sn;.+c.(6 / 4v(t+4 ise v(t+ olu. ds v + buadan t+c v / (a C 4 bulunu. (I dan (t ve ds (t+ 5

16 3 64 İntegal alaak s (t + + C bulunu. Buada tsn olduğunda s olu. Onda 3 3 s ( C; C 0. Buna göe denklemle: 3 3 dv di. 3 (t, v(t+, a (t + t3sn için s4,7m ; v5m/sn ; a0m/sn değelei elde edili. Önek.6: 8 cm çapında bi disk 5 saniede sukünetten ünifom olaak 80 devi/dak lık hıza getiilmektedi. Dugun halden sn sona disk üzeindeki bi noktanın hız ve ivmesini hesaplaınız.( Şekil.VI a α ω o a t o a n A Çözüm: Bu poblem dönme denklemleinin bi ugulamasını göstemektedi.önce, hız veildikten sonaki α açısal ivmesini bulalım: 80 devi ad.π 0 ω ω0 ad α 60 sn devi,96 t 5sn sn Şimdi başlangıçtan sn sonaki açısal hızı bulalım: ad ad ω ω0 + αt 0 +,96.sn.96 sn sn Disk üzeinde bi nokta Hızı v. ω ad 9cm.,96 sn cm 7,64 sn cm Nomal ivmesi a n. ω 9.(,96 34,56 sn Şekil.VI 6

17 cm Teğetsel ivmesi a t.α9.,967,64 sn cm Toplam ivmesi a at + an (7,64 + (34,56 38,76 sn Toplam ivme vektöü ile O noktasındaki aıçap aasındaki açı a cos n 34,56 0 θ 0, 896 θ 6 a 38,76 Önek.7: A otomobili kuze batıa önelmiş bi ol bounca 36km/saat lık bi hızla gitmektedi,b otomobili ise 6km/saat lık hızla batı ile güneedoğu 60 0 lik açı apan ol bounc haeket etmektedi. A nın B e göe elatif hızı ve doğultusunu belitiniz (Şekil.VIIa. A B a V B V A 45 0 θ b V A/B V A/B θ (V V/B (V A/B c Şekil.VII Çözüm: Hızlaı bağlaan vektöel denklem v A / B v a + ( v B v A v A / B + v B Vektölein ve e göe bileşenleini bulalım: (v A -36.cos ,707-5,45 km/s (v A 36.sin ,707 5,45 km/s (v B -6.cos ,5-63 km/s (v B -6.sin ,866-09, km/s 7

18 Buadan (v A/B (v A - (v B -5, ,55 km/s (v A/B (v A (v B 5, , 34,57 km/s v A/B (v + (v (37,55 + (34,57 40km/s A / B A / B 34,57 v A/B nin doğu ile aptığı θ açısı ise: θ tan - 37, 55 ; θ 74 0 Önek.8 :,8m uzunluğunda ve küçük kesitli bi çubuk ata bi düzlemde bi ucundan geçen düşe eksen etafında dönmektedi. Bu çubuğun hızı 5 saniede 0 devi/sn den 30 devi/sn e ükselmektedi. a Çubuğun ota noktasının zaman aalığının başlangıç ve bitiminde linee hızını hesaplaınız. b İvme başladıktan 3 sn sona çubuğun ota noktasının ivmesinin nomal ve teğetsel bileşenleini tain ediniz. Çözüm: Veilenle: a v B v s. ω ω B 0devi / sn 40πad / sn ω s 30devi / sn 60πad / sn,8/ 0,9 m t 5sn t 3sn,8. ω.40πad / sn 3,04m / sn ; B,8.60π s 69,6m / sn b 5sn lik aalıkta hehangi bi anda ünifom α açısal ivmesi ω ω s B 60π 40π α 4πad / sn t 5 3 sn sona ω açısal hızı ω ω + αt 40π + 4π.3 5πad/ sn İvmenin bileşenlei: B a t α 0,9.4πad / sn a ω 0,9.5 n,3m / sn 434m / sn 8

19 Önek.9: Bi P noktası daiesel bi öünge üzeinde katettiği aın uzunluğu s t 3 +3 olacak şekilde haeket etmektedi.daienin aıçapı m di: a t sn anındaki hızın eksenel bileşenlei v ve v ni belitiniz (Şekil 9.a. b Noktanın ivmesinin t sn için a ve a eksenel bileşenleini bulunuz. V o P V ٠ P o θ a o b Şekil.IX Çözüm: AP mesafesi sn de katedilmiş olsun AP s 3 +3 m. cosθ, sinθ. v d s t s θ θ, dθ dθ sinθ, v cos. d θ t 4 dθ t sn için;. ad / sn; 4 v. θ ad. (sin. 9,48m / sn v (cos. 7,30m / sn Negatif işaet hızın bileşeninin sola doğu önlü olduğunu göstei.toplam hız v v + v ( 9,48 + (7,3 m / sn di. v ni dθ v fomülünden de bulmak olabili. v.( m / sn 4 9

20 Noktanın ivmesinin tsn için a ve a eksenel bileşenleini blalım. a dθ cosθ( d θ sinθ a dθ d θ sinθ( + cosθ, dθ t 4 d θ t tsn de d θ θ ad ve ad / sn : a.cos.(.sin. 6,8m / sn a.sin. +.cos.,9m / sn Toplam ivme a a + a 7m / sn olu. 0

21 . PROBLEMLER Poblem.: A noktası bi doğu üzeinde S4t +t ifadesi ile haeket etmektedi.ye değiştime, hız ve ivme ifadeleinin zamana göe degişimleini çiziniz ( Yani S- t; v- t ve a- t diagamlaını. Poblem.: Poblem i S3t +t+5 e değiştime ifadesi ile veilen haeket için çözünüz. Poblem.3: Poblem i S6t 3 -t +0 e değiştime ifadesi ile veilen haeket için çözünüz. Poblem.4: Ye değiştimesinin ve bileşenlei mete olaak 5t 3 - t +, t +8t ifadelei ile veilmiş noktanın t0sn de e değiştimesini,hız ve ivmesini belitiniz. Poblem.5: Noktanın haeketi aşağıdaki denklemlele ifade edilmişti v t +4 ; v 6t-8. Aıca t0 iken, 6m, -4m olduğu bilinmektedi. t5sn için e değiştime, hız ve ivmei hesaplaınız. Poblem.6: Bi noktanın doğusal haeketinde ivme a- 9,8 denklemi ile veilmişti. Bilinmektedi ki t0 olduğu anda e değiştimesi 7,5m v hızı 0 dı: a s e değiştimenin denklemini belitiniz; b t5sn deki e değiştime, hız ve ivmei; c t7sn deki e değiştime, hız ve ivmei; d Otalama hız ve ivmei belitiniz. Poblem.7: Düşe bi doğu bounca haeket eden noktanın ivmesi at- 0 denklemi ile veilmişti.t0 anında e değiştimesi s- 0m ve t5sn iken e değiştimesi s+0m di. a Haeketin denklemini çıkaınız; b t0sn deki e değiştime,hız ve ivmei hesaplaınız. Poblem.8: 0 cm çapındaki bi disk 0 dakikada 800 devi/dak hızdan sükunete geçmektedi. Açısal ivmei tain ediniz.

22 Poblem.9: Bi disk ünifom olaak ½ saniede sükunetten 00 devi/dak hızlandıılmaktadı. Bu hızı ile iki sanie döndükten sona ½ sn de sükunete getiilmektedi. Disk bütün zaman aalığı bounca ne kada dönme apa?

23 3. BİR PARÇACIĞIN DİNAMİĞİ Bi paçacığın dinamiğinde, haeketi sağlaan kuvvet veildiğinde otaa çıkan haeket inceleni. Bi cismin (paçacığın dinamiği poblemleinin çözülmesinde haeketin NETON Kanunlaı kullanılabili: Newtonun.kanunu. Bi cisim sükunetteki duumuna vea bi doğu bounca ünifom haeketine ( sabit hız, duumunu değiştiecek bazı kuvvetle zolaıncaa kada devam ede. Başka bi deişle, bi paçacık ancak dengelenmemiş kuvvetle tesii altında ivme kazanı. Newtonun. kanunu. Bi F kuvveti bi cismin üzeine etki ettiği zaman kuvvet doğultusunda, kuvvetle doğu ve cismin m kütlesi ile tes oantılı olmak üzee bi ivme medana getii. Bu kanuna göe ka F/m vea F kma (3. Buada k bi oantı sabitidi. k olmak üzee biimle ugun seçilise F ma (3. olu. Newtonun 3. kanunu. He etkie vea kuvvete eşit ve tes önlü olmak üzee tepki vea kuvvet vadı. Diğe bi deişle, bi cisim ikinci bi cisim üzeine bi kuvvet tesi ettiise, ikinci cisim de biinci cisim üzeine şiddeti eşit ve zıt önlü ani bi kuvvet tesi ettii. Biimle kullanılan sisteme bağlıdı. Mühendislik çalışmalaında genellikle ukaıdaki fomülde k değei biim olacak şekilde değelee ugun seçili. Buna göe esas biimle aılısa bunla: kuvvet için kn ve ivme için m/s di. Kütle biimi bu iki biim cinsinden tüetili. Yeüzüne akın mesafelede sebestçe düşen bi cisme kuvvet olaak alnız kendi ağılığı etki etmektedi. İvmesi, g eçekimi ivmesine eşitti ( kullanılan biim sisteminde g 9,8 m/s di. İkinci kanuna göe kmg (3.3 vea k olmak üzee mg ; m/g (kg/m/sn kg.sn /m di. (3.4 Bi cisme hehangi bi kuvvetle sistemi etkiosa bu paçacığın hehangi bi eksen doğultusunda ivmesini bulmak için, sistemdeki bütün kuvvetlein o eksene göe bileşenlei toplanı ve ( kg sn /m cinsinden m kütlesi ile( m / sn cinsinden ivmesinin çapımına eşitleni. X doğultusunda bu eşitlik 3

24 vea di. F ma a F /m (3.5 ağılığında bi cisim sütünmesiz ata düzlemde şekil a da göüldüğü gibi dumaktadı. Cisim a katsaısı k (kn /cm olan bi aa bağlanmıştı. Ağılık denge konumundan ( denge konumunda ada çekme ve basınç kuvveti sıfıdı. o kada aılsın ve sıfı hızla bıakılsın. Haeketi inceleelim. T a b N Şekil 3. Cismin denge konumundan kadaaıldığı zamanki sebest cisim diagamı şekil b- de çizilmişti.ya kada uzatıldığı zaman cisime ata doğultuda T kuvveti etki ettii. duumdaki bounun fakı ile oantılı kabul edili. Bu ifade matematiksel olaak Maddenin elastik limiti içinde adaki kuvvet aın uzamış bou ve geilme kuvveti bulunmadığı şeklinde azılı. T k (3.6 Buada T kn cinsinden a kuvveti; k - kn /cm boutunda bi sabit; ise uzunluğun cm olaak değişimidi. Kuvvetlein atada toplanması ile F -T.a g (3.7 bulunu. dikkat Sola doğu olan kuvvetle ve dengenin solundaki mesafelein negatif alındığına edilmelidi. Bu duumda mesafesi sağa doğudu. Yani a pozitif azılmıştı. T geilmesi ise sola doğu olup negatifti. d T k ve a konusa (3.7 denklemi 4

25 d k. g d kg +. 0 (3.8 olu. Bu denklemin çözümü difeansiel denklemle teoisinden sinüslü ve kosinüslü teimle şeklinde elde edili. kg kg Asin(.t + Bcos(.t (3.9 Şimdi A ve B değeleini hesaplaalım. t 0 iken 0 ve buadan kg kg 0 Asin (.0 + Bcos(. 0 ve B 0 bulunu. A ı belitmek için i zamana göe tüetmek lazımdı.yani t0 iken v0 olmalıdı. kg kg kg kg v d/ A cos(.t sin(.t ve buadan t0 0 v v 0 0 ; A0 bulunu. Bu poblem için haeket denklemi kg 0 cos(. t ola. (3.0 5

26 4. ÖTELEMEDE RİJİT CİSMİN DİNAMİĞİ Rijit cismin ötelenmesinde hehangi bi paçacığın ivmesi diğe bi paçacıkla anıdı. Bi paçacığın aktif kuvveti, kütlesi dm ile ivmesi a nın çapımına eşitti. Bu kuvvet a ivme vektöü doğultusundadı df dm.a D ALEMBERT ilkesine göe bi cisme tesi eden dış kuvvetlein bileşkesi bütün etken kuvvetleinin bileşkesine eşit olmalıdı. F dış ma D ALEMBERT ilkesine göe öteleme denklemlei şöle ifade edilebili: F (dma a dm m a F (dma a dm ma (4. M I. α Buada F, F dış kuvvetlein sıasıla ve eksenlei üzeindeki bileşenleinin cebisel toplamı ; m cismin kütlesi; a, a cismin ivmesinin sıasıla ve eksenlei üzeindeki bileşenlei; M dış kuvvetlein kütle mekezine göe momentleinin cebisel toplamı; I cismin kütle mekezine göe atalet momenti; α ise cismin açısal ivmesidi. Atalet kuvveti metodu ile çözüm; cisme tesi eden etken kuvvetle tes döndüülüp dış kuvvetle toplandığı zaman ugulanabili. Bu kuvvetle sistemi,çalışma kolalığı bakımından o an için dengede tutala. Tes döndüülmüş etken kuvvetle ( atalet kuvvetlei geçekte oktu. Statik denge denklemlei ancak bundan sona kullanılı. 6

27 5. RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL HAREKETİNİN DİNAMİĞİ olu. Bu genel halde haeketin denklemlei F m a F m a (5. MI.α Momentlein kütle mekezine göe alınacağına dikkat etmek geeki. Kual olaak, başka bi noktanın seçilmesi halinde denklemle çok daha kaışık olu. Ancak O noktasının, ivmesi sıfıa eşit vea kütle mekezine önelmiş bi nokta olması halinde M o I o.α denkleminin kounacağını belitilmesi geeklidi. a ivmesi ve F anı doğultuda, a ivmesi ile F anı doğultudadı. Dış kuvvetlein kütle mekezi etafında momenti α ile anı doğultuda ise pozitif kabul edili. Şekil de göüldüğü gibi düşe bi eksen üzeinde çeşitli konumla alabilen, ata bi P kuvveti etkisi altında ata düzlem üzeinde haeket eden aıçaplı α a P a N F Şekil 5. ve ağılıklı homojen silindiin haeketini inceleelim. Sebest cisim diagamı, mekezden a üksekliğinde ugulanan P kuvvetini göstemektedi. F sola doğu etkidiği zaman haeketin denklemlei F P-F (/g a (5. 7

28 F N- 0 (5.3 M P.a +F. g α (5.4 di. Haeketin sağa doğu olması için P, a.α F den büük olmalıdı. değei (5.4 denkleminde eine konusa P.a + F..a g (5.5 bulunu (5.5 denklemi (/ ile bölüneek Pa F g (5.6 denklemi ile (5. nin sol taaflaı eşitlenise Pa a + (5.6 bulunu. a + F P F vea 3F P( (5.7. a / olması halinde F0 olu. Yani P kuvveti aıçapın aısı kada mekezin üstünde ugulanısa sütünme kuvveti sıfı olu.. a olusa 3F -P F -P/3 olu. Bu duumda sütünme ön değiştimiş olu ve sağa doğu etkile. F -P/3 halinde (5.4 denklemi a için P P... α 3 g vea P 3. α g (5.8 olu. Bu ise α nın pozitif olduğunu vea silindiin sağa uvalandığını göstei. Ancak P fazla büütülüse F nin de atacağı tabiidi. Mümkün olan maksimum sütünme değei aşılı aşılmaz silindi kaacaktı. Bu duumda eni bi kabul apılmalıdı. F sütünmesi şimdi sütünme katsaısı (μ ile N nomal kuvvetinin çapımına eşit olu. Bu duumda haeket denklemlei aşağıdaki gibi olu: F P-μN (/ga (5.9 F N- 0 (5.0 M P a +μn g. α (5. Bu denklemle hem kama (linee ivme a ve hem de uvalanma (açısal ivme α gösteile. 8

29 6. DÖNMEDE RİJİT CİSMİN DİNAMİĞİ Bi cismin bi simeti düzlemi vasa ve cisim bu simeti düzlemime dik, sabit bi eksen etafında dönüosa, dengelenmemiş kuvvet sistemi altında bu cismin haeket denklemlei şunladı: F n m ω F t m α (6. F m n M o I o α F O R w α F 4 t F3 Buada (şekil e göe : Şekil 6. F n : dış kuvvetlein ( cismin ağılığı ve F i üklei dönme dış mekezi O ile kütle mekezi G i bileştien n ekseni üzeinde bileşenleinin cebisel toplamı; F t : dış kuvvetlein O noktasında n eksenine dik olan t ekseni üzeinde bileşenleinin cebisel toplamı; M o : Dış kuvvetlein O noktasından geçen dönme eksenine göe momentleinin cebisel toplamı; m : cismin kütlesi ( kg.sn /m (m /g : O dönme mekezinin kütle mekezi G e uzaklığı (m I o : dönme eksenine göe cismin atalet momenti (kg.sn.m ω : açısal hız (ad/sn α : açısal ivme (ad/sn Simeti ekseni etafında dönen bi cismin haeket denklemlei şu şekli alı: 9

30 F 0 F 0 (6. M I α Buada: F : dış kuvvetlein ekseni olaak seçilen hehangi bi doğu üzeindeki bileşenleinin cebisel toplamı; F : dış kuvvetlein ekseni üzeindeki bileşenleinin cebisel toplamı; M : dış kuvvetlein kütle mekezi G den geçen dönme eksenine(simeti ekseni göe momentleinin cebisel toplamı, I : cismin G kütle mekezinden geçen dönme eksenine göe atalet momenti (kg.sn.m, α : cismin açısal ivmesi (ad/sn. Önek 6.: Alt ucundan ata bi eksen etafında mafsallaşmış bi çubuk düşe konumdan bıakılıo. Çubuğun haeketini inceleelim (Şekil 6. : Çubuğun bou l ve kütlesi m olsun. d l θ mg R R Şekil 6. Sebest cisim diagamı aşağı doğu etkien ağılığını ve mesnet noktasındaki R ve R eaksionlaını göstemektedi. Çubuğun düşe eksenle θ açısı aptığı kabul edilsin. Haeket denklemlei: F n m F ω F t m F α Mo I o α olmak üzee çubuk, dengelenmemiş bi kuvvet sistemi etkisi ile sabit eksen etafında dönmektedi. Bu duumda geekli tek denklem MI α dı. 30

31 d θ Şekil 6. den M o.d, dl.sin θ/ olu. I o m l ; α 3 alınısa; d θ d mg l sin θ 3 m l d θ dθ dω dω dθ dω (.. ω dθ dθ ω integason alınaak θ 0 ω 0 olu C ω 3g cosθ + l 3g l 3g l 3g cosθ + C l d θ vea 3g sinθ l 3g (a a göe ωdω sinθdθ l integason sabiti bulunu. Bölece 3g ve ω ( cosθ di. l olduğu göz önüne (a 3

32 6. ÖRNEKLER Önek 6.: 50 kn ağılığında homojen bi kapı, ata bi a üzeinde sükunette bulunan A ve B makaalaına mesnetlenmişti. Sabit P kuvveti 50 kn dı. Kapı sükunetten haekete geçio: A B V A V B,m,m. G P50kN 0,3m a b Şekil 6.I a 5 saniede kapının hızı ne olu? b Makaaladaki eaksionla ne kadadı? (Yuvalanma sütünmesi ihmal edilecekti.(şek.a Çözüm: Veilenle: 50 kn, P 50 kn, t 5sn, a 0.,m,m a ivmesi sebest cisim diagamlaında önündedi (Şek b.. 50kN a P50kN F ma ; a F ma ; (6.I dan M ,8 denklemlei ugulanaak azabiliiz; F 50. a (6.I 50 F VA + VB 50.0 (6.II 9,8 _ M VB., VA., 50.(0,3 0 (6.III 9,8.50 a,96m / sn 50 olaak elde edili. Kapının hızı a v 0 +at 0 + (,96.5 9,8 m/sn b (6.II ve (6.III den V A + V B 50 ;,V B,V A 5 V A 8,75 kn ; V B 3,5 kn elde edili. 3

33 Önek 6.: A sehpasında sola doğu 4 m/sn Lik ivme veilio. B çubuğu D noktasında mesnetlenmiş olup tepesi H noktasında,düşe düzlemde sükunette bulunuo.a nın ağılığı 00 kn, B nin ağılğı 50 kn dı. a Yata F kuvvetini; b Çubuğun tepesindeki ata itkii hesaplaınız. H H F B D 0cm A 7,5cm 3,75cm 3,75cm P P 5cm 50kN a b P Şekil 6.II Çözüm: Veilenle: a 4m/sn ; A 00 kn ; B 50 kn. Bütün şekli sebest cisim kabul edeek F kuvvetini aşağıdakı gibi buluuz: Şekilb göe F P ( kN.a.4m / sn g 9,8m / sn B 50.a.4 0,4kN buluuz. g 9,8 D noktasına göe momentle toplanaak H bulunu: 0kN 7,5 0, H.7,5 0 H 43,5 kn. Önek 6.3: A ve B cisimleinin he bii 00 kn gelmektedi. P kuvveti sola doğu bi ivme veiken, A nın kamaması için B e küçük bi paça çivilenmişti. a A nın devilmemesi şatı ile P nin değeini bulunuz; b Sistemin başlangıçta sağa doğu 3 m/sn lik hız ile haeket ettiği kabul edilise 0 m gittikten sonakı hızı ne olu? 33

34 5cm 5cm 5cm A Paça 5cm A. P 5cm P B. D 00kN. D N F a 5cm Şekil 6.III b Çözüm: Veilenle: A B 00 kn, v 0 3 m/sn, s 0 m. a A nın sebest cisim diagamını çizelim. A nın maksimum değeini bulmak için, alt sağ köşee göe momentlein toplamı azılı: A F ma P.a P.a; M D (.a g 9,8 9,8 a 5,88 m/sn Bütün sistemin sebest cisim diagamında ata kuvvetle toplanısa 00 F.a (I vea P.5,88 0kN g 9,8 b Önce sağa doğu alınan mesafei bulalım: v v 0 +as (II; elde edili ,88 s s0,765 m 0 m den gei kalan 9,35 m sola doğu olacaktı. (II e göe v (5,88.(9,35 v 0,4 m/sn alıız. Önek 6.4: Ağılığı 00 kn olup vibatö olaak kullanılan eksantik bi silindi geometik mekezinden 5 cm mesafede ve (Şekil 6.IV de gösteilen konuma dik bi eksen etafında dönmektedi. Açısal hızı 0 ad/sn ve açısal ivmesi ad/sn ise silindi üzeindeki O mesnetinin tepkisini bulunuz. 0 34

35 ω α t G. o O t On n a.. o o Şekil 6.IV 5cm 0cm Çözüm: Veilenle: 00 kn, α ad/sn, 5 cm, ω 0 ad/sn. n ve t eksenlei (Şekil 6.IV deki gibi seçilsin. Haeket denklemleini azalım: Fn mω 00 n 0 9,8 O (0,05. 0,04 kn 00 F t mα O t.(0,05. 9,8 M I α M o I o α. I G o I o I G + ma o. 00.(0,05 9,8,04 kn m 00 +.(0,05 9,8 g 0,8 kn.sn. m Geekli moment: M o I o α 0,8. 0,56 kn.m M 0 0,56 kn.m. Önek 6.5: 75 cm çaplı 300 N luk bi tekelek ataile 5 0 lik açı apan eğik düzlem üzeinde kamadan uvalanmaktadı. F sütünme vekütle mekezinin ivmesini bulunuz. 35

36 α ω F N Şekil 6.V Çözüm: Şekil 6.V de tekeleğe etkien kuvvetle sistemi göülmektedi. M I. α 300 m 30,6Nsn g 9,8 _ I m m Haeket denklemlei: 0,75.30,6.(,4N.sn.m Buadan : F ma (I, F ma (II, M Iα (III. 300.sin 5 0 F 30,6a (I, _ a _ N 300.cos ,6. 0 (II, (düzleme dik doğultuda ivme mevcut değildi. 0,75 F., 4α (III. Şekilden (uvalanma poblemi olduğundan _ a 0,75. α. α _ α _.a 0,75 (III den F (5,8 a. (I den F (5,8 a konulaak a,74 m/sn bulunu. Bölece F (5,8. (,74 4,68 N olu. _ 36

37 Önek 6.6: 60 kn ağılığında homojen bi silindi üzeinde ( Şekil 6.VI bi ouk açılmıştı. Ouğa ata önde 60 kn lık bi kuvvet etkio.silindiin kamadan uvalandığını faz edeek a Silindiin kütle mekezinin ivmesini; b Sütünme kuvvetini bulunuz. α. P N F Şekil 6.VI Çözüm: Veilenle: 60 kn ; 45 cm ; 6 0 cm ; P 60 kn Yuvalanma sağa doğu olsun. Bu duumda α (açısal ivme saat ibelei önünde ve kütle mekezi ivmesi _ a sağa doğudu. Haeket denklemlei; F ma vea P F _ 60.a 9,8 60 F _ 60.a 9,8 60 M Iα vea F.0,6 P.0,45.. α.(0,6. α g 9,8 a _ α olduğu için 0,6F 7,94α 0,6F 7,94 a _ 0,6 (I (II (I ve (II denklemleinden a 0,6 m / sn, F 50 kn buluuz. 37

38 6. PROBLEMLER Poblem 6.: Şekil I de göülen sistemin ağılığı 30 kn ve jiason aıçapı 0,45 m di. Ağılıklaın sebest bıakılması halinde ; a makaalaın açısal ivmesini bulunuz; b İpledeki geilmelei hesaplaınız o 500kN Şekil I 500 kn Poblem 6.: Şekil II de gösteilen homojen bi silindi kamadan ata bi üze üzeinde uvalanmaktadı. P 000kN α a Kütle mekezinin ivmesini; b Silindie gelen düzlem eaksionunu hesaplaınız. 0,9m a. P50kN 400 kn Şekil II Poblem 6.3 : Bi bilado topuna (Şekil III, kendisi ile masa aasında sütünmesiz haekete başlaması için ata tutulan masadan ne kada ükseklikte vuulmalıdı? N F d P Şekil III 38

39 7. İŞ VE ENERJİ Bi paçacığa etkien bi F kuvveti onu hehangi bi öünge bounca haeket ettidiği zaman aşağıda taif edildiği gibi iş apa s k F t ds (7. s F s ds F t F t s Şekil 7. Buada S, S paçacığın sıasıla haeketin başlangıcında ve sonundaki e değiştimesi; F t : F kuvvetinin şekilde gösteildiği gibi teğetsel bileşeninin şiddeti; ds : paçacığın öünge bounca küçük e değiştimesidi. Aşağıdaki gibi özel duumla ola bili: Şiddeti ve doğultusu sabit bi kuvvetin bi doğu bounca e değiştimesi halinde k F. s (7. Buada k : apılan iş, F : sabit kuvvet, s : haeket esnasında doğu bounca toplam e değiştimedi. Şiddeti sabit fakat bi doğu ile sabit açı apan,kuvvetin e değiştimesi halinde k Fs cosθ (7.3 Buada θ : kuvvetin tesi çizgisi ile e değiştime aasındaki açıdı. 3 Kuvvetle bi kuvvet çifti ise (dönme medana geli θ k M dθ (7.4 θ 39

40 Buada M : kuvvet çifti; dθ : açısal e değiştime difeeansieli; θ ve θ -ilk ve son açısal e değiştimeledi (ad. Kuvvet haeket doğultusunda etkiosa iş pozitif, aksi önde ise negatifti. İş, biimi (kn. m gibi olan skale büüklüktü. Güç apılan işin değişimidi.gücün biimi saniede ( kn. m gibidi. Veim, zamanın bazı peiotlaı için alınan işin veilen işe bölümüdü. Anı zamanda veim alınan gücün veilen güce bölümü gibi de ifade edilebili. İş isaf edildiği için alınan iş veilen işten daha küçüktü (ekseietle sütünme kuvvetleini enmek için. V hızıla haeket eden ve kütlesi m olan bi paçacığın kinetik enejisi T k mv (7.5 eşitti. Buada m : cismin kütlesi; v : cismin hızıdı. Bi paçacık üzeine etkien bütün kuvvetlein aptığı iş, paçacığın kinetik enejisindeki değişime eşitti: k T T mv - mv m(v v (7.6 Buada k : apılan iş; m : paçacığın kütlesi; v, v : sıasıla ilk ve son hız; T, T : sıasıla ilk ve son enejidi. Biimi işin biimile anıdı. Ötelenmede ijit cismin kinetik enejisi (5 fomülü ile hesaplanı. Dönmede ise T k ω (7.7 I 0. Buada I 0 : dönme eksenine göe cismin atalet momentidi ( kg.sn.m ; ω : açısal hız (ad/sn. Düzlem haekette ijit cismin kinetik enejisi: T k mv + I 0ω (7.8 İş ve eneji pensibine göe ijit cisim üzeine edeğiştime süesince etkien dış kuvvetle taafından apılan iş, anı edeğiştime esnasında cismin kinetik enejisindeki değişime eşitti. 40

41 7. ÖRNEKLER Önek 7.: Başlangıçta sebest uzunluğu 0 cm olan bi a, basınç altında net 5 cm kısalaak 5 cm oluo. Yaı 7,5 cm daha (toplam,5 cm kısaltaak 7,5 cm uzunluğuna getimek için apılan ilave işi hesaplaınız (Ya katsaısı k 4 N/cm kabul edilecekti.yani, F t 4 s. Çözüm: Taif geeğince ( (7. fomülü aı 5 cm den,5 cm-e kada kısaltmak için geeken iş:,5 s,5 F ds 4sds 4. s k t 6,5 (N.cm. s 5 5 İş aşağıdakı gibi de bulunabili:,5 5 4sds 4sds 3,5 50 6, (N.cm. 5 k 0 0 Önek 7.: ağılığında ve L uzunluğunda ince bi çubuk, bi ucundan ata düzleme bi pimle bağlanmıştı (Şekil 7.II. Başlangıçta düşe konumda olan çubuğun düşmede açısal hızını bulunuz. L L/ Şekil 7.II Çözüm: İş apan tek kuvvet düşe mesafe kada düşen ağılığıdı. Bu zaman apılan iş L di. Kinetik eneji: 4

42 T 0 den T. 3 g I 0. ω (. L ω kada değişmişti.bu duumda k T T vea L 3g L ω ω bulunu. 6 g L Önek 7.3: Ağılığı 40 kn olan,8 m uzunluğunda ince bi çubuğun, bi ucundan geçen düşe bi eksene göe hızı 0 devide 0 devi/dak dan 50 devi/dak a çıkıo. Bunu apmak için geekli sabit M momentini bulunuz. 0 devi ad Çözüm: Veili: 40 kn; ω 0devi / dak.π,09ad / sn 60 sn sn Önek 4: ω 50 50devi / dak.π 60 5,3ad / sn ad θ 0 devi 0devi.π 6,8ad L8m devi Bi ucundan geçen eksene göe çubuğun kütlesel atalet momenti 0 ml 3 I di. m g 40 I 0..(,8 4,kN sn m 3 9,8 Yapılan iş dönen cismin kinetik enejisindeki değişime eşitti: k Mθ I ( M.6,8.4,.(5,3,09 0 ω ω M 0,77 kn.m bulunu. 0 m/sn lik bi ilk hızla uvalanan bi küe 30 0 lik bi eğik düzlem üzeinde haekete başlıo (Şekil 7.IV. Küe düzlem üzeinde F neee kada uvalanacaktı? N 30 0 Şekil 7.IV Çözüm: İlk kinetik eneji T, olun sonunda T 0 olu. İş apan tek bileşen ağılığının düzlem üzeindeki (negatif 4

43 bileşenidi. Yapılan iş: İlk kinetik eneji: T mv + mv 5 T k 0 (sin 30.. di. mv + ω ve v ω. olduğundan I 7 mv g 9,8 v 0,7.. 0 T 5,78 Yapılan iş kinetik enejideki değişime eşitti: k T T vea.. 0 5,78,6 m. Önek 7.5: Şekil de A bloğu 500 kn, B bloğu 640 kn dı. Tambuun atalet momenti I 7 kn.sn.m di. A cismi,8 m/sn lik hıza eişmeden önce ne kada ol alı? o A B Şekil 7.V Çözüm: Veili: A 500 kn, B 640 kn, 0,3cm, 0,9 m, v A,8 m/sn, I 7 kn.sn.m. s A? Yapılan iş k 500.s A 640.s B di. Sistemin geometisinden s B /3 s A dı vea v B /3 v A k 500 s A 640. s 3 A 86,7s (I A 43

44 T Sistemin ilk kinetik enejisi T 0. Son kinetik eneji T m A v A v A,8 m/sn, v B + Iω + m v di. B B v A 0,6m / sn o halde 3 v A,8 ω ad / sn di. Buadan 0, (, (0,6 5 (II 9,8 9,8 ( ve ( den 86,7 s A 5 s A 0,44 m bulunu. 7. PROBLEMLER Poblem 7.: Ağılığı 00 N olan bi apma udu, düna üzünden 500 km ükseklikte daiesel bi öünge üzeinde dönmektedi. Bu ükseklikte e çekim ivmesi 5,m/sn di. Yöünge hızı 4000 km/s olduğuna göe udunun kinetik enejisi ne olu? Poblem 7.: Ağılığı 400 kn olan bi demiolu aabası, üzde eğiminde bi ampada aşağı doğu 50 m uvalandıktan sona, bunu izleen ine üzde eğimli ikinci bi ampada ukaı doğu 00 m çıkaak duuo. Aabanın otalama uvalanma diencini hesaplaınız. Poblem 7.3: Bi ip 300 kn gelen katı, homojen bi silindi etafında saılmıştı (Şekil I. Sükunetten itibaen,8 m düştüğünde G mekezinin hızını bulunuz ( 0,45 m. o.. Şekil I 44

45 8. İMPULS VE MOMENTUM F kuvvetinin t ve t zaman aasındaki linee impulsu F ile çapımının t ile t aasındaki integali olaak taif edili. Matematiksel olaak di. Buada F, t nin fonksionudu. F kuvveti, ( t t zaman aalığında sabit ise t I F. (8. mp t F.(t t (8. I mp olu. İmpuls, vektö (kuvvet ve skale (zaman çapımı ile belilendiği için bi vektödü. O halde eksenle bounca bileşenleine aılabili. Biimi N.sn di. Bi paçacığın hehangi bi andaki linee momentumu, kütlesi ile, o andaki hızının çapımına eşitti. M om m.v (8.3 Linee momentum bi vektö (hız ve bi skale (kütle ile belilendiği için bi vektödü. O halde eksenle bounca bileşenleine aılabili. Biimi N.sn di.. Paçacıkla gubunun linee momentumu, toplam kütlenin kütle mekezine toplandığı kabul edileek hesaplanan linee momentumuna eşitti : M (m + m m.v (8.4 om n Buada M om gubun linee momentumu ; m, m...m n he bi paçacığın kütlesi(n.sn /m cinsinden; v kütle mekezinin linee hızı (m/sn cinsinden. Linee impuls ve momentum pensibine göe hehangi bi zaman aalığında bi paçacık gubuna etkien linee impulslaın veilen bi doğultu üzeindeki bileşenleinin cebisel toplamı, paçacık gubunun linee momentumunun anı doğultudaki bileşenleinin değişimine eşitti. Matematik olaak doğultusu için bu aşağıdaki şekilde ifade edili. ( I mp Δ(M om (8.a 45

46 Bi F kuvvetinin O noktasından geçen bi eksen etafında açısal impulsu, kuvvetin M o momenti ile çapımının zaman limitlei t ve t aasında alınan integali ile belitili. Bu matematiksel olaak ifade edilise ç mp t 0 t ( A.I M. di. (8.b o F kuvveti zaman aalığı (t -t esnasında sabit kalısa açısal impuls ( A ç.i mp 0 M o.(t t (8.c Açısal İmpuls bi vektö (kuvvetin momenti ve bi skalein (zaman çapımı ile belilendiği için bi vektödü. Biimi kuvvet, mesafe ve zaman çapımı ile belitili (N.m.sn. Bi paçacık gubunun açısal momentumu gup içindeki he paçacığın açısal momentumunun toplamına eşitti : ( A.M m.v + m v m v (8.5 ç om 0 Buada O hehangi bi eksen üzeindeki nokta; ( A ç.m om 0 - paçacık gubunun O noktası etafındaki açısal momentumu ; m, m,..m n he bi paçacığın kütlesi ; v,v,..v n he bi paçacığın hızı ;,,. n : v, v,...v n hız vektöleinin sıasıla O noktasından dik uzaklığıdı. Açısal İmpuls ve açısal momentum pensibine göe bi paçacık guubuna hehangi bi zaman aalığı esnasında tesi eden dış kuvvetlein O noktasından geçen bi eksen etafında açısal impulslaının cebisel toplamı, paçacık guubunun anı eksen etafındaki açısal momentumunun değişimine ( anı zaman aalığında eşitti. Bu matematiksel olaak aşağıdaki şekilde ifade edili; n ( A ç.i mp 0 Δ(A ç.m om o (8.6 Şu pensibe göe, cismin ötelenmesinde daha önce geçen eşitlikle şu hali alı : mp, (I Buada mp ( I mp Δ(M om m.(v v ( I mp Δ(M om m.(v v ( I dış kuvvetlein sıasıla, doğultusundaki linee impulslaı, (N.sn cinsinden; n n (8.7 46

47 v ; v cismin ve doğultusundaki son hızlaı (m/sn; v ; v cismin ve doğultusundaki ilk hızlaı. Gösteilen pensibe göe, bi cismin dönmesinde daha önce geçen eşitlikle şu hali alı : ( A ç.i mp 0 Δ.(A ç.m om o I o.( ω ω (8.8 Buada (A ç.i mp 0 - dış kuvvetlein O noktasından geçen dönme eksenine göe açısal impulsu (N.sn.m; I o cismin dönme ekseni etafındaki atalet momenti (N.m.sn ; ω ve ω - sıasıla cismin son ve ilk açısal hızı (ad/sn. Bi cismin düzlemsel haeketinde daha önce geçen eşitlikle şu hali alıla : ( I mp Δ.(M om m.(v V (I mp Δ.(M m.(v V om ( A ç.i mp c Δ.(A ç.m om c I c.( ω ω (8.9 buada I c kütle mekezinden geçen eksene göe atalet momenti. İki cinsin çapışmasının bütün halleinde kütlele çok küçük zaman aalığında tesi ede ve genellikle belisizdi; impuls ve momentum denklemleinde zaman ihmal edili. İki cisim aasında diekt mekezsel çapışma için çapışma katsaısı, aılma elatif hızının, iki cismin aklaşma elatif hızına oanıdı : e v v (8.0 u u buada e çapışma katsaısı, u, u çapışmadan önce sıasıla ve cisimleinin hızlaı (m/sn. İki cisimde anı doğultuda haeket ediosa çapma medana gelmesi için u > u olmalıdı. v, v cisimlein sıasıla çapışmadan sonaki hızlaı (m/sn. Çapışma esnasında cisme anı kuvvet (eşit ve zıt eaksion tesi ettiği için, çapışmadan önceki momentumun toplamı, çapışmadan sonaki momentumun toplamına eşit olmalıdı. Bunun matematiksel ifadesi aşağıdaki gibidi : m + + (8..u m.u m.v m. v buada m, m sıasıla ve cisimleinin kütlesidi. 47

48 u, u sıasıla ve cisimleinin çapışmadan önceki hızlaı v, v sıasıla ve cisimleinin çapışmadan sonaki hızlaı. v ve v bilinmeenleine göe (8.0 ve (8. denklemlei çözülüse v m.u.( + e + u.(m m + m e.m (8. v m.u.( + e + u.(m m + m e.m alıız. a Tam elastik cisimle için, ani e için v.m.u + u.(m m + m m (8.3 v.m.u + u.(m m + m m olu. m m m hali için v u ; v u olu. (8.4 b Elastik olmaan çapışmada (e 0 olaak bulunu. v m.u m v (8.5 + m.u + m 48

49 8. ÖRNEKLER Önek 8.: 30 kn ağılığında bi blok, atala 30 0 lik eğimli bi düzlem üzeinde, dugun halden başlaaak, aşağıa kaıo. Blok ile daasında kinetik sütünme katsaısı μ /4 olduğuna göe 3 sn sonunda bloğun hızını bulunuz N F Şekil 8.I Çözüm: Veilenle: 30 kn, α 30 0, μ /4, t 3sn,v 0. V? ( I mp Δ(M om vea ( F.t m.(v v t 3sn ; v 0 ; v 3sn sonundaki hız. m g 30 9,8 knsn 3,06 m F 0 (Çünki önünde haeket oktu N.cos N 30.0,866 kn F 0.sin μ.n 0, N 5,98 kn. (8. den: (.sin μ.n.t ( v v.m (30.0,5 -.5,98.3 3,06.v v 8,34m / sn 4 Önek 8.: 5 kn lık bi blok ata düzlem üzeinde sükunetten F 3t -5t e göe değişen F ata kuvveti etkisi ile haekete geçe. Maksimum hızı bulunuz. Çözüm: Veilenle: v o, 5 kn, v v. V?; v ma? t ( I mp Δ(M om vea F m(v v 0 49

50 t 3 t t 5 (3t 5t (v v g 3 9,8 0 v 0,588t 0,653t 3 + C. v ma için dv/ 0 olmalıdı. dv,76t,959t 0 t o,6sn. v ma 0,588.(0,6 0,653.(0,6 3 0,07 v ma 0,07 m/sn. Önek 8.3 : Şekil de gösteilen ve aıçapı 0,6 m olan bi makaa asılı olaak 5 kn ve 7,5 kn luk iki ağılık taşımaktadı. Ağılıklaın hızını 3m/sn den 6m/sn e ükseltmek için geekli zamanı bulunuz.. G ٠ T T Şekil 8.III Çözüm: Veilenle: 5 kn, 7,5 kn, 0,6 m, v 3 m/sn, v 6 m/sn. Bi sebest cisim diağamı çizili. 5 kn ve 7,5 kn luk ağılığı taşıan ipledeki geilme kuvvetlei T ve T olsun. (8.9 denklemleine göe azabiliiz: 5 ( T 5.t (6 3, (I 9,8 7,5 ( 7,5 T.t (6 3, (II 9,8 _ (( T T.0,6.t I( ω ω (III 50

51 göe (III denkleminde T.0,6 ve T.0,6 geilme kuvvetleinin makaa mekezine momentleidi. ( I G + I G I G I G m v ω 6 v 3 0ad / sn ; ω 5ad / sn 0,6 0,6 Konulaak (III denklemi 0,5 ( T T.0,6t (0 5 9,8 olu (III (I ve (II nin toplanması ile (III den,5 ( T T.t +,5t.3 bulunu (IV 9,8 5,5 ( T T.t bu değe (4 de eine konulaak 58,8 t,7sn bulunu. Önek 8.4: Ağılığı 485 kn ve çapı 0 cm olan homojen silindi ani olaak ata bi düzleme düşüüldüğünde ata geometik ekseni etafında saat ibelei önünde 36 ad/sn hızla dönmektedi. Sütünme katsaısını 0,5 kabul edeek: F a Sıf uvalanma başlandığında G kütle mekezinin hızını ; G ٠. N b Bu başlamadan önce kütle mekezinin aldığı olu bulunuz ( Şekil 8.IV. ω Şekil 8.IV Çözüm : Veili : 485 kn, 0 cm, ω 36 ad/sn, μ 0,5. F μn. v? ; s? Sebest cisim diagamını çizeek (Şekil 8.IV N 485 kn ; F 0,5N 0, ,75 kn ; m g ,5kN.sn / m ; 9,8 5

52 I m.49,5.(0, 0,5kN.sn.m buluuz. İmpuls momentum denklemleini azalım: (I Δ vea.t m(v v ; v 0, v v. (I mp n (M om n F ( AçImp G Δ(AçImp G vea F..t I( ω ω (II (II de saat ibelei önü pozitif kabul edilmişti. (I ve (II den 7,75t 39, 5 ( 7,75.0,,t 0,5( ω 36 (II 7,75t 49,5v ω v v 0v di. 0, 7,75t,5v 9 bu denklemleden v,m / sn; t 0,8sn; v + 0 s.t 0,48m. Önek 8.5: Eşit iki bilado topunun çapışmadan önceki hızlaı sıasıla u 6 m/sn ve u - 8 m/sn di. Çapışma katsaısı e 0.8 olduğuna göe çapışmadan sonaki hızlaı bulunuz. Çözüm : Aşağıdaki temel temel denklemle ugulanaak : e v v ve m u m u mv + m v u u + ; (u + u v + v. v v,8 vea v v, (I 6 ( 8 m m 6m 8m mv + mv v + v (II 0 m (I ve (II den v 66m / sn, v 4,6m / sn Önek 8.6 : Bi top düşe olaak zeminden 9, m sıçıo. Bi sonaki sıçamada 3,8 m üksekliğe ulaşıo. Top ile zemin aasındaki sıçama katsaısı nedi? Çözüm : Veilenle: h 9, m, h 3,8 m. e? 5

53 Sükunette olduğu için u v 0 olu. u gh.9,8.9, 9,4m / sn. v gh.9,8.3,8 Aşağı doğu haeket hızı pozitif kabul edilio v e u v u 0 ( 6,4 9,4 0 6,4m / sn. 0,84. h 3,8 ( e 0, 84 gibi de bulunabili. h 9, 53

54 9. MEKANİK TİTREŞİMLER Kütlesi ve elastikliği bulunan bi cismin belili zaman aalığında tekalanan haeketine mekanik titeşim deni. Haeketin kendisini tekalaması için geçen zamana peiot deni. Biim zamandaki salınım saısına fekans deni. Sistemin içindeki kuvvetlein tesiile sistemde sebest titeşimle medana geli. Sistemin sebest titeşimindeki fekansına tabii fekans deni. Sisteme peiodu bozucu dış kuvvetle tesi ettiği zaman zolanmış titeşimle medana geli. Sistemin tabii fekansı ile zolanmış titeşimlein fekansı üst üste düşe vea bu fekansla tabii fekans aasındaki fak çok küçük olacak şekilde aklaşısa ezonans olu. Zamanla ok olan titeşimlee kabolucu titeşimle deni. Sebest titeşimle kabolucu kaaktededile. Zamanla kendini tekalamaa devam eden titeşimlee kalıcı titeşimle deni. Zolanmış titeşimle kalıcı titeşimlee önekti. Sistemin sebestlik deecesi haeketin belitilmesi için lüzumlu değişken (koodinat saısına bağlıdı. Önek olaak Şekil deki aa bağlanan kütlenin alnız düşe doğultuda düşünülen haeketi bi koodinatla belitilebili. Dolaısıla sistem tek sebest deecelidi (; n s. θ Şekil 9. Şekil 9. 54

55 Şekil 9. de göülen iki aa bağlı çubuğun haeketini taif etmek için iki değişkene ihtiaç vadı ve bundan dolaı sistemin sebestlik deecesi ikidi ( ve θ; n s. Basit Hamonik Haeket : Basit Hamonik Haeket zamanın sinüs ve cosinüs fonksionlaı ile gösteili. Bundan dolaı Χ.sinω t ( basit hamonik haeketin bi denklemidi. Bu haeket X cm uzunluğunda bi vektöün, daiesel öünge üzeinde sabit ω ad/sn açısal hızı ile döneken çap üzeinde vektöün izdüşümü ile temsil edilebili. Bu tip haekette : : çap üzeinde (cm cinsinden izdüşüm uzunluğu; X : dönen vektöün (cm cinsinden bou; ω : (ad/sn cinsinden daiesel fekans; T π p : sn cinsinden peiot ; ω ω f : fekans, salınım/sn vea sn - cinsinden. π 0. SERBEST (LİNEER TİTREŞİMLER ağılığı a katsaısı vea modülü k (kn/cm olan düşe bi aa asılmıştı. Ağılık denge konumundan 0 kada aşağıda ve v 0 ilk hızı ile haekete başlatılıo (Şekil 0.. Δ 0 X Şekil 0. 55

56 Şekil 0. de ağılığının çeşitli konumlaı gösteilmişti. X değeine haeketin genliği deni. Ağılığın denge konumundan X kada ukaı çıkabileceği tabiidi. Yadaki geilme kuvveti aın uzamış vea kısalmış konumu ile ilk konumu ( ağılığı olmadan aasındaki uzaklığın a katsaısı ile çapımına eşitti. T Δ.k (0. Ağılığın denge konumunda ve denge konumundan X kada aşağıdaki konumunda sebest cisim diagamını çizelim (Şekil 0. a, b. TkΔ Tk(+Δ a a Denge Konumu b Dengenin altındaki konum Şekil 0. Cismin hehangi bi andaki konumunun denge konumundan itibaen ölçüldüğüne dikkat edelim. Şekil 0..a da göüldüğü gibi ivme oktu, dolaısıla sistem dengededi. Buada T k. Δ (0. azılabili. Δ k Şekil 0..b de denge konumundan aşağı doğu e değiştimelei pozitif kabul edelim. İvmenin önü bilinmemektedi, o da pozitif kabul edilise negatif işaet ukaı doğu olduğunu gösteecek sebest cisim diagamına Newton kanunu tatbik edilise F m.a vea T. a g elde edili. T k.( + Δ ve k. Δ eleine konusa 56

57 bulunu. k. g.a d d kg a den haeket denklemi +. 0 (0.3 şekline geli. pozitif olduğu zaman (denge konumunun altında ivmenin ukaı doğu olduğu göülmektedi. Buna, ağılık aşağıa en alt konumuna doğu haeket edeken ivmenin ukaıa vea hızının azalacağı şeklinde mana veilebili. (0.3 difeansiel denklemin çözümünü A.sinω t + B.cosω t (0.4 şeklinde kabul edebiliiz. Buada ω daiesel fekans ve ad/sn di. Bunun çözüm olup olmadığını anlamak için zamana göe ikinci tüev alınısa : d ω (A.cosω t B.sinω t (0.5 d A. ω.sin ω t B. ω.cos ω t ω (A.sin ω t + B.cos ω t ω. elde edili. d ω. (0.5 (0.5 değei (0.3 haeket denkleminde eine konusa kg ω bulunu. X çözüm kabul edildiği için ω değei kg ω (0.6 olu. Bundan dolaı çözüm aşağıdaki şekilde elde edili : X A.sin ( kg/ ω t + B.cos ( kg/ ω t (0.7 Haeketin, devinin π adan aalığında tamamlanacağına dikkat edelim. Yani kg/ ω.t π ; T π. ω/ kg (0.8 Buada T peiot vea bi devin tamamlanması için geçen zaman. 57

58 Fekans peiodun tesi vea kg f T π di. (0.9 Daha önce izah edildiği gibi Δ ; k k. Δ di. Bu değei kullanaak (0.8 ve (0.9 fomüllei aşağıdaki gibi azılabili : Δ T π ve g g f (0.0 π Δ A ve B sabitlei poblemin veilen sını şatlaından tain edilecekti.buada t 0 da 0, v v 0 kabul edilip in ve v nin bu değelei t 0 ile bilikte (0.4 ve (0.5 denklemleinde eine konusa v 0 B 0, A ω alıız. Dolaısıla çözüm v 0 sinω t + 0 cos t ω di. (0. Çözüm başka bi fomül şeklinde de azılabili: Buada X genlik, φ faz açısıdı. Xcos(ωt φ (0. v X ( + ω v φtan - 0 ω (0.3 (0.4 Bölece, genellikle haekette bulunan bi ağılığın teoik olaak sonsuza kada devam eden sebest titeşimi incelenio. 58

59 . ZORLANMIŞ TİTREŞİMLER (SÖNÜMSÜZ ağılığı aa sabiti k (N/cm olan bi aa asılmıştı. Ağılığın üzeine peiodu bozucu F.cosω. t kuvveti tesi etmektedi. Haeketi inceleelim (Şekil. Tk(+Δ F cosωt Şekil. F cosωt Haeketin difeansiel denkleminde sebest titeşimin denklemine nazaan şimdi ilave bi teim olacaktı, ani d. + k. F.cosω.t g vea d k.g F.g +..cosω.t (. Difeansiel denklemle teoisine göe bu denklemin çözümü iki paçanın toplamından ibaetti : Yukaıda belitildiği gibi sağ taafı sıfı olan (kabolucu kısım denklemin çözümü (. denkleminin hehangi bi özel çözümü. Kalıcı kısım olaak isimlendiilen ikinci çözüm X.cosω.t (. şeklinde kabul edelim. Buadan d d X. ω.sin ω.t ve X. ω.cosω.t (.3 elde edili. (. ve (.3 denklemlei (. de eleine konusa; 59