Fonksiyon Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof. Dr. Vakıf CAFEROV
|
|
- Çağatay Yener
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Fonksiyon Kavramı Yazar Prof. Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; fonksiyon kavramını tanıyacak, bir fonksiyonun bire-bir ve örten olup olmadığını araştırabilecek, iki fonksiyonun bileşkesini bulabilecek, ters fonksiyon kavramını anlayacak, fonksiyon grafiği kavramını öğrenip bazı fonksiyonların grafiklerini çizebileceksiniz. İçindekiler Giriş 83 Fonksiyon Kavramı 83 Fonksiyon Grafikleri 98 Değerlendirme Soruları 116
2 Çalışma Önerileri Yazarak çalışınız Bir kavramı anlamadan diğerine geçmeyiniz Çözümleri size bırakılan soruları mutlaka çözünüz ve cevaplarınızı kontrol ediniz Grafikleri doğru çizebilmek için yanınızda kareli kağıt ve cetvel bulundurunuz Hesap makinesinden yararlanınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
3 FONKSİ YON KAVRAMI Giriş Fonksiyon kavramı matematiğin en temel kavramlarından birisidir. Bu kavramı tanımlamadan önce birkaç örneği ele alalım. i) Fiyatı TL olan ekmekten tane aldığımızda ödeyeceğimiz paraya y dersek y = yazabiliriz. Burada ödeyeceğimiz paranın aldığımız ekmeğin miktarına bağlı olduğu açıktır. Ekmek miktarı değiştikçe ödenecek para da değişecektir. İşte bu durumda ödenecek para alınan ekmek miktarının bir fonksiyonudur diyoruz. ii) Bir çemberde, Ç çevre uzunluğu, r yarıçap olmak üzere, Ç = πr olduğunu biliyoruz. Burada da yarıçap değiştikçe çevre uzunluğu değişecek ve her bir yarıçap için çevre uzunluğu olarak tek bir sayı bulunacaktır. Bu durumda da çevre uzunluğu yarıçapın bir fonksiyonudur diyoruz. iii) Hava direncinin olmadığı bir ortamda belirli bir yükseklikten serbest bırakılan bir cismin aldığı s yolu ile t zamanı arasında s = 1 gt, g = 9,8 m / sn bağıntısının varlığını fizik derslerinden biliyoruz. Burada da s yolu t zamanına bağlıdır. Yani t değiştikçe s de değişmektedir. Bu durumda da s yolu t zamanının bir fonksiyonudur diyoruz.. Fonksiyon Kavramı Yukarıdaki örneklerle sezdirmeye çalıştığımız fonksiyon kavramının kesin tanımını verelim. Boş kümeden farklı A ve B gibi iki küme verilsin. A kümesindeki her bir elemana B kümesinden bir ve yalnız bir eleman karşılık getiren bir eşlemeye A kümesinden B kümesine bir fonksiyon denir. Bu eşleme genellikle bir kuralla verilir. Bu kural çoğu kez f, g,..., h gibi harflerle gösterilir. A kümesinden B kümesine f kuralı ile verilen fonksiyon f : A B şeklinde gösterilir. Bu durumda A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi, B kümesine de değer kümesi denir. A kümesinden alınan bir elemanına B kümesinden f ile karşı getirilen elemana in f altında görüntüsü denir ve bu eleman f() ile gösterilir. A kü- AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
4 84 FONKSİ YON KAVRAMI mesindeki tüm elemanların f fonksiyonu altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye f fonksiyonunun görüntü kümesi denir ve f (A) ile gösterilir. Bazen, f : A B fonksiyonuna A üzerinde bir fonksiyon da denir. Örneğin, A ve B kümeleri olarak Z tamsayılar kümesini alalım ve her tam sayıyı karesi ile eşleyen eşlemeyi düşünelim. Bu eşlemede her tam sayıya karşılık o sayının karesi olan bir tam sayı vardır ve bu tamsayı tektir. Bu nedenle bu eşlemeye bir fonksiyondur diyebiliriz. Bu fonksiyon, f : Z Z, veya f : Z Z, f () = şeklinde gösterilir. Bu fonksiyon altında 0 ın görüntüsünün 0, - 1 ile 1 in görüntüsünün 1, - 4 ile 4 ün görüntüsünün 16 olduğunu şu şekilde ifade ederiz: f (0) = 0, f (-1) = 1, f (1) = 1, f (- 4) = 16, f (4) = 16. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümeleri Z tam sayılar kümesi iken her tam sayının karesi pozitif tam sayı veya 0 olduğundan görüntü kümesi, f (Z) = IN {0} dır. Bu fonksiyonu Venn şeması ile şöyle gösterebiliriz. f Z Z Tanım kümesine ait her bir elemanın bir fonksiyon altındaki görüntüsü tek olmak zorundadır, ancak tanım kümesine ait farklı iki elemanın görüntüsü aynı olabilir. Örneğin yukarıdaki f fonksiyonunda f (-1) = f (1) = 1 dir. Ünitenin başlangıcındaki birinci örneğimizde, alınan ekmek sayısı doğal sayılarla ifade edildiğinden tanım kümesi IN doğal sayılar kümesi, değer kümesi ise, satın alınan ekmek sayısı katı ile eşlendiğinden o da IN olarak alınabilir. Buna göre bu fonksiyon şu şekilde ifade edilir: g: IN IN, g () = Burada değer kümesi, den büyük doğal sayılar kümesini içeren herhangi bir küme de olabilir. Örneğin Z, Q veya IR alınabilir: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
5 FONKSİ YON KAVRAMI 85 h: IN Z, h () = , k: IN Q, k () = , l: IN IR, l () = Ancak bu durumlarda fonksiyon doğal sayılar kümesinden doğal sayılar kümesine değil, doğal sayılar kümesinden sırasıyla tamsayılar, rasyonel sayılar veya gerçel sayılar kümesine tanımlanmış bir fonksiyon olur. Bu fonksiyonların görüntüleri aynıdır ve hepsinde den büyük doğal sayılar kümesidir. İkinci ve üçüncü örneklerimizi bir fonksiyon olarak şöyle ifade edebiliriz: t: IR + IR, t (r) = πr, burada yarıçapın herhangi bir pozitif gerçel sayı olabileceğine dikkat ediniz, s : IR + IR, s t = 1 gt, burada da her türlü kesirli zamanın ölçülebildiğini varsaymış bulunuyoruz. Bu son örneklerimizden de görüldüğü gibi, bir fonksiyonda tanım kümesinin elemanları den farklı harflerle de gösterilebilir. Örneğin yukarıdaki f fonksiyonu, f : Z Z, f (n) = n, veya f : Z Z, f (u)= u şeklinde de ifade edilebilir. Bir fonksiyonda önemli olan,tanım ve değer kümelerinin elemanlarının, bunlar farklı harfle gösterilmek koşuluyla, hangi harfle gösterildiği değil, tanım ve değer kümeleri ile bu kümelere ait elemanların nasıl eşlendiği, yani kural önemlidir. Alanı 10 birim olan dikdörtgeninin yüksekliğini taban uzunluğunun fonksiyonu olarak yazınız.? Cevabınız f = 10 olmalıdır. Örnek: Yukarıda verilen g, t, s fonksiyonlarına göre g (10), t (3) ve s (5) görüntülerini bulalım. Çözüm: g : IN IN, g () = olduğundan g (10) = = , buna göre 10 ekmeğin bedelinin TL olduğu açıktır. t: R + IR, t (r) = πr olduğundan t (3) = π. 3 = 6 π 18,84, buna göre, yarıçapı 3 cm olan bir çemberin çevresi yaklaşık olarak 18,84 cm dir. s : IR + IR, s t = 1 gt, g = 9,8 m /sn olduğundan s 5 = 1 9,8. 5 = 4,9. 5 = 1,5, buna göre, yeteri kadar yüksek bir yerden serbest düşmeye bırakılan bir cisim 5 saniyede 1,5 m yol alır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
6 86 FONKSİ YON KAVRAMI Örnek: A = { Türkiye de bir il}, B = IN olmak üzere, her ili trafikteki plaka numarasına gönderen bir fonksiyondan söz edebiliriz. Bu fonksiyona göre Eskişehir in görüntüsü 6, İstanbul un görüntüsü 34 dür. Bu fonksiyona p dersek, p(eskişehir) = 6, p(istanbul) = 34 yazabiliriz.(bu fonksiyonda 1 i 01, yi 0,..., 9 u 09 şeklinde gösteriyoruz.) Örnek: f:ir IR, f()= - fonksiyonu veriliyor. f(1) + f(-1) i bulunuz. Çözüm: Fonksiyon tanım kümesinin her bir elemanını bu elemanın karesi ile katının farkına göndermektedir. Yani - dir. Buna göre f(1)= 1 -.1= -1, f(- 1)= (-1) -.(-1)= 3 olduğundan f(1) + f(-1)= = dir. Örnek: f : IR IR, f () = fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon kuralına göre her gerçel sayısı gerçel sayısı ile eşlenmektedir. Şimdi f (0), f (1), f (-3), f görüntülerini bulalım. Bunun için fonksiyonun kuralında yerine ilgili sayıyı yazıp gerekli işlemleri yapacağız. f (0) = = 1, f (1) = = = 0, f (-3) = (-3) 3 4.(-3) +.(-3) + 1 = = - 68,? f = = = ,343. f:ir IR, f()= - fonksiyonu için f(π) ve f(-) sayılarını bulunuz. Cevaplarınız 3,58 ve 8 olmalıdır. f : A B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait bir elemanının bu fonksiyon altındaki görüntüsünün f () şeklinde gösterildiğini yukarıda ifade etmiştik. f () de bazen y,z..gibi harflerle gösterilir. Bir fonksiyonun tanım ve değer kümeleri açıkça biliniyor ve eşleme f () gibi bir kuralla ifade edilebiliyorsa, fonksiyon kısaca, y = f () şeklinde de gösterilir. Örneğin her gerçel sayıyı katı ile eşleyen fonksiyon, f : IR IR, f () = gösterimi yerine, kısaca y = biçiminde de gösterilmektedir. Ancak bu tür gösterimlerde tanım ve değer kümelerinin çok açık olarak biliniyor olması gerekir. Burada tanım kümesindeki tüm elemanları tararken y de e bağlı olarak değişecektir. Bu nedenle e bağımsız değişken y ye de bağımlı değişken denir. Bir fonksiyonda tanım kümesi, IR gerçel sayılar kümesinin alt kümesi ise fonksiyona gerçel değişkenli fonksiyon denir. f : A A, f () = fonksiyonuna A kümesinin birim fonksiyonu denir ve I A şeklinde gösterilir. Sözle ifade edersek, bir kümenin her bir elemanını kendisiyle eşleyen fonksiyona bu kümenin birim fonksiyonu denir. f : A B, f () = c, yani A kümesinin tüm elemanlarını B kümesinin tek bir c elemanı ile eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
7 FONKSİ YON KAVRAMI 87 f : A B, g : C D fonksiyonları verilsin. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa bu iki fonksiyona eşittir denir ve f = g şeklinde gösterilir. i) A = C, ii) B = D, iii) her A (= C ) için f ( ) = g (). Bir fonksiyonda asıl olanın tanım kümesi ve tanım kümesindeki her bir elemanın ne ile eşlendiği diyorsanız, o zaman iki fonksiyonun eşitliği için değer kümelerinin eşitliği koşulunu aramayabilirsiniz. Örnek : A = {0,}, B = {0,4} olmak üzere, f : A B, f () =, g: A B, g () = fonksiyonları yukarıdaki koşulları sağladığından bu iki fonksiyon eşittir. Gerçel değişkenli bir fonksiyon, y = f () biçiminde verilip tanım kümesi açıkça verilmemişse, bu durumda tanım kümesi olarak fonksiyonun kuralının anlamlı olduğu en geniş gerçel sayılar kümesi fonksiyonun tanım kümesi olarak alınır. Örnek: y = f () = 1 fonksiyonunun tanım kümesi açıkça verilmemiştir. Bu - 3 durumda 1 ün anlamlı olduğu (yani bir gerçel sayı olduğu) en geniş gerçel - 3 sayılar kümesini bu fonksiyonun tanım kümesi olarak alacağız. 1 ifadesinde - 3 yerine 3 den farklı hangi sayıyı yazarsak yazalım bir gerçel sayı bulabiliriz. Ancak = 3 için payda sıfır olur, bir sayının sıfıra bölümü ise tanımsızdır. Bu nedenle bu fonksiyonun tanım kümesi olarak IR {3} kümesini alacağız. Yani y = fonksiyonunu, f : IR {3} IR, f () = olarak kabul edeceğiz fonksiyonunun kısaca ifade edilmiş biçimi Örnek: y = 4 + fonksiyonunun tanım kümesini bulalım. Çözüm: Bu fonksiyonun kuralı 4 + dir. Bu kuralın anlamlı olabilmesi için olmalıdır. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, [- 4, ) olduğundan fonksiyonun tanım kümesi [- 4, ) dır. Bu fonksiyonu da g : [- 4, ) IR, g () = 4 + fonksiyonu olarak anlayacağız. y = g () = y = h () = fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Birinci soruda cevabınız [-,] aralığı, ikinci soruda ise IR olmalıydı. Nedenlerini düşününüz.?? Sayılarla yapılan bazı işlemler, fonksiyonlarla da yapılabilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
8 88 FONKSİ YON KAVRAMI f : A IR, g : A IR fonksiyonları verilsin. Her A için i f() + g () ile eşleyen fonksiyona f ile g nin toplamı denir ve f+g ile gösterilir. Buna göre, Benzer şekilde, f + g : A IR, (f + g) ( ) = f () + g (). f - g : A IR, (f - g) ( ) = f() - g() fonksiyonuna f ile g nin farkı, f.g: A IR, (f.g) () = f ().g () fonksiyonuna f ile g nin çarpımı, f g : A IR, f g = f g ( her A için g 0 ) fonksiyonuna da f ile g nin bölümü denir. Örnek: f: IR IR, f () = , g: IR IR, g () = +1 fonksiyonları veriliyor. i) (f + g) (), (f - g) (), (f. g) (), f (), g ii) (f + g) (), (f- g) (), (f. g) (), f () g değerlerini bulalım. Çözüm: i) (f + g) () = f () + g () = ( ) + ( +1) = = -1, (f g) () = f () - g () = ( ) - ( +1) = = -11, (f.g) () = f ().g () = ( ). ( +1) = = -30, f g = f g = = bulunur. Benzer şekilde, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
9 FONKSİ YON KAVRAMI 89 ii) (f + g) () = f () + g () = (- +3-4) + ( + 1) = , (f - g) () = f () g () = (- +3-4) - ( + 1) = , (f.g) () = f ().g () = ( ) ( +1 ) = , f g = f g = (f + g) (), (f g) (), (f. g) (), f ( ) sayılarını son bulduğumuz kurallara g? göre bulup, yukarıda bulunan değerlerle karşılaştırınız. f()= ve g()= fonksiyonlarının toplamını ve farkını bulunuz.? Cevaplarınız 6-1 ve -9 olmalıdır. Bire bir fonksiyon f: A B fonksiyonu verilsin. Eğer her 1, A ve 1 için f ( 1 ) f ( ) ise f fonksiyonuna bire bir (1-1) fonksiyon denir. Sözle ifade edersek, tanım kümesinin herhangi farklı iki elemanının görüntüleri farklı ise, fonksiyona bire bir fonksiyon denir. Örnek: f : IN IN, f () = fonksiyonu bire birdir. Çünkü 1, IN ve 1 için olduğundan f ( 1 ) f ( ) dir. Örnek: f: IR IR, f () = fonksiyonu bire bir değildir. Örneğin - olduğu halde f (-) = f () = 4 dür. Farklı iki elemanın görüntüsü eşit olduğundan bu fonksiyon bire bir olamaz. Örnek: f : IR IR, f () = fonksiyonunun bire bir olup olmadığını araştırınız. Çözüm: Her 1, IR ve 1 için f ( 1 ) f ( ) olup olmadığını görmek kolay görünmemektedir. Bu örnekte f(1) = =, f (5) = = dir. Farklı iki elemanın görüntüleri eşit olduğundan bu fonksiyon bire - bir değildir. Sizde bu örnek için görüntüleri eşit başka sayılar bulabilirsiniz. Ancak her zaman bu kadar şanslı olmayabiliriz. Aşağıdaki önermeyi ispatladıktan sonra, fonksiyonların bire bir olup olmadıklarını biraz daha kolay araştırabiliriz. Önerme: f : A B fonksiyonu verilsin. Eğer her 1, A ve f ( 1 ) = f ( ) iken 1 = oluyorsa, f fonksiyonu bire birdir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
10 90 FONKSİ YON KAVRAMI İspat: Bire birliğin tanımına göre, her 1, A ve 1 için f ( 1 ) f ( ) olduğunu göstermeliyiz. En az bir 1, A, 1 için f ( 1 ) = f ( ) olamaz. Çünkü, f ( 1 ) = f ( ) olsaydı, hipoteze göre, 1 = olurdu. Bu ise 1 ile çelişirdi. Bu önerme bire birliğin ikinci tanımı olarak alınabilir. Buna göre, her 1, A ve f ( 1 ) = f ( ) iken 1 = oluyorsa, f fonksiyonu bire birdir diyebiliriz. Örnek : Yukarıda en son verdiğimiz örneğin bire bir olmadığını bir de bu önermeyi kullanarak görmeye çalışalım. f: IR IR, f () = olduğundan f ( 1 ) = f ( ) ise = dır. Buradan = 0, ( 1 - ) ( ) = 0, 1 = veya 1 + = 6 bulunur. Bu eşitliklerin manası tanım kümesi olan IR den alınan iki sayının f altında görüntüleri eşitse ya bu sayılar eşittir, ya da bu sayıların toplamı 6 dır. Tanım kümesi olan IR deki sayıların toplamı 6 ise bu sayılar eşit olmak zorunda olmadığından (örneğin 1 ile 5, ile 4... gibi) fonksiyon bire bir değildir. Örnek: f: IR IR, f () = + 1 fonksiyonunun bire bir olduğunu gösteriniz. Çözüm: Herhangi 1, gerçel sayıları için f ( 1 ) = f ( ) ise 1 = olduğunu göstermeliyiz. f ( 1 ) = f ( ) ise 1 + 1= +1 dir. Buradan 1 =, 1 = elde edilir. Dolayısıyla fonksiyon bire birdir. Örnek: f: IR + {0} IR, f () = fonksiyonunun bire bir olup olmadığını araştırınız. Çözüm: Herhangi 1, IR + {0} için f ( 1 ) = f ( ) ise 1 = dir. Buradan 1 = 0, ( 1 ) ( 1 + ) = 0 buradan da 1 - = 0 veya 1 + = 0 olmalıdır. Bu eşitliklerin birincisinden 1 =, ikincisinden 1 = - elde edilir. İkinci eşitlik sadece 1 = = 0 için doğrudur ( 1 0, 0 olduğunu hatırlayınız). Bu nedenle 1 = olmak zorundadır. Dolayısıyla fonksiyon bire birdir. IR üzerinde tanımlı f()= fonksiyonunun bire bir olmadığını göstermiştik. Bu örnekle, fonksiyonun bire birliğinin, fonksiyonun kuralı kadar tanım kümesine de bağlı olduğunu görmüş olduk. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
11 FONKSİ YON KAVRAMI 91 f:ir IR, f()= 3 - fonksiyonunun bire-bir olmadığını gösteriniz. (f (0) ve f (1) değerlerini karşılaştırınız). Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak bire birliğine karar veremeyiz. Kuralla birlikte tanım kümesini de göz önüne almamız gerekir.? Örten fonksiyon f : A B fonksiyonu verilsin. Eğer f (A) = B ise yani değer kümesindeki herhangi bir eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü ise, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Fonksiyonun örtenliğini şöyle de ifade edebiliriz. B değer kümesinden alınan herhangi bir b elemanına karşılık, f (a) = b olacak şekilde A tanım kümesinden en az bir a elemanı bulunabiliyorsa, f fonksiyonu örtendir denir. Örnek: f : IR IR, f () = +1 fonksiyonunun örten olup olmadığını araştıralım. Çözüm: Fonksiyonun örten olduğunu görmek için her bir b IR için f (a ) = b olacak şekilde en az bir a IR nin varlığını görmeliyiz. f (a) = b ise a + 1 = b dir. Buradan a = b - 1 bulunur. b gerçel sayısı için a = b - 1 de bir gerçel sayıdır ve fonksiyonun tanım kümesinin elemanıdır. Böylece herhangi bir b sayısına karşılık f (a) = b koşulunu sağlayan bir a sayısı bulabildiğimizden fonksiyon örtendir. Örnek: g: IR IR, g () = fonksiyonunun örten olmadığı açıktır. Çünkü değer kümesinden alacağımız herhangi bir negatif sayı, örneğin - 1, hiçbir gerçel sayının karesine eşit olamaz, dolayısıyla tanım kümesine ait hiçbir elemanın görüntüsü değildir. Buna karşılık f : IR IR + {0}, f () = fonksiyonu örtendir. Çünkü değer kümesinden alınacak herhangi bir b değeri, hem - b hem de b nin görüntüsüdür. Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak örten olup olmadığına karar veremeyiz. Kuralla birlikte değer kümesini de göz önüne almamız gerekir. Bir fonksiyonun tanım kümesi ve kuralı değiştirilmeden, fonksiyon örten bir fonksiyona dönüştürülebilir. Bunun için değer kümesi olarak görüntü kümesini almak yeterlidir. Yani, f : A f (A) fonksiyonu daima örten fonksiyondur. Bir fonksiyonun bire-bir veya örten olmadığını göstermek için tanımlarla uyuşmayan elemanlar (sayılar) bulmak yeterli iken bu özelliklerin varlığını görmek için genel ispat yapmamız gerektiğine dikkat ediniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
12 9? FONKSİ YON KAVRAMI f:[-, 3] B, f()= fonksiyonunun örten olması için B kümesi ne olmalıdır? Cevabınız B= [0, 9] aralığı olmalıdır. Bileşke Fonksiyon f :A B, g : B C fonksiyonları verilsin. Herhangi bir A elemanını g (f ()) ile eşleyen, yani i f () in g altındaki görüntüsü ile eşleyen fonksiyona f ile g nin bileşkesi denir ve gof ile gösterilir. A f B g C f() gof g(f()) Buna göre, gof : A C, (gof) () = g (f ()) dir. gof fonksiyonunun tanım kümesinin f nin tanım kümesi olan A, değer kümesinin ise g nin değer kümesi olan C olduğuna dikkat ediniz. Örnek : A = {-1,, 3}, B = {0,1,4,5}, C = {1,} kümeleri veriliyor. Bu kümeler üzerinde, f : A B, f (- 1) = 5, f () = 0, f (3) = 1, g : B C, g (0) = 1, g (1) = 1, g (4) =, g (5) = fonksiyonları tanımlanıyor. A f B g C gof fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: gof : A C, (gof) (-1) = g (f (- 1)) = g (5) =, (gof) () = g (f ()) = g (0) = 1, dir. (gof) (3) = g (f(3)) = g (1) = 1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
13 FONKSİ YON KAVRAMI 93 Örnek: f: IR IR, f () = 3 + 1, g : IR IR, g ( ) = 4 fonksiyonları veriliyor. (gof) (1), (gof) (), (gof) (), (fog) (1), (fog) () ve (fog) () görüntülerini bulalım. Çözüm: (gof) (1) = g (f (1)) = g (3.1+1) = g (4) = 16-4 = 1, (gof) () = g (f ()) = g (3. +1) = g (7) = 49-4 = 45, (gof) () = g (f ()) = g ( 3+1) = (3 +1 ) - 4 = Bu son eşitlikle gof fonksiyonunun kuralını bulmuş olduk. (gof) (1) ve (gof) () görüntülerini bu kural yardımıyla da bulabileceğinizi görünüz. Diğer sorulara cevap vermeden önce şunu ifade edelim: gof tanımlı iken fog tanımlı olmayabilir. fog nin tanımlı olabilmesi için g nin görüntü kümesinin f nin tanım kümesinin bir alt kümesi olması gerektiğini görmeye çalışınız. Bu soruda bu koşul sağlanmaktadır. Bu nedenle soru anlamlıdır. (fog) (1) = f (g (1)) = f (1-4) = f (-3) = 3.(-3) +1 = - 8, (fog) () = f ( g()) = f ( -4) = f (0) = = 1, (fog) () = f (g ()) = f ( - 4) = 3 ( 4) + 1 = Bu örnekten de görüldüğü gibi, genel olarak dir. gof fog f : A B, g: B C, h : C D fonksiyonları verildiğinde dir. fo (goh) = (fog) oh f : IR + 0 IR, f = ve g : IR IR, g = fonksiyonları verilsin. gof ve fog bileşke fonksiyonlarını bulunuz.? Cevaplarınız gof: IR + { 0 } IR, (gof) () = - - 1, fog ise "tanımsızdır" olmalıdır. Örnek: f: IR IR, f () = +1 olduğuna göre f ( - ) yi bulunuz. Çözüm: g () = f ( - ) dersek, g fonksiyonu h () = - fonksiyonu ile f () = + 1 fonksiyonunun bileşkesidir. Bu nedenle g () i bulmak için + 1 ifadesinde yerine yazmak yeterlidir. Buna göre, bulunur. f ( - ) = ( - ) + 1 = AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
14 94? FONKSİ YON KAVRAMI g: IR IR, g () = olduğuna göre, g ( + 1) i bulunuz. Cevabınız olmalıdır. Ters fonksiyon f: A B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait herhangi bir elemanın görüntüsünü, diğer bir deyişle in resmini f() kuralı ile bulabiliyoruz. Acaba resmi bilirsek aslı bulabilir miyiz? Şimdi bu soruya cevap vermeye çalışacağız. f (A) görüntü kümesinden alınan herhangi bir eleman, görüntü kümesinin tanımı gereği, tanım kümesinden en az bir elemanın görüntüsüdür. Bu nedenle herhangi bir b f (A) elemanına karşılık f (a) = b olacak şekilde en az bir a A elemanı bulabiliriz. Ancak fonksiyon bire bir değilse b ye karşılık bulunan a birden fazla olabilir. Eğer f fonksiyonu bire bir olursa, herhangi bir b f( A) için f (a) = b olacak şekilde tek bir a A bulunur ve dolayısıyla ters yönde bir eşlemeyle, yani f (A) dan A ya tanımlanan yeni bir fonksiyonla b ye karşı gelen a yı bulabiliriz. İşte bu eşlemeye f nin ters fonksiyonu denir. f: A B bire bir fonksiyonu verilsin. f (A) görüntü kümesinden alınan herhangi bir görüntüyü (resmi) A daki aslına gönderen fonksiyona f nin ters fonksiyonu denir ve f -1 ile gösterilir. Buna göre, f -1 : f (A) A, f -1 (b) = a f (a) = b. Örnek: A ={1,,3,4}, B ={- 1, - 4, - 7, -10, - 15 } olmak üzere A dan B ye aşağıdaki Venn şeması ile verilen f fonksiyonu tanımlanıyor. A f B Bu f fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulalım. f nin bire bir olduğu açıkça görülmektedir. Bu nedenle f (A) = {- 1, - 4, - 7, - 10 } kümesinden A kümesine f -1 tersi fonksiyonu vardır. f -1 : {- 1, - 4, - 7, - 10 } {1,, 3,4} ve ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
15 FONKSİ YON KAVRAMI 95 f (1) = -1 olduğundan f -1 (-1) = 1, f () = - 4 f -1 (- 4) =, f (3) = -7 f -1 (-7) = 3, f (4) = -10 f -1 (- 10) = 4 dir. f 1 fonksiyonunun Venn şeması ile gösterimi aşağıdaki gibidir. f(a) f A i) f: A B fonksiyonunun ters fonksiyonu varsa, f -1 : f (A) A ters fonksiyonunun bire bir ve örten olduğuna dikkat ediniz. ii) f fonksiyonu bire bir ve örten ise, ters fonksiyonun değer kümesinden tanım kümesine tanımlandığına dikkat ediniz. Örnek: f : IR + {0} IR, f () = +1 fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Ters fonksiyonun olması için f nin bire bir olması gerekir. Şimdi bunu araştıralım. 1, IR + {0} için f ( 1 ) = f ( ) ise 1 = olduğunu görmeliyiz. f ( 1 ) = f ( ) 1 +1 = = 0, ( 1 ) ( 1 + ) = 0, buradan da 1 = veya 1 = - bulunur. 1, IR + {0} olduğundan 1 = - eşitliği ancak 1 = = 0 ise mümkündür, bunun dışında 1 = - olamaz. Bu nedenle 1 = olmalıdır, dolayısıyla fonksiyon bire birdir. Fonksiyon bire bir olduğundan ters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonun tanım kümesi, f nin f ( IR + {0}) görüntü kümesi olduğundan, bu görüntü kümesini bulalım (fonksiyon örten ise görüntü kümesinin değer kümesi olduğunu hatırlayınız). AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
16 96 FONKSİ YON KAVRAMI Her IR + (0} için 0 olduğundan dır. Buna göre görüntü kümesi [1, ) aralığı olabilir. Bu aralığın görüntü kümesi olduğunu görmek için, bu aralıktan alacağımız herhangi bir b sayısına karşılık f (a) = b olacak şekilde tanım kümesinde bir a elemanının varlığını görmeliyiz. a + 1 = b ise a = b 1 dir. b [1, ) olduğundan b 1 0 dır. Buradan a = - b - 1 veya a = b - 1 bulunur. - b - 1 IR + olmasına karşılık b - 1 IR + 0 dır. Dolayısıyla aradığımız a sayısı b - 1 dir. Böylece [1, ) aralığına ait herhangi bir sayının tanım kümesine ait bir sayının görüntüsü olduğunu, yani [1, ) aralığının fonksiyonun görüntü kümesine eşit olduğunu göstermiş olduk. Buna göre, f -1 : [1, ) IR + {0} dır. Şimdi de ters fonksiyonun kuralını bulalım. f : + 1= y olduğundan f -1 : y = + 1 dir. f -1 fonksiyonu altında y değişkeni, değişkenine dönüştüğünden i y türünden ifade edersek, y ye karşı gelen görüntülerini daha kolay bulabiliriz. y = + 1, = y 1 buradan da = y - 1, = - y - 1 y >1 için - y - 1 R + 0 dır. O halde, bulunur. Burada f -1 : [1, ) IR + {0}, y = y - 1, f -1 : [1, ) IR + {0}, f -1 y = y - 1 dir. Genellikle fonksiyonlarda bağımsız değişkeni ile gösterdiğimizden ve ileride grafik çiziminde de sorun yaratmamak amacıyla bu ters fonksiyonu şu şekilde ifade edeceğiz: f -1 : [1, ) IR + {0}, f -1 ( ) = - 1. y = f () fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulmak için, önce y = f () eşitliğinden değişkeni y türünden hesaplanır daha sonra yerine y, y yerine yazılır. Örnek: f: R R, f () = fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: f fonksiyonunun bire-bir olduğunu kolayca görebiliriz. Bu nedenle fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. Ayrıca f örten olduğundan, f -1 : IR IR dir. Ters ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
17 FONKSİ YON KAVRAMI 97 fonksiyonun kuralını bulmak için, y = ifadesinde i y cinsinden çözüp yerine y, y yerine yazalım. y = 3 + 5, 3 = y 5 buradan da = y - 5 bulunur. Şimdi yerine y, y yerine yazarsak, y = - 5 elde ederiz. Buna göre ters fonksiyon 3 3 f -1 : IR IR, y = f -1 () = dir. f : A B bire bir ve örten fonksiyon ise, aşağıdaki Venn şemasından görüldüğü gibi A için (f -1 of) () = dir. Dolayısıyla f -1 of = I A dir. A f B f -1 A f() -1-1 f of f (f()) = Benzer bir şema ile fof -1 = I B olduğunu da siz gösteriniz. Örnek: f : IR IR, f () = fonksiyonu bire bir olmadığından ters fonksiyonu yoktur. Buna karşılık, g : IR + { 0} IR, g () = fonksiyonunun ters fonksiyonu vardır ve g (IR + {0}) = R + {0} olduğundan g -1 : IR + {0} IR + {0}, g -1 () = dir. a ve b gerçel sayılar ve a 0 olmak üzere f: IR IR, f() = a + b fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. Cevabınız f -1 : IR IR, f -1 () = - b olmalıdır. a h : IR IR, h () = 3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun var ve h -1 : IR IR, h -1 () = 3?? olduğunu gösteriniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
18 98 FONKSİ YON KAVRAMI 3. Fonksiyon Grafikleri A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, f : A B fonksiyonu verildiğinde bu fonksiyonu f = {(, y) y = f (), A } şeklinde bir ikililer kümesi olarak düşünebiliriz. Bu düşünce, analitik geometri bilgilerimizle, fonksiyonları geometrik olarak temsil etme, fonksiyonun" resmini" çizme olanağı sağlamıştır. İnsanoğlu resmini çizebildiği soyut kavramları daha iyi anlayabilmekte ve bu tür kavramlar arasında daha kolay ilişki kurabilmektedir. Bu nedenle resmini çizebildiğimiz ( bu resme fonksiyonun grafiği denir) fonksiyonların davranışlarını daha kolay anlayabilmekteyiz. Bir fonksiyonun grafiği konusuna geçmeden önce düzlemdeki kartezyen koordinat sistemini tanıtmaya çalışalım. Düzlemde, sıfıra karşı gelen noktalarında birbirini dik olarak kesen yatay ve düşey doğrultuda iki sayı ekseni alalım. Bu sayı eksenlerinde yatay olanı soldan sağa, düşey olanı da aşağıdan yukarı doğru yönlendirelim. Yani, pozitif yön, yatay doğru üzerinde soldan sağa, düşey doğru üzerinde ise aşağıdan yukarıya doğru olsun. Böylece oluşturulan yatay eksene apsisler ekseni (-ekseni), düşey eksene ordinatlar ekseni (y-ekseni), bu iki eksenin oluşturduğu sisteme kartezyen koordinat sistemi veya dik koordinat sistemi veya kısaca koordinat sistemi, eksenlerin kesiştikleri noktaya da başlangıç noktası veya orijin denir. Düzlemde böyle bir koordinat sistemi belirlendikten sonra, düzlemin noktaları aşağıda açıklayacağımız şekilde adreslenebilmekte ve bu sayede birçok geometri problemleri cebirsel yöntemlerle çözülebilmektedir. Bu tür geometriye de analitik geometri denilmektedir. Bu düşünceyi ilk kez ünlü filozof Descartes ortaya attığından bu koordinat sistemine Descartes'in sistemi anlamında kartezyen koordinat sistemi denilmektedir. y 0 Düzlemde bir kartezyen koordinat sistemi seçelim. Bu koordinat sistemi yardımıyla düzlemin noktaları ile IR IR = {(,y):,y IR } kartezyen çarpım kümesinin elemanları arasında bire bir eşleme kurmaya çalışacağız. Bunun için düzlemde bir P noktası alalım ve bu noktadan yatay ve düşey eksenlere birer dikme çizelim. Bu dikmelerin birer tane olduğunu Euclid (Öklid) geometrisi derslerinden bilmekteyiz. Yatay eksene çizilen dikmenin bu ekseni kestiği noktaya karşı gelen sayıya, düşey eksene çizilen dikmenin bu ekseni kestiği noktaya karşı gelen sayıya ise y diyelim. Yatay ve düşey eksenler sayı doğrusu olduklarından her noktaya karşılık bir ve yalnız bir gerçel sayı vardır. Bu nedenle böyle ve y sayıları vardır ve bunlar tektir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
19 FONKSİ YON KAVRAMI 99 y P = (, y) Böylece elde ettiğimiz ve y sayıları ile sıraya da dikkat ederek, yani yatay eksenden bulduğumuz sayıyı birinci, düşey eksenden bulduğumuz sayıyı ikinci bileşen alarak, (, y) sıralı ikilisini elde ederiz. Bu yolla düzlemdeki her bir P noktasına karşılık (,y) gibi bir tek gerçel sayı ikilisi bulmuş oluruz. Tersine, (,y) gibi bir gerçel sayı ikilisi verildiğinde, sayısına yatay eksen üzerinde, y sayısına ise düşey eksen üzerinde karşı gelen noktaları belirledikten sonra, bu noktalardan üzerinde bulundukları eksenlere birer dik çizersek bu dikmeler P gibi bir noktada kesişirler. Bu P noktasını (,y) gerçel sayı ikilisine düzlemde karşı gelen nokta olarak aldığımızda, gerçel sayı ikilileri ile düzlemin noktaları arasında bire-bir bir eşleme kurmuş oluruz. Bu eşleme nedeniyle düzlemdeki herhangi bir noktaya bir gerçel sayı ikilisi, tersine herhangi bir gerçel sayı ikilisine de düzlemde bir nokta gözüyle bakabiliriz. Düzlemde alınan herhangi bir P noktasına yukarıdaki eşleme ile karşı gelen gerçel sayı ikilisi (, y) ise e P noktasının apsisi, y ye P noktasının ordinatı, (,y) ikilisine de P noktasının koordinatları denir ve P noktası, P = (,y) veya P(,y) şeklinde gösterilir. Örnek: Düzlemde A (,1); B (-1,3) ; C (0,-3); D (-3,-); E (- 0,5, ); sayı ikililerine karşı gelen noktaları işaretleyiniz. F 5, 3 gerçel Çözüm: Birinci bileşenlere yatay eksen üzerinde, ikinci bileşenlere düşey eksen üzerinde karşı gelen noktaları bulduktan sonra her bir noktadan üzerinde bulunduğu eksene birer dik çizersek, karşılıklı dikmelerin kesiştikleri noktalar aradığımız noktalar olacaktır. B E 3 F 1 A ,5 5 D - C -3 Şimdi fonksiyonun grafiği konusuna dönelim. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
20 100 FONKSİ YON KAVRAMI A IR ve B IR olmak üzere f: A B fonksiyonu verildiğinde, bu fonksiyonu f = {(,y) y = f (), A} şeklinde bir ikililer kümesi olarak düşünebileceğimizi yukarıda ifade etmiştik. Bu ikililer kümesinin elemanı olan her bir ikili düzlemin bir noktası ile geometrik olarak temsil edilebilir. Böylece f kümesinin elemanı olan herhangi bir (,y) ikilisine düzlemin tek bir noktası karşılık getirilebilir. İşte f kümesinin elemanı olan (,f ()) ikililerine düzlemde karşı gelen noktaların kümesine f fonksiyonunun grafiği denir. f : A B fonksiyonu verilsin. f = {(,y) y = f (), A} kümesinin elemanlarına düzlemde karşı gelen noktaların kümesine f fonksiyonunun grafiği denir. Örnek: A = {-, -1, - 0, 5, 0, 0, 5, 1,, } olmak üzere, f: A IR, f () = + 1 fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: f = {(-, - 3),(-1, -1),(-0,5, 0),(0,1),(0,5, ),(1,3), (, + 1 ),(,5)} dir. Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktaların kümesi fonksiyonun grafiği olacaktır. f:{-, -1, -0,5, 0, 0,5, 1,, } IR, f( )= + 1 Şekil 3.1: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
21 FONKSİ YON KAVRAMI 101 Fonksiyonun grafiği olarak bulduğumuz bu noktaların bir doğru üzerinde olduğunu bir cetvel yardımıyla kontrol edebiliriz. Burada tanım kümesinde az sayıda eleman bulunduğundan grafiği oluşturan noktaları tek tek bulmak mümkündür. Tanım kümesinde eleman sayısı çok sayıda hatta sayılamaz sayıda olabilir, bu durumlarda grafiği, fonksiyonu oluşturan tüm ikilileri yazıp daha sonra bunlara karşı gelen noktaları işaretleyerek bulamayız. Ancak tanım kümesine ait sonlu tane 1,,..., n değerleri seçilir ve fonksiyonun bu noktalardaki değerleri olan y 1 = f ( 1 ), y = f ( ),...,y n = f ( n ) bulunduktan sonra düzlemde ( 1, y 1 ),(, y ),...,( n, y n ) ikililerine karşı gelen noktalar düzgün bir eğri ile birleştirilerek y = f () fonksiyonunun grafiği denilen eğri bulunur. Tanım kümesinden ne kadar çok ve ne kadar yaygın eleman seçilirse fonksiyonun gerçek grafiğine o kadar yakın bir eğri bulunur. Daha sonraki ünitelerde inceleyeceğimiz türev kavramından sonra fonksiyonun grafiği daha hassas ve gerçeğe yakın çizilebilecektir. Bazı durumlarda da grafik bilinen bir eğri olabilir, bu durumda bu eğriyi daha kolay çizebiliriz. Örneğin eğer fonksiyon g : IR IR, g () = + 1 ise, bu fonksiyonun grafiğinin bir doğru olduğu ünite 4 de görülecektir. Bu doğru yukarıda bulduğumuz noktaları taşıyan doğrudur. g:ir IR, g()= + 1 Şekil 3.: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
22 10? FONKSİ YON KAVRAMI f: IR IR, f () = fonksiyonunun grafiğinin aşağıdaki doğru olduğunu görünüz. f: IR IR, f()= Şekil 3.3: Örnek: A = {-, - 3, -, -1, - 0,5, 0, 0,5, 1,, 3, } olmak üzere, f: A IR, f () = fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: f = {(-, 4), - 3, 3, -,, (-1,1), (- 0,5, 0,5), (0,0), (0,5, 0,5), (1,1),,, 3, 3, (,4)} dir. Fonksiyonu oluşturan ikililerde birinci bileşen bağımsız değişkenini gösterirken ikinci bileşen in f altındaki görüntüsünü, diğer bir deyişle e karşı gelen y değerini ifade ettiğinden fonksiyonu oluşturan ikililer aşağıdaki tablodaki gibi de verilebilir ,5 0 0,5 1 3 y ,5 0 0, Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktalar ve dolayısıyla fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
23 FONKSİ YON KAVRAMI 103 f: -, - 3, -, -1, -0,5, 0, 0,5, 1,, 3, IR, f = Şekil 3.4: Eğer fonksiyon g: IR IR, g () = olsaydı onun grafiği yukarıda bulduğumuz noktalardan geçen düzgün bir eğri olurdu. Bu eğriye parabol denir. g: IR IR, g()= Şekil 3.5: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
24 104 FONKSİ YON KAVRAMI Eğer fonksiyon h : IR IR, h () = - olsaydı bu fonksiyonun grafiği bir önceki g fonksiyonunun grafiğinin -eksenine göre simetriği olurdu. Çünkü (,y) g iken (, -y) h dir. h:ir IR, h()= - Şekil 3.6: Örnek : f: IR + {0} IR, f () = fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: Tanım kümesine ait bazı noktaların görüntülerini bulalım (tanım kümesi negatif olmayan sayılar kümesidir). y 0 0,5 0,5 1 1, ,5 0, , 1,41 1,73,4 Bu tabloya göre, (0, 0), (0,5, 0,5), (0,5, 0, 707), (1, 1), (1,44, ), (, 1,41), (3, 1,73), (4, ), (5,,4) ikililerine karşı gelen noktalar f nin grafiğine aittir (burada irrasyonel sayıların yaklaşık değerlerini aldığımıza dikkat ediniz). Bu ikililere karşı gelen noktalar işaretlendikten sonra bu noktalar düzgün bir eğri ile birleştirilirse, bu fonksiyonun grafiği olan aşağıdaki eğri elde edilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
25 FONKSİ YON KAVRAMI 105 f: IR + {0} IR, f()= Şekil 3.7: Örnek: f: IR IR, f () = 3 sabit fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm:Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için tablo hazırlamaya gerek yoktur. Çünkü tüm gerçel sayılarının görüntüsü 3 tür. Yani f = {(,3): IR} dir. Bu nedenle fonksiyonun grafiği, şekilde görüldüğü gibi - eksenine paralel bir doğrudur. y 3 NOT: i) Bazı fonksiyonların grafiğini çizmek mümkün değildir. Örneğin Dirichlet fonksiyonu dediğimiz, rasyonel sayıları 1 ile irrasyonel sayıları 0 ile eşleyen fonksiyonun grafiğini çizmek mümkün değildir. ii) Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde herhangi bir 0 değerinin bu fonksiyon altındaki görüntüsünü bulabiliriz. Bunun için, 0 noktasından -eksenine dik bir doğru çizilirse bu doğrunun grafiği kestiği noktanın y 0 ordinatı, 0 ın f altındaki görüntüsü olur. y y 0 0 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
26 106? FONKSİ YON KAVRAMI Düzlemdeki herhangi bir eğri her zaman bir fonksiyon grafiği midir? Eğer -eksenine çizilen her dik doğru eğriyi en çok bir noktada kesiyorsa, bu eğri, uygun bir küme üzerinde tanımlanmış bir fonksiyon grafiği olarak düşünülebilir. Eğer - eksenine çizilen dik doğrulardan bir tanesi dahi eğriyi iki veya daha çok noktada kesiyorsa bu eğri bir fonksiyon grafiği olamaz. Örneğin aşağıdaki şekildeki eğri bir fonksiyon grafiği değildir. y Bir fonksiyonun grafiğini bilirsek, o fonksiyonun bire bir olup olmadığına kolayca karar verebiliriz. Eğer apsisler eksenine paralel olarak çizilen her doğru grafiği en çok bir noktada keserse fonksiyon bire birdir. Eğer apsisler eksenine paralel olarak çizilen doğrulardan bir tanesi dahi grafiği birden fazla noktada keserse fonksiyon bire bir değildir. y y y 0 a b c Bire - bir fonksiyon Bire - bir olmayan fonksiyon f: A B fonksiyonu bire bir ise bu fonksiyonun, f -1 : f (A) A ters fonksiyonunun varlığını biliyoruz. Bu durumda, A, y f (A) olmak üzere, (,y) f iken (y,) f -1 dir. Yani (,y) ikilisine düzlemde karşı gelen nokta f nin grafiğine ait bir nokta iken, (y,) ikilisine karşı gelen nokta f -1 in grafiğine ait bir noktadır. Bu iki nokta birinci ile üçüncü bölgenin açıortay doğrusuna göre simetrik olduğundan f -1 in grafiği, f nin grafiğinin bu açıortay doğrusuna göre simetriğidir. Bu açıortay doğrusu h : IR IR, h () = fonksiyonunun grafiği olduğundan, bu doğru, y = doğrusu olur. O halde, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
27 FONKSİ YON KAVRAMI 107 Aynı koordinat sisteminde f -1 ters fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun grafiğinin y = doğrusuna göre simetriğidir diyebiliriz. y (, y) (y, ) y Örnek: f: IR IR, f () = fonksiyonunun ters fonksiyonunun f -1 : IR IR, f -1 () = olduğunu biliyoruz. Şimdi bu iki fonksiyonun grafiklerini aynı koordinat sisteminde çizelim. f () = fonksiyonunun grafiğine ait bazı noktaları bulalım. y = , ,5 1 1, y = fonksiyonunun grafiği çizildikten sonra bu grafiğin y = doğrusuna göre simetriği de y= ters fonksiyonunun grafiğidir. Şekil 3.8: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
28 108 FONKSİ YON KAVRAMI Örnek : f: IR IR, f () = 3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun 3 f -1 : IR IR, f -1 () = olduğunu yukarıda ifade etmiştik. Şimdi bu iki fonksiyonun grafiğini aynı koordinat siteminde görelim. Şekil 3.9: A IR olmak üzere, f: A IR fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g: A IR, g () = f () + a, (a IR), fonksiyonunun grafiği de bulunabilir. Bunun için f nin grafiğini y-ekseni doğrultusunda, a pozitif ise yukarı doğru, a negatif ise aşağı doğru a birim kaydırmak yeterlidir. Çünkü, ( 0, y 0 ) noktası f nin grafiğine ait bir nokta ise, ( 0, y 0 + a) noktası da g nin grafiğine ait bir noktadır. ( 0, y 0 + a) noktası ( 0, y 0 ) noktasının y-ekseni doğrultusunda, a nın işaretine göre a birim kaydırılmışı olduğundan g nin grafiği f nin grafiğinin y-ekseni doğrultusunda a birim kaydırılmışıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
29 FONKSİ YON KAVRAMI 109 Şekil 3.10: Örnek: g: IR IR g () = + fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: Bu fonksiyonda f () = ve a = alabiliriz. Buna göre, g nin grafiği f nin grafiğinin y ekseninin pozitif yönünde (yukarı doğru) birim kaydırılmışıdır. Şekil 3.11: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
30 110? FONKSİ YON KAVRAMI y = 3-1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Cevabınız şu şekilde olmalıydı. Şekil 3.1: f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g () = f ( a), (a IR) fonksiyonunun grafiği bulunabilir. g nin grafiği, f nin grafiğinin ekseni doğrultusunda a birim, a pozitif ise sağa doğru, a negatif ise sola doğru kaydırılmışıdır. Çünkü bir ( 0, y 0 ) noktası f nin grafiğine ait ise y 0 = f ( 0 ) demektir. Yani f nin 0 daki değeri y 0 dır. g fonksiyonu aynı y 0 değerini 0 + a noktasında alır, çünkü g ( 0 + a) = f ( 0 + a a ) = f( 0 ) dır. Buna göre, ( 0 + a, y 0 ) noktası g nin grafiğine aittir. ( 0 + a, y 0 ) noktası ( 0, y 0 ) noktasının - ekseni doğrultusunda a nın işaretine göre a birim kaydırılmışı olduğundan, g nin grafiği f nin grafiğinin ekseni doğrultusunda a birim kaydırılmışıdır. Örnek: a) y = (-1) 3 b) y = ( + ) fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. Çözüm: a) f () = 3 ve a = 1 alınabilir. Buna göre, y = (-1) 3 fonksiyonunun grafiği, y = 3 fonksiyonunun grafiğinin -ekseni doğrultusunda ve pozitif yönde (sağa doğru) 1 birim kaydırılmışıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
31 FONKSİ YON KAVRAMI 111 Şekil 3.13: b) f () = ve a = - alınabilir. Buna göre y = ( + ) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. Şekil 3.14: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
32 11 FONKSİ YON KAVRAMI f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g () = f ( -a) + b, ( a,b IR) fonksiyonunun grafiğini bulabiliriz. g fonksiyonunun grafiği, yukarıdaki iki kaydırma işlemi yardımıyla kolayca bulunabilir. Bunun için f nin grafiği önce -ekseni doğrultusunda, yöne de dikkat ederek, a birim kaydırılır, daha sonra elde edilen yeni grafik y- ekseni doğrultusunda yine yöne dikkat ederek b birim kaydırılır. Örnek: g() = ( + 1) + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: Burada f () =, a = -1, b = 3 alabiliriz. Bu nedenle y = fonksiyonunun grafiği önce -ekseni doğrultusunda sola doğru 1 birim kaydırılır, daha sonra yeni grafik y-ekseni doğrultusunda yukarı doğru 3 birim kaydırılırsa g nin grafiği elde edilir. Şekil 3.15:? y = (-) - 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
33 FONKSİ YON KAVRAMI 113 Cevabınız aşağıdaki gibi olmalıdır. Şekil 3.16: f 1 : IR IR ve f : IR IR fonksiyonları verilsin. f = f 1, a ise f, > a ise veya f = f 1, < a ise f, a ise gibi tanımlanan f: IR IR fonksiyonuna parçalı tanımlı fonksiyon denir. Tanımdan görüldüğü gibi f(), ın a ya kadar olan değerlerinde f 1 () e, a dan sonraki değerlerinde ise f () e eşittir. Parçalı tanımlı fonksiyonun grafiğini çizmek için in a ya kadar olan değerleri için y= f 1 () in, in a dan sonraki değerleri için ise y= f () in grafiğini çizmek gerekiyor. Benzer yolla iki tane yerine, sonlu tane fonksiyonlarla belirlenen parçalı fonksiyonlar tanımlanabilir. Aşağıda tanımlarını vereceğimiz mutlak değer, tam değer ve işaret fonksiyonları parçalı fonksiyonlardır. f: IR IR, f()= fonksiyonuna mutlak değer fonksiyonu denir. Şimdi mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizelim. f : IR IR, f = =, 0 ise, -, < 0 ise, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
34 114 FONKSİ YON KAVRAMI yazılabilir. Bu yazıma göre, grafik, 0 için y= olduğundan y= doğrusunun I. bölgedeki parçası ile, < 0 için y= - olduğundan y= - doğrusunun ikinci bölgedeki parçasından oluşur. f: IR IR, f()= Şekil 3.17:? f: IR IR, f()= -, g: IR IR, g()= - + fonksiyonlarının grafiklerinin aşağıdaki biçimde olduğunu görmeye çalışınız. f: IR IR, f()= - Şekil 3.18: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
35 FONKSİ YON KAVRAMI 115 g: IR IR, g()= - + Şekil 3.19: Bir IR sayısı verilsin. den büyük olmayan (yani küçük veya eşit) en büyük tam sayıya in tam değeri denir ve [] biçiminde gösterilir. Örneğin [ 1, 5 ]= 1, [ 0, 9 ]= 0, [ π ]= 3, [ - π ]= - 4, - 1 [ 0 ]= 0, [ - ]= -, [ 100 ]= 100. = - 1, f: IR IR, f()= [ ] fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir. Bu fonksiyonunun grafiği sonsuz basamaklı bir merdivene benzer. Bunun hakkında bir fikir vermek için, g: [- 1, ] IR, g()= [ ] fonksiyonunun grafiğini çizelim. -1 < 0 ise [ ]= -1 olduğundan g()= -1 0 < 1 ise [ ]= 0 olduğundan g()= 0 1 < ise [ ]= 1 olduğundan g()= 1 = ise [ ]= olduğundan g()= dir. Buna göre g nin grafiği aşağıdaki gibidir. y g: [-1, ] IR, g()= [ ] Şekil 3.0: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
36 116 FONKSİ YON KAVRAMI f : IR IR, f = 1, > 0 ise 0, = 0 ise -1, < 0 ise fonksiyonuna işaret fonksiyonu denir. Bu fonksiyonun grafiğinin aşağıdaki biçimde olduğu kolayca görülebilir. y 1-1 İşaret fonksiyonu f()= sgn gibi de gösterilir. Değerlendirme Soruları 1. Alanı 10 birim kare, bir taban uzunluğu 4 birim olan bir yamuğun yüksekliğini diğer tabanının uzunluğunun bir fonksiyonu olarak yazımı aşağıdakilerden hangisidir? A. B. C. D. E Kenar uzunluğu cm ( > 4) olan bir karenin her köşesinden, kenar uzunlukları cm olan küçük kareler kesilip çıkarılmış ve sonra kenarlar kıvrılarak üstü açık bir kutu yapılmıştır. Bu kutunun hacminin (cm 3 ) in fonksiyonu olarak yazımı aşağıdakilerden hangisidir? A B. + 3 C D E ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
37 FONKSİ YON KAVRAMI f = fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir? A. IR B. 1 3, 1 C. IR + D. 1 3, 1 E. (-, 1] 4. f = 1 fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir? 1 - A. [-1, 1] B. [0, 1] C. - 1, 1 D. (-1, 1) E. (-1, 0) 5. f: IR IR, f() = - + fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir? A. IR B. [1, ) C. IR + {0} D. (-, 1] E. (-, 0] 6. f: IR IR, f() = - fonksiyonu görüntü kümesi hangisidir? A. (-, ] B. (-, ) C. IR D. IR + {0} E. IR - {0} 7. f: IR IR, f() = + için f( - 1) - f(-) aşağıdakilerden hangisidir? A. B. C. D. 0 E. - 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
38 118 FONKSİ YON KAVRAMI 8. f : IR - 0 IR, f = + 1 için f - f 1 hangisidir? A. B. 1 C. - D. 0 E f: A IR, f() = - fonksiyonu verilsin. A kümesi aşağıdakilerden hangisi olduğunda bu fonksiyon A üzerinde bire-birdir? A. [1/, ) B. IR + {0} C. [-1, ) D. [1, ) E. (-, ] 10. f: [-1, ) B, f()= fonksiyonu verilsin. B kümesi aşağıdakilerden hangisi olduğunda bu fonksiyon örtendir? A. [1, 4] B. [0, 4] C. (1, 4) D. [0, 4) E. (0, ) 11. f: IR IR, f() = + 1, g: IR IR, g() = sgn (işaret fonksiyonu) verilsin. (gof) () hangisidir? A. B. 1 C. 0 D. + 1 E. 1. f() = - 1 fonksiyonu için (fof) (-) =? A. 0 B. 1 C. 3 D. 8 E f = fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A. IR B. [1, ) C. (-, 0) [1, ) D. (1, ) E. (0, ) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
39 FONKSİ YON KAVRAMI f: (-, a] IR, f() = ( - 1) fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun (-, a] üzerinde bire-bir olmasını sağlayacak en büyük a değeri hangisidir? A. - B. - 1 C. 0 D. 1 E. 15. f : IR - 0 IR, f = - 1 fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir? A. (-, 0) B. IR- {0} C. IR D. [-1, ) E. (-, -1] Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. C. E 3. B 4. D 5. B 6. A 7. D 8. D 9. D 10. D 11. B 1. D 13. C 14. D 15. A AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,
DetaylıFONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
Detaylı8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
Detaylıİçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...
İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıTürev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm
DetaylıİÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...
İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
DetaylıCebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır?
www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com (a, b) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne
Detaylı2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI
0-0 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ YILLIK PLANI Temel Kavramlar 9... Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler. 6 EYLÜL 0 EYLÜL Temel Kavramlar
DetaylıVektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN
Vektör Uzayları Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Matematik ve mühendislikte birçok uygulamaları olan cebirsel yapılardan vektör uzayı ve alt uzay kavramlarını
DetaylıMatematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş
Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş 1 Matematiksel İktisat: Matematiksel iktisat ekonomik analizlerde kullanılan bir yöntemdir. Bu analizde iktisatçılar iktisat ile ilgili bir bilimsel soruya cevap ararlarken
Detaylıπ θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04.
UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ.04.006. Aşağıdaki gibi, M ve M merkezli br yarıçaplı iki dairenin kesişimi şeklinde bir park inşa edilmektedir. Bu iki dairenin
DetaylıUzayın Analitik Geometrisi
Uzayın Analitik Geometrisi Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Düzlemde geliştirilen analitik geometri modeline benzer şekilde üç boyutlu uzay için de bir analitik
Detaylı2014 2015 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ
0 0 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ SÜRE Ay Hafta D. Saati ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR Geometri Örüntü Süslemeler. Doğru, çokgen çember modellerinden örüntüler
DetaylıSınav : MATEMATİK (TÜRKÇE) ÖĞRETMENİ (GOÖD) Yarışma Sınavı A ) B ) C ) D ) E ) A ) B ) C ) D ) E ) 5 A ) B ) C ) A ) B ) C ) D ) E ) D ) E )
1 4 5 2 3 6 Bir sınıfın öğrencilerinden her biri matematik, fizik ve kimya derslerinin yalnız birinden 5 almıştır. Bu sınıftaki öğrencilerin 1/8'i kimyadan 5 almıştır. 15 öğrenci fizikten 5 alamamıştır.
Detaylıπ a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu
Detaylı2004 ÖSS Soruları. 5. a, b, c pozitif tam sayılar, c asal sayı ve. olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? işleminin sonucu kaçtır?
1. 1 1 1c + m 1 + 4 işleminin sonucu kaçtır? 0 16 6 ) ) ) ) ) 1 9 9 6. a, b, c pozitif tam sayılar, c asal sayı ve 1 1 1 + = y 6 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? ) a < b < c )
DetaylıAYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
DetaylıÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK
ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgelerde Eşleme 10. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Bir Dans Problemi Çizgelerde Eşleme Bir Dans Problemi
DetaylıÜstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini
DetaylıÇalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(2015)-Ara Sınav
Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(015)-Ara Sınav S-1) Merkezi M(, 1) de olan ve 4y + 1 = 0 doğrusundan 4 birimlik bir kiriş ayıran çemberin S-) Merkezi M(,4) de olan ve + 5y 10 = 0 doğrusundan
Detaylı4. x, y, z ve t birbirinden farklı gerçel sayılardır. y - z = x ve x.z.t = 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
04 - YGS / MAT GENETİK K.. Bu testte 40 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. 5.. 5 7 işleminin sonucu kaçtır? D) 7 9 E) 7 C). 4 6 8.6
Detaylı2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.
04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI SORULARI
EGE BÖLGESİ 5. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. [( p q) q] [(p q) q ] bileşik önermesinin en sade şekli A) p B) p C) D) 0 E) q 4. A kümesinin eleman sayısı fazla; B kümesinin eleman sayısı eksik olsaydı
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıVolkan Karamehmetoğlu
1 Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2 Uyarı: Her
Detaylı1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR
1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 2. Doğal Sayılar 3. Sayma Sayıları 4. Tam Sayılar(Yönlü sayılar) 5. Tam sayılarda Dört İşlem 6. Tek ve çift sayılar 7. Asal Sayılar 8. Bölünebilme Kuralları 9. Asal
DetaylıMATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)
MATEMATİK TESTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. 7. kesrinin ondalık gösterimi aşağıdakilerden 0 hangisidir? 0, 0 0,
Detaylı10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2
. SINIF MTEMTİK FONKSİYONLRD İŞLEMLER- ÇKEY NDOLU LİSESİ MTEMTİK ÖLÜMÜ . ÜNİTE.. FONKSİYONLRD DÖRT İŞLEM Neler öğreneceksiniz? Fonksiyonlarda dört işlem yani toplama çıkarma, çarpma ve bölmeyi öğreneceksiniz.
DetaylıÖSYM. T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ 20 AĞUSTOS 2016 Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun,
DetaylıKÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.
KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya
DetaylıAYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
DetaylıKORELASYON VE TEKLİ REGRESYON ANALİZİ-EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ
KORELASYON VE TEKLİ REGRESYON ANALİZİ-EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ 1 KORELASYON ANALİZİ İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü(derecesini) ve yönünü belirlemek için hesaplanan bir sayıdır. Belirli
Detaylı1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30
İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,
DetaylıANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1
NLİTİK GEMETRİ KRM / TEST-. (, ) noktasından geçen ve + = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun eksenini kestiği noktanın ordinatı ) ) 7 ) 9 ). = (k 6) + b k = k doğrularının ekseni üzerinde dik kesişmeleri
Detaylı1) BU TESTTE TEMEL MATEMATİK VE GEOMETRİ OLMAK ÜZERE, TOPLAM 40 ADET SORU VARDIR. 2) BU TESTİN CEVAPLANMASI İÇİN TAVSİYE EDİLEN SÜRE 40 DAKİKADIR.
YGS DENEESİ 04 1) U ESE EEL AEAİ VE GEOERİ OLA ÜERE, OPLA 40 ADE SORU VARDIR. ) U ESİN CEVAPLANASI İÇİN AVSİYE EDİLEN SÜRE 40 DAİADIR. 1) İki basamaklı birbirinden farklı iki pozitif tam sayının farkı
DetaylıŞekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği
3. ÖLÇÜLEBİLİR FONKSİYONLAR SORU 1: f : R R azalan fonksiyon ise f fonksiyonu Borel ölçülebilir midir? ÇÖZÜM 1: Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği α R için f 1 ((α, )) := {x R : f (x) > α} B (R) olduğunu
DetaylıÜstel fonksiyonun grafiği. Tanım a IR + ve a 1 olmak üzere, f : IR IR +, f(x) = a x biçiminde tanımlanan f fonksiyonuna, üstel fonksiyon denir.
Logaritma Üstel fonksiyon a gerçek sayı, n pozitif tam sayı ise, a n = a.a.a. (n tane defa çarpma). a dır. a n sayısında üslü sayı, a ya taban, n ye üs denir. a n sayısı, "a üssü n" diye okunur. 1. n z
Detaylı8. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI
8. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI Öğrenme Alanları ve Alt Öğrenme Alanları 8.1. Sayılar ve İşlemler 8.1.1. Çarpanlar ve Katlar 8.1.2. Üslü İfadeler 8.1.3. Kareköklü İfadeler 8.2. Cebir 8.2.1. Cebirsel İfadeler
DetaylıDik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI
Detaylı(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.
BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı
Detaylıb Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız
1 b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız Bölünebilme Kuralları b Asal Sayılar, Asal Çarpanlar,
DetaylıYGS MATEMATİK DENEME SINAVI I
YGS MATEMATİK DENEME SINAVI I Sınav 2015 ve sonrası YGS sınavlarının müfredatına uygundur. 1. -2 [3 (2-5)-(2-3 5)] = işleminin sonucu kaçtır? A) -10 B) -8 C) 6 D) 10 E) 12 5. A= 24 + 2 2 olup 24 2 2 ifadesinin
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıRASYONEL SAYILARIN MÜFREDATTAKİ YERİ MATEMATİK 7. SINIF RASYONEL SAYILAR DERS PLANI
RASYONEL SAYILARIN MÜFREDATTAKİ YERİ Rasyonel sayılar konusu 7.sınıf konusudur. Matematiğin soyut, zor bir ders olduğu düşüncesi toplumda çoğu kişi tarafından savunulan bir bakış açısıdır. Bu durum beraberinde
Detaylı13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları
Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri BÖLÜM 04 Test 0. y = y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, 4)} B) {(, )} C) {(, 4)} D) {( 4, )} E) {(, )}./ y = / y = 6 5 = 5 = = için y
DetaylıSAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER
SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER 1. (p + 1) q sayısının hangi p ve q asal sayıları için bir tam kare olduğunu 2. n+2n+n+... +9n toplamının bütün basamakları aynı rakamdan oluşan bir sayıya eşit olmasını sağlayan
DetaylıMil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012
Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır
DetaylıIşığın Yansıması ve Düzlem Aynalar Testlerinin Çözümleri
şığın ansıması ve Düzlem ynalar Testlerinin Çözümleri Test 1 in Çözümleri 1. düzlem 4. Z T 1 1 noktasından düzlem nın kenarlarına ışınlar gönderelim. ansıyan ışınlar arasında kalan bölge, noktasındaki
DetaylıTMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi
YGS MATEMATİK DENEMESİ-2 Muharrem ŞAHİN TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEŞİLYURT Gökhan KEÇECİ Saygın DİNÇER Mustafa YAĞCI İ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı
Detaylı7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI
7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI Öğrenme Alanları ve Alt Öğrenme Alanları 7.1. Sayılar ve İşlemler 7.1.1. Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri 7.1.2. Rasyonel Sayılar 7.1.3. Rasyonel Sayılarla İşlemler 7.1.4.
DetaylıMATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)
MTEMTİK TESTİ (Mat ). u testte srasla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için arlan ksmna işaretleiniz.. f, 0 ise =, = 0 ise fonksionu için,
DetaylıIII İÇİNDEKİLER ÜNİTE 1 ÜNİTE 2 ÜNİTE 3 FRAKTALLAR 2 YANSIYAN VE DÖNEN ŞEKİLLER 6 HİSTOGRAM 10 ÜSLÜ SAYILAR 14 ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 18
MATEMATİK III İÇİNDEKİLER ÜNİTE FRAKTALLAR YANSIYAN VE DÖNEN ŞEKİLLER 6 HİSTOGRAM 0 ÜSLÜ SAYILAR 4 ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 8 ÜSLÜ SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ 8 BİLİMSEL GÖSTERİM 9 ÜNİTE OLASILIK, İSTATİSTİK
DetaylıMATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)
MTMTİK TSTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, a a b = = a b b olduğuna
DetaylıMATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)
ÖSS MT- / 008 MTEMTİK TESTİ (Mat ). u testte sırasıla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. + = olduğuna
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Yöntemler 2. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Tümevarım Yöntemi Kombinatoryal Yöntemler Tümevarım
Detaylı... 2.Adım 3. Adım 4. Adım
1-.... 2.Adım 3. Adım 4. Adım Yukarıda verilen şekillerdeki üçgen sayısı ile örüntülü bir sayı dizisi oluşturulmuştur. İki basamaklı doğal sayılardan rastgele seçilen bir sayının bu sayı dizisinin elemanı
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıBİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR
İÇİNDEKİLER BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR 1.1 Tamsayılarda İşlemler... 2 1.1.1 Tek, Çift ve Ardışık Tamsayılar... 5 1.2 Rasyonel Sayılar... 6 1.2.1 Kesirlerin Birbirine Çevrilmesi... 7 1.2.2 Kesirlerin Genişletilmesi
DetaylıORTA ÖĞRETİM KURUMLARI ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK TESTİ
ORT ÖĞRTİM KURUMLRI ÖĞRNİ SÇM V YRLŞTİRM SINVI MTMTİK TSTİ 1. K Şemadaki K \ (L M) kümesinin belirttiği L bölge kesilerek çıkartılıyor. Çıkartılan bölgeyi gösteren şekil M aşağıdakilerden hangisidir? )
DetaylıLYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam
Detaylı1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon
İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
Detaylı7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar
DetaylıSINIF. Örüntü ve Süslemeler ... TEST. 1. Aşağıdakilerden hangisi bir fraktalın adımlarından. 4. 4 cm A) B) C) D)
SINIF Örüntü ve Süslemeler. Aşağıdakilerden hangisi bir fraktalın adımlarından biri olamaz?. cm TEST cm?. adım Yukarıdaki fraktalın başlangıç adımında bir kenarı cm olan bir kare vardır. Bu fraktalın.
DetaylıGEOMETRİ TESTİ LYS 1 / GEOMETRİ. ABC bir eşkenar üçgen. G, ABC üçgeninin ağırlık AB = 3 CD
LYS 1 / OMTRİ OMTRİ TSTİ 1. u testte 0 soru vardır. 2. u testin cevaplanması için tavsiye olunan süre 60 dakikadır. 1.. bir eşkenar üçgen 1 4 2 5, üçgeninin ağırlık merkezi = x irim karelere bölünmüş düzlemde
DetaylıFONKSİYONLAR. Örnek: (2x-2,y-3)=(10,-3) olduğuna göre x ve y sayılarını bulunuz.
1 FONKSİYONLAR Sıralı İkili: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, aa ve bb iken (a, b) ifadesine bir sıralı ikili denir. Burada a ya, sıralı ikilinin birinci bileşeni, b ye de ikinci bileşeni denir.
Detaylı8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR
8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H
DetaylıPARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği
Detaylı25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?
. f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )
DetaylıTAM SAYILARLA İŞLEMLER
TAM SAYILARLA İŞLEMLER 5 4 3 2 1 1 TAM SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ Devlet Meteoroloji İşleri Genel Müdürlüğü, bilimsel ve teknolojik gelişmeler ışığında meteorolojik gözlemler, hava tahminleri ve iklim değişiklikleri
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıTEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Ölçülendirme
TEKNİK RESİM 2010 Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi 2/33 nin Gereği ve Önemi Ölçekler Ölçek Çeşitleri Elemanları Ölçü Çizgisi Ölçü Rakamı Ölçü Sınır Çizgisi Açı ve Yay Ölçüleri Yay si
DetaylıÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun
DetaylıÖĞRENCİNİN ADI-SOYADI DERS TÜRKÇE
BİREYSELEŞTİRİLMİŞ ÜNİTE VE TÜM HİZMET PLANI ÖĞRENCİNİN ADI-SOYADI DERS TÜRKÇE UZUN DÖNEMLİ AMAÇ KISA DÖNEMLİ AMAÇ ÖĞRETİMSEL AMAÇLAR İLEŞİTİM 1, Sözcükleri doğru kullanır. 1. Söylenen sözcüğü tekrar eder.
DetaylıISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464
Bu formun ç kt s n al p ço altarak ö rencilerinizin ücretsiz Morpa Kampüs yarıyıl tatili üyeli inden yararlanmalar n sa layabilirsiniz.! ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464! ISBN NUMARASI:
DetaylıOrtak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI 1 201604-1
Ortak kıl LYS MTEMTİK ENEME SINVI 060- Ortak kıl. ydın ÜNLÜ dem ÇİL li an GÜLLÜ yhan YNĞLIŞ arbaros GÜR arış EMİR eniz KRĞ Erhan EROĞN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hatice MNKN Kemal YIN Köksal YİĞİT Muhammet
DetaylıProf. Dr. Selim ÇETİNKAYA
Prof. Dr. Selim ÇETİNKAYA ÇİZİM KAĞITLARI Ve ANTETLER Çizim kağıdı A0 ~ A4 arası kesilmiş kağıt boyutları Standard kağıt ölçüsü (ISO) A4 210 x 297 A3 297 x 420 A2 420 x 594 A1 594 x 841 A0 841 x 1189 (Ölçüler
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ
İT! SORU İTPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ OLR VP ÂĞIINIZ İŞRTLMYİ UNUTMYINIZ. MTMTİ SINVI GOMTRİ TSTİ 1. u testte 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u
Detaylı2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?
MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden
Detaylıt sayı tabanı ve üzere, A (abcde) sayısının basamakları: ( 2013) sayısını çözümleyelim. A (abcde) sayısının, ( 30214) sayısını çözümleyelim.
SAYI SİSTEMLERİ A. Basamak ve Taban Bir doğal sayıyı oluşturan rakamlardan her birine basamak, rakamların bulundukları yerdeki değerine basamak değeri ve bu doğal sayının tanımlandığı sayı sistemine de
DetaylıBİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler
DetaylıÖrnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır?
MOD KAVRAMI (DENKLİK) a ve b tam sayıları arasındaki fark bir m pozitif tam sayısına tam bölünebiliyorsa bu sayılara m modülüne göre denktir denir ve a b(modm) yazılır. Yani m Z +,m (a b) a b (mod m) dir
DetaylıT.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA 080216072 ESRA BOSTANCI 080216013 NEDİM YAMİ 080216050 ÖYKÜ ÖZÇAKIR ÇANAKKALE-2012 İÇERİK ÖNSÖZ...............................................................
Detaylı9. SINIF MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI
9. SINIF MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 9. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi; Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç Becerileri
DetaylıT.C. BAKSAN MESLEKİ EĞİTİM MERKEZİ ORTAK ALAN TEKNİK RESİM VE ÇİZİM TEKNOLOJİLERİ DERSİ SORULARI
T.C. BAKSAN MESLEKİ EĞİTİM MERKEZİ ORTAK ALAN TEKNİK RESİM VE ÇİZİM TEKNOLOJİLERİ DERSİ SORULARI 1- İş parçalarını, belli kurallara göre tanımlayan çizgisel şekillere ne ad verilir? a) Teknik resim b)
DetaylıBirkaç Oyun Daha Ali Nesin
Birkaç Oyun Daha Ali Nesin B irinci Oyun. İki oyuncu şu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplamı 9 olan üç doğal sayı seçiyor. En büyük sayılar, ortanca sayılar ve en küçük sayılar
DetaylıDOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ
Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen
DetaylıSınav : MATEMATĐK (TÜRKÇE) ÖĞRETMENĐ-GOÖD-MTÖD. Yarışma Sınavı A ) B ) C ) E ) 4 1200 sayısının asal olmayan tamsayı bölenlerinin
1 Üç basamaklı XYZ doğal sayısının 7 ile bölümünden kalan 6 dır. Buna göre X ve Y rakamları 4 arttırılır, Z rakamı 8 azaltılırsa elde edilen sayının 7 ile bölümünden kalan kaç olur? 1 3 2 0 4 3 2 Đki basamaklı
DetaylıBölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri
ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik
DetaylıElemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir.
KÜMELER Küme : Nesnelerin iyi tanımlanmış listesine küme denir ve genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a A biçiminde
DetaylıMATEMATİK TESTİ. 1. 15 15. (4 6) işleminin sonucu kaçtır? 3. Gecenin gündüzden 40 dakika daha uzun olduğu bir günde, gündüzün süresi kaç saattir?
MTEMTİK TESTİ 5 5 (4 6) işleminin sonucu kaçtır? ) 5 ) 0 C) 5 D) 45 4 b = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? ) b < C) b < b ) 4 b D) < b b < b b, + 0,0 + 0,00 işleminin sonucu 0,0
Detaylı1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
Detaylı9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K
M A T E M A T İ K www.akademitemellisesi.com ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: f:ar (A R) fonksionu için, 9. BÖLÜM ) Her A için f( ) = f() ise f e çift fonksion denir. olduğundan ne tek nede çifttir. MUTL AK DEĞER
DetaylıOkunabilir Kod Yazım Standartları: Şiir Gibi Kod Yazmak
Okunabilir Kod Yazım Standartları: Şiir Gibi Kod Yazmak Okunabilirlik nedir? Neden önemlidir? Okunabilir kod, kodu yazanını dışında bir programcı tarafından okunduğunda ne işe yaradığı anlaşılabilen, girintilenmesi,
Detaylı