Geometri; uzayın ve uzayda tasarlanabilen şekillerin,

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Geometri; uzayın ve uzayda tasarlanabilen şekillerin,"

Transkript

1 Geometri ve Gelişimi Geometri; uzayın ve uzayda tasarlanabilen şekillerin, kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik dalıdır. ntik Yunan döneminde matematik günlük kullanımın ötesine giderek daha soyut bir nitelik kazanmaya başlamıştır. Onların elinde matematik doğruluğu deneyime dayanan empirik gözlemler yığını olmaktan çıkarak, doğruluğu mantıksal yöntemle ispatlanan bir sistem niteliği kazanmıştır. Tartışma özünde bir akıl yürütmedir; kişinin doğru saydığı bir yargı ya da inancı elden geldiğince doyurucu kanıtlara dayama girişimidir. u ise ispatlama dediğimiz çabanın ta kendisidir. Euclides (MÖ ) Etimolojik (köken bilgisi) olarak geo metri, yer ölçümü anlamına gelmektedir. Mezopotamya ve Mısır da Nil Nehri nin taşması sonucu arazi sınırları bozulmakta ya da tamamen silinmekteydi. Suların çekilmesiyle sınırların yeniden belirlenmesine ihtiyaç oluyor, arazilerin hemen her yıl ölçülerek yeniden sahiplerine dağıtılması ihtiyacı oluşuyordu. slında yer ölçümü anlamına gelen geo metri terimi de bu işlevi anlatmak için kullanılıyordu. Matematikte ispat yöntemini ilk kullanan kişinin Thales (Tales) (MÖ ) olduğu düşünülmektedir. Euclides (Öklit), ispat yöntemini ince bir ustalıkla geometriye uyarlayarak 13 kitaptan oluşan Elements adlı eserini yazmıştır. u eser zaman içinde yeniden düzenlenmiş, deney ve gözlemlere dayalı empirik genellemeler terk edilmiş, yerine postulat ve ispatlara dayalı Öklit Geometrisi kullanılmaya ve öğretilmeye başlanmıştır. 19. Yüzyıl sonlarına kadar bilinen ve öğretilen tek geometri dalı olan Öklit Geometrisi hala ortaöğretimde temel ders olarak gösterilmektedir. Öklit geometrisine, ksiyomatik Geometri, Sentetik Geometri veya İspatlı Geometri denildiği de olur. abil, Mısır, Hint ve Çin gibi doğu ülkelerinden etkilenen ntik Yunanlılar matematiği ilk defa kurumsallaştırmışlardı. Yani, elde ettikleri bilgileri korumak ve yeni kuşaklara aktarmak için bir öğretim yapısı kurmuşlardı. TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

2 Rene Descartes ( ) Lobacevski ( ) Fransız filozofu Deskartes, cebir ile geometriyii ilişkilendirerek sayısal koordinatlara dayanan bir gösterim biçimi kullandı. Şekilleri, fonksiyonlar olarak ele alan nalitik Geometri dalının gelişmesine vesile oldu lerin sonunda Lobacevski nin öklit geometrisinin temelini oluşturan paralel postulatını ispatlamak için girişimleri neticesiz kalmışsa da Öklit Dışı Geometri denilen başlı başına bir geometrinin doğmasına vesile olanların başında gelir. Gaspard Montage ( ) enoit Mandelbrot (1924 ) İlk olarak 1975'de Polonya asıllı merikalı matematikçi Gaspard Montage, üç boyutlu uzay cisimlerinin, bir düzlem üzerine çizilmesini ya da cismin izdüşümle incelenmesini sağlayan Tasarı Geometrinin gelişmesine vesile olmuştur. enoit Mandelbrot tarafından ortaya konulan Fraktal Geometri, kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri ve cismi oluşturan parçaları ya da cismin bütününü inceler. TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

3 Geometrik Kavram Geometrik Terim 1936 ğustos sonrasında Türk Dil Kurumu tarafından Geometri Terimleri kitabı yayınlandı. Üzerinde yazar ismi Her meslek gurubu, oyun veya bilim ile uğraşan insanlar, aralarındaki iletişimi kolaylaştırmak amacıyla bazı kelimelere özel anlamlar yükler. olmayan bu kitabın önsözünde; Geometri öğretenlerle, bu konuda kitap yazacaklara kılavuzdur. diye yazıyordu. Futbol oyununda TÇ kelimesinin özel bir anlamı vardır. Futboldan anlamak ve keyif almak için bu tür futbol terimlerini bilmeniz gerekir. Doğal olarak geometri derslerinde de iletişimi kolaylaştırmak amacıyla bazı kelimelere özel anlamlar yüklenmiştir, bazen kelime yerine sembol veya gösterimlerle kısaltmalar kullanılmıştır. Geometri ile ilgilenen kişilerin iletişimi kısa ve öz hale getirmek amacıyla kullandıkları kelimelere, sembollere, gösterim ve şekillerin tümüne geometrik kavram denir. Eğitim öğretim programında birlik için tatürk ölümünden 1,5 yıl önce bu kitabı yazmış ve Türk Dil Kurumuna hediye etmişti. tatürk ün önerdiği terimlerin büyük çoğunluğu bilim camiasınca benimsenmiş ve günümüze kadar gelmiştir. Önerdiği terimlerden bazıları şunlardı; oyut, uzay, yüzey, düzey, çap, yarıçap, kesek, kesit, yay, çember, teğet, açı, açıortay, içters açı, dışters açı, taban, eğik, kırık, çekül, yatay, düşey, dikey, yöndeş, konum, üçgen, dörtgen, beşgen, çokgen, köşegen, eşkenar, Geometride özel anlamları olan kelimelere geometrik terim denir. ikizkenar, paralelkenar, yanal, yamuk, artı, eksi, çarpı, bölü, eşit, toplam, oran, orantı, türev, alan, varsayı, gerekçe,.. Nokta, çı, Üçgen, Çember birer geometrik terimdir. TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

4 Tanım Tanımsız terim Önerme İspat Teorem Terimlerin anlaşılabilmesi ve temel özelliklerinin kolayca kavranması amacıyla mümkün olduğunca az kelime içeren cümleler kullanılmaktadır. u tür cümlelere ve ifadelere tanım denir. Doğru ya da yanlış olan ifadelere önerme denir. Soru, emir ve istek bildiren ifadeler önerme değildir. Saat kaç? cümlesi önerme değildir. Saat 21:00 dır. cümlesi bir önermedir. Diğer bir değişle; Tanımlar, sıradan rastgele yazılmış cümleler olmadığından keyfi olarak değiştirilmemelidir. ksi halde kavram karmaşası meydana gelir. Tanımların içeriğinde daha önceden tanımlanmış terimler kullanılabilir. Örneğin; Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir. cümlesi bir tanımdır. u tanımın anlaşılabilmesi için karşılıklı kenar, paralel, dörtgen gibi terimlerin de önceden tanımlanmış olması gerekir. Tanımlarda sıralamanın önemli olduğunu fark etmiş olmalısınız. Tanımlama işlemini yapanlar geriye doğru her terimi tanımlamaya başladıklarında ilk terimlerin tanımlanmasının mümkün olmayacağını fark etmişlerdir. İki fikir arasında bir ilişki kurmaya hüküm, bu hükmün söz veya sembolle ifade edilmesine önerme denir. ir önermenin doğru ya da yanlış olduğunu gösteren ifadelerin tamamına, bu önermenin ispatı denir. İspat zincirinde doğruluğu herkes tarafından kabul edilen ilk önermelere aksiyom denir. ksiyomlar, düşüncenin genel önermeleridir. ir bütün, parçalarından büyüktür. önermesi aksiyomdur. Doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayan ama doğru olarak kabul edilen önermelere postulat denir. Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. önermesi bir postulattır. Tanımlanamayan ilk terimlere tanımsız terim denir. ksiyomlar her bilimde kabul edilen genel önermelerdir. Postulatlar ise belli bir bilimde kullanılan önermelerdir. Nokta, Doğru, Düzlem, Uzay terimleri tanımsız terimlerden bazılarıdır. Tanımlar deneyimlerden çıkan gereksinimlere göre yapılır yani rastgele tanım yapılmaz. 0! = 1 ifadesi sembolik bir tanımdır. Doğruluğu tanım, aksiyom veya postulatlara bağlı olarak ispat edilebilen önermelere teorem denir. Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 o dir. önermesi bir teoremdir. ir çemberin çevresinin çapına oranından elde edilen irrasyonel sayıya pi sayısı denir. =3, Geometri derslerinde hem sağ hem de sol lobunuz aktif çalışır. TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

5 İspatlı Geometri Geometrik Şekil Şekil ve cisimlerin özelliklerini, çizimlerin sebeplerini (yapılan işlem ya da düşünüşün doğru olup olmadığını) inceleyen sentetik geometri dalına ispatlı geometri denilmektedir. Görme, ölçme, çizme, kâğıt kesme ve katlama gibi deneylere dayanan deneysel metotlar geometride her zaman güvenilecek yollar değildir. Deney yolu ile bir geometrik şekli incelemek, bunun bir özelliği hakkında tam fikir edinmek yani herkes için aynı derecede doğru genel bir hükme varmak mümkün değildir. u nedenle geometri deneysel (empirik) bir bilim değildir. Geometrinin konusunu teşkil eden kavramlar ancak düşünülebilen soyut ideal varlıklar (şekiller) olduğundan bunları incelemek, özellikleri hakkında herkes için aynı derecede doğru kesin ve genel hükümlere varmak, deney yolu ile değil, akıl ve mantık yolunu kullanarak ispatla mümkündür. Çevremize baktığımızda her nesne, cisim ve aletlerin şekillerinin farklı farklı olduğunu algılarız. Çevremizde karşılaştığımız şekilleri daha iyi anlamak, özelliklerini incelemek, kusursuz ve hatasız sonuçlara ulaşmak amacıyla bu şekillerin ideal (zihinsel) halleriyle işlem yapacağız. u ideal şekillere geometrik şekil diyoruz. Yaşadığımız evrende geometrik şekillerin birebir aynısı ile karşılaşmamız mümkün değildir. Kâğıt üzerine çizilmiş şekillerin tamamı aslında zihnimizdeki şekillerin temsilcileri, maketleri ve modellerinden başka bir şey değildir. Toplu iğnenin mikroskop görüntüsü Geometride empirik (gözlem ve deneye bağlı) genellemeler yapılabilir mi? Yaşadığımız evrende gözle görebileceğimiz, elle tutabileceğimiz geometrik şekil yoktur. u sayede geometri kusursuz, hassasiyetin sonsuz, hatanın sıfır olduğu bir düşünce disiplini olarak güvenilir bir bilim olmuştur. Matematik insan zihninin ürettiği en önemli keşiftir. TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

6 Nokta Düzlem Geometrinin tanımsız bir terimi olan nokta, en temel geometrik şekildir. Tüm geometrik şekillerin noktalardan meydana geldiği kabul edilir. Yaşadığımız evrende gözümüzle noktayı göremez, elimizle tutamayız. Oysa gözle görülemeyen mikropların bile boyutunun olduğunu biliyoruz. Nokta öyle bir şekil ki boyutsuzdur. Yani uzunluğu, genişliği ve yüksekliği yoktur. Geometri ile ilgilenen insanlar birbirlerine noktadan bahsederken ince uçlu bir kalemle kâğıt üzerine bir iz bırakırlar ve alfabenin büyük harfleriyle isimlendirirler. Nokta, herhangi bir büyüklüğü olmayan ve yer belirtmek için kullanılan tanımsız bir geometrik terimdir. Düzlem geometrinin tanımsız terimlerinden biridir. irbirine oldukça uzak, doğrusal olmayan üç nokta arasına gerilmiş, çok ince bir çarşaf bize düzlem hakkında bir fikir verir. Düzlem, uzunluğu ve genişliği, düz sınırsız genişletilebilen fakat kalınlığı bulunmayan tanımsız bir geometri terimidir. Düzlemler büyük harflerle isimlendirilir. Çizim modeli olarak, geometride paralelkenarsal bölgeler dediğimiz şekiller kullanılır.. E noktası ( E ) düzlemi Doğru Uzay Mümkün olduğunca ince bir ip hayal ediniz. Şimdi düşündüğünüzden daha ince olmalı çünkü doğru dediğimiz şeklin genişlik ve yükseklik boyutu yok. u ipi birbirinden mümkün olduğunca uzak iki çivi arasına gerdiğinizi ve gergin halde her iki uçtan sonsuza kadar uzadığını hayal edin. Zihninizde oluşan bu şekil doğru hakkında fikir edinmeniz için yeterlidir. Uzay; uzunluğu, genişliği ve yüksekliği, düz sınırsız genişletilebilen tanımsız bir geometrik terimdir. Doğru, düz ve uzunluğu sürekli iki yöne sınırsız uzatılabilen, kalınlığı bulunmayan tanımsız bir geometrik terimdir. Doğrular alfabenin küçük harfleriyle isimlendirilir. Çizim modeli olarak çizgi modeli kullanılır. d d doğrusu TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

7 Üzerinde olma İçinde olma Çakışık şekiller Farklı şekiller ir geometrik şekli oluşturan, her bir noktaya geometrik şeklin üzerinde, diğer şekillere de içindedir denir. ütün geometrik şekiller elemanları nokta olan birer kümedir. u kabulden dolayı küme sembolleri geometride de kullanılır. Üst üste olan iki şeklin tüm noktaları birebir örtüşüyorsa bu iki şekle çakışık şekiller veya aynı şekiller denir. ynı olmayan şekillere farklı şekiller denir. Üst üste olan noktalara çakışık noktalar, üst üste olan doğrulara çakışık doğrular, üst üste olan düzlemlere çakışık düzlemler denir. d d : noktası, d doğrusunun üzerindedir. veya d doğrusu, noktasından geçer. ile noktaları çakışıktır. d : noktası, d doğrusunun üzerinde değildir. d doğrusu, noktasından geçmez. d 1 d 2 d 1 ile d 2 doğruları çakışıktır d 1 d 2 d 1 E d 2 E 1 ( E ) : noktası, E düzleminin üzerindedir. E düzlemi, noktasından geçer. ( E ) : noktası, E düzleminin üzerinde değildir E düzlemi, noktasından geçmez. E 2 d 1 ( E ) : d 1 doğrusu, E düzleminin içindedir. E düzlemi, noktasından geçer. d 2 ( E ) : d 2 doğrusu, E düzleminin içinde değildir. E düzlemi, d 2 doğrusundan geçmez. ( E 1 ) ile ( E 2 ) düzlemleri çakışıktır. ( E 1 ) ( E 2 ) TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

8 Kesişme rakesit Doğrusallık Düzlemsellik irbirinden farklı iki geometrik şeklin ortak noktaları varken her iki şeklin ortak olmayan noktaları da varsa bu iki geometrik şekil kesişir denir. Ortak noktaların oluşturduğu geometrik şekle de arakesit şekli denir. d 1 d 2 ynı doğru üzerinde bulunan noktalara, doğrusal noktalar denir. ynı düzlem üzerinde bulunan noktalara, düzlemsel noktalar denir. Tüm noktaları aynı düzlemde bulunan şekillere, düzlemsel şekiller denir. d d 1 d 2 { } d 1 ve d 2 doğrusu kesişmektedir.,, doğrusal noktalardır d 1 ve d 2 doğrusunun arakesiti noktasıdır. d doğrusu, üzerindeki noktalarla da isimlendirilebilir = = = d d 1 d doğrusuna,,, noktalarının taşıyıcısı denir. E D E d ( E ) { } d doğrusu ve ( E ) düzlemi kesişmektedir. d ve E nin arakesiti noktasıdır. ( E ), ( E ), ( E ), D( E ),, noktaları düzlemseldir. E, E, D E ve doğruları düzlemseldir. d E düzlemine,, doğrularının taşıyıcısı denir. E 1 E 2 ( E 1 ) ( E 2 ) d ( E 1 ) ve ( E 2 ) düzlemleri kesişmektedir. ( E 2 ) ve ( E 2 ) düzlemlerinin arakesiti d doğrusudur TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

9 Paralellik ykırılık rada olma Taraf rakesit noktası olmayan iki düzleme, paralel düzlemler denir. irbirinden farklı doğrusal üç noktadan yalnız biri diğer ikisi arasındadır. Örneğin; noktası, ile noktaları arasındadır E 1 denildiğinde, ve noktalarının birbirlerinden farklı ve doğrusal oldukları anlaşılmalıdır. E 2 ( E 1 ) ( E 2 ) ( E 1 ) // ( E 2 ) noktası, ile noktaları arasındadır. ile noktası, noktasına göre doğrunun farklı tarafındadır. ir doğru ile bir düzlemin arakesit noktası yoksa doğru düzleme paraleldir denir. ile noktası, noktasına göre doğrunun aynı tarafındadır. d E d ( E ) d // ( E ) ir doğrunun farklı herhangi iki noktası arasında sonsuz nokta vardır. d Düzlemsel iki doğrunun arakesit noktası yoksa bu doğrulara paralel doğrular denir. Düzlemsel olmayan iki doğrunun arakesit noktası yoksa bu iki doğruya aykırı doğrular denir. d ile noktası, d doğrusuna göre düzlemin aynı tarafındadır. ile noktası, d doğrusuna göre düzlemin farklı tarafındadır. K ve L noktaları, M noktasına göre aynı taraftadır. d 1 E d 2 d d 1 d 1 d 2 d 1 // d 2 d ile d 1 aykırı TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

10 Doğru parçası çık yarı doğru Kapalı yarı doğru ir doğrunun farklı iki noktası ve bunlar arasındaki noktaların meydana getirdiği geometrik şekle doğru parçası denir. doğrusunda noktasına göre ile aynı tarafta bulunan noktaların meydana getirdiği geometrik şekle yarı doğru (açık yarı doğru) denir ve + sembolü ile gösterilir. noktasına başlangıç noktası denir. doğrusu ir açık yarı doğru ile bu yarı doğrunun başlangıç noktasının meydana getirdiği geometrik şekle kapalı yarı doğru (ışın) denir. [] doğrusu parçası [[ doğrusu parçası ]P yarı doğru ]] doğrusu parçası [P kapalı yarı doğru (ışın) ][ doğrusu parçası Resimdeki hızarın geometrik yapısını oluşturan doğru parçalarının sembollerini kutulara yazınız. TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

11 çık yarı düzlem Kapalı yarı düzlem Nokta, Doğru, Düzlem ilişkileri Düzlemde alınan bir doğru düzlemi iki ayrık parçaya ayırır bunların her birine yarı düzlem (açık yarı düzlem) denir. Düzlemi ayıran doğru ile yarı düzlemin birlikte meydana getirdiği geometrik şekle kapalı yarı düzlem denir. - Temel şekillerin belirtilmesi. 1. Farklı iki nokta bir doğru belirtir. 2. Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir. 3. ir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir. 4. Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir. 5. Paralel iki doğru bir düzlem belirtir. 6. Düzlemsel olmayan dört nokta uzay belirtir. 7. ir düzlem ve dışındaki bir doğru uzay belirtir. 8. ykırı iki doğru uzay belirtir. - Doğru ile ilgili önermeler. 1. Uzayda, farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır. 2. Düzlemde, paralel olmayan farklı iki doğru bir noktada kesişir. çık yarı düzlem Kapalı yarı düzlem 3. Uzayda, aynı doğruya paralel olan iki farklı doğru birbirine paraleldir. Doğru demeti Düzlem demeti Sabit bir noktadan geçen düzlemsel doğruların meydana getirdiği geometrik şekle düzlemsel doğru demeti denir. Doğrulardan en az biri düzlemsel değilse uzaysal doğru demeti denir. Sabit noktaya doğru demetinin merkezi denir. Sabit bir doğrudan geçen düzlemlerin meydana getirdiği geometrik şekle düzlem demeti denir. Doğru demeti 4. Düzlemde, paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini de keser. 5. Uzayda, paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerine aykırı olabilir. 6. Uzayda, kesişen iki doğrudan sadece birini kesen bir doğru diğer doğruya aykırıdır. - Düzlem ile ilgili önermeler. 1. ir düzleme dışındaki bir noktadan en az bir tane paralel doğru çizilebilir. 2. ir düzleme dışındaki bir noktadan bir tane paralel düzlem çizilebilir. 3. ynı düzleme paralel olan farklı iki düzlem birbirine paraleldir. 4. Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğer düzlemi de keser. 5. Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem diğerini de keser. 6. Kesişen iki düzleme paralel olan bir doğru, düzlemlerin arakesit doğrusuna da paraleldir. 7. Düzlemin iki farklı noktasından geçen bir doğru düzlemin içindedir. Düzlem demeti TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

12 Ödev Testi D 5. 6.E Soru 1 Soru 4 Herhangi bir büyüklüğü olmayan ve yer belirten geometrik terim aşağıdakilerden hangisidir? şağıda verilen şekillerden hangisi doğru temsil eder? ) ) ) Nokta ) Doğru ) Düzlem ) D) D) Uzay E) Harita E) Soru 2 Soru 5 şağıda verilen nokta modellerinden hangisi geometride kullanılır? şağıda verilen şekillerden hangisi, doğru parçası terimini temsil eder? ) ) ) ) ) ) D) D) E) E) Soru 3 Soru 6 Düz ve uzunluğu sürekli iki yöne sınırsız uzatılabilen, kalınlığı bulunmayan geometrik terim aşağıdakilerden hangisidir? ir doğrunun belirli bir yerinden başlayıp düz olarak sürekli tek yöne uzatılabilen, uzunluğu sınırsız, kalınlığı bulunmayan geometrik terim aşağıdakilerden hangisidir? ) Nokta ) Doğru ) Düzlem D) Doğru parçası E) Işın ) Nokta ) Doğru ) Eğri D) Doğru parçası E) Işın TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

13 Ödev Testi 2 1. D 2. 3.E Soru 1 Soru 4 Uzunluğu ve genişliği, düz sınırsız genişletilebilen fakat kalınlığı bulunmayan geometrik terim aşağıdakilerden hangisidir? Geometride aynı doğru üzerinde bulunan noktalar için kullanılan terim aşağıdakilerden hangisidir? ) Nokta ) Doğru ) Işın D) Düzlem E) Uzay ) Nokta kümesi ) Doğrusal noktalar ) Düzlemsel noktalar D) Uzaysal noktalar E) Sıralı noktalar Soru 2 Soru 5 [ sembolünün belirttiği geometrik şekil aşağıdakilerden hangisi olabilir? ve noktalarından geçen doğrunun sembolik gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) D) ) ) ) D) E) E) Soru 3 Soru 6 şağıdaki terimlerden hangisi geometrik bir şekil belirtmez? noktasından geçen ve başlangıç noktası olan açık yarı doğrunun gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? ) Nokta ) Doğru ) Düzlem D) Uzay E) Uzunluk ) ) ] ) [ D) ] [ E) ( ) TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

14 Ödev Testi E 5.D 6.D Soru 1 Soru 4 d 2 D Üç ayaklı sehpaların sallanmaması hangi geometrik ilke ile açıklanabilir? {,,} (P), D(P) Şekle göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? P d 1 ) Farklı üç nokta bir düzlem belirtir. ) Paralel iki doğru düzlem belirtir. ) ir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir. D) ykırı iki doğru uzay belirtir. E) Dört doğru uzay belirtir. ) d 1 doğrusu P düzleminin içindedir. ) d 2 doğrusu P düzlemini noktasında keser. ),, noktaları düzlemseldir. D) d 1 ile d 2 doğruları aykırıdır. E),, noktaları doğrusaldır. Soru 2 Soru 5 d 1 d 2 Helikopterlerin iki kızaklı yapılması hangi geometrik ilke ile açıklanabilir? d 1 d 2 = {} d 1 (P) = {} d 2 (P) = {} Şekle göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? d 3 P ) Farklı üç nokta bir düzlem belirtir. ) Paralel iki doğru düzlem belirtir. ) ir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir. D) ykırı iki doğru uzay belirtir. E) Dört doğru uzay belirtir. ) d 3 (P) = {, } ) d 3 (P) = [] ) d 1 d 2 d 3 D) (P) E) [] (P) Soru 3 Soru 6 Şekilde verilen sehpada camın sallanmaması hangi geometrik ilke ile açıklanabilir? (E 1) // (E 2), (E 1), (E 1), (E 2), D(E 2) olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? ) Farklı üç nokta bir düzlem belirtir. ) Paralel iki doğru düzlem belirtir. ) ir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir. D) ykırı iki doğru uzay belirtir. E) Dört doğru uzay belirtir. ) // (E 2) ) // D ) D = D) D // (E 2) E) (E 1) TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

15 Koordinat doğrusu (a) noktasının orijine ( O(0) ) uzaklığı Üzerindeki her noktaya, gerçek sayılar kümesinin bir elemanı eşleştirilmiş olan doğrulara koordinat doğrusu O = d(a, 0) = a 0= a birimdir. Koordinatı 1 olan noktanın orijine uzaklığı 1 birimdir. (sayı doğrusu veya eksen) denir. Örnek Negatif yön Pozitif yön 1. (5) ile (3) noktaları arasındaki uzaklık 2 1 O Sayı doğrusu = 5 3 = 2 birim. 2. ( 4) ile (6) noktaları arasındaki uzaklık = 6 ( 4) = = 10 birim Nokta ile eşleşen gerçek sayıya o noktanın koordinatı denir. noktasının koordinatı a sayısı ise (a) biçiminde gösterilir. 1. noktasının koordinatı 2 ( 2) 2. noktasının koordinatı 1 ( 1) 3. O noktasının koordinatı 0 O (0) 4. noktasının koordinatı 1 (1) 5. noktasının koordinatı 2 (2) Koordinatı sıfır olan noktaya sayı doğrusunun orijini veya başlangıç noktası denir. 3. K( 8) noktasının orijine uzaklığı KO = 8 birim = a b = b a = Uç noktaları arasındaki uzaklığa *+ doğru parçasının uzunluğu denir. Uzunlukları eşit olan doğru parçalarına eş doğru parçaları denir. ile gösterilir. = D [] [D] rada olma Sayı doğrusunun (a), (b) ve (c) noktası için a < b < c ise noktası, ile noktalarının arasındadır. Uzaklık Uzunluk noktası, ile arasında ise + = dir. (a) ile (b) noktaları arasındaki uzaklık, koordinatlar farkının mutlak değerine eşittir. veya d(a, b) ile gösterilir. Örnek 1. (x) noktası, (5) ile (3) noktaları arasında ise 3 < x < 5 a b 2. (x) noktası, (4) ile (6) noktaları arasında ise + toplamı = 2 birimdir. = d(a, b) = a b birim TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

16 Orta nokta Geometrik yer Doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktaki noktaya, doğru parçasının orta noktası denir. a ab 2 b Geometride; geometrik yer terimi geometrik şekil anlamında kullanılmaktadır. nalitik geometride; bir noktanın koordinatlarının bileşen sayısı kadar değişken içeren bağıntılar geometrik bir şekil belirtir. u geometrik şekle ve bağıntısına geometrik yer denilir. Örnek = Sayı doğrusunda sadece bir tane değişken olduğundan; Örnek 1. x < 4 eşitsizliği yarı doğru belirtir. Uç noktaları (5) ve (3) olan [] doğru parçasının orta noktası (x) ise 5 3 x 4tür. 2 P(x) x < 4 (4) 4 ölen nokta 2. 1x 3 aralığı bir doğru parçası belirtir. a b c (1) P(x) (3) 1x 3 3 Sayı doğrusunda sırasıyla,, noktaları verilsin; noktası *+ doğru parçasını içten bölen noktadır. noktası *+ doğru parçasını dıştan bölen noktadır. 3. x = 3 eşitliği bir nokta belirtir. noktası *+ doğru parçasını dıştan bölen noktadır. (3) Örnek x = 3 Sayı doğrusunda (3), (5) ve (11) noktaları veriliyor. (5) noktası, [] doğru parçasını 1 3 oranında içten bölen 4. x = 5 eşitliği iki nokta belirtir. noktadır. (-5) (5) 2 birim 6 birim x = TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

17 Yönlü doğru parçası Vektör Uç noktası (a) ve bitim noktası (b) olan yönlü doğru parçasının boyu b a birimdir. [] doğru parçasına yön vermek istediğimizde birbirine zıt iki farklı yönden söz etmek mümkündür. dan ye ya da den ya. Yer vektörünün bitim noktasının koordinatına vektörün koordinatı denir. [] doğru parçası Sayı doğrusunda, başlangıç noktası O(0), bitim noktası P(k) olan P yer vektörünün koordinatı k dır. O(0) P(k) P (k) P (k) vektörünün boyu P k birimdir. yönlü doğru parçası yönlü doğru parçası doğrusuna, yönlü doğru parçalarının doğrultusu adı verilir. ir vektörün doğrultusu, yönü ve boyu değişmeden konumunun değiştirilmesine öteleme denir. yönlü doğru parçasında; başlangıç noktası, bitim noktası olarak isimlendirilir. u noktalar arasındaki uzaklığa yönlü doğru parçasının uzunluğu denir ve ile gösterilir. ir vektörün başlangıç ve bitim noktasının koordinatına aynı sayı eklenir (veya çıkarılırsa) elde edilen vektör sadece konum değiştirmiş olur. Örnek Uzunlukları eşit ve yönleri aynı olan yönlü doğru parçalarına eş yönlü doğru parçaları denir ve ile gösterilir. Koordinat doğrusunda birbirine eş yönlü doğru parçalarından oluşan kümenin her bir elemanına vektör denir. u elemanlardan başlangıç noktası orijin olan vektöre yer vektörü (konum vektörü) denir. Uzunluğu (boyu) 1 birim olan vektöre birim vektör denir. Uzunluğu sıfır olan vektöre sıfır vektörü denir. 1. u (3) ifadesi; sayı doğrusunda başlangıç noktası O(0) ve bitim noktasının koordinatı 3 olan yer vektörünü temsil eder. una noktasının yer vektörü de denir. O u (3) u (3) vektörünün boyu u = 3 birimdir. 3. aşlangıç noktası (3) ve bitim noktası (1) olan vektörünün koordinatı -2 dir. Örnek K L O (-) negatif yön (+) poizitif yön K(-3) L(-2) M(-1) O(0) (1) (2) (3) D(4) OK ( 2) 1. KM O D... 2 birim (1) (3) 2. KM O D... K(1 3) O(3 3) 3. O yer vektörüdür. K(-2) O(0) 4. O birim vektör 5. O OO... sıfır vektör 4. aşlangıç noktası M(m) ve bitim noktası N(n) olan MN vektörünün koordinatı n m dir. TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

18 İki vektörün eşitliği Vektörün bir sayı ile çarpımı Koordinatları eşit olan vektörlere eşit vektörler denir. ir yer vektörünün bir k sayısı ile çarpımına, o vektörün k sayısı ile çarpımı denir. u (a) v (b) k R, u (a) ise k u (k a) dır. u v a b k = 1 ise vektörün yönü ve boyu değişmez. Örnek k = -1 ise vektör zıt yönlü olur ve boyu değişmez. k > 0 ise vektörün yönü değişmez. k < 0 ise vektör zıt yönlü olur. Şekilde verilen u ile v vektörleri eşit ise x = 12 dir. k = 0 ise sıfır vektörü oluşur. -1 < k < 1 ise vektörün boyu kısalır. M(-8) u N(-2) O(0) (6) v (x) k < -1 ve 1 < k ise vektörün boyu büyür. -1 < k < 0 ise vektör zıt yönlü olur ve boyu kısalır. O(-8+8) u v K(-2+8) O(6-6) K(x - 6) 0 < k < 1 ise vektörün yönü değişmez, boyu kısalır. 1 < k ise vektörün yönü değişmez, boyu büyür. k < -1 ise vektör zıt yönlü olur ve boyu büyür. u v ise = x 6 x = 12 Örnek u (12) İki vektörün toplamı u (a) ve v (b) ise u v u v (a b) dir. Uç uca ekleme yöntemi ile toplama; (Toplam: ilkin başlangıcı sonun bitimi) 1. k 1 2. k 1 u (12) u ( 12) u v 3. k 0 0 u (0) u v u v 4. k 2 2 u (24) Örnek 5. k 2 ( 2) u ( 24) u (3) ile v (5) ise u v (8) dir k 2 1 u (6) 2 O(0) u (3) v (5) u v (8) u v (8) 7. 1 k 2 1 ( ) u ( 6) 2 u (3) v (5) TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

19 İki vektörün farkı Örnek 1. (1), (5), (x) ve 4 ise x = 2 dir. u (a) ve v (b) ise u v u v (a b) dir. 4 4( ) u v u ( v) 4 4 u v v u v u v aşlangıç noktaları birleştirilirse; (Fark : çıkanın bitişinden diğerinin bitişine) 3 1 x x 2 şağıdaki şekil incelenirse; u v noktası, [] doğru parçasını =4 oranında içten u bölen nokta olduğu ya da, v u v noktası, [] doğru parçasını =4 oranında dıştan Örnek bölen nokta olduğu görülür. u (3) ile v (5) ise u v ( 2) dir. 4 v (5) O(0) (1) (2) (5) v ( 5) O(0) u (3) 2. ise dir. 2 u u v ( 2) O(0) v (5) 3. D D O u v ( 2) O(0) u (3) u v ir vektörün yer vektörü türünden yazılışı O O O(0) (a), (b) ise (b a) dır. TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

20 Ödev Testi 4 1. DDDDY 2. DDDYD 3.DYDDD 4.DDYDD 5.DYYYY 6.DDDDY Soru 1 Doğru Yanlış Soru 4 Doğru Yanlış D E F x ( ) (3), (5) = 2 birim ( ) (-6), (10) d(, ) = 16 birim ( ) noktası; x koordinat doğrusunun orijinidir. ( ) E noktasının koordinatı 10 dur. ( ) [F] doğru parçasının orta noktasının koordinatı 5 tir. ( ) noktasının noktasına göre simetriği noktasıdır. ( ) [F] doğru parçasının ağırlık merkezi noktasıdır. ( ) (-7), (7) d(, ) = 0 birim ( ) (-4), (-7) = 3 birim ( ) (5), (12) d(, ) = 7 birim Soru 2 Doğru Yanlış Soru 5 Doğru Yanlış D E F G H K x [] doğru parçasının orta noktası noktası olmak üzere; ( ) H noktasının orijine uzaklığı 9 birimdir. ( ) ile H noktası arasındaki uzaklık 15 birimdir. ( ) [G] doğru parçasının uzunluğu 18 birimdir. ( ) K = 12 birim ( ) + F = DK ( ) (0), (8) (4) ( ) (-1), (-7) (-6) ( ) (-2), (4) (2) ( ) (9), (10) (8) ( ) (3), (6) (4) Soru 3 Doğru Yanlış Soru 6 Doğru Yanlış D K x D E F G 8 x ( ) d(, ) = 12 birim ( ) [D] [K] ( ) [] [D] ( ) d(, D) = d(k, D) ( ) d(, D) d(, K) ( ) D noktası, [E] doğru parçasını içten bölen noktadır. ( ) E noktası, D ile G noktaları arasındadır. ( ) noktası, [EG] doğru parçasını dıştan bölen noktadır. ( ) noktası, [] doğru parçasının orta noktasıdır. ( ) G noktası, [D] doğru parçasını G = 2DG oranında içten bölen noktadır. TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

21 Ödev Testi D 5. 6.E Soru 1 Soru 4 (-3) D (21) -3 4 x = ve D = D olduğuna göre, D noktasının koordinatı kaçtır? noktası, [] doğru parçasını 13 oranında dıştan 6 böldüğüne göre, noktasının koordinatı kaçtır? ) 0 ) 3 ) 6 D) 9 E) 18 ) 5 ) 6 ) 8 D) 10 E) 12 Soru 2 Soru 5 silgi kısmı tahta kısmı Sayı doğrusunda (7-x), (1-x), (6+x) ve D(2-3x) noktaları veriliyor. [] doğru parçasının orta noktası K ve [D] doğru parçasının orta noktası P olduğuna göre, KP kaç birimdir? (2) (22) Kalemin tüm boyu silgi kısmının boyunun 5 katı olduğuna göre, noktasının koordinatı kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 D) 8 E) 10 ) 1 ) 2 ) 3 D) 4 E) 5 Soru 3 Soru 6 1 x 13 noktası, [] doğru parçasını = 3 oranında içten böldüğüne göre, noktasının koordinatı kaçtır? Sayı doğrusunda, noktası, (-1) ile (5) arasındadır. olduğuna göre, 3 kaç birimdir? ) 3 ) 4 ) 5 D) 6 E) 7 ) 1 ) 2,5 ) 3 D) 3,5 E) 4 TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

22 Ödev Testi D E 6.D Soru 1 Soru 4 D E F şağıdakilerden hangisi yanlıştır? G 3 H 4 x 1 3 x ) ile HG yönlü doğru parçaları eştir. ) D DF 3 olduğuna göre, noktasının koordinatı kaçtır? ) F GD D) EG 2 birim E) D F ) 10 ) 29 3 ) 9 D) 26 3 E) 8 Soru 2 Soru O D E F 3 G 4 x D toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 2 şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) E noktasının yer vektörü OE vektörüdür. ) OD birim vektördür. ) FE birim vektördür. D) D 3GF E) D 2DF ) 3D ) 2D ) 2D D) D E) D Soru 3 Soru 6 D E F G H x (a 5) (x) (19 a) şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) H noktasının yer vektörünün koordinatı 4 tür. ) E vektörünün koordinatı 4 tür. 2 K K olduğuna göre, vektörünün koordinatı kaçtır? ) GD vektörünün koordinatı 3 tür. D) D (2) E) H ( 5) ) 13 ) 11 ) 9 D) 7 E) 5 TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

23 nalitik düzlem u (a) ve v (b) ise u v u v (a b) dir. TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

24 TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

25 TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

26 TEMEL GEOMETRİK KVRMLR 2010 eky

TEMEL BAZI KAVRAMLAR. Uzay: İçinde yaşadığımız sonsuz boşluktur. Uzay, bir noktalar kümesidir. Uzay, bütün varlıkları içine alır.

TEMEL BAZI KAVRAMLAR. Uzay: İçinde yaşadığımız sonsuz boşluktur. Uzay, bir noktalar kümesidir. Uzay, bütün varlıkları içine alır. 1 TEMEL ZI KVRMLR Nokta: Kalemin kâğıda, tebeşirin tahtaya bıraktığı ize nokta denir. Nokta boyutsuzdur. Yani; noktanın eni, boyu ve yüksekliği yoktur. ütün geometrik şekiller noktalardan oluşur. Noktalar

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. ÜNİTE: TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ

Sunum ve Sistematik 1. ÜNİTE: TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ Sunum ve Sistematik 1. ÜNİT: TML GOMTRİK KVRMLR V KOORİNT GOMTRİY GİRİŞ KONU ÖZTİ u başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. TANIMSIZ KAVRAM, AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT NE DEMEKTİR? 2. NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAY KAVRAMLARI * Nokta, Doğru ve Düzlem * Doğru Parçası *

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GOMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. [ [ [ [] []

Detaylı

İNS1101 MÜHENDİSLİK ÇİZİMİ. Bingöl Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 2018

İNS1101 MÜHENDİSLİK ÇİZİMİ. Bingöl Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 2018 İNS1101 MÜHENDİSLİK ÇİZİMİ Bingöl Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 2018 TEKNİK RESİM Teknik resim, teknik elemanların üretim yapabilmeleri için anlatmak istedikleri teknik özelliklerin biçim ve

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım

Detaylı

GEOMETRİ. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan başlayarak gezimize çıkalım.

GEOMETRİ. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan başlayarak gezimize çıkalım. GEOMETRİ Geometriyi seven veya sevmeyenler için farklı bir bakış açısı. Gerçeğin kilidini açacak anahtarın Aritmetik ve Geometri olduğunu söyleyen ve Tanrının da bir Matematikçi olduğuna inanan ünlü düşünür

Detaylı

1- Matematik ve Geometri

1- Matematik ve Geometri GEOMETRİ ÖĞRETİMİ 1- Matematik ve Geometri Matematik ve Geometri Bir çok matematikçi ve matematik eğitimcisi matematiği «cisimler, şekiller ve sembollerle ilişkiler ve desenler inşa etme etkinliği» olarak

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

GEOMETRİK KAVRAMLAR. 1. Nokta: Geometrinin en temel terimidir.. biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur.

GEOMETRİK KAVRAMLAR. 1. Nokta: Geometrinin en temel terimidir.. biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur. GEOMETRİK KAVRAMLAR Geometrinin temelini oluşturan bazı kavramları bir sıraya koymalıyız ki daha anlaşılabilir olsun. Geometride özel anlamı olan ifadelere geometrik terim denir. Nokta, doğru, açı, kare,

Detaylı

TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI

TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI 1. Alın iz düşümüne parelel veya çakışık olan doğrular profilde hangi ı verir? 9. Doğrunun düzlemi deldiği noktayı düzlem geçirme metodu ile bulunuz. A) Profil ve alınla

Detaylı

ÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik

ÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.

Detaylı

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80. 11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):

Detaylı

ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK

ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK Öteleme ve yansımanın birlikte kullanıldığı dönüşümlere ötelemeli yansıma denir. Düzlemde yansıma ve ötelemeli yansıma dönüşümlerinde uzaklıklar korunurken açıların yönleri değişir. Ötelemeli yansıma dönüşümünde

Detaylı

LYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ

LYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam

Detaylı

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır?

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? TEMEL MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 3. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A)

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. bir üçgen =

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ NM MTMTÝK GOMTRÝ NMLRÝ. 0,4 : 0, 0, 5 5 işleminin sonucu kaçtır? 4. = 4+ 3 5+ 4 6 +... + 3 toplamında her bir terimde birinci çarpan artırılıp ikinci çarpan azaltılırsa kaç artar? ) ) ) ) ) 3 5 ) 4 ) )

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

2013 YGS MATEMATİK. a a olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 2 C) 1 4 E) 4 9 B) 3 2 D) 1 9 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2013 YGS MATEMATİK. a a olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 2 C) 1 4 E) 4 9 B) 3 2 D) 1 9 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 0 YGS MATEMATİK. m olduğuna göre, m kaçtır?. a a a a olduğuna göre, a kaçtır? A) B) ) D) 6 E) 7 A) B) ) D) 9 E) 9.. (0,) (0,) işleminin sonucu kaçtır? A) 0,06 B) 0,08 ) 0, D) 0, E) 0, A B B D B A BD 9?

Detaylı

Parametrik doğru denklemleri 1

Parametrik doğru denklemleri 1 Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P

Detaylı

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar.

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar. 7. SINIF KAZANIM VE AÇIKLAMALARI M.7.1. SAYILAR VE İŞLEMLER M.7.1.1. Tam Sayılarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri M.7.1.1.1. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar; ilgili problemleri

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom:

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom: Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir. A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından

Detaylı

1- Geometri ve Öklid

1- Geometri ve Öklid GEOMETRİ ÖĞRETİMİ 1- Geometri ve Öklid Matematik ve Geometri Bir çok matematikçi ve matematik eğitimcisi matematiği «cisimler, şekiller ve sembollerle ilişkiler ve desenler inşa etme etkinliği» olarak

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru

Detaylı

Temel Kavramlar. Alıştırma Şekil ile, ifade edilişini eşleştiriniz.

Temel Kavramlar. Alıştırma Şekil ile, ifade edilişini eşleştiriniz. Giriş Sıfırdan Matematik kitabımızda kazanımlar; gerçekten sıfırdan başlayarak ve o ana dek anlatılan bilgiler yeterli olacak şekilde, benzer bol örnek ve hiçbir kitapta olmadığı kadar alt başlıklarla

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında

Detaylı

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN SİDRE 000 ORTAOKULU 06-07 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN ÜNİTE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Ders Saati 9.09.06/.09.06 Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme i 7...

Detaylı

Örnek...1 : Şekildek i kare piramitte paralel, a yk ır ı k esişen doğru parçalar ına örnek ler verini z. UZAYIN ANALİTİĞİ UZAY

Örnek...1 : Şekildek i kare piramitte paralel, a yk ır ı k esişen doğru parçalar ına örnek ler verini z. UZAYIN ANALİTİĞİ UZAY UZYIN NİİĞİ 1 M KVRMR UZY ümü düzlemsel olmayan bütün noktaların kümesine uza y denir. UZY NOK, OĞRU, ÜZM V UNR RSINKİ İİŞKİR 1)Uzayda farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. UZY OĞRURIN URUMU 1.Uzayda

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 GEOMETRİ TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 GEOMETRİ TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.. YÜKSKÖĞRTİM KURULU ÖĞRNİ SÇM V YRLŞTİRM MRKZİ LİSNS YRLŞTİRM SINVI MTMTİK SINVI GOMTRİ TSTİ SORU KİTPÇIĞI 9 HZİRN 00 U SORU KİTPÇIĞI 9 HZİRN 00 LYS GOMTRİ TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. u testlerin

Detaylı

örnektir örnektir Geometri TYT Yeni müfredata tam uygun MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (1-10. Testler)

örnektir örnektir Geometri TYT Yeni müfredata tam uygun MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (1-10. Testler) TYT Geometri MİKRO KONU TRM TST YRINTILRI V ÖRNKLRİ (-0. Testler) Yeni müfredata tam uygun eğerli öğretmenimiz, branşınızla ilgili TYT konu tarama testlerimizden bazı örnekleri incelemeniz için size sunuyoruz.

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ İKKT! SRU KİTPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ LRK VP KÂĞIINIZ İŞRTLMYİ UNUTMYINIZ. MTMTİK SINVI GMTRİ TSTİ 1. u testte 30 soru vardır. 2. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.

Detaylı

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak

Detaylı

7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI

7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI 7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI Öğrenme Alanları ve Alt Öğrenme Alanları 7.1. Sayılar ve İşlemler 7.1.1. Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri 7.1.2. Rasyonel Sayılar 7.1.3. Rasyonel Sayılarla İşlemler 7.1.4.

Detaylı

1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?

1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir? HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i

Detaylı

2011 YGS MATEMATİK Soruları

2011 YGS MATEMATİK Soruları 0 YGS MTEMTİK Soruları. + + ) 8 ) 0 ) 6 ) E). a = 6 b = ( a)b olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? ) ) 6 ) 9 ) 8 E). (.0 ) ) 0, ) 0, ) 0, ) E) 6. x = y = 8 z = 6 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan

Detaylı

TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE ÇİZİMLER

TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE ÇİZİMLER T GOTRİ VRR V ÇİZİR 1. oğru, oğru Parçası ve Işın Her iki yönden sonsuza kadar uzadığı kabul edilen ve noktaların yan yana gelmesiyle oluşan düz çizgiye doğru denir. d d, veya şeklinde gösterilir. oğrunun

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

Uzay Geometri TMOZ-OZEL Mustafa YAĞCI

Uzay Geometri TMOZ-OZEL Mustafa YAĞCI UZY GEOMETRİ aşlıktan korkmayın. Oturduğumuz yerden Dünya ile Mars arasındaki uzaklığı filan ölçecek değiliz. İstersek ölçeriz ama konumuz bu değil. Çünkü bu uzay, o uzay değil. O uzaysa bile, işimiz gücümüz

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

8. SINIF MATEMATİK. Asal Çarpanlar Test sayısının kaç tane asal çarpanı vardır?

8. SINIF MATEMATİK. Asal Çarpanlar Test sayısının kaç tane asal çarpanı vardır? 8. SINIF MTEMTİ sal Çarpanlar Test. 84 sayısının kaç tane asal çarpanı vardır? ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 5. İki basamaklı 9m sayısı asal sayıdır. una göre m yerine kaç farklı rakam yazılabilir? ) ) 2 ) 3 ) 4 2.

Detaylı

Geometrik Örüntüler. Geometrik Cisimlerin Yüzeyleri Geometrik Cisimler Prizmaların Benzer ve Farklı Yönleri Geometrik Şekiller. Geometrik Örüntüler

Geometrik Örüntüler. Geometrik Cisimlerin Yüzeyleri Geometrik Cisimler Prizmaların Benzer ve Farklı Yönleri Geometrik Şekiller. Geometrik Örüntüler Geometrik Cisimler ve Şekiller Geometrik Örüntüler Geometride Temel Kavramlar Uzamsal İlişkiler Geometrik Cisimlerin Yüzeyleri Geometrik Cisimler Prizmaların Benzer ve Farklı Yönleri Geometrik Şekiller

Detaylı

YGS GEOMETRİ DENEME 1

YGS GEOMETRİ DENEME 1 YGS GTİ 1 G 1) G ) şağıdaki adımlar takip edilerek geometrik çizim yapıl- bir üçgen mak isteniyor = = m() = 7 o = 9 cm, = 1 cm, m() = 90 olacak şekilde dik üçgeni çiziliyor = eşitliğini sağlayan Î [] noktası

Detaylı

( ) MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) 2009 - ÖSS / MAT-1. 1. Bu testte 30 soru vardır.

( ) MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) 2009 - ÖSS / MAT-1. 1. Bu testte 30 soru vardır. 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. ( )( ) + 4. m = olduğuna göre, m + ifadesinin değeri işleminin

Detaylı

STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ

STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ 1.1. Temel Kavramlar ve Tanımlar Mühendislik mekaniği: Kuvvet etkisi altındaki cisimlerin denge veya hareket koşullarını inceleyen bilim dalı Genel olarak mühendislik mekaniği Sert (rijit) katı cisimlerin

Detaylı

5. ÜNİTE İZDÜŞÜMÜ VE GÖRÜNÜŞ ÇIKARMA

5. ÜNİTE İZDÜŞÜMÜ VE GÖRÜNÜŞ ÇIKARMA 5. ÜNİTE İZDÜŞÜMÜ VE GÖRÜNÜŞ ÇIKARMA KONULAR 1. İzdüşüm Metodları 2. Temel İzdüşüm Düzlemleri 3. Cisimlerin İzdüşümleri 4. Görünüş Çıkarma BU ÜNİTEYE NEDEN ÇALIŞMALIYIZ? İz düşümü yöntemlerini, Görünüş

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır. TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

KATI CİSİMLER DİK PRİZMALARIN ALAN VE HACİMLERİ 1. DİKDÖRTGENLER PRİZMASI. Uyarı PRİZMA. Üst taban. Ana doğru. Yanal. Yanal Alan. yüz. Yanal.

KATI CİSİMLER DİK PRİZMALARIN ALAN VE HACİMLERİ 1. DİKDÖRTGENLER PRİZMASI. Uyarı PRİZMA. Üst taban. Ana doğru. Yanal. Yanal Alan. yüz. Yanal. TI İSİM İZM İZM irbirine paralel iki düzlem içinde yer alan iki eş çokgensel bölgenin tüm noktalarının karşılıklı olarak birleştirilmesiyle elde edilen cisme İZM denir. İ İZMIN N V HİMİ Tüm dik rizmalarda

Detaylı

9. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

9. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 9. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ Nokta: Herhangi bir büyüklüğü olmayan ve yer belirten geometrik terimdir.

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar 1. Kazanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği.

Detaylı

GEOMETRİ KPSS 2019 VİDEO DESTEKLİ KONU ANLATIMLI GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR PRATİK BİLGİLER SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VE AÇIKLAMALARI SORU

GEOMETRİ KPSS 2019 VİDEO DESTEKLİ KONU ANLATIMLI GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR PRATİK BİLGİLER SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VE AÇIKLAMALARI SORU KPSS 2019 120 soruda 86 SRU VİDE DESTEKLİ GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR GEMETRİ KNU NLTIMLI PRTİK İLGİLER SINVLR EN YKIN ÖZGÜN SRULR VE ÇIKLMLRI Komisyon KPSS Geometri Konu nlatımlı ISN 978-605-241-274-9

Detaylı

VEKTÖRLER. 1. Skaler Büyüklükler

VEKTÖRLER. 1. Skaler Büyüklükler VEKTÖRLER Fizikte bazı büyüklükler sayılarla ifade edilebildiği halde, bazılarının ifade edilebilmesinde sayılar yeterli olmamaktadır. Sayılarla birlikte yönün de belirtilmesi gerekir. Bu nedenle fizikte

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI

Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI FOTOGRAMETRİ I GEOMETRİK ve MATEMATİK TEMELLER Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/

Detaylı

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR 7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız

Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI

5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI 5. ÜNİTE ÇILR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULMLRI açılar KONULR 1. çı, çı Türleri ve Mesleki Uygulamaları 2. Tümler ve ütünler çılar ÜÇGENLER 1. Üçgene it Temel ilgiler 2. Üçgen Türleri 3. Üçgenin Yardımcı

Detaylı

4 BÖLÜNEBÝLME KURALLARI ve BÖLME ÝÞLEMÝ

4 BÖLÜNEBÝLME KURALLARI ve BÖLME ÝÞLEMÝ ÖLÜNÝLM KURLLRI ve ÖLM ÝÞLMÝ YGS MTMTÝK. Rakamları farklı beş basamaklı 8y doğal sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre, + y toplamı kaç farklı değer alabilir?(). ltı basamaklı y tek doğal sayısının hem

Detaylı

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21 00 ÖSS Soruları,, 0,0. + + 0, 0, 0,00 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 7 ) 9 ) ). ( y )( + y+ y ) ( y) c + m y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y y + y ) ) + y y. (0,

Detaylı

Öklid alıştırmaları. Mat 113, MSGSÜ. İçindekiler. 36. önermeden sonra önermeden sonra 8. Çarpma 11

Öklid alıştırmaları. Mat 113, MSGSÜ. İçindekiler. 36. önermeden sonra önermeden sonra 8. Çarpma 11 Öklid alıştırmaları Mat 113, MSSÜ 30 kim 2013 İçindekiler 1. önermeden sonra 2 5. önermeden sonra 2 6. önermeden sonra 2 7. önermeden sonra 3 8. önermeden sonra 3 9. önermeden sonra 3 10. önermeden sonra

Detaylı

TEST. Düzgün Çokgenler. 4. Bir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar 5. A B. 2. Bir dış açısı Çevresi. toplamı kaç derecedir?

TEST. Düzgün Çokgenler. 4. Bir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar 5. A B. 2. Bir dış açısı Çevresi. toplamı kaç derecedir? üzgün Çokgenler 7. Sınıf Matematik Soru ankası S 49 1. 4. ir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar toplamı kaç derecedir? ) 70 ) 900 ) 1080 ) 160 Şekilde verilen düzgün çokgenine göre, I., köşesine

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI 9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler

Detaylı

ÇEMBER KARMA / TEST-1

ÇEMBER KARMA / TEST-1 ÇMR RM / S-... Verilenlere göre, m( ) ) ) 0 ) ) 0 ) Verilenlere göre, m(g ) ) ) ) 6 ) 0 ) 60 0 0 G 0 ) ) ) ) ) 8 L 0 [] [] = {} m( ) = 0 m() = 0 ve üçgenlerinin çevrel çemberi m( ) = 0 m() = 0 m() = üçgen

Detaylı

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

Page 1. İz Düşüm Çeşitleri ve Metotları

Page 1. İz Düşüm Çeşitleri ve Metotları 4. İz Düşümler TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Genel Bilgi Kullandığımız bir çok eşya ve makineyi veya bunlara ait parçaların imal edilebilmesi için şekillerini ifade eden resimlerinin

Detaylı

2000 ÖSS Soruları 2,3 0, ,1 işleminin sonucu kaçtır? 13 E) 11 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 O O 2. 3

2000 ÖSS Soruları 2,3 0, ,1 işleminin sonucu kaçtır? 13 E) 11 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 O O 2. 3 . 2, 0,2 2, + 0, işleminin sonucu 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı KM sayısı ve 5 ile kalansız bölünebiliyor. una göre, K kaç farklı değer alabilir? 2 ) 4 ) ) 2 ) ) ) 2 ) ) 4 ) 5 ) 6 2.

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

2009 ÖSS MAT 1 Soruları

2009 ÖSS MAT 1 Soruları 009 ÖSS MAT Soruları. c mc m + 6 6 A) ) C) D) 6 E) 6. c + m c m ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4 ) 6 C) 9 D) E) 8. 0, 00, 00, 0, A) 8 ) 8,9 C) 9 D) 9,9 E) 0, 6. A + = 7 + C = 9 C + D = olduğuna

Detaylı

GEOMETRİ TESTİ LYS 1 / GEOMETRİ. ABC bir eşkenar üçgen. G, ABC üçgeninin ağırlık AB = 3 CD

GEOMETRİ TESTİ LYS 1 / GEOMETRİ. ABC bir eşkenar üçgen. G, ABC üçgeninin ağırlık AB = 3 CD LYS 1 / OMTRİ OMTRİ TSTİ 1. u testte 0 soru vardır. 2. u testin cevaplanması için tavsiye olunan süre 60 dakikadır. 1.. bir eşkenar üçgen 1 4 2 5, üçgeninin ağırlık merkezi = x irim karelere bölünmüş düzlemde

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

TEKNĐK ELEMANLAR ĐÇĐN ÖKLĐT GEOMETRĐSĐNĐN ÖNEMĐ Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT IMPORTANCE OF EUCLIDEAN GEOMETRY FOR TECHNICAL STAFFS

TEKNĐK ELEMANLAR ĐÇĐN ÖKLĐT GEOMETRĐSĐNĐN ÖNEMĐ Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT IMPORTANCE OF EUCLIDEAN GEOMETRY FOR TECHNICAL STAFFS ÖZET Nasıl Bir Đnşaat Teknikeri Đstiyoruz Çalıştayı TEKNĐK ELEMANLAR ĐÇĐN ÖKLĐT GEOMETRĐSĐNĐN ÖNEMĐ Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT Kocaeli Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Harita Mühendisliği Bölümü, Kocaeli,

Detaylı

I 5. SINIF ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM I- 01 I- 02 II- 01 II- 02 II- 03

I 5. SINIF ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM I- 01 I- 02 II- 01 II- 02 II- 03 I 5. SINIF MATEMATİK VE İŞLEMLER 1.1. En çok dokuz basamaklı doğal sayıları okur ve yazar. 1.2. En çok dokuz basamaklı doğal sayıların bölüklerini, basamaklarını ve rakamların basamak değerlerini belirtir.

Detaylı

FRAKTAL VE TARİHÇESİ. Benoit Mandelbrot

FRAKTAL VE TARİHÇESİ. Benoit Mandelbrot FRAKTAL VE TARİHÇESİ Matematiksel gerçeklerin niteliğinde var olan kesinliğin özetinde aksiyomatik yapılar vardır. Öklid geometrisi, matematik tarihinde bunun önde gelen örneğidir. Matematiksel doğruların,

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

V =, (V = hacim, m = kütle, d = özkütle) Bu bağıntı V = olarak da yazılabilir G: ağırlık (yerçekimi kuvveti) G = mg p = özgül ağırlık p = dg dir.

V =, (V = hacim, m = kütle, d = özkütle) Bu bağıntı V = olarak da yazılabilir G: ağırlık (yerçekimi kuvveti) G = mg p = özgül ağırlık p = dg dir. Geometrik Cisimlerin Hacimleri Uzayda yer kaplayan (üç boyutlu) nesnelere cisim denir. Düzgün geometrik cisimlerin hacimleri bağıntılar yardımıyla bulunur. Eğer cisim düzgün değilse cismin hacmi cismin

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Geometri Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 45 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde yer

Detaylı