l 2 l 3 Yukarıdaki resimlerde görülen yapıların bazı kenarlarını taşıyan ışınlar çizilmiştir Hangi resimdeki d 1

Transkript

1 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ İZMRİK V RGRİK ÇİZİMLR 1.Resim l l 3 l 1 d 1 l 4 d 1 d l 1 l d d 3 d 3 l3 d 4 l 4.Resim d 1 d l 1 d 3 l d 4 l 3 3.Resim l 4 Yukarıdaki resimlerde görülen yapıların bazı kenarlarını taşıyan ışınlar çizilmiştir Hangi resimdeki d 1, d, d 3 ve d 4 ışınları kesişmez? Hangi resimdeki d 1, d, d 3 ve d 4 ışınları kesişir gibi görünürler? ynı soruları l 1, l, l 3 ve l 4 ışınları için cevaplayınız. Işınların paralel olmasının veya kesişir gibi görünmesinin resme nasıl bir katkı sağladığını tartışınız. Yapıların veya 3 boyutlu cisimlerin kâğıt üzerindeki çizimlerinde, kenarlarını taşıyan ışınlar daima paralel görünüyorsa bu çizime izometrik çizim, kesişir gibi görünüyorsa bu çizime perspektif çizim adı verilir. İzometrik çizimde perspektif dikkate alınmaz. Çizim bir bütün olarak izometrik kâğıtlar kullanılarak yapılır. 111

2 3. ÜNİ 5. ÜNİ ÖRNK şağıda verilen yapıyı ve yanda verilen izometrik çizimini inceleyelim İzometrik çizimde perspektif olmadığını görebiliriz. Gökyüzündeki bulutu ve yeryüzündeki gölgesini inceleyiniz. Gölgenin görünümünü bulutun görünümüyle karşılaştırınız. 1 Yanda birim küplerden yapılmış L harfi ne benzeyen yapıyı inceleyelim. u yapıya önden baktığınızda gördüğünüz çokgeni çiziniz. ynı çalışmayı sol yandan ve üstten bakarak yapınız. ulduğunuz sonuçları aşağıdaki şekillerle karşılaştırınız. 11

3 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ Önden görünüm Sol yandan görünüm Üstten görünüm u cismin sağ yandan görünümünün nasıl olacağını tartışınız. Üç boyutlu yapılara tek bir yönden bakarak görünümlerin iki boyutlu çizilmesine dik görüntü (ortografi k) çizimi denir. u çizimde yapının iki boyutlu görüntüsüne ortografi k izdüşüm adı verilir. İzdüşüm çiziminde farklı düzlemler düz bir çizgi ile gösterilir. Görünmeyen farklı düzlemler ise kesik bir çizgi ile gösterilir. Yandaki yapının önden, üstten ve sağ yandan ortografi k izdüşümlerini çizelim. ÇÖZÜM: Yapının önden, üstten ve sağ yandan görünümleri aşağıdaki gibidir. Önden Görünüm Üstten Görünüm Sağ Yandan Görünüm 113

4 3. ÜNİ 5. ÜNİ Yanda izometrik çizimi verilen şeklin ortografi k çizimini yapalım. ÇÖZÜM: Verilen izometrik çizimin ortografi k çizimi sağdaki gibidir. Önden Sağ yandan Üstten görünüm görünüm görünüm Yanda ortografi k çizimi verilen yapının izometrik çizimini yapalım. Önden Sağ yandan Üstten görünüm görünüm görünüm ÇÖZÜM: 114

5 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ Yanda ortografi k olarak üstten, önden ve sağdan görünümleri verilen yapının izometrik çizimini yapalım. Üstten Önden Sağdan Üstten Önden Sağdan ÇÖZÜM : Verilen ortografi k çizimin görünümleri sol tarafta renklendirilmiştir. una göre izometrik çizim sağ taraftaki çizim gibidir. Yandaki şekillerde verilen ölçü birimlerini karşılaştırınız. 1br 1br 1br 1br 1br 1br Yandaki şekillerin boyutlarını karşılaştırınız. Hangisinin hacim kavramı ile ilişkilendirilebileceğini tartışınız. 1 br 3 1 br 1 br Şimdi de izometrik çizimi yanda verilen eş birim küplerden oluşmuş yapının hacmini bulalım. ismin hacmi ile birim küplerin sayısını karşılaştırınız. 115

6 3. ÜNİ 5. ÜNİ İzometrik çizimleri verilen yapıların hacminin hesaplanmasında, her bir katta bulunan birim küplerin sayıları bulunur. ulunan birim küp sayıları toplanarak yapının hacmi hesaplanır. Yanda izometrik çizimi verilen birim küplerden oluşmuş yapının hacminin kaç br 3 olduğunu bulalım. ÇÖZÜM: Yapının; 1. katında 4 br 3,. katında br 3, 3. katında 1 br 3 vardır. hâlde yapının hacmi = 7 br 3 olarak bulunur. 1. şağıdaki yapıların izometrik çizimlerini yapınız. a) c) b) ç). İzometrik kağıda altı adet birim küp kullanarak üç farklı yapı oluşturunuz. 11

7 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ 3. şağıda izometrik çizimi verilen 1. şekildeki yapıdan hangi yapı çıkarılırsa. şekildeki yapı elde edilir? 5.,, yapılarının her birine aşağıda verilen Ç,,,, G ve Ğ yapılarından hangileri eştir? 1. Şekil. Şekil 4. şağıda izometrik çizimleri verilen yapıların belirtilen ok yönünden ortografik izdüşümlerini çiziniz. a) b) c) Ç 117

8 3. ÜNİ 5. ÜNİ. İzometrik çizimi aşağıda verilen yapının ortografi k çizimini yapınız. 7. rtografi k çizimi aşağıdaki şıklarda verilen yapıların izometrik çizimlerini yapınız. a) Üstten görünüm Önden görünüm Sağdan görünüm b) Üstten görünüm Önden görünüm G Sağdan görünüm Ğ c) Üstten görünüm Önden görünüm Sağdan görünüm 118

9 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ 8. şağıda izometrik çizimleri verilen ve yapıları kullanılarak X, Y ve Z yapılarından hangisi oluşturulur? X Y Z 9. şağıdaki her bir yapı kaç birim küpten oluşmuştur? a) b) c) ç) d) e) f) 119

10 5. ÜNİ 3. ÜNİ İK PRİZM V İK PİRMİ Yukarıdaki resimleri inceleyiniz. Resimlerdeki üç boyutlu cisimlerin ya da yapıların birbirine benzer ve farklı yanları sorgulayınız. İlköğretim bilgilerinizden bu cisimlerin hangi isimlerle anıldığını hatırlamaya çalışınız. 3 Yanda verilen kolon resmini inceleyiniz. Kolonun alt ve üst yüzeylerindeki dörtgensel bölgeleri karşılaştırınız. u yüzeylerin birbirine göre konumlarını karşılaştırınız. Kolonun yan yüzeylerini geometrik şekillerle ilişkilendiriniz. Kolunu oluşturan demirlerin uzunluklarını ve konumlarını karşılaştırınız. luşan kapalı cismin hangi geometrik yapıya dönüştüğünü söyleyiniz. 10

11 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ l d Uzayda bir düzleminde bulunan bir çokgen ( dörtgeni) ile düzleminde bulunmayan ve düzlemini kesen bir l doğrusu alalım. l doğrusuna paralel olan dörtgeninin kenarlarından birini kesen bir d doğrusu çizelim. d doğrusunu ilk konumuna paralel olarak dörtgeninin kenarları üzerinde kaydıralım. u biçimde oluşan yüzeye prizmatik yüzey, bu yüzeyin belirlediği uzay parçasına da prizmatik bölge denir. Şimdi de düzlemine paralel bir P düzlemi ile prizmatik yüzeyi kesiştirelim. l / d / / / P luşturulan ve düzlemindeki dörtgeni ile alttan / / / / dörtgeni ile üstten sınırlanan kapalı prizmatik bölgeye prizma, prizmayı sınırlayan yüzey parçalarına da prizma yüzeyi adı verilir. düzlemindeki dörtgenine prizmanın alt yüzeyi, P düzlemindeki / / / / dörtgenine prizmanın üst yüzeyi denir. yrıca d doğrusuna da bu prizmanın ana doğrusu denir. tkinlikte ele alınan masa yüzeyi ve zemindeki KLMN dikdörtgensel bölgesi ile sınırlanan prizmatik bölge prizma, zemindeki dikdörtgensel bölge ve örtülerin kapladığı yüzey prizma yüzeyi ve masa ayaklarından birini taşıyan doğru da prizmanın ana doğrusu olarak alınabilir. 11

12 3. ÜNİ 5. ÜNİ / / / / / Herhangi bir prizmanın birbirine paralel olan alt ve üst yüzeylerine tabanları, tabanların kenarlarına da taban ayrıtları denir. Yandaki prizmada, tabanlar ve / / / / dikdörtgenleridir. aban ayrıtları ise [], [], [], [], [ / / ], [ / / ], [ / / ], [ / / ] dır. abanların karşılıklı köşelerini birleştiren [ / ], [ / ], [ / ] ve [ / ] na yanal ayrıtlar, / /, / /, / / ve / / dikdörtgenlerine yanal yüzler adı verilir. İki taban arasındaki uzaklığa da / prizmanın yüksekliği denir. / / Yandaki dik prizma biçimindeki parfüm kutusunun taban ayrıtlarını, yanal yüzlerini ve yüksekliğini yazalım. ÇÖZÜM: aban ayrıtları: [], [], [], [] / / Yanal yüzleri: / / dikdörtgeni / / dikdörtgeni / / dikdörtgeni / / dikdörtgeni Yüksekliği: [ / ], [ / ], [ / ], [ / ] 1

13 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ 4 / / P P P N / M / Z / / / K / L / X / Y / N M Z K L X Y KLMN XYZ KR İKÖRGN ŞKNR ÜÇGN 1. Şekil. Şekil 3. Şekil Yukarıda 1, ve 3. şekillerdeki prizmaları inceleyelim. Prizmaların yanal ayrıtları ile taban düzlemleri arasındaki açıların ölçüsü için ne söyleyebilirsiniz? Prizmaların tabanlarındaki çokgenleri karşılaştırınız. İsimlendirme yapılırken prizmanın hangi özelliklerinin dikkate alınacağını tartışınız. Yanal ayrıtları taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma denir. Prizmalar tabanlarındaki çokgenlere göre isimlendirilir. abanları düzgün çokgen olan bir dik prizmaya düzgün prizma denir. Yanda verilen resimlerdeki prizmaları isimlendirelim ve hangilerinin düzgün prizma olduğunu söyleyelim. ÇÖZÜM: 1. şekil : üzgün altıgen dik prizma. şekil : ikdörtgen dik prizma 3. şekil: şkenar üçgen dik prizma 1 ve 3. şekillerdeki prizmaların tabanları düzgün çokgen olduğundan düzgün prizmadırlar. 13

14 3. ÜNİ 5. ÜNİ 5 Yanda inşa edilecek bir evin maketi görülmektedir. noktası ile karesel bölgesinin içinde bulunduğu düzlemin konumunu karşılaştırınız. Çatının yanal yüzlerindeki çokgenleri söyleyiniz. Çatının yüksekliğini çiziniz.,, ve nı hesaplamak için hangi yolun izleneceğini tartışınız. Çatının hangi geometrik yapıya dönüştüğünü ve isimlendirme yapılırken yapının hangi özelliklerinin dikkate alınacağını söyleyiniz. Uzayda herhangi bir düzlem ve bu düzlemde bir çokgen verilsin. Verilen düzlemin dışında sabit bir noktası alalım. noktası ile çokgenin kenarları üzerindeki her bir noktadan geçen doğruların oluşturduğu yüzeye piramidal yüzey, bu yüzeyin sınırladığı bölgeye de piramidal bölge denir. Verilen çokgenin içinde bulunduğu düzleme paralel bir düzlem ve noktası arasındaki piramidal bölgeye de piramit adı verilir. Herhangi bir piramitte, hem tepe noktasından hem de tabandaki çokgensel bölgenin ağırlık merkezinden geçen doğru, taban düzlemine dik ise bu piramide dik piramit, tabanı düzgün çokgensel bölge olan piramide de düzgün piramit denir. N M olayısıyla her düzgün piramit, dik piramittir. Piramitler de prizmalarda olduğu gibi tabanlarındaki çokgensel bölgeye göre isimlendirilir. K L Yandaki şekilde verildiği gibi tabanı KLMN karesel bölgesi ve tepe noktası olan kare dik piramitte yükseklik [] dır. 14

15 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ Yandaki şekilde kenar uzunlukları =8m ve =m olan dikdörtgensel bölgesinin ağırlık merkezine =1m olan bir direk dikilerek piramit biçiminde bir çadırda nu bulunuz. ÇÖZÜM: dikdörtgeninde, =10m = =5m dik üçgeninde, =13m bulunur. (Pisagor bağıntısı) (Pisagor bağıntısı) şağıda 1. şekilde bir kenar uzunluğu =10cm ve =1cm olan düzgün kare piramit verilmektedir. abandaki köşegen uzunluklarını = =10 cm alarak,,, nu bulunuz. 10 cm 1 cm 1.Şekil 10 cm u sonuçlara göre, dik üçgeninden =? dik üçgeninden =? dik üçgeninden =? dik üçgeninden =? ulduğunuz yanal ayrıtları karşılaştırınız. Yanal yüzlerdeki kenar uzunluklarını göz önüne alarak üçgensel bölgeleri sorgulayınız. u kez tabandaki noktasından [] na [H] dikmesini çizelim. H ve H uzunluğunu bulunuz. 1 cm 10 cm H nin yükseklik uzunluğunu bulunuz. enzer işlemleri yaparak noktasından [], [] ve [] nın orta noktalarına dikmeler çiziniz. iğer yanal yüz yükseklik uzunluklarını bulunuz. üzgün piramitlerde yanal yüzlerin özelliklerini söyleyiniz.. Şekil 15

16 3. ÜNİ 5. ÜNİ üzgün piramitlerde yanal yüzler birbirine eş ikizkenar üçgensel bölgelerden oluşur. olayısıyla bu ikizkenar üçgensel bölgelerin eş olan kenarları, piramidin yanal ayrıtlarıdır ve uzunlukları birbirine eşittir. yrıca yanal yüzlerde bulunan eş ikizkenar üçgensel bölgelerin yükseklikleri de birbirine eşit olur. şağıdaki şekillerde verilen piramitlerin hangilerinde yanal yüzlerin birbirine eş ikizkenar üçgenlerden oluştuğunu yazalım. İKÖRGN İK PİRMİ 1. Şekil İKİZKNR YMUK İK PİRMİ. Şekil ŞKNR ÜÇGN İK PİRMİ 3. Şekil İK YMUK İK PİRMİ 4. Şekil PRLLKNR İK PİRMİ 5. Şekil ÜZGN ŞGN İK PİRMİ. Şekil ÜZGÜN LIGN İK PİRMİ 7. Şekil ÇÖZÜM: 3, ve 7 şekillerdeki prizmaların tabanları düzgün çokgen olduğu için bu prizmaların tüm yanal yüzleri eş ikizkenar üçgendir. 1

17 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ 1. şağıdaki şekillerden hangileri dik prizma veya dik piramittir? Yanal yüzleri eş kareler olan üçgen dik prizma çiziniz. 3. ir prizmanın en az kaç köşesi vardır? eğişik yüzleri farklı renklerde boyanmış yukarıdaki küpün karşılıklı yüzlerindeki renkleri söyleyiniz. çınımını çiziniz. Şekildeki eşkenar üçgen dik piramidin diğer bir yüzeyi üzerine yatırılmasıyla oluşan piramit dik piramit midir? Neden? 17

18 3. ÜNİ 5. ÜNİ. şağıdaki şekilleri isimlendirerek soruları cevaplayınız. Ç G a) abanları, aynı çokgensel bölge olan şekiller hangileridir? b) Yan yüzleri dikdörtgen olan şekilller hangileridir? c) Yan yüzleri üçgen olan şekiller hangileridir? d) Yan yüzleri ikizkenar üçgen olan şekiller hangileridir? İK PRİZMLRIN V İK PİRMİLRİN YÜZY LNLRI Yandaki resimde görülen binanın duvarları sıvanacaktır. Sıvanacak bölgenin alanının nasıl hesaplanabileceğini tartışınız. 18

19 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ 7 Çay üreticisi bir fi rma elma, nane ve limon aromalı üç ürününü aşağıdaki şekillerde verilen kare, dikdörtgen ve eşkenar üçgen tabanlı prizma biçimindeki karton kutulara ambalajlayıp satışa sunmak istemektedir. / LMLI ÇY / / / M / NNLİ ÇY K / L / S / R / LİMNLU ÇY P 7 Q / M S R K L P Q Kutu ambalajı yapan fi rmaya verilen siparişlerde; Kare dik prizmanın boyutlarının = =8cm ve / =10cm, şkenar üçgen dik prizmanın boyutlarının KL = LM =cm ve KK / =10cm, ikdörtgen dik prizmanın boyutlarının PQ =8cm, QR =cm, PP / =10cm olması istenmektedir. Her bir kutu için kaç cm karton kullanılacağını bulunuz. Kare prizma biçimindeki kutunun açınımını çiziniz. / / / / / / / / / / / / / / / / / / Kare prizmanın açınımında hangi geometrik şekiller bulunur? Kare prizmanın yüzey alanını bulunuz ve kutuda kaç cm karton kullanılacağını söyleyiniz. Kare dik prizma yüzeyinin alanını veren bir bağıntı oluşturmaya çalışınız. 19

20 3. ÜNİ 5. ÜNİ şkenar üçgen, dik prizma ve dikdörtgen dik prizmanın açınımlarını çizelim. K / Q / P / K/ M / L / K / P / Q / R / S / P / K M L K P Q R S P şkenar üçgen dik prizma açınımı K Q ikdörtgen dik prizma açınımı P enzer çalışmalar yaparak eşkenar üçgen dik prizmanın ve dikdörtgen dik prizmanın yüzey alanlarını bularak kaçar cm karton gerektiğini hesaplayınız. şkenar üçgen dik prizmanın ve dikdörtgen dik prizmanın yüzey alanlarını veren birer bağıntı oluşturmaya çalışınız. 8 ir oyuncak fabrikasında tabanları paralelkenar, dik yamuk, ikizkenar dik yamuk, düzgün beşgen, düzgün altıgen olan prizmalar ve küp biçiminde oyuncaklar imal edilmektedir. u oyuncaklardan açınımı aşağıda gösterilen paralelkenar dik prizma biçimindeki oyuncağı inceleyiniz. 5cm / / / / 3cm K 7cm / 5cm 5cm / / / / / 3cm K 7cm / 8cm 8cm Paralelkenar dik prizma Paralelkenar dik prizma açınımı yuncağın yüzey alanını bulunuz. 130

21 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ Şimdi de boyutları ve açınımları verilen dik yamuk tabanlı ve ikizkenar yamuk tabanlı dik ve düzgün çokgen prizma biçimindeki diğer oyuncakları inceleyiniz ve yüzey alanlarını bulunuz. / =cm / / =4cm / / / / / =3cm / / =8cm / / ik yamuk dik prizma ik yamuk dik prizma açınımı / / / / / / / / =9cm =5cm =3cm / =8cm =5cm / / İkizkenar yamuk dik prizma İkizkenar yamuk dik prizma açınımı / / / / / / = 4 cm / = 8 cm / / / / / / / / G / / / üzgün altıgen dik prizma G üzgün altıgen dik prizma açınımı 131

22 3. ÜNİ 5. ÜNİ / / / / / = 4 cm / = 8 cm / / / / / / / / / üzgün beşgen dik prizma üzgün beşgen dik prizma açınımı / / = 4 cm / / / / / / / / / Küp Küp açınımı Her bir prizmada tabanlardaki çokgensel bölgeleri ve yanal yüzlerdeki dikdörtgensel bölgeleri kendi aralarında karşılaştırınız. Her bir prizmada tabandaki çokgenin çevre uzunluğu ve yükseklik uzunluğu ile yan yüzlerdeki dikdörtgensel bölgelerin alanları toplamını ilişkilendiriniz. ik prizmaların yüzey alanlarını veren bir genelleme yapmaya çalışınız. Son iki etkinlikte yapılan çalışmalar göz önüne alındığında dik prizmalarda yüzey alanı, birbirine eş olan alt ve üst tabandaki çokgensel bölgelerin alanları toplamı ile yan yüzlerdeki dikdörtgensel bölgelerin alanları toplamından oluşur. Yan yüzlerdeki dikdörtgensel bölgelerin alanları toplamı ise taban çevresi ile yükseklik uzunluğu çarpımına eşittir. / / / Yandaki prizmanın yüzey alanı; ( ) + Ç( ). / biçiminde ifade edilir. 13

23 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ H G ikdörtgenler prizması biçimindeki bir çikolata kutusunun kapağından, planlanan yeni tasarımı için, yanda verilen resimdeki gibi dikdörtgensel bölgesi çıkartılıyor. =1cm, H =8cm, G =8cm, =4cm ve =cm olduğuna göre kutunun yeni tasarımının yüzey alanını bulalım. ÇÖZÜM: Prizmanın yüzey alanı = ( )=7 cm dir. () =.4 = 4 cm dir. Kalan yüzey alanı = Prizma yüzey alanı - () = 7-4 = 48 cm bulunur. 5m 5m Yanda uzunlukları verilen seranın yüzeyini kaplamak için kaç m cam kullanıldığını bulalım. 8m 7m m ÇÖZÜM: am yüzey ikişer tane S 1, S, S 3 dikdörtgensel bölgeden ve ikişer tane S 4 ikizkenar üçgensel bölgeden oluşur. S 1 =.7 = 4m ise S 1 = 84m S 3 S 4 S = 7.8 = 5m ise S = 11m S 3 = 5.8 = 40m ise S 3 = 80m H S S 4 için nde [H] çizelim. S 1 H = H =3m (İkizkenar üçgen) H nde H =4m (Pisagor bağıntısı) S 4 =.4 = 1m ise S 4 =4m am yüzeyin toplam alanı= S 1 + S + S 3 + S 4 = = 300m bulunur. yrıt uzunlukları tam sayı olan ve farklı üç yüzeyinin alanları 0, 4 ve 30cm olan dikdörtgen dik prizmanın ayrıt uzunluklarını bulalım. ÇÖZÜM: yrıt uzunlukları x, y ve z olmak üzere farklı yüzeyler: x.y=0, y.z=4, x.z=30 ve x, y, z tam sayı olduğundan 5.4=0, 4.=4 ve 5.=30 dur. x=5cm, y=4cm ve z=cm bulunur. 133

24 3. ÜNİ 5. ÜNİ 9 Yukarıdaki resimde yer alan havuzun, bir kenar uzunluğu =1m ve yükseklik uzunluğu =15m olan kare piramit biçiminde çatısı vardır. u çatının yüzeyi, güneş ışığından yararlanmak için cam ile kaplanacaktır. Kaç m cam kullanılacağını bulmaya çalışalım. abanın ağırlık merkezi olan noktasından [] nın orta noktası olan H noktasına H dikmesini çizerek bu dikmenin uzunluğunu bulunuz. H dik üçgeninde H nu bulunuz. 15 ikizkenar üçgeninin yüksekliğini bulunuz. H 1 Şimdi bu kare piramidin aşağıdaki açınımını inceleyelim. 8 H

25 3. İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ Kare piramidin yüzeyi hangi geometrik şekillerden oluşmuştur? aban çevresi ile yanal yüz yükseklik uzunluğunu kullanarak ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamını bulunuz. Havuzun piramit biçimindeki çatısında kaç m cam kullanılacağını bulunuz. ik kare piramidin yüzey alanını veren bir bağıntı bulmaya çalışınız. Kare piramitte yüzey alanı, tabandaki karesel bölgenin alanı ile yan yüzlerdeki ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamına eşittir. Sözü edilen yan yüzlerdeki ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamı, taban çevresi ile yan yüz yükseklik uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir. Genel olarak, yandaki kare piramitte yüzey alanı; h h / () + Ç(). H. 1 = a + 4ah /. 1 = a + ah / H eşitliği ile verilir. N N M R L M R L H 9 K 18 Yandaki kare dik piramitte M = MN = N ve [MR]//[NL]//[] dir. =18cm ve piramidin yükseklik uzunluğu 1cm olduğuna göre piramidin yüzeyindeki yeşil şeridin alanını bulalım. ÇÖZÜM: HK dik üçgenini çizelim. KH =9cm KH dik üçgeninde, K =15cm ( )=135cm ( kare) (Pisagor bağıntısı) nde ( MR)=S (MNLR)=3S ve (NL)=5S ( )=9S dir. (enzerlik) ( )=9S S=15cm ve (MNLR)= 3.15 = 45cm dir. Yeşil şeridin toplam alanı = 4. (MNLR) = = 180cm bulunur. 135

26 3. ÜNİ 5. ÜNİ 10 Yanda tabanının bir kenar uzunluğu =1m ve yükseklik uzunluğu G =m olan eşkenar üçgen dik piramidin yüzey alanını bulmaya çalışalım. G G noktasının ağırlık merkezi olduğunu göz önünde bulundurarak G ve nu bulunuz. le aldığımız eşkenar üçgen piramidin aşağıdaki açınımını inceleyelim. G 4 4 G 4 4 Yanal yüzeyler hangi geometrik şekillerden oluşur? Piramidin yüzey alanını hesaplayınız. şkenar üçgen dik piramidin yanal yüz alanları toplamını taban çevresi ve yanal yüz yüksekliği ile ilişkilendiriniz. şkanar üçgen dik piramidin yüzey alanını veren bir bağıntı bulmaya çalışınız. G biçiminde ifade edilir. Yandaki şekilde verildiği gibi tabanı eşkenar üçgen olan dik piramidin yüzey alanı, tabandaki eşkenar üçgensel bölgenin alanı ile birbirine eş olan yan yüzlerdeki üç ikizkenar üçgensel bölgenin alanı toplanarak bulunur. Yan yüzlerdeki ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamı ise taban çevresi ile piramidin tepe noktasından yan yüzlerden birinin tabanına çizilen yan yüz yüksekliğinin çarpımına eşittir. Genel olarak, bu durum yukarıdaki şekildeki gibi bir eşkenar üçgen dik piramitin yüzey alanı, ( ) + [ Ç( ).. 1 ] 13

27 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ abanının bir kenar uzunluğu 3cm olan eşkenar üçgen dik piramidin yanal yüz yüksekliği taban düzlemi ile 0 0 lik açı yapmaktadır. u piramidin yüzey alanını hesaplayalım. ÇÖZÜM: [] [], = = 3 3cm, 3 3 G = 3 3 =9cm ve G = 1 3 = 1 3.9=3cm ( eşkenar üçgen) =cm ( G, açılarının ölçüleri 30 0, 0 0 ve 90 0 olan üçgen) Yüzey alanı; ( ) + Ç( ).. 1 = ( 3) = 81 3 cm olur Yandaki şekilde tabanın bir kenar uzunluğu =4m ve yükseklik uzunluğu =m olan düzgün altıgen dik piramidin yüzey alanını bulalım. Önce taban alanını oluşturan eşkenar üçgenlerden birinin alanını bulunuz. oplam taban alanını hesaplayınız H Yandaki nde H nu bulunuz. H dik üçgeninde H uzunluğunu bulunuz. H 137

28 3. ÜNİ 5. ÜNİ le aldığımız düzgün altıgen piramidin açınımını inceleyelim. üzgün altıgen dik piramidin yanal yüzleri hangi geometrik şekillerden oluşur? Verilen ve elde ettiğimiz uzunlukları kullanarak düzgün altıgen dik piramitte yanal yüzey alanını ve tüm yüzey alanını bulmaya çalışınız. Yanal yüz alan toplamını taban çevresi ve yanal yüz yükseklik uzunluğu ile ilişkilendiriniz. üzgün altıgen dik piramidin yüzey alanını veren bir bağıntı bulmaya çalışınız. H Yandaki şekilde verildiği gibi tabanı düzgün altıgen olan dik piramitte yüzey alanı, tabandaki düzgün altıgensel bölgenin alanı ile birbirine eş olan yan yüzlerdeki altı ikizkenar üçgensel bölgenin alanı toplanarak bulunur. Yan yüzlerdeki ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamı ise tabandaki düzgün altıgenin çevresi ile yan yüzlerdeki eş ikizkenar üçgenlerden birinin tabanına ait yükseklik uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir. Genel olarak bu durum yukarıdaki şekildeki gibi bir düzgün altıgen dik piramitte yüzey alanı; () + [ Ç(). H. 1 ] biçiminde ifade edilir. Yanda verilen düzgün altıgen dik piramitte piramidin yükseklik uzunluğu =4cm ve tabanın bir kenar uzunluğu = 3cm dir. una göre bu dik piramidin yüzey alanını bulalım. H 138

29 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ ÇÖZÜM: 3 H = = 3cm (üzgün altıgen) H = H = 3 cm ( ikizkenar üçgen ) [H] [] ve H = 3. 3 = 3 cm ( eşkenar üçgeninde yükseklik uzunluğu) [H] [] ( ikizkenar üçgen) H = + H H =5cm (H dik üçgeninde Pisagor bağıntısı) Yüzey alanı, () + Ç(). H. 1 =.( 3) = 48 3 cm bulunur. 1. şağıdaki cisimlerin açınımlarını yapmaya çalışınız. örtyüzlü Sekizyüzlü. şağıda açınımları verilen cisimlerin her biri eş şekillerden oluşmuştur. u açınımları bir kâğıda çiziniz. Çizdiğiniz açınımları çevrelerinden keserek ve çizgilerden katlayarak kapalı cisimler oluşturmaya çalışınız. nikiyüzlü açınımı Yirmiyüzlü açınımı 139

30 3. ÜNİ 5. ÜNİ 3. ş düzgün çokgenlerden oluşan, her bir köşesinde buluşan, yüzey sayısı aynı olan cisimlere düzgün çok yüzlü denir. üzgün çok yüzlülerden 1 ve. sorulardaki dörtyüzlü, küp, sekizyüzlü, onikiyüzlü ve yirmiyüzlü olan cisimlere Platonik isimler denir. una göre; a) Platonik cisimlerin her bir köşesinde buluşan yüzeylerin oluşturduğu açıların ölçüleri toplamı için ne söyleyebiliriz? b) Platonik cisimlerde her bir köşesinde buluşan yüzeylerin oluşturduğu açıların ölçüleri toplamı 30 0 olursa ne olur? 4. şağıdaki cisimlerin içbükey ya da dışbükeyliğini tartışınız. 5. Şekildeki 3x3x3 küpün yüzey alanı değişmeyecek şekilde birim küp çıkartmak istersek hangi birim küp çıkarılmalıdır?. şağıdaki şekillerin her biri, dört eşit küpten oluşmuştur. u şekillerin hangisinin yüzey alanı daha büyüktür? 7. şağıda ayrıt uzunlukları verilen cisimlerin yüzey alanlarını bulunuz

31 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ 8. 4cm 4cm Yanda tabanı verilen ve yan yüksekliği cm olan dik piramidin taban alanını, yanal alanını ve tüm alanını bulunuz. 4cm 9.aban çevresi 4br, yüksekliği 4br olan kare dik piramidin yüzey alanını bulunuz. 10. Köşegen uzunluğu 8br olan kare piramidin yan yüz yüksekliği 8 3 br ise kare piramidin yüzey alanını bulunuz. 11. yrıtlarının uzunlukları toplamı 48br, yükseklik uzunluğu taban uzunluğunun katı olan kare prizmanın yüzey alanını bulunuz. 1. abanın bir kenar uzunluğu 8cm ve yan yüzeyinin taban yüzeyi ile yaptığı açının ölçüsü 30 0 olan eşkenar üçgen dik piramidin yüzey alanını bulunuz. 13. şağıda açınımı verilen küp kapalı duruma getirildiğinde şeklinin bulunduğu kenar hangi şekil ile çakışır? 15. Yandaki şekil 4x4x4 boyutunda bir küptür. a) 4 adet yeşil küp çıkardığımızda geriye kalan cismin yüzey alanı kaç br dir? b) 4 adet mavi küp çıkarıldığında geriye kalan cismin yüzey alanı kaç br dir? c) a ve b seçeneklerinde her birinde 4 adet küp çıkarılmasına rağmen cevaplarının farklı olmasının nedenini açıklayınız. 14. ubo-ctahedron (Küp-sekizyüzlü) ayrıt uzunlukları eşit kare ve 8 eşkenar üçgenden oluşmuştur. 1. a) Şeklin açınımını yapmaya çalışınız. b) Her bir kenarı 4 cm olan küp-sekizyüzlünün yüzey alanını bulunuz. Yukarıdaki şekil 5x5x5 boyutunda bir küptür. Kırmızı çizgiler boyunca ayrılıp çıkarılan parçalardan sonra ortada kalan cismin yüzey alanı kaç br dir? 141

32 3. ÜNİ 5. ÜNİ 17. G 0. H Yukarıda açınımı verilen piramidin ayrıt uzunlukları eşittir. u piramidin tepe noktası hangi noktadadır? 18. cm cm Yukarıdaki piramitten tabanı düzgün altıgen olan şekil çıkarıldığında; a) Çıkarılan cismin açınımını, b) Geriye kalan piramidin açınımını çiziniz. cm 1. Şekilde eşkenar üçgeninin kenar orta noktalarını işaretleyiniz. rta noktaların birleşmesiyle oluşan doğrulardan katlayınız. luşan piramidin yan yüzey alanı kaç cm dir? 19. Kesit yüzeyin ikizkenar yamuk olabilmesi için üstteki piramit nasıl kesilmelidir? abanı düzgün beşgen piramit ve yan yüzlerinden biri ikizkenar üçgeni olan bir piramit oluşturulmak isteniyor. u piramidin dik piramit olmaması için diğer yan yüzlerin kenar uzunlukları için ne söylenebilir? 14

33 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ İK PRİZMLRIN V İK PİRMİLRİN HİMLRİ 1. Resim.Resim 1. resimde verilen lokum paketlerinin ve. resimde verilen peynir tenekelerinin hangi prizmalar olduklarını söyleyiniz. oş bir lokum kutusunun kaç adet lokum alacağını ya da peynir tenekesinin kaç kalıp peynir alacağını bilmek için kutu ve teneke ile ilgili hangi bilgiye ihtiyaç vardır? 1 / / / / ir şeker fabrikasında bir kenarının uzunluğu 1cm olan küp biçiminde şekerler üretilmektedir. Üretilen şekerler, taban ayrıt uzunlukları =1cm ve =7cm, yanal ayrıt uzunluğu / =4cm olan dikdörtgen dik prizma biçimindeki kutulara konularak satışa sunulacaktır. Her bir kutuya kaç adet küp şeker konulduğunu ve bir kutunun hacmini hesaplayalım. unun için şekli inceleyerek aşağıdaki soruları cevaplayınız. [] boyunca bir sırada kaç tane küp şeker vardır? [] boyunca bir sırada kaç tane küp şeker vardır? dikdörtgensel bölgesinin üzeri tamamen şekerle kaplandığında kaç adet küp şeker konulduğunu söyleyiniz. Şekerleri üst üstte dizerek kutu kaç kat şeker ile doldurulabilir? u kutuda kaç adet 1 cm 3 hacminde küp şeker olduğunu bulunuz. Kutunun taban alanı ile yükseklik uzunluğunu ilişkilendirerek dikdörtgen dik prizmanın hacmini veren bir bağıntı bulmaya çalışınız. 143

34 3. ÜNİ 5. ÜNİ / / a / b / c Herhangi bir dikdörtgen dik prizmada hacim, tabandaki dikdörtgensel bölgenin alanı ile dikdörtgen dik prizmanın yüksekliğinin çarpımına eşittir. aha genel olarak, yukarıdaki şekilde verildiği gibi a, b, c R olmak üzere taban ayrıtları a br, b br, yanal ayrıt uzunluğu c br olan dikdörtgen dik prizmanın hacmi, V=a.b.c br 3 bağıntısı ile hesaplanır. / / / / aban ayrıtları 3cm ve 4cm, yanal ayrıt uzunluğu 5cm olan dikdörtgen dik prizmaya 1cm 3 lük şekerlerden kaç tane sığdığını bulalım ÇÖZÜM: V = = 0 cm 3 kutunun hacmi olur. Öyleyse kutuya 0 adet küp şeker sığar. H G Yandaki şekilde verildiği gibi dikdörtgen dik prizma biçimindeki cam bir kapta hacminin beşte biri kadar sıvı vardır. =10cm, =1cm ve G =0cm dir. u prizma G yüzeyi üzerine yatırılıyor. u durumdaki sıvının yükseklik uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım. ÇÖZÜM : İlk durumda, V sıvı = 1 5. V prizma = = 40 cm3 olur. İkinci durumda, V sıvı = x 40 = 30. x x= cm bulunur. 144

35 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ 13 / / M / S / R / N / M / / / / / / / / / X / L / P / Q / / V / / / / / M 5 S 3 R N M X 4 L P 7 Q 7 V Şekil. Şekil 3. Şekil 4. Şekil 5. Şekil. Şekil Yukarıdaki prizmaları isimlendiriniz. u prizmaların her birini bir dikdörtgen dik prizmaya tamamlayıp tamamlayamayacağınızı ya da dikdörtgen dik prizmaya dönüştürüp dönüştüremeyeceğinizi tartışınız. uradan dik prizmaların hacim bağıntısını oluşturmaya çalışınız. / / / ik prizmalarda hacim, tabandaki çokgensel bölgenin alanı ile prizmanın yükseklik uzunluğunun çarpımına eşittir. Üçgen dik prizmanın hacmi, V = ( ). / biçiminde verilir. 145

36 3. ÜNİ 5. ÜNİ Sinem Hanım bahçesindeki ikizkenar yamuk dik prizma biçimindeki saksısının toprağını değiştirmek istiyor. eton kalınlığı 3cm olan saksıda =0cm, =50cm, =0cm ve H =30cm dir. Saksının tamamen dolması için kaç cm 3 toprak satın alacağını bulalım. H ÇÖZÜM: 3cm beton kalınlığını göz önüne alarak toprağın hacmini belirleyen prizmanın ayrıtları şöyle olur: İkizkenar yamuğun taban ayrıtları; 0.3=14cm ve 50 (.3)=44cm iken yükseklik uzunluğu da 30 3=7cm olur. Prizmanın yüksekliği ise 0 (.3)=54cm dir. V=aban alanı x yükseklik uzunluğu V= = 48 cm 3 bulunur. Marangoz urhan usta resimde görülen düzgün altıgen dik prizma biçimindeki keresteyi noktalı çizgiler boyunca keserek ortadaki parçayı kullanmak istemektedir. =15cm ve =50cm olduğuna göre kullanılacak parçanın hacmini bulalım. ÇÖZÜM: = =15 3 cm m( )= m( )= m( )= m( )=90 0 (üzgün altıgen) V kesilen =(). = = cm 3 bulunur. 14

37 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ 14 / / / / H 1 / / / / / / a a H 1 / a a / / / H H 3 a a H H3 Yukarıda verilen bir kenarı =a br olan küpün /, /, / ve / köşegenleri noktasında kesişmiştir. İnceleyiniz. luşan piramitler kullanılarak bu küpün açınımı aşağıdaki biçimde verilebilir: / / / / a / H 1 / a / H 3 a H / / a H 1 a H a H 3 a / / / a H / a / Küpün hacmi ile açınımda görülen kare dik piramitlerin hacimlerini ilişkilendiriniz. Küpün hacim bağıntısını kullanarak bir kare dik piramidin hacmini hesaplayınız. u sonucu kare piramidin yükseklik uzunluğu ve taban alanı cinsinden bulunuz. Kare dik piramidin hacmini veren bağıntıyı yazmaya çalışınız. enzer çalışmalar yaparak tabanı farklı çokgenlerden oluşan dik piramitlerin hacim bağıntılarının ne olabileceğini tartışınız. Yapılan çalışmalardan dik piramitlerde hacim, tabandaki çokgensel bölgenin alanı ile piramidin yüksekliğinin çarpılıp üçe bölünmesinden bulunur. u durumda yandaki piramidin hacmi, V = () biçiminde ifade edilir. 147

38 3. ÜNİ 5. ÜNİ Yandaki resimde görülen zeytinyağı şişeleme makinesinde kullanılan dikdörtgen dik piramit biçimindeki sıvı toplama kabında =40cm, =80cm ve =0cm dir. u kabın kaç cm 3 zeytinyağı toplayabileceğini hesaplayalım. ÇÖZÜM: V = () = = 4000 cm3 olur Şekil K 4 M. Şekil Yanda 1. şekilde eşkenar üçgen dik piramit ve. şekilde düzgün altıgen dik piramit verilmiştir. Verilen birim uzunluklara göre her iki piramidin hacimlerini bulmaya çalışalım. ÇÖZÜM: V 1 = 1 3 ( ). = = 8 3 br3 4 V = 1 3.(). KM = = 1 3 br 3 Yanda açık hâli verilen karton ambalaj kapatılarak kare dik piramit biçiminde çikolata kutusu yapılmak isteniyor. üm ayrıt uzunlukları 1cm olan piramidin kaç cm 3 çikolata alacağını bulalım. ÇÖZÜM: Yanal yüz yükseklik uzunluğu: 1 3 = 3 (şkenar üçgen) Piramit yükseklik uzunluğu: (Pisagor bağıntısı) Piramidin hacmi: V=aban lanı x Yükseklik Uzunluğu x 1 3 = = 88 cm 3 bulunur. 148

39 İK PRİZMLR V PİRMİLR 5. ÜNİ 1. şağıdaki katı cisimlerin hacimlerini hesaplayınız. H G H G aban ayrıtları 4cm ile 5cm ve hacmi 180cm 3 olan dikdörtgen dik prizmasının yanal alanı kaç cm olur? 3. ik üçgen dik prizmada dik kenarlardan biri %10 azaltılıp diğeri %5 artırılırken, prizmanın yüksekliği %10 artırılıyor. Yeni şeklin hacmi % kaç değişir? 4. aban ayrıtları tam sayı, hacmi 7cm 3, yükseklik uzunluğu cm olan kaç farklı dikdörtgen dik piramit vardır? H K L G Şekildeki ayrıt uzunluğu 10cm olan bir küpten K, L ve M noktaları içeren bir düzlem boyunca kesilerek piramit biçiminde bir parça çıkarılıyor. K =3cm, L =5cm, M =4cm ise; M a) Çıkan piramidin hacminin kaç cm 3 olduğunu bulunuz. b) Piramit çıkarıldıktan sonra kalan katı cismin hacminin kaç cm 3 olduğunu belirleyiniz.. Yükseklik uzunluğu değişmeyen tabandaki bir kenar uzunluğu bir gerçek sayıya eşit olan düzgün prizmalarda tabandaki kenar sayısı arttıkça prizmanın hacmindeki değişim için ne söylenebilir? 7. Yanda değişik iki yan yüzü verilmiş küpün 1. yüz konumundayken ok yönünde çevrildiğinde yeni durumunu çiziniz. 1. Yüz. Yüz 149

40 3. ÜNİ 5. ÜNİ ÜNİ SNU ÖLÇM SRULRI 1. üm prizma ve piramitlerde köşe sayısı K, yüzey sayısı Y ve ayrıt sayısı olmak üzere K, Y ve arasında aşağıdaki bağıntı vardır: K + Y = Yukarıda verilen açıklamaya göre aşağıdaki soruları cevaplayınız: a) Köşe sayısı 10, yüzey sayısı 7 olan bir prizmanın ayrıt sayısı kaçtır? u prizma nasıl isimlendirilir? b) abanı kare olan bir piramidin ayrıt sayısı kaçtır? c) K + Y = 0 eşitliğini sağlayan prizmanın tabanı nedir? ç) 4 köşesi olan bir prizma çizilebilir mi? d) 8 köşeli ve 8 yüzlü bir prizma da çizilebilir mi?. Şekildeki gibi boyalı ahşap bir küpte, ve noktaları bulundukları ayrıtların orta noktalarıdır.küp, bu noktaları içeren bir düzlem boyunca kesilerek piramit biçiminde bir parça çıkarılıyor. Piramit önce boyasız yüzey üzerine oturtulup yükseklik uzunluğu ölçülüyor. aha sonra boyalı yüzlerden biri üzerine oturtulup yeni yükseklik uzunluğu ölçülüyor. Hangi durumda yükseklik daha fazladır? 3. Yan yüz yükseklik uzunluğu 5, tabanının bir kenarının uzunluğu 8cm olan kare dik piramidin hacmi kaç cm 3 tür? 4. ir küpün ayrıtları iki kat artırılırsa hacmi kaç kat artar? ) ) 4 ) 7 ) ) 7 5. Kenarları tam sayı ve yüksekliği tabanının kısa kenar uzunluğunun iki katı olan dikdörtgen dik prizmada ayrıtlarının uzunlukları toplamı 7cm dir. ikdörtgen dik prizmanın hacminin en büyük değeri kaç cm 3 tür? ) 10 ) 1 ) 4 ) 3 ) 40. ir kenarı 8m ve yüksekliği 3m olan kare dik piramit biçiminde çadır için kaç m çadır bezi gereklidir? ) 0 ) 4 ) 7 ) 80 ) 9 7. Kare biçimindeki pembe renkli kâğıdın iki köşesi düzgün altıgen dik prizma biçimindeki kalemliğin iki yanal ayrıtını ortalayacak şekilde tüm yan yüzlere yerleştiriliyor. Prizmanın taban ayrıt uzunluğu 8cm, yanal ayrıt uzunluğu 1cm ise prizmanın tüm dış yüzeyinde kullanılan pembe renkli kağıdın kapladığı alan kaç cm dir? ) 19 ) 19 ) 0 ) 0 ) 1 150