Karşılaştırmalı Durağan Analiz ve Türev kavramı. 6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri

Transkript

1 Karşılaştırmalı Durağan Analiz ve Türev kavramı 6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri 1

2 Karşılaştırmalı durağan analiz 6. Karşılaştırmalı Durağanlıklar ve Türev Kavramı 6.1 doğası Karşılaştırmalı durağan analizin 6.2 Değişim oranı ve türev 6.3 Türev ve bir eğrinin eğimi 6.4 Limit Kavramı 6.5 Eşitsizlikler ve Mutlak Değer 6.6 Limit Teoremleri 6.7 Süreklilik ve bir fonksiyonun türevinin alınabilirliği 2

3 6 Karşılaştırmalı Durağan Analiz Parametreleri ya da dışsal değişkenleri değiştirdiğimizde içsel değişkenlerin değerinde ne kadar değişme olduğu. Örnekler Tek mallı piyasa modeli (P,Q ) (shock) (P 1,Q 1 ) Milli gelir modeli (Y, C ) (shock) (Y 1, C 1 ) E1 P1 E P Talep2 Talep1 Q Q1 3

4 Örnek Varsayalım ki Starbucks firması için filtre kahve talep ve arz eğrileri için denklemleri şu şekilde olsun: Q D = 1-2P+.5Y Talep Eğrisi Q S =1+3P Arz Eğrisi P:Kahvenin Fiyatı Y:Tüketicilerin Gelirleri. Q:Miktar Varsayalım ki tüketicilerin ortalama geliri 1 TL olsun. Q D = 1-2P+.5(1)= 15-2P 4

5 Çözüm Talep Arz Denge Q T 1 2P,5Y Q S 1 3P Q D Q S QD=QS 1-2P+,5Y =1+3P 9-,5 Y =5P Q S =1+3P * P*(=28) i Talep ya da Arz denkleminde yerine koyarsak 18+,1 Y ve Y =1 ise Q S =1+3(28) P * =28 olur. Q S =Q D =94 5

6 GRAFĠK ÇALIŞMASI Q D 1 2P,5Y Y 1 Q D 15 2P P: Fiyat FĠYAT P 75 Q= ĠÇĠN P=? : =15-2P P=75 P= ĠÇĠN Q=? Q=6-3()Q=15 15 Q: Miktar 6

7 GRAFĠK ÇALIŞMASI FĠYAT P ARZ Q S 1 3P ARZ EĞRĠSĠ Q= ĠÇĠN P=-33 P= ĠÇĠN Q=1 MĠKTAR Q 7

8 GRAFĠK ÇALIŞMASI FĠYAT P ARZ EĞRĠSĠ 28 TALEP EĞRĠSĠ 1 94 MĠKTAR Q 8

9 Örnek Yukarıdaki örnekte tüketicilerin ortalama gelirleri 1TL olduğu söylenmişti. Ceteris-paribus (tüketicilerin gelirleri sabitken) denge düzeyi bulunmuştu. Eğer tüketicilerin gelirleri artar ve 12 TL olursa durum ne olur? Talep Eğrisi Q D = 1-2P+.5Y Tüketici Geliri 1 TL iken: Q D = 1-2P+.5(1) Q D = 15-2P Arz Eğrisi Q S =1+3P Tüketici Geliri 12 TL iken: Q D = 1-2P+.5(12) Q D =16-2P 9

10 Çözüm Q D =Q S = 1-2P+,5Y =1+3P P=18+,1Y VE Y =12 P=18+,1(12) P* değeri talep (ya da arz) denkleminde yerine konulursa: Q=1+3(3) Q*=1 olur. P*=3 1

11 GRAFĠK ÇALIŞMASI TALEP-1 Fiyat P TALEP-2 Arz Eğrisi Miktar 11

12 GRAFĠK ÇALIŞMASI Fiyat P 3 B 28 A 94 1 Q Miktar 12

13 Örnek IS-LM modeli:milli gelir modeli: Örneğin Milli gelir denge düzeyini bulduk. Dışsal değişkenlerden bir tanesinin değeri değişirse, denge milli gelir düzeyi nasıl değişir? Denge Milli Gelir düzeyinin hesaplanması ile ilgili olarak Bkz, Cramer yöntemi. 13

14 Örnek Y=C+I +G C=a+b(Y-T) T=T +ty (a>, <b<1) (<t<1) 14

15 Örnek: Keynes Modeli 15...(1) I G C Y...(2) a bt C by...(3) T T ty,, T a G I d ve T C Y X t b b A

16 16 CRAMER KURALINI UYGULAYALIM: A T t b a b G I C A T b a G I Y 1 1 ; bt b bt a G I Y 1 bt b bt t G I b a C 1 ) )(1 ( Çözüm

17 Çözüm 1 b 1 1 I a G T t A T T T ( 1 b) at t( I G ) 1 b bt 17

18 Çözüm Y I G a bt Y 1 b bt I? 1--DIŞSAL BİR DEĞİŞKEN OLAN I DEĞİŞİRSE DENGE MİLLİ GELİR DÜZEYİ NE OLUR? C a b( I G )(1 t) 1 b bt bt C T 2-- T (Örneğin) artarsa bu artış tüketim harcamalarını nasıl etkiler? T T ( 1 b) at t( I G ) 1 b bt T b 3 Marjinal tüketim eğilimi (örneğin) artarsa, bu artış vergi gelirlerine nasıl etki eder? 18

19 Karşılaştırmalı Statik Analiz harcama Y=E E 1 B E A 45 gelir Y Y 1 19

20 6.1 Karşılaştırmalı durağan analizin doğası İlk denge durumunu varsayarak başlar ve yeni dengeyi eskisi ile karşılaştırırız Bu karşılaştırma nicel (değişimin miktarı) olabileceği gibi nitel (değişimin yönü) de olabilir Problemin özü değişim oranının bulunmasıdır Türev kavramı 2

21 6.2 Değişim Oranı ve Türev Durağan analizde elimizde bir fonksiyon vardır: y = f(x) Karşılaştırmalı durağan analizde ise aynı obje ya da manzara iki ayrı durumda (ya da zamanda) fotoğraflanmakta ve karşılaştırılmaktadır: y1 - y = f(x1) - f(x) Bu obje ya da manzaraya Y=f(x) dersek, bu manzaranın ya da objenin durumu için elimizdeki resmi y = f(x) Ve 1 durumu için elimizdeki resmi y1 = f(x1) dir. İşte karşılaştırmalı durağan analizde amaç bu değişimleri daha anlaşır yapmaktan başka bir şey değildir. 21

22 6.2 Değişim Oranı ve Türev Burada X ve Y deki değişmeler: y 1 - y = f(x 1 )- f(x )...(4) y 1 - y = y..(5) x 1 - x = x.(6) 6 Numaralı Denklemi yeniden yazacak olursak: x 1 = x+ x...(7) 4 Numaralı denkleme 5 ve 7 numaralı denklemleri entegre edersek: y 1 - y = f(x+ x )- f(x )...(8) Olur. 22

23 6.2 Değişim Oranı ve Türev 8 Numaralı denklemin her iki tarafını X e bölelim: 9 numaralı denklemin limitini alacak olursak: X (sıfıra giderek daha çok yaklaşır, ama gerçekte hiçbir zaman sıfır olmaz anlamında) sıfıra yaklaşırken f(x) fonksiyonunun değerine biz türev diyoruz. 23

24 6.2 Değişim Oranı ve Türev 24

25 ÖRNEK 25

26 ÖRNEK 26

27 ÖRNEK 27

28 6.3. TÜREV: BİR EĞRİNİN EĞİMİ Türevle ilgili altı çizilmesi gereken önemli bir nokta türev bir fonksiyondur; gerçekten de türev sözcüğü türetilmiş fonksiyon anlamında kullanılmaktadır. 28

29 6.3. TÜREV: BİR EĞRİNİN EĞİMİ TÜREV AYRICA BĠR FONKSĠYONUN BELĠRLĠ BĠR NOKTADAKĠ EĞĠMĠDĠR: 29

30 3

31 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 6.4. LİMİT KAVRAMI Bir değişken, diyelim ki x değişkeni belli bir değere yaklaşırken ( gibi) başka bir değişken y hangi değere yaklaşır Bu sorunun anlamlı olabilmesi için y, x in bir fonksiyonu olmalı Bir fonksiyonun limiti her zaman var olmayabilir. Limitin var olabilmesi için x değişkeni, x a sağdan ya da soldan yaklaşırken fonksiyonun aldığı değer aynı olmalı. 36

37 6.4. LİMİT KAVRAMI lim lim xx xx L 37

38 6.6. LİMİT TEOREMELERİ Tek fonksiyona ait Teoremler İki fonksiyonlu Durumlara İlişkin Teoremler Çok Terimli (Polinomsal) Fonksiyonların Limiteri 38

39 39

40 ÖRNEK f ( x) y lim 2x 2 6x 3? x2 lim f ( x) 2(2) 2 6.(2) 3 23 x2 4

41 41

42 42

43 43

44 44

45 45

46 6.7. Bir Fonksiyonun Türevinin Alınabilme Koşulları Bir fonksiyonun x noktasında türevinin alınabilmesi için o noktada limitinin var olması gereklidir. 46 Eğer bir fonksiyonun x=a noktasında limiti varsa o noktada türevi alınabilir. Bu da gereklidir. x x f x x f dx dy x f x ) ( ) ( lim ) ( x a f x a f x a f x a f x x ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim

47 SÜREKLİLİK Süreklilik: y=f(x) gibi bir fonksiyonun x noktasında limiti varsa ve bu f(x ) a eşit ise f(x) fonksiyonu x noktasında süreklidir. Bir fonksiyonun x noktasında sürekli olması için aşağıdaki üç şartın yerine getirilmesi gerekir: 47

48 TÜREV ALINABİLME ŞARTLARI Süreklilik türevlenebilirlik için gerekli şarttır ama yeterli değildir. Sürekli olup türevi alınamayan fonksiyonlarda vardır Bir fonksiyonun belirli bir noktada türevlenebilir olması için aşağıdaki limitin olması gerekir. Yani fonksiyon o noktada smooth geçişli olması gerekir. f f ( x x) f ( x) ( x) lim x x 48

49 49