KARŞILAŞTIRMALI DURAĞANLIK VE TÜREV

Transkript

1 KARŞILA ILAŞTIRMALI DURAĞANLIK ANLIK VE TÜREV

2 Karşılaştırmalı durağanlık, dışsal değişkenlerin ya da parametrelerin farklı değerler alması durumunda oluşabilecek farklı denge değerlerini karşılaştırılarak incelenmesini sağlar. Örneğin ulusal gelir denge düzeyi belirliyken para arzında ya da vergi oranlarındaki bir değişmenin ulusal gelir denge düzeyini nasıl yeni bir denge değerine taşıyacağına bakabiliriz. Bu şekildeki analizleri yapabilmemiz için türev, türevsel (diferansiyel) gibi konuları anlamak gerekir.

3 İlk olarak değişim oranı ve türev kavramına bakalım. 3 Bir y=f(x) fonksiyonu düşünelim. x değiştiğinde, y nin değişimini inceleyelim. x = x x x = x + x 1 1 y = f( x ) f( x ) = f( x + x) f( x ) 1 x deki bir birimlik değişime karşılık y de meydana gelen değişiklik: y = x ( + ) ( ) f x x f x x

4 Örnek 1: 4 ( ) 3 4 y = f x = x ( ) f( x ) = 3 x 4, f( x + x) = 3( x + x) 4 y f( x + x) f( x) 3( x + x) 4 3( x) + 4 = = x x x y = x 6x + 3 x x = 3, x = 4 olursa, y = 3 x olur.

5 Türev 5 x olurken, y/ x in limiti varsa, bu limit y=f(x) fonksiyonunun türevidir. y dy lim f ( x) x dx x Buna göre Örnek 1 i uygulayalım. y lim = lim ( 6x ) + 3 x = 6x x x x

6 Türev ve Bir Eğrinin E EğimiE 6 Türev ile eğrinin eğimi bağlantısını aşağıdaki şekil yardımıyla açıklayalım. Şekil 3.1, toplam maliyet maliyeti üretim miktarının bir fonksiyonu olarak göstermektedir. Marjinal maliyet, üretimdeki Q kadarlık artışın, toplam maliyette yol açtığı artıştır ( C ): MC C = Q

7 Şekil 3.1. Değişim im ve TürevT 7 C C = f( Q) C C 1 C C A B D G K Q F E H Q Q1 Q Q

8 Q olurken, C son derece küçük değerler alacaktır. Bu durumda oransal değişim, türev olarak ifade edilebilecektir. C dc MC = lim f ( Q) Q Q dq 8 Başlangıçta Q üretim miktarında toplam maliyetin C olduğunu varsayalım. Üretim miktarı Q ye çıkarsa, toplam maliyet C olur. Buna göre marjinal maliyet (ortalama marjinal maliyet) şöyle belirlenir: MC C C C = = Q Q Q

9 9 Bu oransal değişimi geometrik olarak BE nin AE ye oranı olarak gösterebiliriz. Bu, AB doğrusunun eğimidir. Q nun değişim miktarını giderek sıfıra yaklaştırırsak, C nin değişimi de giderek küçülür. Limitte bu oransal değişim, türev biçimini alır. Şekil üzerinde, A noktasında toplam maliyet fonksiyonuna teğet olan KG doğrusunun eğimi MC yi tanımlar. Yani GH nin KH ye oranı.

10 Sağdan ve Soldan Limit: 1 y q, x v x dy dx y = lim = x lim x v q Ya da daha genel olarak v N olurken, q hangi değere yaklaşır? Bu sorunun yanıtı, v nin N ye soldan ve sağdan yaklaşmasına bağlı olarak değişebilir.

11 11 v N ye soldan yaklaşırken (v N ), q L gibi sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa, L ye q nun soldan limiti denir. vn ye sağdan yaklaşırken (v N + ), ql gibi sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa, L ye q nun sağdan limiti denir. Sağdan limit ile soldan limit değerleri eşit olmayabilir. Ancak ve ancak bu iki limit sonlu bir sayıya eşitse, q nun limiti olduğunu söyleyebiliriz.

12 1 q v N v N lim =, lim q = gibi durumlarda q nun limiti yoktur ya da q sonsuz limite sahiptir deriz. Ancak bazı durumlarda v ± yaklaşımı yalnızca soldan ve sağdan olanaklı olabilir. Böyle durumlarda limitin varlığı yine sonlu sayıya yaklaşılıp yaklaşılmadığına bağlıdır.

13 13 Aşağıda yer alan dört farklı şekli, v N durumunda q nun limiti açısından inceleyelim. (a) şeklinde v N + ya da v N olurken her iki durumda da q tek bir değere, yani L ye yaklaşmaktadır. Bu durumda q bir limite sahiptir: lim q = lim q = L + v N v N

14 (b) şeklinde de durum (a) daki gibidir. Ancak (c) şeklinde vn 14 ye soldan yaklaşırken q nun limiti L 1, sağdan yaklaşırken L dir. Bu nedenle q bir limite sahip değildir. lim q = L lim q = L 1 + v N v N (d) şekli için de şunları yazabiliriz: lim q =, lim q = + v N v N lim v q = lim q = M v +

15 Şekil 3.. Limit 15 ( a) q ( b) q L L ( c) q N v ( d ) q N v L 1 L M N v N v

16 16 Şimdi limit kavramı için sistematik bir tanım verelim: v, N gibi bir sayıya yaklaşırken L nin her komşuluğu için fonksiyonun önalanında buna karşılık gelen bir N komşuluğu (v=n noktası dışında) bulunabiliyorsa ve fonksiyonun görüntüsü ( q ), bu N komşuluğundaki her v değeri için seçilen L komşuluğu içine düşüyorsa, q=f(v) fonksiyonunun limiti L dir.

17 Şekil 3.3. Limit 17 q = g( v) L+ a L L a 1 a 1 a ( N, L) b1 b N b 1 N N + b

18 18 Yukarıdaki şekil, yukarıda verdiğimiz sistematik limit tanımını görselleştirmektedir. N nin yakın komşuluklarında q nun limit değeri L, L yakın komşuluğu içine düşmektedir. Şekilde (N,L) tüm yakın komşuluklarda renkli dikdörtgen alanın içinde kalmaktadır. Bazı limit uygulamaları aşağıda verilmiştir.

19 19 q ( v + v ) 56 = lim q = ( v ) 7 v 7 ( v+ 8)( v 7) ( v 7) ( ) ( ) q = = v+ 8 lim q = lim v+ 8 = 15 v 7 v 7 q 15 q = ( v + v 56) ( v 7) 7 v

20 q q ( v ) = lim q = v v ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) v v v v = = v v ( ) = lim = lim = 1 q v v q v v v v q q = ( v ) v 1 v

21 1 q 1 1 = 5 lim q = lim 5 lim = 5 = 5 v v v v v 1 lim q = lim 5 lim = 5 = 5 v v v v q 5 v

22 Limit Teoremleri: Teorem 1: q = av+ b lim q = an + b v N q = 5v+ 7 lim q = 17 v Teorem : q = g( v) = b lim q = b v N q = 3 lim q = 3 v

23 Teorem 3: 3 q = v lim q = N v N k q = v lim q = N v N k 3 3 q = v lim q = = 8 v

24 Teorem 4: 4 q = g( v), q = h( v) 1 lim q = L, lim q = L 1 1 v N v N lim v N ( ) q ± q = L ± L 1 1 Teorem 5: lim v N ( qq ) = LL 1 1

25 Teorem 6: 5 q L = L 1 1 lim, v N q L ( + v) ( + v) 1 lim 1 1 = = v lim v ( + v) lim ( + v) v Genel Bir Polinomun (Çokterimli)( Limiti: q = g v = a + a v+ a v + + a v ( ) 1... n n lim 1... v N q = a + a N + a N + + a N n n

26 6 Bir Fonksiyonun SürekliliS rekliliği i ve Türevlenebilirliği: q=g(v) gibi bir fonksiyon v önalanındaki N gibi bir noktaya yaklaşırken bir limite sahipse ve bu limit aynı zamanda g(n) ye eşitse, bu fonksiyon N noktasında süreklidir. Örneğin aşağıdaki şekillerden (a) ve (b) N noktasında sürekli, (c) şeklinde kırmızıyla gösterilen dirsekli eğri sürekli, mavi renkli ve iki parçadan oluşan eğri de süreksizdir.

27 q Şekil 3.4. Süreklilik S ve Türevlenebilirlik q 7 N ( a) v q N ( b) v ( c) N v

28 Örneğin aşağıdaki aşağıdaki fonksiyonu süreklilik açısından inceleyelim. 8 q = g( v) = 4v v + 1 lim v N q ( v ) lim 4 v N 4N = = lim 1 N + 1 v N ( v + ) Görüldüğü gibi limit tüm sonlu sayılar için tanımlıdır. Bu nedenle fonksiyon N noktasında süreklidir.

29 Şekil 3.5. SüreklilikS 4 q 9 3 q = g( v) = 4v v v

30 x=x gibi bir noktada væ olurken q nun limiti varsa, fonksiyon 3 bu noktada türevlenebilir. Bir fonksiyonun, belirli bir noktada türevlenebilmesinin önkoşulu sürekliliktir. Ancak süreklilik, türevlenebilirlik için yeterli koşul değildir. Türevlenebilirlik sürekliliği içermekte, ancak tersi doğru değildir. Bunu aşağıdaki örnekle görelim.

31 31 y = f( x) = x + 1 Bu fonksiyon x= noktasında süreklidir, ancak türevlenebilir değildir. Süreklilik için fonksiyonun xæ için limitine bakarsak, sağdan ve soldan limitlerin eşit olduğunu, x= değerinin fonksiyonun önalanı içinde yer aldığını ve y=f()=1 olduğunu görebiliriz: ( x ) ( x ) lim + 1 = lim + 1 = 1 + x x

32 Bu fonksiyonun x= noktasında türevlenemez olduğunu şöyle gösterebiliriz: 3 lim x x x ( x ) f( x) f() lim x = x x ( x ) = lim lim = x x x x = lim( 1) = 1 f( x) f() x lim lim 1 + = = + x x x x

33 Şekil 3.5. Süreklilik S ve Türevlenebilirlik 33 y 4 3 y = x (,1) x

34 Şekil 3.6. Süreklilik S ve Türevlenebilirlik 34 y y = f( x) = x + x x

35 Türev Alma Kuralları Sabit Fonksiyon Kuralı dy d( k) y = f( x) = k = = f ( x) = dx dx. Kuvvet Fonksiyonu Kuralı n n dy d( x ) y = f( x) = x = = f ( x) = nx dx dx n 1 dy d( x ) y = f( x) = x = = f ( x) = 3x dx dx 3 3

36 3. Genelleştirilmi tirilmiş Kuvvet Fonksiyonu Kuralı 36 n n dy d( cx ) y = f( x) = cx = = f ( x) = cnx dx dx n 1 dy d(5 x ) y = f( x) = 5 x = = f ( x) = 15x dx dx 3 3 dy d( x ) y = f( x) = x = = f ( x) = 6x dx dx dy y f( x) 4 x 4 x f ( x) x dx 1 1 = = = = = = x

37 4. Toplam-Fark Kuralı 37 [ ( ) ( )] d f x g x d d = f ( x) g( x) = f ( x) g ( x) dx dx dx y = f x = x + x x+ 4 3 ( ) dy dx = d x + x x+ dx dy d d d d = x + x x+ = x + x dx dx dx dx dx

38 5. Çarpım m Kuralı 38 [ ( ) ( )] d f x g x d d = gx ( ) f( x) + f( x) gx ( ) = gxf ( ) ( x) + f( xg ) ( x) dx dx dx 3 ( ) ( ) y = f( x) = 1 x x + dy dx = 3 ( ) ( 1 + ) d x x dx d 3 ( ) ( ) 3 d 1 x x ( 1 x) ( x ) = dx dx ( )( ) 3 3(1 x) x ( 1 x) ( x) = + + ( ) = x x + x (1 ) 5 6

39 6. Bölüm B m Kuralı 39 d d g( x) f( x) f( x) g( x) d f( x) dx dx g( x) f ( x) f( x) g ( x) dx g( x) = = gx ( ) gx ( ) [ ] [ ] y = f( x) = ( 1 x) 3 ( x + ) ( 1 x) ( )( ) 3 3(1 x) x ( 1 x) ( x) 3 + dy d = = ( dx dx x ) + x + ( ) = ( ) x x x (1 ) 6 ( x + )

40 7. Zincir Kuralı 4 z = f( y), y = g( x) dz dx dz dy = = dy dx f ( y) g ( x) z = y y = x+ 3, 5 dz dy dz dx dy = 6 y, = dx ( )( ) ( ) = 6 y = 1 y = 1 x+ 5 = 4x+ 6

41 41 =, = z y y x x dz dy dy = y = x+ dx 16 17, 3 dz dx ( 16 )( ) ( 17 y x 3 17 x 3x ) ( x 3) = + =

42 8. Ters Fonksiyon Kuralı 4 y=f(x) fonksiyonu birebirse, bu fonksiyon bir ters fonksiyona sahiptir: x = f 1 ( y) Birebir özelliği yalnızca monotonik (tekdüze) fonksiyonlarda vardır. Monotonik fonksiyonlarda şu durum gözlenir: x < x f( x ) < f( x ) 1 1 Monotonik artan x < x f( x ) > f( x ) 1 1 Monotonik azalan

43 y Şekil 3.7. Monotonik Fonksiyonlar y Monotonik azalan 43 Monotonik artan x y x Monotonik Değil x

44 Marjinal Hasılat ile Fiyat-Talep Esnekliği İlişkisi 44 P = f( Q) TR = PQ = f ( Q) Q dtr dq dq MR = = f( Q) + Q f ( Q) = f( Q) + Q f ( Q) dq dq dq Q 1 MR = f( Q) 1 + f ( Q) = f( Q) 1 f( Q) ε

45 Marjinal Maliyet ve Ortalama Maliyet Fonksiyonları Arasındaki 45 İlişki TC = TC( Q), AC = TC( Q) Q ( ) d AC d TC( Q) = dq dq Q ( ) d AC TC ( Q) Q TC( Q) = dq Q ( ) d AC 1 TC( Q) = TC ( Q) dq Q Q

46 ( ) d AC dq 1 = Q ( MC( Q) AC( Q) ) 46 ( ) d AC dq = MC = AC ( ) d AC dq < MC < AC ( ) d AC dq > MC > AC

47 Şekil 3.8. AC ve MC Fonksiyonları Arasındaki İlişki 47 MC AC MC AC A ACmin Q

48 Toplam Hasılat ve Üretim Girdisi İlişkisi: 48 TR = f ( Q), Q = g( L) ( ) ( ) d TR d TR dq = dl dq dl ( ) d TR dl = f ( Q) g ( L) = ( MR)( MP ) L = MRPL

49 Kısmi TürevT 49 y = f( x, x,..., x ) 1 n y = x f( x + x, x,..., x ) f( x, x,..., x ) 1 1 n 1 x 1 1 n lim x 1 y x y x 1 1 f 1

50 Örnek : y = f( x, x ) = 3x + x x + 4x y x y f 6 x + x, f x + 8x x Örnek 3: ( )( ) y = f( x, x ) = x + 4 3x + x y x 1 y x ( ) ( ) f 3x + x + 3 x + 4 = 6x + x ( x ) f + 4

51 Şekil 3.9. Çok Seçim Değişkenli Fonksiyonların n Analizi (Örnek( ) y = f( x, x ) = 3x + x x + 4x

52 Piyasa Modeli 5 D S (, ) Q = a bp a b> (, ) Q = c+ dp c d > P a + c ad bc =, Q = b+ d b+ d P 1 = > a b+ d

53 P = a+ b + c d 53 ( ) ( ) ( ) ( ) P b+ d a+ c a+ c = = < b b+ d b+ d ( ) P 1 == > c b+ d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P b+ d a+ c a+ c = = < d b+ d b+ d ( )

54 Şekil 3.1. Talep Eğrisindeki E Hareketler 54 P P S S P1 P E 1 E P1 P D 1 D 1 D D Q Q1 Q Q Q1 Q P a > P b <

55 Şekil Arz Eğrisindeki E Hareketler 55 P P S S S 1 P P 1 E E 1 P P 1 E E 1 S 1 D D Q Q1 Q Q Q1 Q P c > P d <

56 Leontief Girdi-Çıkt ktı Modeline Dinamik Bakış 56 x 1 b11 b1... b1 n d1 x b 1 b... b n d = x bn1 bn... b n nn d n x 1 b11d1 + b1d b1 ndn x b 1d1 + bd b nd n = x n bn1d1 bnd... bnnd n

57 x d j k = b, j, k = 1,,3 jk 57 x x x = b11 = b1 = b13 1 d d d x x x = b1 = b = b3 1 3 d d d x x x = b31 = b3 = b d d d

58 58 b11 b1... b1 n x b1 b... b n = = d bn1 bn... b nn B

59 Jacobian Determinant 59 Bir denklem sisteminin içsel değişkenlere göre birinci sıra kısmi türevlerinin oluşturduğu sistemin determinantı, Jacobian determinanttır. Jacobian determinantı elde edebilmek için, aşağıdaki gibi çok seçim değişkenli bir modeli dikkate alalım. (,,..., ) y = f x x x (,,..., ) y = f x x x 1... = n n (,,..., ) n yn f x1 x xn

60 6 y y y... x x x n J ( y ) 1, y,..., yn ( x, x,..., x ) 1 n y y y... x x x n y y y... x x x n n n 1 n

61 Örnek 4: 61 ( ) y = f x, x = x + 3x ( ) y = f x, x = 4x + 1x x + 9x y x y = = 3 x y x y = 8x + 1x = 1x + 18x x

62 6 J 3 = 8x + 1x 1x + 18x = 1 1 ( ) ( ) J = 4x + 36x 4x + 36x = 1 1

63 63 Diferansiyel y = f( x) y y y = x lim ( y) lim x x = x x x dy dy = dx dy = f ( x) dx dx

64 Örnek 5: 64 y = f x = x + x ( ) dy dx = f ( x) = 6x+ 7 dy dy = dx dy = ( 6x + 7) dx dx

65 Örnek 6: Nokta Esnekliği 65 Q QQ = f( P) ε = = PP Q P Q P lim Q dq dq P 1 Q lim dp dp = Q Q P = ε = Q Q P P P P P P

66 Şekil 3.1. Talep ve Arz Nokta Esneklikleri 66 P P S D θ θ m Q θ θm Q

67 Toplam Diferansiyel 67 y = f( x, x,..., x ) 1 n y y y dy = dx + dx dx x x x 1 1 n n Örnek 7: Tasarruf Fonksiyonu S = (, ) S Y i S S ds = dy + di = SYdY + Sidi Y i

68 Örnek 8: Fayda Fonksiyonu 68 U = U( x, x,..., x ) 1 n U U U du = dx + dx dx x x x 1 1 n n du = U dx + U dx U dx = U dx 1 1 n n n i i i = 1 ( ) U = U x, x = x + 9x x + x ( 9 ) ( 9 ) du = + x dx + x + x dx 1 1

69 Örnek 9: 69 (, ) y = y x x = 1 x x + 1 x 1 x x dy = dx + dx 1 ( ) 1 ( ) x1 x x1 x + +

70 Örnek 1: 7 ( ), 9 U = U x x = x + x x + x Yukarıdaki fayda fonksiyonunda x 1 3 ten 3.1 e ve x 5 ten 5.3 e değiştiğinde, U nun bir yaklaştırımı olarak du yu bulalım. x = 3, x = 5 U = x = 3.1, x = 5.3 U = du U = =.158

71 Örnek 11: 71 Bir malın arz fonksiyonu şöyledir: 1 Q a bp R a b = + +, ( <, > ) P, ürünün fiyatı; R, yağış miktarıdır. Arzın fiyata ve yağışa göre esnekliklerini belirleyelim ve bu esnekliklerin monotonik olup olmadığını inceleyelim. QP P bp ε ( ) QP = = bp = > 1 PQ Q a+ bp + R ( 1 ) 1 QR 1 R R ε QR = = R = > 1 RQ Q a+ bp + R 1

72 7 ( + R ) bp ε 4bP a QP ε QP = = a+ bp + R P a+ bp + R 1 1 ( 1 ) ( a+ bp ) 1 1 R εqr ε QR = = a+ bp + R R 4 R a+ bp + R 1 ( 1 )

73 Şekil Fiyat-Arz Esnekliği 73 bp ε QP = a + bp + R 1 a = 1, b =

74 Şekil Yağış ğış-arz Esnekliği 74 R 1 ε QR = a bp R a = 1, b =

75 Diferansiyel Kuralları dk = ( n) n 1.. d cu = cnu du d u± v = du± dv ( ) 3. ( ) 4. d uv = vdu+ udv u vdu udv d = v v 5.

76 Örnek 1: 76 y = 3x + x x 1 1 y y ( dy = dx + dx = 6x + x ) dx + ( x x ) dx x x ( ) ( ) ( 3 3 ) dy = d x + x x = d x + d x x ( ) ( ) ( 6x dx x d x x d x ) = ( 6 ) ( ) = x + x dx + x x dx 1 1 1

77 Örnek 13: 77 y = x + x 1 x1 ( x x ) y y + 1 dy = dx + dx = dx + dx x x x x dy x + x = d = ( ) ( ) ( ) ( x d x + x + x + x d x ) ( ) x 1 x1 ( )( ) ( ) ( ) x dx + dx + x + x 4x dx x + x 1 = = ( ) dx 3 1 dx x x 1 x1 1

78 Toplam TürevT 78 (, ), ( ) y = f x w x = g w dy y dx y dy dx = + = f + x dw x dw w dw dw f w f g y x w f

79 Örnek 14: 79 ( ) ( ) y = f x w = x w x = g w = w + w+, 3, 4 dy y dx y = + dw x dw w y y dx = 3, = w, = 4w+ 1 x w dw dy dw ( )( ) ( ) = 3 4w+ 1 + w = 1w+ 3

80 Toplam Türev T (Daha Çok Değişken) 8 ( ) ( ) y = f x, x, w, x = g w, x = h( w) 1 1 dy y dx y dx y dy dx dx = + + = f + f + f dw x dw x dw w dw dw dw w y f f x1 h g w x f

81 Örnek 15: 81 ( ) Q = Q K, L = 5KL K L ( ) ( ) K = g t =.3 t, L= h t =.t dq Q dk Q dl = + dt K dt L dt Q Q dk dl = 5L K, = 5L 4 L, =.3, =. K L dt dt dq dt dq = ( 5L K)(.3) + ( 5L 4L)(.) =.66t dt

82 8 (,, ) = = + + W W x y u ax bxy cu (, ), ( ) x = x u v =α u+β v y = y u =γu W W x W y W = + + u x u y u u W u ( )( ) ( )( ) = ax + by α + bx γ + c

83 83 (,, ) = = + + W W x y u ax bxy cu (, ), ( ) x = x u v = α u+β v y = y u = γu W W x W y W = + + v x v y v v W v ( ax by)( ) ( bx)( ) ( ax by) = + β + + =β +

84 Örtük k Fonksiyonlar 84 y = f( x) = 3x 4 Açık Fonksiyon y = 4 3x Örtük Fonksiyon ( ) F y, x = x + y 9= Örtük Fonksiyon y = f( x) = 9 x Açık Fonksiyon

85 Çember Denklemi: ( ) F y, x = x + y 9= y 3 y = f( x) = 9 x 3 3 x 3 y = f( x) = 9 x

86 86 F( y, x, x,..., x ) = 1 n dy dx i tanımlı ise y = f( x ), i = 1,,..., n i

87 87 F F F F dy + dx + dx dxn = y x x x 1 1 n dx, dx = dx =... = dx = 1 3 n F F F F dy + dx = dy = dx y x y x dy 1 F x F 1 = dx F y y

88 Yukarıda tanımladığımız gibi, bir örtük fonksiyonda yer alan 88 değişkenler arasında açık fonksiyonel ilişkilerin tanımlı olabilmesi için, şu iki kuralın sağlanması gerekir. Bu kurallar, örtük fonksiyon kuralı olarak ifade edilmektedir: 1. F fonksiyonunun tüm kısmi türevleri sürekli olmalıdır.. F y, ( y,x 1,x,, x n ) noktasında sıfır olmamalıdır.

89 Yukarıda verdiğimiz örtük fonksiyon kuralını, daha önce gösterdiğimiz çember denklemine uygulayarak, bu örtük fonksiyondan tanımlanabilecek açık fonksiyon olup olmadığını inceleyelim. İlk olarak tüm kısmi türevlerin sürekli olduklarını 89 görelim. ( ) F y, x = x + y 9= F F Fy = y, Fx = x y x lim F = N, lim F = N y y N x N ± ± x

90 İkinci olarak, F y nin sıfır olup olmadığına bakacağız. 9 y = F = y = y y = x = x = ± 9 3 F y y= noktasında sıfır değerini aldığından, dy/dx tanımsızdır. Yani (3,) ve (-3,) noktalarında y=f(x) fonksiyonu tanımlı değildir. Bu iki noktanın dışında örtük fonksiyon kuralı tümüyle sağlandığından, çember denkleminden iki farklı fonksiyon tanımlanmaktadır.

91 91 ( ) y = 9 x = 9 x 1 ( ) ( ) 9 x = 1 9 x ( x) =, y 1 1 dy d x dx dx y ( ) y = 9 x = 9 x dy d x ( ) ( ) 9 x = 1 9 x ( x) =, y dx dx y

92 Örnek 16: 9 ( ) F y x w = y x + w + yxw = 3 3,, 3 F + x F y x + xw 3 y x y x yw = = y 3 ( ) ( ) 3 3 1,1,1 F y, x, w y x w yxw 3 ( ) = + + = 1,1,1 Fy = 3 y x + xw = 4 3 Buna göre, (1,1,1) noktasında y=f(x,w) fonksiyonu tanımlanabilir.

93 Örtük k Fonksiyonlar: EşanlE anlı Denklemlere Genelleştirme 93 1 F ( y, y,..., y ; x, x,..., x ) = 1 n 1 n F ( y, y,..., y ; x, x,..., x ) = 1 n 1 n... n F ( y, y,..., y ; x, x,..., x ) = 1 n 1 n

94 94 (,,..., ) y = f x x x n 1 (,,..., ) y = f x x x... n J ( 1 n F, F,..., F ) ( y, y,..., y ) 1 n n 3 1 (,,..., ) y = f x x x n

95 95 J ( 1 n F, F,..., F ) ( y, y,..., y ) n 1 n F F F... y y y F F F... y y y F F F... y y y n n n 1 n n

96 96 1 F ( y, y,..., y ; x, x,..., x ) = 1 n 1 n F ( y, y,..., y ; x, x,..., x ) = 1 n 1 n... n F ( y, y,..., y ; x, x,..., x ) = 1 n 1 n Bu denklem sisteminin toplam diferansiyelini bulalım.

97 F F F F dy dy + dx dxn = y y x x 1 n 1 1 n 1 n F F F F dy dy + dx dxn = y y x x 1 n 1 1 n 1 n... F y 1 n n n n F F F dy dy + dx dxn = y x x 1 n 1 n 1 n

98 F F F F dy dyn = dx dx y1 yn x1 xn n F F F F dy dyn = dx dx y1 yn x1 xn n... n n n n F F F F dy dyn = dx dx y1 yn x1 xn n

99 dx1 dx dx3 dx n, = =... = = 99 olduğunu varsayalım. Yani x 1 dışındaki x değişkenlerini sabit kabul edelim F F F dy dy = dx y y x 1 n 1 1 n 1 F F F dy dy = dx y y x 1 n 1 1 n 1... n n n F F F dy dy = dx y y x 1 n 1 1 n 1

100 1 F dy F dy F dy F = y dx y dx y dx x n n 1 1 F dy F dy F dy F = y dx y dx y dx x 1 n n F dy F dy F dy F n n n n 1 n = y1 dx1 y dx1 yn dx1 x1

101 F F F dy1 F... y1 y y n dx x 1 1 F F F dy F... y dx 1 y y n 1 x 1 = n n n dy n F F F n F... y dx 1 y y n 1 x 1 J

102 1 dy dx dy 1 1 J 1 = J J = dy J j j dx1 J j n J =, = 1,,..., dx1 J... dy J n n = dx1 J

103 Ulusal Gelir Modeli 13 Y C I G = ( ) j ( C α β Y T = F Y, C, T ; I ), G, α, β, γ, δ = T γ δ Y = dg, di = dα= dβ= dδ = dγ =

104 14 F F F F dy + dc + dt + dg = Y C T G F F F F dy + dc + dt + dg = Y C T G F F F F dy + dc + dt + dg = Y C T G

105 15 F F F F dy dc dt dg Y C T G = F F F F dy dc dt dg Y C T G + + = F F F F dy dc dt dg Y C T G =

106 16 F dy F dc F dt F + + = Y dg C dg T dg G F dy F dc F dt F + + = Y dg C dg T dg G F dy F dc F dt F + + = Y dg C dg T dg G

107 F F F dy F dg G Y C T F F F dc F = Y C T dg G F F F 3 dt F Y C T dg G

108 F F F F = 1, = 1, =, = 1 Y C T G F F F F = β, = 1, = β, = Y C T G F F F F = δ, =, = 1, = Y C T G

109 19 dy dg dc β 1 β = dg δ 1 dt J dg

110 β dy dg J β 1 δ 1 = = = > J ( ) β 1 β δ 1

111 β β dc dg J 1 ( 1 δ) ( ) = = = > J δ β β 1 δ β 1 β δ 1

112 Piyasa Modeli 11 Q = Q = Q d s * ( * ) D D Qd = D P, Y, <, > * P Y Q s ( * ) S = S P, > * P ( ) ( ) F P, Q ; Y = D P, Y Q = 1 * * * * ( ) ( ) F P, Q ; Y = S P Q = * * * *

113 113 D Fonksiyonu * P Y S Fonksiyonu * Q

114 Şekil Gelirdeki Değişimin imin Piyasa Dengesine Etkisi 114 P S P ** P * E 1 E D 1 D * Q ** Q Q

115 F F F dq + dp + dy = Q P Y * * * * 115 F F F dq + dp + dy = Q P Y * * * * F dq F dp F + = Q dy P dy Y 1 * 1 * 1 * * F dq F dp F + = Q dy P dy Y * * * *

116 116 F Q F P 1 1 * 1 dq F dy Y * * = * F F dp F * * Q P dy Y * dq D D dy P dy 1 * Y P = S * 1 * dp

117 117 dq dy D D Y P * + + S D S J Y P * 1 P = = = > J D S D 1 * * * P P P S + 1 P * * *

118 * 1 * * * * D Y D J Y dp S D D dy J P P P S P = = = >

119 Ulusal Gelir Modeli 119 di I = I() i, I < di S S S = S( Y, i), < SY < 1, Si > Y i dm M = M( Y), < M < 1, X = X dy L L M (, ) d = L Y i, LY >, Li < Y i M S = M S

120 1 ( *) ( * *) ( * + =, + ) I i X S Y i M Y ( * *, ) LY i = M S ( ) ( ) ( ) ( ) F Y, i ; X, M = I i + X S Y, i M Y = 1 * * * * * * S ( ) ( ) F Y, i ; X, M = L Y, i M = * * * * S S

121 11 * dy F F F * * dx X Y i = F F * di F * * Y i dx X * dy SY M I S dx i 1 = * LY L i di dx

122 1 1 I S i dy dx * = Li S M I S Y i L Y L i * dy L dx L S M L I S i = > ( ) ( ) i Y Y i

123 Basit Keynesyen Modelde Denk Bütçe B Çarpanı 13 ( d) * d Y = C Y + I + G, Y = Y * T dc < C < 1, I = I, G = G d dy dc dy dc dy dy = dy + dt + di + dg d d * * d * d dy dy dy dt

124 14 dt = dg, di = * * dy = C dy C dg + dg C dy C dg ( ) * 1 = ( 1 ) dy * = dg

125 IS-LM Modelinde Denk Bütçe B Çarpanı 15 ( d) ( ) = + + = * * d * Y C Y I r G, Y Y T dc di < C < 1, I <, G = G d dy dr ( * *, ) M = L Y r L L LY >, Lr <, M = M Y r

126 16 ( ) ( ) Y = C Y T + I r + G * * * ( * *, ) M = L Y r dc dy dc dy di dy dy dt dr dg d d * * * = + * + + d d * dy dy dy dt dr L L dm = dy + dr Y r * * * *

127 17 dy = C dy C dt + I dr + dg * * * dm = L dy + L dr Y * * r dg = dt, dm dy = C dy C dg + I dr + dg * * * = LdY + Y Ldr * * r

128 18 dy = C dy C dg + I dr + dg * * * = LdY + Y Ldr * * r C dy I dr C dg ( ) * * 1 = ( 1 ) LdY Y + Ldr = * * r

129 * * dy dr dg dg ( 1 C ) I = ( 1 C ) 19 L Y dy dg dr + L = dg * * r * dy ( 1 C ) I dg ( ) 1 C * = LY Lr dr dg

130 13 ( 1 C ) * dy Lr 1 C Lr = = > dg I C L + L I ( 1 C ) L Y I L r ( ) ( 1 ) r Y ( 1 C ) ( 1 C ) * dr LY 1 C LY = = > dg I C L + L I ( 1 C ) L Y L r ( ) ( 1 ) r Y

131 Şekil IS-LM Modelinde Denk Bütçe B Çarpanı 131 r LM r r ** * E * ** E dy dg dr >, > dg * * IS IS 1 Y * Y ** Y

132 Kapalı Bir Ekonomide Kamu Harcama Çarpanı ya da AD-AS AS Modeli: * * W ( * * Y = C Y, + I Y, r ) + G * P C C < CY < 1, CW > Y ( W P) 13 I Y I I >, Ir < Y r

133 133 M = * LY r P ( * *, ) L Y L L >, Lr < Y r * ( F) dp = +, * dy * E * P P g Y Y g

134 Şekil Toplam Arz EğrisiE 134 P AS ( Klasik Durum ) AS 3 P E AS 1 Keynesyen Durum ( Sabit Fiyat ) Y F Y

135 135 ( W P) * * * * * Y Y P Y r = CY + CW + I * Y + Ir + G G P G G G 1 ( ) M P P Y r = L + L * * * * Y r P G G G P P Y = * * * * G Y G

136 136 ( W P) ( M P) W M =, = * * P P P P * * * * * Y Y W P Y r = CY + CW + I Y + Ir + G G P G G G 1 M P Y r = L + L * * * Y r P G G G P G Y G * * = g

137 137 * * * * * Y Y Y r W P CY IY Ir + CW = G G G G P G 1 L Y * * * Y r M P + Lr + = G G P G * * * Y r P g + + = G G G

138 138 * * * Y r W P 1 CY IY Ir + CW = 1 G G P G ( ) L Y * * * Y r M P + Lr + = G G P G * * * Y r P g + + = G G G

139 139 * W 1 CY I Y Y Ir C W P G 1 * M r L L = Y r P G * P g 1 G J

140 14 1 r W ( ) I C W P L r M P * Y J 1 1 = = G J 1 C I I C W P Y Y r W Y r ( ) L L M P g 1

141 141 1 ( ) I C W P r W J = L M P 1 1 r J 1 = L < r

142 14 1 Y Y r W ( ) C I I C W P J = L L M P Y r g 1 M W J = g I ( ( 1 ) ) r + LC r W + L r CY IY + LYIr < P P

143 143 * Y L G M W g I + LC + L C I + L I P P r = > ( ( 1 ) ) r r W r Y Y Y r W L g = > G M W g I ( ( 1 ) ) r + LC r W + L r CY IY + LYIr P P * Y + r P

144 Şekil AD-AS AS Modelinde Kamu Harcamalarının n Etkisi 144 P AS P P ** * * E ** E AD AD 1 Y * Y ** Y

145 Tekelci Piyasada Satış Vergisinin Etkileri 145 dp P( Q), P ( Q) < dq dc d C > > = < C( Q), C ( Q), C ( Q) dq dq ( ) ( ) ( ) π Q = P Q Q C Q tq

146 Birinci ve ikinci sıra koşulları oluşturalım: 146 π Q = QP Q + P Q C Q t = ( ) ( ) ( ) ( ) π = + + < ( Q) P ( Q) QP ( Q) P ( Q) C ( Q) Tekelci firmanın Q * denge üretimi gerçekleştirdiğini varsayarak, birinci sıra koşulu yeniden yazalım ve birinci sıra koşulu, satış vergisindeki bir değişmeyi dikkate alacak şekilde yeniden inceleyelim.

147 147 ( ) ( ( )) ( ( )) + = ( ) ( ) * * * * Q t P Q t P Q t C Q t t * * * * dq dq dq dq P ( Q) + QP ( Q) + P ( Q) C ( Q) 1= dt dt dt dt * dq 1 = < dt P Q QP Q P Q C Q ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( * ( t )) * * dp dp Q dq = = P ( Q) > < dt dt dt

148 Şekil Tekelci Piyasada Satış Vergisinin Etkileri 148 P ** P * P MC+ t MC ** E * E ** Q * Q MR D Q

149 Yukarıdaki şekil, vergi öncesi ve sonrasında tekelci firma dengesini göstermektedir. Aşağıdaki şekilde, marjinal maliyet eğrisinin eğimindeki bir artışın karşısında, tekelci piyasadaki miktar ve fiyat etkilerinin ne olacağını göstermektedir. Buna göre, marjinal maliyet eğrisinin eğimi artarsa, vergi artışı üretimin daha az düşmesine, fiyatın daha az artmasına neden olur: 3 C = > θ t P Q QP Q P Q C Q * Q Q θ ( ( ) + ( ) + ( ) ( )) 149

150 Şekil Tekelci Piyasada MC nin Eğimine Göre Satış Vergisinin Etkileri 15 P MC + t MC 1 + t MC ** P MC 1 * P *** E ** Q * Q MR D Q