İ Ç İ NDEKİ LER. Jeodezik Problemlerin Çözümünde Hesap.Makinelerinden Faydalanma Y. Müh. Nazmf YILDIZ

Transkript

1 İ Ç İ NDEKİ LER Transformasyonlar ve uygulanması ~ Y. Müh. Burhan TANSÜĞ Sayfa 3 Kadastronun Yenilenmesi Müh. Şevket ARISOY 15 Jeodezik Problemlerin Çözümünde Hesap.Makinelerinden Faydalanma Y. Müh. Nazmf YILDIZ 3 Ölçülmüş Kabul Edilen Açılarla Şartlı Dengelemeye Dair Y. Müh. Muzaffer ŞERBETÇİ 5 4 Haberler

2 HURİM VE KADASTRO MÜHENDİSLİĞİ TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası tarafından dört ayda bir Ocak, Mayıs, Eylül aylarında yayınlanır. Sahibi : Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası adma ' Başkan' M. Emin ERTÜRK -.», Çorumlu Müdür : Kadir PALA *, Yayın Kurulu. : Erkanli HÜSEYİN Erdoğan ÖRÜKLÜ Haldun ÖZEN Kadir PALA Ahmet YAŞAYAN yönetim ve Mü racaat yeri : Demirtepe - Sümer Sok. No : 12/2 Yenişehir - ANKARA Tel İ Piatı : 5 TL. Yıllık abonesi t 15 TL. Dizildiği ve Basıldığı yer : Güzel İstanbul Matbaası Ankara tlân tarifesi : Arka dış* kapak' 600 TL. On iç kapak = 500 TL... Arka iç kapak =450 TL. IS sahifeler = 400 TL. '. Yaran sahifeler = 250 TL., * 1/4 samfe ' 150 TL. Devamlı ilân verenlere % 20 indirim yapılır. H Yayınlanan bütün yazılara telif ve tercüme hakkı ödenir. % Gönderilen yazılar yayınlansın yayınlanmasın geri verilmez 0 Yazı ve ilânlardaki fikirler yazarlarına aittir. Odayı ve Dergiyi sorumlu kılmaz. 0 Çevirilerden doğacak hertürlü sorumluluk çevirene aittir. % Dergide yayınlanmak üzere gönderilen yazıların daktilo ile aeyrek satır olarak yazılması, şekillerin aydıngere çini mürekkeple çizilmesi, şekil yerlerinin belir tilmesi ve yazıların imzalanmış olarak iki nüsha gönderilmesi lâzımdır. Kısa yazılar tercih edilir..

3 Transformasyonlar ve Uygulanması Yazan : Y. Müh. Burhan TANSUĞ İ.Y.T.O. Öğretim Üyesi I Transformasyonun Genel Tarifi İ Transformasyon, koordinat değerlerinin belirli bir koordinat sisteminden diğer bir sisteme dönüşümüdür. Burada söz konusu edilen sistemler dik koordinat sistemleridir. Transformasyon, ı I Düzlem transformasyon II Uzay transformasyon olmak üzere iki şekilde ele alınabilir ve çözülebilir. Düzlem transformasyon, iki boyutlu sistemlerin; uzay transformasyon ise isminden de anlaşılacağı gibi üç boyutlu (x, y, z) sistemlerin dönüşümünde kullanılan bir metotdur. Düzlem transformasyon çözüm şekline göre; a)benzer veya Helmert transformasyonu b)afin transformasyonu c)konform transformasyon diye üçe ayrılır. Transformasyonların uygulanmasına değişik şekillerde rastlanmaktadır. Örneğin, ayni bir bölgede tesis edilmiş iki bağımsız nirengi ağının başlangıç değerlerinin ve semtlerinin farklı olması halinde sistemler arasında bir transformasyonla bütün sabit noktaların veya sınır noktalarının koordinatları ayni bir sisteme dönüştürülebilir. Bu sistemlerden biri memleket koordinat sisteminde (sağa, yukarı) olabilir. Daha sık rastlanan bir uygulama şekli de fotogrametridedir. Bilindiği gibi fotogrametride kullanılan koordinat sistemleri resim koordinatları, makina veya model koordinatları ve kolon koordinatlarıdır. Havadan alınmış bir resim çifti birinci sınıf bir kıymetlendirme aletine yerleştirilir. Ölçü markası işaretlenmiş (veya işaretlenmemiş) sınır noktalarına dikkatle oturtulur. Makina koordinatları okunur veya bir informasyon taşıyıcısına geçirilir. Elektronik bir hesap makinası yardımıyla bu değerler memleket koordinat sistemine dönüştürülür* Sonuç olarak bütün noktaların memleket koordinat değerleri elde edil-. a

4 miş olur. Kadastroda çok kullanılan ve nümerik kadastro ismi verilen bu çalışma metodu kıymetli arazilerde uygulanmakta ve ölçü hassasiyetini oldukça arttırmaktadır. Diğer bir uygulama şekli de bir stereokomparator aracılığı ile resim koordinatlarının okunması (1-2 p, m hassasiyetinde) ve bir uzay transformasyonla kolon koordinatlarına ve burdan ikinci bir uzay transformasyonla memleket koordinatlarına geçilmesidir. Pratikte değişik aşamalardan sonra ancak iterasyonlarla gerçekleştirilen ve oldukça uzun olan bu işleme analitik kıymetlendirme ismi verilmektedir. Bu yazıda uzay ve konform dönüşüm ele alınmayacak yalnız Helmert ve Afin transformasyon metotlarının çözümüne değinmekle yetinilecektir. 2 Transformasyonun matematik temelleri : > ; ıf Benzer Transformasyonlar: 1 Verilen iki koordinat sistemi x, y (örneğin makina koordinatlav ' n ) ve X/ Y (memleket koordinatları) eksenleriyle belirtelim. Sistem* ler evvelâ aynı yönlü olsunlar. (Şekil : 1) 4 Burada, C,, C 2 sistemlerin başlangıç farkları m sistemler arasındaki ölçek kat sayısı a sistemlerin dönüklüğü (semt farkı) ne tekabül etsin. Şekil 1 den faydalanarak aşağıdaki bağıntılar kolayca yazılabilir. X = d -j- m x cos a -f- m y sin a Y = C 2 -f-m y cosa m x sin«... (1)

5 m ve a bir dönüşüm için sabit kalacaklarından alınarak m cosa = a m sin«= b X = C! + ax + by Y= C 2 + ay bx... (2) yazılır. Eğer sistemler ters yönlü olsalardı, yani şekil 2 de görüldüğü gibi x ve i eksenlerinin yönleri birbirine karşıt olmasaydı (2) eşitliğinde x ve y yer değiştireceğinden, değişik kombinasyonlar için :, X = Cı + ay+bx Y = C 2 + ax^by...,... ( 3 ) * x = c ı + a y b x» * Y = C 2 + ax + by... (4) X = Q + ax by Y= C 2 + ay + bx... (5) eşitlikleri yazılabilir. (2) eşitliğinde C l7 C 2, a ve b olmak üzere dört bilinmeyen vardır. Bu demektir ki en az iki noktanın her iki sistemde de koordinatlarıyla verilmesi halinde bu iki bilinmeyenli iki denklem çözülebilir ve bilinmeyenler elde edilebilir. Fotogrametride olduğu gibi ikiden fazla koordinatlarıyla bilinen sabit noktaların mevcut olması halinde değişik sonuçlar elde edilir ki, bu bize bîr dengeleme imkânı sağlar. İlk hamlede Q ve C 2 den kurtulmak için ağırlık merkezlerine indirgenmiş koordinatlara geçelim. Ağırlık merkezine indirgenmiş koordinatları x'/ Y' ve x', y'; ağırlık merkezlerinin koordinatlarını ise x m 'Y m ve x rt 'ym '' e gösterirsek [Y] [,Xİ Y m = Xm C= n n [y] ' [x] n n yazabiliriz. Burada «n» koordinatlarıyla verilmiş sabit nokta sayısıdır. Ağırlık merkezine indirgenmiş koordinatlar, Y ', ' Y, Y Y' 2 = Y 2 Y m v ', v, v x ' 2==X2 Xm ı n = ' n»m X n : X" X"i ' ' 5

6 y'l = Yi '/m *'l = Xv-----X m y'a = ya y m x' 2 = x 2 x m.. Y n - Yn-----ym X n = X n X m hesaplanır ve teşkil edilen (2) eşitliğinde C u C 2 kaybolur ve X' = ax' + by f Y' = ay' bx'... (6) denklemleri bulunur. Hata denklemlerine geçilerek v xl =ax',+ by',-x', v y ı=.ay',-bx', Y', ' v xs = ax' 2 + by' 2 -x' 2 v y2 = a y' 2 b x' 2 Y' 2 ' * A xn = a x' n + b y'n x'n v yn = a y' n - b x' n Y' n 1 elde edilir... [v x v x ] + [v y v y ] nin minumum olabilmesi için bu ifadenin değişkenmiş gibi kabul edilen f a ve b ye göre türevlerinin sıfır olması gerekir. ' ' S S = o s s = 0 Jb cîb türevleri alındığında 2vxix', + 2vijx'j v yl y' 1 + 2v y2 y' =0 2v Jt ı/, + 2vx2y' v y1 xv 2 v y2 x' 2... =0.. (8) (7) yardımıyla (8) eşitlikleri teşkil edilir. [x' x'] a + [x' y'] b - [x' X'] + [y /] a [x' y] b - [/ Y'] = 0 [x' /] a + [y /] b [y X'] [x' y'] a + [x' x']-b + [x' Y'] =0 v e. _ E>c'X'] + [y'y'] _. [x'x'] + [/y'] ~ III [y'x'] [x'y'i II...(9) b = = - [x'x.'] + [y'y'] bulunur. ; 6 III

7 Eğer sistemler ters yönlü olsaydı _ [x' r] + [y x'] Cx'x'] + [//] [X' X'] - [y Y'] b = : [x x'] + [y y'] bulunacaktı. Son olarak...no) m = y a 2 + b 2... (11) ve '. ' " * b m sin a tga = = ,.(12), ' a m cos a * formülüyle ölçek kat sayısı ve dönüklük açısı hesaplanır-. Cı ve C 2 yi bulmak için (2) den faydalanılır. Cı = X m a x m b y m * * C 2 = Y m ay m + bx m... (13) Bu şekilde elde edilen bilinmeyenler ve (2) formülleri ile dönüştürme yapılır. Dönüştürülen yeni koordinat değerlerine X", Y" denerek, v x =X X", Vy = Y Y". hataları bulunur. En sonunda [V 2 y].+ [V 2 X ] " m 2 = : (14) 2(n 2) hakkında bilgi edi- formülüyle ortalama hata ve transformasyon sıhhati nilmiş olur. Fotdgrametrî pratiğinde çalışılan aletin makina koordinatları için kabul edilen pozitif yönlere göre kullanılacak formülleri seçmek mümkündür Afin Transformasyonu: izdüşüm geometrisinde afin izdüşüm paralel bir projeksiyonda izdüşüm düzlemlerinin paralel olmaması halidir. Ayni şekilde dönüşümü düşünülen sistemlerin bulundukları düzlemler afin iseler artık bir benzer transformasyon söz konusu olamaz. Bir üçgen ağının daha üst dereceff bir ağa bağlanması için en uygun dönüştürme afin transformasyonudur. '. 7

8 Afin transformasyonda kullanılan genel formül X = C, + a, x + b, y Y= C 2 + b2x + a 2 y...(15) dîr. Fakat biz ilerideki formül çıkarmalarında şekil benzerliği bakımından (15) yerine (5) e benzeyen bir eşitliği alacağız. X = C, + a ı x b,y Y= C 2 + b2x + a 2 y...(16) (15) ve (16) eşitliklerinde, afin durumdan dolayı a! ve a 2, bı ve b^ katsayıları farklıdırlar. Problemin çözülebilmesi ve izdüşümün tersinir olabilmesi için kolayca görüleceği gibi ** ~~J ^ 0 veya a, b 2 + a 2 b, 0 a 2 D 2» olması gerekir. (16) eşitliklerinde bilinmeyen sayısı altı tanedir. O halde çözüm için en az altı tane denkleme ihtiyaç vardır. Bu ise bir doğru üzerinde olmayan üç noktanın koordihatlarıyla verilmesi gerekir anlamına gelir. (Üçer noktası ile bilinen düzlemler) < Afin transformasyonda ölçek herbir doğrultu için ayrıdır. Doğrultunun yönü değiştikçe ölçek de değişir. Açı koruyan (konform) değildir. Açıların deformasyonu, açı kenarlarının doğrultusuna bağlıdır. Tepe noktasının konumuna bağlı değildir. Diğer taraftan afin transformasyonda, 1 Bir doğrunun izdüşümü gene bir doğrudur, 2 Paralel doğruların izdüşümleri gene paraleldir 3 Orijinal üçgenle izdüşürülen üçgenin yüzölçümleri arasındaki oran transformasyon detarmînantına eşittir 4 Armonik ve anormonîk bölüm aynen kalır Basit çözüm : Bilinmeyenlerin çözülmesi için evvela yalnız üç noktanın koordînatlanyla verildiğini varsayalım. (16) eşitliğinden faydalanarak, Xj = C, + a, x, b, y, X 2 = Q + aı x 2 b, y 2 X 3 ±= C, + a,x 3 b,y 3....;...(17) Y, = Q + b 2 x, + a 2 Yi Y 2 = Cj + b 2 x 2 -f a 2 y 2 Y 3 = C 2 + b 2 Xa + a 2 y 3 yazılır. Buradan da, 3 : '

9 $

10 10

11 ve ortalama hata için bulunur. y V X VX + VyVy (27) 2(n 3) Örnek: İ.Y.T.O. Fotogrametri Laboratuarında A 5 kıymetlendirme aletinde ayni resim çiftinde bilinen koordinat değerleri aşağıda verilen sabit noktalar yardımıyla Helmert ve Afin transformasyon hesapları ayrı ekipler tarafından yapılmış ve örnekleri ekli hesaplar sonucunda aşağıdaki ortalama hatalar elde edilmiştir. Not : Fotogrametride alınan bu örnek herhangibir keyfi sistem veya şehir sisteminin memleket nirengisine dönüşümü için düşünülebilir.), ' Verilen değerler: Resim boyutları 18x18 cm * Kamera sabitesi f = 114,06 Uçuş yüksekliği h = 2530 m Resim ölçeği 1/17000 Model ölçeği 1/5000 Resimler, oldukça düz bir arazi bahis konusu olduğundan Haliert / metoduyla cihetlendirilmiş ve resim koordinatları iki devirde ikişer defa yapılan okumaların ortalamasından alınmıştır. Transformasyon bilinmeyenlerinin hesabı dengelemeli olarak 4 nokta yardımıyla yapılmıştır. Beşinci noktası ve yeni alınan bir A, noktasının 8 koordinatları Helmert ve Afin formülleriyle, hesaplanarak kıyaslama yapılmıştır. Sabit noktaların koordinat değerleri : Nokta No. Y X h , ,25 413, , ,98 413, , ,84 412, , ,00 414, , ,86 415,41 Alette.okunan model koordinatları (Ortalama) Nokta No.. y f x^ h , ,51 414, , ,19 413, , ,37 413, , ,42 412, , ,13 414,60 A 5152, ,73 413,

12 Cetvel 1 de Helmert transformasyon (cetve! A 5 için hazırlanmıştır) işlemi yürütülmüş ve Helmert transformasyonu için ortalama hata m H rumuzuyla belirtilerek

13 _ J 4117 mn V = İ/T029 =+0,33 m bulunmuştur. 8 4 Cetvel 2 de Afin transformasyon bilinmeyenleri hesaplanmış ve ortalama, hata ITIA için Nokta Y X * A XA v y V* , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ~Â , ,18 nia V = ^/98 =+0,10 m bulunmuştur. 13

14 1942 numaralı noktanın koordinatlarında bulunan f y = 0,38 ve f x = 0,24 m lik fark sabit nokta tayinindeki tecviz sınırlarının içinde kalmaktadır, (1/5000 ölçekli kadastral - topoğrafik memleket haritaları standartları 2 Mart-17 Nisan 1962). İkinci bir ekip' tarafından ayni noktalar ve ayni modelde yapılan yeni bir ölçü ve hesapla m H = zt 0/^5 m m A = + 0,33 m bulunmuştur. %. L İ TERATÜR, İ Claus,. Z.f.V s/579 " 2 Merkel, Blass,. A.V.N JLehmaım,. Z.f.V s/ Lehmann, Z.f.V Szangoîies, K. Dre Arbeit mitdem Coordımeter. 6 Wolf, H. Ausglerehimg navh der Meth. der kleinsten Quadrate. s/442. DUYURU Odamız çalınma merkezi, satırı ahnan yeni daireye taşvnrm ttr. Her türlü yazışmaların bu adrese yapılması rica olunur. Yönetim Kurulu Yeni adresimiz :. TMM.0.B. ' Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası Demirtepe - Sümer Sök'. No : 12/2 Tel: Yenişehir - Ankara U