Sarý N.Ý., Arslan E., Geoit Yüksekliðinin ANFIS ile Adým Adým Hesaplanmasý hkm 2007/1 Sayý 96 bu elemanýn ilgili kümeye ait olma olasýlýðýnýn 0 ile 1

Transkript

1 hkm Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi 2007/1 Sayý 96 Geoit Yüksekliðinin ANFIS ile Adým Adým Hesaplanmasý Nevzat Ýhsan SARI 1, Ersoy ARSLAN 2 Özet GPS ve GLONASS gibi uydu teknolojilerinin jeodezik uygulamalarda kullanýlmaya baþlanmasýyla, yükseklik sistemleriyle uðraþan jeodeziciler için yeni bir dönem baþlamýþtýr. GPS ölçüleri ile belirlenen ve elipsoit yüksekliði olarak adlandýrýlan yükseklikler WGS84 elipsoidine göre tanýmlanýr. Oysa çoðu mühendislik çalýþmalarýnda ortometrik yükseklik olarak isimlendirilen ve geoide göre belirlenen yükseklikler kullanýlmaktadýr. GPS ile elipsoit yüksekliklerinin, ortometrik yüksekliklere göre daha kýsa zamanda ve daha ucuz elde edilmesi, lokal geoit yüksekliðinin yeterli doðrulukta belirlenmesini zorunlu kýlmaktadýr. Geoit yüksekliði, iki yükseklik arasýndaki farktýr. Eðer geoit yüksekliði yeterli doðrulukta elde edilebiliyorsa, elipsoit yüksekliklerinden ortometrik yüksekliklerin kolayca elde edilebileceði bilinmektedir. Geoit yüksekliði mevcut verilere göre farklý yöntemlerle belirlenmektedir. Günümüzde, yapay sinir aðlarý ve bulanýk mantýk gibi esnek hesaplama yöntemleri ile modellenerek belirlenmesi çalýþmalarý büyük ölçüde hýz kazanmýþtýr. Bu çalýþmada bulanýk mantýk ve modellemenin ne olduðu, genel bir bulanýk sistemin öðeleri açýklanmýþtýr. Ayrýca verilerin eðitilmesi ve doðruluðu daha yüksek sonuçlarýn elde edilmesi nedeniyle tercih edilen Uyarlanabilir Yapay Sinir Bulanýk Mantýk Çýkarým Sistemi (ANFIS - Adaptive-Network- Based Fuzzy Inference Systems,) anlatýlmýþ ve ANFIS ile geoit yüksekliðinin adým adým nasýl hesaplandýðý bir örnek çalýþma ile gösterilmiþtir. Anahtar Sözcükler Geoit yüksekliði, GPS, Bulanýk mantýk, ANFIS, Matlab Abstract Determining Geoid Height with ANFIS in Stepwise Fashion With the advent of satellite-based techniques such as GPS and GLONASS in geodetic applications, a new era has begun for geodesists dealing with height systems. Ellipsoidal height obtained from GPS is determined with respect to World Geodetic Datum 84 (WGS84) ellipsoid. However, so-called orthometric height measured from the geoid is still used in many engineering projects. The fact that ellipsoidal height can be determined cheaper and quicker with GPS than orthometric height with conventional leveling makes it necessary to determine local geoid height precisely. Geoid height is the difference between two heights values. It is well known that if geoid height is obtained precisely, orthometric height can be obtained easily from ellipsoidal height using various methods, subjected to available data. Recent studies on flexible computation approaches such as neural networks and Fuzzy logic has gained a considerable impetus in modeling geoid height. In this study, it is explained what Fuzzy logic and Fuzzy modeling are and what components a common Fuzzy model has. Furthermore, Adaptive- Network-Based Fuzzy Inference Systems (ANFIS) are detailed since it is preferred in training data and obtaining more precise results, and also a case study is given to demonstrate how ANFIS progresses to compute geoid height in a stepwise fashion. Key Words Geoid height, GPS, Fuzzy logic, ANFIS, Matlab. 1. Giriþ Geoit belirleme, yatay konumu bilinen bir noktada, geoit yüksekliðinin sayýsal veya analog olarak elde edilmesini saðlayacak biçimde verilerin modellendirilmesidir. Uydu teknolojilerinin jeodezik ve diðer mühendislik uygulamalarýnda kullanýmlarýnýn artmasý geoit belirleme çalýþmalarýnýn önemini artýrmýþtýr. Bunun nedeni uydu ölçmelerinden elde edilen yükseklikler ile fiziksel yeryüzü üzerinde ölçülen yüksekliklerin farklý yüzeylerden itibaren ölçülmelerinden kaynaklanmaktadýr. Elipsoidal yükseklik olarak adlandýrýlan ve uydu (GPS) ölçmelerinden elde edilen yükseklikler boyutlarý belirli bir ortalama yer elipsoidine göre belirlenir (SEAGER vd. 1999). Öte yandan fiziksel yeryüzü üzerinde yapýlan ölçmelerle belirlenen ortometrik yükseklikler ise geoitten itibaren ölçülür. Bu iki yüzey birbiri ile çakýþmaz ve aralarýndaki farka geoit yüksekliði (ya da ondülasyonu) denir (KOTSAKIS ve SIDERIS 1999). Elipsoidal ve ortometrik yükseklikler (h ve H) ile geoit yüksekliði arasýnda iliþki, N = h H (1) eþitliði ile ifade edilebilir (GILLILAND ve JAKSA 1994, FEATHERSTONE vd. 1998). 2. Bulanýk Mantýk Ve Bulanýk Model 1965 yýlýnda Zadeh tarafýndan ortaya atýlan bulanýk küme, mantýk ve sistem kavramlarý, bu araþtýrmacýnýn uzun yýllar boyunca kontrol alanýnda çalýþmasý ve istediði kontrolü elde edebilmesi için fazlaca doðrusal olmayan denklemlerin iþin içine girmesi, yöntemin karmaþýklaþmasý ve çözümün zorlaþmasý sonucunda ortaya çýkmýþtýr (ÞEN 2001). Bulanýk mantýk ilkelerinin klasik kümelerden temel farký, bir elemanýn herhangi bir kümeye ait olmasý konusunda verilecek yanýtýn klasik kümelerdeki gibi evet ya da hayýr gibi keskin olmayýp, 1 Arþ. Gör. Dr., Harran Üniversitesi, Müh. Fak. Jeo. ve Fot. Müh. Þanlýurfa, 2 Doç. Dr., Ý.T.Ü. Jeodezi ve Fotogrametri Müh. Maslak, Ýstanbul -31-

2 Sarý N.Ý., Arslan E., Geoit Yüksekliðinin ANFIS ile Adým Adým Hesaplanmasý hkm 2007/1 Sayý 96 bu elemanýn ilgili kümeye ait olma olasýlýðýnýn 0 ile 1 arasýnda deðerler alabilen sürekli bir üyelik fonksiyonu ile ifade edilmesidir. Herhangi bir elemanýn üyelik fonksiyonundan aldýðý deðer üyelik derecesi olarak adlandýrýlýr. Bulanýk küme teorisinde üyelik derecesinin 0 ile 1 arasýnda deðerler almasý, sözel bilgilerin, problemlerin çözümü sýrasýnda sayýsal verilerle birlikte kullanýlmasýný mümkün kýlmaktadýr. Sözel ifadelerin bulanýk modellere katýlmasý bulanýk mantýðýn diðer yöntemlerden en büyük farklýlýðýdýr. Bulanýk modeller oluþtururken deðiþik formlarda üyelik fonksiyonlarý seçilebilir. Yaygýn üyelik fonksiyonlarý olarak üçgen, yamuk, Gauss eðrisi, sigmoid fonksiyonu vb. sayýlabilir. Bulanýk sistemler genel olarak, mevcut verilerden seçilen girdi deðiþkenlerinden çýktý deðiþkenlerinin elde edilmesini saðlamak amacýyla bulanýk küme ilkelerini kullanan sistemlerdir. Bulanýk sistemlerin en büyük avantajý insan deneyimlerinin ve sözel verilerin bulanýk modele katýlmasý ile çözüme ulaþýlmasýdýr. Bulanýk model (bulanýk çýkarým sistemi), bulanýk Eðer Ýse kurallarý adý verilen bulanýk kurallara dayanan sistemlerdir. Bulanýk modelin temeli, bulanýk Eðer Ýse kurallarýndan anlaþýlacaðý üzere öncül ve soncul kýsýmlardan oluþmaktadýr. Öncül kýsýmda sonuca sebep olan giriþ deðiþkenleri ve bunlar arasýndaki mantýksal iliþkiler, soncul kýsýmda ise bu giriþ deðiþkenlerine baðlý olarak ortaya çýkan sonuç deðiþkenleri yer alýr. Genel olarak bulanýk kurallar aþaðýdaki formdadýr; Kural 1: Eðer x = A 1 ve y = B 1 Ýse z = N 1 Kural 2: Eðer x = A 2 ve y = B 2 Ýse z = N 2 Burada x ve y, öncül kýsýmdaki girdi deðiþkenlerince tanýmlanan koþullar, z ise soncul kýsýmdaki çýktý deðiþkenlerince tanýmlanan sonuçlardýr. Þekil 1 de genel bir bulanýk model sisteminin yapýsý gösterilmektedir. 1) Genel Bilgi Tabaný Birimi: Ýncelenecek olayýn etkilendiði girdi deðiþkenlerini ve bunlar hakkýndaki tüm bilgileri içerir. Genel veri tabaný denmesinin sebebi buradaki bilgilerin sayýsal ve/veya sözel olabilmesidir. 2) Bulanýklaþtýrýcý Sayýsal girdi deðerlerini sözel olarak nitelendirilmiþ bulanýk kümelerdeki üyelik derecelerine atayan bir iþlemcidir. 3) Bulanýk Kural Tabaný Birimi: Veri tabanýndaki giriþleri çýkýþ deðiþkenlerine baðlayan mantýksal EÐER ÝSE türünde yazýlabilen kurallarýn tümünü içerir. Bu kurallarýn yazýlmasýnda sadece girdi verileri ile çýktýlar arasýnda olabilecek tüm ara (bulanýk küme) baðlantýlarý düþünülür. Böylece, her bir kural girdi uzayýnýn bir parçasýný çýktý uzayýna mantýksal olarak baðlar. Ýþte bu baðlamlarýn tümü kural tabanýný oluþturur. 4) Bulanýk Çýkarým Motoru Birimi: Bulanýk kural tabanýnda giriþ ve çýkýþ bulanýk kümeleri arasýnda kurulmuþ olan iliþkilerin hepsini bir arada toplayarak sistemin bir çýkýþlý davranmasýný temin eden iþlemler topluluðunu içeren bir mekanizmadýr. Bu motor her bir kuralýn çýkarýmlarýný bir araya toplayarak tüm sistemin girdiler altýnda nasýl bir çýktý vereceðinin belirlenmesine yarar. 5) Durulaþtýrýcý :Bulanýk iþlemler sonucu elde edilen bulanýk çýkarým sonuçlarýný keskin sayýsal çýkýþ deðerlerine dönüþtürür. 6) Çýktý Birimi: Bilgi ve bulanýk kural tabanlarýnýn bulanýk çýkarým motoru vasýtasý ile etkileþimi sonunda elde edilen çýktý deðerlerinin topluluðunu belirtir. Þekil 1: Bulanýklaþtýrma durulaþtýrma birimli bulanýk sistem Bulanýk mantýk ile modellemenin tercih edilmesinin nedenleri özetlenecek olursa (MATHWORKS web p.); Bulanýk mantýðýn anlaþýlmasý kolaydýr. Bulanýk mantýðýn dayandýðý matematiksel teori basittir. Bulanýk mantýðý çekici kýlan þey yaklaþýmýnýn doðallýðý ve kompleks yada karmaþýklýktan uzak olmasýdýr. Bulanýk mantýk esnektir. Eksik yada yetersiz verilerle iþlemler yapýlabilmektedir. Bulanýk mantýk karmaþýk lineer olmayan fonksiyonlarý modelleyebilir. ANFIS gibi uyarlanabilir teknikler yardýmý ile herhangi bir girdi ve çýktý veri kümelerini eþleþtirerek bulanýk modeller oluþturulabilir. Bulanýk mantýkta uzman kiþilerin görüþ ve tecrübelerinden yararlanýlýr. Bulanýk mantýk sýradan insanlarýn günlük iþlerinde kullandýðý dili kullanýr. Bu da bulanýk mantýðýn en büyük avantajýdýr. 3. Uyarlanabilir Yapay Sinir Bulanýk Mantýk Çýkarým Sistemi (ANFIS) Ýle Geoit Yüksekliðinin Hesabý Matlab programýnýn bulanýk mantýk modulü altýnda bulunan ANFIS editorü, Takagi Sugeno yada Sugeno bulanýk mantýk yöntemine göre modelleme yapýlarak çözümler elde edilir. burada ilk önce model oluþturmak için girdi ve çýktýlar ve kullanýlacak üyelik fonksiyonu belirlenir. Böylece üyelik -32-

3 hkm 2007/1 Sayý 96 Sarý N.Ý., Arslan E., Geoit Yüksekliðinin ANFIS ile Adým Adým Hesaplanmasý fonksiyonlarý yardýmý ile girdiler bulanýklaþtýrýlýr. Sugeno tipi bulanýk modellemede çýktý üyelik fonksiyonlarý sadece lineer yada sabittir. Çýktý üyelik fonksiyonlarý sabit olduðu zaman sýfýrýncý derece, 1. derece doðru denklemi þeklinde olduðu zaman ise birinci derece Sugeno bulanýk model olarak adlandýrýlýrlar (Xzhang web p.). Bir birinci derece Sugeno bulanýk model aþaðýdaki gibi tanýmlanabilir. ANFIS yapýsýný göstermek için 2 bulanýk kurallý bir Sugeno bulanýk modelini (Þekil 2) ele alalým. Kural 1: eðer (x=a 1) ve (y=b 1) ise f 1=p 1x+q 1y+r 1 Kural 2: eðer (x=a 2) ve (y=b 2) ise f 2=p 2x+q 2y+r 2 Burada A ve B, x ve y üyelik fonksiyonlarý için tanýmlanmýþ öncül kýsýmdaki bulanýk kümeler; p, q ve r (r) ise soncul parametrelerdir. Böylece her bir kural için bir çýktý deðeri elde edilir. ANFIS yapýsý ve 5 farklý tabakada yapýlan iþlemlerle ilgili detaylar JYH- SHING (1993), AKYILMAZ vd. (2001), AKYILMAZ (2005), YILMAZ ve ARSLAN (2005) ve YILMAZ (2005) de verilmiþtir. seçilmiþtir. Ayrýca bu aralýklar Þekil 3 de gösterilmiþtir. Tablo 1:Eðitimden önceki enlem ve boylam aralýk deðerleri Enlem(B) (derece) Alt Küme Aralýk deðerleri B B B B Boylam(L) (derece) L L L L Sugeno bulanýk mantýk yönteminde çýktýlar f = px + qy + r þeklinde bir birinci derece polinom ya da f = r gibi bir sabit ile ifade edilir. 1.derece polinom (doðrusal yaklaþým) ile daha iyi sonuçlar elde edildiði yapýlan uygulamalarla doðrulanmýþtýr. Bu nedenle uygulamalarda modeller 1. derece polinom katsayýlarý ile oluþturulmuþtur. Þekil 2: Ýki girdi ve bir çýktýlý ANFIS yapýsý 4. ANFIS Ýle Geoit Yüksekliðinin Hesaplanmasý Matlab yazýlýmýnýn bulanýk mantýk modülü altýndaki ANFIS editörü kullanýlarak Sugeno yöntemi ile geoit yüksekliðinin hesaplanmasý için izlenecek yol aþaðýdaki gibidir. Ýlk önce mevcut veriler (enlem, boylam ve geoit yükseklikleri) bulanýk modeli oluþturmak ve oluþturulan modelin doðruluðunu test etmek için eðitim ve test verileri olarak iki gruba ayrýlmalýdýr. Genelde test verilerinin sayýsý eðitim verilerinin sayýsýnýn %10-15 inden daha az olmamalýdýr. Burada ÝGNA projesi kapsamýnda (AYAN vd. 1999) elde edilen toplam 200 nokta bulanýk modelin oluþturulmasýnda, 50 test noktasý ise modelin test edilmesinde kullanýlmýþtýr. Ýlk önce bulanýk model oluþturulurken enlem ve boylam deðerlerinin kaç alt bölgeye ayrýlacaðýnýn ve hangi çeþit üyelik fonksiyonunun (üçgen, yamuk, Gauss eðrisi v.b.) kullanýlacaðýnýn belirlenmesi gerekir. Burada enlem ve boylam deðerleri 4 er alt bölgeye ayrýlmýþ ve üçgen üyelik fonksiyonu kullanýlmýþtýr. Kullanýlan üçgen üyelik fonksiyonlarýnýn aralýklarý Tablo 1 deki gibi Þekil 3: Eðitimden önceki enlem ve boylam alt küme aralýklarý Enlem ve boylam deðerleri 4 er alt kümeye ayrýldýðý için toplam 4x4=16 kural elde edilir. Bu kurallar Þekil 4 de gösterilmiþtir. 16 kuraldan bazýlarý sözel olarak þöyledir: -33-

4 Sarý N.Ý., Arslan E., Geoit Yüksekliðinin ANFIS ile Adým Adým Hesaplanmasý hkm 2007/1 Sayý 96 Eðer enlem B1 ve boylam L1 ise geoit yüksekliði N1 Eðer enlem B1 ve boylam L2 ise geoit yüksekliði N2 Eðer enlem B2 ve boylam L3 ise geoit yüksekliði N7 Eðer enlem B3 ve boylam L4 ise geoit yüksekliði N12 Eðer enlem B4 ve boylam L4 ise geoit yüksekliði N16 Yazýlan her bir kurala karþý sonuç elde etmek için de bir 1. derece polinom denklemi yazýlýr. Örneðin yukarýdaki 3 numaralý kural için f 7 = p 7B +q 7L +r 7 (B enlem ve L boylam deðerlerini göstermektedir) ve 4 numaralý kural için f 12 = p 12B +q 12L +r 12 denklemi yazýlýr. Toplam 16 kuralýn her biri için p, q ve r bilinmeyenleri aþaðýdaki gibi çözülür. Ýlk önce eðitim verilerinden biri ele alýnýr ve enlem ve boylamlara karþýlýk üyelik fonksiyon deðerleri belirlenir. Bu veri hangi kuralý tetikliyorsa o kural ya da kurallarýn aðýrlýklarý (w) ve normlandýrýlmýþ aðýrlýklar w i bulunur. Son olarak normlandýrýlmýþ aðýrlýklar ile 1. derece polinom denklemi katsayýlarýnýn çarpýmlarýnýn toplamý geoit yüksekliðini vereceði için bu veriye ait 1. derece polinom katsayýlarý ile ilgili denklem elde edilir. Yukarýda anlatýlan iþlem 200 nokta ile enlem ve boylam 4 er alt bölgeye ayrýlarak oluþturulan bulanýk modelde kullanýlan 2 veri için aþaðýdaki gibi gösterilebilir. Boylam deðeri alt küme aralýlarýndan ikisine düþmektedir. Bunlar L2 ve L3 aralýklarýdýr. Boylamýn L2 ve L3 aralýklarýndaki üyelik fonksiyon deðerleri Þekil 6 daki gibi benzer üçgen formüllerinden yararlanarak Ü L2 = ve Ü L3 = bulunur. Þimdi bu noktanýn hangi kurallarý tetiklediðinin bulunmasý gerekmektedir: Enlem B2 ve boylam L2 ise geoit yüksekliði N6 Enlem B2 ve boylam L3 ise geoit yüksekliði N7. Enlem B3 ve boylam L2 ise geoit yüksekliði N10 Enlem B3 ve boylam L3 ise geoit yüksekliði N11. Yukarýdaki kurallarýn aðýrlýðý ise þöyle bulunur: N6 kuralýnýn aðýrlýðý w 6 = Ü B2*Ü L2, N7 kuralýnýn aðýrlýðý w 7 = Ü B2*Ü L3, N10 kuralýnýn aðýrlýðý w 10= Ü B3*Ü L2 ve N11 kuralýnýn aðýrlýðý ise w 11 = Ü B3*Ü L3 olduðuna göre w 6= , w 7= , w 10= ve w 11= çýkar. Bundan sonra normlandýrýlmýþ aðýrlýklar bulunmalýdýr. Bunlar, Þekil 4: Enlem ve boylamýn 4 er alt kümeye ayrýldýðý durumda oluþturulan kurallar kümesi Nokta no:15265, enlem = , boylam = ve N = m. Ýlk önce yukarýdaki noktanýn enlem ve boylamlarýna karþýlýk gelen üyelik fonksiyon deðerlerinin bulunmasý gerekir. Enlem deðeri alt küme aralýklarýndan B2 ve B3 aralýklarýna düþmektedir ve üyelik fonksiyon deðerleri Þekil 5 deki benzer üçgen formüllerinden yararlanýlarak hesaplandýðýnda Ü B2 = ve Ü B3 = bulunur. Þekil numaralý noktanýn enlem deðerinin üyelik derecesinin belirlenmesi. -34-

5 hkm 2007/1 Sayý 96 Sarý N.Ý., Arslan E., Geoit Yüksekliðinin ANFIS ile Adým Adým Hesaplanmasý Þekil numaralý noktanýn boylam deðerinin üyelik derecesinin belirlenmesi Þekil numaralý noktanýn enlem deðerinin üyelik derecesinin belirlenmesi. eþitliklerinden; w 6 = , w 7 = , w 10 = ve w 11 = çýkar. Üçgen üyelik fonksiyonlarý için eþit aralýklar öngörüldüðünden yukarýdaki w i aðýrlýklarý ayný zamanda normlandýrýlmýþ aðýrlýklardýr (Ü B2 = 1- Ü B3 ve Ü L2 = 1- Ü L3 olduðu görülmektedir). Geoit yüksekliðini bulmak için normlandýrýlmýþ aðýrlýklar ilgili kurala ait 1. derece polinom denklemleriyle çarpýlarak toplamlarý oluþturulur; geoit yüksekliði N 16458; (2) olmak üzere, (3) elde edilir. Böylece numaralý nokta 4 kuralý (N6, N7, N10 ve N11) tetiklediði için bu kurallara iliþkin (2) deki 1. derece polinom denklemleri elde edilmektedir. Benzer bir hesaplamayý enlem = , boylam = ve N= m olan noktasý için yapalým. Enlem deðeri B1 ve B2, boylam deðeri de L3 ve L4 alt bölgelerine düþmektedir. Bu noktanýn tetiklediði kurallar kümesi aþaðýdaki gibidir; Þekil numaralý noktanýn boylam deðerinin üyelik derecesinin belirlenmesi -35-

6 Sarý N.Ý., Arslan E., Geoit Yüksekliðinin ANFIS ile Adým Adým Hesaplanmasý hkm 2007/1 Sayý 96 Enlem B1 ve boylam L3 ise geoit yüksekliði N3, Enlem B1 ve boylam L4 ise geoit yüksekliði N4, Enlem B2 ve boylam L3 ise geoit yüksekliði N7, Enlem B2 ve boylam L4 ise geoit yüksekliði N8. Bu noktanýn enlem ve boylamýnýn üyelik fonksiyon deðerleri Þekil 7 ve Þekil 8 deki üçgenlerin benzerliðinden faydalanarak hesapladýðýnda Ü B1= , Ü B2 = , Ü L3 = ve Ü L4 = olarak bulunur. Her bir kuralýn aðýrlýðý w i = Ü Bi*Ü Li þeklinde hesaplanýr. Sonuçta, w 3= Ü B1* Ü L3= * = , w 4= Ü B1* Ü L4= * = , w 7= Ü B2* Ü L3= * = , w 8= Ü B2* Ü L4= * = , elde edilir. Þimdi de normlandýrýlmýþ aðýrlýklarýn bulunmasý gerekmektedir. Üçgen üyelik fonksiyonlarý için yine eþit aralýklar öngörüldüðünden yukarýdaki aðýrlýklar ayný zamanda normlandýrýlmýþ aðýrlýklardýr (w i = w i ). Geoit yüksekliðini bulmak için normlandýrýlmýþ aðýrlýklarýn ilgili kurala ait 1.derece polinom denklemleriyle çarpýmlarýnýn toplamý oluþturulmalýdýr. Yani; dir. Böylece noktasýnýn enlem ve boylam deðerleri 4 kuralý tetiklediði için bu noktada 1. derece polinom katsayýlarý ile ilgili 4 denklem elde edilmiþtir. Kalan 198 nokta için ayný iþlemler tekrarlanarak her bir noktanýn tetiklediði kurallar, kurallarýn normlandýrýlmýþ aðýrlýklarý ve kurallara iliþkin 1.derece polinom denklemleri kümesi elde edilir. Sonuçta katsayýlar matrisi A mxp(mxp; m=toplam veri sayýsý (200), p= kurallar toplamýnýn 3 katý (48), çünkü her bir kural için 3 bilinmeyen; p, q, r var), bilinmeyenler vektörü ve yalýn terimler vektörü olmak üzere A = gibi bir denklem sistemi elde edilir. Yalýn terimler vektörü her bir noktaya ait geoit yükseklik deðerlerinden oluþmaktadýr. Buradan bilinmeyenler vektörü en küçük kareler yöntemine göre çözülerek her bir kurala iliþkin doðrusal denklem katsayýlarý bulunur (HINES 1997). Bu doðrusal denklem katsayýlarý yardýmýyla oluþturulan model ile noktanýn geoit yüksekliði belirlenir. Modele göre belirlenen geoit yüksekliði ile gerçek geoit yüksekliði arasýndaki fark model hatasýdýr. Bu hata yapay sinir aðlarý ile geriye doðru daðýtýlarak alt küme aralýklarý (öncül parametreler) deðiþtirilir ve iþlem bir kez daha yapýlýr. Yineleme iþlemleri hata miktarý istenen bir sýnýr deðerinden küçük kalýncaya dek sürdürülür. Sonuçta alt küme aralýklarý baþlangýçtakine göre (4) (5) biraz deðiþir ve her bir kural için (o kuralýn geçerli olduðu bölgede yeterli sayýda veri varsa) 1. derece polinom katsayýlarý elde edilir. 200 noktanýn enlem ve boylam deðerlerinin 4 er alt kümeye ayrýldýðý durumda veriler eðitildikten sonraki alt küme aralýklarý Tablo 2 de verilmiþ ve Þekil 9 da gösterilmiþtir. Tablo 2: Eðitimden sonraki enlem ve boylam aralýk deðerleri Enlem(B) (derece) Alt Küme Aralýk deðerleri B B B B Boylam(L) (derece) L L L L kural için bulunmuþ olan 1. derece polinom katsayýlarý Tablo 3 de verilmiþtir. Tablo 2 de verilen alt küme aralýklarý ve Tablo 3 de gösterilen 1. derece polinom katsayýlarý yardýmýyla bir model ve bir test noktasýnýn geoit yüksekliklerinin nasýl hesaplanacaðý aþaðýda (Tablo 4) açýklanmaktadýr. Ýlk önce noktasýnýn enlem ve boylamýnýn üyelik fonksiyon deðerleri Ü B2= , Ü B3= , Ü L1= ve Ü L2= bulunur. Bu noktanýn tetiklediði kurallar ve Tablo 3 e göre 1. derece polinom katsayýlarý aþaðýdaki gibidir: Þekil 9: Eðitimden sonraki enlem ve boylam alt küme aralýklarý -36-

7 hkm 2007/1 Sayý 96 Sarý N.Ý., Arslan E., Geoit Yüksekliðinin ANFIS ile Adým Adým Hesaplanmasý Tablo 3. Veriler eðitildikten sonra 16 kural için elde edilen 1. derece polinom katsayýlarý Katsayýlar Kural No p q r N N N N N N N N N N N N N N N N Enlem B2 ve boylam L1 ise geoit yüksekliði N5( , , ) Enlem B2 ve boylam L2 ise geoit yüksekliði N6( , , ) Enlem B3 ve boylam L1 ise geoit yüksekliði N9( , , ) Enlem B3 ve boylam L2 ise geoit yüksekliði N10( , , ) Tablo 4: ANFIS editöründe bulanýk mantýk ilkelerine göre çözümün yapýlýþýna ait örnekte kullanýlan noktalara iliþkin veriler. Nokta No Enlem (derece) Boylam(derece) N GPS/Niv.(m) N ANFÝS Program (m) Nokta Türü Test Noktasý Model Noktasý noktasýnýn tetiklediði kurallarýn aðýrlýklarý (w i= Ü Bi*Ü Li): w 5= Ü B2 Ü L1= * = w 6= Ü B2 Ü L2= * = w 9= Ü B3 Ü L1= * = w 10= Ü B3 Ü L2= * = Normlandýrýlmýþ aðýrlýklar: den; w i f i çarpýmlarý: w 6 f 6 = *[( * ) +(3.6695* ) ]= w 9 f 9 = *[( * ) * ) +( ))]= w 10 f 10 = *[( * )+( * ) + ( )]= w 5 f 5 = *[( * )+( * ) +( )]= noktasýnýn geoit yüksekliði N: numaralý noktanýn geoit yüksekliði 200 nokta ile enlem ve boylam 4 er alt bölgeye ayrýlarak oluþturulan bulanýk modele göre Matlab yazýlýmý kullanýlarak doðrudan N model34343 = m bulunmuþtur. Soncul parametrelere iliþkin 1.derece polinom katsayýlarý kullanýlarak hesaplanan geoit yüksekliði ( m) ile ayný noktanýn N GPS/niv yüksekliði ( m) arasýnda cm, Matlab yardýmýyla doðrudan hesaplanan geoit yüksekliði ( m) ile ayný noktanýn N GPS/niv yüksekliði arasýnda ise cm fark bulunmuþtur. Adým adým geoit yüksekliði hesabý ile doðrudan hesaplama sonuçlarý arasýndaki fark 1.1 mm dir. Þimdi de bulanýk modelde kullanýlan numaralý noktanýn geoit yüksekliðinin hesaplanmasýný açýklayalým. Bu noktanýn enlem ve boylamýnýn üyelik fonksiyon deðerleri; Ü B3= , Ü B4= , Ü L2= ve Ü L3= dir. Tetiklenen kurallar ve 1. derece polinom katsayýlarý þöyledir: Enlem B3 ve boylam L2 ise geoit yüksekliði N10 ( , , ) Enlem B3 ve boylam L3 ise geoit yüksekliði N11 ( , , ) Enlem B4 ve boylam L2 ise geoit yüksekliði N14 ( , , ) Enlem B4 ve boylam L3 ise geoit yüksekliði N15 ( , , ) noktasýnýn tetiklediði kurallarýn aðýrlýklarý (w i= Ü Bi*Ü Li): w 10= Ü B3 Ü L2= * = w 11= Ü B3 Ü L3= * = w 14= Ü B4 Ü L2= * = w 15= Ü B4 Ü L3= * = Normlandýrýlmýþ aðýrlýklar: w 10 = , w 11 = , w 14 = , w 15 = w i f i çarpýmlarý: w 10 f 10 = *[( * ) +(8.6065* ) + ( )]= w 11 f 11 = *[( * ) +(8.3249* ) ]=

8 Sarý N.Ý., Arslan E., Geoit Yüksekliðinin ANFIS ile Adým Adým Hesaplanmasý hkm 2007/1 Sayý 96 w 14 f 14 = *[( * )+( * ) ]= w 15 f 15 = *[( * )+( * ) -( )]= noktasýnýn geoit yüksekliði N: numaralý noktanýn geoit yüksekliði, 200 nokta ile enlem ve boylam 4 er alt bölgeye ayrýlarak oluþturulan bulanýk modele göre Matlab yazýlýmý kullanýlarak doðrudan N model34318 = m bulunmuþtur. Soncul parametrelere iliþkin 1.derece polinom katsayýlarý kullanýlarak hesaplanan geoit yüksekliði ( m) ile ayný noktanýn N GPS/niv yüksekliði arasýnda cm, doðrudan hesaplanan geoit yüksekliði ile ayný noktanýn N GPS/niv yüksekliði arasýnda ise cm fark bulunmuþtur. Adým adým yapýlan geoit yüksekliði hesabý ile doðrudan hesaplama sonuçlarý arasýndaki farkýn 1 mm olduðu görülmektedir. 5. Sonuçlar ve Öneriler Geoit yüksekliði uydu teknolojilerinin rasyonel kullanýmýný saðlayan bilgisidir. Bu nedenle yüksek doðrulukla ve kolayca belirlenebilmesi gerekir. ANFIS, verilerin eðitilmesine olanak vermesi ve bulanýk modelin kolayca oluþturulmasý nedeniyle tercih edilmektedir. ANFIS ile geoit yüksekliði hesabýnda noktalarýn enlem ve boylam deðerleri girdi olarak alýnmýþ, öte yandan GPS/nivelman yöntemine göre belirlenmiþ geoit yükseklikleri de çýktý olarak alýnmýþ, böylece iki girdi ve bir çýktýlý bir bulanýk model oluþturulmuþtur. Bulanýk modelde öncül ve soncul parametrelerin bulunmasý ve verilerin eðitilmesi açýklanmýþ bir noktanýn geoit yüksekliðinin nasýl hesaplanacaðý sayýsal örneklerle adým adým gösterilmiþtir. Sayýsal uygulama sonuçlarý, Matlab yazýlýmý yardýmýyla doðrudan bulunan geoit yükseklik deðerleri ile adým adým hesaplananlar arasýndaki farklarýn çok küçük olduðunu; bölge için oluþturulan bir bulanýk modele iliþkin kurallar ve 1 derece polinom katsayýlarý ya da bir bulanýk model ve Matlab yazýlýmý kullanýlarak enlem ve boylam deðerleri bilinen bir noktanýn geoit yüksekliðinin hesaplanabileceðini göstermektedir. Kaynaklar AKYILMAZ O.: Esnek Hesaplama Yöntemlerinin Jeodezide Uygulamalarý, Doktora tezi, Ý.T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Ýstanbul, 2005 AKYILMAZ O., AYAN T. ve ÖZLÜDEMÝR T.: Geoid surface approximation by using Adaptive Network Based Fuzzy Inference Systems, Allgemeine Vermessungnachricten AVN 8-9, 22-27, Wichmann, Hüthig HINES J.W.: MATLAB supplement to Fuzzy and neural approaches in engineering, John Wiley & Sons Inc, ISBN: New York, 1997 ÞEN Z.: Bulanýk mantýk ve modelleme ilkeleri, Bilge Yayýncýlýk, ISBN: Ýstanbul, 2001 AYAN T., AKSOY A., ÇELÝK R.N., DENÝZ R., ARSLAN E., ÖZÞAMLI C., DENLÝ H.,EROL S., ÖZÖNER B.: Ýstanbul GPS Nirengi Aðý (ÝGNA) Teknik Rapor, Ýstanbul Teknik Üniversitesi Ýnþaat Fakültesi Jeodezi Anabilim Dalý, Ýstanbul, Kasým, 1999 JYH- SHING R. J.: ANFIS: adaptive network based fuzzy inference system, IEEE Transactions on systems, man, and sybernetic, 23, No:3, s , 1993 FEATHERSTONE W.E., DENTITH M.C. KIRBY J.F.: Strategies for accurate determination of orthometric heights from GPS, Survey Review, 34, 267, , 1998 GILLILAND J. R. ve JAKSA D. S.: GPS A tool for orthometric height determinations, Survey Review, 32, 251, , 1994 KOTSAKIS C, SIDERIS M.G.: On the adjustment of combined GPS/levelling/geoid networks. J Geod, 73, , 1999 SEAGER J., COLLIER P, KIRBY J., Modelling geoid undulations with an artficial neural network, IEEE, International Joint Conference on Volume 5, July, s: , ISBN: Washington, DC, USA 1999 YILMAZ M. ve ARSLAN E.: Nokta yoðunluðunun geoit hesabýna etkisi, 10. Türkiye Harita Bilimsel ve Teknik kurultayý, 28 Mart- 1 Nisan 2005, ODTÜ Kültür ve Kongre Merkezi, HKM Ankara YILMAZ M.: Ýstanbul Metropolitan Alanýnda Geoit Araþtýrmasý, Doktora tezi, Ý.T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Ýstanbul, 2005 Mathworks Web P.: help/toolbox/fuzzy/, 25 Nisan 2006 Xzhang Web P.: Fuzzy%20Logic.pdf, 02 Mayýs