ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MÖBİUS TRANSFORMASYONLARININ GEOMETRİSİ. Semra KAYA MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006

Transkript

2 Prof. Dr. H.Hilmi HACISALİHOĞLU danışmanlığında, Semra KAYA tarafından haırlanan bu çalışma / 7 / 6 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği ile Matematik Anabilim Dalı nda Yüksek Lisans tei olarak kabul edilmiştir. Başkan : Prof. Dr. H.Hilmi HACISALİHOĞLU Üye Üye : Prof. Dr. Baki KARLIĞA : Doç. Dr. M. Kemal SAĞEL Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr. Enstitü Müdürü

3 ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ MÖBİUS TRANSFORMASYONLARININ GEOMETRİSİ Semra KAYA Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman : Prof. Dr.H.Hilmi HACISALİHOĞLU Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm üç kısma ayrılmaktadır.birinci kısmında Möbius transformasyonları ile ilgili temel tanımlar ve teoremler verilmiş, matris gösterimleri yapılmıştır.ikinci kısımda Möbius transformasyonlarının grup yapısı oluşturduğu ifade edilmiştir.üçüncü kısım ise Möbius transformasyonlarının sabit noktalarının nasıl bulunduğuna ayrılmıştır. İkinci bölümde öncelikle Möbius transformasyonlarının öel tipleri incelenmiş, bu öel hallerle ilgili en bilinen geometrik öelikler verilmiştir.daha sonra soyut bir nokta olan sonsuun bu dönüşümlerle olan ilişkisini daha iyi anlayabilmek amacıyla geometri açısından önemli bir yeri olan stereografik idüşüm ele alınmıştır. Son bölümde Möbius transformasyonları ile stereografik idüşüm arasındaki ilgi üerinde durulmuş ve küre üerindeki bir dönmenin Möbius transformasyonları yardımıyla elde edilişi açıklanmıştır. 6, 38 sayfa Anahtar Kelimeler : Möbius transformasyonları, Stereografik idüşüm, Çemberler, Küreler i

4 ABSTRACT Master Thesis GEOMETRY OF MÖBIUS TRANSFORMATIONS Semra KAYA Ankara University Institute of Science Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU This study consists of three chapters. The first chapter is separated into three sections. In the first section, basic definitions and theorems concerning Möbius transformations are given and matrix representations of Möbius transformations are made. In the second section, Möbius transformations form a group is expressed. The third section is assigned ho the fixed points of Möbius transformations are calculated. In the second chapter, firstly special types of Möbius transformations are investigated and ell knon geometric properties are given hich are related to these special types.then, in order to understand the relationship beteen an abstract point infinity and these transformations, stereographic projection hich is so important for geometry is mentioned. In the final chapter, the relation beteen Möbius transformations and stereographic projection is examined and ho a rotation of the sphere is derived from Möbius transformations is explained. 6, 38 pages Key ords: Möbius transformations, stereographic projection, Circles, Spheres ii

5 TEŞEKKÜR Bu çalışmamın her aşamasında araştırmalarımı yönlendiren, öneri ve yardımlarını esirgemeyen, engin matematik bilgisiyle bana yol gösteren danışman hocam sayın Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU na ; çalışmalarım süresince gerek maddi gerek manevi katkılarından ötürü TÜBİTAK a ; her konuda bana destek olan çok sevdiğim aileme sonsu teşekkürlerimi sunarım. Semra KAYA Ankara, Hairan 6 iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR...iii SİMGELER DİZİNİ...v ŞEKİLLER DİZİNİ...vi. GİRİŞ.... Möbius Transformasyonları.... Möbius Transformasyonlarının Grup Yapısı Möbius Transformasyonlarının Sabit Noktaları.... ÖZEL TİPTEKİ MÖBİUS TRANSFORMASYONLARI... Möbius Transformasyonlarının Baı Geometrik Öelikleri..5. Sonsua Dair Geometrik Bir Yorum 3 3. KÜRE ÜZERİNDE DÖNMENİN MÖBİUS TRANSFORMASYONLARIYLA OLAN İLGİSİ..9 KAYNAKLAR...37 ÖZGEÇMİŞ.38 iv

7 SİMGELER DİZİNİ C Kompleks dülem C Genişletilmiş kompleks dülem S R Birim küre Reel sayılar kümesi R 3 Üç boyutlu reel uay ϕ Stereografik idüşüm Norm Modül L { } Genişletilmiş doğru v

8 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil.. Çembere göre invers noktalar 8 Şekil.. Möbius dönüşümü altında invers noktaların görüntüleri..9 Şekil.. 3 Birim çemberde ve noktaları.. Şekil.. Stereografik idüşüm. Şekil.. f dönüşümünün birim küre üerinde gösterimi...4 Şekil.. 3 Birim küre üerinde stereografik idüşüm altında ve noktalarının görüntüsü.. 5 Şekil 3. Birim küre üerinde ϕ ( ) ve ( ) ϕ noktaları..3 Şekil 3. İometri 33 vi

9 . GİRİŞ Möbius transformasyonları geometrik öelikleri bakımından her aman ilgi çekici bir konu olmuştur. Öellikle en bilinen karakteristiği olan çemberleri çemberlere dönüştürme, çifte oranı koruma öelikleriyle gündemdeki yerini korumuştur. Bide bu çalışmamıda öncelikle bu karakteristik öelikleri ifade ve ispat ettik. Daha sonra da stereografik idüşüm yardımıyla küre üerinde dönme ve Möbius transformasyonları arasındaki ilişkiyi açıkladık.

10 . Möbius Transformasyonları Tanım.. : M : C C M ( ) a + b c + d a b a,b, c,d C, c d C C { } olarak tanımlanan dönüşüme Möbius transformasyonu adı verilir. Burada Δ ad bc ifadesine M Möbius transformasyonunun determinantı denir.. Δ olursa ad bc olacağından ; a c λ, λ sabit b d a cλ, b dλ M ( ) M ( ) M ( ) cλ+ dλ c + d ( c d ) ( c + d ) λ + λ olur. Dolayısıyla M dönüşümü bir sabite eşit olur. Burada ad bc yerine ad bc alınabilir. Çünkü, ( ) M a + b c + d a b ad bc + ad bc c d ad bc ad bc dır. Bu dönüşümün determinantı ;

11 . a b d d a + b M c + d a d b c Δ ad bc ad bc ad bc ad bc ad bc olur. ad bc c M ( ) + olur ve buradan ( ) 3. c ise ( ) olur ve buradan M ( ) M bulunur. a ve d d M bulunur. c 4. c ve d ise M ( ) a+ b tam lineer fonksiyonu elde edilir. Bu dönüşüm bir Möbius transformasyonudur. 5. a d ve b c ise M ( ) Möbius transformasyonudur. 6. c ise M ( ) inversiyonu elde edilir. Bu dönüşüm de bir a b d + d tam lineer fonksiyonu için ad bc koşulu ad şeklini alır. Bu da bie a ve d olduğunu gösterir. 7. ad bc koşulunu a b olarak da gösterebiliri. c d Tanım.. ( Möbius Transformasyonlarının Matris Gösterimi ) M : C C M ( ) a + b c + d a b, a, b, c, d C, c d ile tanımlı M möbius transformasyonuyla eşlenebilen matris A olmak üere ; şeklindedir. (Brannon 999) A a c b d Burada ; 3

12 . M ( ) a + b c + d bir möbius transformasyonu olup, Δ ad olduğundan M dönüşümüyle eşlenen her farklıdır. a c b d bc ve Δ matrisinin determinantı sıfırdan. M Möbius transformasyonuyla eşlenen matris A olsun. Eğer k C ve k ise ka matrislerinin tümü M Möbius transformasyonuyla eşlenebilir. Dolayısıyla M Möbius transformasyonuyla eşlenen A matrisi tek değildir. Örneğin ; M ( ) + i i Möbius transformasyonuyla eşlenen matris A 3+ i 3 i dır. M ( ) dönüşümünü i ile genişletirsek M ( ) i elde edilir. Dolayısıyla M ( ) 3i i ile eşlenen matris B 3i olmasına karşın A B dir 3. tipindeki singüler olmayan kompleks matrislerin grubu Genel Lineer Grup adını alır ve GL(, C ) ile gösterilir. Möbius transformasyonlarının matrislerle alakası şu dönüşümle verilir: φ : GL(, C ) M a c b d f, f ( ) a + b c + d, ad bc Teorem.. 3 : φ dönüşümü bir homomorfimdir. İspat : a b A c d ve α β B γ δ matrisleri verilsin ve f φ ( A ), g φ( B) olsun.göstermeliyi ki φ( AB) φ( A) φ( B) dir. Gerçekten de a b α β AB c d γ δ 4

13 aα + bγ aβ + bδ AB cα + dγ cβ + dδ olup, φ ( AB) fg φ( A) φ ( B) dir. Burada aklımıa şu soru gelebilir : φ homomorfiminin çekirdeği nedir? Bu sorunun cevabı olarak aşağıdaki teoremi verelim. Teorem.. 4 : I tipinde birim matris olmak üere φ dönüşümünün çekirdeği { λi : λ C }dir. ( Beardon 5 ) a + b Tanım.. 5 : ( Determinant ve İ kavramı ) M( ) dönüşümüne karşılık c + d a b gelen matris M olmak üere det( M ) ad bc olarak tanımlıdır. Ancak c d burada şöyle bir problem karşımıa çıkar. Möbius dönüşümünün payını ve paydasını sıfırdan farklı bir sabit ile çarparsak bu işlem M dönüşümünün C üerindeki etkisini değiştirme. Bununla birlikte M dönüşümünün determinantı değişir. a + b k C {} için M( ) c + d, det( M ) ad bc ka + kb kc + kd, det( M ) k ( ad bc) olur. Buradaki k sabitini M möbius dönüşümünün determinantı olacak şekilde seçebiliri. Yani möbius dönüşümünü normalleştirebiliri. Örneğin ; 3 M( ) + edersek şu hali alır: M( ) dönüşümü için det( M ) 7 dir. Bu dönüşümü normalie , det( M ). a + b Şimdi de i kavramını ele alalım. M( ) Möbius dönüşümüne karşılık gelen c + d 5

14 matris M a b c d olmak üere İ ( M ) a+ dolarak tanımlanır. Burada İ ( M) det( M ) ve M det( M ) fonksiyonları tanımlanır ve bu fonksiyonlar M λ M, λ dönüşümü altında invaryant kalırlar.(beardon 983) Gerçekten ; M a b c d, λm λa λb λc λd ( ) İ ( M) a+ d, det( M ) ad bc, İ ( λm) λ ( a+ d) det( λm ) λ ( ad bc) olmak üere, İ ( λm) λ ( a+ d) M ad bc det( λ ) λ ( ) ( a+ d ) ad bc İ ( M) det( M ) olur. Aynı şekilde M ( a b c d ) olmak üere ( a + b + c + d ) λm λ λm λ ad bc det( ) ( ) M det( M ) olur. 6

15 .. Möbius Transformasyonlarının Grup Yapısı.. Kapalılık Öeliği : ( ) a + b M c + d ( ) e + f g + h ' M ( ) a, b, c, d C ad bc ( ) e, f, g, h C eh fg olarak iki Möbius dönüşümü alalım. deki dönüşüm ile düleminden dülemine, deki dönüşümle de düleminden ' dülemine geçmiş oluru. Dolayısıyla ve dönüşümlerini arka arkaya uygularsak düleminden dülemine geçmiş oluru. ( ) o ' M M () M ( M ( ) ) e + f M g + h e + f a b g h + + e + f c d g h + + ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) a e f b g h c e f d g h ( ea + bg ) + ( af + bh ) ( ec + dg ) + ( cf + dh) elde edilir. Bu dönüşümün determinantı ; Δ ( ea + bg )( cf + dh) ( af + bh)( ec + dg ) ( ad bc)( eh fg ) olduğundan Mo M de bir Möbius transformasyonudur. M ve M dönüşümlerinin 7

16 arka arkaya uygulanmasına bu iki dönüşümün çarpımı denir ve bu çarpım matrislerle a b hesaplanır. M Möbius transformasyonuyla eşlenen matris A c d ve e f M Möbius transformasyonuyla eşlenen matris A olmak üere eşlenen g h matris ea + bg af + bh B ec + dg cf + dh olup, a b e f AA c d g h ea + bg af + bh ec + dg cf + dh olduğundan B AA dir.böylece Mo M, AA matrisiyle eşlenebilen bir Möbius transformasyonudur... Birleşme Öeliği : ' " ( ), M ( ), M ( ) M çarpımı assosyatif öeliğe sahiptir. Yani ; üç Möbius dönüşümü ki bu dönüşümlerin 3 ( M M ) M M ( M M ) o o o o dir. 3 3 a + b M ( ) c + d ' e + f M ( ) g + h a, b, c, d C e, f, g, h C k + l ( ) k, l, m, n C olsun. m + n k + l e + f m + n ( Mo( MoM3) )( ) Mo k + l g h m + n " M3 8

17 ( ek + fm) + ( el + fn) ( gk + hm) + ( gl + hn) M o ( ek + fm) + ( el + fn) ( gk + hm) + ( gl ++ hn) ( ek + fm) + ( el + fn) ( gk + hm) + ( gl + hn) a + b c + d ( ae + bg )( k + l) + ( af + bh)( m + n) ( ce + dg )( k + l) + ( cf + hd )( m + n) k + l ( ae + bg ) + ( af + bh) m n + k + l ( ce dg ) ( cf hd ) m + n ( ae + bg ) + ( af + bh) ( ce + dg ) + ( cf + hd ) o M 3 e + f a b g h + + e + f c + d g + h M o 3 (( M M) M3)( ) o o olur... 3 Ters Eleman Öeliği : a + b M ( ) c + d için göstereceği ki ; M ( ) de bir Möbius dönüşümüdür. Burada ters dönüşüm nın yaptığı değişimleri eski haline getiren dönüşümdür. a + b M ( ) c + d den yi cinsinden hesaplamakla ters dönüşüm bulunur. 9

18 a + b c + d c + d a + b d + b c a ( ) M olur. a + b c + d dönüşümleri arka arkaya uygulanırsa her noktası Burada iki dönüşüm var, eğer bu M ( ) Yani ; d + b c a ' ve M ( ) ' noktası ile üst üste gelecektir. a + b d + b ' d + b c + d olur. Görülüyor ki birinin yaptığı işi diğeri yok c a a + b c a c + d ediyor. O halde bu dönüşümlerden biri diğerinin tersidir Birim Dönüşüm : MM M M Ι olarak tanımlanan Möbius dönüşümü birim dönüşümdür. Birim dönüşüm her noktayı kendine dönüştüren dönüşümdür. ( ) Ι birim dönüşümünün eşlendiği matris de birim matrisidir. SONUÇ.. 5 : M { M : olmak üere { M, o } bir gruptur. M C C, ( ),,,, a + b a b c d C, Δ ad bc } c + d

19 . 3. Möbius Transformasyonlarının Sabit Noktaları a + b dönüşümü düleminin noktalarını düleminin noktalarına dönüştürür. c + d Bir an için bu iki dülemin çakıştığını düşünelim, bu durumda dönüşüm düleminin bir noktasını başka bir noktasına dönüştürür. Bu esnada resim ile orjinalin çakıştığı noktalara sabit noktalar denir. O halde alınarak sabit noktalar bulunur. a + b c + d ifadesinde Δ olursa nın sabit olduğunu gördük. Δ ve c alınırsa dönüşüm A+ B halini alır. Bu dönüşümün sabit noktası ; A+ B B olarak bulunur. A Burada A için noktası sonlu uaklıktadır. A ise + B olur ve her sayısına B gibi bir kayma verilmiş olur. Sadece sonsudaki nokta sabit kalır. Demek ki tam lineer dönüşümlerin sabit bıraktığı iki nokta vardır. Biri sonluda diğeri sonsudaki bir noktadır. Δ ve c ise a + b c + d c + d a + b ( ) c d a b +, ( ) a d ± d a + 4bc olur. c Burada, gibi sonlu değerde iki sabit nokta bulunur. SONUÇ. 3. :Bir Möbius dönüşümünün ikiden fala sabit noktası varsa bu dönüşüm ödeşlik dönüşümüdür.

20 . ÖZEL TİPTEKİ MÖBİUS TRANSFORMASYONLARI Öel tipteki baı Möbius dönüşümlerini sınıflandırmak mümkündür. Bu öel tipteki dönüşümleri dört durumda inceleyebiliri :. ( ) i θ Mθ e (θ R ) şeklindeki Möbius dönüşümlerine dönme dönüşümü denir. Eğer θ > ise poitif yönde dönme, θ < ise negatif yönde dönme olur. Burada θ dönme açısını gösterir.. J( ) denir. şeklindeki Möbius dönüşümlerine inversiyon (tersinme ) dönüşümü 3. M a ( ) a, a, a C şeklindeki Möbius dönüşümlerine normal şekil (benerlik) dönüşümü denir. Bu dönüşümü a nın baı değerlerine göre gruplara ayıracağı : ( i ) Eliptik dönüşüm ( a [, ϕ] M a ( ) i e ϕ ) : ϕ > ise noktası bir çember çierse da bir çember çier. O halde bir çemberin resmi kendisi olur. Aynı merkeli çemberler bir aile oluşturur. Eliptik dönüşümde bu çember ailesinin her ferdi kendine dönüşür. Bu çemberlere dik olan aile başlangıçtan geçen doğrular ailesidir. Bu doğruların hepsi ve sabit noktalarından geçerler. Bu doğrular eliptik dönüşümde ϕ kadar dönerler. Yani kendilerine dönüşmeler. Bu aileden olan başka bir doğruya dönüşürler. Başlangıçtan geçen doğru ailesi ve bu çemberler birbirine ortogonaldir ( ii ) Hiperbolik dönüşüm ( [ ρ,] ρ ) : Bu dönüşümde yalnı bir uama vardır. İki şekil homotetiktir.homoteti oranı a ρ dır. Bu dönüşümde ve sabit noktalarından geçen doğrular kendilerine dönüşmeler. Bu doğru ailesini ortogonal olarak kesen çember ailesi ise homotetiklerine dönüşürler, kendilerine dönüşmeler. ( iii ) Loksodromik dönüşüm ( [, ] ) : Bu dönüşümde hem uama hem de i ρϕ ρe ϕ dönme olduğundan doğrular kendilerine dönüşmeler, uama olduğundan da çemberler kendilerine dönüşmeler.

21 4. M b ( ) + b, b C, b sabit şeklindeki Möbius dönüşümlerine öteleme( kayma) dönüşümü denir. Teorem. : Möbius dönüşümleri dönme, benerlik, tersinme ve kayma dönüşümlerinin bileşkesi olarak yaılabilir. İspat : M ( ) a + b c + d ad bc abcd,,, C Möbius dönüşümünü ele alalım. Gerçekten ; c ise M ( ) ( ad bc) a c c c+ d şeklinde yaarsak ( ) ( )( ) M M oj o M olur. b a a + b c ise M ( ) olur ve d a d re iθ, b s d dersek ; ( ) i θ M re + s ( ) ( )( ) M M om o M olur. s r θ Burada açık olarak görülmektedir ki benerlik ve öteleme dönüşümleri çemberleri çemberlere dönüştürür. Şimdi de inversiyon dönüşümü için bu durumu inceleyelim. Eğer gösterebilirsek ki inversiyon dönüşümü de çemberleri çemberlere dönüştürüyor, o halde bunların bileşkesi olan Möbius dönüşümü için de bunun geçerli olduğunu söyleyebiliri. Teorem. İnversiyon dönüşümü çemberleri çemberlere dönüştürür. İspat : dönüşümde i re θ dersek, iθ e olur.burada r ρ, r ϕ θ diyelim. O halde i ρe ϕ yaabiliri. 3

22 Şimdi karteyen koordinatlarda x y Ax By C ( ) olarak bildiğimi çember denklemini kutupsal koordinatlar cinsinden şu şekilde yaalım : i re θ cosθ { sinθ x y r3 + ir x+ iy olduğundan ( ) denklemi ; ( θ θ) r r A B C + cos + sin +... ( ) halini alır. Bu denklemi şimdi i ρe ϕ için yaarsak ; C ise ( 3 ) denklemini ; + ( Acosϕ Bsinϕ) + C ( 3 ) ρ ρ A B ρ + ρ cosϕ sinϕ + C C C ( 4 ) denklemine dönüşür ve bu ( ) denklemi formunda olup bir çember denklemidir. C ise ( 3 ) denklemi ; Aρ cosϕ Bρsinϕ+... ( 5 ) denklemine dönüşür. u+ iv olduğu düşünülürse bu denklem ; Au Bv +... ( 6 ) doğru denklemine dönüşür. C C { } da doğrular yarıçapı sonsu olan çemberler olarak gö önüne alındığından ispat tamamlanmış olur. Böylelikle Möbius dönüşümlerinin en belirgin karakteristiği olan çemberleri çemberlere dönüştürme işini ispatlamış olduk. 4

23 . Möbius Transformasyonlarının Baı Geometrik Öelikleri : Teorem.. Möbius transformasyonları çifte oranı korur. a + b İspat : c + d a, c + b + d a 3, 3 c3 + b + d a 4, 4 c4 + b + d abcd,,, olsun. Göstereceği ki (,,, ) (,,, ) dir a + b a3 + b a+ b a4 + b c+ d c3+ d c+ d c4 + d : a + b a3+ b a + b a4 + b c + d c + d c + d c + d 3 4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ad bc ad bc 3 4 c+ d c+ d : ad bc ad bc ( )( ) 3 4 c + d c + d : olur. Burada çifte oranı yaarken eğer noktalardan biri ise ; 3 4 (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) olarak gösterilir. 5

24 Teorem.. : düleminin,, 3 noktalarını, sırası ile, - düleminin,, 3 noktalarına dönüştüren bir tek Möbius transformasyonu vardır. İspat : düleminde,, 3 gibi üç nokta alalım. - düleminde bunlara karşılık gelen noktalar da,, 3 olsun. Çifte oran öeliğinden faydalanabilmek için dört nokta olması gerekir. Bunun için düleminde herhangi bir noktası alalım, düleminde bu noktaya karşılık gelen nokta da olsun. ve dülemlerinde aldığımı,, 3, noktalarıyla, karşılıkları olan,, 3, noktalarının çifte oranı : : : olur. Bu eşitliğin sol tarafı,, 3 sabit ve belli olduğundan nın lineer bir fonksiyonudur. Buna ( ) L diyelim. Aynı şekilde sağ tarafta,, 3 sabit ve belli olduğundan nin lineer bir fonksiyonudur. Buna da L ( ) amacımı aradığımı Möbius dönüşümünün L( ) L L ( ) diyelim. Burada şeklinde olduğunu göstermektir. Bunu göstermek için de şartlarımıın gerçeklendiğini göstermek yeterlidir. Aradığımı L( ) dönüşümünün,, 3 ü sırasıyla,, 3 e dönüştürdüğünü kabul etmiştik. Eğer L L( ) iddiamı yerinde olacaktır.bunun için L ( ) ve ( ) L ( ) : 3 3 dönüşümü de bu öeliği sağlarsa L dönüşümlerine bakalım : dönüşümünde sırasıyla yerine,, 3 koyarsak dönüşür.aynı şekilde L ( ) : dönüşümünde yerine, sırasıyla,,, 3 koyarsak olan 3 dönüşür. Buradan söyleyebiliri ki L ( ) nın tersi 6

25 L ( ) dönüşümü de Yani L L ( ) dönüşümü de L( ) 3 dönüştürür.o halde { L ( ) L ( ) oluyor. dönüşümü ile aynı işi yapıyor,,, 3 noktalarını,, 3 e dönüştürüyor. Şimdi bu dönüşümün tek olduğunu gösterelim. Kabul edelim ki L( ) L L ( ) tek olmasın. İstediğimi şartları sağlayan başka bir dönüşüm T( ) olsun. İddia ediyoru ki T ( ) L Ι dır. Burada T dönüşümü 3 3 ve L dönüşümü 3 3 olduğundan ( ) TΙ TT L ( ) TΙΙ L O halde L( ) dönüşümü tektir ve bu dönüşüm T L bulunur. : : dir. Teorem.. 3 : Farklı,, 3, 4 noktaları C içinde aynı çember üerindedir (,,, ) çifte oranı reeldir. 3 4 İspat : Kabul edelim ki,, 4 noktalarından geçen çember C olsun. Ayrıca bir g Möbius dönüşümü alalım öyle ki g( ), g( ), g( 4 ) olsun. Bu durumda g dönüşümü için söyleyebiliri ki g( C ) R { } dir. Şimdi bu dört 7

26 noktanın çifte oranını yaarsak ; (,, 3, 4) ( g( ), g( ), g( 3), g( 4) ) (,, g( 3 ), ) g( 3 ) olur. Dolayısıyla (,,, ) çifte oranının reel olması için gerek ve yeter şart ( ) 3 4 reel sayı olmasıdır. ( ) 3 Böylelikle ispat tamamlanmış olur. g ün g reel olması içinde gerek ve yeter şart 3 C olmasıdır. 3 Tanım.. 4 : r > olmak üere r yarıçaplı bir çemberin O merkei ile aynı doğrultuda bulunan ve OP. ' OP r şartını sağlayan ' PP, noktalarına r yarıçaplı çemberin O merkeine göre invers noktaları denir. Burada O merkeine inversiyon merkei, r yarıçapına inversiyon yarıçapı denir. (Şekil..). Şekil.. Çembere göre invers noktalar Teorem.. 5 : Eğer ve noktaları C çemberine göre invers noktalar ise a + b M ( ) Möbius dönüşümü altındaki görüntüleri olan ve c + d noktaları da resim çemberine göre invers noktalardır. İspat : a + b c + d şeklinde tanımladığımı Möbius dönüşümünü 8

27 ' '' a ad bc ''. c+ d. 3. dönüşümlerini ' c c arka arkaya uygulayarak elde edebiliri. Bu teoremin ispatını bu üç dönüşüm için ayrı ayrı yaparsak bunların bileşkesi olan M Möbius dönüşümü için de ispatı gerçekleştirmiş olacağı. ve 3 dönüşümleri A+ B şeklinde tam lineer dönüşümlerdir. Bunlar için ispatı yapalım: Bu dönüşümde başlangıç noktasına yani noktasına (Şekil..) için B için A+ B için A + B olur. B noktası karşılık gelir. Z Z r o r ı o Şekil.. Möbius dönüşümü altında invers noktaların görüntüleri Hipoteimie göre ve invers noktalar oldukları için. r dir. ve nin resimleri olan ve için de bunun sağlandığını göstermeliyi. C çemberinin yarıçapı r ve resim çemberi olan A+ B dönüşümden kolayca görülür. ' C nün yarıçapı ' r ise ' r A. r olduğu. A + B B. A + B B A.. A. A.. 9

28 ( Ar. ) ' ( r ). Demek ki ve noktaları da ' C çemberine göre invers noktalardır. Şimdi de, r dir. r ' dönüşümü için ispatı yapalım. B dönüşümden şunu söyleyebiliri:... r ' ( r ) Böylece dönüşümü için de ispatı yapmış olduk. i M e θ Teorem.. 6 : ( ) dönüşümü - dülemindeki birim çemberi, içindeki bir noktasının dülemindeki görüntüsü olacak şekilde birim çembere dönüştürür.(nehari 95) a + b İspat : dönüşümünde iken olacağına göre bu dönüşüm c + d α.... şeklinde olmalıdır. ın birim çembere göre inversi olan nokta noktasıdır. Dönüşümden sonra bu noktalara karşılık gelen noktalar da invers noktalar olacaklardır.

29 Hipoteden noktası başlangıç noktasına karşılık geldiğinden, inversi olan noktası da düleminde a karşılık gelir. O halde α α β, α β ( ) olur. Şimdi bu dönüşümün birim çemberi birim çembere dönüştürdüğünü göstermeliyi. -dülemindeki birim çember - dülemindeki birim çembere dönüşeceğinden olduğunda ve için olmalıdır. ( ) eşitliğinde her iki tarafın modülünü alırsak ; β β, (Şekil..3) β dolayısıyla i β e θ olur. Sonuç olarak ( ) dönüşümü halini alır. iθ e

30 y Z o Z o - x - Z o - Z o - Şekil..3 Birim çemberde ve noktaları

31 . Sonsua Dair Geometrik Bir Yorum Möbius transformasyonlarının öeliklerini daha iyi anlayabilmek için soyut bir nokta olan sonsu noktalarını da kompleks sayılar cümlesine katarı ve C genişletilmiş kompleks dülemini oluştururu. Bunu geometrik olarak açıklamak için stereografik idüşüm fonksiyonunu ele alacağı. S ile R 3 de birim küreyi gösterelim. S { X R 3 : X, X ( x, y, ) } R 3 olsun. Burada x + iy kompleks sayısını R 3 de ( x, y,) sayısı ile eşleyelim. C dülemi S birim küresini x + y çemberi boyunca keser. Bu çemberin oluşturduğu düleme kürenin ekvator dülemi denir. Kürenin kuey kutup noktasını ζ (,,) ile gösterelim.(şekil..) ζ,, ) ( Kuey kutup noktası M Z Şekil.. Stereografik idüşüm ϕ : C S (,,) ϕ ( ) x y olarak tanımladığımı stereografik idüşüm fonksiyonu yardımıyla C nin her bir noktasını kürenin ζ den farklı her noktası ile eşleyebiliri. Şimdi fonksiyonun açık formülünü bulalım : 3

32 ζ (,,) ve (,,) x y noktalarından geçen doğru L olsun.. Bu doğrunun denklemi ; (,, ) (,,) (,,) L + t x y, t R (,, ) t( x, y, ) ( tx, ty, t) + olarak bulunur. L doğrusu ve S küresinin kesim noktası ϕ ( ) dir. O halde elde edilir. Burada ise ( ) tx ty t + + t ve t x + y + t a karşılık gelen çöüm (,,) ζ noktasıdır. Diğer çöüm ϕ ( ) x, y, x + y x + y + x + y + x + y + (.. ) olarak bulunur. Ayrıca ϕ ( ) ise ( ) x y,, ϕ olur. > ise ( ) < ise ϕ ( ) noktası C düleminin altında kalır. (.. ) ϕ noktası C düleminin üstünde, ise ( ) (,, ) ϕ dır. x + + olduğunu düşünerek söyleyebiliri ki için ϕ ( ) ζ olur. Yani ϕ( ) ζ olarak tanımlayabiliri. Böylelikle C kompleks sayılar cümlesine noktasını da ekleyerek C u elde etmiş oluru. Dolayısıyla ϕ : C S dönüşümü birebir ve örten bir dönüşüm olur. Şimdi C da tanımlı Möbius transformasyonlarını da kullanarak küre üerinde yeni bir dönüşüm 4

33 tanımlayabiliri. f Möbius dönüşümü verilirse f ϕ f ϕ olacak şekilde bir f : S S dönüşümü inşa edebiliri. (Şekil..) d ϕ c f dönüşümü S üerinde ζ ve noktaları dışında tüm noktalarda tanımlanır. ( ) a + b f c + d d verilen f f c sürekli bir dönüşüm olur. ve ( ) a tanımları ile c dönüşümü için f dönüşümü de S küresi üerinde ϕ ϕ Şekil.. f dönüşümünün birim küre üerinde gösterimi Stereografik idüşümün yararlarından biri de L { } olarak gösterdiğimi genişletilmiş doğruları yarıçapı sonsu olan çemberler olarak almamıın nedenini ortaya koymasıdır. Gerçekten de S küresi üerinde ζ (,,) noktasından geçen çemberler stereografik idüşüm altında doğrularla birebir eşlenirler. Küre üerinde ζ noktasından geçmeyen çemberler ise C deki çemberlerle eşlenirler. Küredeki bir C çemberi ( ζ C ) αx+ αx+ α3x3 β, α3 β şeklinde verilen bir dülem ile kürenin arakesitidir. Dolayısıyla C nin bir noktası S üerindeki C çemberi üerinde ise 5

34 x y 3 α + α + α β denklemini sağlar. Bu denklem küre üerindeki C çemberinin denklemidir. Böylelikle söyleyebiliri ki S küresindeki bütün çemberlerin cümlesi ϕ dönüşümü altında C kompleks dülemindeki bütün çemberlerin ve genişletilmiş doğruların cümlesine karşılık gelir. Bu ise L { } a bir çember demek için yeterli bir açıklamadır. Son olarak ve C kompleks düleminde iki nokta ve stereografik idüşüm altındaki görüntüleri ϕ ( ) ve ( ) kullanarak ϕ ( ) ve ( ) ϕ olsun. (Şekil..3) (.. ) eşitliğini ϕ görüntüleri arasındaki öklid uaklığını hesaplayabiliri. ϕ() ϕ() Şekil..3 Birim küre üerinde stereografik idüşüm altında ve noktalarının görüntüsü (.. ) eşitliğinden x+ iy ( x, y,) ve u iv ( u, v,) + olmak üere ϕ ( ) x y,, + + +, ϕ ( ) u v,, yaılır. ϕ ( ) ile ϕ ( ) arasındaki öklid uaklığı ϕ( ) ϕ( ) dır. 6

35 ϕ ( ) ϕ( ) x y u v,,,, x u y v,, ϕ( ) ϕ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 4x 8xu 4u 4y 8yv 4v ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( + )( + ) 4x + 4y + 4u + 4v + 4xu + 4yv ( )( ) xu 4yv x y u v ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 4xu + 4yv + x + y u + v ( + )( + ) xu 8yv ( + )( + ) + xu yv + + Burada ( x u) + i( y v) ( x u) ( y v) + 7

36 + + + x y u v xu yv olduğu gö önüne alınırsa ; + xu yv ϕ ( ) ϕ( ) + + (.. 3 ) olarak bulunur. Bu ifade için ( ) ( ) ϕ ϕ + halini alır. ϕ ( ) ϕ( ) ifadesi ve arasındaki kirişsel uaklık olarak bilinir. Açıkça görülüyor ki bu uaklık için ( ) ( ) ϕ Cauchy-Schar eşitsiliğinden ; olduğu kolayca görülür. ϕ olduğu söylenebilir. Gerçekten de ( ) ( )

37 3. KÜRE ÜZERİNDE DÖNMENİN MÖBİUS TRANSFORMASYONLARIYLA OLAN İLGİSİ f : C C şeklindeki her dönüşüme f ϕ f ϕ olacak şekilde bir f : S S dönüşümü karşılık gelir, aynı şekilde f : S S şeklindeki her dönüşüme de f ϕ ϕ f olacak şekilde : f C C dönüşümü karşılık gelir. Bu bölümdeki en önemli sonuç Möbius dönüşümünün ortaya çıkardığı f fonksiyonunun küre üerinde bir dönmeye karşılık gelmesidir. Bununla birlikte bütün Möbius dönüşümleri bu öeliği sağlama. f nin baı seçimleri ile ortaya çıkarılan f dönüşümü bir dönmeye karşılık gelir. Örneğin sadece tek sabit noktası olan bir Möbius dönüşümü dönmeye karşılık gelme, çünkü f in C içinde bir tane sabit noktası varsa, f ın da S küresinde bir tane sabit noktası vardır. a + b Teorem 3. : f ( ), a + b ( 3.. ) b + a formundaki her Möbius dönüşümü küre üerinde bir f dönmesine karşılık gelir ve küredeki her dönme bu yolla ortaya çıkar. Bu teoremin ispatı bir çok düşünceyi içerir. Dolayısıyla ispatı birkaç adımda yapacağı. Lemma 3. : ϕ stereografik idüşümü altında ve noktalarının görüntüleri çapa göre karşılıklı noktalardır İspat : x+ iy ve u+ iv olmak üere ϕ ( ) x y,, ve ϕ ( ) biliyoru. Eğer ve nın görüntüleri olan ϕ ( ) ve ( ) u v,, olduğunu ϕ çapa göre karşılıklı noktalar ise (Şekil 3.) aralarındaki öklid uaklığı ( ) ( ) eşitliğinden ; ϕ ϕ olur. (.. 3 ) 9

38 ϕ ( ) ϕ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) x u + i y v + x + y + u + v ( ) + ( yu) ( vy) ( xv) x u y v xu yv x y u v xu ( ) ( ) ( ) ( ) xu + vy + + xu + vy + xuvy + xv + yu xuvy ( xu vy ) ( xv yu) ( xu + vy + ) ve ( xv yu) xu iyu + vy + ivx u ( x iy) + iv( x iy) ( x iy)( u+ iv) olarak bulunur. İspatın ikinci kısmı da aynı metodla gösterilebilir. 3

39 O ϕ() ϕ() Z Şekil 3. Birim küre üerinde ϕ ( ) ve ( ) ϕ noktaları Lemma 3. 3 : f fonksiyonu kürede bir dönme olacak şekilde bir f Möbius dönüşümü varsa f ( 3.. ) formundadır. a + b İspat : f ( ), ad bc ve f küre üerinde bir dönme olsun. f bir c + d dönme ise küre üerindeki noktalar arası uaklığı korur. Dolayısıyla çapa göre karşılıklı noktaları yine çapa göre karşılıklı noktalara dönüştürür. Bu demektir ki ; f ( ) dir. Diğer bir deyişle f şu ilişkiyi sağlamalıdır : f ( ) f f ( ) ise Gerçekten de b a f d c ve c+ d f a b ( ) eşit ise olacak şekilde bir λ olmalıdır. b a c d λ d c a b ( λ )( λ ) ( λ )( λ ) λ ( ) ad bc d a c b ad bc λ ( λ ) ( λ ) λ( ) ad bc a a b b a + b 3

40 Bu iki eşitlikten görülüyor ki λ ve a + b dir. Yani f ( 3.. ) formundadır. Lemma 3. 4 : Eğer f Möbius dönüşümü ( 3.. ) formunda ise f küre üerinde bir dönmedir. İspat : f ( 3.. ) formunda olsun. Yani f ( ) Şimdi aşağıdaki eşitliği gösterelim : ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) a + b, b + a ϕ f ϕ f ϕ ϕ. a + b dir. f a + b ( ), f ( ) + b eşitliğinden a ϕ a + b, b + a ( f ( ) ) ϕ f ( ) ( ) a + b olmak üere (.. 3 ) ( ) ( ) f f ( ) ( ) + f + f ( ) yaabiliri. Öncelikle f ( ) f ( ) ifadesini hesaplayalım. ( ) ( ) ( aa + bb)( ) f f olduğundan burada norm alırsak ; + + ( b a)( b a) ( ) a + b f ( ) f ( ) elde edilir. b + a b + a a + b olduğundan ifade f ( ) f ( ) halini alır. b + a b + a Şimdi de ( ) ifadesinin paydasını hesaplayalım. a + b + f ( ) + b + a 3

41 b + a + a + b b + a ( b + a)( b + a) + ( a + b)( a + b) b + a ( b + a)( b + a) + ( a + b)( a + b) b + a b ab ab+ a + a + ab+ ab+ b b + a + b + a olarak bulunur. Aynı şekilde f ( ) + + dır. Hesapladığımı bu ifadeleri ( ) b + a eşitliğinde yerlerine yaarsak ϕ ϕ elde etmiş oluru. b + a b + a ( f ( ) ) ϕ( f ( ) ) ( f ( ) ) ϕ f ( ) + + b + a b + a ( ) ( ( )) ( ) + + ( ) ( ) ( ) ϕ f ϕ f ϕ ϕ Bu eşitlik gösteriyor ki f dönüşümü küre üerinde bir iometridir. Gerçekten de 33

42 PQ, Siçin ϕ ( P), ϕ ( Q) olmak üere ( ) ( ) ϕ ϕ ( ) ϕ ϕ ( ) f P f Q f P f Q ( ) ϕ ( ) ϕ f f ( ) ϕ( ) ϕ P Q elde edilir. Bu da bie f dönüşümünün uaklığı koruduğunu, yani bir iometri olduğunu söyler. g: S S, g( tx) tg( x), x S olacak şekildeki her g dönüşümü R 3 de bir iometri verir. (Şekil 3.) x S için g( ) g( x) g( x) dır. f dönüşümü de ( ) f dır. Bu da demektir ki f R 3 de bir iometridir ve f A ortogonal matrisi ile verilen bir harekettir. Dolayısıyla f orjinden geçen dülemde bir yansıma veya dönmedir. Bununla birlikte f bir yansıma olama. Çünkü yansıma olsaydı birçok sabit noktası olurdu. Sonuçta f bir dönmedir. Şekil 3. İometri 34

43 Lemma 3. 5 : S küresindeki her dönme ( 3.. ) formundaki f Möbius dönüşümüyle oluşan f dönüşümü şeklindedir. İspat : ( ) θ i f iθ e e + + e θ i ve ( ) g + olsun. + f ve g dönüşümlerinin her ikisi de ( 3.. ) formundadır. R 3 de düşey eksenle θ açı yapan bir dönmedir. f açıkça görülüyor ki F g fg olarak gösterelim. ( 3.. ) formundaki möbius dönüşümlerinin bileşkesi yine bu formda olduğundan F dönüşümü de ( 3.. ) formunda bir Möbius dönüşümüdür. Dolayısıyla g da bir dönme olduğundan, F S küresinde bir dönmedir.bununla birlikte F ϕ( g fg) ϕ ( g )( f ϕ ϕ ϕ ϕ )( ϕgϕ ) ( g ) f g ( g ) f g F baı eksenlerle θ açısı yapan bir dönme olacaktır. F dönüşümü ve noktalarını sabit bırakır. Böylece F başlangıcı ϕ ( ) ve bitişi ϕ( ) olan eksende bir dönme olur. keyfi seçilmiş olduğundan, bu ekseni S küresinin çapı olarak alabiliri. veθ seçimiyle olur. F önceden belirlenmiş bir dönme Bu dört lemma ile Teorem 3. in ispatını tamamlamış olduk. Bu lemmaların başka bir sonucu olarak aşağıdaki teoremi verebiliri. Teorem 3. 6 : ( 3.. ) formundaki Möbius transformasyonlarının cümlesi M bir grup oluşturur. ( Beardon 5 ) 35

44 a b Teorem 3. 7 : U : a + b şeklindeki tipindeki matrislerin b a cümlesi bir gruptur. Bu gruba üniter grup denir. ( Beardon 5 ) 36

45 KAYNAKLAR Beardon, A The Geometry of Discrete Groups. Springer-Verlag, 9-8, Berlin. Beardon, A. 5. Algebra and Geometry. Springer-Verlag, 54-83, Berlin. Brannon, A. D, Esplen, M. F, Gray, J. J Geometry. Cambridge University Press,, Australia. Hacısalihoğlu, H. H. 98. Yüksek Boyutlu Uaylarda Dönüşümler ve Geometriler. İnönü Üniv. Yayınları Mat., Malatya, Turkey Nehari, Z. 95. Conformal Mapping. MvGra Hill Book Company, 55-64, Ne York. Ögür, N. Y, Bulut, S. and Ögür, C. Möbius Transformations and The Helix (to appear) Ögür, N. Y, Bulut, S. Ne Characteriations of Möbius Transformations by use of Apollonius Points of (n-)-gons (to appear 37

46 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Semra KAYA Doğum Yeri : Ankara Doğum Tarihi : Medeni Hali : Bekar Yabancı Dili :İngilice Eğitim Durumu : Lise : İncirli Yabancı Dil Ağırlıklı Lisesi, Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fak.Matematik Bölümü,