DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

Transkript

1 DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı mtrisii determitı tür. Tım. m ve syılrı de üyük olmk üzere ir m mtrisi i-ici stırı ve j-ici sütuu çıkrılrk elde edile (m-) (-) mtrise o mtrisi i-j ltmtrisi deir. mtrisii i-j ltmtrisi (ij) ile gösterilir. Örek. mtrisii zı ltmtrisleri şulrdır: ( ) () () ().

2 Dersv. > içi ir mtrisi determitı ltmtrislerii determitlrı ciside tımlır. Tım. K K K K mtrisi determitı K K ile K K gösterilir ve ( ) () ( ) ( ) olrk tımlır. Sigm gösterimi ile j ( j j ) ( j). u ifdeye ı determitıı irici stır göre çılımı deir öylece mtris ü determitıı irici stır göre çılımı ( ) () () ( ) ( ) ( ) dir. Terimleri uygu sırlışıyl ifdesi elde edilir. Örek. irici stır göre çılım kullılrk ( ). (8) (-). (6-). (-)

3 Determitlr eotief Girdi-Çıktı lizi mtrisleri determitıı hesıd izleeilecek prtik ir yol şöyledir: Determitı sğ yı irici ve ikici sütulr ekleir (şğıd izleyiiz) ve görüle oklr yöüde ulu girdiler çrpılrk şğı yöde ollrı toplmıd yukrı yöde ollrı toplmı çıkrılır Örek. Yukrıd irici stır göre çılım kullılrk hespl determit prtik olrk şğıdki gii hesplilir. - - (8 6 ) - ( - - ) Örek. ir determitı irici stırı göre çılımı örek olrk ( ) ( ( ( ( ) ( ) ( 6 ) (

4 Dersv... Determitlrı temel özellikleri. Yukrıd verile determit tımı yrdımıyl kıtlilecek zı özellikler vrdır ki ulr determit hesıd kolylıklr d sğlr. u özelliklerde ir kısmıı şğıy listeliyoruz. dim ir mtrisi göstermektedir.. I. j i j. ( ) ( i j). ( u ifdeye ı i-ici stır göre çılımı deir.) ij. Eğer ı ir stırıı her ir girdisi ir s syısı ile çrpılrk elde edile mtris ise s dır.. Eğer ı ir stırıı ir syı ile çrpılıp şk ir stırı toplmsıyl elde edile mtris ise dır.. Eğer ı iki stırıı yerleri değiştirilerek elde edile mtris ise - dır. 6. Eğer ı ir stırıdki tüm girdiler ise dır. 7. Eğer ı iki stırı özdeş ise dır. i i j 8. ( ) ( i j).(u ifdeye ı j-ici sütu göre çılımı deir.) 9. T ij. Yukrıd üç dört eş ltı ve yedici özelliklerde stır sözcükleri yerie sütu sözcüğü yzılırs özellikler geçerliliğii korur. Örek. Dh öce hespldığımız kullrk hesplylım.. determitı yukrıd ifde edile özellikleri (irici stır - ile çrpılıp üçücü stır - ile çrpılıp dördücü stır topldı.) (ikici stır -6 ile çrpılıp üçücü stır -6 ile çrpılıp dördücü stır topldı.) 7 8 (üçücü stır - ile çrpılıp dördücü stır topldı.) ( ) ( )( 7) 68.

5 Determitlr eotief Girdi-Çıktı lizi Determitlrı ir diğer özelliği de çrpımsllık özelliğidir: ve mtrisler ise dir. Determitlrı yukrıd elirtile özellikleride yrrlrk olmsıı ı idirgemiş içimii irim mtris olmsı dek olduğu görüleilir. Dolyısıyl ı tersiir olmsı içi gerek ve yeter koşul olmsıdır. Diğer yd - I eşitliği ve determitı çrpımsllık özelliğide tersiir ise - ( ) - dir... Ters Mtris Crmer Kurlı. ir mtris [ ij ] i j verilmiş olsu. ı k-ici stırıı tıp ou yerie i-ici stırıı yzrk elde edile mtris ' ile gösterilsi. Eğer k i ise ' ü iki stırı yı olcğıd ' dır; k-ici stır göre çılım yzılırs ' ( ) j k j i j ( k j) elde edilir. urd k i olduğuu uutmylım. k i içi yukrıdki ifde y eşit olcğıd k j i j ( k j) j k ( ) olduğu görülür. ise iki trf ile ölüerek k i i ( ) j k j i j ( k j) k i k i elde edilir. So ifde j-k girdisi c jk ( ) k j ( k j)

6 Dersv. 6 ol mtrisi ı tersi - olduğuu gösterir. Gerçekte ile j-k girdisi c jk ol mtrisi çrpımıı i-k girdisi ı i-ici stırı [ i i... i ] ile diğer mtrisi k-ici sütuu c... c k k k ( ) k j ( ) ( k) ( k j) ı çrpımı yi j ij c jk ( j ) k j i j ( k j) k i k i olur ki u söz kousu iki mtrisi çrpımıı irim mtris I olduğuu gösterir. O hlde ise [ ij ] i tersi dır. Özel olrk mtrisler içi k j ( k j) [ c ] c ( ) j k jk jk ; ise () () () () () () () (). () Yukrıdki trtışmlr mtrisler içi de geçerlidir. () () () ve () lırk ; ise elde edilir.

7 Determitlr eotief Girdi-Çıktı lizi 7 Örek. mtrisii tersii ullım. ) ( ) (. ) ( ) ( ) ( 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ve öylece. 7 () () () () () () () () () Ters mtris içi yukrıd ululr doğrusl deklem sistemlerii çözümüe uygulıc Crmer Kurlı olrk ilie kurl elde edilir. Değişke syısı deklem syısı eşit ol doğrusl deklem sistemii ktsyılr mtrisii değişkelerde oluş sütu mtrisii X ve sğ trf sitleride oluş sütu mtrisii ile göstererek X verile deklem sistemii X mtris deklemi olrk yzılileceğii; tersiir ise u deklemi tek ir çözümü uluduğuu ve çözümü X ile verildiğii iliyoruz.

8 Dersv. 8 Dolyısıyl deklem sistemii tek çözümüü i-ici ileşei - i i-ici stırı ile i çrpımıdır. - i hesı içi yukrıd geliştirdiğimiz yötem kullılırs çözümü i-ici ileşeii k i ( k i) k i i ( ) k ( ) k ( k i) k olduğu görülür. Dikkt ediklirse yukrıd ikici ifdedeki toplm ktsyılr mtrisi ı i-ici sütuuu sütuuyl değiştirilmesiyle elde edile mtrisi determitıı i-ici sütu göre çılımıdır. ı i-ici sütuuu sütuuyl değiştirilmesiyle elde edile mtris (i) ile ( i) gösterirlirse i olduğu görülür. Elde edile soucu teorem olrk ifde edelim. k Teorem (Crmer Kurlı). Eğer deklem sistemii ktsyılr mtrisi tersiir ise u sistemi ir tek çözümü vrdır ve u tek çözüm ı i-ici sütuu sistemi sğ trf sitleride oluş sütuuyl değiştirilice elde edile mtris (i) olmk üzere dir. ( ) ( ) ( ) Crmer kurlı üç değişkeli deklem sistemi içi uygulırs ktsyılr mtrisii determitı olmk koşuluyl u sistemi tek çözümüü olduğu görülür.

9 Determitlr eotief Girdi-Çıktı lizi 9 Örek. deklem sistemii Crmer kurlı ile çözelim. Ktsyılr mtrisii ve u mtrisi sütulrıı sırsıyl sğ trf sitlerii oluşturduğu sütul değiştirice elde edile mtrisleri determitlrı ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( 6) ( ) ( ) (. 9 ) ( 8) ( ) ( öylece sistemi tek çözümü 9 ) ( ) ( ) ( olrk elde edilir. Crmer kurlı iki değişkeli iki deklemde oluş deklem sistemleri içi de geçerlidir: k h y X d c k dy c h y c d ise deklem sistemii tek çözümü şğıd verildiği giidir. k c h y d k h

10 Dersv. 6 y 8 Örek. deklem sistemii y 9 olup sistemi tek çözümü ktsyılr mtrisii determitı olrk elde edilir. 8 9 y eotief Girdi Çıktı lizi. urd ele lı kou dıı şğıd resmi görüle Rus sıllı mtemtikçi Wssili eotief`de lmktdır. Wssili eotief 96 yılıd eigrd d doğdu. Üiversiteyi eigrd d itirdi; doktorsıı lmy d yptı. 9 yılıd New York gitti. 97 yılıd Noel ekoomi ödülüü ldı. 999 yılıd veft etti. Girdi Çıktı lizi ir ekoomideki edüstrileri dış tleplerle irlikte irirlerii iç tleplerii de krşılyck kdr üretim ypmlrıı sğlyck dege koşullrıı elirlemek içi ypılır. Örek. Elektrik Şirketi (E) ve su şirketi (S) de oluş iki edüstrili ir ekoomi düşüelim. Her iki şirketi de çıktısı irim pr (p) ile ölçülsü. Elektrik şirketi su ve elektrik kullrk elektrik; su şirketi de yie su ve elektrik kullrk su üretiyor. p lık elektrik üretmek içi. p lık elektrik ve. p lık su p lık su üretmek içi. p lık elektrik ve. p lık su gerekiyor. Dış sektörü tlei p lık elektrik ve 8 p lık su olrk elirlemiş. Dege koşullrıı elirleyelim. Öce dış tlep kdr yi p lık elektrik ve 8 p lık su üretildiğii vrsylım. u tkdirde şirketleri hrcmlrı gereke elektrik ve su miktrlrı şöyledir:

11 Determitlr eotief Girdi-Çıktı lizi 6 Elektrik şirketi p lık elektrik üretmek içi.. p lık su şirketi de 8 p lık su üretmek içi.. 8 p lık elektrik tüketeceğide söz kousu üretimi gerçekleştirileilmesi içi iki şirketi p lık elektrik tüketmeleri gerekir. ezer şekilde elektrik şirketi p lık elektrik üretmek içi.. p lık su şirketi de 8 p lık su üretmek içi.. 8 p lık su tüketeceğide söz kousu üretimi gerçekleştirileilmesi içi iki şirketi p lık su tüketmeleri gerekir. u durumd dışrıy sdece 6.8 p lık elektrik ve.6 p lık su verileilir. Dege koşullrı gerçekleşmemiştir!.. Dege koşullrı e zm gerçekleşir? Üretile su ve elektrik tüm iç ve dış tlepleri krşıldığı zm. Dege koşullrıı elirlemek içi elektrik şirketii toplm çıktısıı p lık su şirketii toplm çıktısıı d p lık olduğuu kul edelim. u tkdirde iç tlepler elektrik içi.. p lık ve su içi.. p lık olcktır. Dış tlepler elektrik içi d p lık su içi d 8 p lık olcktır. İç ve dış tlepler irleştirilice deklem sistemi elde edilir ki u sistem mtris içimide olrk ifde edileilir. Eğer X M.... D 8 tımlırs yukrıdki deklem X MX D mtris deklemie döüşür. Elde edile mtris deklemi X MX D vey (I - M)X D içimide yzılilir. Yukrıd tıml M mtrisie tekoloji mtrisi X mtrisie çıktı mtrisi ve D mtrsie de dış tlep mtrisi deir. (I M) X D mtris deklemie girdi-çıktı mtris deklemi y d kısc girdi-çıktı deklemi deir. Girdi çıktı deklemi öğrediğimiz yötemlerde herhgi iri ile çözüleilir. Ktsyılr mtrisi I-M ir kre mtris olduğud I-M olmk koşuluyl u mtris deklemi ters mtriste yrrlılrk vey Crmer kurlı kullılrk d çözüleilir. Örek prolemimizde M I M.. I-M.....6

12 Dersv. 6 tür. Crmer kurlı ile girdi-çıktı deklemii çözümü (7) olrk elde edilir. O hlde iç ve dış tlei krşılilmesi içi p lık elektrik ve 7 p lık su üretilmelidir. u üretimle p lık elektrik ve 8 p lık su ol dış tlep krşılck ve uu mükü kılck üretimi ypılilmesi içi gerekli iç tlep de krşılcktır. Örek de trtışmış olduğumuz prolem iki edüstrili ir ekoomide girdi-çıktı prolemidir. Prtikte girdi-çıktı lizi ypıl ekoomilerde olrc edüstri söz kousudur ck ypılck liz iki edüstrili modelde frklı değildir. şk örekler vermede öce temel girdi-çıktı prolemii ir kez dh ifde edelim ve iki edüstrili ekoomi modeli içi yptığımız çözümü tekrr gözde geçirelim. Temel Girdi-Çıktı Prolemi: ir ekoomide her ir edüstrii üretim gerçekleştireilmesi içi gerekli iç tlepleri ilidiğide u edüstrileri hem iç tlepleri hem de dış tlepleri krşılyck çıktı sğlmlrı içi dege koşullrıı elirlemesi.. C ve C gii iki edüstri kolud oluş ir ekoomi modeli içi girdi-çıktı mtris deklemi ve ilgili mtrisler şğıdki gii oluşturulur. i j olmk üzere eğer C j edüstrisii p. lık çıktı ypmsı içi C i de eklee girdi ij ile gösterilirse u ekoomii tekoloji mtrisi şğıdki gii oluşturulur. Girdi C C Çıktı C C p lık C içi C girdisi M p lık C içi C girdisi p lık C içi C girdisi p lık C içi C girdisi Girdi-çıktı deklemii yzmk içi C edüstrisii toplm çıktısı C edüstrisii toplm çıktısı ; dış sektörü C de tlei d C de tlei d ile gösterilerek çıktı mtrisi X ve dış tlep mtrisi D oluşturulur: d X D. d

13 Determitlr eotief Girdi-Çıktı lizi 6 Girdi çıktı mtris deklemi X MX D olrk ifde edilip (I - M) X D içimide düzeleeilir. Prolemi çözümü içi u deklem dh öce çıkl yötemlerde herhgi iri ile çözüleilir. Özel olrk ktsyılr mtrisii determitı I M ise ters mtris yötemi vey Crmer kurlı kullılilir. Üç vey dh çok edüstrili ekoomi modelleri içi de yukrıdkiler tekrrlilir. Eğer ekoomi C C ve C edüstrileride oluşuyors tekoloji mtrisii sıl oluşturulduğu şğıdki şekilde izleeilir: Çıktı C C C Girdi C C C M Yukrıd olduğu gii M i i j girdisi ij C j edüstrisii p lık çıktı ypmsı içi C i de eklee girdidir i j. Her i içi C i i toplm çıktısı i ve dış sektörü C i de tlei d i ise çıktı mtrisi ve dış tlep mtrisi X d D d ; d girdi çıktı mtris deklemi X MX D (I - M) X D dir. Örek. Trım (T) Eerji (E) ve İmlt (İ) sektörleride oluş ir ekoomide p lık trımsl üretim içi. p lık trım. p lık eerji girdisi; p lık eerji üretimi içi. p lık eerji. p lık imlt girdisi; p lık imlt içi. p lık trım. p lık eerji ve. p lık imlt girdisi

14 Dersv. 6 gerekmektedir. Dış tlep trım içi p lık eerji içi p lık ve imlt içi p lıktır. İç ve dış tlei krşılilmesi içi her sektörü gerçekleştirmesi gereke çıktı e olmlıdır? İlgili mtrisleri yzlım:.. M..... X D.8. I M Çözümü Crmer kurlı ile yplım. I M (..) (.6.).( ) (7 ).( ) ( ) (.6 ) O hlde iç ve dış tlei tmmıı krşılilmesi içi trım sektörü p lık eerji sektörü 7 p lık ve imlt sektörü 6 p lık çıktı gerçekleştirmelidir.

15 Determitlr eotief Girdi-Çıktı lizi 6 Prolemler. şğıdki mtrisleri determitlrıı uluuz. ) ) 8 c) ç) d) e) f) g) h). şğıdki deklem sistemlerii Crmer Kurlı ile çözüüz. ) ) c) ç) d) e). şğıd trım (T) ve eerji (E) sektörlerie dylı ir ekoomii tekoloji mtrisi M ve dış tlep mtrisi D içi çeşitli değerler verilmiştir: Pr irimi YT dir.. 9 ; 8 ; 6 ;.... D D D M ) ir YT lik T çıktısı sğlmk içi kç YT lik T ve kç YT lik E girdisi gerekmektedir? ) ir YT lik E çıktısı sğlmk içi kç YT lik T ve kç YT lik E girdisi gerekmektedir? c) I - M ve (I - M) - i uluuz. ç) D so tleii krşılyilmek içi her ir sektörü çıktısı e olmlıdır? d) D so tleii krşılyilmek içi her ir sektörü çıktısı e olmlıdır? e) D so tleii krşılyilmek içi her ir sektörü çıktısı e olmlıdır?. İki-edüstrili ir ekoomide şğıd verile M ve D içi X i uluuz. ) ;.... D M ) ;.... D M T E T E Çıktı Girdi

16 Dersv. 66. Üç-Edüstrili ir ekoomide şğıd verile M ve D içi X i uluuz. ) M ;. D ) M ;. D 6. Trım (T) ve otomoil (O) üretimie dylı ir ekoomii tekoloji mtrisi M ydki gii veriliyor. Pr irimi milyo T O YT dir. T.. ) milyo YT trım ve milyo YT lik otomoil M O.. üretimi tutrıd so (dış) tlep içi her sektörü çıktısı e olmlıdır? ) Trım çıktısı milyo YT rtrs ve otomoil üretimi çıktısı değişmez klır ise dış tlep mtrisi sıl değişir? 7. İşt(I ) ve mdeciliğe(m) dylı ir ekoomii tekoloji mtrisi M ydki gii veriliyor. u iki sektörü yöetimleri toplm çıktı düzeyii öyle ir değerie ulşmk istiyorlr ki so tlep toplm çıktıı % ı olsu. u isteği krşılmsı içi sıl ir yötem uygulmlıdır? I I. M. M. M. 8. ir ekoomi trım ve turizm edüstrilerie dymktdır. YT lik trımsl üretim içi trım sektörüde. YT lik turizm sektörüde. YT lik üretim gerekmekte; YT lik turizm üretimi içi ise trım sektörüde. YT lik turizm sektörüde. YT lik üretim gerekmektedir. Dış tlep 6 i YT lik trım ve 8 i YT lik turizm üretimi olduğu göre her sektör içi toplm çıktıyı uluuz. 9. ir ekoomi kömür ve çelik sektörlerie dymktdır. ir YT lik kömür üretimi.yt lik kömür ve. YT lik çelik girdisi; ir YT lik çelik üretimi ise. YT lik kömür ve. YT lik çelik girdisi gerektirmektedir. So tlep milyo YT lik kömür ve milyo YT lik çelik üretimi olduğu göre her sektörü e kdr YT lik üretim ypmsı gerektiğii (çıktısıı) elirleyiiz.. ir şirket elektrik doğl gz ve petrol üretmektedir. ir YT lik elektrik üretimi. YT lik elektrik. YT lik doğl gz ve. YT lik petrol gerektirmektedir. ir YT lik doğl gz üretimi. YT lik elektrik. YT lik doğl gz ve. YT lik petrol gerektirmektedir. ir YT lik petrol üretimi her sektörde. YT lik miktr gerektirmektedir. Dış tlep milyo YT lik elektrik milyo YT lik doğl gz ve milyo YT lik petrol olduğu göre her sektörü e kdr YT lik üretim ypmsı gerektiğii (çıktısıı) elirleyiiz.