DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ"

Transkript

1 C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 5 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ Öğr. Gör. Dr. Mehmet Ali ALAN Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Öğr. Gör. Dr. Cvit YEŞİLYURT Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültes Özet İşletmeler, optimizsyo problemlerii çözümüde çeşitli yötemler kullırlr. Bu yötemlerde e yygı kullıllrıd birisi de doğrusl progrmlm tekiğidir. Doğrusl progrmlm problemlerii çözümüde Excel çözücüsü, hem Excel i çok yygı olrk kullılmsı hem de çözümü koly ve lşılır olmsı edeiyle kullıcılr içi pek çok vtj sğlr. Ahtr Kelimeler: Doğrusl Progrmlm, Çözücü,Excel, Optimizsyo The Solutio of Lier Progrmmig Problems Through Excel Abstrct Busiesses use vrious methods i solvig optimistio problems. Oe of these methods used commoly is lier progrmmig method. Excel solver provides my dvtges for users becuse of both its usge i solvig lier progrmmig problems d its simplicity d uderstdbilty. Key Words: Lier Progrmmig, Solver, Excel, Optimiztio.DOĞRUSAL PROGRAMLAMA İktist bilimi kısc sıırlı kyklrı yöetimi olrk biliir. İşletmeler çbuk ve isbetli krrlr lbilmeleri büyük ölçüde sistemtik yklşım gereksiim duyrlr (Yılmz,995:). Bilimsel krr lm süreci modellere dyır. Krr lmd kullılbilecek çok çeşitli modeller ve tekikler geliştirilmiştir. Bulr; doğrusl progrmlm, ulştırm modelleri, leotief modeli, şebeke lizi, stok modelleri, oyu kurmı, bekleme httı modelleri, dimik progrmlm, tm syılı progrmlm, Mrkov lizi, doğrusl olmy progrmlm vb.dir (Yeşilyurt,996:). İster syısl lizler, ister yöeylem rştırmsı dı ltıd olsu uygulmkt vey geliştirilmekte ol ve mtemtik model kull bütü yötemler, essıd işletme sorulrıı mtemtik olrk progrmlmsı ve çözümüde bşk bir şey değildir. İşletme problemlerii mtemtik

2 5 ALAN ve YEŞİLYURT modelleride yrrlrk çözümü süreci, bulu souçlrı gerçeğe uyguluk derecelerii rştırılmsı, gerekli kotrolleri ypılmsı ve strtejileri sptmsı ile tmmlır. İşte mtemtik modelleri kuruluşu, çözümü, kotrolü ve uygulmsı strtejilerii sptmsıd oluş bu süreç mtemtik progrmlmyı oluşturmktdır (Tuluy,987:IX-X). İşletme problemlerii, syısl verilerle e bsit şekilde ltımı doğrusl progrmlm (D.P.) ile olklıdır. D.P., belli doğrusl eşitlikleri vey eşitsizlikleri kısıtlyıcı koşullrı ltıd doğrusl bir mç foksiyouu optimumlştırmk biçimide tımlbilir. Optimumlştırmk, belli bir mc e z msrfl ulşmk y d belli kyklrl e çok ürüü sğlmk lmı gelir. (Esi,998:4) D.P. sürecide, öce gerekli bilgiler toplır, probleme it bir model kurulur ve dh sor bu modeli çözümleri bilgisyr destekli yzılım pketleri ile buluur. Bu çözümleri gerçek yşm problemlerie uygulbilirliği test edildikte sor yöeticilere suulur..d.p. NİN MATEMATİKSEL YAPISI D.P. i üç öemli bileşei vrdır:amç foksiyou, Kısıtlyıcı foksiyolr ve Pozitif kısıtlm (Besley, 003). Amç Foksiyou: D.P. modelide doğrusl biçimde ifde edile bir mç foksiyou vrdır. Amç foksiyou, kâr mksimizsyou y d mliyet miimizsyou şeklide olur. Amç foksiyou Z, kotrol edilebilir değişkeler X j (,,,) ve sbit ktsyılr (birim bşı kâr y d birim bşı mliyet ktsyılrı) c j (,,,) olmk üzere Z = c j x j biçimide ifde edilebilir. Bu mç foksiyou çık yzılımı ise şöyledir. Z = c x + c x +. + c x Kısıtlyıcı Foksiyolr: İşletmeler, fliyetlerii bir tkım kısıtlyıcı koşullr ltıd sürdürürler. Mkieleri kpsite kullımlrı, iş gücü, fism, zm sıırlılığı vb. gibi koşullr bu kısıtlyıcılr örek olrk verilebilir. Kısıtlyıcılr, tekoloji mtrisi ij, ihtiyç vektörü b i olmk üzere stdrt mksimizsyo problemide x ij b i, i=,,,m stdrt miimizsyo problemide ise,

3 C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 53 x ij b i, i=,,,m biçimide ifde edilirler. Stdrt D.P. problemleride y d yı sır = işreti hem mksimizsyod hem de miimizsyo problemleride kullılbilir. Öreği mkieleri tm kpsite ile çlışmlrı durumud = lik kullılır. Stdrt olmy D.P. problemleride kısıtlyıcılrı sğıdki işretler, y d = işretleri krışık olrk t kullılbilmektedirler (Hcıslihoğlu, 99:38). Pozitif Kısıtlm: İşletme fliyetleri koordit düzlemii birici bölgeside meyd gelir. Yi, egtif üretim y d egtif mliyet olmycğıd krr değişkeleri X j leri egtif olmsı düşüülemez. Bu mtemtiksel olrk X j 0,,,, biçimide ifde edilir. Yukrıdki çıklmlr doğrultusud bir doğrusl progrmlm problemii geel ypısı;. Kâr mksimizsyoud; Amç foksiyou; Kısıtlyıcılr; = c X mx j j,,,, Z ij X j b i, i=,,,m,,,, Pozitif kısıtlm;.mliyet Miimizsyou; Amç foksiyou; X j 0,,,, Z mx = c j X j,,,, Kısıtlyıcılr;

4 54 ALAN ve YEŞİLYURT ij X j b i, i=,,,m,,,, Pozitif kısıtlm; X j 0,,,, biçimide verilir. Yukrıd geel mtemtiksel modeli verile doğrusl progrmlm modeli dh çık biçimde şğıdki gibi yzılbilir. Amç foksiyou: Kısıtlyıcılr: Z mx = c x + c x +. + c x Pozitif Kısıtlm: x + x + + x b x + x + + x =b M M M m x m + m x m + + m x m b m x 0, x 0,, 0 x Kâr mksimizsyou ol bu modelde kısıtlyıcı eşitsizlikleri sğ trfıdki işreti yerie işreti yzılırs mliyet miimizsyouu mtemtiksel modeli elde edilmiş olur. Bu model, mtris gösterimi ile de şğıdki gibi yzılbilir. ij ktsyılrıd oluş tekolojik mtris; ihtiyç vektörü; A = M m M m b b B = M b m L L M L M m

5 C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 55 fiyt (y d mliyet) ktsyılrıd oluş vektörü de Krr değişkeleri vektörü ise şeklide verilirse, Amç foksiyou; Kısıtlyıcılr, Pozitif kısıtlm, Z M m C =[ c c L ] Mi / Mx = M m X = x x M x m c [ c c L c ] M L L L M m x x M x m X 0,,,, j x x M x b b M = b m şeklide olur. D.P. yötemii kullılışlığı, bilgisyr yzılımlrıdki gelişmeler ile dh d rtmıştır (Th,000:). Doğrusl progrmlm problemlerii bilgisyr ortmıd çözümü içi LINDO, QSB, DEAP, TORA gibi çeşitli progrmlr geliştirilmiştir. Bu progrmlrı yı sır herkesçe rhtlıkl elde edilebilecek ve kullımı koly ol Excel ile de bu problemleri çözmek olklıdır. Widows u çok yygılşmış olmsı, ofis uygulm progrmlrıı heme herkesçe kullılbilmesi, bu problemleri Excel de çözümüü öemli kılmktdır.

6 56 ALAN ve YEŞİLYURT 3. EXCEL VE ÇÖZÜCÜ Excel, Microsoft firmsı trfıd geliştirilmiş bir hesp tblosu progrmıdır. Widows ve Mcitosh ortmlrı içi hzırlmıştır ve şu d düyd e çok kullıl progrmlrd birisidir. Excel mühedislere, mimrlr, muhsebecilere ve bütü mesleklerdeki islrı hesplm gereksiimlerii gidermek içi kullılbilir. Bu gereksiimler bsit toplm işlemleri olbileceği gibi yüksek mtemtik problemlerii hızlı bir biçimde çözülmesie y d mimrlık hesplrıı ypılmsı d olbilir (http://www.gtep.edu.tr/~bidb/ ofisyrdimci/excel/e_bicim.htm ). Çözücü, verile kısıtlr ltıd bir mç işlevi belirli değişkeler içi çözümüü sğlr (Yvuz, 999:54). Çözücü ile. derecede bir bilimeyeli deklem çözülebileceği gibi bilimeyeli m det deklem sistemii de çözmek olklıdır. Bu çlışmd, Ofis XP kullılrk, mtemtik progrmlm modelleride doğrusl progrmlm problemlerii Excel Çözücüsü yrdımıyl çözümü verilecektir. 4. ÇÖZÜCÜNÜN ETKİNLEŞTİRİLMESİ VE ÖRNEK UYGULAMA Bir D.P. problemii y d bir deklem sistemii çözümü içi öcelikle Excel i rçlr meüsüde çözücü işlevii olup olmdığı kotrol edilmelidir. Eğer çözücü yok ise izleye şekilde görüldüğü gibi Arçlr meüsüde Ekletilere gelierek çözücü ekletisi oylmlıdır. Şekil:. Excel Çözücüsüü Etkileştirilmesi Eğer Arçlr meüsüde çözücü işlevi vr ise D.P. problemlerii y d deklem sistemlerii çözmek olklı olcktır. İzleye öreklerde bir mksimizsyo, bir de miimizsyo problemii Excel de çözüm süreci dım dım çıklmıştır.

7 C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 57 Amç Foksiyou: Kısıtlyıcılr: Pozitif Kısıtlm: Z mx = 5x + 8x 4x x 3x + 6x + x + 9x x 0, x 0 Öcelikle Excel çlışm syfsıdki A ve B dreslerie X ve X girilmeli ve A ve B dreslerie 0 (sıfır) değeri yzılmlıdır (Şekil.). Sorki dımd uygu bir hücreye gelierek (Örekte D hücresi) bu hücreye mç foksiyou izleye biçimde yzılır: = 5*A+8*B Amç foksiyoud sor d kısıtlyıcılr bezer şekilde y hücrelere girilir. Örek uygulm içi kısıtlyıcı foksiyolrı yzılışı ve hücre dresleri izleye biçimdeki gibi girilmiştir: E Hücresie =4*A+6*B-4 F Hücresie =*A+B-8 G Hücresie =3*A+9*B-36 H Hücresie =A I Hücresie =B Bu deklemleri girilmeside sor, çözüm öcesi hücrelerde oluş durum izleye şekildeki gibidir: Şekil. Deklemleri Excel Hücrelerie Girilmesi Bu şmd sor ktif hücre olrk mç foksiyou buluduğu D hücresi seçilmeli ve rçlr meüsüde çözücü işlevi çlıştırılmlıdır. Çözümü ve gerekli prmetreleri tımlcğı çözücü prmetreleri peceresi çılcktır (Şekil 3).

8 58 ALAN ve YEŞİLYURT Şekil 3: Çözücü Prmetreleri Peceresi Bu peceredeki Hedef Hücre, mç foksiyou buluduğu hücredir. Çükü elde edile çözüm soucud e yüksek kâr y d e düşük mliyet (optimum souç) bu hücrede gerçekleşecektir. Eşittir: prmetreside ise eğer kâr mksimizsyou problemi çözülecekse E Büyük, mliyet miimizsyou çözülecekse E Küçük ltertifi oylmlıdır. Eğer ylızc deklem sistemi çözülecekse bu durumd Eşittir=0 prmetresi seçilmelidir. Değişe hücreler kısmı ise mksimizsyo y d miimizsyo problemii çözümü soucud elde edilecek X ve X değerleridir. Kısıtlmlr bölümü ise kısıtlyıcı foksiyolrı tımldığı bölümdür. Ekle düğmesi tıklrk kısıtlyıcı foksiyolr sırsıyl seçilmelidir. Şekil 4. te ekle düğmesii tıklmsı ve birici kısıtlyıcıı seçilmesi ile elde edilmiştir. Bezer şekilde diğer kısıtlyıcılrd tek tek girilmelidir. Şekil 4: Kısıtlyıcı Foksiyolrı Eklemesi Burd Tmm düğmesi oylrk y d tekrr Ekle düğmesi seçilerek dh sorki kısıtlyıcılrı girilmesi sğlbilir.bütü

9 C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 59 kısıtlyıcılrı girilmesiyle elde edile çözücü prmetreleri peceresi Şekil:5 teki gibi elde edilecektir. Şekil 5:Çözücü Prmetrelerii Tımlmsı Bu şm ile bütü çözücü prmetreleri girilmesi tmmlmış olur. Çöz düğmesii tıklmsı ile D.P. problemi çözülür. Deklemi çözücü işlevi ile çözümüde elde edile Excel çlışm syfsı izleye biçimdeki gibidir (Şekil 6). Şekil 6:Souç Ekrı Çlışm syfsıd d görüldüğü gibi X=0, x=4 ve mç foksiyou Z mx =3 olrk bulumuştur. İzleye D.P. Problemide ise miimizsyo öreğii Excel çözücüsü ile çözümü verilmiştir. Amç Foksiyou: Kısıtlyıcılr: Pozitif Kısıtlm: Z 4 + x mi = x + 8x 36 4x 6x + x + x + 3x + 9x

10 60 ALAN ve YEŞİLYURT x 0, x 0, x3 0 Excel çlışm syfsıdki A, B ve C dreslerie X,X ve X3 girilmeli ve A, B ve C dreslerie 0 (sıfır) değeri yzılmlıdır. Sorki dımd uygu bir hücreye gelierek (Örekte E hücresi) bu hücreye mç foksiyou izleye biçimde yzılmlıdır: =4*A+8*B+36*C Amç foksiyoud sor d kısıtlyıcılr bezer şekilde y hücrelere girilmelidir. Kısıtlyıcı foksiyolrı yzılışı ve hücre dresleri izleye biçimdeki gibi girilmiştir: F Hücresie =4*A+*B+3*C-5 G Hücresie =6*A+B+9*C-8 H Hücresie =A I Hücresie =B J Hücresie =C Bu deklemleri girilmeside sor hücrelerde oluş durum izleye şekildeki gibidir (Şekil:7): Şekil 7: Deklemleri Excel hücrelerie Girilmesi Bu şmd sor ktif hücre olrk mç foksiyou buluduğu D hücresi seçilmeli ve rçlr meüsüde çözücü işlevi çlıştırılmlıdır. Çözücü prmetreleri örek probleme uygu olrk izleye biçimde tımlmıştır.

11 C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 6 Şekil:8. Çözücü Prmetrelerii Tımlmsı Bu prmetreleri tımlmsıd sor Çöz düğmesi tıklır ve optimum çözüm elde edilmiş olur. Çöz düğmesii tıklmsıd sor elde edile Excel çlışm syfsı izleye biçimde elde edilmiştir (Şekil:9). Şekil:9. Souç Ekrı Çlışm syfsıd d görüldüğü gibi X=,66667, x=0, x3=0, ve mç foksiyou Z mi =3 olrk bulumuştur. KAYNAKÇA Esi Alpteki, Yöeylem Arştırmsıd Yrrlıl Krr Yötemleri, Gzi Üiversitesi Yyı No:6, Akr 988. Hcıslihoğlu Hilmi ve Diğerleri, Geel Mtemtik, Adolu Üiversitesi Yyılrı, Yyı No:4, Eskişehir, 99. J E Besley, Lier progrmmig-formultio OR-Notes, Lier Progrmmig:Frequetly Asked Questio, Q. Wht is Lier rogrmmig?

12 6 ALAN ve YEŞİLYURT Spirodi (Spyros) Reveliotis, A Itroductio to Lier Progrmmig d the Simplex Algorithm ~spyros/lp/lp.html, Tuluy Yılmz, Mtemtik Progrmlm ve İşletme Uygulmlrı,Byrk Mtbcılık, İstbul 987. Yvuz Uğur, Excel 97, Attürk Üiversitesi Yyı No:4, Erzurum 999 Yeşilyurt Cvit, Nolieer Mtemtik Progrmlm Modelleride Kudrtik Progrmlm ve Sivs Ulş Süt Fbriksıd Bir Uygulm, Yyılmmış Y.Liss Tezi, Sivs 996. Yılmz Zekyi, Syısl Yötemler, Uludğ Üiversitesi, Burs

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1 SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie

Detaylı

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER Bhr 2005-2006 Hft Bu Hft Özet Ders Hkkıd Geel Bilgiler Mtris işlemlerie giriş 2 Öğretim Üyesi: Öğr. Gör. Od No: 442, Tel: 293 3 00 / -- E-mil: ltuger@itu.edu.tr Ders Stleri: Slı

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı Trce ve Kellogg Yöemleri Kullılrk İegrl Operörlerii Özdeğerlerii Nümerik Hesı Erk Tşdemir () ; Yüksel Soyk () ; Melih Göce (3) (¹)Kırklreli Üiversiesi, Kırklreli, Türkiye, erksdemir@homil.com (²)Büle Ecevi

Detaylı

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1 YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS-YGS Böle: i,( 0 ÜSLÜ İFADELER R ve Z olk üzere te ı çrpıı deir. ii, (b 0 b b... te Not:.... dır. te... 0 ve... 0. 0 te 0 te ÜSLÜ ÇOKLUKLARLA İLGİLİ ÖZELLİKLER

Detaylı

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI KARŞI AKIŞI SU SOĞUTMA KUESİ BOYUTANIDIRIMASI Yrd. Doç. Dr. M. Turh Çob Ege Üiversitesi, Mühedislik Fkultesi Mkie Mühedisliği Bölümü turh.cob@ege.edu.tr Özet Bu yzımızd ters kışlı soğutm kulelerii boyut

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü Fırt Üiversitesi Mühedislik Fkültesi Elektrik - Elektroik Mühedisliği Bölümü ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Hzırly: Arş. Gör. Göky BAYRAK ELAZIĞ-008 İletim Htlrıı Elektriksel Ypısı ) Sürekli Durum:Nomil

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir.

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir. 2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (DP) 2.1. DP i Taımı ve Bazı Temel Kavramlar Model: Bir sistemi değişe koşullar altıdaki davraışlarıı icelemek, kotrol etmek ve geleceği hakkıda varsayımlarda bulumak amacı ile

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

Euler Yöntemi İle Gerçek Zamanlı Sayısal İntegrasyon İşleminin FPGA Ortamında Gerçekleştirilmesi. İ. Soya, T. Tuncer, Y. Tatar

Euler Yöntemi İle Gerçek Zamanlı Sayısal İntegrasyon İşleminin FPGA Ortamında Gerçekleştirilmesi. İ. Soya, T. Tuncer, Y. Tatar 6 th Itertiol Advced Techologies Symposium (IATS 11), 16-18 My 2011, Elzığ, Turkey Euler Yötemi İle Gerçek Zmlı Syısl İtegrsyo İşlemii FPGA Ortmıd Gerçekleştirilmesi İ. Soy, T. Tucer, Y. Ttr Firt Üiversitesi

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi Andolu Üniversitesi Mühendislik Fkültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Plnlmsı 2015-2016 Güz Dönemi 2 Tesis (fcility) Tesis : Belli bir iş için kurulmuş ypı Tesis etmek :

Detaylı

MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE

MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE Yrdımcı Doçent Doktor Yılmz YÜKSEL 1. GİRİŞ Tekstil Mklnlrmd hmmddeyi mmul mdde hline getirirken çoğu kere bir çok teknik iş belirli bir sıry göre rdrd ypılmktdır.

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Mühendisliği Bölümü E-Post: ogu.hmet.topcu@gmil.com Web: http://mmf2.ogu.edu.tr/topcu Bilgisyr Destekli Nümerik Anliz Ders notlrı 204

Detaylı

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece

Detaylı

MERAKLISINA MATEMATİK

MERAKLISINA MATEMATİK TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre):

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre): DP SİMPLEKS ÇÖZÜM Simpleks Yöntemi, amaç fonksiyonunu en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir

Detaylı

ÜÇ FAZLI BIR ASENKRON MOTORDA MANYETIK SÜSPANSIYONLU YATAK UYGULAMASI

ÜÇ FAZLI BIR ASENKRON MOTORDA MANYETIK SÜSPANSIYONLU YATAK UYGULAMASI ÜÇ FAZL BR ASENKRON MOTORDA MANYETK SÜSPANSYONLU YATAK UYGULAMAS Osm GÜRDAL*, Yusuf ÖNER** *Gzi Üiversitesi, Tekik Egitim Fkültesi, Elektrik Egitimi Bölümü, Tekikokullr, ANKARA **Pmukkle Üiversitesi, Elektrik

Detaylı

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması Güz Dönemi

Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması Güz Dönemi Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM4 Tesis Plalaması 6-7 Güz Döemi 3 Sisteme ekleecek tesis sayısı birde fazladır. Yei tesisler birbirleri ile etkileşim halide olabilirler

Detaylı

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN ANALİZ III DERS NOTLARI Prof. Dr. Nuretti ERGUN İ Ç İ N D E K İ L E R Syf No BÖLÜM Foksiyo Dizi ve Serileri... BÖLÜM Fourier Serileri... BÖLÜM 3 Özge Olmy Tümlevler...48 BÖLÜM 4 Dik Poliom Serileri...7

Detaylı

Dış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz Önüne Alınması Durumu

Dış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz Önüne Alınması Durumu Dış Etk Olrk Sıcklık Değşmes ve/vey eset Çökmeler Göz Öüe Alımsı Durumu Dış etk olrk göz öüe lı sıcklık eğşm ve meset çökmeler hpersttk sstemlere şekl eğştrme le brlkte kest zoru mey getrr. Sıcklık eğşm:

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ Geel olrk 4 tp yötem kullılır.. Düz çzg yötem: Mlı değer zml doğrusl olrk zldığı vrsyılır. Mlı hzmet ömrü boyuc her yıl ç yı mktr mortsm olrk yrılır. V V d = S d:

Detaylı

Yard. Doç. Dr. Şehnaz DEMİRKOL. Yard. Doç. Dr. Suna Mugan ERTUĞRAL

Yard. Doç. Dr. Şehnaz DEMİRKOL. Yard. Doç. Dr. Suna Mugan ERTUĞRAL Sosyl Bilimler ergisi 2007, (2), 23-34 Yrd. oç. r. Şehz EMİRKOL Yrd. oç. r. Su Mug ERTUĞRAL İstbul Üiversitesi İktist Fkültesi, Turizm İşletmeciliği Bölümü İstbul Üiversitesi iktist Fkültesi, İktist Bölümü

Detaylı

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4.

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4. Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi. Köklü Syılr.. Köklü Syılrı Tıı Bu bölüde, kök dediğiiz sebollerle gösterile gerçek syılrı köklü syılr olrk tıtck ve bulrı gerçek syılrı rsyoel kuvvetleri olduğuu göstereceğiz.

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200 ., b, c, d Z olmk üzere / + /b + /c + /d = ½ ve ( + b + c + d) =.b + c.d + ( + b ).(c +d) + dekliklerii sğly kç (, b, c, d) dörtlüsü vrdır? A) 48 B) 4 C) D) 6 E) 5. Alı 40 birim kre ol bir ABC üçgeii AB,

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI, www.mustfygci.com, 006 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Diziler Mtemtiği e zevkli ve sürükleyici koulrıd birie geldik. Pek zorlcğımı thmi etmiyorum, çükü yei esil diziler e oldukç merklı. Kurtlr

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları LİMİT İÇ KAPAK Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI MAK00 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Dersin Adı: MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYG. Dersin Kodu: MAK00 Dersin Türü: Zorunlu Dersin Seviyesi: Lisns 5 Dersin Verildiği Yıl: 6 Dersin Verildiği

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4. IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }

Detaylı

BİR VİNÇ ATÖLYESİNDE İKİLİ VERİLERE DAYALI HÜCRE OLUŞTURMA YÖNTEMLERİYLE HÜCRELERİN OLUŞTURULMASI

BİR VİNÇ ATÖLYESİNDE İKİLİ VERİLERE DAYALI HÜCRE OLUŞTURMA YÖNTEMLERİYLE HÜCRELERİN OLUŞTURULMASI 36 Erciyes Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Dergisi, Syı: 3, Ock-Hzir 009, ss.35-5 BİR VİNÇ ATÖLYESİNDE İİLİ VERİLERE DAYALI HÜCRE OLUŞTURMA YÖNTEMLERİYLE HÜCRELERİN OLUŞTURULMASI ÖZ Bület

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant SAYISAL ANALİZ Mtris ve Determinnt Syısl Anliz MATLAB ile Temel Mtris İşlemleri Genel Mtris Oluşturm Özel Mtris Oluşturm zeros komutu ile sıfırlr mtrisi ones komutu ile birler mtrisi eye komutu ile birim

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

İlişkisel Veri Modeli. İlişkisel Cebir İşlemleri

İlişkisel Veri Modeli. İlişkisel Cebir İşlemleri İlişkisel Veri Modeli İlişkisel Cebir İşlemleri Veri işleme (Mnipultion) işlemleri (İlişkisel Cebir İşlemleri) Seçme (select) işlemi Projeksiyon (project) işlemi Krtezyen çrpım (crtesin product) işlemi

Detaylı

TOMRUKLARDAN MAKSİMUM KERESTE RANDIMANI ELDE ETMEK İÇİN İKİ BOYUTLU GEOMETRİK TEORİ 1. Süleyman KORKUT

TOMRUKLARDAN MAKSİMUM KERESTE RANDIMANI ELDE ETMEK İÇİN İKİ BOYUTLU GEOMETRİK TEORİ 1. Süleyman KORKUT Süleymn Demirel Üniversitesi Ormn Fkültesi Dergisi Seri: A, Syı:, Yıl: 004, ISSN: 130-7085, Syf:160-169 TOMRUKLARDAN MAKSİMUM KERESTE RANDIMANI ELDE ETMEK İÇİN İKİ BOYUTLU GEOMETRİK TEORİ 1 Süleymn KORKUT

Detaylı

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER.

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER. Mutlk Değer YILLAR 4 6 8 9 1 11 ÖSS-YGS - - - 1 - - 1 - - 1/1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( )

Detaylı

1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon. F t SORU 2 : SORU 1 : Bahar, t=1,3,5. yılların sonunda. Bir yatırım fonu, 0 t 1. için. anlık faiz oranına göre

1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon. F t SORU 2 : SORU 1 : Bahar, t=1,3,5. yılların sonunda. Bir yatırım fonu, 0 t 1. için. anlık faiz oranına göre SORU 1 : Bhr, t=1,3,5. yıllrın sonund 1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon oluşturmuştur. Üç ylığ dönüştürülebilir nominl iskonto ornı 4/41 olrk verildiğine göre, bu fonun 7. yıl sonundki birikimli değeri,

Detaylı

ORAN VE ORANTI. Aynı birimle ölçülen iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir. a nın b ye oranı; b

ORAN VE ORANTI. Aynı birimle ölçülen iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir. a nın b ye oranı; b 1 ORAN VE ORANTI ORAN: Ayı irimle ölçüle iki çokluğu ölme yoluyl krşılştırılmsı or eir. ı ye orı; şeklie gösterilir. 3 00gr 15m Örek 1:,,... 3 300gr 0m irer orır. 00gr 30m 5000TL Örek :,,,... ifeleri irer

Detaylı

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI SEVGİ İŞLER EYLÜL 5 ÖZET KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE

Detaylı

DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ UYGULAMALARI

DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ UYGULAMALARI T.C. Mltepe Üniversitesi Mühendislik ve Doğ Bilimleri Fkültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü ELK 201 DEVRE TEORİSİ DERSİ LABORATUVARI DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ

Detaylı

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü

Detaylı

on8 S İ G O R T A C I L I K S E K T Ö R Ü K U R U M S A L W E B S İ T E L E R İ G E N E L A N A L İ Z Ç A L I Ş M A S I

on8 S İ G O R T A C I L I K S E K T Ö R Ü K U R U M S A L W E B S İ T E L E R İ G E N E L A N A L İ Z Ç A L I Ş M A S I on8 S İ G O R T A C I L I K S E K T Ö R Ü K U R U M S A L W E B S İ T E L E R İ G E N E L A N A L İ Z Ç A L I Ş M A S I Kurumsl web sitelerinin en büyük hedefi; kullnıcılrı müşteri, müşterileri kullnıcı

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

Doç. Dr. A. Kürflat ERBAfi

Doç. Dr. A. Kürflat ERBAfi Nesibe AYDIN Doç. Dr. A. Kürflt EBAfi Bu kitp, Milli E itim Bkl, Tlim ve Terbiye Kurulu Bflkl..9 trih ve 8 sy l Kurul krr yl, - ö retim y l d itibre (befl) y l süreyle ders kitb olrk kbul edilmifltir.

Detaylı

ÖĞRENME ETKİLİ ÇİZELGELEME PROBLEMİNDE MAKSİMUM GECİKMENİN ENKÜÇÜKLENMESİ İÇİN ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI

ÖĞRENME ETKİLİ ÇİZELGELEME PROBLEMİNDE MAKSİMUM GECİKMENİN ENKÜÇÜKLENMESİ İÇİN ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI V. Ulusl Üetim Aştımlı Sempozyumu, İstbul Ticet Üivesitesi, 25-27 Ksım 2005 ÖĞRENME ETKİLİ ÇİZELGELEME PROBLEMİNDE MAKSİMUM GECİKMENİN ENKÜÇÜKLENMESİ İÇİN ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Tme EREN Kııkkle Üivesitesi

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

Düşük fiyatlar garanti altında!

Düşük fiyatlar garanti altında! Bu fiyt listesideki fiytlr 18.05-21.05.2012 içi geçerlidir. Bu fiyt listemizde yer l ürülerimiz stoklrımızl sıırlıdır. Tüm ürülerde KDV orı, promosyo trihide belirtile orlr çerçeveside tespit edilmiş olup,

Detaylı

2.I. MATRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER

2.I. MATRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı.I. MTRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER Tnım.. Mtris. şğıdki gibi stırlr ve sütunlr biçiminde sırlnmış reel syı tblolrın mtris denir............. n n n... mtrisinin n stırı

Detaylı

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (006).8. İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ Scit OĞUZ, Perihn (Krkulk) EFE Blıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müh. Bölümü Blıkesir, TÜRKİYE ÖZET Bu çlışmd İş Etki Çizgisi

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

Nümerik Analiz A A -1 =I. Bilgisayar Destekli. Ders notları TERS MATRİS HESABI GAUSS-JORDAN tekniği. m=n

Nümerik Analiz A A -1 =I. Bilgisayar Destekli. Ders notları TERS MATRİS HESABI GAUSS-JORDAN tekniği. m=n ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİESİ Mühedislik Mimrlık Fkültesi İşt Mühedisliği Bölümü EPost: ogu hmettopcu@gmilcom We: http://mmfoguedutr/topcu Bilgisyr Destekli Nümerik liz Ders otlrı hmet OPÇU m Kre mtrisi

Detaylı

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır? 987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl II / 7 Ksım 0 Mtemtik Sorulrının Çözümleri. Bölüm şeklindeki kreköklü ifdenin pydsını krekökten kurtrmk için py ve pydyı, pydnın

Detaylı

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects Uşak Üiversitesi Sosyal Bilimler Dergisi (2012) 5/2, 89-101 Yatırım Projeleride Kayak Dağıtımı Aalizi Bahma Alp RENÇBER * Özet Bu çalışmaı amacı, yatırım projeleride kayak dağıtımıı icelemesidir. Yatırım

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

FEKETE-SZEGÖ PROBLEM ÜZER NE. Halit ORHAN, Ömer DURMAZPINAR, Hükmi KIZILTUNÇ. Atatürk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Erzurum

FEKETE-SZEGÖ PROBLEM ÜZER NE. Halit ORHAN, Ömer DURMAZPINAR, Hükmi KIZILTUNÇ. Atatürk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Erzurum Eylül 009 Cilt:7 No:3 Kstmonu Eğitim Dergisi 933-940 FEKETE-SZEGÖ PROBLEM ÜZERNE Hlit ORHAN, Ömer DURMAZPINAR, Hükmi KIZILTUNÇ Attürk Üniversitesi, Fen Fkültesi, Mtemtik Bölümü, Erzurum Özet α (0 α < ),

Detaylı

Sürekli Mıknatıslı Doğru Akım Motorunun Hız Denetiminde PI-Bulanık Mantık Tipi Denetim Yönteminin Başarımının İncelenmesi

Sürekli Mıknatıslı Doğru Akım Motorunun Hız Denetiminde PI-Bulanık Mantık Tipi Denetim Yönteminin Başarımının İncelenmesi Sürekli Mıkntıslı Doğru Akım Motorunun Hız Denetiminde PI-Bulnık Mntık Tipi Denetim Yönteminin Bşrımının İncelenmesi Hsn Rız Özçlık 1, Ahmet Gni 1, Hkn Açıkgöz 2, Ö. Ftih Keçecioğlu 1 1 Khrmnmrş Sütçü

Detaylı

BSD Lİ DİK İŞLEME MERKEZİNDE PARÇA PROGRAMINA GÖRE ZAMAN ANALİZİ

BSD Lİ DİK İŞLEME MERKEZİNDE PARÇA PROGRAMINA GÖRE ZAMAN ANALİZİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K BİLİMLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 2002 : 8 : 1 : 42-51 BSD

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Hzirn 007 Mtemtik I Sorulrı ve Çözümleri.. 7 işleminin sonucu kçtır? A) B) 9 C) D) E) Çözüm. 7..9.. + işleminin sonucu kçtır? 4 8 A) 8 B) 8 C) 8 D) 4 E) 4 Çözüm + 4 8 8 4+

Detaylı

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe.. Bölümüş rk tblolrıyl türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe.. Yüksek mertebede türeler. Syısl tegrl.. Trpez krlı.. Romberg

Detaylı

1. ÜNİTE. Sayılar ve Cebir 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER

1. ÜNİTE. Sayılar ve Cebir 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER . ÜNİTE Sılr ve Cebir 9. DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Trihte ilk ölçme tekikleri prmk klılığı, el geişliği, krış, k gibi ort bodki bir isı vücududki prç ve mesfelerde ol çıkılrk oluşturulmuştur. Fkt ticret

Detaylı

GERİ KARIŞMALI ph NÖTRALİZASYON PROSESİNİN BİLGİSAYAR DESTEKLİ KONTROLÜ

GERİ KARIŞMALI ph NÖTRALİZASYON PROSESİNİN BİLGİSAYAR DESTEKLİ KONTROLÜ GERİ KARIŞMALI ph NÖTRALİZASYON PROSESİNİN BİLGİSAYAR DESTEKLİ KONTROLÜ Onur Ömer SÖĞÜT*, A. Fruk BAKAN**, Mesut AKGÜN* * YTÜ Dvutpş Kmpüsü, Kimy Mühendisliği Bölümü, 34210 Esenler, İstnul **YTÜ Elektrik

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedslk Mmrlık Fkültes İşt Mühedslğ Bölümü EPost: oguhmettopcu@gmlcom Web: http://mmfoguedutr/topcu Blgsyr Destekl Nümerk lz Ders otlrı hmet TOPÇU Ktsyılr mtrs Özdeğer Özvektör

Detaylı

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır? 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd

Detaylı