MAPLE V ile Matematiksel Analiz ve Matematik Öğretiminde Maple V Kullanımı

Transkript

1

2 Bu çlışmd mç, Mple V sisteminin tüm komut ve yordm kütüphnesini y d sözdizim (syntx) kurllrını öğretmek değildir. Mple V sisteminin mtemtiksel nlizde krşılştığımız bir problemin çözümünde nsıl kullnılbileceğinin sergilenmesi ve genel olrk problem çözümünde izlenecek yollr hkkınd bir fikir shibi olunmsı hedeflenmiştir. Dolyısıyl genel bir nliz y d clculus kitbındki konu kışı izlenmiştir. Bunlrın ynı sır, yıllrdır kullndığımız mtemtiksel kvrmlrın, lıştığımız sembolik özelliklerini hemen hemen tümüyle koruyrk Mple d nsıl tnımlndıklrı incelenmiştir. Tolg GÜYER-999

3 MAPLE V Hkkınd... Mple V, bilgisyr ile mtemtik çlışmlrınd kullnıln en güçlü hesplm (computtion) sistemlerinden birisidir. Kullnım kolylığı, genişleyebilirliği, işlem hızı ve minimum düzeyde bellek ve donnım kpsitesi gereksinimi ile Mple ve Mple V, çeşitli düzenlemeleri ile 0 yılı şkın bir süredir düny üzerinde mühendislerden bilim dmlrın, mtemtikçilerden öğretmen ve öğrencilere kdr in üzerinde bir kullnıcı syısın shiptir. Mple V in bşlıc özellikleri rsınd nümerik ve sembolik hesplm, her türlü mtemtiksel notsyonu yzbilme, ve 3 boyutlu grfik çizimleri ve grfik nimsyonlrı syılbilir. Bu özellikleri ile Mple, yoğunlukl nliz (Clculus) ve diferensiyel denklemler olmk üzere geometri, lineer cebir, olsılık-isttistik, yrık mtemtik, syılr teorisi, nümerik nliz ve temel mtemtik gibi mtemtiğin pek çok dlınd etkin olrk kullnılbilmektedir. Bunlrın ynısır, 500 dolylrınd hzır mtemtiksel yordm Mple V in yordm kütüphnesinde kullnılbilir durumddır. Ayrıc Pscl benzeri yüksek-düzeyli bir progrmlm dili syesinde mc uygun olrk istenilen uygulmlrın geliştirilmesi ve böylelikle kütüphnenin genişletilmesi mümkündür. Mple, Amerik Birleşik Devletlerinde, Wterloo Üniversitesinde 980 yılının Arlık yınd Keith Geddes ve Gston Gonnet trfındn kurulumuş oln Symbolic Computtion Group (SGC) trfındn geliştirilmiştir. Bilgisyr Cebiri (Computer Algebr) lnınd birçok knıtlnmış teorem ve bunlr bz lınrk yzılmış bilimsel mklenin üzerine kuruln sistem, C progrmlm dili kullnılrk kodlnmıştır. Bugün Mple V, Relese 4 ve 5 sürümleri ile Mcintosh, MS Windows, MS DOS, Unix, VMS, NeXT, Ultrix ve UNICOS gibi en popüler ve yygın işletim sistemleri ortmlrınd çlışbilmektedir. Mple çlışm syflrı (worksheet) bu sistemlerin tümünde ortk bir görünüme ship olduğundn, işlemler bir pltformdn diğerine kolylıkl tşınbilmektedir.

4 MAPLE V ile Mtemtiksel Anliz ve Mtemtik Öğretiminde Mple V Kullnımı Mple, bir rştırmcı, bir mtemtik öğrencisi ve mtemtiği öğrenmeye çlışn herhngi bir öğrenci için frklı biçimlerde yorumlnbilir. Bir rştırmcı için Mple, hızlı ve htsız mtemtiksel işlem yetenekleri ile işlerini kolylştırck mükemmel bir yrdımcıdır. Bir mtemtik öğrencisi içinse durum çok dh frklıdır. Bir fizik y d kimy öğrencisi, teorik derslerinde gördüğü kvrmlrın birçoğunu lbortur uygulmlrınd somutlştırbilirken, bir mtemtik öğrencisinin bunu gerçekleştirme şnsı pek yoktur. İşte son yıllrd geliştirilen Mple gibi bilgisyr cebiri sistemleri, bir bkım mtemtik öğrencisinin bu çığını önemli ölçüde kptmıştır. Soyut bir bilim oln mtemtiğin, nliz gibi temel somut kvrmlrl desteklenmiş bir dlınd, bu kvrmlrı nesnel olrk krşısınd gören mtemtik öğrencisi için yıllrdır uğrştığı ve çok teorik bulduğu mtemtiği dh iyi nlybilmesi için bundn iyi fırst olmz. Diğer yndn, mtemtik öğretiminde kullnılbilecek bir rç gözüyle bktığımız tkdirde Mple, yine kvrmlrın somut olrk gözlemlenebilmeleri syesinde oldukç önemli bir öğretim mteryli olrk krşımız çıkcktır. Örneğin bir prmetreye bğlı olrk değişen bir fonksiyon grfiği, öğrencinin kfsındki fonksiyon kvrmını ezbere bir tnım olmktn çıkrrk, bir dh unutmmk üzere vurgulycktır. Öte yndn, gerçekte el ile ypıldığınd ne kdr çok vkit ldığını bildiği krmşık işlemleri kendisi için göz çıp kpyıncy kdr gerçekleştiren bir mkine ile çlışmk öğrenciyi cezbedecek, dolyısıyl bu onun için öğrenmeye teşvik edici bir motivsyon sğlycktır.

5 . FONKSİYONLAR Mple d bir y d çok değişkenli fonksiyonlr tnımlnbilir ve onlr üzerinde bileşke, değer bulm, limit ve grfik çizimi gibi işlemler gerçekleştirilebilir... Fonksiyonlrın Tnımlnmsı En bsit şekliyle tek değişkenli bir fonksiyonu, >f:=x^; f:=x olrk tnımlybiliriz. Anck bu gösterimde, örneğin f(3) değerini hespltmk istediğimizde, >f(3); f(3) bildirimi Mple için nlmlı olmycktır. Bunun yerine, >subs(x=3,f); 9 kullnılbilir. Bu şekilde tnımlnmış bir f fonksiyonu diğer tüm işlemlerde f simgesi ile kullnılmlıdır. "f(x) simgesi, işlemin ynlış sonuç vermesine sebep olcktır. Diğer bir tnımlm biçimi, bğımlı değişkenin belirli olduğu, >f:=x->x^ f:=x x şeklindedir. Bu tnımlm ile, >f(3); 9 olrk hesplnbilir. Bu durumd işlemlerde kullnılck fonksiyon simgesi f(x) olcktır. Çok değişkenli fonksiyonlr, tnım ve değer kümelerinin durumun göre frklı biçimlerde tnımlnbilirler. Örneğin, f:ir IR, f(x,y)=x +y+5 fonksiyonunu, >f:=x^+*y+5; f:= x +y+5 olrk tnımlybiliriz. Bu fonksiyon için değer hespltm işlemini ise, tek değişkenlilerde olduğu gibi, > subs(x=,y=,f); 0

6 olrk ypbiliriz. Diğer yndn, g:ir IR, g(x,y)=(x+,y+) fonksiyonunu göz önüne llım. Bu fonksiyonu, >g:=x->x+, y->y+; g:=x x+,y y+ olrk tnımlmk mümkündür. Bu durumd, örneğin g(,) değerini, >g(,);,3 olrk doğrudn hespltbiliriz... Kplı Tnımlı Fonksiyonlr Kplı tnımlı fonksiyonlrın tnımlnmsı d önceki kesimde nltıldığı gibi bsit olrk gerçekleştirilebilir. Şöyle ki, >p:=x*y^+y-x=0; p:=xy +y-x=0 denklemini göz önüne llım. Kplı olrk bir fonksiyon tnımlyn bu denklemin -3 x 3, -3 y 3 için grfiğini çizdirelim: >with(plots): >implicitplot(p,x=-3..3,y=-3..3);

7 Şimdi p denklemini y değişkenine göre çözdürelim: >pd:=solve(p,y); pd : = + + 4x x, + 4x x Artık p denkleminden iki tne fonksiyon elde ettik. Şimdi bu fonksiyonlrın yrı yrı grfiklerini çizdirelim: >plot(pd[],x=-3..3,y=-3..3); >plot(pd[],x=-3..3,y=-3..3);

8 Böylelikle bşlngıçt elde ettiğimiz grfiği iki prç hlinde yeniden elde etmiş olduk..3. Fonksiyonlrın Bileşkesi Bileşke işlemini subs komutunu kullnrk gerçekleştirebilirsiniz. Bunu şğıdki örnekle inceleyelim: Örnek >f:=x^3; f:=x 3 >g:=x+; g:=x+ >gof:=subs(x=f,g); gof:=x Fonksiyonlrın Limiti Fonksiyonlrın limitlerini, Mple ın limit fonksiyonunu kullnrk hespltbiliriz. Bu fonksiyonun genel formu; limit(f,x=x 0,d) biçimindedir. Burd f, x değişkeni x 0 noktsın yklşırken limiti hesplnck fonksiyondur. x 0, infinity y d -infinity olbilir. d ise yön belirtir ve left, right, rel, y d complex değerlerinden birini lır. Yzılmsı zorunlu değildir. Örnek 3 x lim limitini hesplylım: x x >limit((3-*x)/(x-),x=infinity); - Örnek f ( x) = 3x fonksiyonunu göz önüne llım. Bu fonksiyonun türevini, türevin limitle x tnımı oln, tnımını kullnrk hespltlım: f ( x + h) f ( x) lim 0 h h

9 >f:=x->3*x-/x; f : = x 3x x >limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0); 3x + x olur. Gerçektende, >diff(f(x),x); 3 + x olur. Örnek 3 Sırsıyl, lim x x x ve lim x x x limitlerini hesplylım. >y:= (-+sqrt(+4*x^))/(*x); + + 4x x >limit(y,x=0,right); - >limit(y,x=0,left); O hlde şğıdki bildirimden sonr lcğımız ynıt bizi şşırtmmlıdır: >limit(y,x=0); undefined UYGULAMALAR. Green Teoremi kullnılrk, C eğrisi st yönünün tersi yön ile (0,0), (,) ve (0,) köşe noktlrın ship üçgen olmk üzere, ( x + y )dx + (x + y) dy integrlinin hesplnmsı. C

10 Green Teoremi : R, xy-düzleminde düzgün kplı bir C eğrisi ile sınırlı bölge ve P=P(x,y), Q=Q(x,y) fonksiyonlrı R üzerinde sürekli ve diferensiyellenebilir olsunlr. Bu durumd, C eğrisi st yönünün tersi yönde trnmk üzere, olur. > geometry[point](a,[0,0]); A > geometry[point](b,[,]); B > geometry[point](c,[0,]); C > geometry[tringle](abc,[a,b,c]); ABC > geometry[drw](abc); C Pdx + Qdy = R Q P x y > geometry[line](l,[a,b]); L > geometry[line](l,[b,c]); L > E:=geometry[Eqution](L); > enter nme of the horizontl xis > x; > enter nme of the verticl xis > y; E := -x + y = 0

11 > E:=geometry[Eqution](L); > enter nme of the horizontl xis > x; > enter nme of the verticl xis > y; E := - x - y = 0 > F:=solve(E,y); F := x > F:=solve(E,y); F := - x > P:=x^+y^; P := x + y > Q:=(x+*y)^; Q := (x + y) > int(int(diff(q,x)-diff(p,y),y=f..f),x=0..); 8/3. Bir y=f(x) fonksiyonu için, belirli bir ( x, x ) rlığı üzerinde ortlm değer teoremini sğlyn c sbitinin bulunmsı. Ortlm Değer Teoremi : f : A IR n IR fonksiyonu A çık kümesi üzerinde türevlenebilir olsun. Herhengi iki x,x A noktsı için, x ile x yi birleştiren doğru prçsı A içinde klmk üzere, bu doğru üzerinde öyle bir c noktsı vrdır ki, f (x )-f (x )=Df (c) (x -x ) eşitliği sğlnır. odteo := proc(f,, b) locl dfc, f, fb, k; dfc := subs(x = c, diff(f, x)); f := subs(x =, f); fb := subs(x = b, f); k := solve(f - fb = dfc*( - b), c); RETURN(k); end; > odteo(x^,0,5); 5/ 3. Bir F(x,y)=0 fonksiyonunun eğrisinin, girilecek doğrulrl sınırldığı bölgenin x y d y ekseni etrfınd döndürülmesi ile oluşck hcmin hesplnmsı. Diskler Yöntemi : F(x,y)=0 ise y=f(x) vey x=g(y) olur. Bu durumd, b Dönme ekseni x-ekseni ise V = π [f (x)] dx Dönme ekseni y-ekseni ise V olur. dhcim := proc(f, eksen, lt, ust) d = π [g(y)] dy c

12 locl v, rf, hcm; if eksen = x then v := y else v := x; fi; rf := solve(f, v); hcm := Pi*int(rf[]^,eksen=lt..ust); RETURN(hcm); end; > dhcim(y=3-x^,y,,); 3π/ 4. İstenilen bir n nci bsmktn Legendre polinomunun hesplnmsı. Bunun için, d Pn (x) = n n! dy y xy + formülü kullnılbilir. legendrepoly := proc(n) locl L; L := subs(y = 0, diff(/sqrt(y^ - *x*y + ), y $ n)/n!); RETURN(L); end > legendrepoly(8); x x + x x Tek değişkenli fonksiyonlrd kritik nokt nlizi. y=f(x) fonksiyonunun dy/dx=0 denklemini sğlyn kritik noktlrının nlizini, ikinci türev testini kullnrk gerçekleştirebiliriz. Bun göre, bir c kritik noktsı için, y xx (c)=0 ise c bir dönüm noktsı, y xx (c)>0 ise c bir minimum nokt, y xx (c)<0 ise c bir mksimum noktdır. knokt := proc(f) locl, j,, nk; := diff(f, x $ ); nk := [solve(diff(f, x), {x})]; for j to nops(nk) do := subs(nk[j], ); if < 0 then print(nk[j], `bir mksimum noktdır...`); fi; if 0 < then print(nk[j], `bir minimum noktdır...`); fi; if = 0 then print(nk[j], `bir dönüm noktsıdır...`); fi; od; end; > knokt(x^3/-3*x^/+5); {x = 0}, bir mksimum noktdır... {x = }, bir minimum noktdır y= 0

13 Not : nk çözüm kümesinin hesplnmsın ilişkin şğıdki işlemleri ve sonuçlrını inceleyiniz: >f:=x^3/-3*x^/+5; >nk:=solve(diff(f,x),x); nk := 0, >nk:=solve(diff(f,x),{x}); nk := {x = 0}, {x = } >nk:=[solve(diff(f,x),{x})]; nk := [{x = 0}, {x = }] İlk işlem, solve opertörünün ylın kullnımıdır. Anck sonuçlrı dh sonr subs opertörü ile kullncğımızdn ikinci işlemin sonucu dh kullnışlı olcktır. Diğer yndn elde edeceğimiz verinin liste tipinde olmsı, mcımız tm uygunluk gösterecektir. Aksi tkdirde nk değişkenine nops opertörünü uygulyıp elemn syısını elde edemeyiz. 6. İki değişkenli fonksiyonlrd kritik nokt nlizi : z=f(x,y) durumu. Teorem : (,b) noktsı, z=f(x,y) fonksiyonunun bir kritik noktsı* ve f(x,y) ile f xx = f/ x, f yy = f/ y, f xy = f yx = f/ x y kısmi türevleri bu noktnın bir komşuluğund sürekli olsunlr. A=f xx (,b), B=f xy (,b), C=f yy (,b) ve D=AC-B diyelim. Bu durumd, i. Eğer D>0 ve A<0 ise (,b) bir yerel mksimum noktdır. ii. Eğer D>0 ve A>0 ise (,b) bir yerel minimum noktdır. iii. Eğer D<0 ve A=0 ise (,b) bir semer noktsıdır. * z=f(x,y) fonksiyonunun kritik noktlrı, f x (x,y)=0 ve f y (x,y)=0 denklemlerini sğlyn (x,y) noktlrıdır. knokt := proc(f) locl, b, c, d, j,, dd, nk; := diff(f, x $ ); b := diff(f, x, y); c := diff(f, y $ ); d := *c - b^; nk := [solve({diff(f, x), diff(f, y)}, {y, x})]; for j to nops(nk) do := subs(nk[j], ); dd := subs(nk[j], d); if 0 < dd nd < 0 then print(nk[j], `bir mksimum noktdır...`); fi; if 0 < dd nd 0 < then print(nk[j], `bir minimum noktdır...`); fi; if dd < 0 nd = 0 then print(nk[j], `bir semer noktsıdır...`); fi; od; end;

14 > knokt(x^3+y^-3*x*y); {x = 0, y = 0}, bir semer noktsıdır... {y = 9/4, x = 3/}, bir minimum noktdır İki değişkenli fonksiyonlrd kritik nokt nlizi : F(x,y,z)=0 durumu. Verilen fonksiyonun Hessin mtrisi, H F F x F = y x F x z F y x F y F y z F z x F z y F z olrk tnımlıdır. Bun göre (,b,c) kritik noktsınd*, i. >0, >0 ve 3 >0 ise bu nokt mksimum noktdır. ii. <0, >0 ve 3 <0 ise bu nokt minimum noktdır. iii. <0 ise bu nokt semer noktsıdır. * Söz konusu kritik noktlr, F/ x=0, F/ y=0, F/ z=0 sistemini sğlyn noktlrdır.] knoktk := proc(f) locl fxx, fyy, fzz, fyx, fzx, fyz, m, m, d, d, d3, nk, dd, dd, dd3, j; fxx := diff(lhs(f), x $ ); fyy := diff(lhs(f), y $ ); fzz := diff(lhs(f), z $ ); fyx := diff(lhs(f), y, x); fzx := diff(lhs(f), z, x); fyz := diff(lhs(f), y, z); m := linlg[mtrix](,, [-fxx, -fyx, -fyx, -fyy]); m := linlg[mtrix](3, 3, [-fxx, -fyx, -fzx, -fyx, -fyy, -fyz, -fzx, -fyz, -fzz]); d := -fxx; d := linlg[det](m); d3 := linlg[det](m); nk := [solve({diff(lhs(f), x), diff(lhs(f), y), diff(lhs(f), z)},{y, x, z})]; for j to nops(nk) do dd := subs(nk[j], d); dd := subs(nk[j], d); dd3 := subs(nk[j], d3); if 0 < dd nd 0 < dd nd 0 < dd3 then print(nk[j], `bir mksimum noktdır...`); fi; if dd < 0 nd 0 < dd nd dd3 < 0 then print(nk[j], `bir minimum noktdır...`); fi; if dd < 0 then print(nk[j], `bir semer noktsıdır...`); fi; 3

15 od; end; > knoktk(x^+y^+z^+*x+3*y-*z+0=0); {x = -, z =, y = -3/}, bir minimum noktdır f ve f fonksiyonlrının eğrileri rsınd kln lnın hesplnmsı. ln := proc (f, f) locl j, nk, tpl; tpl := 0; nk := [solve(f = f,x)]; if nops(nk) = then RETURN(`İki eğri tek noktd kesişmektedir...`); exit; fi; nk := sort(nk); for j from to nops(nk) do tpl := tpl+int(bs(f-f),x = nk[j-].. nk[j]); od; RETURN(tpl); end; > ln(x^3,x); / 9. Tbn yrıçpı r ve yüksekliği h oln bir silindirin hcminin üç-ktlı integrl yrdımı ile hesplnmsı. İntegrlde kullnılck sınırlrın belirlenmesi için şğıdki şekli inceleyiniz. Biz, söz konusu bölgenin dörtte birini inceliyoruz. Dolyısıyl sonucun 4 ile çrpılmsı gerekiyor.

16 Şekilde trlı bölge, yni tbndki x +y =r çemberinin dörtte birinin z-ekseni boyunc h noktsın kdr trnmsı ile elde edilecek hcim, r r x V= 0 0 h 0 dzdydx integrli ile belirlenir. Bu durumd silindirin hcmi ise 4V ye eşit olcktır. silindir_hcm := proc (r, h) locl v; end; v := 4*int(int(int(,z = 0.. h),y = 0.. sqrt(r^-x^)),x = 0.. r); RETURN(v); >silindir_hcm(,3); π 0. Silindir biçiminde ve ytık konumd durn bir su kznı bulunmktdır. Bu kznın ön ve rk yüzünü oluşturn çemberlerin yrıçpı r, silindirin uzunluğu ise h birimdir. Problemimiz, kznın ön yüzünde yer ln şefff bölmeden bkıldığınd gözlenen su seviyesi için kznd bulunn suyun hcminin hesplnmsıdır. Bunun için, dik koordint sistemine oturtulmuş ytık konumdki bir silindiri, z- eksenindeki bir s noktsınd (su seviyesi) xy-düzlemine prlel bir düzlemle keseceğiz ve oluşn prçnın hcmini üç-ktlı integrl yrdımı ile hesplycğız.

17 Sınırlrı belirlerken integrl işleminde kolylık sğlmsı çısındn yüzeyin yrısını düşüneceğiz ve sonucu iki ile çrpcğız. Bu durumd hcmi verecek integrl, biçiminde olcktır. s h r (zr) V= dxdydz kzn := proc(s, r, h) locl v; v := *int(int(int(, x = 0.. sqrt(r^ (z r)^)), y = 0.. h),z = 0.. s); RETURN(v); end; > kzn(4,,); 8π Bu, yüzey yrıçpı birim, uzunluğu birim oln bir kznd s=4 birim seviyesindeki hcmi vermektedir. s=r olduğundn sonucun tüm kznın hcmi (πr h) olmsı doğldır. Aynı kzn için seviyeyi yrıy düşürürsek, > kzn(,,); 4π sonucunu lırız. Ve yine ynı kzn için seviyeyi dörtte bire düşürürsek, > kzn(,,); olrk hesplnbilir π 3 3. Verilen bir α v :[, b] IR IR eğrisinin diferensiyel geometrik olrk incelenmesi. Yzılck prosedür, prmetre olrk α v (t) eğrisini liste tipinde lck ve şğıdki hesplmlrı ve yorumlmlrı gerçekleştirecektir: İlk olrk eğrinin düzenli olup olmdığı denetlenmelidir. Bunun için,

18 n = v dα dt olmk üzere, n 0 olmlıdır. Eğer n=0 ise prosedür bir ht mesjı ile sonlndırılmlıdır. Eğer eğri düzenli ise birim hızlı olup olmdığın bkılmlıdır. Çünkü Frenet-Serret hesplmlrı, eğrinin birim hızlı olup olmdığın bğlı olrk değişecektir. Bunun için, n= Birim hızlı; Aksi tkdirde birim hızlı değildir. kriteri kullnılcktır. Eğrinin yy uzunluğu hesplnck ve yy uzunluğu yrdımıyl yeniden prmetrelendirilecektir. Bu işlemler şğıdki biçimde ypılcktır: Yy Uzunluğu: h(t) = t 0 n dt olrk hesplndıktn sonr, s=h(t) eşitliğinden t=h - (t)=g(s) çekilerek α v (t) eğrisinde yerine yzılır. Bulunn α v (s), α v (t) eğrisinin yy uzunluğu kullnılrk yeniden prmetrelendirilişidir. Eğrinin birim hızlı olup olmmsı durumlrın göre Frenet-Serret beşlisinin hesplmlrı şğıdki tblod verilen formüller kullnılrk yptırılcktır: α v Birim hızlı α v Birim hızlı değil Teğet ( T r ) dα v dt α&v α&v Eğrilik (κ) dt v α &v α& dt 3 α&v Essnorml Vektör ( N v ) dt v / dt κ B v T r Binorml Vektör ( B v ) v dt v N dt α &v α& v α &v α& v Burulm (τ) v db v <, N > dt < ( α &v α& v ),& α v && > α &v α& v

19 Bu değerler hesplndıktn sonr söz konusu eğri için şğıdki yorumlr ypılbilir: τ=0 ise eğri düzlem eğrisidir; Aksi tkdirde uzy eğrisidir. τ 0 ve κ>0 ise eğri bir dönel helistir. τ/κ 0 ise eğri bir genel helistir. τ=0 ve κ>0 ise eğri bir çemberdir. κ=0 ise eğri bir doğrudur. Prosedür tnımı ve örnek uygulm şğıd verilmiştir: freser := proc (L::list) locl n, T, K, N, B, B, To, Y, L, s; n := simplify(linlg[norm](diff(l,t),),ssume = positive); if n = 0 then ERROR(`EĞRİ DÜZENLİ DEĞİLDİR`); fi; if n = then print(`birim HIZLI`); T := diff(l,t); K := simplify(linlg[norm](diff(t,t),),ssume = positive); N := diff(t,t)/k; B := simplify(linlg[crossprod](diff(t,t),n)); To := -simplify(linlg[innerprod](diff(b,t),n)); else print(`birim HIZLI DEĞİL`); T := diff(l,t)/simplify(linlg[norm](diff(l,t),),ssume = positive); K := simplify(linlg[norm](simplify(linlg[crossprod](diff(l,t),diff(l,t$))),), ssume = positive)/simplify(linlg[norm](diff(l,t),),ssume = positive)^3; B := simplify(linlg[crossprod](diff(l,t),diff(l,t$))); B := simplify(linlg[crossprod](diff(l,t),diff(l,t$)))/ simplify(linlg[norm](b,),ssume = positive);

20 N := simplify(linlg[crossprod](b,t)); To := simplify(linlg[innerprod](b,diff(l,t$3)))/(simplify(linlg[norm](b,), ssume = positive); fi; Y := int(n,t = 0.. t); s := solve(s = Y,t); L := subs(t = s,l); if To <> 0 nd 0 < K then print(`dönel HELİS`); elif To/K <> 0 then print(`genel HELİS`); fi; if To = 0 then print(`düzlem EĞRİSİ`); else print(`uzay EĞRİSİ`); fi; if To = 0 nd 0 < K then print(`çember`); fi; if K = 0 then print(doğru); fi; print(`teğet`,t); print(`eğrilik`,k); print(`ess Norml`,N); print(`binorml`,b); print(`burulm`,to); print(`yy Uzunluğu`,Y); print(`yy Uzunluğu ile Prmetrelenedirilmesi`,L); end; > freser([*cos(t),*sin(t),t]); BİRİM HIZLI DEĞİL DÖNEL HELİS UZAY EĞRİSİ Teğet, [ sin( t ),cos( t ),] 5 5

21 Eğrilik, 5 Ess Norml, [-cos(t), -sin(t),0] Binorml, [ sin( t ), cos( t ),4 ] 5 0 Burulm, 5 Yy Uzunluğu, 5 t Yy Uzunluğu ile Yeniden Prmetrelendirilmesi, cos s 5 5, sin s 5 5, s 5 5. T:IR 3 IR 3, T(x,y,z)=(3y+z,x-y,4x) lineer dönüşümü veriliyor. T nin α =(,,), α =(,,0), α 3 =(,0,0) tbnın krşılık gelen A mtrisini hesplyınız. A mtrisi köşegenleştirilebilir midir? Söz konusu A mtrisi, olmk üzere, A= Trnspose olrk hesplnbilir. > with(linlg): Wrning, new definition for norm Wrning, new definition for trce > T:=[3*y+z,x-*y,4*x]; > Alf:=[,,]; > Alf:=[,,0]; > Alf3:=[,0,0]; T(α )= α + α + 3 α 3 T(α )= α + α + 3 α 3 T(α 3 )= 3 α + 3 α + 33 α 3 3 T := [3 y + z, x - y, 4 x] Alf := [,, ] Alf := [,, 0] =

22 Alf3 := [, 0, 0] > T:=subs({x=Alf[],y=Alf[],z=Alf[3]},T); T := [4, -, 4] > T:=subs({x=Alf[],y=Alf[],z=Alf[3]},T); T := [3, -, 4] > T3:=subs({x=Alf3[],y=Alf3[],z=Alf3[3]},T); > A:=rry(..3,..3); T3 := [0,, 4] A := rry(.. 3,.. 3, []) >C:=solve({T[]=A[,]*Alf[]+A[,]*Alf[]+A[,3]*Alf3[],T[]=A[,]* Alf[]+A[,]*Alf[]+A[,3]*Alf3[],T[3]=A[,]*Alf[3]+A[,]*Alf[3]+ A[,3]*Alf3[3],T[]=A[,]*Alf[]+A[,]*Alf[]+A[,3]*Alf3[],T[]=A[, ]*Alf[]+A[,]*Alf[]+A[,3]*Alf3[],T[3]=A[,]*Alf[3]+A[,]*Alf[3 ]+A[,3]*Alf3[3],T3[]=A[3,]*Alf[]+A[3,]*Alf[]+A[3,3]*Alf3[],T3[]=A[ 3,]*Alf[]+A[3,]*Alf[]+A[3,3]*Alf3[],T3[3]=A[3,]*Alf[3]+A[3,]*Alf [3]+A[3,3]*Alf3[3]}); 5} C := {A[, ] = 4, A[, ] = -5, A[, ] = 4, A[, ] = -5, A[, 3] = 4, A[3, ] = 4, A[3, ] = -3, A[3, 3] = -,A[, 3] = > ssign(c); > A:=trnspose(A); 4 A = 5 5 > B := dig(eigenvlues(a)); B = > issimilr(a,b,p); true

23 > print(p); Bir p(x)= n x n + n- x n x+ 0 polinomunun, p(x) = e i i= 0 formülü kullnılrk Eucliden normunun hesplnmsı. enorm := proc(p::polynom) locl t, c; c := [coeffs(p, x)]; t := sum(bs(c[j]), j =.. nops(c)); RETURN(t); end; > enorm(*x^5-7*x^4+*x^3+*x^-x+4); 8 4. k= π = coth( π) k + > T:=sum(/(k^+),k=..infinity); T : = I Ψ( I) I Ψ( + I) > T:=(Pi/)*coth(Pi)-/; > is(t=t); true T : = πcoth( π) n eşitliğini MAPLE kullnrk gösterelim.

24