HRT409 DENGELEMEDE ÖZEL KONULAR

Transkript

1 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları / 97 KOCELİ ÜNİVERSİESİ HR49 DENGELEMEDE ÖZEL KONULR Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR GÜZ 3 KOCELĐ

2 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları / 97 Đçindeiler Önsöz Kullanılan Kısaltmalar Kullanılan Simgeler. Giriş. Matemati Model e maç Fonsionu. Fonsionel Model. Stoasti Model.3 maç Fonsionu 3. Doğrusal Denlem Çözümleri 3. am Ranlı Doğrusal Denlem Çözümleri 3. Ran Bozuluğu, Genelleştirlmiş ers e Psodo ers 4. Dolalı e Koşullu Ölçüler Dengelemesi 4. Dolalı Ölçület Dengelemesi 4. Dolalı Ölçüler Đçin lternati Çıarım 4.3 Koşullu Ölçüler Dengelemesi 5. Bilinmeenler rasında Koşul Denlemleri Bulunan Dolalı Ölçüler Dengelemesi 6. Bilinmeenli Koşullu Ölçüler Dengelemesi 7. Bilinmeenler rasında Koşul Denlemeleri Bulunan Bilinmeenli Koşullu Ölçüler Dengelemesi 8. Dengeleme Hesabı ürlerinin Karşılaştırılması e Birbirlerine Dönüşümü 8. Dolalı e Koşullu Ölçülerin Birbirlerine Göre Üstünlüleri e Birbirlerine Dönüşümü 8. Dengelemenin En Genel Halinin Diğer Dengeleme ürlerine Dönüşümü 9. rdışı Dengeleme. Dinami Kestirim (Kestirim, Süzgeçleme, Yumuşatma). Kalman Filtrelemesi. Baes Filtrelemesi. Kolloason (Kestirim + Süzgeçleme). Jeodezi ğlarda Duarlı e Güen Ölçütleri. Duarlı Ölçütleri. Güen Ölçütleri.. Đç Güen Ölçütleri.. Dış Güen Ölçütleri 3. Dengeleme Sonuçlarının est Edilmesi 3. Model esti 3. Uuşumsuz Ölçüler esti 3.3 Parametre esti 4. Kanalar 5. Eler 5. ets Dağılımlar 5. ablolar

3 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 3 / 97 ÖNSÖZ Dr. Orhan KUR 3 *Legendre, drien-marie (85), Nouelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes,

4 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 4 / 97 KULLNILN KISLMLR EKK GNSS En üçü areler Global Naigation Satellite Sstem

5 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 5 / 97 KULLNILN SĐMGELER n u r m d B C K Q P w σ s m ρ ij Ölçü saısı e anlamlı çözüm için gereli ölçü (bilinmeen) saısı Koşul saısı, bilinmeenli oşul denlemi saısı Bilinmeenler arasındai oşul denlemi saısı Serbestli derecesi Deet saısı Bilinmeenlerin atsaılar matrisi Düzeltmelerin atsaılar matrisi Bilinmeenler arasındai oşul denlemlerinin atsaılar matrisi Ölçüleri arans-oarans matrisi Ölçüleri ters ağırlı matrisi Ölçüleri ağırlı matrisi Kapanmalar etörü Birim ölçünün öncül uramsal duarlığı Birim ölçünün öncül denesel duarlığı Birim ölçünün soncul duarlığı i e j ölçüleri ararsındai orealson atsaısı

6 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 6 / 97. Giriş Đçeri HF : Dersin Đçeriği e Kapsamı Matemati model oluşturma. Ran deeti e genelleştirlmiş ters. Dolalı e oşullu ölçüler dengelemesi. Bilinmeenler arasında oşul denlemleri bulunan dolalı ölçüler dengelemesi. Bilinmeenli oşullu ölçüler dengelemesi. Bilinmeenler arasında oşul denlemleri bulunan bilinmeenli oşullu ölçüler dengelemesi. B dönüşümlerin bütün dengeleme modelleri urulması. Matemati modeller arasındai ilişiler. Matemati modeller ile ardışı estirimler. Kalman Filtrelemesi. Kolloason, predision e iltreleme. Bütün matemati model sonuçlarının analiz edilmesi. Content Mathematical modeling. Ran deect and generalized inerse. Obseration and condition equation models. Obseration equation model with constraints. Mied model. Mied model with constraints. ransormations in D using all mathematical models. Relationship among the all mathematical model. Recursie parameter estimation or all mathematical models. Kalman iltering. Collocation, prediction and iltering. nalzing the results o the all mathematical models.

7 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 7 / 97 HF : Matemati Model e maç Fonsionu. Matemati Model e maç Fonsionu.. Matemati model Bir problemi çözebilme için apılan ölçüler ile matemati model oluşturulur. Matemati model ii ısımdan oluşur. Birincisi, ölçüler ile bilinmeenler arasındai geometri e izisel ilişileri ansıtan onsionel modeldir. Đincisi ise, ölçüler arasındai cebri ada izisel ilişileri ea her iisini birlite ansıtan stoasti modeldir.. Fonsionel Model Mühendisli problemlerinin çoğunda denesel ölçüler apılmatadır. Bu denesel ölçüler ile elde edilen sonuçların güenirlilerini artırma için gereğinden azla ölçü apılır. Eşit ağırlılı e orelasonsuz abul edilen ölçüler ön değerlendirmeden geçirilditen sonra, diğer ölçü e büülüler arasındai geometri e izisel özellilerle onsionel olara ilişilendirilir. Bu aşama matemati modelin onsionel ısmını oluşturur. Ölçü saısı (n), bilinmeen Saısı (u) e serbestli derecesi (n-u) olma üzere; onsionel model aşağıdai üç tipte urulabilir. ] [ L [ L u n ] Bilinmeenler Ölçüler Γ ( ) Ölçüler arasında ilişilere göre urulan onsionel model Φ( ) Bilinmeenlerin onsionları olan ölçüler ile onsionel model Ψ (, ) Ölçüler e bilinmeenler ile urulan onsionel model Bazı durumlarda urulan onsionel model e (m) adet oşul ile destelenebilir. Λ ( ) Bilinmeenler arasında oluşturulan oşul denlemleri.. Stoasti model Ölçülerin duarlılarını, ölçüler arasındai izisel ada cebri ea her iisini birlite ansıtan modeldir. Σ D{} Σ D{} Bilinmeenlerin arans-oarans matrisi Ölçülerin arans-oarans matrisi Not: D {*} ; * nin parametre grubunun saçılım matrisi operatörüdür. Bu notlarda E {*} da * nin parametre grubunun umut değerini gösterecetir. µ E{} µ E{} Ölçülerin umut değeri Bilinmeenlerin umut değeri.3. maç Fonsionu Ölçüler arasındai tutarsızlıları giderme için de amaç onsionlarından ararlanılır. Bunlardan en ii bilineni En Küçü Kareler (EKK) amaç onsionudur. EKK amaç onsionu ile edilen ölçüler e parametreler, gerçe değer olma olasılıları en büü olan değerlerdir.

8 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 8 / 97 Korelasonsuz e eşit ağırlılı alınan normal dağılımlı ii ölçü ümesi j ~ N( µ, σ ), ~ N( µ, σ ) e ölçü hataları j e µ ε ~ (, ) j j N σ j, e µ ε ~ (, ) N σ olma üzere arans e o-arans aşağıdai bağıntılar ile hesaplanır. j j j j σ E{ ε ε } σ E{ ε ε } σ E ε ε } j j { j ρ j σ j σ σ j Burada [ L ] e bir etörüdür. Yuarıdai gibi endi içerisinde eşit ağırlılı e orelasonsuz, m olduğu arsaılan ölçü gruplarını ortalama değerleri, orelason atsaıları e ortalama değerlerinin aransları estirilir. Bu ölçü grupları arasındai izisel e geometri ilişiler ile urulan eni model ço değişenli (multiariate) model olara tanımlanır. Ön değerlendirme sonucu elde edilen ölçüler etörü [ L ], ço değişenli modelden elde edilece umut değerleri µ [ µ µ L ] ile n µ n gösterilir. Bu modelin gerçe hatalar etörü is µ ε olur. Bu ölçü ümesinin arans-oarans matrisi ön değerlendirme sonuçlarından ararlanara aşağıdai şeilde oluşturulur. Σ σ σ L σn σ σ σ L n L L L L σ n σ n L σ n Normal dağılımlı ölçüler ~ N( µ, Σ ) ço değişenli olasılı onsionu, ~ N( µ, Σ ) ada ( ) n (π ) det Σ e ( µ ) Σ ( µ ) n {(π ) det Σ }.5 ep{ ( µ ) Σ ( µ ) / } ε ~ N(, Σ ) ( ε) (π ) n det Σ e ε Σ ε n.5 {(π ) det Σ } ep{ ε Σ ε / } şelinde gösterilir. Bu olasılı onsionunun belli bir aralıta masimum değer alabilmesi için, negati esponansielin minimum olması gereir. ( µ ) Σ ( µ ) ε Σ ε min EKK amaç onsionu P e Σ σ σ sabit bir değer olduğundan, uarıdai amaç onsionu; ε Pε min şelindei agın olara bilinen EKK amaç onsionuna dönüşür. Umut değeri E { } ε ( E { ˆ} µ ) olan düzeltmeler etörü Gerçe hatanın umut değeri olan ˆ düzeltme değeri ullanılara da EKK amaç onsionu aşağıdai şeilde azılır. P min Ugulamalar: Φ( ) s ( ) + ( ) Φ ) (

9 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 9 / 97 Ugulama : Hazır beton üreten bir irmada, anı oşullar altında üretilen irişlerin bir türüne belli zaman aralılarında anı anda ugulanan 5 adet beton basınç daanım ( c ) e donatı çeliği çeme daanımı ( ) testleri apılmış e bu test değerleri aşağıda erilmiştir. i c[mpa] [MPa] i c[mpa] [MPa] d 47. ±. mm b w 5. ±. mm R s 8. ±.9 mm φ. ±.9 mm s. ±4.7 mm Min: Ma: şer ez ölçülen bu test değerini sınılara aırtara histogramlarını çiziniz. Histogram üzerinde bu örnelemee ait normal dağılım onsionunu çiziniz.. Her bir test ölçüsünün esin değerlerini e esin değerin standart sapmalarını hesaplaınız. 3. Yapılan testlerin uramsal ortalamalarının e uramsal ortalamanın standart sapmasının güen aralılarını hesaplaınız. 4. Yapılan testler arasındai arans-oarans e izisel orelason atsaılar matrislerini hesaplaınız. 5. V e M bağıntılarında er alan c e değişenlerini stoasti, diğer değişenleri (d, b w, R s, n s 3, φ, s) sabit değerler olara abul edere; V e M büülüleri arasındai orelason atsaısını (ρ VM ) hesaplaınız. V e M değerlerinin %95 güenirlili, güen bölgelerini belirleiniz. Σ σ σ c σ c c σ δ G δ σ V σvm Σ G Σ G σvm σm 6. V e M bağıntılarında er alan bütün değişenleri ( c,, d, b w, R s, φ, s) stoasti olara abul edere; V e M büülüleri arasındai orelason atsaısını (ρ VM ) hesaplaınız. V e M değerlerinin %95 güenirlili, güen bölgelerini belirleiniz. 7. a + b c şelinde erilen doğrusal regreson modelini hesaplaınız. Bu model için estirdiğiniz a e b atsaılarının %95 güenirlile anlamlılılarını test ediniz.

10 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları / 97 BĐLGĐ: BĐLGĐ: BSĐ BĐR KĐRĐŞĐN KESME KUVVEĐ e EĞĐLME MOMENĐ HESPLRI: BSĐ BĐR KĐRĐŞĐN KESME KUVVEĐ e EĞĐLME MOMENĐ HESPLRI: Beton basınç daanım ( c ) e donatı çeliği çeme daanımı ( ) değerleri ölçülen te donatılı bir irişin, esme ueti e eğilme momenti hesapları aşağıdai bağıntılarla gerçeleştirilir (Şeil ). { Not: Kuet N (Newton), uzunlular (mm) e basınç MPa (N/mm ) olara alınmıştır }. (a) (b) Şeil-. Basit irişin (a) enine e (b) bouna esiti. Ölçülenler c [MPa] Beton basınç daanımı (µ c -5MpaN/mm ) [MPa] Donatı çeliği çeme daanımı (µ 4MpaN/mm ) h [mm] Kirişin üseliği (µ h 5mm) d [mm] Kirişin adalı üseliği (µ d 47mm) b w [mm] Kirişin genişliği (µ bw 5mm) R s [mm ] Çeme donatısının çapı (φ8mm) n s [ ] Çeme donatısının saısı ( 3 ) s [mm ] Çeme donatısının esit toplam alanı (3φR s ) φ [mm] Etrie esiti çapı (mm) s [mm] Etrielerin aralıları (mm) V C [N] Kesme uetine beton atısı (N) V S [N] Kesme uetine etrie atısı (N) V [N] Kesme ueti (N) M [Nmm] Eğilme momenti (Nmm) Hesaplananlar: (a) Fonsion değerlerinin Hesaplanması V c V s V + c w s s b.59 d M c w c d V.8 b s s s R.5 n π R s.75 π s d V s φ s s s R ) R (.5 δ π δ (b) Fonsionların ölçü değerlerine göre doğrusallaştırılması e hata aılma uralı. δ δ M V φ φ s M M R M d M b M h M M M s V V R V d V b V h V V V s w c s w c δ δ δ δ δ δ δ δ φ s R d b h s w c F δ δ s h d b w

11 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları / 97 c w c d b.9 V s d V φ h V c w.8 d b V s.8 b d V c w φ + R V s s d V φ s d s V φ c w s c b.59 M c w s s b.8 d M h V c w c s w b.59 b V s d V c w s s s s s b R.36 R d R V V φ s V F δ δ F φ φ s M M R M d M b M h M M M s V V R V d V b V h V V V s w c s w c F F Σ Σ σ σ σ σ M VM VM V σ σ σ σ σ σ σ σ Σ φ s R d w h s ÇÖZÜM: () c nin Histogramı nin Histogramı () n 5 s ± 3. MPa µ c 9.9 MPa s c ±.4 MPa n 5 s ± 5.96 MPa µ c 49.3 MPa s c ±.84 MPa

12 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları / 97 (3) P( 9.7 MPa < µ c <.73 MPa ).95 P( ±.36 MPa < S c < ±.53 MPa ).95 P(47.37 MPa < µ < 4.68 MPa ).95 P( ±.7 MPa < S < ±.5 MPa ).95 (4) K MPa² R -.3 % (5) V N M Nmm Σ MPa² R.73 % P( N < µ V < N ).95 P( ±85.73 N < S V < ±65.4 N ).95 P( Nmm< µ M < Nmm).95 P(±996.3 Nmm< S M <± Nmm).95 (6) V N M Nmm K MPa² R.8 % P( 575. N < µ V < N ).95 P( ±96. N < S V < ±86.4 N ).95 P( Nmm < µ M < Nmm).95 P(±73349.Nmm< S M <± Nmm).95 (7) c S ±6.8 MPa S a ±5.76 MPa S b ±.9 MPa a 7.9 b.9 Z %95.64

13 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 3 / 97 Ugulama : Bağıl ata hareetlerin izlenebilmesi amacıla Kuze nadolu Fa ının (KF) her ii taraını apsaan bir enar ağı tasarlanmıştır (Şeil). Đl ıl gözlemlerin değerlendirmesi sonucu elde edilen oordinatlar ablo- de erilen ağda, ii ıl sonra gerçeleştirilen enar ölçüleri EUÖ ile apılmış e bu enarların projesion üzeine indirgenmiş değerleri ablo- de erilmiştir. Şeil-. Süreli Miro Jeodezi Deormason ğı. ablo-.. Yılda Elde Edilen Koordinatlar NN [m] [m] N N N N Dilim Orta Merideni3 o. 3 ez ölçülen her bir enara ait ölçüleri sınılara aırara histogramlarını çiziniz.. 3 ez ölçülen her bir enar ölçülerinin esin değerlerini e esin değerin aresel ortalama hatalarını hesaplaınız. 3. Ölçülen enarlar arasındai orelason atsaısını hesaplaınız ez ölçülen her bir enar ölçülerinin esin değerlerinin e esin değerlerinin aresel ortalama hatalarının güen aralılarını hesaplaınız. 5. N3 e N4 notalarında bir değişim olmadığı bilindiğine göre; N6 e N7 notalarının oordinatlarını hesaplaınız. 6. Değerlendirme sonucunda elde edilen KOH nın güen aralığını hesaplaınız. 7. N6 e N7 nota oordinatlarının e nota onumlarındai değişimin güen aralılarını belirleiniz. 8. α.95 e α.99 güenle deormason mitarlarını (N6 e N7 nota onum değişimlerini) belirleiniz.

14 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 4 / 97 ÇÖZÜM: ablo-. Kenar Ölçüleri (Ortalamalar e Ortalamaların Duarlıalrı) DN BN DN BN DN BN DN BN DN BN N6 N7 N6 N3 N6 N4 N7 N3 N7 N () HİSOGRMLR -Kenarı -Kenarı 3 -Kenarı 4 -Kenarı [m 5 -Kenarı

15 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 5 / 97 () j n ±σ j [mm] j [m] ±σ j [mm] (3) mm² R Σ (4) P( m < µ < m ).95 P(.78 mm < σ <.97 mm ).95 P( m < µ < m ).95 P(.43 mm < σ < 4.7 mm ).95 P( m < µ 3 < m ).95 P(.9 mm < σ 3 < 3.49 mm ).95 P( m < µ 4 < m ).95 P(.78 mm < σ 4 <.98 mm ).95 P( m < µ 5 < m ).95 P(.44 mm < σ 5 < 4.8 mm ).95 (5) NN Yuarı [m] Sağa [m] N3 c c N4 c 3 c 4 N6 N7 3 4 [ ][ 4]+[ 4] ( ) ϕ ŷφ( )[ϕ ϕ 3 ϕ 4 ϕ 5 ( )][ ( 3)+( 4) ( c ) +( c ] ) ( c 3 ) +( c 4 ) Pσ ( 3 c ) +( 4 c ) ( 3 c 3 ) +( 4 c 4 ) ŷ ŷ[ŷ ŷ 3 ŷ ŷ 5][ 5]+[ 5] Σ σ ±. mm σ ±.73 mm m mm² Σ

16 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 6 / 97 (6) P(.38 mm < s <.3 mm ).95 (7) mm mm² d Kd P( m < _N6 < m ).95 P( m < _N6 < m ).95 P( m < _N7 < m ).95 P( m < _N7 < m ).95 (8) d mm Kd mm² d_n mm d_n7 47. mm m_n6 ±.3 mm m_n7 ± 5. mm P( 8. mm < d_n6 < mm ).95 d_n6 8. mm P( 37.3 mm < d_n7 < 57.4 mm ).95 d_n mm P(.94 mm < d_n6 < 73.6 mm ).99 d_n6.94 mm P( mm < d_n7 < 6.6 mm ).99 d_n mm Kanalar hmet OPÇU (), Betonarme I, Esişehir Osmangazi Üniersitesi, 9 ralı. 4.pd demir ZORBOZN (), Betonarme I Ugulamaları, Örne 4. Orhan KUR (), Olasılı-Đstatisti Ders Notları, KOÜ, Müh. Fa., Đnşaat Mühendisliği Bölümü. Polat, Z. (), 8. KESME e BURULM, Yıldız eni Üniersitesi, 9 ralı. Şeet ÖZDEN (), Betonarme Ders Notları, KOÜ, Müh. Fa., Đnşaat Mühendisliği Bölümü.

17 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 7 / Doğrusal Denlem Çözümleri 3.. am ranlı doğrusal denlem taımı çözümü HF 3: Doğrusal Denlem Çözümleri n, u u n Matris gösterimi ile Genel Doğrusal Denlem aımı n e u Satır e sütun saısı, n,u n*u boutlu atsaılar matrisi, u u boutlu bilinmeenler etörü, n n boutlu sabit terimler etörü, olma üzere; genel denlem çözüm üç şeilde gerçeleştirilir. ) n u ise det{ } olma oşulu ile e nlamlı Çözüm aşağıdai gibi bulunur. u u, u u Bilinmeenlerin çözümü ) n < u ise te anlamlı çözüm için Lagrange Dönüşümü nden ararlanılır. [ ( ) ] Bilinmeenlerin çözümü u u, n Qu, u ( ) n Bilinmeenlerin ters ağırlı matrisi 3) m > n ise te anlamlı çözüm için Gauss Dönüşümü nden ararlanılır. [( ) ] Bilinmeenlerin çözümü u Q u, n u, u ( ) n 3.. Ran bozuluğu, genelleştirilmiş ters e psodo ters. Bilinmeenlerin ters ağırlı matrisi 3... Genelleştirilmiş ers (Generalized Inerse) ran( n,n )n ise - - I ardır. Benzer şeilde tam satır a da tam sütun ranlı bir didörtegen matrisinde tersi tanımlanabilir. ) ran( m,n )m ( m < n ) olsun ran( )m olur. ( ) ( ) I m ardır. I m ( ) { ( ) } B B n,m matrisinin m, n matrisi ile çarpımı I m olur. B matrisine matrisinin sağ tersi (right inerse) denir. n,m m, n ran( C ) m ile B C ( C ) de matrisinin sağ tersi olduğundan B matrisi te anlamlı değildir. Ugulama 3: şağıdai,3,3 matrisnin sağ tersini hesaplaınız. ran() B 3, / 6 5,3 B 3, I, ) ran( m,n )n ( n < m ) olsun ran( )n olur. ( ) ( ) I n ardır. I n ( ) {( ) } B B n,m matrisinin m, n matrisi ile çarpımı I n olur. B n,m matrisine m, n matrisinin sol tersidir (let inerse) e sağ ters gibi te anlamlı değildir.

18 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 8 / 97 Ugulama 4: şağıdai 3, 3 3 5,3 matrisnin sağ tersini hesaplaınız. ran() B 7,3 / B,3 3, I, 3) ) e ) de tanımlanan sağ e sol terslerde çarpım sıraları değiştirilere eni tersler elde edilir. Bu tersler ile elde edilen birim matrislerle olağanüstü (etraordiner) birim matrisler tanımlanır Genelleştirilmiş ers (Generalized Inerse) Bu aşamaa adar erilen ters tanımları; düzgün are matris e tam sütun a da tam satır ranı didörtgen matrisler için apılmıştır. Bu başlı altında herhangi ranlı bir didörtgen matrisin tersinden bahsedilecetir. anım: oşulunu sağlaan nm boutlu denir. n,m matrisine mn boutlu matrisinin genel tersi Genelleştirilmiş terslerin özellileri: ran ( m,n )r, m n e r n olsun; ran( ) olabilece ) ( ) ) ( ) 3) ( ) 3) ( ) ardır. eşgüçlüdür (idempotent matris ) e ran( ) ran( ) ( ) G, ( ) F olsun, ) G ( ), F ( ) ) G e F ; G e F nin simetrililerinden bağımsız simetritirler Relesi Genelleştirilmiş ers (Releie Generalized Inerse) anım: r e r r r ar ise matrisine matrisinin relesi genelleştirilmiş tersi (relesie generalized inerse) denir. Relesi genelleştirilmiş ters özellileri: r r ran( r r r ar ise )ran() ar ise n,m matrisine r n,m matrisi nın simetri relesi tersi olan ( ) r n,m m,n m,n matrisinin relesi genelleştirilmiş m,n matrisinin relesi genelleştirilmiş tersidir. poziti ön tanımlıdır (pozitie semi deinit) eil (Singüler) Matrislerin Genel terslerinden Birinin Bulunması det( n,n ) ise n, n matrisnin en az bir satır a da sütunu doğusal bağımlı demetir. Doğrusal bağımlı satır a da sütun, matrisnin son satırına a da sütununa gelece şeilde düzenlenirse matrisi aşağıdai gibi elde edilir. ran( n,n ) r < n, dn-r (ran bozuluğu, ran deeti) r,r n,n d,r r,d d,d r,r n,n d,r r,d d,d

19 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 9 / Psodo ers (Pseudo Inerse) a) Psodo tersi + ( ) ( ) dan hesaplanması anım: + matrisinin bir genel tersi olan matrisi; m,n n,m ( + ) + ( + ) + oşullarını sağlıorsa matrisinin Psodo ersi a da Moore-Penrose ersi olara adlandırılır. Psodo matris için aşağıdai özelliler geçerlidir. Herhangi bir matrisin psodo tersi + ( ) ( ) ile hesaplanır. ( + ) + matrisi nn boutlu düzgün (regüler) bir matris ise; r + dir. ( ) + ( + ) ise + ( + ) matrisi tam satır ranlı e B matrisi tam sütun ranlı ise; + ( ) e B + ( B B ) B dir. Burada + ; matrisinin sağ tersi e B + ; B matrisnin sol tersi olara da adlandırılır. ran( + ) ran( ) Simetri n,n S D S matrisinin izi özdeğerler matrisinin izine eşittir. iz( + ) iz( D ). Psodo ters matrisin izi nn matrisinin genel terslerinden izi minimum olandır. iz( + ) min. Ugulama 5: şağıdai matrisinin Psodo (Moon-Penrose) tersini bulunuz.,3 4 Çözüm:,3 matrisnin birnci satırı ile çarpılır ise iinci satır elde edileceğinden, ran(, 3 )< olur. 6, ran( ) < olduğundan,( ) /6 4 5, ran( ) < olduğundan, ( ) /5 4 ( ) /6 ( ) /5 4 + ( ) ( ) /3 4 Kontrol : ( + ) + /5 4 Kontrol : ( + ) + / Kontrol 3: + / Kontrol 4: / (6 3) 6 /3 4 4

20 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları / 97 b) eil Değer rıştırması Đle Çözüm Her hangi bir matris teil değerlerine arıştırılabilir. Đi ortogonal e bir öşegen matristen oluşan arıştırılmış matrisler ardımı ile Genel ters ada Psodo ers olaca hesaplanabilir. Bir matris ( n, u ); sütün ortogonal olan bir S n,u ( S u,n S n,u I u, u ), bir ortogonal matris D u,u ( D u,u D u, u D u, u D u, u I u, u ) e bir öşegen V u, u matrislerine aşağıdai şeilde arıştırılabilir. n, u u n n, u S n, u V u,u D u, u Doğrusal denlem taımı matrisinin teil değerlere arıştırılması Bu arıştırma sonucunda elde edilen matrisler ardımı ile matrisin genel ada psodo tersi aşağıda erilen bağıntılar ile hesaplanabilir. rran{ n, u } matrisnin ranı u, n D u, u V u, u S u, n + u, n D u, u V + u, u S u, n [/ / / uu] V u, u / ] [/ + / rr V u, u u u, n n d min { n, u} r Ran deeti saısı u + u, n n d min { n, u} r> Çoğunlula n u jeodezi problemlerin çözümde uarıda erilen bağıntılar ullanılır. n<u olan çözümler için Press d., ) anağında saa 65'e baınız Simetri Matrislerin Genelleştirilmiş ersleri (Generalized Inerses o Simetrical Matris) a) N N N u,n n, u u, u simetri matrisinin ranı ran( u, u )ran( u, n )r<u dur. u, u matrisin genel tersi aşağıdai gibi hesaplanır. N N N N r,r r,d u,n n, u u, u N N N r,r r,d N u,u u, u r d,r d,d d,r d,d N matrisi N u,u u,u matrisinin hem genelleştirilmiş tersidir, hem de relesi genelleştirilmiş tersidir ( N r ). u, u Ugulama 6: şağıdai simetri N matrisinin genel terslerinden üç tanesini bulunuz. N 3,3 4 Çözüm : Birici satırın ile çarpımı iinci satıra e ile çarpımı üçüncü satıra eşit çıtığından, iinci e N üçüncü satırlar birinci satırla doğrusal bağımlıdır. ran( 3,3 ) < 3, d3 dir.

21 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları / 97 N 3,3 N 3,3 / 4 N 3,3 Yuarıdai genel terslere benzer olara diğer lineer bağımsız elemanlarla altı genel ters daha hesaplanabilir. b) N u,u matrisi özdeğer e özetörlerine arıştırılırsa N u,u S D S S u,r D S r,r u,d d,r S r,d d,d S r,u d,u S u, r D S r,r r,u D r,r öşegen[ λ λ... λ r ] S : λi (i,,...,r) olan özdeğerlere arşılı gelen öz etörler. u,r ran( D r, r )r, du-r (ran bozuluğu) N + D S u,u S u, r r,r r, u Ugulama 7: Ugulama 6 dai N 3,3 matrisinin genel terslerinden biri olan psodo tersini hesaplaınız. Çözüm: ran( N 3,3 ) < 3, d3 dir. d adet özdeğer sıırdırdır. Matrisin arateristi polinomu aşağıdai gibidir. P(λ) λ λ (λ + 6 ) λ ise λ 6 e λ λ 3 dır. 6 / 6 D D D r [ /6 ] λ 6 5 ( N λ I 3,3 3, 3 ) ise, için 5 z 5 6 S r S / 6 z den z N + 3,3 S r D r S r / 6 [ /6 ] / 6 [ ] /36 4 c) Psodo ters, simetri matris aşağıdai gibi alt matrislere arıştırılara da elde edilebilir. N N Q Q N u,u r,r r,d Q N N e N + r,r r,d Q Q u,u u, u Q Q olsun. dir. r,d d, r d,r d,d d,r d,d C r,r ( N N r, r r,r + N r, d N ) r,d

22 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları / 97 Q N r, r r,r Q Q r,d r, r Q, d d,d C N C N r,r r,r r,r r,r N N r,r r,d N N r r, r N r,d Ugulama 8: Ugulama 6 dei N 3,3 matrisinin genel terslerinden biri olan psodo tersini hesaplaınız. Çözüm : Birici satırın ile çarpımı iinci satıra e ile çarpımı üçüncü satıra eşit çıtığından, iinci e üçüncü satırlar birinci satırla doğrusal bağımlıdır. ran( 3,3 bağımlı satır e sütunlara göre alt matrislere arıştırılara aşağıdai gibi çözülür. N 3,3 4 N, [ ], N ) < 3, d3 dir. N 3, 3 matrisi doğrusal N [ ] N 4, C N N N, (,, +, N ) (+5) /6, Q N,, C, N, C N /36,, Q,, Q, N /36 [ ] Q,, N N,, Q 4 /36 N + 3,3 /36 4 Öde: Ugulama 4 de erilen simetri matris N nin Psodo tersini, herhangi bir matrisin psodo tersini eren N + N ( N N ) N (N N ) N bağıntısı ile hesaplaınız. Kanalar lred LEICK (995), GPS Udu Ölçmeleri, Đinci Bası, Wille, Interscience Publication. llan asbjerg NĐELSEN (), En Küçü Kareler Dengelemesi: Doğrusal e Doğrusal olmaan ğılılı Regreson nalizi, S.S Edward M. MIKHIL, Friedrich E. CKERMNN (976), Gözlemler e En Küçü Kareler, homas Y. Cromell Compan, Inc., ISBN: Edward J. Kraiws (994), Snthesis o Recent dances in the Method o Least Squares, Department o Geodes and Geomatic Engineering, Unierstt o New Brunswic, Fredericton, N.B., Canada, Reprinted ugust 976 with Corrections, Latest Reprinting October Ergün ÖZÜRK e Muzaer ŞERBEÇĐ (989), djustment, Volume II, Publications o Karadeniz echnical Uniersit, Facult o Engineering and rchitecture, rabzon, ure. Ergün ÖZÜRK e Muzaer ŞERBEÇĐ (99), djustment, Volume III, Publications o Karadeniz echnical Uniersit, Facult o Engineering and rchitecture, rabzon, ure. Karl-Rudol KOCH (999), Doğrusal modellerde parameter estirimi e hipotez testi, Springer-Verlag Berlin Heidelberg Newor, ISBN Nico Sneeuw and Friedhem Krumm (), djustment heor, Geodätisches Institut, Uniersität Stuttgart, September 7,.

23 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 3 / 97 Orhan KUR (), Saısal Çözümleme, Ders Notları, KOÜ, Müh. Fa., Đnşaat Mühendisliği Bölümü. Paul. CROSS (983), Đleri En Küçü Karelerin Konum Belirlemee Ugulanması, Kuze Doğu London Politeni, ISBN Petr Vanice (995), Introduction to djustment Calculus, hird Corrected Edition, Department o Geodes & Geomatics Engineering, Uniersit o New Brunswic, Fredericton, N.B., Canada, Latest Reprinting October 995, William H. Press, Saul. euols, William. Vetterling, Brain P. Flanner (), Numerical Recipes in C, he rt o Scientiic Computing, Second Edition, Cambridge Uniersit Press, United Kingdom, ISBN URL ( Eim 3) (7 Elül 3). sat&rctj&q&esrcs&rm&sourceweb&cd3&edceiqfjc&urlhttp%3%f%fa.img.com %Fq%Fgroups%F364%F %Fname %F456notes.pd&eirXg3UqsKseihgemr4GQCg&usgFQjCNHdeNYdMoup659IX4uHc9EijiEg& sigsyuuq4ldcbv-8zsj3dxg (7 Elül 3)

24 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 4 / 97 HF 4: Dolalıa e Koşullu Ölçüler Dengelemesi 4. Dolalı e Koşullu Ölçüler Dengelemesi 4. Dolalı Ölçüler Ölçüler Dengelemesi Ölçüler bilinmeenlerin onsionları şelinde azılır e EKK amaç onsionuna göre çözülür. n Ölçü saısı u e anlamlı çözüm için gereli ölçü saısı n-u Serbesli derecesi + ŷφ( ) K σ P +Φ( )+( Φ( ) l Φ( ) ( Φ( ) ) ) Dengeli Ölçüler Bilinmeenlerin onsionu ölçüler (Fonsionel model) Stoasti Model Đinci derceden terimlerin ihmal edildiği alor serisi Ötelenmiş gözlemler Bilinmeenlerin atsaılar matrisi l Q Pl * Duarlı Hesapları m P Q ( P ) Q ŷ Q Q P Q ŷ PQ Matemati model Bilinmeenler Bilinmeenlerin ters ağırlığı Dengeli ölçülerin ters ağırlığı Düzeltmelerin ters ağırlığı 4. Dolalı Ölçüler Đçin lternati Çıarım +Φ( )+ w Q w Φ( ) Ω Q ( w) Ω Q e+ e e Ω e e [ Q ][ ] [ w ] [ ] [ Q Q Q Q Q w Q (w ) Q w Q Q Q ][ w ] Q +Q w N Q Q N Q Q Q Q Q

25 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 5 / 97 * Duarlı Hesapları m Q w Q N Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ŷ Q Q Q 4.3 Koşullu Ölçüler Dengelemesi Kolullu ölçüler dengelemesi önteminde onsionel model, ölçülerin dengeli değerleri arasındai matematisel e izisel ilişiler üzerine urulur. Ölçülerin dengeli değerleri dengelemeden önce bilinmediğinden, dengeli ölçülerin alaşı değerlerini eterince ansıtan il ölçüler ardımı ile doğrusal olmaan dengeli ölçülerin onsionları talor serisine açılalır. alor serisinde iinci e daha üse dereceden terimler ihmal edilir e dengeli ölçülerin dieransielleri erine düzeltmeleri azılara düzeltme oşulldenlemleri oluşturulur. n u n-u Ölçü saısı e anlamlı çözüm için gereli ölçü saısı Doğrusal bağımsız oşul denlemlerinin saısı (Serbesli derecesi) Ψ(ŷ) Ψ(+) K σ Q Ψ()+( Ψ(ŷ) ŷ )ŷ Ölçülerin onsionları (Fonsionel Model) Stoasti Model Đinci derceden terimlerin ihmal edildiği alor serisi B + w Q Matemati model EKK amaç onsionu, düzeltme oşul denlemlerini sağlaaca şeilde Lagrange (Korelat) atsaılarından ararlanara genişletilere oşullu ölçüler dengelemesinin amaç onsionu oluşturulur. Ω Q + (B +w) Lagrange Koşulu Lagrange oşulu düzeltmelere göre minimum apılara oşullu ölçülerin normal denlemelerine ulaşılır. Ω ( Q + B) e e Q B Korelat Denlemleri B Q B +w Normal Denlemler BQ B w Normal Denlemler (B Q B ) w Q B ŷ+ φ(ŷ) Normal Denlemlerin Çözümü (Korelatlar) Düzeltmeler Dengeli Ölçüler Sonuç Denetimleri

26 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 6 / 97 Dengeli ölçülerin onsionlarından ararlanara duarlı hesapları apılır. Dengeleme sonuçları istatisti öntemlerle test edilir. Duarlı Hesapları Q ( BQ )Q (Q B ) Q B Q B ( w) w m Q w Q (B Q B ) Q Q B Q B Q Q ŷ Q Q Korelatların ters ağırlığı Düzeltmelerin ters ağırlığı Dengeli ölçülerin ters ağırlığı Koşullu ölçülerdei normal denlemelerin boutu oşul denlemlerinin saısı (r r) adardır. Dolalı ölçüler dengelemesinde normal denlemlerin boutunu bilinmeen saısı (u u) belirler. Dengeleme hesabı cep hesaplaıcıları ile apılıorsa, normal denlemlerin boutunun dengleme önteminin seçinde önemli olduğu unutulmamalı e hangi dengeleme önteminde normal denlemlerin boutu üçü ise o dengeleme öntemi seçilmelidir. Dengeleme hesabının dolalı ada oşullu ölçüler öntemlerinden herhangi birisi ile apılması dengleme sonuçlarını değiştirmediği unutulmmalıdır. Korelasonlu ölçülerin dengelenmesinde oşullu ölçüler öntemi daha hızlı sonuç erir. Çünü ölçülerin ağırlı matrisi erine ters ağırlı matrisi ile oşullu ölçüler dengelemesinin her aşaması hesaplanabilir. Korelasonlu ölçülerde tersi alınaca matrisin en büüğü ölçülerin (n n) boutlu ters ağırlı matrisi üzerinde gerçeleştirlir. Q σ K Stoasti Model B + w Q Matemati model Ω Q + (B +w) Lagrange Koşulu Q B B Q B w (B Q B ) w Q B ŷ+ φ(ŷ) Korelat Denlemleri Normal Denlemler Normal Denlemlerin Çözümü (Korelatlar) Düzeltmeler Dengeli Ölçüler Sonuç Denetimleri

27 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 7 / 97 Ugulama 9: Bir üçgenin iç açıları ölçülmüş, ölçü değerleri duarlıları ile birlite aşağıdai tabloda erilmiştir. Verilenlerden ararlanara üçgenin iç açılarının dengeli değerlerini; a) dolalı ölçüler öntemine göre, b) oşullu ölçüler öntemine göre, hesaplaınız e sonuçları tartışınız. L 3 i L i (g) m i (cc) 4,35 ±3 L () 6,7 () L ±5 3 98,948 ±6 a) Dolalı Ölçüler Denglemesi Đle Çözüm : n3 u - Bilinmeenlerin e bilinmeenlerin alaşı değerlerinin seçimi + + d L + d L - Fonsionel model oluşturulması l+φ() L + d -(L - ) L + d -(L - ) L g - -d -d -{L 3 (- - )} 3 [ cc] d - d - Stoasti modelin oluşturulması,,, c c 3 9 p ii P,36, m i,5 - Matemati modelin oluşturulması l P - Normal denlemler oluşturulmsı, çözümü e bilinmeenlerin esindeğerlerinin hesaplanması P P l,5,5,6-5,5 5,5,874,357 Q( P ), 7857 [ cc] [ g] Q,83 4,3597 P l + 7,86 6,74 - Düzeltmelerin, dengeli ölçülerin hesaplanması e sonuç denetimleri l P,83 7,86,3 6,86 cc m - Duarlı hesapları K m Q Q l Q K l m Q l 54,5 54,4,874,3,6,3,6 [ cc] [ cc ],357,7857 3, 4,3597 L L + 6,74 88,93,95 98, ±7,89 cc [ g] L +? Bilinmeenleri arans-oarans matrisi,543,486,949 [ cc ] Φ () Dengeli ölçülerin ters ağırlı matrisi Dengeli ölçülerin arans-oarans matrisi

28 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 8 / 97 b) Koşullu Ölçüler Denglemesi Đle Çözüm i L i (g) m i (cc) 4,35 ±3 6,7 ±5 3 98,948 ±6 L 3 L () () L n3 Ölçü saısı u e anlamlı çözüm için gereli ölçü saısı r Koşul saısı (serbestli derecesi) i,,...,n l i l i i Dengeli ölçüler - Fonsionel model oluşturulması l l l 3 g l - Ölçülere göre doğrusallaştırma l l l 3 g 3 l l... l ll 3 cc B +w Düzeltme oşul denlemleri - Stoasti modelin urulması q i m i p i c c9 cc q [ ] [q][ p] Lagrange Fonsionu e Normal Denlemlerin Kurulması Ω[ p] ( ) p + p + p 3 3 ( ) Ω i p i i i p i q i i,,3 Korelat denlemleri Düzeltmeler düzeltme oşul denlemelrinde erine onulursa, normal denlmelere ulaşılır. [ + w [q] + w p] cc Normal denlemeler.878 Korelat Korelat denlemlerinden düzeltmeler hesaplanır. [ ] l [ ] Düzeltmeler Dengeli Ölçüler - Sonuç Denetimleri l + l + l 3 g

29 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 9 / 97 HF 5: -l e C+w 5. Bilinmeenler rasında Koşul Denlemleri Bulunan Dolalı Ölçüler Dengelemesi Ölçüler ile bilimeenler arasındai onsionel ilişinin anı sıra bilinmeenler arasında da oşullar olabilir. Bu türden problemler aşağıdai şeilde dengelenir. n u m n+m-u + ŷ+ ŷφ( ) Γ( ) K σ P Ölçü saısı Bilinmeen sasısı, Bilinmeenler arasındai oşul saısı Bilinmeenler arasındai oşulların saısı Dengeli blinmeenler Dengeli ölçüler Bilinmeenlerin onsionu ölçüler Bilinmeenler arasındai oşul denlemleri Stoasti Model Yuarıdai erilen onsionel model bilinmeenlerin alaşı değerlerine göre alor serisine açılıp iinci daha üse dereceden terimler göz ardı edilirse aşağıdai matemati model elde edilir. l C +w Düzeltme denlemleri Koşul denlmeleri (Φ ), C ( Γ ), ll Φ( ) e wγ( ) Düzeltme denlemleri oşul denlemleri ile birlite EKK'e göre çözebilme için aşağıdai Lagrange oşulu azılır. Ω( l) P ( l)+ (C +w) Lagrange oşulu Ω P l P +l Pl+ C + w Lagrange oşulu bilinmeenlere e orelatlara göre minimumlaştırılır. Ω ( P l P + C)e Ω e (C+w) Minimumlaştırılan denlemler terar düzenlenere normal denlemlere ulaşılır. [ P C C [ N C C [ ] [ ] [ ] [ + Pl w ] [ ] [ Q Q C N ] [ ] Normal Denlemler Pl w ] N P MC N C N C Q Q ] [ Pl w ] Q N N C Q CN Q M Normal denlemlerden önce bilinmeenler Gauss algoritması ile indirgenir e orelatlar hesaplanır. Daha sonra orelatlardan ararlanara bilinmeenler bulunur.

30 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 3 / 97 Q (C N Pl+w) Korelatlar (Lagrange çarpanları) N ( Pl C ) Dengeleme bilinmeenleri Daha sonra dengeli bilinmeenler, düzeltmeler e dengeli ölçüler hesaplanır. Model testi e uuşumsuz ölçülerden önce duarlı hesapları apılır. m ± P Soncul birim ölçünün aresel ortalama hatası Sonuçların test edilmesinde ullanılan ters ağırlılar aşağıdai bağıntılar ile hesaplanır. Korelatlara hata aılma uralı ugulanırsa orelatların ters ağırlığı elde edilir. Q N N C Q C N Bilinmeenlerin ters ağırlığı Dengeli ötelenmiş göslemlerden l ararlanara, dengeli ölçülerin ters ağılı matrisi e bu matristen ararlanara düzeltmelerin düzeltmelerin ters ağırlı matrisi hesaplanır. Q ŷq l Q Q Q Q ŷp Q ŷ Dengeli Ölçülerin ters ağırlı matrisi Düzeltmelerin ters ağırlı matrisi Ugulama a: Bir di üçgenin üç enarı ölçülmüş ölçü değerleri ağırlıları ile birlite aşağıda erilmiştir. Đi di enarı birbirine aın olan bu di üçgende geçeleştirlen ölçüleri; a) dolalı ölçüler öntemine göre, b) bilinmeenler arasında oşul denlemleri bulunan dolalı ölçülere göre, dengeleere sonuçları irdeleiniz. (a) Dolalı ölçüler dengelemesi ile çözüm. ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ + K [p p 3] p Çözüm: j j [m] m j [cm] ( ) ( ) 3 (b) Bilinmeenler arasında oşul u (di enarlar birbirine eşit olsun) bulunan dolalı ölçüler dengelemesi ile [ ] l [cm] [cm] 'P [p].789 cm 'P Pl s.3 cm Q

31 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 3 / 97 ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ + Γ( ) K [p p 3] p Q N n C w Nz nz Qz z SN L L+ SN Karşılaştırma: σ,5 cm (a) (b) σ j [cm] P j [ ] j [m] j [m] j [m],75 4,,79 99,9887,5 9 99,98 99,979 99,9887,5 σ,3,355

32 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 3 / 97 Ugulama b: Bir üçgenin iç açıları ölçülmüş ölçü değerleri ağırlıları ile birlite aşağıda erilmiştir. Bir açısı di e ii enarı eşit olması istenen bu di üçgende geçeleştirlen ölçüleri; a) dolalı ölçüler öntemine göre, b) bilinmeenler arasında oşul denlemleri bulunan dolalı ölçüler öntemine göre, dengeleere sonuçları irdeleiniz. σ m.5c j j [m] mj [c] Pj [ ] ( ) ( ) Çözüm: (a) Dolalı ölçüler dengelemesi ile çözüm. ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ g K [p p 3] p s c.5 j j [m] m j [c].5 P j [ ] j [m] u [ ] l [c] [c] 'P [p].368 'P Pl m.49 c Q Bilinmeenler j j [g] j [c].4 j [m] Dengeli Ölçüler j j [g] j [c].4 j [m] m.49 c c

33 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 33 / 97 (b-) Bilinmeenler arasında oşul (taban açıları eşit olsundi enarlar birbirine eşit olsun) bulunan dolalı ölçüler dengelemesi ile çözüm. ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ g K [p p 3] p Γ( )[ ][] aban çıları eşit olsun [ ] l [c] Pj [ ],,,5 -, -, -,,36 N z z n3,36,36,36 m,36,6 -,36 u - 4, Q z z [c],3,3,6333,69,69,3,3 -,3667 -,3 -,3,6333 -,3667 -,79 -,8 -,37 [p],5 m,36c Bilinmeenler j j [g] j [c] j [m] 49,97,69 49,9969 5, -,3 49,9969 Dengeli Ölçüler j j [g] j [c] j [m] 49,97,69 49,9969 5, -,3 49,9969 3, m -,37,63,,36c l z c

34 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 34 / 97 (b-) Bilinmeenler arasında oşul (taban açılarının toplamı g olsun üçüncü açı di açı olsun) bulunan dolalı ölçüler dengelemesi ile çözüm. ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ g K [p p 3] p Γ( )[ + g ][] aban çılarının toplamı g olsun [] l[c] Pj[], ,36 N z z n3,36,36,36 m,36,6,36 u, Q z z [c],377 -,377,693,38,38 -,377,377,377,6,6,693,377 -,53 -,74 -, [p] m 3,3,5c Bilinmeenler j j [g] j [c] j [m] 49,97,38 49,9838 5,,6 5,6, Dengeli Ölçüler j j [g] j [c] j [m] 49,97,38 49,9838 5,,6 5,6, 3, m -,,,,5c l z c

35 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 35 / 97 (b-3) Bilinmeenler arasında oşul (Üçgen, iizenear di üçgen olsun üçgenin taban açıları eşit olsun + taban açılarının toplamı g ) bulunan dolalı ölçüler dengelemesi ile çözüm. ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ g K [p p 3] p Γ( )[ g] + [ ] aban çıları eşit olsun aban çılarının toplamı g olsun [] l[c] Pj[], ,36 N z z n3,36,36,36 m,36,6 -,36 u - 4, 3, Q z z [c],,,5,5 3, 3,,, -,5,5 -, -,,5 -,5 -,85,35 -,63 -,,5,5,35 -,75 -,74 [p],6 m,97c Bilinmeenler j j [g] j [c] j [m] 49,97 3, 5, 5, -, 5, Dengeli Ölçüler j j [g] j [c] j [m] 49,97 3, 5, 5, -, 5, 3, m -,,,,97c l z c

36 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 36 / 97 Ugulama ( Eim 6): şağıda ölçüleri erilen nielman ağını dolalı e oşullu ölçüler öntemine göre dengeleiniz (Olar nielman gidiş önünü göstermetedir). Rs j NN H i [m] P P P Rs. H Rs 5.5 H DN BN H [m] S [m] H [m] Sonuç Denetimi Rs P Rs P P Rs P Rs ) DOLYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ P 3 Rs 4 ˆ ˆ H ] ˆ ˆ H ˆ 3 H ˆ ˆ 4 H ˆ n 4 u n u [ m] [ m p / S ˆ j j + j,,..., n j,,..., u P []. mm -3. mm P P...5 P n 4 Q u...5 mm m.65 mm B) KOŞULLU ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ ˆ [ m] [ m] q S / 3 + ˆ 4 + H H ˆ + ˆ + H H B w Q 4. mm -3. mm B Q B -w w P

37 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 37 / 97 Ugulama (7 Eim 6): şağıda ölçüleri erilen GNSS ağını dolalı e oşullu ölçüler öntemine göre dengeleiniz. X ˆ 3 Y Z [m] K [cm ] DN BN ÇÖZÜM: ) DOLYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ ) Yalaşı Koordinatların Hesaplanması e Bilinmeenlerin onsionu ölçüler X ˆ 3 Y Z ˆ ˆ + + ˆ 3 X ˆ Y ˆ ˆ + ˆ + Z X ˆ 3 + ˆ ˆ ˆ 3 Y Z ) Stoasti Model σ. cm Q

38 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 38 / PQ ) Fonsionel Model (Düzeltme Denlemleri) [ ] X [cm] [cm] [cm] - dx dy dz dx dy dz ) Normal Denlemeler e Çözümü P [ ] [cm] P [cm] dx dy dz dx dy dz dx.8 [cm] dy.8 Q ( P) dz dx dy dz -.8 5) Duarlı Hesapları n 9 u 6 3 P cm m.34 cm

39 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 39 / 97 B) KOŞULLU ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ ) Ölçülerin Fonsionu ˆ ˆ + ˆ 3 ) Düzeltme Koşul Denlemleri + + w 3 B w -.8 [cm] ) Normal Denlemler e Çözümü BQ B -w[cm] (BQ B ) ) Korelat Denlemleri e Düzeltmeler (Q B ) ) Duarlı Hesapları n 9 u w cm m.34 cm

40 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 4 / 97 Ugulama 3 (4 Eim 6): Şeildei nirengi ağında e B notaları oordinatları ile erilmiş, şeilde ola gösterilen doğrultular m d ±7 cc e s, s enarları m s5+ppm olan bir EUÖ ile ölçülmüştür. C notasının dengeli oordinatlarını e duarlılarını, ölçülerin dengeli değerlerini e duarlılarını dolalı e oşullu ölçüler öntemleri ile hesaplaınız. N j j DN BN C r. g 6.47 B r g B B 8.47 B r 3 3. g B C r g C C s m C C B C s m z 3 3 B z B 4 4 C s s 3 4 B Koordinat e DN da Yöneltme Bilinmeenleri: DN : ˆ, ŷ, ẑ j BN: ˆ, ŷ j j DOLYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ // j : Durulan Nota (DN) : Baılan Nota (BN) Bilinmeenlerin Fonsionu Ölçüler: ˆ ˆ j rˆ j + zˆ j tˆ j arctan Doğrultu Ölçüleri ˆ ˆ j j j s ˆ ( ˆ ˆ ) + ( ˆ ˆ ) Kenar Ölçüleri j ẑ j tˆj rˆj ŝ j Yalaşı Değerler: DN : j j + j j j + j z ˆ j z j + z j BN : + ˆ + j Doğrultu e Kenar Düzeltme Denlemleri: j t j arctan, s j ( j ) + ( j ) j j s j cos t j, j s j sin t j ar j rj a rj j b rj j + a rj t j ρ cc sin t j ρ cc [ ], [ ] s j cm br j j + b rj cos s cm, z j l rj ρ, + z t [ cc] l r j rj j j, as j s j a s j j b s j j + a s j + b s j l s j cos t [ ], sin t [ ], s [ cm] j bs j j l s j s j j, Stoasti Model: p r j σ cc σ cc r j σ cc, p s j σ cm s j

41 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 4 / 97 ÇÖZÜM: n 6, u 4, n u C [ ] [ ] Ölçüler etörü Düzeltmeler etörü γ 6 β ˆ + ˆ [ ˆ ˆ ˆ ˆ ] 3 4 ) Bilinmeenlerin onsionu ölçüler Doğrultu ölçüleri ˆ ˆ arctan ˆ ˆ B arctan ˆ B ˆ ˆ Dengeli ölçüler etörü Dengeli bilinmeen etörü Kenar ölçüleri ˆ 3 ˆ5 ( ˆ ) + ( ˆ ˆ ) 3 ˆ6 ( ˆ B ) + ( ˆ ˆ B ) B 3 arctan ˆ 4 B ˆ B 4 arctan ˆ 4 ˆ B ) Bilinmeenlerin alaşı değerleri 5 α 3 4 B α β 3 γ π , B ( B) arctan, ( B ) ( B) ± π, B cos{( B) sin{( B) ( B) α ( B) α} α} j j m m g g 3) Katsaıların Hesaplanması DN BN t [g] s [m] a b l p j C r cc. B r B r cc. C r C s cm 74.6 cc/cm B C s cc/cm

42 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 4 / 97 4) Düzeltme Denlemleri e normal denlemler cc -.6 cc -.6 g cm. cm m P Pl Q Pl +. cm m cc g ) Sonuç denetimleri z+r t() s+ s() ) Duarlı Hesapları [p] 7.49 cc n6 u4 m.95 cc

43 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 43 / Q Q Q P - - Q

44 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 44 / 97 KOŞULLU ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ ÇÖZÜM: n 6, u 4, n u α + β γ π α + β γ π ) Đl doğrusal bağımsız oşul denlemeleri 5 C γ 6 β 4 ˆ s 5 B sinγ sin β ˆ 6 sinγ, s sinα B, q j p j α ) Düzeltme oşul denlemleri 3 B cc cm cot β β + cotγ w, γ 5 cc cm cotα α + cotγ w, γ 6 w w sin γ sin β 5 sb sinγ sinα 6 sb ρ ρ [ cc] [ cc]. { 6366 } 5 + w 5 { 6366 } + w cot β ( ) + cotγ ( ) +. 6 cotα ( + ) + cotγ ( ) + 6 { cot β + cotγ } { cot β + cotγ } + { 6366 } + w cotγ cotγ { cotα + cot γ } { cotα + cotγ } + cotγ cotγ + { } + w Çözüm: s B m α g β 7.67 g γ g q q q 3 q 4 q 5 q B B w cc BQB -w cc Q -w cc

45 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 45 / 97 Duarlı Hesapları Q B Q Q B Q Q B Q L Q - Q Dengeli Ölçülerin Fonsionlarının Duarlığı F Q F Q LF

46 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 46 / 97 Serbest ğaların Dengelenmesi, B, C Zorlamasız Dengelemiş Notalar, B, C Serbest Dengelemiş notalar Zorlamasız dengelenmiş oordinatlar S Serbest dengelenmiş oordinatlar S d, d d min * Zorlamasız e iç zorlamalı (serbest) arasında Benzerli dönüşümü R C S + * Sağ-el oordinat sisteminde 3. esen etraında, α α α α α cos sin sin cos ) R 3 ( R e + C C j S S α α α α cos sin sin cos α α α α α sin cos cos sin R e α olduğundan α sin e α cos den R e α R, I R S, S,, R e R α den α α d d d S S C C S S S R R t G j j j S j d j j j j d d d d C C α, C B j,, * Đi boutlu ağlar (doğrultu ağları) için en genel durum p adet nota için dönüşüm atsaılar matrisinin sütun normlandırma ile genelleştirilmesi p M / ] [, p M / ] [, M j j, M j j, c + } ] [ {, j j c, j j c, p j,,, K [ ] d d d d C C α t, p p p p p p p p L L L L / / / / G G t S d e t G + + d S ) ( ) ( t G G t + + S S t G G t G t + + min G G S S t t G t + + min C B C B d C d C d d d B d B

47 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 47 / 97 S S t den G + t e t G bulunur S S, G G (I G G ) S I G G S S e S Q S Q S, S I G G Kontroller G S G ( I G G ) (G G G G ) (G I G ) den G S G, G, N G, G N, N G, Q G S S, Bilinmeenler arasında oşul bulunan dolalı ölçüler dengelemesi e Serbest Dengeleme bulunur. G Q S L ˆ Φ(ˆ S ) Ψ( ˆ ) G S ˆ S P σ K ˆ ˆ +, L + Φ ˆ ), L Φ(ˆ ), + Φ ) S S Matemati Model S P G S Ω arg min S, Ω arg min S, ( S ( S {( S ) P ( S ) + ( G S ) } { P P + P + G } S S S S Ω S Ω e dan P P + G S G S, N P e n P ısaltmaları ile Normal Denlemler N G G S n Normal denlemlerin atsaılar matrisinin tersi aşağıdai bağıntı ile hesapnır. QS + GG G G N + G GG G I + GG G G I Q S ( N + GG ) GG

48 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 48 / 97 S QS G G n QS n G n Q S n, G n { G } P Q S ( N + GG ) S Q S n { GG ( N + GG ) GG }n ( N + GG ) n iz{ Q } > iz{ Q } min S S ˆ ˆ + S S L + Φ ˆ ), L Φ(ˆ ), + Φ ) ( S ( S

49 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 49 / 97 Ugulama 3: DN BN t [g] s [m] a b l p j C r cc. B r B r cc. C r C s cm 74.6 cc/cm B C s cc/cm B B C C z z B cc cm [p] 4. m Yönelme Bilinmeenleri Đndirgenmiş Düzeltme Denlemeleri l p NN ' ' B C c 6.77E-4 " " G

50 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 5 / 97 P Pl GG Q s(n+gg ) - -GG Q zz z Sonuç Denetimleri z r z+r? t Kontrol g g s m

51 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 5 / 97 HF 6: + B + w 6. Bilinmeenli Koşullu Ölçüler Dengelemesi Bazı problemlerin çözümünde urulan onsionel modelde bilinmeenler ile ölçüler oşul denlemlerinde er alırlar. Bu tip problemlerin EKK öntemine göre çözümü aşağıdai şeilde gerçeleştirilir. n u r r u [,,, u ] [,,, n ] [,,, n ] K Ψ(, ŷ) Ölçü saısı Bilinmeen saısı Bilinmeenli oşul denlem saısı Serbestli derecesi Dengeli Bilinmeenler Vetörü Ölçüler etörü Düzeltmeler etörü Ölçülerin arans-oarans matrisi Bilinmeenli oşul denlemleri Kurulan bilinmeenli oşul denlemlerli ölçülere e bilinmeenlerin alaşı değerlerine göre doğrusallaştırılır. ŷ+ + Dengeli ölçüler Bilinmeenlerin dengeli değerleri Ψ(, ŷ) Ψ(, ) + ( Ψ + ) (Ψ +,ŷ, ŷ ), ŷ, Doğrusallaştırılmış oşul denleminde dieransieller sonucu elde edilen atsaılar matrislerde, bilinmeenlerin alaşı değerleri e ölçü değerlerinden ararlanara elde edilen apanmalar etörü ardımıla bilinmeenli düzeltme oşul denlemi oluşturulur. r u ( Ψ ), ŷ, B r n ( Ψ ŷ ), ŷ, w r Ψ(, ) Bilinmeenlerin atsaılar matrisi Düzeltmelerin atsaılar matrisi Kapanmalar Ölçülerin arans-oarans matrisi ullanılara matemati model aşağıdai şeilde urulur. Fonsionel Model Stoasti Model +B +w Q σ K Matemati model Bilinmeenli düzeltme oşul denlemlerinin te anlamlı çözümü EKK amaç onsionuna eşdeğer olan Lagrange Fonsionu ardımıla gerçeleştirilir. Ω Q ( +B +w) [ a, b,, r ] Lagrange onsionu Lagrange çarpanları Lagrange Fonsionu düzeltmelere e bilinmeenlere göre minumumlaştırılara normal denlemler oluşturulur.

52 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 5 / 97 Ω Q e B e e Ω e e Denlemler eniden düzenlenere aşağıdai bağıntılara ulaşılır. Q B Düzeltmeler Düzeltmeler bilinmeenli düzeltme oşul denlmelerinde erine azılır, orelat oşul denlemleri e bilinmeenler arasındai oşul denlemeleri normal denlemlerin simetri oşulunu sağlaaca şeilde düzenlenere, normal denlemler oluşturulur. B Q B + +w NB Q B N + +w [ N ] Normal denlemler ] [ ] [ w Denlem sistemlerinin ço büü olmadığı problemlerin çözümü doğrudan aşağıdai gibi elde edilir. [ ] [ Q N Q Q N Q ] [ w ] M N Q M Q N N Q N Q N w Bilinmeenler N ( +w) Korelatlar Q B Düzeltmeler Duarlı hesapları; Q N w m ± Q r u Q Q B Q B Q Q ŷ Q Q Ugulama : Bir çember üzerinde ölçülere elde edilen n adet oordinat çiti (, ) andai tabloda erildiğine göre; genel denlemi ( a) +( b) R olan çemberin merez M(a,b) oordinatlarını e R arıçapını bilinmeenli oşullu ölçüler öntemine göre dengeleiniz. r Bilinmeenli oşul saısı n Ölçü saısı (r) u3 Bilinmeen saısı

53 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 53 / 97 * Bilinmeen saısı adar eriden ararlanara, bilinmeenlerin alaşı değerlerinin hesaplanması (,,3) [ ][ a c] b [ + ], c R a b, R c+a +b w - [m] a.794 m, b m, R.8 m * Matemati Modelin Kurulması ψ j (â, b, R, j, ŷ j ) ( j â) +( ŷ j b) R j,,,r * Yalaşı değerlere doğrusallaştırma: j. oordinat çitine ait doğrusal olmaan bilinmeenli oşul denlemi doğrusallaştırılır ise, bilinmeenli düzeltme oşul denlemi aşağıdai şeilde oluşturulmuş olur. [ ( j a ) R j ( j b ) R j ][ da db dr] + [ ( j a ) R j ( j b ) R j ][ j j] + [ R j R ] [ N R j ( j a ) +( j b ) ] [ ] [ w ] B'QB -w[cm] [ ] [ Q N M M N Q ] [ w ]

54 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 54 / 97 Q Q [cm] ( N ) N w Q [m] Q B Q [cm] m ± Q.76cm r u

55 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 55 / 97 HF 7: + B + w e C+w 7. Bilinmeenler rasında Koşul Denlemeleri Bulunan Bilinmeenli Koşullu Ölçüler Dengelemesi Bazı problemlerin çözümünde urulan onsionel modelde bilinmeenler ile ölçülerin oşul denlemleri anı sıra bilinmeenler arasında da bazı ısıtlamalar er alabilir. Bu tip problemlerin EKK öntemine göre çözümü aşağıdai şeilde gerçeleştirilir. n u r m Ölçü saısı Bilinmeen saısı Bilinmeenli oşul denlemi saısı Bilinmeenler arasındai oşul saısı n r u m [,,, u ] [,,, n ] [,,, n ] K Ψ(, ŷ) Γ( ) Bilinmeenler Vetörü Ölçüler etörü Ölçüler etörü Ölçülerin arans-oarans matrisi Bilinmeenli oşul denlemleri Bilinmeenler arasındai oşul denlemleri Kurulan bilinmeenli oşul denlemlerli ölçülere e bilinmeenlerin alaşı değerlerine göre doğrusallaştırılır. ŷ+ + Dengeli ölçüler Dengeli bilinmeenler Ψ(, ŷ) Ψ(, ) + ( Ψ + ) (Ψ +,ŷ, ŷ ), ŷ, Γ( ) Γ( ) + (Γ + ) Doğrusallaştırılmış oşul denleminde dieransieller sonucu elde edilen atsaılar matrislerde, bilinmeenlerin alaşı değerleri e ölçü değerlerinden ararlanara elde edilen apanmalar etörü ardımıla bilinmeenli düzeltme oşul denlemi oluşturulur. r u ( Ψ ), ŷ, B r n (Ψ ŷ ), ŷ, C m u (Γ ) Bilinmeenlerin atsaılar matrisi Düzeltmelerin atsaılar matrisi Düzeltmelerin atsaılar matrisi w Ψ(, ) Bilinmeenli oşul denlemi apanmaları ( r ) w Γ( ) +B +w C +w Bilinmeenli düzeltme oşul denlmleri Dengeleme bilinmeenleri arasındai oşul denlemleri Ölçülerin arans-oarans matrisi ullanılara matemati model aşağıdai şeilde urulur. Fonsionel Model Stoasti Model

56 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 56 / 97 +B +w Q σ K Matemati model C +w Bilinmeenli düzeltme oşul denlemlerinin te anlamlı çözümü EKK amaç onsionuna eşdeğer olan Lagrange Fonsionu ardımıla gerçeleştirilir. Ω Q ( +B +w ) (C +w ) [ a, b,, r ] e [ s, t,, m ] Lagrange onsionu Lagrange çarpanları Lagrange Fonsionu düzeltmelere e bilinmeenlere göre minumumlaştırılır. Ω e C e e Ω Q l e B e e Denlemler eniden düzenlenere aşağıdai bağıntılara ulaşılır. Q B +C Düzeltmeler Korelatlar arasındai oşul denlemleri Düzeltmeler bilinmeenli düzeltme oşul denlmelerinde erine azılır, orelat oşul denlemleri e bilinmeenler arasındai oşul denlemeleri normal denlemlerin simetri oşulunu sağlaaca şeilde düzenlenare, normal denlmeler oluşturulur. * Normal Denlemler [ N C C ] [ ] [ w ] w NB Q B * Normal Denlemlerin Çözümü [ ][ Q N Q N M C Q ] [ w Q N Q M C Q Q CM N Q C M Q ] w M N HC M C Q H Q M M C Q CM Q N N Q N Q B * Duarlı Hesapları r+m u m ± Q Q Q B Q B Q Q ŷ Q Q

57 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 57 / 97 Ugulama : Ugulama 'de erileri ulanara çemberin parametrelerini; merez oordinatları arasında ba e arıçapınının R.m olaca şeilde hesaplaınız. r Bilinmeenli oşul saısı n Ölçü saısı (r) u3 Bilinmeen saısı m Koşul saısı Bilinmeen saısı adar eriden ararlanara, bilinmeenlerin alaşı değerlerinin hesaplanması (Ugulama 'den) a.794 m, b m, R.8 m * Matemati Modelin Kurulması: bilinmeenli düzeltme oşul denlemleri Ugulama ile anıdır. Koşul denlemleri aşağıdai şeilde urulur. Γ( )[ Γ (â, b, Γ (â, b, R)] [ R.] â b [ ] C[ w ] [ 7.9 [cm].8 ] NBQ B w C C w Q Q [cm] Q

58 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 58 / 97 Q [m] m 5.44cm Q [cm]

59 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 59 / 97 HF 8: + B + w HF 8: + B + w e C+w e C+w 8. Dengeleme Hesabı ürlerinin Karşılaştırılması e Birbirlerine Dönüşümü 8. Dengeleme Hesabı ürlerinin Karşılaştırılması e Birbirlerine Dönüşümü 8. Dolalı e Koşullu Ölçülerin Birbirlerine Göre Üstünlüleri e Birbirlerine Dönüşümü. Bilinmeen saısı e oşul (serbestli derecesi) saısına göre seçim.. Varans-oarans matrisnin tersinin alınması 3. Kola programlanabilirli a) Dolalı Ölçüler Yönteminden Koşullu Ölçüler Yöntemine Dönüşüm n Ölçü saısı u Bilinmeen saısı rnu Koşul saısı (serbestli derecesi) { } u u bout { } u r bout l l Birinci grup denlemlerden bilinmeenler çeilir. l l l + Bilinmeenler iinci grupta erine azılır. l { } l l + l l + + l l [ ] I B e { } l l w ısaltmaları ile w B + elde edilir. Ugulama 3: Ugulama 3: Dolalı ölçülere göre urulmuş olan e aşağıda erilen dengeleme problemini oşullu ölçülere dönüştürünüz. 3 3 l [ ] [ ] 3 l Dolalı ölçülerden düzeltmeler / / / / / / Koşullu ölçülere dönüşüm. [ ] I B e { } l l w nin elde edilmesi. [ ] 3 [ ] [ ] 3 I B [ ] 8 l { } [ ] 5 l l w w B + Dönüştürülmüş oşullu ölçülerden düzeltmeler. [ ] w B 4 5 w B B ) ( B

60 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 6 / 97 b) Koşullu Ölçüler Yönteminden Dolalı Ölçüler Yöntemine Dönüşüm nölçü saısı ubilinmeen saısı rnu Koşul saısı (serbestli derecesi) seçilir { } u r bout B e { } r r bout B olur. Đinci grup düzeltmeler ( ) aşağıdai gibi elde edilir. [ ] w B B + w B B + + ) ( w B B + w B B B Düzeltmeler bilinmeenlere göre azılır. w B B B w B B B I B B I e w B l den l elde edilir. Ugulama 4: Ugulama 4: Koşullu ölçülere göre urulmuş olan e aşağıda erilen dengeleme problemini dolalı ölçülere dönüştürünüz. [ ] , [ ] 3 B, [ ] B e [ ] 5 w olur. [ ] B [ ] 3 B B [ ] 5 B w 3 e 5 l den olur. Normal denlemler e çözümü / / / / / / Dönüştürülmüş dolalı ölçülerden düzeltmeler Not: Ugulamalarda anı örneler ullanılmıştır. Başlangıç e dönüştürülmüş dengelemeler sonucunda anı düzeltmeler elde edilmiştir. Bilinmeenlerde anı değerlerin elde edilmemesinin nedeni; birinci dolalı dengelemesinde elde edilen bilinmeenler ile en sondai dolalı ölçüler dengelemesinde elde edilen bilinmeenlerin arlı geometri büülülerden seçilmesinden analanmatadır.

61 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 6 / Dengelemenin En Genel Halinin Diğer Dengeleme ürlerine Dönüşümü Bütün dengeleme modelleri genel modelin özel halleridir. Fonsionel Model Stoasti Model +B +w Q σ K Matemati model C +w * Genel Model ( B I ) > Bilinmeenler rasında Koşul Denlemleri Bulunan Dolalı Ölçüler Dengelemesi Fonsionel Model Stoasti Model +w Q σ K Matemati model C +w * Bilinmeenler rasında Koşul Denlemleri Bulunan Dolalı Ölçüler Dengelemesi ( C ) > Dolalı Ölçüler Dengelemesi Fonsionel Model Stoasti Model +w Q σ K Matemati model * Genel Model ( C ) > Bilinmeenli Koşullu Ölçüler Dengelemesi Fonsionel Model Stoasti Model +B +w Q σ K Matemati model * Bilinmeenli Koşullu Ölçüler Dengelemesi ( ) > Koşullu Ölçüler Dengelemesi Fonsionel Model Stoasti Model B +w Q σ K Matemati model

62 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 6 / 97 HF 9: rdışı EKK * Ölçü saısını azla olduğu stati problemlerde, bilinmeenler e duarlıları aşağıdai şeilde hesaplanır. l p][ p] [l p] Q l [ [Q Q p] Matemati Q model *,,..., p e adar her. adımda bilinmeenler e diğer parametreler hesaplanır. N j Q j j,,..., p j N j Q j l j j j Q j j j j l j Q j l j N m j j Q j j n j u j Q N Q Q Q l * p de bilinmeenler e diğer parametreler hesaplanır. p N p j Q j j j p N p j Q j l j j p Q l j Q j l j N p j m Q n u Q N p Q Q Q,,..., p l

63 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 63 / 97 p parçaa arılmış olan bir dengeleme problemi aşağıdai genel bağıntılara göre ardışı olara dengelenir.,,,, p P Q için; N P n P l N n Q N,,, p için; K N P N j j P j j n j P j l j j K (l ) + Q K Q Q Q + Q j j P j j l j P j l j N j m j j P j j j n j u

64 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 64 / 97 Ugulama 5: 4 epota 6 udua apılmış od ölçüleri ile nota onumlamda satandart dengeleme, alıcı saat parametresi indirgenmiş standart dengeleme e alıcı saat parametresi indirgenmiş ardışı dengeleme. Bu ugulmadai dengeleme modelelrinde ρ j i /c süresince udu oordinatlarının değişimi e atmoseri etiler göz ardı edilmiş, L üzerinden od ölçüleri ullanılmıştır. Bunun amacı ouucua daha sade bir model sunara ouucunun seminer onusu olan ardışı dengelemei daha ii aramasını sağlamatır (Kurt, 999). 4..c.. Standart Dengeleme (PI) i d d dz dtr dtr dtr3 dtr4 l L Q d istason numrasi: 4 Xo Yo Zo X Y Z pdop.3 d d 4.48 dz dr.87 dr -.3 dr 3.44 dr [] m 7 mo m d m *Q

65 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 65 / c.. ıcı Saat Hatası İndirgenere Yapılan Standart Dengeleme. Epo --> i d d dz l Epo --> i d d dz l Epo --> i d d dz l Epo --> i d d dz l

66 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 66 / 97 ind() i d d dz l N nl QN- Qn [] mo m pdop.3 istason numrasi: 4 Xo Yo Zo X Y Z

67 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 67 / c.3. lıcı saat hatası indirgenmiş ardışı dengeleme i. dım. Epo --> ind() i d d dz l i d d dz l N nl QN- Qn QQo+dQ o+d [] m mo m ii. dım. Epo --> ind() i d d dz l i d d dz l N nl [N] [n] K l-* QK**Qo K(l-) QQo+ Q o [] m 7 mo 3.33 m

68 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 68 / 97 iii. dım 3. Epo --> ind() i d d dz l i d d dz l N nl [N] [n] K l-* QK**Qo K(l-) QQo+ Q o [] m mo 7.43 m i. dım 4. Epo --> ind() i d d dz l i d d dz l N nl [N] [n] K l-* QK**Qo K(l-) QQo+ Q o [] m 7 mo m istason numrasi: 4 Xo Yo Zo X Y Z pdop.3 d d dz

69 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 69 / 97. Kalman Filtrelemesi HF : Dinami Kestirim (Kestirim, Süzgeçleme, Yumuşatma) Kalman iltreleme; zamana göre değişen parametrelerin estirimi, süzgeçlemesi e umuşatılması için (smoothing) için ullanılan EKK öntemidir. Hareetli parametrelerin gelecetei değerinin hesaplanması estirim (prediction), estirlen değerin ölçüler ile güncellenmesi süzgeçleme (iltering) e parametrenin geçmiştei değerinin eni ölülerle hesaplanması umuşatma (smooting) olara adlandırılır. Ölçme nı Birincil Model (BM) Đincil Model (ĐM) Doğrusal BM (BI) Doğrusal ĐM t Φ (, ) + t Γ, (, ) G, +g, Φ (, ŷ ) + G, Geçiş matrisi t - t (Đincil modelin atsaılar matrisi) g, Model hatası t - t (Đincil modelin model hatası) d, Dinami parametreler t - t (Model hatasının bileşenleri) gdd P Q Q g DQ d D P Q P g Q g Yuarıda erilen denlemler arasındai ilişiler Lagrange onsionu ulanılara aşağıdai şeilde birleştirlir. Ω P + P +g P g g+ ( )+ ( )+ 3 ( G, g, ) Lagrange onsionu düzeltmelere, bilinmeenlere e orelatlara göre minimum apılır. Denlemler düzenlenere aşağıdai standart bağıntılara ulaşılır (Cross, 983). Kalman_Süzgecleme( ) { N P Q N n P Q n ( ; p; ++ ) { G,, Q, G, Q G, +Q g (, ) K Q, (Q + Q, ), + K (, ) KESĐRĐM aşaması Kazanç matrisi SÜZGEÇLEME aşaması Q ( I K ) Q, g, G, Düzeltmeler Model hataları } } Q Q

70 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 7 / 97 Ugulama 6: Đzmit Körezinde belirli bir hızla ol alan bir gemie anı anda üç notadan uzunlu ölçüsü apılmıştır. Ölçülen uzunlular ataa e ilgili projesion üzeine indirgenmiştir. Verilenlerden ararlanara geminin izldiği olu Kalman iltrelemesi ile belirleiniz.

71 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 7 / 97. Baes Filtrelemesi Ugulama 7: Đzmit Körezinde belirli bir hızla ol alan bir gemie anı anda üç notadan uzunlu ölçüsü apılmıştır. Ölçülen uzunlular ataa e ilgili projesion üzeine indirgenmiştir. Verilenlerden ararlanara geminin izldiği olu Baes iltrelemesi ile belirleiniz.

72 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 7 / 97 HF : Fitreleme+PredisionKolloason. Kolloason (Süzgeçleme+Kestirim)

73 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 73 / Dengeleme Sonuçlarının est Edilmesi 3. Matemati Model esti HF 3: EKK Sonuçlarının nalizi Fosionel e stoasti modelin her iisinin birden testini apsar. a) Kuramsal Varans Biliniorsa Kuramsal arans bilinmesi deneimlere daanabilir ada önetmelite erilen bir değer uramsal arans olara seçilir. H H : E { } σ { } σ m : E S m Sıır hipotezi Seçene hipotezi P m ~ χ (,α ) σ σ b) Kuramsal Varans Bilinmiorsa Kuramsal arans bilinmiorsa, denetlenmiş benzer bir problemin sonuçları ada endi problemimizden ararlanara elde edebileceğim bir değer (örneğin Ferrero bağıntısı) model testi apılabilir. H { } } σ { } E{ m } : E m m S Sıır hipotezi H : E m Seçene hipotezi m ~ F(,, α) m m ~ F(,, α) m ( ( m m > ) m m < ) 3. Uuşumsuz Ölçüler esti Model testi geçersiz ise uuşumsuz ölçüler araştırılır. i. ölçü grubunun aba hata estirim değeri e onun ters ağırlığı, (Q P i ) i (PQ P) ii i b boutlu i. ölçü grubu Q b boutlu i. ölçü grubunun ters ağırlığı ile bulunur. i. ölçü grubunun soncul aransa etisi aşağıdai bağıntı ile gösterilir. R i Q i i (P ) i (PQ P) ii (P ) i i Q n (P ) P L, (P ) P n L m (P ) m, (PQ P) (PQ P) PQ P L n n (PQ P) m (PQ (PQ (PQ L P) P) P) m L L L L (PQ (PQ (PQ L P) P) P) m m mm Sıır hipotezi e seçene hipotezi aşağıdai şeilde urulur.

74 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 74 / 97 E{ i} E{ } H : H : S i Sıır hipotezi Seçene hipotezi Kuramsal aransın bilinmesine e bilinmemesine göre test aşağıdai dağılımlarla gerçeleştirilir. Yanılma olasılığı α ise α α/n>. olara bulunursa α. alınabilir. a) Kuramsal Varans Biliniorsa Kuramsal arans bilinmesi deneimlere daanabilir ada önetmelite erilen bir değer uramsal arans olara seçilir. Kuramsal Varans Bilinmiorsa R i σ ~ χ b, ) ( α Dengeleme sonunda ede edilen soncul aranstan ararlanara uuşumsuz ölçü testi aşağıdai gibi apılır. 3.3 Parametre testi R ~ F( b,,α ) b m i Parametre testi; bilinmeenler ada bilinmeenlerin bir onsionunun (örneğin deormason analizinde) anlamlı testi şelinde olma üzere, uramsal aransın bilinmesi ada bilinmesine göre aşağıdai şeilde gerçeleştirilir. i (Q Pl) i b boutlu i. parametre grubu (Q ) ii i b boutlu i. ölçü grubunun ters ağırlığı Q ile bulunur. i. ölçü grubunun soncul aransa etisi aşağıdai bağıntı ile gösterilir. R i i Q i i Q u Pl L p Q (Q ) (Q ) L (Q ) (Q (Q u u p (Q ) p L (Q ) pp ) ) L L L L (Q (Q ) ) L p p Sıır hipotezi e seçene hipotezi aşağıdai şeilde urulur. { i} { } H : E Sıır hipotezi HS : E i Seçene hipotezi Kuramsal aransın bilinmesine e bilinmemesine göre test aşağıdai dağılımlarla gerçeleştirilir. a) Kuramsal Varans Biliniorsa Kuramsal arans bilinmesi deneimlere daanabilir ada önetmelite erilen bir değer uramsal arans olara seçil R i σ ~ χ b, ) ( α

75 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 75 / 97 b) Kuramsal Varans Bilinmiorsa Dengeleme sonunda ede edilen soncul aranstan ararlanara uuşumsuz ölçü testi aşağıdai gibi apılır. R ~ F(b,,α ) b m i c) Bilinmeenlerin (Parametrelerin) Fonsionlarının esti Bilinmeenlerin (parametrelerin) onsionlarından oluşan etör h ϕ() bilinior ise bu onsion grubunun anlamlılığı aşağıdai şeilde test edilir. h ϕ() Bilinmeenlerin (parametrelerin) onsionu Q HQ h r ran{q H h } Fonsionların ters ağırlı matrisi R h Q h Fonsionların modele etisi h Kuramsal arans bilinmesi deneimlere daanabilir ada önetmelite erilen bir değer uramsal arans olara seçilir. R ~ χ σ ( r, α ) Kuramsal arans biliniorsa R ~ F( r,, α ) r m Kuramsal arans bilinmiorsa

76 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 76 / 97 Ugulama 8: şağıda orta nota oordinatları erilen ii arlı sistem arasındai ugun dönüşüm modelini belirleiniz. Biliner Dönüşüm Modeli: i NN [m] [m] X [m] Y [m] X Y a X Y b [ ], a [ a a a a ], b [ b b b b ] in Dönüşüm Modeli: X Y a X Y b [ ], a [ a a a ], b [ b b b ] λ a +, µ a + b b b α arctan, a a β arctan b Benzerli Dönüşüm Modeli: X Y a a b b X Y λ b a + b α arctan a a l,, K, n

77 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 77 / 97 ÇÖZÜM: a) Bilineer Dönüşüm modeli: Q e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-6 a a.9345 a a e- b 9.88 b.3677 b.9365 b -.496e-9 UYUSUM ESI 'Q^ 'Q^ SN NN [cm] (Q)ii m[cm] [] au [m] m^ F t(.5,). au(.5,).9 F(.5,,)3.9.3 m m.6 cm *****Bilineerli Katsailari***** Q e e e e-9 Bilineerli esti : R cm ~ F(.978,,) 5.88

78 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 78 / 97 b) in Dönüşüm modeli: *****Donusum Parametreleri***** e e e e e e e e e e e e e e e e a a.9344 a b 9. b b.935 UYUSUM ESI 'Q^ 'Q^ SN NN [cm] (Q)ii m[cm] [] au [m] m^ F t(.5,3).6 au(.5,4).9 F(.5,,4) m 4 m.9 cm *****inli Parametreleri***** Q.4364e e e e e e-6 inli esti : R.587 cm.674 ~ F(.99,,4) in Donusum Parametreleri L. M g B g

79 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 79 / 97 c) Benzerli Dönüşüm modeli: *****Donusum Parametreleri***** e e e e-5.969e e e e e e e e e-5.969e UYUSUM ESI 'Q^ 'Q^ SN NN [cm] (Q)ii m[cm] [] au [m] m^ F t(.5,5).3 au(.5,6).93 F(.5,,6) m 6 m 3.8 cm Benzerli Donusum Parametreleri L g

80 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 8 / Kalite e Güen Ölçütleri HF 4: Kalite e Güen Ölçüleri 4. Kalite Ölçütleri ğın alitesini gösteren ölçütlerdir. Bilinmeenlerin arans-oarans matrislerinden türetilirler. Σ σ Q χ -Dağılımı χ est büülüğü m σ K m Q F-Dağılımı F m, est büülüğü m Q ( P ) a) Loal Kalite Ölçütleri l Koordinat bilinmeenlerinin ortalama hataları Hata elipsi *Helmert hata elipsi *Kuramsal güen elipsi ( χ ) *Güen elipsi (F) a da Q ( P ) l σ σ q z α i i i m m q t i ii,( α) + ( ) { p ( a < b ) α s} i i i pi i i ii ii B Konum hatası m m + m m q + q m λ + λ pi ii ii ii B Wermeister nota hatası w m q * q q m λ * λ Bağıl (relati) *hata elipsi ( d ) d F Q F Q F i d ~ s *güen elipsi ε j d d F ( anı σ ' nin) m b) ğın ümü Đçin Geçerli Kalite Ölçütleri Güen hiperelipsoidi ε ~ bütün oordinat bilinmeenleri ile {( ~ ) ( ~ ) u,( α) } {( ~ ) ( ~ ) u,,( )} P Q σ χ α P Q m F Kuramsal güen hiper elipsoidi α α Denesel güen hiperelipsoidi ( bout ile ilgili atsaı,,3) Hacim Ölçütü det ( Σ ) σ det ( K ) m p λ i i p λ i i Kuramsal Denesel Varans Ölçütü iz ( Σ ) σ iz ( Q ) σ λ p i i Kuramsal

81 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 8 / 97 p λ i i iz ( K ) m iz ( Q ) m Denesel Ortalama oordinat duarlığı σ, σ iz ( Σ ) p Kuramsal m, m iz ( K ) p Denesel λma Özdeğerler ölçütü λma λmin min a da λ min (homojen e izotrop ağ apısı) na arans bileşenleri bi si λ i (ana bileşen etörleri) ağın zaı olan notaların önlerini gösterir. Ölçüt matrisleri (Kriterium matrisleri, C ) B C K B matrisinin en büü öz değeri µ ma olmalı. Hata Elipslerinin Hesaplanması ğın alitesi haında bilgi eren hata elipsleri de hesaplanmalıdır. ( Q ) i q q i i i i q q i i i i // w ± (q q ) + 4 q i i i i i i i α i ai ± m (q + q + b α i i ± m (q a tan{q i i i i i i + q /(q i i i i i i w ) / i w ) / q i i i )}/ b i i a i // (a) Yada arans-oarans matrisleri ile aşağıdai gibi hesaplanabilir. m i i m i ( K i ) i m i i m (b) i i i ± (m i i m i i ) 4 m a (m m w ) / i i i ± i i + i i + i w + b i ± (m + m w ) / α a tan{m /(m m )}/ i i i i i Hata elipslerinin genişletilmesi ile güen elipsleri elde edilir. Güen bölgeleri ablo- de erilen çarpanlar ardımıla genişletilir (Şeil-). ablo-. Güen elipslerinin güen aralıları e güen bölgesini genişletme atsaıları. ( b α, α:anılma olasılığı, b:bout, 4 :serbestli derecesi) F {,b, } Güen aralığı (α α) %36 %5 %75 %95 %99 Çarpan Notanın gerçe onumunun () bağıntıları ile hesaplanan hata elipslerinin içine düşme olasılığı.36 dır e çarpanı. değerine arşılı gelir (Şeil-). i ii ii ii

82 [qnn HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 8 / 97 [ Bağıl Hata Elipslerinin Hesaplanması [q qne qnu [qnn qne qnu nn q ne q nu q en q ee q eu q en q ee q eu q en q ee q eu [ q un q ue q uu] q un q ue q uu] q un q ue q uu]p [q [qnn qne qnu [qnn qne qnu nn q ne q nu u]p] n e u] [ n Q ( P ) + q en q ee q eu q en q ee q eu q en q ee q eu e q un q ue q uu] q un q ue q uu] q un q ue q uu]p u] [q [qnn qne qnu [qnn qne qnu nn q ne q nu [ n q en q ee q eu q en q ee q eu q en q ee q e eu q un q ue q uu]p q un q ue q uu]p q un q ue q uu]pp] [ DN: BN: p F, p [[ [ ] ] [ ]p] nn q ne q nu Q,p F,p Q F,p Q, +Q p, p Q,p Q p, [q q en q ee q eu q un q ue q uu], p Genelleme : DN:j BN: j F j [ I I ] nn q ne q nu Q j F j Q F j Q j j +Q Q j Q j [q q en q ee q eu q un q ue q uu]j α j ( atan (q ne ) j [(q nn ) j (q ee ) j ]) a j ±m ((q nn) j +(q ee ) j +w j ) b j ±m ((q nn) j +(q ee ) j w j ) w j ± ((q nn ) j (q ee ) j ) +4(q ne ) j (m h ) j (m u ) j ±m (q uu ) j

83 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 83 / Güen Ölçütleri Bir jeodezi ağı oluşturan ölçülerin birbilerini denetlemelerini (ısmi serbestli derecesi), ağın her bir ölçüde apılabilece aba hata sınır değerlerini (iç güen ölçütü) e ölçülerde apılabilece aba hataların oordinatlara etime atsaılarını (dış güen ölçütü) gösteren ölçütlerdir. a) Ölçülerin Serbestli Derecesindei (Redündanz) Paları l Q Pl PQ Matemati model Bilinmeenler ( Q P I)l (Q P I)l ŷ ( {P Q } P I )l Q Pl Rl (Q ŷ P I)l Düzeltmeler Düzeltmeler Düzeltmeler [r r r n r r r n r n r n r nn]l Düzeltmeler RQ PI Q ŷ P j,,..., n Redündanz matrisi n u+diz { R } r j Herhangi bir gözlemin aba hatası j nın bu gözleme ilişin düzeltme j e etisi j ] l [l j l j l n]+[ ] j [ r r n l r r r n l n] [r r n r n r nn][ ] + Düzeltmeler ln ll+e j j [l l l j l n]+[ R l R(l+e j j ) Rl R e j j + j R e j j j R e j j j (R) j j j r j j j (R) j j r j j j. Kaba hatanın j. ölçüe etisi j. Kaba hatanın j. ölçüe etisi j. Kaba hatanın. ölçüe etisi Redündanz paları herhangi bir ölçüde apılaca aba hatanın üzde açının bu ölçüe ilişin düzeltmee ansıacağını gösterirler. Başa bir deişle redündanz paı bir ölçünün diğer ölçüler ardımı ile ontrol edilebilir olmasının ölçütüdür. Bu nedenle ölçülerin ölçülerin birbirini ontrol edebilmeleri için azla ölçü saısındai paların % e aın olmaları istenir. Genelile r jj >.5 olmalıdır Zorunlu hallerde r jj >.3 olara belirlenmelidir Optimum bir ağda.3 < r jj <.8 olmalıdır

84 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 84 / 97 b) Đç Güen Ölçütü Kaba hatalı ölçü etörü, aba hatalı düzeltmeler etörü, j. elemanı olan birim etörü e j, j. ölçüdei aba hata j olma üzere; RQ P R e j j R e j j P min j q j e j P P Q P q j (e j P Q P e j ) σ j σ q j σ (e j P Q P e j ) Kestirlen j büülüğünün aba hatamı osa raslantısal hata araterindemi olduğunun aırt edilmesi için istatisti testlere başurulur. λ j j σ j λ {α,γ,β, } est büülüğü λ j j σ (e j P Q P e j ) λ {α,γ,β, } Bir j aba hata ise λ j N(,) olması gereen test büülüğü dışmerezli hale dönüşür, dışmerezli parametresi E {λ j }λ j olara elde edilir. λ j j σ j j σ (e j P Q P e j ) E {λ j H } E {λ j H }λ j Baarda (968) taraınndan data snooping olara adlandırılan istatisti test λ j nin bir sınır değer ile arşılaştırılmasından oluşmatadır. λ j > ise H geçersizdir. l j ölçüsünde aba hata ardır. + β γ φ ()d + ( λ j ) e d π ϕ () φ () φ ( ) αs ϕ () H :Kaba hata ar H :Kaba hata ar H :Kaba hata o γ γ / / + λ j Şeil λ {α,γ,β, } nın dağılımı e testin gücü.

85 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 85 / 97 Ugulamada i, buna bağlı olara λ i e γ hesaplanmaz. Bu ol erine istatisti güen aralıları α e γ önceden seçilir e bunlara bağlı λ(α, γ) değerlerinin hesaplanması oluna gidilir. Bölece bulunaca değeri ile α-s anlamlılı düzeinde e γ test gücü ile ortaa çıarılabilece i aba hatası için sınır değerler hesaplanır (an, 98). ablo. λ (α,γ,β, ) parametre değerleri. ablo. w (α,γ,β, ) λ (α,γ,β, ). α γ λ a da w dan ararlanara her bir ölçü için denetlenebilece aba hata sınır değeri hesaplanır.. λ dan ararlanara j ın hesabı; λ {.,.8,., } 3.4 < λ 4. < λ {.,.8,., } 4.3 λ j σ (e j P Q P e j ) λ j σ (e j PQ P e j ). w dan ararlanara j ın hesabı; (Loal) Đç güen ölçütü RQ P Đdempotent matris ( R RR R ) P P + j q j j P P + j e j PQ P e j j m P P + j e j P Q P e j j E { m }σ + E { j e j PQ P e j j } E { m σ } + j e j P Q P e j j σ w j j e j P Q P e j j σ j σ e j P Q Pe j w {α,γ,β, } λ {α,γ,β, } w {.,.8,., }.7 < w 6. < w {.,.8,., } 7.6 j σ w e j P Q P e j σ σ j e j P e j j σ j w e j P e j e j PQ Pe j j σ j w e j P e j e j P Q P e j 4 e j P e j e j P Q P e j Đç güen ölçütünün bibirine aın e üçü saılardan oluşması belenir. ğırlığı e i Pe i olan ölçünün duarlığı σ i σ / (e i Pe i ).5 dan ararlanara elde edilen birimsiz büülü arşılaştırma elemanı olara ullanılır. Optimum ağlarda elde edilen iç güen ölçütlerinin i / σ i 6 a da 8 olması istenir.

86 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 86 / 97 c) Dış Güen Ölçütü Herhangi bir ölçüde apılan j hatasının oordinatlara etisini ölçmee araran ölçütür. l [l j l j l n]+[ ] j ll+e j j [l l l j l n]+[ Q P l ] + δ j Σ Q P e j j Σ σ Q δ j σ Q δ j j σ e j P e j e j P Q P e j Dış merezli parametresinin tanımı ablo dei değerler ile i. ölçü için elde edilen aba hatasınır değeri j den ararlanara δ j planlama aşamsında hesaplanabilir. δ j j σ e j P e j e j PQ Pe j Dış merezli parametresi Güen Ölçütleri Rl [ r r n r r r n n] [r r n r n r nn][ γ % 8 α %99 RQ PI Q ŷ P n u+diz { R } r j l ] l + ln Düzeltmeler Düzeltmeler j,,..., n estin gücü estin güenirliği Redündanz matrisi Đi planlanmış e dengelemenin matemati modelinin doğru urulduğu bir ağda güen ölçütü değerleri:.3 r j (R) jj.8 Redündanz paları j σ j 4 (P) jj (P R) jj 6 ada 8 (Loal) Đç Güen Ölçütü δ j j σ (P R) jj (P) jj 4 (P) jj (P R) jj 8 ada Dış Güen Ölçütü Đç güen Ölçütleri : r i.3 a da.5 i / ( 6 a da 8) m i Dış güen ölçütü : δ i 8 a da Gözlemlerin azla ölçü saısındai paları Ortaa çıarılamaan hataların sınır değeri Hatalarin Koordinatlara Etime Katsaisi

87 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 87 / 97 Ugulama 8: Yerel bir oordinat sistemine oordinatları e bağıl oordinat ölçülerin erilen ağın, matemati modelini test ediniz, alite e güen ölçütlerini hesaplaınız. # YKLSIK NOK KOORDINLRI #SN j nj [m] ej [m] uj [m] # # BZ BILESENLERI e VRYNS-KOVRYNS MRISLERI #SN j nj [m] ej [m] uj [m] m_n[cm] m_e[cm] m_u[cm] r_ne[%] r_nu[%] r_eu[%] # Çözüm: σ ±. cm 4 m ±.7 cm

88 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 88 / 97 j NN Nj[m] m Nj [cm] Ej[m] m Ej [cm] Uj[m] m Uj [cm] j DN BN m D [cm] Rj[] j[] δj[] z z z z z z Masimum z z z z z z z

89 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 89 / z z z z z z z z Optimum g : ~.3<Rj<.8 j~6-8 Dj~8- Kontrol : [Rj] 4

90 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 9 / Ecel Fonsionlarından Yararlanara Normal e est Dağılımların Sınır Değerlerinin Bulunması 5.. Normal Dağılım ~ N(,) m α NORMSDĞ( ) NORMSERS( α ) 5.. t-dağılımı ~ t ( α, ) m α DĞ( ; ; ) e anlı teste arşılı olasılı değeri α/ DĞ( ; ; ) Çit anlı teste arşılı olasılı değeri ERS( α ; ) 5.3. χ -Dağılımı m ~ σ χ (α, ) α KĐKREDĞ( ; ) KĐKREERS( α ; ) 5.4. F-Dağılımı σ ~ F( α,, ) σ α FDĞ( ; ; ) FERS( α ; ; )

91 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 9 / Kanalar lred LEICK (995), GPS Satelite Sureing, Second Edition, John Wile & Sons, US, ISBN Edward J. KRKIWSKY (975), Snthesis o Recent dances in the Method o Least Squares, Lecture Notes 4. Edward M. MIKHIL and Friedrich E. CKERMNN (976), Obserations and Least Squares, Harper&Row, Publishers, New Yor, Hagerstown, San Francisco, London. Erem ULSOY (974), Dengeleme Hesabı, En Küçü areler Metodu, ĐDMM aınları, Saı: 87, Đstanbul. Erem ULSOY (98), Prati Matris Hesabı, ĐDMM aınları, Saı: 9, Đstanbul. Ergün ÖÜRK (987), Jeodezi ğlarla Duarlı e Güen Ölçütleri, ürie I. Harita Bilimsel e eni Kurultaı, 3-7 Şubat, 987, nara, Ergün ÖZÜRK (99), Dengeleme Hesabı Cilt,. Bası, KÜ-MMF, Genel Ya No:9, Faülte Yaaın No:38,rabzon. Ergün ÖZÜRK e Muzaer ŞERBEÇĐ (989), Dengeleme Hesabı Cilt, KÜ-MMF, Genel Ya No:44, Faülte Yaın No:4, rabzon. Ergün ÖZÜRK e Muzaer ŞERBEÇĐ (99), Dengeleme Hesabı Cilt 3, KÜ-MMF, Genel Ya No:44, Faülte Yaın No:4, rabzon. Gilbert SRNG and Kai BORRE (997), Linear lgebra, Geodes and GPS, Wellesle-Cambridge Press, ISBN Hüsein DEMĐREL (977), En Küçü Kareler Yöntemine Göre Predision e Kolloason, Đstanbul Delet Mühendisli e Mimarlı ademisi, Harita-Kadastro Bölümü, Đstanbul. Rudolp E. KLMN (96), New pproach to Linear Filtering and Prediction Problems, Journal o Basic, Vol. 8D, Karl-Rudol KOCH (999), Parameter Estimation and Hpothesis esting in Linear Models, Springer-Verlag Berlin Heidelberg Newor, ISBN Luca BGNSCHI (993), pplication o daptie Kalman Filter or the Estimation o Position, Velocit and cceleration o a Moing Bod rom GPS Measurments, Eidgenössische echnische Hochschule Zürich, Institut ür Geodäsie und Photogrammetrie, Bericht 6. Orhan KUR (999), rdışı Dengeleme, Zongulda Karaelmas Üniersitesi, Seminer Çalışması, Zongulda. Paul. CROSS (983), danced Least Squares pplied to Positioning-Fiing, Nort East London Poltechnic, ISBN ei YN (98), Jeodezi ğların Optimizasonu, ĐÜ, Đnşaat Faültesi, Docentli ezi, Đstanbul.

92 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 9 / Eler 7. est Dağılımlar 7... Normal Dağılım (Normal Distribution) X Rastgele değişen i Rastgele değişenin gerçeleşeni E{X}µ Umut değer E{(Xµ) }σ Kuramsal arans X ~ N(µ,σ ) X in herhangi bir değerini alma olasılığı p( ) e σ π µ σ X in a < b aralığında bir değer alma olasılığı; Rastgele değişenin dağılım onsionun değerini erir b P( ) e σ π a X in µ σ d < alma olasılığı; P( ) e σ π µ σ d p() a µσ e µ+σ değerleri eğrini büüm notalarıdır. µ P() b p() P() µ -σ µ µ + σ µ + σ µ σ P ( ) p( ) d.687 µ σ P ( ) + µ σ µ 3σ P ( ) + µ 3σ µ 4σ P ( ) + µ 4σ p( ) d.9545 p( ) d.9973 p( ) d.9999 P( ).373 P( ) P().7 4 P( ). ε i i µ Gerçe hata E{ε} Gerçe hataların umut değeri E{ (εe{ε}) } E{ε }σ Gerçe Hataların aransı ε ( ) e σ p ε σ π P ( ε ) p( ε ) dε.687 P ( ε ) P ( ε ) P ( ε ) σ σ σ p( ε ) dε.9545 σ 3σ p( ε ) dε σ 4σ p( ε ) dε σ P( ε ).373 P( ε ).455 P( ε ).7 P( ). 3 4 p(ε) P(ε) -σ σ ε Not : 3σ dan büü olan düzeltmeler genellile aba hatalı olara abul edilir.

93 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 93 / Standartlaştırılmış normal dağılım (Standartized Normal Distribution) Z X µ σ µ zi i σ E{Z}µ Z E{(Zµ Z ) )σ Z Standartlaştırılmış (normlandırılmış) rastgele değişen Standartlaştırılmış (normlandırılmış) rastgele değişenin gerçeleşeni Standartlaştırılmış rastgele değişenin umut değeri Standartlaştırılmış rastgele değişenin aransı Z ~ N(,) z p(z) e Standartlaştırılmış rastgele değişenin olasılı onsionu π p(z) a) Standartlaştırılmış z değerinin olasılığı P(z) π z e d Z değişenin dağılım onsionu {Upper probabilit integrals (normal distribution) (6) } P(z) z p(z) b) α olasılığındai standartlaştırılmış z değerinin hesaplanması z α α zα : d e π z α {Percentage point (normal distribution) (64) } α Gama Fonsionu {Gamma Function Γ() (55)} n t Γ ( n) t e dt (n>) Gama Fonsionu Γ(n) (n) Γ(n) Γ(n) (n)... Γ() Γ() e t dt t [ e ] Γ(n) (n)! n N e n>.

94 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 94 / est Dağılımları 7... χ -Dağılımı ( χ -Distribution ) eorem : n boutlu rastgele etör X [X, X, X n ], X i ~ N(,) e göre normal dağılmış olsunlar, rastgele etörün areler toplamı X X e oğunlu onsionu, p( ) diğer değerleri için p() dır. P ( ) p( u) du n / n X i i Γ ( n / ), n serbestli dereceli χ dağılımına sahiptir denir, ~χ (n) ( n / ) e / p() < < {Upper probabilit integrals (χ distribution) (6) } α : α p ( u) du α { Percentage point (χ distribution) (64) } p() P() α α 7... t-dağılımı (t-distribution, Student s t-distribution) eorem : e u, ~N(,) e u~χ () a göre bağımsız olara dağılsınlar, rastgele değişen /(u/) / serbestli dereceli t-dağılımına sahiptir denir, ~t() e oğunlu onsionu a da Γ p() / ( π ) p() + ( ) ( + )/ ( + ) Γ ( ) ( + )/ ( + ) / ( ) B(, ) dir. B(, < < Γ ( ) Γ ( ) ) Γ ( +, Γ ( ) π ). p() P ( ) p( t) dt {Upper probabilit integrals (t distribution) (63) } P() p() α : p( t dt α ) α {Percentage point (t distribution) (643) } α α

95 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 95 / F-Dağılımı (F-distribution, Fisher Dağılımı) eorem : u e rastgele değişenleri, u~χ (m) e ~χ (n) e göre bağımsız dağılmış olsunlar, bu durumda w(u/m)/(/n) rastgele değişeninin m e n serbestli dereceli F-dağılımına sahip olduğu sölenir. w~f(m,n) ( w) Γ ( Γ ( m m + n ) m m n ) Γ ( n )( n + mw) n w m m + n < w < e diğer w değerleri için (w). (w) F(w) w ( ) d {Upper probabilit integrals (F distribution) (64) } (w) F(w) w w w α : w α ( ) d α { Percentage point (F distribution) (644) } w α α w Not : χ -dağılımının serbestli derecesi büüdüçe normal dağılıma alaşır. L~N(E{L},E{(Lµ) } N(µ,σ) ε i l i µ Gerçe hatalar ε ~ N ( µ ε, σ ε ) N(,) n ε i n i ε i i σ s [ εε ] n l i (i,,,n) X rastgele değişenin gerçeleşeni ε i l i µ ε i Standartlaştırılmış gerçe hatalar σ σ n ε i n i n s n i i ε n s σ Gerçe hatalardan hesaplandığında χ test büülüğü Soncul arans m, dengeleme sonucu düzeltmelerden hesaplandığında m r Görünen hatalardan hesaplandığında χ test büülüğü (rn-u serbestli derecesi) σ

96 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 96 / ablolar Standartlaştırılmış Normal Dağılımın Dağılım Fonsionu φ (z) s z s α s-α : Güen bölgesi α : Yanılma olasılığı z

97 HR49 Dengelemede Özel Konular Ders Notları 97 / 97 (χ s ) χ -Dağılımının Dağılım Fonsionu s α : Serbestli derecesi s-α : Güen bölgesi α : Yanılma olasılığı χ s s s