Prof. Dr. Ahmet KAYA Doç. Dr. Faruk YILDIRIM

Transkript

1 Ders Sorumlulrı Prof. Dr. Ahmet KAYA Doç. Dr. Fruk YILDIIM BÖLÜM-- GENEL TANIMLA JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM

2 . KAYNAKLA Özbenli, E., (00), Jeodezi-I, KTÜ Bsımevi, Trbzon. Aksoy, A., Güneş, İ. H., (990), Jeodezi-I, İTÜ mtbsı, İstnbul. Özbenli, E., (97), Jeodeziye Giriş, Elipsoid Geometrisi, Mtb Teknisyenleri Bsımevi, İstnbul. Fil F.,(973), Mtemtiksel Krtogrfy, İTÜ, İstnbul. Uçr, D. İpbüker, C. Bildirici, İ. Ö., (004), Mtemtiksel Krtogrfy, Hrit Projeksiyonlrı Teorisi ve Uygulmlrı, Atls Yyın Dğıtım, İstnbul. Grossmnn, W., (976), Geodätische echnungen und Abbildungen, Stuttgrt. Ulsoy, E., (977), Mtemtiksel Geodezi, Kutulmuş Mtbsı, İstnbul. Thoms, P. D., (95), Conforml Projections in Geodesy nd Crtogrphy, Wshington. ichrdus, P. ve Adler,. K., (97), Mp Projections for Geodesists, Crtogrphers nd Geogrphers, Amsterdm. Smith, J.. (997), Introduction to Geodesy, John Wiley&Sons. Hooijberg, M. (997), Prcticl Geodesy, Springer. Yng, Q., Snyder, J., Tobler, W. (000), Mp Projection Trnsformtion, Tylor&Frncis. Person, F.(990), Mp Projections, CC Press. Bugyevskıy, L.,Snyder, J. (995), Mp Projection, Tylor&Frncis. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM

3 . DES KONULAI Tnışm, ders progrmı ve içeriğinin tnıtılmsı, yrrlnılbilecek kynklr Genel tnımlr, Jeodezinin konusu Yeryüzünün biçimi Dtumlr, Yty ve Düşey Dtum Türkiyenin kullndığı dtumlr Elipsoid, elipsoid prmetreleri Dünyd kullnıln elipsoid çeşitleri Elipsoidde enlem çeşitleri, syısl uygulm Elipsoidde eğrilik ve yrıçplr, syısl uygulm Elipsoidde uzunluk hesbı, syısl uygulm Elipsoidde ln hesbı, syısl uygulm Jeodezik Eğri Elipsoid yerine küre kullnımı Soldner ve Guss Küresi Küre üzerinde jeodezik hesplr Küre geometrisi Küresel üçgen çözümü ve kullnıln formüller, syısl uygulm Küresel üçgenin lnı, syısl uygulm Küresel koordint sistemleri Uzy dik ve coğrfi koordintlr, dönüşümler ve syısl uygulm Küresel jeodezik dik koordint sistemleri Kenr ve meridyen konvergensi, syısl uygulm Coğrfi koordint ve meridyeni ess ln Küresel jeodezik dik koordint sistemleri rsındki dönüşüm, uygulm Coğrfi koordintlrl JTP çözümü Kıble tyini JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 3

4 3. GENEL TANIMLA Jeodezi; Yeryuvrının şekil, boyut, ve grvite lnı ile zmn bğlı değişimlerinin 3 boyutlu bir koordint sisteminde tnımlnmsını mçlyn bir bilim dlıdır. Jeodezinin bilimsel ğırlıklı fliyetleri; Yeryuvrı şeklinin ve çekim lnının belirlenmesi, Yerkbuğu değişimlerinin izlenerek, Jeodinmik sorunlrın çözümünde önemli yer tutn bilgiler üretmek Jeodezinin uygulmy yönelik görevleri: Yeryüzü prçlrının bir sistemde belirlenmesi ve değişik mçlr için veri üretimi Jeodezinin konulrı: Ölçme yöntemleri ve donnımlrı, Teorik ess ve hesplmlr Mtemtiksel Jeodezinin Konusu: Yty ve düşey dtumlrın tyini, Elipsoid ve küre seçimi ve bunlr üzerinde jeodezik hesplr Fiziksel Jeodezinin Konusu: Jeoidin belirlenmesi ve Jeoidin elipsoide indirgenmesi. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 4

5 4. YEYÜZÜNÜN BİÇİMİ Yerin gerçek biçimine jeoid dı verilmektedir. Fkt jeoid geometrik olrk ifde edilebilen bir yüzeye ship olmdığındn hritcılık çlışmlrınd ylnızc noktlr rsı yükseklik frklrının çok doğru olrk bilinmesi gereken bzı işler dışınd referns yüzeyi olrk lınmz. Yerin jeoide en ykın biçimi ise elipsoid dir. Elipsoid geometrik bğıntılrı bilinen bir yüzeydir ve bu özelliği ile büyük bölgelerin büyük ve özellikle ort ölçekli hrit tkımlrının üretilmesi için yeryuvrının biçimi için referns yüzeyi olrk lınmktdır. Elipsoidin bsıklığı çok küçük ve dolyısıyl yer elipsoidi küreden çok z frklıdır. Örneğin;60 cm çplı bir küre kutuplrdn mm bstırılırs, bsıklığı yer elipsoidinin bsıklığın denk bir yüzey elde edilir. Gözle frkedilmesi mümkün değildir. Küre ise geometrik bğıntılrı bkımındn elipsoide göre şüphesiz dh bsittir. Küçük ölçekli hritlrd küre ile elipsoid rsındki büyüklük frkı hrity ynsımdığındn yerin biçimi küre lınmktdır. Büyük bir bölgenin küçük ölçekli (ölçekleri : dn dh küçük oln hritlr) hritsı ypılmsı gerektiğinde yeryuvrının biçiminin küre olrk lınbilir. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 5

6 Jeoid: Gel-git etkisi gibi etkilerden rındırılmış yerin eş potnsiyelli yüzeylerinden ortlm deniz yüzeyi ile çkışn ve krlrın ltındn d devm eden yüzeye Jeoid denir. Deniz Yüzeyi Elipsoid Düny yüzeyi Jeoid JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 6

7 Jeoid ve Elipsoid JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 7

8 Jeoid ve Elipsoid JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 8

9 CHAMP uydusundn ilk verilerin lınmsıyl jeoidin belirlenmesi JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 9

10 5. DATUMLA Dtum, Lokl ve Globl efernslndırm Dtum; herhngi bir noktnın yty ve düşey konumunu tnımlmk için elipsoidin, enlem-boylm oryntsyonunun ve fiziksel bir orijinin belirlenerek bşlngıç lınn referns yüzeyidir. Böylece jeodezik hesplmlr için referns yüzeyinin şekli ve boyutu tnımlnır. Yty dtum: Koordintlr için referns lınn bşlngıç yüzeyi Düşey dtum: Yükseklikler için referns lınn bşlngıç yüzeyi JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 0

11 Dtum prmetreleri eferns Elipsoidi Bşlngıç noktsının koordintlrı ve dönüklükleri En yygın kullnıln eferns Elipdoidleri ve prmetreleri z =(-b)/ O b y x Dönme ekseni En yygın kullnıln Dtum ve Elipsoidleri JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM

12 En Yygın Kullnıln Jeodezik Dtumlr ve Elipsoidleri JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM

13 Frklı referns elipsoidleri ve dtum bşlngıçlrı ED50 dtumu ve eski nirengi ğı ölçmelerinde N jeoid ondülsyonun hesplm zorluğu gereği ;Ülke ölçmelerinde hesp yüzeyi olrk lınck elipsoid, sözkonusu ülkedeki jeoid yüzeyine en yklşık elipsoid olmlıydı. Fkt günümüz GPS ölçü sistemi ve COS-T kullnılımı ile bu kurl rnmmktdır. Hooijberg, M., 997. Prcticl Geodesy Using Computers, Springer-Verlg, Germny. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 3

14 Dtum uyuşmzlığı (ITF ve ED50) Yeni üretilen hritlrd siyh ve mvi olmk üzere iki krelj mevcuttur. Bu x ve y yönündeki frk dtum frklılığındn gelmektedir. + krelj : ITF dtumu + krelj : ED50 dtumu JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 4

15 465 Milyon yıl önce 5 Milyon yıl önce Kıt Hreketleri ve depremler sonucu ortk bir dtum çlışmsın gidilmiştir. Böylece koordintlr 4. boyut hız ve hreket vektörü eklenmiştir. 35 Milyon yıl önce 65 Milyon yıl önce Wegener, A., (95), Continentl Drift. Günümüz JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 5

16 Kıt Hreketleri JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 6

17 ITF Dtumu ve GS 80 Uluslrrsı Astronomi Birliği (IAU) ve Uluslrrsı Jeodezi ve Jeofizik Birliği (IUGG), 987 yılınd IES (Interntionl Erth ottion nd eference Systems Service) yi kurdulr. IES 988 yılınd fliyete geçti. IES nin temel mçlrındn birisi, IES yersel referns sistemini yni ITS ( Interntionl Terrestril eference System) ni oluşturmktır. Bu sistemin temel özellikleri; Orjini dünynın merkeziyle çkışık, An düzlem, periyodundki dünynın ortlm ekvtoruyl çkışık, An doğrultu, ekvtorl düzlem ile Greenwich den geçen meridyen düzlemin keşişimidir. Uygulmlrd IES, yersel referns çtısı (ITF) ITS olrk bilinir. ITF; VLBI (Very Long Bseline Interferometry), LL (Lunr Lser nging), GPS, SL (Stellite Lser nging) ve DOIS (Doppler Orbitogrphy nd diopositioning Integrted by Stellite) ölçü istsyonlrındki hız değerleri ve koordintlrın değerlendirilmesiyle oluşur. Sırsıyl ITF88, ITF89, ITF90, ITF9, ITF9, ITF93, ITF94, ITF95, ITF96, ITF97, ITF000, ITF005 ve ITF008 isimleriyle tnımlnn sistemler mevcuttur. ITFyy, ileri vey geri istsyon hızlrı tbk hreketlerini gösterir. Bu sistem, dünyy dğılmış 500 n istsyondn oluşur. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 7

18 ITF Noktlrı: Uluslrrsı GPS Servisi (IGS) izleme ğı JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 8

19 ITF Noktlrı: Uluslrrsı GPS Servisi (IGS) izleme ğı JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 9

20 6. Türkiye Mevcut Dtum; ITF Dtumu ve GS 80 Elipsoidi Ülkemiz jeodezik ltypısı oln, Türkiye Ulusl Temel GPS Ağı (TUTGA) ve Türkiye Geoidi (TG) 999 yılındn beri ITF96 koordint sistemine ve GS80 elipsoidine dynmktdır. TUTGA, Ulusl Nirengi Ağı ile ilişkilendirilmiştir. Ayrıc, tektonik hreketlerin incelenmesi ve jeodezik ltypıdki fiziksel hsrlrın onrılmsı için, Türkiye Ulusl Sbit GPS Ağı (TUSGA) çlışmlrı d TUTGA çlışmlrın prlel devm ederek bitirilmiş ve COS-T dı ltınd uygulmy geçilmiştir. Bu ğ d ITF ye dylıdır. TUTGA ve TUSGA ölçüleri, ITF ye dylı türetilmiştir. Konum duyrlığı cm, yükseklik duyrlığı ise -3 cm dir. Hlbuki WGS84, doppler ölçmelerine dynmktdır. Mutlk duyrlığı m den dh iyi olmz. Dolyısıyl kdstro ve jeodinmik çlışmlr, bu referns sistemine dyndırılmz. ITF96 koordint sistemi, ED50 dtumu ile rsındki koordint dönüşümü tnımlı ulusl temel jeodezik ğdır. Jeodezik uygulmlrd zmn kvrmının gözönünde bulundurulmsını öngören TUTGA, bu özelliği ile diğer ülkelerin ulusl ğlrındn frklı bir ypıd olup bşındn sonun kdr Türk Jeodezicileri trfındn oluşturulmuştur JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 0

21 6.. TUTGA ve TUDKA TUTGA Projesi 999 yılı sonu itibriyle ülke genelinde tmmlnıp teslim lm şmsın gelmişti. Anck gerek 7 Ağustos 999 ve gerekse Ksım 999 depremleri sonucund metrelerle ifde edilen yerkbuğu hreketleri nedeniyle oluşn bozulmlr, bölgede revizyon ölçülerinin ypılmsı zorunluluğunu doğurmuştur. evizyon ölçüleri Hrit Genel Komutnlığı olnklrı ile tmmlnmıştır. Dengeleme işlemlerini mütekip proje 000 yılınd tmmlnmıştır. Yeni kurulck jeodezik temel ğ; üç boyutlu jeosentrik koordint sisteminde, belirli bir zmnd (epok), her noktsınd üç koordint [(x,y,z) vey (enlem, boylm, elipsoid yüksekliği)], hız [(vx,vy,vz ) vey (vj,vl,vh )], ortometrik yükseklik (H) ve jeoid yüksekliği (N) bilinen, ülke yüzeyine olbildiğince homojen dğılmış, ulşımı koly ve birbirini görme zorunluğu olmyn noktlrdn oluşn, jeodezik nokt konumlm, nvigsyon ve jeodinmik mçlrl kullnım uygun, hlen kullnımd oln ED-50 dtumundki Ulusl Temel Yty Kontrol Ağı ile rsındki dönüşümü sğlnn, GPS teknolojisine dylı, özelliklerini tşır. Ağ Türkiye Ulusl Temel GPS Ağı (TUTGA) ismi verilmiştir. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM

22 Türkiye Ulusl Temel GPS Ağı (TUTGA) Noktlrı; Türkiye geneline 5-70 km. rlıklr ile homojen olrk dğılmış, her noktsınd 3 boyutlu konum ve hızlrı belirli oln 594 noktdn oluşn ğdır. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM

23 ED50 Dtumu(Eski) ve ITF96 Dtumu(Yeni) ED50 ITF96 Düny yüzeyi Dünynın Ağırlık Merkezi Hyford Elipsoidi 909 (İnterntionl 94) Elipsoid merkezi Postdm, Almny GS80 Elipsoid Postdm, Almny Jeoid JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 3

24 TUDKA: Düşey dtum GPS/Nivelmn Jeoidi: GPS/nivelmn jeoid yüksekliklerini belirlemek için; Türkiye içinde uygun dğılımd, jeoidin hızlı değiştiği bölgelerde dh sık olmk üzere, 87 TUTGA- 99 noktsı seçilmiş ve geometrik nivelmn ölçüleriyle Türkiye Ulusl Düşey Kontrol Ağı- 999 (TUDKA-99) n bğlnmıştır. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 4

25 Düşey dtum: Yükseklik Belirleme GPS Ölçülen : WGS84 elipsoid yükseklikleri Hrit yükseklik: Ortometrik yükseklik TUDKA +GS80 (TG99 jeoidi) JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 5

26 6.. TUSAGA Aktif (COS-T) Bu proje, İstnbul Kültür Üniversitesi (İKÜ) yürütücülüğünde, Tpu ve Kdstro Genel Müdürlüğü (TKGM) ve Hrit Genel Komutnlığının (HGK) ortk shibi olduğu, Türkiye ve Kuzey Kıbrıs Türk Cumhuriyeti genelinde 47 det sbit GNSS istsyonundn oluşn ve 8 Myıs 009 trihinde tmmlnmış ve Türkiye Sürekli Gözlem Ypn eferns İstsyonlrı Ağı (COS-T/TUSAGA-Aktif) olrk isimlendirilmiştir. TUSAGA-Aktif sisteminin işletilmesi ve düzeltme prmetrelerinin hesplnmsı kontrol ve nliz merkezlerinde ypılmktdır. Tüm istsyonlrdn toplnn veriler ADSL ve GPS/EDGE (ADSL çlışmdığı zmnlrd devreye girecek) yolu ile veri merkezlerine ktrılmkt ve burd düzeltme prmetreleri hesplnrk tüm kullnıcılr sunulmktdır. TUSAGA-Aktif istsyonlrının yerlerinin seçiminde zemin ypısı, elektrik, telefon, İnternet ve güvenlik hususlrı dikkte lınmış ve tüm Türkiye de gerçekleştirilen rzi keşifleri neticesinde Devlet Meteoroloji İşleri Genel Müdürlüğü Meteoroloji İstsyonlrı, Üniversiteler, Belediyeler ile Kmu Kurum ve Kuruluşlrın it bin ve rziler seçilmiştir. Proje kpsmınd kuruln istsyonlrd birer det GNSS (GPS+GLONASS) lıcısı ve lıcıy bğlı bir jeodezik GNSS nteni bulunmktdır. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 6

27 TUSAGA Aktif (COS-T) Sistemde, sbit GPS istsyonlrı ile kontrol merkezleri rsındki iletişim ADSL üzerinden sğlnmktdır. Ayrıc, ADSL httınd meydn gelebilecek veri kesikliklerinde mevcut bir outer ile GPS modem devreye girecek ve veri iletimi GPS/EDGE ile ypılcktır. Kontrol merkezlerinde bulunn sunuculr (server) tüm istsyonlrdn gelen nlık verilerden yrrlnrk tmosferik modelleme ypck ve DGPS/TK düzeltme verileri hesplycktır. Söz konusu düzeltme verileri ise rzide bulunn gezici lıcılr GPS üzerinden ktrılcktır. Bu şekilde tek freknslı bir GPS lıcısı DGPS verisini kullnrk metre ltı doğrulukt, çift freknslı bir GPS lıcısı ise TK verisini kullnrk -0 sntimetre doğrulukt konum belirleyebilecektir. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 7

28 COS-T projesinin temel mçlrı; Tüm Türkiye genelinde 7/4 st ilkesine göre coğrfi konumlrı hem gerçek zmnd(tk) hem de postprocessing ile hızlı, ekonomik ve duyrlı olrk belirlemek, Türkiye nin yer ldığı bölgedeki tmosferi (iyonosfer ve troposfer) modellemek ve dh hsss meteorolojik thminler ile sinyl ve iletişim konulrın ktkı sğlmk, Türkiye deki tektonik(plk) hreketlerinin duyrlı ve sürekli olrk izlenmesi, deformsyon miktrlrının mm seviyesinde belirlenmesi ve böylece depremlerin önceden belirlenmesi ve erken uyrı çlışmlrın ktkıd bulunmk, Eski ED50 Dtumu ile ITFxx Dtumu rsındki dönüşüm prmetrelerini belirlemektir. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 8

29 TUSAGA-Aktif İstsyonlrı 47 det (K.K.T.C. dhil) JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 9

30 TUSAGA-Aktif İstsyonlrı 47 det (K.K.T.C. dhil) JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 30

31 TUSAGA-Aktif Tesis Örnekleri JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 3

32 TUSAGA-Aktif Kontrol Merkezi(TKGM) JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 3

33 COS-T Çlışm Prensibi Ankr Kontrol Merkezi ADSL İstsyonlr (47 Adet) Arzi Kullnıcısı x,y,z,t Sonuç: Arzide birkç sniye içinde cm duyrlılığınd konum ölçümü gerçekleştirilmektedir. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 33

34 COS-T ile Hrit Mühendisliği Kznımlrı Hrit ve kdstro işlerinin zmn ve mliyet olrk %30 unu oluşturn nirengi ve poligon tesis ve ölçümüne ihtiyç olmyck, yıld yklşık 50 milyon TL kynk yrıln hrit işlerinde yıllık yklşık 75 milyon TL tsrruf sğlncktır. Birçok e-devlet uygulmsınd (e-belediye, e-ulştırm TAKBİS, vb.) yer ln veri toplm fliyetlerinde mliyet ve zmn tsrrufu sğlycktır Deprem kuşğınd bulunn ülkemizde, tektonik plk hreketlerini izlemek ve erken uyrı çlışmlrın ktkıd bulunmk mcı ile ypıln bilimsel çlışmlr mm duyrlılığınd on-line veri sğlmktdır. Atmosferi modelleyerek (iyonosfer ve troposfer) meteorolojik thminlerde ve yğış dönüşebilir su buhrını belirleme çlışmlrınd kullnmk mcı ile Devlet Meteoroloji İşleri Genel Müdürlüğü ve kdemik kuruluşlr d çlışmlr bşlnmıştır. Proje kontrol merkezi yyınlrı syesinde, ülke genelinde kr, hv ve denizde nvigsyon cihzlrı ile mevcut durumd 5-0 m. oln duyrlılık dm düzeyinde belirlenecektir. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 34

35 Askeri Amçlı Uygulm Alnlrı için kznımlr; Askerî Hritlrın ypımı, Her türlü hrp silh ve rcının yönlendirilmesi, Arç ve personel tkibi, Birlik intikllerinin tkip ve kontrolü, Seyrüsefer sistemlerindeki konumlm donnımlrın (INS, Gyro vb.) klibrsyonu, Hrekât lnının sevk ve idresinde konumlm, Arm ve kurtrm fliyetleri, Myınlrın hrit üzerinde işretlenmesi ve temizlenmesi, Sınır belirleme çlışmlrıdır. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 35

36 TKGM Kznımlrı Jeodezik çlışmlrd işgücü, süreç ve mliyet kpsmınd yklşık %30 kznım elde edilmektedir. TS EN ISO 900:000 Stndrdın göre kurulmuş oln Klite Yönetim Sistemi kpsmınd, Fotogrmetri ve Geodezi Diresi yeniden ypılnmıştır ve işlevini yitiren Nirengi Şubesi kptılmıştır. Şube personeli (0 kişi) bşk birimlerde görevlendirilmiştir. İş ve görev süreçleri kpsmlı olrk yeniden düzenlenerek iyileştirme ypılmıştır. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 36

37 TUSAGA-Aktif Kullnıcılrı KAMU KUUMLAI Byındırlık ve İskn Bknlığı (TKGM, İller Bnksı, Afet İşleri ) Türk Silhlı Kuvvetleri (KKK, HKK, DKK, HGK) İçişleri Bknlığı (Belediyeler, EGM,JGK, SGK) Trım ve Köyişleri Bknlığı (Trım eformu, TMO) Çevre ve Ormn Bknlığı (OGM, DSİ, DMİGM, ÖÇK) Enerji ve Tbii Kynklr Bknlığı (EİEİ, MTA, BOTAŞ, TEİAŞ, EÜAŞ, TKİ) Ulştırm Bknlığı (Denizcilik Müsteşrlığı,TCK, TCDD, DHMİ) Bşbknlık,GAP İdresi AAŞTIMA KUUMLAI TÜBİTAK Projeleri Üniversiteler ve Enstitüler ÖZEL SEKTÖ Hrit, Kdstro ve İmr İnşt Coğrfi Bilgi Sistemleri 4-34 slyt için Kynk: TUSAGA-AKTİF (COS T) POJESİ VE ÜLKEMİZE KATKILAI, Ö. Yıldırım, S. Bkıcı, A. Cingöz, Y. Erkn, E. Güll, A. A. Dindr, TMMOB Hrit ve Kdstro Mühendisleri Odsı,Ulusl Coğrfi Bilgi Sistemleri Kongresi, 30 Ekim 0 Ksım 007, KTÜ, Trbzon. TUSAGA-AKTİF (COS T), Ö. Yıldırım, A. Cingöz, O. Lenk, S. Bkıcı, B. Aktuğ, A. Kılıçoğlu, M. Ş. Aysezen, O. Erdoğn, 4. Ulusl Mühendislik Ölçmeleri Sempozyumu, 4-6 Ekim 009, Trbzon. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 37

38 Ders Sorumlulrı Prof. Dr. Ahmet KAYA Doç. Dr. Fruk YILDIIM BÖLÜM-- ELİPSOİD JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM

39 7. ELĠPSOĠD, ELĠPSOĠD PAAMETELEĠ Anck potnsiyel teorisi yrdımı ile tnımlnbilen geoid yerine,hesp yüzeyi olrk kullndığımız dönel elipsoid, bir elipsinküçük ekseni etrfınd dönmesiyle meydn gelen yüzeydir. Bir elipsoid büyük-yrı ekseni (), küçük-yrı ekseni (b), bsıklığı ( = f) ve eksentrisite (dıģmerkezliği) (e) ile tnımlnır. Geoide mümkün olduğu kdr ykın bir dönel elipsoidin boyutlrının tnımlnmsı, jeodezinin bģlıc problemi olmuģtur. Türkiye ülke ölçmelerinde, 94 yılınd uluslrrsı elipsoid olrk kbul edilmiģ oln Hyford Elipsoidi ni (Interntionl 94) 000 yılın kdr kullnmıģtır. Bu yıldn itibren GS80 Elipsoidine geçilmiģtir. Z b O Y X Dönme ekseni JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM

40 Dönel Elipsoid denklemi ve tnımlr x b L z N B P Yüzey normli Eksen Ģrtlrı; b <, x +y, z b Dönel elipsoid denklemi; 0 L Boylmı: Meridyen düzleminin xz düzlemi ile yptığı çıdır. Prlel dire: Elipsoidin ekvtor düzlemine prlel bir düzlemle rkesiti oln direye denir. B enlemi: Elipsoidin bir noktsındki yüzey normlinin ekvtor düzlemi ile yptığı çıy o noktnın coğrfi enlemi denir. Elipsoidin prmetreleri: = f = Elipsoidin bsıklığı e = Birinci eksentrisite e= Ġkinci eksentrisite = büyük yrıeksen b = küçük yrıeksen c = kutup eğrilik yrıçpı JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 3 y x y z b

41 Sık Kullnıln eferns elipsoidleri eferns Elipsoidi Büyük yrıeksen () Büyük yrıeksen (b) Bsıklık () Austrlin Ntionl (IAU65) Bessel Clrke 880DoD Clrke 880IGN Clrke 880 Arc Modified Everest 830 (Indi) Everest 956 (Indi) Everest 969 (West Mlysi) GS GS80 vey New Interntionl Hyford Helmert IAG Interntionl Krssovsky South Americn 969 (GS67) ,47675 WGS WGS WGS WGS84 (G730) JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 4

42 Elipsoid Prmetreleri rsındki dönüģümler = = JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 5

43 Elipsoid Prmetreleri syısl uygulm SAYISAL UYGULAMA - JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 6

44 8. ELĠPSOĠDDE ENLEM ÇEġĠTLEĠ Elipsoid üzerinde coğrfi enlem ynınd, çeģitli mçlrl bģk enlemlerde trif edilmiģtir. Coğrfi enlem (B) ĠndirgenmiĢ enlem () Jeosntrik enlem () Ġzometrik enlem (q) JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 7

45 z : dönme ekseni Coğrfi enlem: Elipsoidin bir noktsındki yüzey normlinin ekvtor düzlemi ile yptığı çı o noktnın coğrfi enlemidir. b küre elipsoid P P ĠndirgenmiĢ enlem: P elipsoid noktsı, dönme eksenine prlel bir doğru, elipsoidle ynı merkezli ve yrıçplı bir küre üzerine izdüģürülürse bir P noktsı elde edilir. P noktsını merkeze birleģtiren doğrunun ekvtor düzlemi ile yptığı çısı P elipsoid noktsının indirgenmiģ enlemidir. O B Jeosntrik enlem: Bir elipsoid noktsını elipsoidin merkezine bğlyn doğrunun ekvtor düzlemi ile yptığı çısı o noktnın jeosntrik enlemidir. Ġzometrik enlem: Elipsoid üzerinde, x coğrfi boylmın difernsiyel rtımın eģit metrik difernsiyel rtımı oln enleme izometrik enlem denir. q ve L coğrfi boylmı ortogonl bir prmetre ğı meydn getirir. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 8

46 8.. Elipsoiddeki enlemler rsındki bğıntılr ve dönüģümler b rctn( tn B) rctn( rctn( tn ) rctn( b e e tn B) tn ) b rctn( tn B) rctn(( e )tn B) b rctn( tn ) rctn( e tn ) B rctn( b B rctn( b tn ) rctn( e tn ) rctn( e tn ) tn ) q rctn h(sin B) erctn h(esin B) İtersyons uz B C X rcsin(tn h q) C C C C B B i 0 e / 5e 7e 4 İtersyonl u sin C / 48 9e çözüm rcsin(tn h(q erctn h(esin rcsin(tn h q) 4 çözüm / 4 e 6 4 7e sin 4 C / 3e / 40 8e /0 8e 479e sin 6 C /360 /50 /0 /680 B ))) i 8 sin 8 SAYISAL UYGULAMA - JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 9

47 8.. Elipsoiddeki enlemler rsındki bğıntılr ve dönüģümler x z b L y p, p N B Elipsoidle ynı merkezli yrıçplı küre P P z p, p Elipsoid x p, p Küre denklemi noktsı ve cos cos L cos sin L sin y ( P) koordintlrı 0 x, y, z b Elipsoid noktsı( P) denklemi ve x y z b x cos cos L z b sin y cos sin L koordintlrı 0 Elipsoid koordintlrı; elipsoid ve küre denklemleri rsındki P noktsındki yüzey normlinin eğimi eģitliklerinden elde edilir. dx tn B dz dx dz L=0 (xz düzleminde) b sin, bcos yzılrk B ve rsınd tn B tn, tn tn B d d b B ve rsınd sin ve cos iliģkisi için sin cos eģitliğinden ve bsin B cos B W e sin B, V e cos B kısltmlrındn yrrlnrk cos cos B, W sin sin B V elde edilir. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 0

48 8.. Elipsoidde uzy dik koordintlrl, coğrfi ve indirgenmiģ enlemler rsındki bğıntılr ve dönüģümler x b L z y p P N z p B Yüzey normli x p (B,L) coğrfi koordintlrdn uzy dik dik koordintlrın hesbı elipsoid yüksekliği h=0, W,V ve değiģkenlerinden hesp x y cosbcosl W cos Bsin L W b z sin B W y x x ( N h)cos Bcos L y ( N h)cos Bsin L z N( e ) hsin B cosbcosl bv y cos Bsin L bv b z sin B V x coscosl y cossin L z bsin elipsoid yüksekliği h 0, N değiģkenlerinden hesp SAYISAL UYGULAMA - 3 W e e cos sin B, B, V V e cos, N c / V B JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM

49 uzy dik dik koordintlrdn (B,L) coğrfi koordintlrın hesbı Doğrudn çözülemediği için çok syıd lgoritm geliģtirilmiģtir. Bu yöntemlerin irdelenmesinden Pollrd Yöntemi önerilmiģtir. Çözüm lgoritmsınd z 0 ilk ve son değeri istenilen hsssiyete ulģıncy kdr itersyon devm ettirilerek h ve B değeri hesplnır. YÖNTEM ADI HEISKANEN ve MOITZ (Heisknen nd Moritz, 967) PAUL (Pul, 973) BATELME ve MEISS (Burtch, 006) BOWING (Bowring, 976) HEIKKINEN (Zhu, 994) BOWING (Bowring, 976) OZONE (Fok ve Iz, 003) VANIÇEK ve KAKIWSKY (Vnicek ve Krkiwsky, 98) BOKOWSKI (Borkowski, 989) BOKOWSKI (Borkowski, 987) HEKĠMOĞLU (Hekimoğlu, 993) ZHU (Zhu, 994) LIN ve WANG (Lin ve Wng,995) FOTIOU (Fotiou, 998) GAGIULO ve VASSALLO (Grgiulo ve Vssllo, 998) BY EY-JE YOU (By ey-jer You, 000) JONES (Jones, 00) POLLAD (Pollrd, 00) SEEMKOEI (Seemkooei, 00) WU-WANG-HU (Wu vd., 003) VEMEILLE (Vermeille, 004) ZHANG (Zhng vd., 005) FUKUSHIMA (Fukushim, 006) CLYNCH (UL-, 009) FELTENS (Feltens, 008) SJOBEG (Sjöberg, 008) ÇÖZÜM YÖNTEMĠ ĠTEATĠF KAPALI ĠTEATĠF ĠTEATĠF KAPALI KAPALI KAPALI KAPALI ĠTEATĠF KAPALI ĠTEATĠF KAPALI ĠTEATĠF KAPALI KAPALI KAPALI ĠTEATĠF ĠTEATĠF ĠTEATĠF ĠTEATĠF KAPALI KAPALI ĠTEATĠF ĠTEATĠF ĠTEATĠF KAPALI Kynk: Yıldırım, F., Ky, A., Kpln, Y., (0). Jeodezik Dik ve Coğrfi Koordint DönüĢüm Yöntemlerinin KrĢılĢtırılmsı, Hrit Dergisi, 46, -7. SAYISAL UYGULAMA - 3 JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM z k m n r s t h z B L 0( i ) 0( i) x ( x x / k y / k z e' x e' ( s y rctn n s rctn z ) ( z e' / k ( / b) y b z y 0( i ) z n h r t) / r ( z e' z x m y ( / b) z y /( x 0 z ) / p) n z p z 0( i ) )

50 9. ELĠPSOĠDDE EĞĠLĠK VE YAIÇAPLA Bir yüzey noktsınd yüzey normlinden geçen düzlemlere norml düzlem, yüzeyin bu düzlemlerle rkesit eğrilerine normlkesit eğrileri denir. Bu eğriler norml düzlemin doğrultusun göre frklılģır. Anck bunlrdn biri mksimum biride minumum eğrilik değerleri lır. Bunlr nnormlkesit eğrileri ve eğriliklerine de neğrilik denir. Elipsoidde Annormlkesit eğrilerinden biri meridyen eğrisidir ve bu yöndeki neğrilik mksimum dolyısıyl meridyen eğrilik yrıçpı minumumdur ve M olrk gösterilir. Meridyene dik yöndeki Annormlkesit eğrisinin eğriliği minumum ve eğrilik yrıçpı mksimumdur. Bu yrıçp enine eğrilik yrıçpı denir ve N olrk gösterilir. Guss Eğrilik Ölçüsü:K=/( ) Ģeklinde trif edilir ve d r/du +rk=0 difernsiyel denklemini sğlmlıdır. (r:prlel dire yrıçpı,u: meridyen yy uzunluğu) K 4 W ( e ) 4 V ( e ) JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 3

51 = Elipsoid yüzeyinde herhngi bir noktnın tnımı için iki eğrilik yrıçpının Yrıçpı küçük Eğriliği büyük Yrıçpı büyük Eğriliği küçük Yrıçpı sonsuz Eğri düzlem N: Enine eğrilik yrıçpı M: Meridyen yönündeki tnımlnmsı gerekir. Meridyene eğrilik yrıçpı Elipsoidde nnormlkesit eğrileri M:mimumum eğrilik yrıçpı, eğrilik büyük M N Enine eğrilik yrıçpı N:mxsimum eğrilik yrıçpı, eğrilik küçük JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 4

52 9.. Elipsoidde yrıçplr rsındki bğıntılr Aneğrilik yrıçplrı z : dönme ekseni N M W ( e W 3 bv ) c V b W 3 bv Ortlm eğrilik ;neğrilik yrıçplrının geometrik ortlmsı MN b W V c 3 V c 3 b küre r=cos. elipsoid. r=ncosb B P P N>>M B O A zimutlu normlkesit eğrisinin eğrilik yrıçpı : Meridyenin kuzey kndı ile A çısını ypn doğrultudki nke eğrilik yrıçpı MN A M sin A N cos A SAYISAL UYGULAMA - 4 JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 5 x

53 0. ELĠPSOĠDDE UZUNLUK HESABI 0.. Ekvtordn B Enlemine Kdr Meridyen Yyı Uzunluğu B Ekvtor M B G Meridyen Yyı prçsı dg MdB c G db 3 V G AB Bsin B Csin 4B Dsin 6B... c A ( B c( C c( D c( e e e...) e e e...) e e...) JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM e e Hyford Elipsoidi Ktsyılrı A= m/ B= m C= m D= m e e e 8...)

54 0.. Meridyen Yyı Uzunluğundn Enlemin Hesbı B B sin C sin 4 D sin 6... G / A c A ( B C D 3 4 e e ( e e e ( e e ( e e e...) 55 8 e...) e...) e...) 88 8 Hyford Elipsoidi Ktsyılrı A= m/ B"= C"= D"= SAYISAL UYGULAMA - 5 JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 7

55 0.3. Kıs Meridyen Yylrının Hesbı B m B B G P G P m P M m B M 8V m m 4 m B B t V ( t m m m m B m e B m cos m m (B B tn B 4 ) / B m m t m ) B 3 Ekvtor B B m B JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 8

56 JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM Prlel Dire Yylrının Hesbı B sin e W B cos e V W V c N L L NcosB S p SAYISAL UYGULAMA - 6 S p B N Ekvtor L B L B.

57 . ELĠPSOĠDDE ALAN HESABI A C df d Enlem ve boylml sınırlı df lnı df=ac.ad=mdb NcosBd Bu difernsiyel için 0 ile rsınd elipsoid kuģğının lnı dz= MNcosB db D M db N Ekvtor B dz dz dz b cos BdB 3 W W cos B b db 4 W cos B b ( e sin B) db Z b B cos B ( e sin B B) db Z 4b B B ( F sin( B / )cos B F B d sin(7b / )cos7b, B m ( B B m F sin(3b / )cos3b ) / m b e m Fsin(9B / )cos9b F sin(5b / )cos5b m c...) m JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 0

58 JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM... e F... e 56 5 e F... e 64 5 e 6 e 80 3 F... e 9 35 e 6 3 e 6 3 e 6 F... e 8 35 e 6 5 e 8 3 e F 8 e 8 6 d c b Meridyenlerin sınırldığı elipsoid prçsının lnı Z F SAYISAL UYGULAMA - 7

59 Elipsoidl coğrfi koordintlrl kplı bir Ģeklin ln hesbı Elipsoidl coğrfi koordintlrl kplı bir Ģeklin ln hesbı için litertürde dört yöntem dikkt çekicidir. Bu yöntemler sırsıyl; Kimerling (Kimerling, 984), Dnielsen (Dnielsen, 989), Gillissen (Gillissen, 993),Sjöberg (Sjöberg, 006), Freire ve Vsconcellos (Freire ve Vsconcellos 00) ve Krney (Krney 0) Kimerling yöntemi küresel çözüm olduğundn kenrlr jeodezik eğri değil küredeki büyük dire yyıdır. Bu sebeple kesin elipsoidl çözüm değildir. Dnielsen ve Sjöberg çözüm yöntemlerinde prsel kenrlrı jeodezik eğri lınrk, bu eğri ltınd kln lnl elipsoidl ln hesplnır. Gillissen yönteminde; elipsoiddeki büyük dire yyı prçsını kiriģlere bölerek ln Albers ln koruyn konik projeksiyonund hesplnmıģtır. Freire ve Vsconcellos yönteminde; Glissen yöntemindeki gibi kiriģlere yırm yöntemiyle hesplr. KiriĢlere yırm yönteminde ise noktlrın coğrfi koordintlrı ynınd jeodezik dik koordintlrının d (x,y,z) bilinmesi gerekir. Krney yönteminde;dnielsen yöntemindeki gibi elipsoid zimutlr korunrk yrdımcı bir küre belirlenir. Ġntegrl çözüm seriye çılrk değil Mtlb gibi progrmlr yrdımıyl kplı çözüm gerçekleģtirilmiģtir. Dnielsen ve Sjöberg yöntemleri seri çözümlere dyndığındn progrmlm çısındn bsitdir. Gillissen, Freire ve Krney yöntemleri dh krmģık ve uzun iģlem dımlrı gerektirir ve günümüz hesp imknlrı düģünüldüğünde bu zorluk ihml edilebilir. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM

60 . JEODEZĠK EĞĠ.. Genel tnımlr A B T Oskültör Düzlem: Bir uzy eğrisinin herhngi bir noktsı A ve bu noktdki teğeti AT olsun. A y ykın bir bģk eğri noktsı üzerindeki B yi düģünelim. B noktsının A y yklģmsı hlinde ATB düzleminin limit durumun söz konusu eğrinin A noktsındki oskültör düzlemi denir. A B C Oskültör Düzlem: Bir uzy eğrisinin herhngi bir noktsı A ve bun ykın iki noktd B ve c olsun. B ve C noktlrının birbirine bğlı olmksızın A y yklģmsı durumund, bu üç noktdn geçen düzlemin limit durumun söz konusu eğrinin A noktsındki oskültör düzlemi denir. O hlde Oskültör Düzlem tnımlndığı noktd eğriyi difernsiyel nlmd içinde bulundurn düzlemdir. Oskültör Düzlem bir uzy eğrisinin her noktsı için yrı yrı tnımlıdır. Bir uzy eğrisine it kvrmlrın, o eğrinin üzerinde olduğu (vey olbileceği) yüzeye it kvrmlrl krıģtırılmmsı gerekir. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 3

61 Uzy eğrisi prçsı.. Genel tnımlr b (binorml) A Eğrinin A noktsındki teğetine dik oln düzleme yni eğrinin normllerinden geçen düzleme norml düzlem denir. Norml düzlemle oskültör düzlemin rkesiti eğrinin noktsındki sl normlidir. Oskültör düzleme dik oln normle binorml denir. Teğetten geçen ve oskültör düzleme dik oln düzleme de teğet düzlem denir. Teğet-Asl Norml-Binorml birim vektörlerinin oluģturduğu Ģekle Frenet Üçyüzlüsü denir. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 4

62 .. Jeodezik Eğri, Jeodezik Eğrilik P K P n P K Ekvtor Elipsoidin P ve P noktlrındki normlleri genel olrk ykırı doğrulr teģkil ederler. Bunlr yrı düzlem içerisinde ve birbirini kesmezler. (noktlrın ynı enlem vey boylmd olmsı hriç) Bu sebepten noktlrdn geçen norml kesit düzlemi iki frklı düzlemdir. Bulunduğumuz nokty göre bu düzlemlere norml kesit ve krşı norml kesit düzlemi denir. Norml kesit düzlemlerinin elipsoid ile r kesit eğrileri de P ve P de birleģen iki yrı yüzey eğrisi oluģtururlr. Elipsoid üzerinde iki noktyı, bulunuln nokty göre trif edilen iki yrı NKE birleģtirir. Elipsoid yüzeyindeki herhngi üç noktnın teģkil ettiği üçgen de tek nlmlı bir üçgen değildir. Bu üç noktyı birleģtiren 6 yrı NKE vrdır. Bu nedenlerle elipsoidde iki noktyı birleģtiren, NKE dıģınd, bşk bir eğrinin trif edilmesi zorunluluğu vrdır. Böyle bir eğri iki noktsı ile belli tek nlmlı olrk dönel elipsoid üzerinde tyin edilebilmelidir. Jeodezik eğri bu Ģrtlrı yerine getiren bir eğridir. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 5

63 .. Jeodezik Eğri, Jeodezik Eğrilik Yüzey Eğrisinin B deki oskültör düzlemi Bir yüzey eğrisinin A,B,C gibi birbirine ykın üç noktyı, yüzeyin B deki teğet düzlemine iz düģürelim. Teğet düzlemdeki A', B', ve C' izdüģüm noktlrındn geçen eğrilik diresinin tyin ettiği eğriliğe yüzey eğrisinin jeodezik eğriliği denir ve : g ile gösterilir. A C A', B', ve C' izdüģümleri bir doğru ise söz konusu B yüzey eğrisinin jeodezik eğriliği sıfırdır. Oskültör ve teğet düzlem diktir. Bütün noktlrınd bu B' Ģrtı sğlyn, yni jeodezik eğriliği sıfır oln A' yüzey eğrileri birer jeodezik eğridirler. C' Jeodezik eğrinin her noktsındki oskültör düzlemi ynı zmnd yüzeyin o noktdki norml düzlemidir, yni eğrinin n normlleri yüzey normlleri ile çkışıktır. Elipsoidin; ekvtor, meridyenleri ve Kürenin; ekvtor, büyük direleri, meridyenleri jeodezi eğridirler fkt prlel direleri jeodezik eğri değildirler. Çünkü prlel dire üzerindeki yüzey normlleri prlel dire düzlemi ile ve B çılrını yprlr, dolyısıyl oskültör düzlemi içinde değildirler Jeodezik eğri yüzeyin iki noktsı rsındki en kıs yol olrk trif edilir. Ġki nokt rsındki en kıs yol her zmn bir jeodezik eğri olduğu hlde her jeodezik eğri her zmn en kıs yol değildir. Büyük direnin belli bir prçsı en kıs yoldur, fkt geri kln kısmı d en kıs yol olmmkl berber bir jeodezi eğridir. Gerek jeodezik eğriliğin sıfır olmsı ve gerekse iki nokt rsınd en kıs yol olmsı özellikleri jeodezik eğrinin yüzeyler üzerinde düzlemdeki doğrunun yerine geçtiği düģüncesini kuvvetlendirir. Yüzeyin özel hli olrk düzleme geçildiğinde jeodezik eğriler de birer doğru olurlr. Jeodezik eğriler syesinde yüzeyler üzerinde tek nlmlı bir geometrinin esslrını orty koymk mümkün olmuģtur. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 6

64 JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 7

65 B den A y NKE A ve B rsındki jeodezik eğri A dn B ye NKE JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 8

66 .. Jeodezik Eğrinin Elipsoid Yüzeyinde Difernsiyel Denklemleri Azimut denklemi da/ds=(/n) tnb sina Bessel denklemi da/dl=sinb Clirut denklemi cossina=cos 0 jeodezik eğrinin bir noktsınd, meridyenle yptığı çının sinüsü ile o noktdki indirgenmiģ enlemin cosinüsü çrpımı, jeodezik eğrinin her noktsındn sbittir. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 9

67 .. Jeodezik Eğrinin jeodezide Önemi Jeodezik çlıģmlrın dynğı nirengi noktlrıdır. Bu noktlrın koordintlrının belirlenmesi için yty ve düģey dtum gibi yüzeylerin tnımlnmsı gerekir. Koordint bilgilerinin bu yüzeyler üzerinde (hesp yüzeyleri) belirlenmesi gerekir. Nirengi noktlrı belirlenen bu yüzeyler (hesp, referns yüzeyi) üzerinde değildir fiziksel yeryüzü üzerindedir. Dolyısıyl noktlrın koordintlrının hesbı için gerekli oln çı ve mesfe gibi ölçüleri, hesp (referns) yüzeyleri üzerinde ölçerek bulmk olnğı yoktur. Bunun yerine fiziksel yeryüzünde oln noktlr rsındki ölçü değerleri (çı, mesfe ), referns yd hesp yüzeylerine (elipsoid, küre ve düzlem) indirgenir. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 30

68 Elipsoidin Yerleştirilmesi ve Yöneltilmesi : Nirengi ğlrı için hesp yüzeyi elipsoiddir. Bu elipsoid dünynın gerçek Ģekli olrk tnımlnn jeoidin tüm yüzeyine en uygun olrk vrsyılmktdır (GS80). GS80 elipsoidinin jeoide göre konumu belirlenir. (ITF dtumu) Ölçülerin Elipsoid Yüzeyine İndirgenmesi: Fiziksel yeryüzünde bulunn nirengi noktlrının, elipsoid yüzeyinde tnımlnmsı ve ölçü değerlerinin de indirgeme yoluyl bu yüzeyde hesplnmsı gerekir. Yty uzunluğun Jeoide indirgenmesi: Kenr iki ucundki çekül doğrultusu boyunc deniz yüzeyine (jeoide) indirgenir. S=S-HS/ S rzide ölçülen, H ortlm deniz yüksekliği ve kenr doğrultusundki eğrilik yrıçpıdır, ve =(MN) / ile hesplnır. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 3

69 Yty uzunluğun jeoidden elipsoide indirgenmesi: Elipsoidin jeoidden yüksekliğinin bilinmesi gerekir. Bu yüksekliklerin belirlenmesi fiziksel jeodezinin konusudur. Bu indirgeme değeri çı ölçmelerindeki sistemtik htlrın neden olduğu ölçek değiģiminin ltınddır ve bu nedenle jeoiddeki uzunluk elipsoidde ynı lınır. Fkt günümüzde N jeoid ondülsyonu ölçümü zhmetsiz olduğu için genelde indirgeme hesplnır. Doğrultu çılrının Elipsoide indirgenmesi: Ölçülen çılr, durk noktsındki (fiziksel yeryüzü) çekül doğrultusu ve jeoid yüzeyindeki izdüģüm noktsındki çekül doğrultusu rsındki çıy göre düzeltilmelidir. Bu düzeltme ihml edilecek kdr küçük olduğundn doğrultu çılrı jeoide indirgenmeksizin elipsoide indirgenir. Çekül doğrultulrı ve elipsoid normellerinin birbirine prlel olmmsındn dolyı bu iki doğrultu rsındki çıy bğıl çekül spmsı denir. Bu çıy göre düzeltme getirilir. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 3

70 Çekül Spmsı BileĢenleri Nedeniyle Uygulnck Ġndirgeme: Bğıl çekül spmsının güney-kuzey ile doğu-btı doğrultusundki bileģenleri biliniyors ölçülen doğrultu çısın çekül spmsı nedeniyle düzeltme getirilir. Norml kesit eğrilerinin Jeodezik eğriye indirgemesi: ġimdiye kdr ki indirgemeler fiziksel yeryüzünde ypıln ölçülerin elipsoide indirgenmesiydi. Fkt elipsoid üzerinde jeodezik hesplmlr için norml kesit eğrileri değil jeodezi eğriler kullnılır. Üçgen noktlrının krģılıklı doğrultu çılrı nke den dolyı iki düģey kesit eğrisi ile tnımlnır. Dolyısıyl üçgen kenrlrını birleģtiren tek bir yüzey eğrisi oln jeodezik eğriye ölçülerin indirgenmesi gerekir. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 33

71 r AB A Jeodezik eğri r AC r BA B r BC r CB r CA C NKE ne getirilen düzeltmeler; - Azimut Ġndirgemesi - Hedef noktsı yüksekliğinden dolyı nke nin zimut indirgemesi 3- Uzunluk indirgemesi JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 34

72 P n z A x P 0 L 0 y P L P 0 h P P P : P 0 P nke zimutu A: jeodezik eğri zimutu P 0 : istsyon noktsı P: elipsoidden h yüksekliğinde Ölçüye ess: P 0 P nke, P 0 K 0 nkd, P (h) hesb ess: P 0 P nke, PK nkd, Ekvtor K 0 Azimut indirgemesi S A N 0 sin A 0 () K Hedef yüksekliğinden dolyı nke nin zimut indirgemesi ' 0 hsin N A 0 A A' N S hsin A' N sin A' Toplm doğrultu ve çı (Azimut ) indirgemesi ; A ( )ve S ölçülen zimut ve kenr S 0 360N 4 0 S 5 sin A uzunluk indirgemesi; S nke uzunluğu, jeodezik eğri uzunluğu İhml edilecek bir büyüklüktür. SAYISAL UYGULAMA - 8 JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 35

73 Sonuç olrk; tüm bu indirgemelerle fiziksel yeryüzündeki nirengi ğı yerine, elipsoid yüzeyinde kenrlrı jeodezik eğri oln üçgenlerden oluşn bir ğ elde edilir. Elipsoid yüzeyinde çı ve mesfe değerleri bilinen noktlrdn jeodezik temel problem çözümüyle diğer noktlrın elipsoid coğrfi koordintlrı hesplnır. JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 36

74 A Slope Distnce Mesured Distnce (S) Men Terrin Height HA Terrin Level Terrin Distnce h M B ha Geoidl/se level distnce (S) HB hb Geoid or Se Level NA Ellipsoidl Distnce Ellipsoidl Chord Distnce NB Ellipsoid JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 37

75 3. ELĠPSOĠD YÜZEYĠNDE JEODEZĠK TEMEL POBLEM ÇÖZÜMÜ z N. JTP Verilenler: P i (B i, L i ), S ik, A ik A ik S ik P k A ki Ġstenenler: P k (B k, L k ), A ki P i b N k N i L i B i L B k L k B=0 y. JTP Verilenler: P i (B i, L i ), P k (B k, L k ) x Ġstenenler: S ik, A ik, A ki JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 38

76 3.. JTP Çözümü için Yöntemler Kıs mesfeler için (S<0km) -Boltz Formülleri -Schreiber ve Schödlbuer Metodu 3-Eggert Metodu 4-Guss-Helmert Ortlm Enlem Formülleri Ort mesfeler için (0<S<000km) -Jordn Metodu -Legendre Serileri 3-Schnödelbch Metodu Büyük mesfeler için (S>000km) -Bessel-Helmert Metodu -Moritz Metodu 3-Chen Metodu 4-Vincenty Metodu 5-Kivioj-Jnk Metodu JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 39

77 3.. Vincenty Metodu ile JTP Çözümü S ba( ) A A rctn((co s sin ) /(cos sin sin cos cos )) rctn((co s sin ) /( sin cos cos sin cos )) () /6) cos L ( C) rcsin (cos sin (0) ) (cos sin rcsin(cos cos sin / sin ) 4 (0) cos (sin sin / cos ) C ( f u A B e cos f (4 3cos ) f sin C sin. JTP :Burdki, ve değerleri bir itertif iģlem dımı sonucu belirlenecektir. Ġtertif bģlngıç değeri (0) = L=L -L olmk üzere bir önceki değerle rsındki frk 0 - rdyn oln kdr itersyon iģlemi devm eder. (f:elipsoid bsıklığı, :indirgenmiģ enlem) JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 40 C cos sin cos cos u / u 768 u 30 75u u /04560 u 8 u 74 47u Bsin B / 4cos B / 6 3 4sin 3 4 (0) )

78 B rctn L ( C) f A sin cos cos sin cos A f cos sin A sin sin cos cos cos A cos sin A rctn sin sin cos cos cos A cos sin A C sin cos sin sin A rctn cos cos sin sin cos A C ( f /6) B () m rctn m. JTP: değeri bģlngıç değeri (0) =S/(bA) olmk üzere itertif iģlem dımı ypılrk hesplnır. A ve B değerleri. JTP çözümünde verilmiģtir. C cos cos cos sin A 4 f 4 3 cos sin A tn / cos A sin (0) cos m B / 4cos (0) cos m B / 6cos 3 4sin 3 4cos S ba m (0) (0) JEODEZĠ I A. KAYA & F. YILDIIM 4 m / m SAYISAL UYGULAMA - 9

79 Ders Sorumlulrı Prof. Dr. Ahmet KAYA Doç. Dr. Fruk YILDIIM BÖLÜM-3- KÜE JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM

80 4. ELĠPSOĠDĠN YEĠNE KÜE KULLANILMASI Küre kullnımı şğıdki durumlr için sözkonusudur.. Yeryüzünün büyük bir kesimi küçük ölçekli coğrfi hritlr biçiminde gösterilmek istenirse; Bu durumd hritdn lınck değerlerin hsssiyeti, hesplm yüzeyinin elipsoid yerine küre kullnılmsınd orty çıkck frklrdn çok dh düşüktür. Örneğin / ölçekli hritd mesfe 80m hsssiyetle okunur. Küre kullnımındn doğn frk ise bu değerden düşüktür.. Jeodezik mçlrl belli bir büyüklüğü geçmeyen (5000km den küçük, jeodezi-i, syf:9, cetvel,, sınır değerlerine bkınız) bir yeryüzü prçsınd yerin şekli küre lınır. 3. Yerin şekli yty dtum hesplmlrınd elipsoid olrk lınır. Bu yüzeydeki hesplmlrın yorucu ve krışık olmsı dolyısıyl bzı hesplmlr (örneğin; nirengi üçgen hesplmlrı), bu kısımd elipsoide çok ykın yüzey oln G MN yrıçplı küre üzerinde ypılır. Anck günümüz teknolojisiyle rtık bu geçiş işlemi pek kullnılmz. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM

81 4.. Elipsoidin Tmmı Yerine Kürenin Kullnılmsı ypılır. Elipsoid ve küre merkezleri çkışık olmlı, küre yrıçpı için şğıdki kbuller Elipsoid yrıeksenlerinin ortlmsı; =(+b)/3 Elipsoidin hcmine eşit; V e 4 b/3, V k 4 3 /3, 3 b Elipsoidin lnın eşit: F e 3 4b ( e ( e / 6 7e Elipsoidle rsındki mesfelerin krelerinin toplmı minumum oln küre meridyenler üzerinden yüzey üzerinden /3 3e 4 4 /5 4e 6 /360 67e ( e ( e / 7...), F k /304...) / 4 7e 4 / 6 e 4 4 / 64 7e 6 /0 03e / 56...) 6 /680...) SAYISAL UYGULAMA - 0 JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 3

82 4.. Elipsoidin Küçük Prçlrı Yerine Kürenin Kullnılmsı Elipsoidin tmmını temsil eden küre; bzı enlemlerde elipsoide ykın, bzı enlemler de elipsoidden büyük ölçüde uzklşbilir. Dolyısıyl belli bir bölgede ypılck jeodezik ölçmeler için, sdece o bölgede elipsoide en iyi uyn kürenin lınmsı dh uygun olur. Bu hlde elipsoid ve küre merkezlerinin çkışık olmsı şrtı rnmz. Ölçü bölgesinin ortsınd her iki yüzeyin en z bir ortk noktsının olmsı ve bu noktdki yüzey normllerinin çkışmsı yeterlidir. Jeodezi uygulmlrınd elipsoidin küçük prçlrının yerine Soldner ve Guss küreleri kullnılmktdır. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 4

83 Ölçü bölgesini ortlyn B 0 enlemi P 0 P 0 Elipsoid N yrıçplı Soldner küresi Soldner Küresi P 0 noktsındki neğrilik yrıçpı N 0 kürenin yrıçpıdır ve P 0 enlemi boyunc her iki yüzeyin normlleri çkışık Küre, P 0 dn geçen prlel dire boyunc elipsoide teğet ve bu prlel dire dışınd elipsoidi kesmez. Küre elipsoidi tmmen içine lır. Sdece B 0 = 0 enlemi muhfz edilir. Elipsoid ve küre boylm frklrı d ynen muhfz edilir. B 0 = 0 enlemi dışınd diğer prlellerin yrıçplrı küreye büyütülerek ktrıldığı için, n prlelden uzklştıkç kullnım lnını sınırlr Guss Küresi Küre P 0 noktsınd elipsoidle ortk bir nokty shiptir ve P 0 noktsınd her iki yüzeyin normlleri çkışık Küre yrıçpı (M 0 N 0 ) / dir. Küre, meridyen yönünde elipsoidin dışınd, meridyene dik yönde ise elipsoidin içinde klmktdır. Küre ile elipsoid P 0 noktsınd ynı eğrilik ölçülerine shiptirler ve burd soldner küresine nzrn elipsoidle dh iyi bir uyum göstermektedir. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 5

84 P 0 P 0 B 0 = 0 Soldner Küresi Küre elipsoidi tmmen içine lır. Guss Küresi Küre, meridyen yönünde elipsoidin dışınd, meridyene dik yönde ise elipsoidin içinde klmktdır. JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 6

85 4.3. Hesp Bölgesinin Sınırlılığı Fiziksel yeryüzünde eğri oln çekül doğrultulrı yerine elipsoidin yüzey normllerinin lınmktdır. Bunlr d ykırı doğrulrdır ve gerçek çekül doğrultulrı ile bir çı ypmktdırlr. Elipsoidin yerine küre kullnılırs yüzey normellerinde ki ykırılıkt ortdn klkcktır. Bütün bu kbuller küre üzerinde ypılck jeodezik hesplrı büyük ornd kullnılmz hle getirir. Hesp bölgesinin sınırlı tutulmsı bu skınclrı ortdn kldırır. Dolyısıyl jeodezik mçlrl yerin tmmı yerine tek bir kürenin kullnılmsı yerine, yeryüzünün sınırlı prçlrı için küre kullnılbilir. Guss vey Soldner Küresinin P 0 noktsındn itibren nereye kdr kullnılbileceğinin tyini için uzunluk ve doğrultu deformsyonlrının irdelenmesi gerekir. Guss mx S S 4 mx e Küresi 4 e S sin B 3( M N ) sin B e 3( sin M B N 0 3 mx ) S 3 Soldner mx S mx 3 S 6N Küresi JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM ( 4S N tn B 3N tn B 0 S 3 0 ) 6N SAYISAL UYGULAMA S

86 5. KÜESEL HESAPLAMALA 5.. Küresel Ekses ve Aln Ġlişkisi A C B' Ekvtor-Kutup Üçgeni B O O Ekvtor A' C' ABC küresel üçgeninin iç çılrının toplmını bulmk için ikigenlerinin lnlrı toplnırs F + F + F = ( + + ) ABC küresel üçgeninde üç ikigenin lnlrının toplmınd kürenin yrı lnı ve fzldn küresel üçgenin F lnının iki ktı vrdır F + F + F = +F ( + + )= +F ( + + ) - = F / = F / JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 8

87 5.. Kürede Meridyen ve prlel dire yyı hesbı =Küre yrıçpı e =Herhngi bir enlemde prlel dire yrıçpı O e e C B A D Meridyen yyı prçsı AB = Prlel dire yyı prçsı CD = e Cos SAYISAL UYGULAMA- JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 9

88 5.3. Küresel Ekses Aln bilinmiyors ve <0"ise ekses hesbı için düzlem üçgen kullnılbilir. Nirengi ğlrı (mx 00 km) için ekses bu değerin ltınddır. = b sin / ( ) (iki kenr ve rlrındki çı biliniyors) = sin sin / ( sin) (üç çı ve herhngi bir kenr biliniyors) = c sin sin / ( sin(+)) (iki çı ve bir kenr biliniyors) = (++ )-80 B c SAYISAL UYGULAMA - 3 A b C JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 0

89 5.4. Küresel Üçgen Çözümü B Küresel üçgen formülleri Kotnjnt cos III cos II = sin III cot I sin II cot IV Sinüs sin / sin = sinb / sin = sinc / sin Kenr kosinüs cos = cosb cosc + sinb sinc cos Açı kosinüs cos = -cos cos + sin sin cos Üç çısı ve bir kenr biliniyors A c b C Sinüs teoremi; b=rcsin(sin sin / sin), c=rcsin(sin sin / sin), Üç kenrı biliniyors Üç çısı biliniyors Kenr kosinüs teoremi; Açı kosinüs teoremi; =rccos((cos-cosbcosc)/(sinbsinc)) =rccos((cos +cos cos )/(sin sin )) =rccos((cosb-cosccos)/(sincsin)) b=rccos((cos +cos cos )/(sin sin )) =rccos((cosc-coscosb)/(sinsinb)) c=rccos((cos +cos cos )/(sin sin )) İki kenr ve rlrındki çı biliniyors Kenr kosinüs ve kotnjnt teoremi; c=rccos(coscosb +sinsinbcos) =rctn(sin / (cotsinb-cosbcos)) =rctn(sin / (cotbsin-coscos)) JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM

90 İki kenr ve bunlrdn birinin krşısındki çı biliniyors Sinüs ve neper teoremi; =rcsin(sinbsin/sin) B =rctn(sin((-b)/)cot((-)/) / sin((+b)/)) c =rctn(sin((+)/)tn((-b)/) / sin((-)/)) İki çı ve rlrındki kenr biliniyors Açı kosinüs ve kotnjnt teoremi; =rccos(-coscos+sinsincosc) =rctn(sinc / (cosccos + sincot)) b =rctn(sinc / (cosccos + sincot)) A c b C İki çı ve bunlrdn birinin krşısındki kenr biliniyors Sinüs ve neper teoremi; =rcsin(sinsinb/sin ) c =rctn(sin((+)/)tn((-b)/) / sin((-)/)) =rctn(sin((-b)/)cot((-)/) / sin((+b)/)) JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM

91 5.5. Küresel Üçgen Özel Çözüm Neper formülleri, Ehlert formülleri; Üçgen elemnlrının 0,90,80 ye ykın olmsı hlinde ve bilgisyr ile progrmlmd tercih edilir. Hesp mkinesi ile çözüm formüller uzun olduğu için önerilmez. Bu yöntemlerde verilen üçgen elemnlrının ortlmlrı ve frklrının kullnıldığı Guss Yrımçı Formülleri kullnılır. İki kenr ve rlrındki çı biliniyors (b,c,) Neper; rcsin b c cos rctn cos cos rctn cos sin,, 3 sin 3 rctn cot3 sin sin 3 rctn cot3 sin cos 3 sin sin 3 cot cot b c z rctn n z rctn n rctn Ehlert; b c cos cos, b c sin cos, b c cos sin b c sin sin JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 3 z n z rctn n z rctn n z z n n z n

92 İki çısı ve rlrındki kenr biliniyors (,,) Neper; Ehlert; cos b rctn cos cos c rctn cos rcsin cos,, 3 sin tn 3 rctn sin sin tn 3 rctn sin sin 3 cos cos 3 tn 3 tn 3 b c z n z rctn n z rctn n rctn z z n n sin cos, cos cos, z rctn n z rctn n z sin sin n cos sin SAYISAL UYGULAMA - 4 JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 4

93 5.6. Küresel Dik Üçgen Çözümü Neper Kurlı Bir elemnın cosinüsü kendisine komşu olnlrın kotnjntlrı çrpımın komşu olmynlrın sinüsleri çrpımın eşittir. Dik kenrlr hesplmd / den çıkrtılır. Verilen: Hipotenüs ve bir çı p=rcsin(sins sin) q=rctn(tns cos) =rctn(/(coss tn)) p B s Verilen: Dik Kenrlr s=rccos(cosp cosq) =rctn(tnp / sinq) A q C =rctn(tnq / sinp) SAYISAL UYGULAMA - 5 JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 5

94 5.7. Küresel Üçgenlerin Yklşık Çözüm Yollrı Legendre Teoremi B c c A b B * * * C A C b SAYISAL UYGULAMA - 6 Legendre Teoremi : Küresel sinüs formülünün sğ trfı seriye çılır, düzlem cosinüs teoremi ve düzlem üçgen lnı () formülleri eksesin ln ilişkisi ile dikkte lınır. sin sin( / ) sin sin( b / ) sin( / 3) sin( / 3) b küre düzlem sin sin b 6 3 b b 3 * cot * cot sin cot 3 sin cot 3 b Sin(-/3) tylor serisine çılırs yukrıdki eşitliğin sol trflrı elde edilir. O hlde ilk bştki düzlem eşitlik sonucu çıkr. Bu ise düzlem üçgende çı ve kenrlr rsındki bğıntıyı gösteren sinüs teoremidir. Bu demektir ki; küresel çılr eksesin üçte biri kdr küçültülürse, küçük küresel üçgenler eşit kenrlı düzlem üçgenler gibi hesplnbilir. * = - /3, * = - /3, * = - /3 JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 6

95 JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM Küresel Üçgenlerin Yklşık Çözüm Yollrı Additment Metodu SAYISAL UYGULAMA - 6 C B A ' b' C B A b c Additment metodu : Ġki çısı küresel üçgenin çılrın eşit oln ve kenrlrı rsınd; Küresel ve düzlem üçgen sinüs teoremleri birbirine eşit lınır ve küçük çılrın trigonometrik fonksiyonlrı seriye çılırs İlişkisi bulunn düzlem üçgen kullnılır sin sin sin sin ) / sin( ) / sin( sin sin b b b b b b düzlem b küre b b b b b b b

96 6. KÜESEL KOODĠNAT SĠSTEMLEĠ 6.. Uzy Dik ve Coğrfi Koordint Sistemi z z p P(,) Coğrfi den Uzy Dik Koordint Hesbı Verilenler: P(,), Ġstenenler: P(x, y, z) x cos cos y cos sin z sin x 0 0 y p Ekvtor x p y Uzy Dikden Coğrfi Koordint Hesbı Verilenler: P(x, y, z), Ġstenenler: P(, ) rctn( y / x) rctn( z / x y ) SAYISAL UYGULAMA - 7 JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 8

97 6.. Küresel Jeodezik Dik Koordint Sistemleri P 0b P n y m P Bir meridyeni Ess Aln Küresel Dik Koordint Sistemi (x m,y m ) y b x m x b y e x e Ekvtor Ekvtoru Ess Aln Küresel Dik Koordint Sistemi (x e,y e ) P 0 Herhngi Bir Büyük Direyi Ess Aln Küresel Dik Koordint Sistemi (x b,y b ) JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 9

98 An meridyen Y=Sbit Merdiyen Sisteminde Jeodezik Temel Problem Çözümü F Y ' P X F Y S Y X P 0 P Ekvtor Y X X D P n D' Ekvtor X P 0 X=Sbit Y P D. JTP Çözümü Verilenler: P (X,Y ), S,, Ġstenenler: P (X,Y ),. JTP Çözümü Verilenler: P (X,Y ), P (X,Y ), Ġstenenler: S,, JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM 0 P s

99 Merdiyen Sisteminde Kplı küresel Formüllerle Jeodezik Temel Problem Çözümü Kosinüs ve kotenjnt formülleri. JTP Çözümü S Y S Y Y rcsin cos sin sin cos sin cos X X rctn S Y Y cot cos sin sin S Y S cos sin tn sin rctn cos Kosinüs ve kotenjnt formülleri. JTP Çözümü Y Y Y Y X S rccossin sin cos cos cos X sin rctn ( ) Y sin X Y cos tn Y cos X sin rctn ( ) Y tn Y cos Y sin X cos Y 0 ise son iki formülde prntez içleri geçerlidir. π/ 'ler için Kotnjnt ; cos III cos II = sin III cot I sin II cot IV Kenr kosinüs; cos = cosb cosc + sinb sinc cos SAYISAL UYGULAMA - 8 JEODEZİ I A. KAYA & F. YILDIIM