DÝFERANSÝYEL QUADRATURE YAKLAÞIMI

Transkript

1 ÇOK SERBESTÝK DERECEÝ SÝSTEMERÝ ÝEER OMAYA TÝTREÞÝMÝ: GEEEÞTÝRÝMÝÞ DÝFERASÝYE QUADRATURE YAKAÞIMI Ömer CÝVK *, Hkmet Hüseyn ÇATA** Genelleþtrlmþ dferansyel quadrature metodu çok serbestlk derecel sstemlern lneer olmayan serbest ve zorlanmýþ ttreþm analzne uygulanmýþtýr. Çok serbestlk derecel ssteme at hareket denklem dferansyel quadrature metodu le, çözüm bölgesndek düðüm noktalarýnda blnmeyen fonksyon deðerler olarak tanýmlanmýþ br lneer denklem takýmýna ndrgenmþtr. Sstem dnamk yanýtý olarak; deplasmanlar hesaplanmýþtýr. Bulunan sonuçlar yapý dnamð açýsýndan yeter doðruluða ve hassasyete sahptr. Anahtar sözcükler : Çok serbestlk derecel sstem, lneer olmayan ttreþm, genelleþtrlmþ dferansyel quadrature Generalzed dfferental quadrature method s appled to the nonlnear free and forced vbraton analyss of the mult degree of freedom systems. The equaton of moton of the mult degree of freedom system s reduced to a lnear algebrac equaton n terms of the unknown functon values at the grd ponts n the feld doman va dfferental quadrature method. Dsplacements are found as the dynamc response of the system. It s found that the obtaned results are accurate and effcent n pont vew of the structural dynamc dscplnes. Keywords : Mult degree of freedom system, nonlnear vbraton, generalzed dfferental quadrature. * Yrd. Doç.Dr., Akdenz Ünverstes, Ýnþaat Müh. Böl., Mekank Ana Blm Dalý * Dokuz Eylül Ünverstes, Ýnþaat Müh. Böl., GÝRÝÞ Ülkemzde son yýlda meydana gelen þddetl depremler; deprem mühendslð ve dolayýsýyla yapý dnamð dsplnnn önemn br daha vurgulamýþtýr. Br baþka fadeyle blgnn ne kadar pahalý olduðu ve bunun hmal durumunda se bze ne kadar pahalýya patlayacaðýný çok y vurgulamýþtýr. Çaðdaþ deprem mühendslð; standartlarda sýnýrlarý belrtlen küçük veya orta þddetl depremlerde yapýlarýn elastk, daha yüksek þddetl depremlerde se elasto-plastk sýnýrlar çnde deformasyonlar yapmasýný öngörür []. Yan, orta þddetl büyüklükte kabul edlecek br deprem çn herhang br ekonomk kayba neden olmadan veya hasar oluþmayacak þeklde yapýnýn yanýt vermes, bundan daha büyük depremlerde se yapýda geçc veya kalýcý çeþtl deformasyonlar oluþsa da yapý elemanlarýnýn gevrek ve an kýrýlmalar yapmamasý veya tamamýyla mekanzme durumuna geçmemes stenr. Bu amaçlara ulaþmak; yapýnýn tasarlanmasý, analz ve gerçekleþtrlmes süresnce pek çok faktöre baðlýdýr. Ancak, yapý sstemlernn analz kapsamýnda her zaman; daha hassas sonuçlara daha az blgsayar htyacý ve daha kýsa zaman kullanarak ulaþmak esastýr. Yan elde edlecek çözümün ekonomk olmasý stenr. Fzksel br sstemn matematk modelnn elde edlmes, mühendslk uygulamalarýndak lk aþamadýr. Bu denklem; sstemn sürekl ve ayrýk kabul çözümüne göre, kýsm veya ad türevl br dferansyel, br ntegral veya nadr olarak br lneer denklem sstem elde edlr. Gerek mühendslðn; akýþkanlar ve katý csmler mekanð, sürekl ortamlar mekanð gb uygulamalý alanlarýnda ve gerekse temel blmlerde karþýlaþýlan denklemler genelde lneer ya da nonlneer türde br kýsm dferansyel denklem olmakta ve problem netcede br sýnýr deðer veya baþlangýç deðer problemnn çözümüne ndrgenmektedr [,3]. Daha az düðüm noktasý kullanarak daha kýsa sürede sonuca ulaþma çabalarý netcesnde dferansyel quadrature metodu önerlmþtr. Metot; aðýrlýk katsayýlarýnýn hesaplanmasýndak güçlüklern gderlmes ve kullanýlan yaklaþým fonksyonlarýnýn bulunmasýndan sonra yaygýnlaþmýþ ve ancak 987 yýlýndan sonra yapý mekanð ve akýþkanlar mekanð problemlerne baþarýyla uygulanmýþtýr [4, 5, 6, 7, 8]. Günümüze kadar son on yýl çnde plak, kabuk ve krþlern statk, dnamk ve stablte hesabýnda baþarýyla kullanýlmýþ olup, dferansyel quadrature 47

2 elemanlar metodu, 99 yýlýnda genelleþtrlmþ dferansyel quadrature (GDQ) ve 995 yýlýnda harmonk dferansyel quadrature(hdq) metodu gb üç farklý versyonu önerlmþ olup aðýrlýk katsayýlarýnýn hesaplanmasý ve seçlen polnom fonksyonu açýsýndan ornal dferansyel quadrature'dan farklýlýk gösterr[9,,,, 3, 4, 5]. Bu çalýþmanýn amacý çok serbestlk derecel (ÇSD) olarak modellenen fzksel sstemlern dnamk analzn dare eden matematk modellernn uygun baþlangýç koþullarý le brlkte genelleþtrlmþ dferansyel quadrature metodu le çözmektr. DÝFERASÝYE QUADRATUR (DQ) METODU Dferansyel quadrature metodu; br fonksyonun verlen br ayrýk noktadak br uzay deðþkenne göre kýsm türev, o deðþken bölgesnn bütün ayrýk noktalarýndak fonksyon deðerlernn aðýrlýklý br lneer toplamý le fade edlr, þeklnde tanýmlanan düþünceye dayanýr. Yeter yaklaþýkta sonuçlar elde etmek çn daha az sayýda grd kullanan dferansyel quadrature metodu; fzk ve mühendslkte karþýlaþýlan baþlangýç deðer ve sýnýr deðer problemler çn farklý br yaklaþým ortaya koymuþtur. Dferansyel quadrature metodunun uygulanmasý sýrasýnda ortaya çýkan en öneml kavram aðýrlýk katsayýlarýnýn hesabýdýr. Bu amaçla test fonksyonu olarak çeþtl tpte polnomlar ve fonksyonlar önerlmþtr. Spektral yöntemlere benzer olarak çeþtl tptek orthogonal polnomlarýn (Chebyshev, agrange, egendre vb.) kullanýldýðý Genelleþtrlmþ Dferansyel Quadrature (GDQ), kuvvet fonksyonlarýnýn kullanýldýðý ornal Dferansyel Quadrature (DQ) veya son zamanlarda yapýlan bazý çalýþmalarda gördüðümüz harmonk fonksyonlarýn kullanýlmasýný öneren Harmonk Dferansyel Quadrature (HDQ) metotlarý lteratürde blnen ve kullanýlan yöntemlerdr. Kuvvet polnomlarýnýn kullanýlmasý le tek boyutlu br y (x) fonksyonun brnc türevn x (,,...,) noktalarýnda ayrýk nokta çn göz önüne alýrsak.nc ayrýk nokta çn brnc türev ø ø x (x) x x a ø (x );,,..., () x olacaktýr. Burada x deðþken bölgesndek ayrýk noktalarý, Y(x) bu noktalardak fonksyon deðerlern, ve a brnc dereceden türev çn bu deðerler fonksyon deðerlerne baðlayan aðýrlýk katsayýlarýný fade eder. Kuvvet polnomlarý kullanýmýnda () denklem tam olarak alýndýðýnda, test fonksyonu olarak (-) veya daha küçük dereceden seçlen polnom fonksyonu çn; Y k(x) x k-, k,,..., () verlen denklem ()'de yerne yazýlýrsa aþaðýda belrtldð formda br lneer denklem takýmý verr. k k ( ) k x a x (3),,..., ve k,,..., çn Benzer þlemler k ve daha fazla dereceden türev fadeler çn de yazýlablr. Böylece, her br dereceden türev çn aðýrlýk fadeler brnc dereceden türev fadesnden farklý olmaktadýr. Ýknc dereceden türev çn metot ø xx ( ) ); x x ø x b ø (x,,..., (4) x olarak verlr. Burada b knc dereceden türev çn aðýrlýk katsayýsýdýr. Denklem (4) brnc dereceden aðýrlýk katsayýlarý cnsnden Ψxx x Ψ A Ak (x x k x x,,..., (5) k ( ) Ψ ) olarak yazýlýr. Denklem () le verlen polnom fonksyon uygulanýrsa knc dereceden türev fades k k ( )( k ) k 3 x B x (6) olmaktadýr. Bu denklem yukarýda verlen (3) denklemne benzer yaklaþýmla çözülür. Eðer spesfk yan özel olarak hesap yapýlmak stenen br nokta var se bu noktaya göre düzenlenmþ eþt olmayan aralýklý grd nokta seçm de benzer olarak yapýlýr. 48

3 GEEEÞTÝRÝMÝÞ DÝFERASÝYE QUADRATURE (GDQ) Ýlk önerlen dferansyel quadrature yaklaþýmýnda aðýrlýk katsayýlarýnýn hesaplanmasýnda çeþtl güçlükler ortaya çýkmaktadýr. Brnc yöntemde elde edlen denklemn katsayýlar matrs Vandermonde sstem olduðundan determnantýnýn hesabýnda güçlük çýkar ve denklemn çözümü tekldr. Özellkle grd sayýsý arttýkça sonuçlarýn hassasyet azalablmektedr. grd sayýsý den büyük olduðu durumlarda sonuçlarýn güvenrllð azalmaktadýr. Bunlara laveten, her br þlem adýmýnda x denklem takýmýný çözme zorunluluðu vardýr. Ýknc yaklaþýmda se farklý sýnýr þartlarý ve geometr çn metodun uygulanablrlð azalmaktadýr. Yan; gerek, daha az sayýda grd noktasý seçlerek her þlem adýmýnda br lneer denklem takýmý çözmey gerektren brnc yöntemde gerekse de düðüm noktalarýnýn daðýlýmýný kýsýtlayan egendre yaklaþýmýnda metodun uygulanablrlð açýsýndan çeþtl güçlükler vardýr. Dolayýsýyla; hem bu güçlükler gdermek açýsýndan hem de metodun kullaným alaný ve uygulanablrlðn kolaylaþtýrmaya yönelk çabalar sonucunda k ayrý grup tarafýndan baðýmsýz olarak metot gelþtrlerek aðýrlýk katsayýlarýnýn hesabý farklý grd noktalarý ve yüksek dereceden türevler çn uygun br formda elde edleblmþ ve genelleþtrlmþ dferansyel quadrature metodu ortaya çýkmýþtýr. Shu ve Rchards [5] aðýrlýk katsayýlarý çn herhang br tekllðe neden olmayan ve büyük sayýda lneer denklem takýmý çözümü gerektrmeyen analtk fadeler önermþlerdr. Bu metotta brnc ve knc dereceden türevler çn; (r ) A (r) A r [ (r ) () A A ]; x x,,,..., x, ¹; ve r,3,..., x- () (s ) A (s) B s[ (s ) () B B ]; y y,,,...,y, ¹; ve s,3,..., y- çn () (r) x A ;,,..., x ve, (3) r,,..., x A (r) y (s) (s) B B ;,,..., y ve r,,..., y, (4) Ünform grd noktalarý çn denklem (7) ve (8) le verlen aþaðýdak forma ndrgenr. + A ( ) Äx ( )! ( )! ( )(! )( )!,,,...,, ¹ (5) + ( )(! M )! B ( ) Äy( )(! )( M )!,,,...,M ¹ (6) Burada Dx x -x - ve Dy y -y -. Bütün grd noktalarýndak fonksyon deðerler hesaplanýnca herhang br noktadak türev yaklaþýmlarý Ψ(x, y ) x Ψ(x, y )á (x) (7) A () M() (x) ;,,,..., x, ¹¹ (x x ) () (7) M (x ) y Ψ( x, y) Ψ(x, y )â (y) (8) () (y ) () P B ;,,,...,, y ¹¹ (y y ) () P (y ) (8) x Ψ(x, y) y Ψ(x, y ) á (x) â (y) (9) Burada x () M (x) (x x ),, y () P (y ) (y y), (9,) Burada á (x) ve â (y) deðerler sýrasýyla x ve y doðrultularýndak agran enterpolasyon polnom fonksyonlarýdýr. Dferansyel quadrature metodunda 49

4 çözümün hassasyet bazý problem türlernde sýnýr koþullarýna baðlý olsa da (sýnýr deðer problemlernde) genelde bu hassasyet düðüm (grd) noktalarýnýn seçmne ve sayýsýna baðlýdýr. Düðüm noktalarý sonlu farklar metodunda teþkl edlen þebeke (network) seçm, veya sonlu elemanlar metodunda seçlen sonlu eleman að tp le hemen hemen benzerdr. Bu benzerlk yapýsal br benzerlk olmayýp fzksel sstem temsl eden matematk model çn çözümün bulunacaðý temel noktalar bazýndadýr. Daha önce yapýlan çalýþmalarda gösterlmþtr k; lneer türden denklemler ve homoen sýnýr koþullarýna sahp problemlerde eþt aralýklý seçlen düðüm noktalarý çözüm hassasyet açýsýndan yeterldr. Eþt aralýklý noktalar le þlem kýsmen kolay ve uygulamasý daha basttr, ancak eþt olmayan nokta aralýðý çn az da olsa sonuçlarýn hassaslýðý azalýp bazýlarýnda artar [6,7]. Düðüm noktalarýnýn seçmnde sýkça kullanýlan br yöntem her doðrultuda yan her br koordnat yönünde (zamana baðlý problemlerde zaman eksennde) eþt aralýklý seçlen grd daðýlýmý seçmektr. Bu tür grd [4,5]: x x ;,,... x () olarak verlr. ÇOK SERBESTÝK DERECEÝ SÝSTEMER Mühendslk yapýlarýnýn büyük br çoðunluðu kullaným süreler boyunca br veya daha fazla dnamk yüklemeye maruz kalýrlar. Yapýya etkyen kuvvetler en genel manada; peryodk ve peryodk olmayan kuvvetler veya determnstk ve keyf (random) kuvvetler olarak dört farklý grupla sýnýflandýrýlablr. Yapýlarýn serbest veya zorlanmýþ ttreþm etkler altýnda dnamk analz, deprem mühendslð ve yapý dnamð dsplnnn temel kavramlarýndan brdr. Depreme dayanýklý yapý tasarýmý; ttreþm frekanslarý, mod ve karþý gelen mukabele spektrumlarý gb parametreler le lglenr. Dnamk yükler etksndek yapýlarýn analz ve dzayný zamana baðlý deðþen kuvvetlern dkkate alýnmasýný gerektrr. Kuvvetler zamana baðlý olup, yapýnýn karakterstkler ve davranýþý önemldr. Rüzgar, deprem, darbe, patlama kuvvetler, endüstryel yapýlarda makna ve motorlarýn oluþturduðu ttreþm kuvvetler, fabrka krenlernde oluþan ttreþmlern yapýya etkler veya uçak-uzay sanaynde kullanýlan gövde ve kanat gb elemanlarýn maruz olduðu aero-dnamk yüklern oluþturduðu etkler örnek olarak verleblr. Etkyen kuvvetlern sabt br deðer yoktur. Yan yükler zamanýn br fonksyonu þeklnde fade edlrler. Böylece yapý kütlesne etkyen kuvvetlerde zamanla deðþeceðnden yapýnýn yanýtýnýn deðþmesne neden olacaktýr. Statk çözümlemede tek br sonuç olduðu halde, dnamk analz netcesnde elde edlen çözüm zamana baðlý br fonksyon þeklnde olup, br çözüm kümes þeklndedr. Bu çözüm kümesnn veya fonksyonun ekstrem deðerler çözüm olarak alýnýr. Bunlardan baþka ve en önemls, statk çözümlemede yer deðþtrmelere karþýlýk dnamk analzde atalet kuvvetler oluþur. Sonsuz serbestlk derecel sstemlernn çözümünde çeþtl matematk güçlükler ortaya çýkmakta buna karþýn süreksz ortam problemlernn çözümünde gerekl olan hesaplayýcý kapastes ve hesap süres artmaktadýr. Tek serbestlk derecel br sstemde kütlenn tek br noktada toplandýðý kabulü matematk modelleme yapýlablmektedr. Çoðu mühendslk sstemnde bu yaklaþým mühendslk analz açýsýndan yeter hassasyette sayýsal sonuçlar verr. Bazý durumlarda, örneðn br kesme çerçevesnde veya deprem etksndek br yapýda her kata gelen kuvvetlern, her katýn rölatf deplasmanlarý veya ttreþm frekanslarýnýn bulunmasý gerekeblr. Bu gb durumlarda sstem uygun br þeklde ve yeter sayýda ayrýk ssteme ayrýlarak analz yoluna gdlr. Böylece, sstemn hareket sadece br tek koordnat doðrultusu le fade edlemez. Sonuç olarak sstem; kütle, sönüm, rtlk termler açýsýndan deplasman sayýsý dkkate alýnarak matrs formda yazýlýr. Bu amaçla Þekl 'de görülen çerçevey dkkate alalým. 5

5 F 3 (t) Kütle Sönüm Rtlk F (t) m 3 c 3 k 3 F (t) m c k m c k Þekl. (a) Çok Serbestlk Derecel Örnek Br Sstem u u u3 k k k 3 F (t) F (t) F 3 (t) c m c m c 3 m 3 Þekl. (b) Kütle-Yay- Sönüm Elemaný Olarak Matematk Model Her br kütle çn hareketn denge denklemnden ( + )& + ( + ) (t) m && u+ c c u cu& k k u ku F m&& u c u& + c u k3u3 F(t) ( + )& & + ( + ) c3 u c3u3 k u k k3 m3 && u3 c3u& + c3u& 3 k3u + k3u3 F3(t) elde edlr. Bu denklemler kapalý matrs formda [ M ]{U& } + [C]{U& } + [K]{U } {F(t) } () olarak yazýlýr. Burada kütle, sönüm ve rtlk matrsler; olarak tanýmlar. Ayrýca deplasman, hýz, vme ve kuvvet vektörler sýrasýyla U { } { } U { } U U U, U& U&, U&& U&& U3 ve { F(t) } F F F3 & U & 3 && U && 3 þeklnde verlr. Serbest ttreþm durumunda hareket denklem m c+ c [M] m ; [C] c m3 c c + c3 c3 c3 c3 du du [M] + [C] + [K]u F(t) d t () dt olarak verlr. Bu denklemde [M], kütle, [C] sönüm ve k+ k [K] k k k + k3 k3 k3 k3 [K] rtlk matrslern, u deplasman vektörünü belrtr. Denklem t t / Dt çn boyutsuzlaþtýrýlarak tekrar düzenlenrse 5

6 du du [M] + [C] + [K]u F( τ t) ( t) d τ t dτ (3) fades elde edlr. Burada t Ì [, Dt]. Dferansyel quadrature formunda denklem [3]; [ M] Bu + [C] Au + [K]u F( t) ( t) t τ (4) olarak yazýlýr. Denklemde A ve B fadeler br öncek bölümde hesaplanmasý verlen dferansyel quadrature yöntem çn gerekl brnc ve knc mertebeden aðýrlýk katsayýlarýdýr. Böylece her br zaman adýmý çn blnmeyen deplasmanlar hesaplanýr. neer Olmayan Dnamk Analz Herhang br sstemde, malzemenn yük-deformasyon eðrs tek deðerl ve daha önce oluþan hareketten etklenmyorsa esnek davranýþ, ters duruma se esnek olmayan davranýþ denlr. Bununla brlkte yapýnýn esnek olmasý ayný zamanda yapýnýn doðrusal davranmasýný gerektrmez. Esneklk sýnýrlarý üzernde deformasyona uðrayan brçok yapý elemaný doðrusal olmayan davranýþ göstereblr ve ç sürtünmeler, plastk kaymalar neden le sahp olduðu mekank enernn br kýsmýný kaybeder. Bu olaya hsteress, bu gb elemanlardan oluþan esnek olmayan sstemlere se hsterestk sstemler denr. Betonarme ve çelk yapý elemanlarýnýn çoðunda deformasyonlar belrl br deðer aþýnca doðrusal olmayan hsterestk davranýþ oluþur. Dnamk sstemlern lneer analznde; yay eleman le kazanýlan yük, deplasman le, vskoz sönümleme mekanzmasý vasýtasýyla sönümlenen enernn, hýz le orantýlý olduðu kabul edlmþ d. Bu modelde kütle zaman le deðþmez özellktedr. Böylece sstemn hareket denklem knc mertebeden sabt katsayýlý lneer br dferansyel denklem olur. Bununla brlkte; yapýnýn dnamk karakterstklernn lneer durumda olduðu gb hemen fade edlmes mümkün olmayan bazý fzksel durumlarda vardýr. Böyle sstemlern analz; yay kuvvetnn deplasman veya sönüm kuvvetnn hýz le orantýlý olarak deðþmedð br model le tanýmlanýr. Sonuç olarak hareket denklem lneer olmayan br denklem olur ve çözümü braz daha karmaþýk olup bazý sayýsal þlemler ve yöntemler le yapýlýr. Bu yöntemler arasýnda en fazla blnen adým adým ntegrasyon veya terasyon metotlardýr. Bu yöntemler çnde blnen ve en fazla kullanýlanlar; matrs terasyonuna dayalý Stodola-Vanello, transfer matrs olarak da blnen Holzer, Raylegh, ewmark-b, Wlson-q, Adams-Stormer metodu, Hlber- a metodu, merkez farklar, sonlu elemanlar, Houbolt, sayýsal ntegrasyona dayalý; trapez kuralý, sabt vme ve ortalama vme yöntemler verleblr. neer olmayan analzde sstemn rtlð sabt olmaz. Bu durumda (4) denklem [ M] Bu + [C] Au + F(s) F( t) ( t) t τ (5) olarak fade edlr. Burada F(s) her br adýmda rtlk deðþmne baðlý olarak hesaplanacak lneer olmayan yay kuvvetdr. Hareketn lneer olmayan denklemnn mümkün br çözümü çn pek çok metot vardýr. Bunlar arasýnda en etkl olan yöntem adým adým ntegrasyondur. Bu metotta, mukabele Dt gb br zaman artýmýyla ve genellkle eþt aralýklý olarak elde edlr. Her br aralýk baþýnda dnamk denge þartý kurulur. Sonra Dt zaman artýmý çn mukabele yaklaþýk olarak elde edlr. Ancak bu þlem süresnce k ve c deðerlernn Dt aralýðý süresnce sabt kaldýðý kabul edlr. Bu katsayýlarýn lneer deðþmemes nedenyle her br zaman artýmýnýn baþýnda yenden oluþturularak þleme devam edlr. Böylece mukabele, her br zaman aralýðý sonunda hesaplanan deplasman ve hýz deðerlernn br sonrak adým çn baþlangýç koþulu olarak alýnmasý le elde edlr. Rtlk katsayýsý ve sönüm katsayýsý deðerler lk adýmda hesaplanýr ve br sonrak zaman artýmýna kadar sabt kaldýðý kabul edlr. Böylece lneer olmayan br sstem ardýþýk lneer sstemlern davranýþýna ndrgenr. Herhang br yapý sstemde plastk akmaya yan plastk bölgede deformasyona müsaade edlrse tekrar kazanýlan kuvvet Þekl ' de gösterldð gb olur [9]. Bu eðrde lneer elastk davranýþýn olduðu br bölge ve daha büyük 5

7 Kazanýlan kuvvet Elastk yükleme plastk Elastk boºaltma Doðrusal olmayan br sstem doðrusal ssteme göre daha yumuþaktýr ve bu nedenle görünür frekansý daha düþüktür. Yne doðrusal olmayan sstemde hsteress varsa sstemn ttreþm enersnn br kýsmýný bu hsteress nedenyle kaybeder. UYGUAMA plastk Þekl. Gerçek Plastk Davranýþ Deplasman þekl deðþtrmeler çn plastk akma bölges oluþur. Yapý yüklenmedð zaman, lave ters yüklemenn oluþturduðu basýnç, plastk akma oluþuncaya kadar davranýþ tekrar elastk olur. Bu duruma karþý gelen kuvvet-deplasman eðrs Þekl 3'de [9] verlmþtr. Bu þeklde R t ve R c çekme ve basýnçdak kuvvet, u t ve u c se bunlara karþýlýk gelen deplasmanlarý gösterr [9]. Malzeme ve/veya geometrk bakýmdan lneer olmayan br sstemn davranýþý eþdeðer br doðrusal yan davranýþý lneer olan sstemden þu bakýmlardan farklýdýr. Örnek : Yukarýda anlatýlan yöntemn yeterllðn göstermek amacýyla üç serbestlk derecel br sstemn zorlanmýþ ttreþmn dkkate alalým. Ssteme at kütle, sönüm ve rtlk matrsler le kütlelere etkyen yük vektörü sýrasýyla; [ M].6 C ; ; [ ] [ K ] { F(t) }. sn t t ve { F (t)} ; t >.. 9π þeklnde tanýmlýdýr. Ssteme at baþlangýç koþullarý ( ) u () u () ve ( ) () u () u& u& & 3 u 3 ; Kuvvet ( R ) Çözüm netcesnde elde edlen deplasmanlar lk 7 sanye ve her br kütle çn Þekl 4, 5 ve 6'da Shahruz RRt t plastk T GDQ Shahruz,999 plastk E C u c R c E u t E Deplasman (u) u max Deplasman,5,4,3,, -, -, -,3 -,4 -,5 u() Zaman(t) Þekl 3. Elasto-Plastk Yükleme Boþaltma Dyagramý Model Þekl 4. Brnc Deplasman Doðrultusunda Elde Edlen Sonuçlarýn Karþýlaþtýrýlmasý 53

8 GDQ Shahruz,999 ve ords tarafýndan [8] verlen sonuçlar le brlkte verlmþtr. Deplasman Deplasman,5,4,3,, -, -, -,3 -,4 -,5,5,4,3,, -, -, -,3 -,4 -,5 GDQ u() Zaman(t) Þekl 5. Ýknc Deplasman Doðrultusunda Elde Edlen Sonuçlarýn Karþýlaþtýrýlmasý u(3) Zaman(t) Shahruz,999 Þekl 6. Üçüncü Deplasman Doðrultusunda Elde Edlen Sonuçlarýn Karþýlaþtýrýlmasý Örnek : Üç katlý ve tek açýklýklý çerçeveye her br kat hzasýnda aþaðýda verlen (Þekl 7) üçgen yükler etkmektedr. Sstem parametreler; k k k 3 5 Kg /cm ve kütleler sýrasýyla m m m3 m.3886 Kg / sn cm. Hesaplanan deplasman deðerler Þekl 8'de karþýlaþtýrmalý olarak verlmþtr. Örnek 3: Aþaðýda verlen gergl sstemn gerglerne(halat) at malzeme gerlme-þekl deðþtrme baðýntýsý nonlneerdr. Çerçeve geometr ve gerglerne at gerlme-þekl deðþtrme baðýntýlarý aþaðýdadýr. Ýþlemler Dt.5 ve t 3. sn çn yapýlacaktýr. Sstem kütle, rtlk ve sönüm matrsler le baþlangýç koþullarý aþaðýda özetlenmþtr. Kütle matrs M Baþlangýç rtlk matrs K è F 3 m F (t) [Kg] F m u 3 3 F m u u t [sn]. Þekl 7. Üç Katlý Çerçeve Sstem ve Etkyen Yükler 54

9 u(cm) u-(paz-998) u-(hdq) u-(paz-998) u-(hdq) u-3(paz-998) u-3(hdq) t Þekl 8. Üç Katlý-Tek Açýklýklý Kat Çerçevesnn Sönümsüz Zorlanmýþ Ttreþm u E, A σ h h E, A u σ y E α E E ε m m kg*sn /cm A A.5 cm E 375 kg / cm E 75 kg / cm σ y 75 kg /cm ε y. 4 cm h 3 cm α. ε y Þekl 9. Ýk Katlý Gergl Çerçeve ve onlneer Gerlme-Þekl Deðþtrme Eðrs Brnc baðlantýda (halatta) akma baþlayýnca K Ýknc baðlantýda (halatta) akma baþlayýnca K ( +α) K ( + α) K α α α 55

10 Her k baðlantýda (halatta) akma baþlayýnca K α K α Sönüm matrs C Baþlangýç koþullarý u() u() ve α 4 α è u& () 3 u& () 5 olarak verlmþtr. Hesaplanan deplasman deðerler Þekl 'da verlmþtr GDQ-u,5,5,75,5,5,75,5,5,75 3 SOUÇ GDQ-u Þekl. Ýk Katlý Gergl Çerçevenn Sstemn Sönümlü neer Olmayan Serbest Ttreþm ( ve.kat Hzasýndak Deplasmanlarý) Çalýþmada GDQ metodu çok serbestlk derecel sstemlern lneer ve lneer olmayan ttreþm hesabýna uygulanmýþtýr. GDQ metodu aðýrlýk katsayýlarýnýn hesabýnda herhang br tekllk doðurmamakta ve daha az düðüm nokta sayýsý le daha hassas sonuçlar vermektedr. DQ metodu se daha doðru sonuçlar çn daha fazla sayýda düðüm noktasýna htyaç duymakta, ancak daha çok düðüm sayýsý kullanýlýnca hesap süres artmaktadýr. GDQ metodu le aðýrlýk katsayýlarýnýn hesabý cebrk br formülasyon le yapýlablmektedr. Sonuçlarýn yaklaþýklýðý, gerektrdð hesaplayýcý kapastes ve uygulama alanýnýn çeþtlð dkkate alýnýnca DQ metotlarýnýn farklý geometr ve malzeme özellklerne sahp yapýlarýn dnamk hesabýnda kullanýlacak etkl br metot olacaðý ve bu þlemlern lneer olmayan analz çnde gelþtrlebleceð söyleneblr. TEÞEKKÜR Yazarlar; uyarýlarý ve düzeltmeleryle yazýnýn mevcut durumuna gelmesnde büyük katkýlarý olan deðerl Hakemlere teþekkür eder. Brnc yazar Akdenz Ünverstesnn madd katkýlarý çn teþekkür eder. KAYAKÇA. Chopra, A.K., Dynamcs of Structures, Theory and Applcatons to Earthquake Engneerng, Prentce- Hall, ew Jersy,995.. Cela, M.A., Gray, W.G., umercal Methods For Dfferental Equatons, Fundamental Concepts For Scentfc And Engneerng Applcatons, Prentce Hall, ew Jersey, Crandall, S.H., Engneerng Analyss, A Survey of umercal Procedures, McGraw-Hll, Book Company, ew York, Du H, m MK, n, RM. Applcaton of Generalzed Dfferental Quadrature Method to Structural Problems. Internatonal Journal for umercal Methods n Engneerng 994; 37: Shu C, Rchards BE. Applcaton of Generalzed Dfferental Quadrature to Solve Two- Dmensonal Incompressble aver -Stokes equatons. Internatonal Journal for umercal Methods n Fluds 99;5: Cvalek, Ö., Çok Serbestlk Derecel Sstemlern Harmonk Dferansyel Quadrature (HDQ) Metodu le neer ve neer Olmayan Dnamk Analz, Doktora Tez, Dokuz Eylül Ünverstes, Fen Blmler Ensttüsü, Ýzmr, Cvalek, Ö., Applcaton of Dfferental Quadrature (DQ) and 56

11 Harmonc Dfferental Quadrature (HDQ) for Bucklng Analyss of Thn Isotropc Plates and Elastc Columns, Engneerng Structures, An Internatonal Journal, 6(), 7-86,4. 8. Cvalek, Ö., Ülker, M., Harmonc Dfferental Quadrature (HDQ) For Axsymmetrc Bendng Analyss Of Thn Isotropc Crcular Plates, Internatonal Journal of Structural Engneerng and Mechancs, Vol. 7(), -4, Cvalek, Ö., Çatal, H.H., Plaklarýn Dferansyel Quadrature Metodu le Stablte ve Ttreþm Analz, IMO Teknk Derg, 3; Vol. 4 (), Cvalek, Ö., Çatal, H.H., Dktörtgen ve Kare Plaklarýn Dferansyel Quadrature Metodu le Statk Hesabý., Dokuz Eylül Ünverstes Fen ve Mühendslk Dergs,3(Baskýda).. Cvalek, Ö., Çatal, H.H., near Statc And Vbraton Analyss Of Crcular And Annular Plates By The Harmonc Dfferental Quadrature (HDQ) Method, Osmangaz Ünverstes, Mühendslk ve Mmarlýk Fakültes Dergs,Vol.6(),45-76, 3.. Cvalek, Ö., Dferansyel Quadrature Metodu Ýle Elastk Çubuklarýn Statk, Dnamk ve Burkulma Analz, XVI Mühendslk Teknk Kongres, Kasým, ODTU, Ankara,. 3. Cvalek, Ö., Çatal, H.H., Dferansyel Quadrature Yöntemleryle Yapýlarýn Karþýlaþtýrmalý Dnamk Analz, Beþnc Ulusal Deprem Mühendslð Konferansý, 6-3 Mayýs 3, Bldr no : AT-33, Ý.T.Ü., Ýstanbul. 4. Cvalek, Ö., Çatal,H.H., Br ve Ýk Boyutlu Yapýlarýn Genelleþtrlmþ Dferansyel Quadrature Yöntemyle Dnamk Analz, Türkye Ýnþaat Mühendsler Odasý, Mühendslk Haberler, Sayý 47, s.39-46,. 5. Cvalek, Ö., Çatal, H.H., Stablty and Vbraton Analyss Of Plates By Dfferental Quadrature Method, Turksh Chamber of Cvl Engneerngs, Dgest, 4, December, Cvalek, Ö., Three Dfferent Type Dfferental Quadrature Methods (DQM) For near Bucklng Analyss Of Unform Elastc Columns, Techncal Journal of Yýldýz Technque Unversty, 4,5-59, Cvalek, Ö., Dferansyel Quadrature Metodlarý ve Mühendslk Alanýndak Uygulama Potansyel, Yapý Dünyasý, Þubat, Sayý:95,37-4,4. 8. Shahruz, S.M, ords, T.R.C, Upper Bounds on Responses of near Systems Under Transent oads, J.of Sound and Vbraton, 999; 7(4), Paz, M., Structural dynamcs, theory and computaton, Champman & Hall.,997. ODA DERGÝERÝ 4 YII ABOE FORMU Adý-Soyadý :... Meslek :... Ýþyer Adý :... Adres ve Posta Kodu : Telefon :... e-posta :... Kayýtlý Olduðunuz ODA :... Oda Scl o :... ÝSTEÝE DERGÝ Derg Yýllýk Abone Bedel [ ] Mühends ve Makna [ ] Endüstr Mühendslð [ ] Tessat Mühendslð Tek Derg Bedelsz Mühends ve Makna Endüstr Mühendslð Tessat Mühendslð Ödenen Mktar :... Ödeme Þekl :... Gereðn blglernze sunarým. Tarh... /... / 4 Ýmza o.lu Posta Çek hesabýna, fotokopsyle beraber br dlekçe Ýþ Bankasý Yenþehr/AK. Þb Hs. Banka dekontu le beraber br dlekçe 57