1. KÜMELER 2. ELEMAN

1. KÜMELER Kümenin matematiksel tanımı oldukça karmaşık olduğu için bu aşamada verilmeyecektir. Şimdilik bir küme, ne oldukları tam olarak belirlenmiş nesnelerin oluşturduğu [1] [2] [3] bir topluluk olarak düşünülebilir. Ödev 1.1 Zermelo-Fraenkel Aksiyomları ne demektir?, bunlar genel olarak ne işe yarar? Kısaca araştırın. 2. ELEMAN Bir kümenin içerisinde oldukları varsayılan şey lere, o kümenin elemanları denir. [4] x bir A kümesinin elemanı ise x A yazılır. Eğer x, A nın elemanı değilse x / A yazılır. 3. VENN DİYAGRAMI Venn diyagramı (veya Venn şeması), formal yapıda olmamakla birlikte, kümelerin [5] [6] elemanlarını göstermek için sıklıkla kullanılan pratik bir araçtır. Bir kümeyi Venn diyagramıyla göstermek için o kümeyi temsilen bir kapalı alan çizilir ve elemanlar, yanlarına birer nokta konarak bu alanın içine yazılır. Örnek 3.1 Aşağıdaki Venn diyagramı A ve B gibi iki kümeyi göstermek için çizilmiştir. Bu diyagrama bakıldığında, a ve c nin A nın elemanları, b, c ve d nin B nin elemanları olduğu anlaşılmaktadır. c her iki kümenin de elemanıdır. e ise bu iki kümeden hiçbirinin elemanı değildir. [1] Kümeleri 1874 yılında Georg Cantor tanımladı. [2] Bazı kaynaklarda küme yerine cümle sözcüğü kullanılır. [3] Günümüzde küme, belki de en önemli matematiksel kavramdır. Karşımıza çıkabilecek hemen hemen her matematiksel nesne özel bir küme olarak düşünülebilir. Örneğin sayılar, bağıntılar, fonksiyonlar, işlemler, sıralı ikililer, diziler, matrisler, türev operatörü, bir fonksiyonun grafiği, hatta küme teorisi gereği bir kümenin elemanları dahi aslında birer kümeye karşılık gelmektedir. Küme cinsinden olmayan kavramlara ise oldukça az rastlanır, bunların tipik örnekleri matematiksel mantığa ilişkin bazı temel kavramlar, eşittir (=) ve elemanıdır ( ) gibi kümenin tanımlanmasında kullanılan temel semboller ve kategori gibi kümelerin erişemeyeceği büyüklükteki yapılardır. [4] Eleman yerine öğe ya da öge de denmektedir. [5] Venn diyagramının formal bir araç olmadığı ifadesi, Venn diyagramının matematiksel mantığın ilkeleri kullanılarak teorik anlamda kesin ve net sınırlarla tanımlanmadığı, başka bir deyişle sezgisel bir araç olduğu anlamına gelmektedir. [6] Venn diyagramını ilk olarak 1880 yılında John Venn kullandı. Soyut Matematik (utku gürdal) 1 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

4. { } (KÜME PARANTEZLERİ) Kümeler, elemanlarıyla birlikte açık şekilde yazılmak istendiğinde, elemanlar { ve } parantezlerinin arasına yazılır ve (normal şartlarda) virgül ile ayrılırlar. Örnek 4.1 Yukarıda Venn şeması ile verilen A kümesi A = {a, c} şeklinde yazılabilir. Kümeyi yazarken elemanların sırası önemli değildir. Bu yüzden A = {c, a} yazımı da doğrudur. Yine aynı şema esas alındığında yazılabileceği görülmektedir. B = {b, c, d} Kümeler yazılırken her elemanın yalnızca birer kez yazılması yeterlidir. Buna göre {a, a, c} şeklinde yazılan küme {a, c} kümesi ile aynıdır. Ancak bir kümeyi {a, a, c, c, a} gibi elemanları tekrarlı olarak yazmanın herhangi bir pratik yararı olmadığından, hatta bu tarz bir yazım karışıklığa neden olabileceğinden tekrarlı eleman yazımından kaçınılmalı, yani kümenin her bir elemanı yalnızca birer kez yazılmalıdır. Uyarı 4.2 Bir kümenin elemanları listelenirken başka parantezlerin değil, küme parantezlerinin kullanılması son derece önemlidir. Örneğin, yukarıdaki A kümesini {a, c} yerine (a, c) şeklinde yazmak hiçbir zaman yapılmaması gereken aşırı derecede ciddi bir notasyon (gösterim) hatasıdır. 5. ÖNERMELER Bir önerme ya doğru ya da yanlış olan, ancak aynı anda hem yanlış hem de doğru olmayan, kesin ve nesnel bir ifadedir. p bir önerme olsun. 6. DOĞRULUK DEĞERİ p doğru ise p nin doğruluk değeri 1 olur ve p 1 yazılır. Soyut Matematik (utku gürdal) 2 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

p yanlış ise p nin doğruluk değeri 0 olur ve p 0 yazılır. [7] Örnek 6.1 Venn diyagramı ile aşağıdaki kümelerin verildiğini kabul edelim. Bu durumda p : a A q : b B r : B / A şeklinde p, q ve r önermeleri ifade edilebilir. Burada p, q ve r den sonraki : (iki nokta) bir tanımlama yapıldığını göstermektedir. a A olduğu için p önermesi doğrudur. Böylece p 1 olur. b / A olduğundan, yani b A ifadesi doğru olmadığından q önermesi doğru değildir, yani q nun doğruluk değeri yanlıştır ve q 0 olur. B, A nın bir elemanı olmadığından B / A ifadesi doğrudur. (Büyük-küçük harf ayrımının önemli olduğuna, B ile b nin ayrı anlamlara geldiğine dikkat edelim). Bu nedenle r önermesi doğru, yani r 1 olur. 7. N (DOĞAL SAYILAR KÜMESİ) Matematiksel tanımı şimdilik verilmeyecek olmakla birlikte, doğal sayılar kümesini [8] [9] sezgisel olarak 0, 1, 2, 3, 4,... gibi sayıları içeren küme olarak düşünüebiliriz. [7] Bazı kaynaklarda 1 (doğru) doğruluk değeri D veya T ile gösterilir. 0 (yanlış) doğruluk değeri ise Y veya F ile gösterilir. [8] Doğal sayılar kümesini tanımlamak için bazı gelişmiş araçlar kullanmak gerekir. Bu nedenle bu kümenin matematiksel tanımı şimdilik verilemeyecek olsa da, ileride daha somut örnekler verebilmek için doğal sayılar kümesi ve daha sonra diğer sayı kümeleri sezgisel olarak tanıtılacaktır. [9] 0 ın bir doğal sayı olup olmadığıyla ilgili genel bir uzlaşma yoktur. Bazı kaynaklarda 0, N kümesinin elemanı iken, bazılarında değildir. İstisnaları çok olmakla birlikte, ABD de yazılmış veya analiz, uygulamalı matematik gibi alanlarla ilgili kaynaklar 0 ı doğal sayı saymama eğilimindeyken, Avrupa da yazılmış veya matematiğin temelleriyle ilgili olan kitaplarda 0 genelde bir doğal sayı olarak kabul edilmektedir. 2009 yılında yayınlanan ISO 80000-2 standardı 0 N olduğunu kabul etmiştir. Soyut Matematik (utku gürdal) 3 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

Doğal sayılar kümesi kendine özgü olan N veya N çift çizgili sembolleriyle gösterilir. Bu küme asla düz N harfiyle gösterilmemelidir. [10] N kümesi bütün doğal sayıları içerdiğinden tüm elemanlarını liste hâlinde yazmak mümkün değildir. Ancak bazen bu kümeyi ifade etmek için kısaca yazılmaktadır. [11] N = {0, 1, 2, 3,...} Doğal sayılar üzerinden örnekler verebilmek için önceki bilgilere dayalı olarak doğal sayılarda sıralama, yani < (küçüktür), > (büyüktür), (küçük veya eşittir, kısaca küçük-eşittir) ve (büyük-eşittir) simgelerinin anlamlarını, doğal sayılar üzerindeki dört işlemi, yani toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyi, doğal sayılar için üstel ifadeleri (kare, küp, 4. kuvvet,... ) ve köklü ifadeleri (karekök, küpkök, 4. dereceden kök,... ) ve asal sayı kavramını temel düzeyde bildiğimizi varsayıyoruz. [12] 8. DENK ÖNERMELER p ve q önermelerinin aldığı değerler aynı ise bu önermelerin birbirine denk oldukları söylenir ve p q yazılır. 9. (İSE) BAĞLACI İki önermeyi kullanarak yeni bir önerme oluşturan sembollere bağlaç denir. Bu şekilde oluşturulan önermelere de birleşik önerme denir. p ve q birer önerme ise p q birleşik önermesi p ise q şeklinde okunur. p ve q önermelerinin aldığı doğruluk değerlerine göre p q önermesinin alacağı doğruluk değeri aşağıdaki şekilde tanımlanır: 1 1 1 1 0 0 [10] Doğal sayılar kümesi kitaplarda geleneksel olarak N (kalın N) simgesiyle gösterilmekteydi. Benzer durum bazı diğer sayı kümeleri için de geçerliydi. Ancak el ile kalın harf yazmak zor olduğundan pratik bir çözüm olarak kalın harfler tahtada çift çizgili olarak yazılıyordu. 1965 yılından sonra bu çift çizgili harfler kitaplara da geçti. [11] N = {0, 1, 2, 3,...} formal bir gösterim değildir ancak pratik ve anlaşılır olduğu için oldukça sık kullanılmaktadır. Buradaki... (üç nokta) elbette kümenin bir elemanı değildir, listenin 4, 5, 6,... gibi sayılarla benzer şekilde sürekli olarak devam ettiğini gösteren bir semboldür. Bu gösterim N = {0, 1, 2, 3, 4,...} veya N = {0, 1, 2,...} gibi daha çok ya da daha az sayı kullanılarak başlatılabilir. Ancak sondaki noktalar mutlaka tam olarak 3 tane olmalıdır. [12] Eğer doğal sayılarda <, >, ve sembollerinin anlamı, dört işlem, temel düzeyde üslü ve köklü ifadeler ve asal sayılar hakkında eksikleriniz olduğunu düşünüyorsanız bunları acilen tamamlamanız gerekir. Soyut Matematik (utku gürdal) 4 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

şeklinde ifade edebiliriz. Böylece [13] 1 1 1 0 1 1 0 0 1 sembolü ters yönlü de yazılabilir. Bu durumda okun hangi önermeden çıkıp hangi önermeyi gösterdiği önemlidir, yani p q yazmak ile q p yazmak aynı sonucu verecektir. Bu denkliği p q q p olacağına dikkat edelim. 1 0 1 0 1 0 0 0 1 10. (GEREKTİRME) Eğer p q önermesi doğru ise, bu durum p q şeklinde gösterilir. Buna göre, p q olması demek aslında p q 1 olması demektir. [14] p q ifadesi p, q yu gerektirir diye okunur. (gerektirme) simgesinin anlamı (ise) bağlacından farklı olsa da, p q ifadesi bazen kısaca p ise q şeklinde de okunmaktadır. Örnek 10.1 2 N 3 N birleşik önermesini ele alalım. 2 doğal sayı olmadığından 2 N önermesi doğru değildir. Buradan 2 N 0 yazabiliriz. 3 bir doğal sayı olduğundan 3 N önermesi doğrudur ve 3 N 1 yazabiliriz. Böylece, 2 N 3 N 0 1 1 olur. Sonuç olarak 2 N 3 N 1 olduğundan 2 N 3 N yazabiliriz. [15] [13] simgesi önermelerle ilgili genel bir özdeşliği ifade ettiğinden (ise) bağlacına ve daha sonra bahsedilecek olan diğer bağlaçlarla işleme girmez. Diğer bir deyişle, p q q p gibi bir ifadeyle karşılaştığımızda, buradan p q önermesi ile q p önermesinin denk ( ) olduğunu anlarız, yani bu ifadeyi parantezlerle daha anlaşılır olarak göstermek istersek (p q) (q p) yazarız. Bu ifadeyi asla p (q q) p şeklinde düşünmeyiz. simgesinin her zaman solundaki bütün ifadelerin tamamı ile, sağındaki ifadelerin tamamının denk olduğunu gösterir. [14] (ise), iki önermeyi birbirine bağlayarak yeni bir önerme oluşturan bir bağlaçtır. Ancak (gerektirme) bir bağlaç değildir, aynen gibi önermeler arasındaki ilişkiyi ifade eden bir simgedir. [15] ve simgelerinin mantıksal ifadelerdeki ağırlıklarını unutmayalım. Örneğin burada, 3 N 1 ifadesini asla 3 (N 1) şeklinde yorumlayamayız (ki bu tamamen anlamsızdır). 3 N 1 yazarken Soyut Matematik (utku gürdal) 5 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

11. AÇIK ÖNERME A bir küme olsun. Eğer herhangi bir x A elemanı verildiğinde, bu elemana bağlı olarak p(x) ile gösterilen bir önerme varsa p ye A için bir açık önerme denir. Buna göre bir açık önerme, bir kümenin her elemanına uygulanarak o elemana özgü bir önerme veren hazır bir ifade kalıbıdır. Örnek 11.1 A = {a, b, c, d, e} olsun. A kümesi için p(x) : x bir sesli harftir şeklinde bir p açık önermesi verilebilir. p(x) gösterimi x bir sesli harftir ifadesindeki x in değişmeye açık olduğunu gösterir. p açık önermesi ve A kümesindeki 5 eleman kullanılarak 5 ayrı önerme elde edilebilir: p(a) : a bir sesli harftir p(b) : b bir sesli harftir p(c) : c bir sesli harftir p(d) : d bir sesli harftir p(e) : e bir sesli harftir Bu önermelerden p(a) ve p(e) doğrudur. p(b), p(c) ve p(d) ise yanlıştır. Buna göre bir açık önermenin doğruluk değeri, önermenin uygulandığı elemana göre değişiklik gösterebilir. Örnek 11.2 N kümesi üzerinde p(x) : x 1 den büyüktür açık önermesini ele alalım. İstersek bu açık önermeyi > (büyüktür) simgesini kullanarak p(x) : x > 1 şeklinde daha sembolik olarak da yazabiliriz. p, N üzerinde bir açık önerme olduğundan her doğal sayı için birer önerme verilmiş olmaktadır: p(0) : 0 > 1 p(1) : 1 > 1 p(2) : 2 > 1 p(3) : 3 > 1. Bu önermelerin doğruluk değerleri incelendiğinde p(0) 0, p(1) 0, p(2) 1, p(3) 1, p(4) 1,... olduğu görülmektedir. anlatılmak istenen (3 N) 1 olduğudur. Benzer şekilde 2 N 3 N yazılmasıyla anlatılmak istenen şey ( 2 N) (3 N) olduğudur. Soyut Matematik (utku gürdal) 6 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

Bir A kümesi için verilen p ve q açık önermelerinin denk olması, A kümesindeki bütün elemanlar için yani her x A için p(x) q(x) olması demektir. Bu durumda yine p q yazılır. Örnek 11.3 A = {2, 3, 4} olsun. A kümesi için p(x) : x < 4 q(x) : x asal sayıdır r(x) : x çift sayıdır ile verilen p, q ve r açık önermelerini ele alalım. Burada p(2) 1 p(3) 1 p(4) 0 q(2) 1 q(3) 1 q(4) 0 r(2) 1 r(3) 0 r(4) 1 olduğunu görmekteyiz. Buna göre, A daki bütün x elemanları için p(x) q(x) olduğundan p ile q denk açık önermeler olur ve p q yazabiliriz. Ancak, p(2) r(2) olmasına rağmen A nın diğer elemanları için p(x) ile r(x) denk olmadığından p ile r denk açık önermeler değildir. [16] Açık önermeler için (ise) bağlacı ve (gerektirme) durumu da önermelerdeki karşılıkları üzerinden tanımlanır. p ile q bir A kümesi için açık önermeler ise p q açık önermesinin doğruluk değeri A daki her x için p(x) q(x) önermesine eşit olacak şekilde tanımlanır. Bu ilgiyi (p q)(x) : p(x) q(x) şeklinde ifade edebiliriz. p q olması ise A daki her x için p(x) q(x) 1 olması demektir. Örnek 11.4 X = {0, 1, 2, 3} kümesi için p(x) : x 1 q(x) : x 2 = 3x ile verilen p ve q açık önermelerini ele alalım. Bu durumda p q açık önermesi şu şekilde verilebilir: (p q)(x) : x 1 x 2 = 3x Bu açık önermenin X kümesinin elemanları için doğruluk değerlerini bulalım. (p q)(0) : 0 1 0 2 = 3 0 1 1 1 (p q)(1) : 1 1 1 2 = 3 1 1 0 0 (p q)(2) : 2 1 2 2 = 3 2 0 0 1 [16] A = {2, 3, 4} kümesi için p, q ve r açık önermelerinin verildiği örnekte, p ve r açık önermeleri denk değildir, ama 2 elemanı için p(2) önermesi ile q(2) önermesi denktir. Buna göre, p ve r gibi iki açık önermenin denk olmaması, p(x) ile q(x) in bütün x ler için farklı oldukları anlamına gelmez, denkliğin sağlanmadığı yalnızca bir tane x bulunması bile yeterlidir. p q olmaması durumu bazen p q şeklinde de gösterilir. Soyut Matematik (utku gürdal) 7 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

(p q)(3) : 3 1 3 2 = 3 3 0 1 1 Görüldüğü gibi p q açık önermesi, 0, 2, 3 X elemanları için 1 doğruluk değerini almasına rağmen, 1 X için 0 doğruluk değerini almaktadır. p q açık önermesini yanlış yapan bir x X var olduğundan p q yazamayız. 12. AÇIK ÖNERMEYLE KÜME TANIMLAMA p, A kümesi için bir açık önerme ise, A kümesinin p(x) önermesini doğru yapan bütün elemanlarıyla yeni bir küme yazılabilir. Bu küme ya da ortada yerine : ile {x A p(x)} {x A : p(x)} şeklinde gösterilir. A kümesi üzerinde çalışıldığı belli iken, karışıklığa neden olmayacaksa A kısmı düşürülerek [17] {x p(x)} ya da yazım tarzları da kullanılır. [18] {x : p(x)} Örnek 12.1 A = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde daha önce incelediğimiz p(x) : x bir sesli harftir açık önermesini ele alalım. Bir açık önermenin ürettiği küme {x A p(x)} şeklinde yazılıyordu. Öyleyse burada p(x) i yerine koyarak bu kümeyi {x A x bir sesli harftir} şeklinde yazabiliriz. Oluşan bu küme, açık önermeyi doğru yapan bütün değerlerin kümesidir. p(a) 1, p(b) 0, p(c) 0, p(d) 0 ve p(e) 1 olduğunu biliyoruz. Böylece A kümesinde x bir sesli harftir önermesini doğru yapan elemanlar a ve e olur. Bu durumda elde edeceğimiz küme {a, e} [17] {x A p(x)} ve {x A : p(x)} şeklinde yazılan kümeler genelde x eleman A lardan oluşuyor öyle ki p(x) diye okunur. [18] Küme gösteriminde kullanılan ve : işaretleri tamamen aynı anlama gelir ve hemen hemen eşit sıklıkta kullanılır. Karışıklığa neden olabilecek durumlarda bir gösterim diğerine tercih edilebilir. Örneğin simgesinin aynı zamanda bölünebilme ile ilgili de bir anlamı vardır, bu yüzden 3 x (şimdilik anlamı önemli değil) açık önermesine karşılık gelen kümeyi {x 3 x} ile göstermektense, {x : 3 x} ile göstermek daha iyi durmaktadır. : simgesi ise aynı zamanda tanımlama yaparken ve fonksiyon yazarken kullanılır ve bu nedenle x : N N bir fonksiyondur açık önermesinin belirttiği kümeyi {x x : N N bir fonksiyondur} şeklinde yazmak, {x : x : N N bir fonksiyondur} şeklinde yazmaktan daha iyi gözükmektedir. Soyut Matematik (utku gürdal) 8 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

kümesidir, yani A = {a, b, c, d, e} için yazabiliriz. {x A x bir sesli harftir} = {a, e} Örnek 12.2 Daha önce N kümesi üzerinde incelediğimiz açık önermesinin ürettiği kümeyi, yani p(x) : x > 1 {x N x > 1} kümesini bulalım. Burada p(0) p(1) 0 ve geriye kalan bütün doğal sayılar için p(2) p(3) 1 olduğunu görmüştük. Öyleyse {x N x > 1} = {2, 3, 4, 5,...} yazabiliriz ve bu kümeyi 1 den büyük olan doğal sayıların kümesi şeklinde adlandırabiliriz. Örnek 12.3 {x N x 11} kümesini bulmayı deneyelim. Burada p(x) : x 11 açık önermesi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ve 11 doğal sayıları için doğru; 12, 13, 14,... gibi geriye kalan bütün doğal sayılar için yanlıştır. Böylece {x N x 11} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} olur. Bu tarz bir kümeyi daha pratik olarak {0, 1, 2,..., 11} şeklinde de gösterebiliriz ve bu kümeyi 11 den küçük-eşit olan doğal sayılar kümesi diye adlandırabiliriz. Örnek 12.4 {x N 4 + x = 11} kümesini yazmak istiyoruz. p(x) : 4 + x = 11 açık önermesini ele alırsak p(0) : 4 + 0 = 11, p(1) : 4 + 1 = 11,... gibi önermeler elde ederiz. Burada p(0) p(1) p(6) 0 ancak p(7) 1 ve yine p(8) p(9) 0 olduğunu görmekteyiz. Böylece {x N 4 + x = 11} = {7} olur, yani 4 ile toplamı 11 e eşit olan doğal sayıların kümesi yalnızca bir tek elemandan oluşan {7} kümesidir. [19] Örnek 12.5 Karesi kendisine eşit olan doğal sayıların kümesini sembolik olarak göstermek istersek bu kümeyi {x N x 2 = x} ile gösterebiliriz. x 2 = x önermesini doğru yapan x doğal sayılarının sadece 0 ve 1 olduğunu biliyorsak buluruz. {x N x 2 = x} = {0, 1} Örnek 12.6 Yarısı da bir doğal sayı olan doğal sayıların kümesini yazmak istersek, bir x sayısının yarısı x olduğundan bu kümeyi 2 {x N x } 2 N [19] {7} kümesi gibi, sadece tek bir elemandan oluşan bir kümeye tek nokta kümesi denir. Soyut Matematik (utku gürdal) 9 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

şeklinde yazabiliriz. x N açık önermesini doğru yapan x sayılarının 0, 2, 4, 6,... 2 olduğuna dikkat edelim. Böylece {x N x } 2 N = {0, 2, 4, 6, 8,...} olur. Bu küme, ikiye bölünebilen doğal sayıların, yani çift doğal sayıların kümesidir. Not 12.7 Yukarıdaki örnekte elde edilen çift doğal sayılar kümesi için özel bir gösterim de vardır. Bu küme 2N şeklinde gösterilir. Buna göre, 2N = {0, 2, 4, 6, 8,...} yazılabilir. Benzer şekilde, 2 den büyük olan her n doğal sayısı için de gösterimi kullanılır. Örneğin n = 3 için nn = {0, n, 2n, 3n, 4n,...} 3N = {0, 3, 6, 9,...} 3 e tam bölünen doğal sayıların kümesi iken, n = 4, 5,... için 4N = {0, 4, 8, 12,...} 5N = {0, 5, 10, 15,...} kümeleri de yazılabilir.. Ödev 12.8 {x N x 2 < 10} kümesinin elemanlarını belirleyin. Bu kümeyi sözel olarak nasıl ifade ederiz? [20] Ödev 12.9 { x N x 2 / N} kümesini sözel olarak ifade ederek elemanlarını belirleyin. Ödev 12.10 Üç katı (3 ile çarpımı) kendisine eşit olan doğal sayıların kümesini sembolik olarak gösterin ve bu kümeyi bulun. Ödev 12.11 3 eksiği bir doğal sayı olmayan doğal sayıların kümesini sembolik olarak göstererek bu kümeyi bulun. Önerme ile küme tanımlamanın biraz dolaylı ancak çok pratik bir yolu da şu şekildedir: f(x), x e bağlı olarak belirlenen bir elemanı göstersin (burada f bir önerme değildir, bir elemanı alıp yeni bir eleman veren bir kuraldır). Bu durumda veya {f(x) x A} {f(x) : x A} [20] Kümeyi sözel olarak ifade etmek x gibi bir değişkene atıfta bulunmadan o kümeden bahsetmektir, üçe tam bölünen doğal sayıların kümesi, asal sayıların kümesi, kendisiyle karesinin toplamı 100 den küçük olan doğal sayıların kümesi gibi... Soyut Matematik (utku gürdal) 10 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

ile gösterilen küme, A daki her bir x elemanı için f(x) elemanı yeni kümeye eklenerek [21] [22] bulunur. Örnek 12.12 {5x x N} kümesini bulurken, bütün x N elemanları yani bütün x doğal sayıları için 5x sayısını alarak, oluşacak yeni kümeye ekleriz. Buradan [23] 0 N = 5 0 = 0 {5x x N} 1 N = 5 1 = 5 {5x x N} 2 N = 5 2 = 10 {5x x N} 3 N = 5 3 = 15 {5x x N}. olması gerektiği görülür. Başka bir deyişle, 0, 5, 10, 15,... sayıları tek tek {2x x N} kümesinin içine düşerler. Buradan {5x x N} = {0, 5, 10, 15, 20,...} elde edilir. Bu kümenin 5N şeklinde gösterildiğini daha önce söylemiştik. Dolayısıyla yazabiliriz. {5x x N} = 5N Örnek 12.13 {x + 3 x N} kümesini bulmak istersek, her x N için x + 3 sayısını bulup bunları yeni bir kümeye yazarız. x = 0, 1, 2, 3,... için x + 3 ü sırasıyla 3, 4, 5, 6,... şeklinde buluruz, böylece olur. {x + 3 x N} = {3, 4, 5, 6, 7,...} Örnek 12.14 {x 2 x N} kümesini bulalım. N kümesinden alınan x = 0, 1, 2, 3,... sayıları için x 2 değerleri 0, 1, 4, 9,... şeklindedir. Buradan elde edilir. {x 2 x N} = {0, 1, 4, 9, 16,...} Örnek 12.15 {x + 1 x 2N} kümesini inceleyelim. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, önceki örneklerin aksine x in N den değil, 2N = {0, 2, 4, 6,...} kümesinden [21] f(x), x e bağlı olarak belirlenen bir elemanı göstersin ifadesindeki f aslında bir fonksiyondur. Ancak fonksiyon kavramı henüz verilmediği ve bu şekilde verilen kümeyi bulurken fonksiyon kavramını ileri düzeyde bilmek şart olmadığı için f bu şekilde nitelendirildi. İleride bu kümeye f in görüntü kümesi adını vereceğiz. [22] {f(x) x A} kümesi de aslında {x p(x)} tarzında bir kümedir. Buradaki p(x) önermesi p(x) : y A, y = f(x) şeklinde verilebilir ancak henüz niceleyicisi tanıtılmadığından şimdilik bu bilgi ihmâl edildi. [23] 0 N = 5 0 = 0 {5x x N} ifadesinde (gerektirme) simgesinin kullanım amacı, solundaki bilgiden sağındaki bilginin elde edilebildiğini, yani bir adımdan diğer bir adıma geçişin mümkün olduğunu göstermektir. Matematiksel çıkarımlarda bir adımdan başka bir adıma geçildiğini göstermek için, genelde bu iki adım arasına bir gerektirme işareti ( ) yazılır. Soyut Matematik (utku gürdal) 11 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

seçilmiş olmasıdır. {x + 1 x 2N} kümesini oluşturmak için, 2N kümesinden aldığımız x = 0, 2, 4, 6,... elemanlarına karşılık olarak x + 1 değerlerini yazarsak 1, 3, 5, 7,... sayılarını elde ederiz. Böylece bulunur. {x + 1 x 2N} = {1, 3, 5, 7, 9,...} Not 12.16 1 den büyük n doğal sayıları için nn = {0, n, 2n, 3n,...} gösterimini tanıtmıştık. Ayrıca m, 0 dan büyük bir doğal sayı ise ve N + m = {m, 1 + m, 2 + m, 3 + m,...} nn + m = {m, n + m, 2n + m, 3n + m,...} gösterimleri de kullanılır. Buna göre örneğin N + 3 = {3, 4, 5, 6, 7,...} 2N + 1 = {1, 3, 5, 7, 9,...} 10N + 9 = {9, 19, 29, 39,...} kümelerini yazabiliriz. Ancak {0, 1, 4, 9, 16,...} kümesi asla N 2 şeklinde yazılmaz, çünkü N 2 gösteriminin küme teorisinde başka bir anlamı vardır. Tam kareler kümesi olarak bilinen bu {0, 1, 4, 9,...} kümesi için herhangi bir standart gösterim tarzı yoktur. Ödev 12.17 15N + 10 kümesini açık şekilde yazın. [24] Ödev 12.18 {x + 1 x N} kümesini açık şekilde yazın. Ödev 12.19 {x 2 x 2N} kümesini bulun. Ödev 12.20 { x2 x 2 x N} kümesini yazın. (Aynı elemanın aynı kümeye birden fazla kez yazılmasına gerek olmadığına dikkat edin.) 13. TANIM Bilinen matematiksel kavramlardan yola çıkarak yeni bir kavram türeten bir ifadeye bir matematiksel tanım denir. [25] Örnek 13.1 Doğal sayılarda karekök kavramını bilen bir matematikçi Tanım: n N ise n e bir tam kare denir. [24] Ödevlerdeki bir kümeyi yazmak, açık şekilde yazmak, bulmak ifadeleri, kümeyi birkaç elemanını listeyerek yazmak, yani örneğin {0, 1, 4, 9, 16,...} şeklinde yazmak anlamında kullanılmıştır. [25] Teknik olarak hiç yeni tanım yapmadan da aynı matematiksel sonuçları elde etmek mümkündür. Ancak tanım yapmak kavramların daha kolay anlaşılmasını sağlar ve elde edilen çok derin sonuçların bile veciz bir şekilde ifade edilmesine olanak tanır. Soyut Matematik (utku gürdal) 12 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

şeklinde bir tanım verebilir. Bu tanım verildikten sonra tam karenin ne demek olduğu artık bilindiğinden bu kavram yeni sonuçların elde edilmesinde ya da daha sonraki tanımların içerisinde kullanılabilir. 14. TEOREM p ve q birer önerme olmak üzere p q şeklinde yazılabilen bir matematiksel hükme teorem adı verilir. Başka bir deyişle, matematiksel bir gerektirmeye bir teorem denir. [26] Örnek 14.1 Tam kare tanımı verildikten sonra, örneğin aşağıdaki gibi bir teorem verilebilir: Teorem: x bir tam kare ise 4x de bir tam karedir. Bu örnekte p açık önermesi p(x) : x bir tam karedir, q açık önermesi de q(x) : 4x bir tam karedir alınarak, teoremin p q şeklindeki yapısı görülebilir. 15. İSPAT Bir teoremin doğruluğunun tartışmasız, net ve en genel şekilde gösterilmesine ispat veya kanıt denir. Bir teorem ispatlanırken sadece önceki tanım ve teoremlerden yola çıkılarak sonuca ulaşılmaya çalışılır. Bu açıdan bakıldığında matematik, belirli kabuller altında doğruluğu tartışmasız, değişmez ve kesin olan sonuçları araştıran bilim dalıdır. [27] Teoremleri ispatlamak için kullanılan ve mantıksal ilkelere dayanan çeşitli kanıt yöntemleri bulunur. Bunların bazıları daha sonra tanıtılacaktır. 16. Z (TAM SAYILAR KÜMESİ) Şimdilik tam sayılar kümesinin, doğal sayılar kümesine -1, -2, -3, -4,... gibi negatif sayıların da eklenmesiyle oluştuğunu düşünebiliriz. Tam sayılar kümesi Z simgesiyle gösterilir ve bu kümeyi gösterirken pratik olarak yazım tarzı kullanılabilir. Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} [26] Genelde kolay elde edilen küçük teoremlere önerme de denir. Daha önceden bilinen teoremlerin bir araya getirilmesiyle hemen ifade edilebilen teoremlere sonuç denir. Doğruluğunun gösterilmesi zor ve uğraştırıcı olan, kendi başına çok önemliymiş gibi durmasa da yeni teoremleri elde etmekte kullanışlı olan teoremlere de lemma denir. Lemmayı yardımcı teorem olarak adlandıran ve teorem kelimesinin yerine sav sözcüğünü kullanan kaynaklar da bulunmaktadır. [27] Aslında matematiğin bilim olup olmadığı tartışmalı bir konudur. Bunun nedeni ise bilim kavramının tanımı ve sınırlarının tartışmalı olmasıdır. Matematiğin bilim olduğunu kabul edenler, öncelikli olarak deney ve gözlemlere dayalı olmadığından matematiği bir doğa biliminden ziyade, rasyonel bilim ya da formal bilim diye nitelendirirler. Soyut Matematik (utku gürdal) 13 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

olur. Örnek olarak 3Z = {..., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9,...} İleride vereceğimiz örneklerde, tam sayılar üzerinde temel cebirsel işlemlerin bilindiğini kabul edeceğiz. Ayrıca tam sayılar kümesinin toplamaya, çıkarmaya, çarpmaya ve doğal sayı kuvvetlere göre kapalı olduğu, yani k, l Z ise k + l Z, k l Z, kl Z ve n N iken k n Z olduğu bilgisini de kullanacağız. Yine örneklerde kullanmak amacıyla aşağıdaki iki tanımı verelim. Tanım 16.1 Eğer k Z olmak üzere x = 2k yazılabiliyorsa x e bir çift tam sayı denir. Tanım 16.2 Eğer k Z olmak üzere x = 2k + 1 yazılabiliyorsa x e bir tek tam sayı denir. Not 16.3 n, m N, n 2 ve 1 m n 1 olmak üzere N kümesine benzer şekilde nz ve nz + m gösterimleri kullanılır. Böylece, ya da daha açık yazmak istersek nz = {nk k Z} nz + m = {nk + m k Z} nz = {..., 2n, n, 0, n, 2n,...} nz + m = {..., 2n + m, n + m, m, n + m, 2n + m,...} kümelerini yazabiliriz. 2Z + 1 = {..., 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7,...} 10Z + 9 = {..., 21, 11, 1, 9, 19, 29, 39,...} Ödev 16.4 Yukarıdaki notun başında neden 1 m n 1 olma şartı konmuş olabilir? 17. DOĞRUDAN KANIT YÖNTEMİ Bilinenlerden ve verilenlerden yola çıkılıp, istenenin direkt adımlarla ilerlenerek elde edildiği ispat yöntemi, doğrudan kanıt yöntemi adıyla bilinir. Örnek 17.1 Teorem: 7 tek tam sayıdır. [28] Yukarıdaki teoremi kanıtlamak istediğimizi varsayalım. Bunu yapmak için öncelikle tek tam sayı tanımını hatırlamamız gerekir. Önceki bölümde tek tam sayıyı, k Z olmak üzere x = 2k +1 şeklinde yazılabilen bir x sayısı şeklinde tanımlamıştık. Burada [28] Daha önce teoremin, p ve q birer önerme olmak üzere p q şeklinde yazılabilen bir matematiksel hüküm olduğunu söylemiştik. Burada verilen 7 tek tam sayıdır ifadesi ilk bakışta p q şeklinde, yani bir teorem formatında değilmiş gibi görünse de, p(x) : x = 7, q(x) = x tek tam sayıdır ile tanımlanan p ve q açık önermeleri için p q gerektirmesi, 7 tek tam sayıdır ifadesiyle aynı anlama gelmektedir. Soyut Matematik (utku gürdal) 14 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

7 sayısının tek olduğunu göstermek istediğimize göre, 7 = 2k+1 olacak şekilde bir k Z bulmalıyız. Bu durumda bu teoremin ispatı aşağıdaki gibi yapılabilir. İspat: 3 Z ve 7 = 2 3 + 1 olduğundan 7 tek tam sayıdır. [29] Örnek 17.2 Teorem: Bir tek tam sayının karesi tek tam sayıdır. [30] Yukarıdaki teoremi ispatlamak, yani bir tek tam sayının karesinin de tek olduğunu göstermek istiyoruz. Öncelikle, bir örnek vermenin yeterli olmadığını belirtelim. Mesela, 5 bir tek tam sayıdır ve karesi 5 2 = 25 de bir tek tam sayıdır, öyleyse bir tek tam sayının karesi de bir tek tam sayıdır şeklindeki bir ifade bir ispat değil, sıradan bir örnektir. Tek bir örneğin doğru olması, teoremin doğru olduğunu kanıtlamaz. Bütün tek tam sayıların karelerini alıp sonuçları tek tek kontrol etme şansımız da olmadığından, bu teoremi ispatlamak için daha genel bir bakış açısına gerek vardır. Bir tek tam sayının karesinin de bir tek tam sayı olduğunu göstereceğiz. Öncelikle üzerinde çalışmak için bir adet model tek tam sayı alıp buna bir ad vermeliyiz. Bu model tek sayıya x diyelim. Eğer x 2 nin de tek olduğunu gösterebilirsek ispatı tamamlamış oluruz. [31] Tek tam sayıyı, k Z o.ü. 2k + 1 şeklinde yazılabilen sayı olarak tanımlamıştık. x e tek tam sayı dediğimizden x = 2k + 1 o.ş. k Z vardır. Bu durumda x 2 = 4k 2 + 4k + 1 olacaktır. Bu sayıyı 2(2k 2 + 2k) + 1 şeklinde yazabiliriz. Z kümesi toplama, çarpma ve doğal sayı kuvvetler altında kapalı olduğundan 2k 2 +2k Z olur ve x 2 = 2(2k 2 +2k)+1 şeklinde yazmak x 2 nin tam sayı olduğu ispatlar. Bu durumu daha net görmek istersek, K = 2k 2 + 2k diyerek K Z ve x 2 = 2K + 1 olduğunu, yani x 2 nin bize verilen tek tam sayı tamımına uyduğunu görebiliriz. Şimdi, burada elde ettiklerimizi kullanarak bu teorem için geçerli bir ispat yazalım. İspat: x bir tek tam sayı olsun. Bu durumda bir k Z için x = 2k + 1 dir. Buradan x 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 olur. 2k 2 + 2k Z olduğundan, x 2 de bir tek tam sayıdır. Örnek 17.3 Teorem: İki tek tam sayının çarpımı da bir tek tam sayıdır. İki tek tam sayının çarpımının tek olduğunu ispatlamak için öncelikle ispatta, iki tek tam sayıyı temsilen kullanmak için iki adet model alalım. Bu modellere x ve y adlarını verelim. Amacımız x ile y nin çarpımının, yani xy nin tek tam sayı olduğunu göstermek. x tek tam sayı olduğundan, x = 2k+1 o.ş. k Z vardır. y de tek tam sayı olduğundan l Z o.ü y = 2l + 1 yazabiliriz (k yi x için kullandığımızdan, y için başka bir değişken (l) kullandık, y için de k harfini kullansaydık, x = 2k + 1 = y olmasından yanlışlıkla [29] İspatın sonundaki (halmos) simgesi ispatın bittiğini belirten bir işarettir ve ilk kez Paul Halmos tarafından kullanılmıştır. Bazen içi boş olarak şeklinde de kullanılır. Ayrıca geleneksel olarak bu işaret yerine ispatların sonuna bazen Q.E.D. veya QED de yazılmaktadır ve bu harfler Latincede duruma göre ya quod erat demonstrandum (gösterilecek olandı), ya da quae erant dēmonstranda (gösterilecek olanlardı) yan cümlelerinden birinin kısaltması olarak anlaşılır. [30] Örnek teoremde geçen bir tek tam sayının karesi tek tam sayıdır ifadesi genel bir ifadedir, yani her tek tam sayının karesi tek tam sayıdır anlamındadır. Teoremlerde bu tarzda kullanılan bir sözcüğü genelde her bir anlamında anlaşılır. [31] Olacak şekilde ifadesi için o.ş. kısaltması, olmak üzere için de o.ü. kısaltması kullanılır. Soyut Matematik (utku gürdal) 15 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

x = y almış olurduk). Çarpma yaparsak xy = 4kl + 2k + 2l + 1 olur. Bu eşitlik xy = 2(2kl + k + l) + 1 şeklinde yazılabileceğinden ve 2kl + k + l de bir tam sayı olacağından xy nin tek tam sayı olduğu gösterilmiş olur. Şimdi bu teoremi yukarıda anlatılan şekilde ispatlayalım. İspat: x ve y tek tam sayı olsun. Bu durumda x = 2k + 1, y = 2l + 1 o.ş. k, l Z vardır. Buradan xy = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1 ve 2kl + k + l Z olduğundan xy tek tam sayıdır. Örnek 17.4 Teorem: İki tek tam sayının toplamı bir çift tam sayıdır. Bize verilen tanıma göre çift tam sayılar, k Z o.ü. x = 2k şeklinde yazılabilen sayılardı. Bunu hatırlayarak, bu teoremi öncekilere benzer şekilde kanıtlayabiliriz. İspat: x ve y iki tek tam sayı olsun. Bu durumda x = 2k + 1 ve y = 2l + 1 o.ş. k, l Z vardır. x + y = 2k + 1 + 2l + 1 = 2k + 2l + 2 = 2(k + l + 1) ve k + l + 1 Z olduğundan x + y bir çift tam sayıdır. Ödev 17.5 Teorem: teoremini ispatlayın. İki tek tam sayının farkı bir çift tam sayıdır. Ödev 17.6 Teorem: Bir çift tam sayı ile bir tek tam sayının toplamı bir tek tam sayıdır. teoremini ispatlayın. Ödev 17.7 Teorem: Bir tam sayı ile bir çift tam sayının çarpımı bir çift tam sayıdır. teoremini ispatlayın. 18. İSPATI DURUMLARA AYIRMA Bazı teoremleri ispatlarken tek seferde en genel şekilde çalışmak mümkün olmayabilir. Böyle durumlarda teoremin kanıtı, açıkta hiçbir ihtimal kalmayacak şekilde birbirini tamamlayan durumlara bölünebilir. Bir teoremi ispatlamanın birçok farklı yolu olabilir. Tek parça hâlinde kanıtlanabilen teoremler de eğer daha kolay olacağı öngörülüyorsa durumlara bölünerek ispatlanabilir. Örnek 18.1 Teorem: x Z ise x 2 x çift tam sayıdır. Yukarıdaki teoremi kanıtlamak istediğimizi varsayalım. Öncelikle, bu teoremi bize verilen çift tam sayı tanımını kullanarak tek parçada ispatlamanın pek mümkün görünmediğine dikkat edelim. Eğer her tam sayının ya tek tam sayı ya da çift tam tamsayı olduğunu biliyorsak, bu teoremin ispatını tek ve çift tam sayılar için ayrı ayrı ele alabiliriz. 1. durumda x i tek tam sayı kabul ederiz ve x 2 x in çift olduğunu elde ederiz. 2. durumda x i çift tam sayı kabul ederiz ve x 2 x in yine çift olduğunu gösteririz. Soyut Matematik (utku gürdal) 16 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

Her tam sayı ya tek ya da çift olduğundan, bu iki durumu ele almakla ispatı bütün tam sayılar için gerçekleştirmiş oluruz. İspat: İki durumu ele alalım. 1. Durum: x bir tek tam sayı ise Bu durumda x = 2k + 1 o.ş. k Z vardır. Burada x 2 x = (2k + 1) 2 (2k + 1) = 4k 2 + 4k + 1 2k 1 = 4k 2 + 2k = 2(2k 2 + k) ve 2k 2 + k Z olduğundan x 2 x bir çift tam sayıdır. 2. Durum: x bir çift tam sayı ise Bu durumda x = 2k o.ş. k Z vardır. Buradan [32] x 2 x = (2k) 2 2k = 4k 2 2k = 2(2k 2 k) ve 2k 2 k Z olup x 2 x yine bir çift tam sayıdır. Her durumda x 2 x in bir çift tam sayı olduğu görüldüğünden ispat tamamdır. Örnek 18.2 Teorem: p bir önerme ise p 1 dir. [33] Bu teoremi ispatlamak için de yine iki ayrı durumu ele alacağız. Bu kez her önermenin ya doğru ya da yanlış olması özelliğini p önermesi üzerinde kullanarak iki durum inceleyip her iki durumda da aynı sonuca ulaşmaya çalışacağız. İspat: p bir önerme olduğundan ya doğru ya da yanlıştır, yani ya p 1 ya da p 0 dır. İki durumu ayrı ayrı ele alalım. 1. Durum: p 1 ise Bu durumda bağlacı tanımından p 1 1 1 1 dir. Böylece gerektirme tanımından p 1 olur. 2. Durum: p 0 ise Bu durumda p 1 0 1 1 dir. Buradan yine p 1 olur. Böylece p 1 ifadesi her durumda doğrudur. Örnek 18.3 Teorem: p bir önerme ise 0 p dir. [34] teoremini kanıtlayalım. İspat: p önerme olduğundan ya p 1 ya da p 0 dır. Bu iki durumu ele alalım. 1. Durum: p 1 ise [32] x Z ise x 2 x çift tam sayıdır teoreminin ispatında, 1. durumda x in tek tam sayı olduğunu kabul ederek x = 2k + 1 yazdık. 2. durumda ise x in çift tam sayı olduğunu kabul ederek x = 2k yazdık. Esasen 1. ve 2. durumun kanıtlanması ayrı ayrı ispatlar gibi düşünüldüğünden, 1. durumun ispatı bittiğinde k harfinin oradaki işlevi tamamlanmış ve böylece 2. durumda k harfine farklı bir anlam yüklenebilmiştir. Ancak elbette istenirse 2. durum için farklı bir harf de kullanılabilir, örneğin x = 2l, l Z de denebilirdi. [33] Önermelerle ilgili p 1 olması gibi ifadeler, doğruluk tablosu ya da doğruluk çizelgesi olarak bilinen tablolar kullanılarak da kanıtlanabilmektedir. Aynı teoremin doğruluk tablosu yardımıyla ispatı daha sonra verilecektir. [34] 0 p, yani 0 p 1 kuralının sonucundaki 1 doğruluk değeriyle ortaya çıkan doğruya matematiksel mantıkta anlamsız doğru ya da boş doğru denir. Bu kuralı herhangi bir yanlıştan yola çıkılırsa her şey doğrudur şeklinde anlamak mümkündür. Her ne kadar bu şekilde bakıldığında işe yaramaz bir çıkarım gibi gözükse de, anlamsız doğru kuralı boş kümenin bazı özelliklerini elde etmek gibi çeşitli matematiksel doğrulara ulaşmada oldukça kullanışlıdır. Soyut Matematik (utku gürdal) 17 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

Bu durumda 0 p 0 1 1 dir. Böylece 0 p olur. 2. Durum: p 0 ise Bu durumda 0 p 0 0 1 olup buradan yine 0 p elde edilir. Sonuç olarak her durumda 0 p dir. Örnek 18.4 Teorem: p, q ve r birer önerme olmak üzere eğer aynı anda hem p q hem de q r ise bu durumda p r olur. [35] teoremini kanıtlayalım. Bu teorem çok çeşitli yollarla ve buradakinden farklı durumlara ayırmalar yapılarak da ispatlanabilir. Burada sadece bir örnek olarak bu teoremi q üzerinden durumlara ayırmayla kanıtlayacağız. İspat: p q ve q r olsun. Bu durumda p q 1 ve q r 1 olur. q bir önerme olduğundan ya q 1 ya da q 0 dır. 1. Durum: q 1 ise bağlacının tanımı gereği, q 1 iken q r 1 olmasının tek yolu r 1 olmasıdır. Bu durumda p r p 1 1 [36] olacağından p r dir. 2. Durum: q 0 ise q 0 iken p q 1 olmasının tek yolu p 0 olmasıdır. Böylece olup yine p r dir. Ödev 18.5 Teorem: p bir önerme ise p p dir. teoremini ispatlayın. Ödev 18.6 Teorem: p bir önerme ise 1 p p dir. teoremini ispatlayın. p r 0 r 1 [37] 19. (BOŞ KÜME) Tanım: Her x için 0(x) 0 doğruluk değerini alan 0 açık önermesinin tanımladığı kümeye boş küme denir ve ya da ile gösterilir. [38] Yukarıdaki tanıma göre ya da 0(x) 0 olduğundan = {x 0(x) 1} = {x 0 1} [35] p q ve q r iken p r olması özelliğine simgesi için geçişme özelliği denir. [36] p 1 1, yani p 1 olduğunu Örnek 18.2 deki örnek teoremde ispatlamıştık. [37] Örnek 18.3 teki örnek teoremde 0 p olduğunu ispatlamıştık. Bu ifadeyi r önermesine uyarladığımızda 0 r, yani 0 r 1 olduğunu görmüş oluruz. [38] Bazı kaynaklarda boş küme = {x x x}, yani kendi kendine eşit olmayan x lerin kümesi şeklinde de tanımlanır. Soyut Matematik (utku gürdal) 18 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

yazabiliriz. Bu mantıkla bakıldığında, yanlış olan bir şey hiçbir zaman doğru olmadığından yani hiçbir durumda 0 1 olmadığından, kümesinin içine hiçbir x elemanı düşmez. Buna göre tanımın anlatmak istediği, hiçbir x in boş kümeye ait olmadığı, yani her x için x / olduğu, ya da başka bir deyişle x önermesinin daima yanlış olduğudur. Gerçekten de, boş kümenin en çok kullanılan özelliklerinden biri x ne olursa olsun x 0 yazılabilmesidir. Boş kümenin hiçbir elemanı yoktur ve bu nedenle küme parantezleri ile gösterilmek istendiğinde = {} şeklinde gösterilir. 20. ALT KÜME Tanım 20.1 A ve B birer küme olmak üzere, eğer bütün x ler için x A = x B [39] oluyorsa A ya B nin bir alt kümesi denir ve A B veya A B yazılır. [40] Ayrıca, bu durum B, A yı kapsar şeklinde de ifade edililir ve B ye de A nın bir üst kümesi denir ve bu bakış açısıyla B A veya B A gösterimi de kullanılabilir. [41] x / A olan x ler için x A x B olup olmadığını kontrol etmeye gerek yoktur. Çünkü x / A ise, x A önermesi yanlıştır ve Örnek 18.3 te gösterildiği üzere 0 p şeklindeki bir önerme her durumda doğru olduğundan x A x B 0 x B 1 olup x A x B olması bu durumda zaten kendiliğinden sağlanır. Öyleyse yalnızca A daki x elemanları için x A x B olup olmadığına bakmak yeterlidir. Buna göre A B olduğunu göstermek için yapılması gereken şey, x A ifadesinden x B ifadesinin bütün x ler için elde edilebildiğini göstermektir. Örnek 20.2 A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d, e} olsun. a A = a B b A = b B c A = c B olduğuna dikkat edelim. Böylelikle A daki bütün x elemanları için x A x B olması sağlanır ve alt küme tanımı gereği A B olur. [39] A B olmasının x A x B gerektirmesiyle tanımlandığını bilmek son derece önemlidir. Bu tanım her alandaki matematiksel ispatlarda bir şekilde karşımıza çıkar. [40] Çok az sayıdaki istisnaî kaynaklar haricinde genel olarak matematikçiler ve sembolleri arasında anlam ayrımı yapmamaktadır. [41] Sembolik olarak A B, A B, B A ve B A gösterimlerinin hepsi aynı anlama gelir. Sözel olarak da A B nin alt kümesidir, B A nın üst kümesidir, B A yı kapsar, A B tarafından kapsanır ifadeleri aynı anlama gelmektedir. Soyut Matematik (utku gürdal) 19 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

Örnek 20.3 A = {1, 3, 5}, B = {0, 1, 2, 3, 4} diyelim. Bu durumda A B değildir, çünkü olmasına rağmen 1 A = 1 B 3 A = 3 B 5 A = 5 B olması sağlanmaz. Bu nedenle A B olamaz. A B olmaması durumu A B şeklinde yazılabilir. Buna göre, A B olduğunu göstermek için, x A ama x / B olacak şekilde yalnızca bir tek x elemanı bulmak bile yeterlidir. Örnek 20.4 6Z + 5 2Z + 1 olduğunu göstermeye çalışalım. Öncelikle ve 6Z + 5 = {6k + 5 k Z} = {..., 13, 7, 1, 5, 11, 17,...} 2Z + 1 = {2k + 1 k Z} = {..., 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7, 9, 11,...} olduğunu biliyoruz ve burada dikkat edilirse 6Z + 5 kümesindeki her elemanın, aynı zamanda 2Z+1 kümesinde bulunacağı gözükmektedir. Ancak bunu net olarak göstermek, yani 6Z + 5 2Z + 1 olduğunu ispatlamak gerekir. A B olması x A x B olmasıyla tanımlanıyordu. Öyleyse, 6Z + 5 2Z + 1 olduğunu göstereceksek x 6Z + 5 = x 2Z + 1 olduğunu göstermemiz gerekir. Bunu göstermek içinse, x 6Z + 5 adımından yola çıkarız ve bir şekilde x 2Z + 1 sonucuna ulaşmaya çalışırız. Şimdi bunu gösterelim: x 6Z+5 olsun. Bu durumda k Z o.ü. x = 6k+5 yazılabilir. Burada aynı zamanda x = 2(3k + 2) + 1, 3k + 2 Z yazılabileceğinden x 2Z + 1 dir. x 6Z + 5 ten x 2Z + 1 e ulaşabildiğimizden, yani x 6Z + 5 x 2Z + 1 elde ettiğimizden 6Z + 5 2Z + 1 olduğunu göstermiş olduk. Örnek 20.5 12Z 4Z olduğunu gösterelim. x 12Z ise k Z o.ü. x = 12k olur. Burada x = 4(3k) ve 3k Z yazılabileceğinden x 4Z dir. Sonuç olarak 12Z 4Z elde edilir. Ödev 20.6 9Z + 6 3Z olduğunu gösterin. Her kümenin kendi kendisinin bir alt kümesi olması ve boş kümenin her kümenin alt kümesi olması alt kümelerle ilgili iyi bilinen özellikler olsa da, matematiksel anlamda bunların doğruluğundan söz edebilmek için bu özelliklerin alt küme tanımından yola çıkılarak ispatlanması gerekir. Soyut Matematik (utku gürdal) 20 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

Teorem 20.7 Her küme kendisinin bir alt kümesidir. [42] İspat: A bir küme olsun. Bu durumda olduğundan A A dır. [43] Teorem 20.8 A bir küme ise A dır. x A = x A İspat: Her x için x önermesi yanlış olduğundan olup buradan yazabiliriz. Böylece A dır. x x A 0 x A 1 [44] x = x A Teorem 20.9 Boş kümenin kendisinden başka alt kümesi yoktur. İspat: A olduğunu kabul edelim. Bu durumda her x için x A x, yani x A 0 olur. Bu gerektirmenin doğru olması için x A 0 olmalıdır. Bu ise her x için x / A olması demektir ve boş kümenin tanımı gereği buradan A = elde edilir. Böylece boş kümenin her alt kümesinin boş kümeye eşit olduğu görüldüğünden boş kümenin kendisinden başka alt kümesi yoktur. Teorem 20.10 A, B ve C kümeler olmak üzere A B ve B C ise A C dir. [45] İspat: Verilenlere göre A B olduğundan olduğunu ve B C olduğundan olduğunu biliyoruz. Buradan yazılabileceğinden yani A C olur. x A = x B x B = x C x A = x B = x C x A = x C [46] [42] Her A kümesi için A A olması, için yansıma özelliği olarak bilinir. [43] x A bilgisi verildiğinde x A olduğuna (yani aynı şeye) ulaşabildiğimizden x A x A yazabiliriz. Alternatif olarak bunu, her p önermesi için p p 1, yani p p olmasının sonucu olarak da görebiliriz. [44] Her p önermesi için 0 p 1 olduğunu Örnek 18.3 ten biliyoruz. [45] A B ve B C iken A C olması, için geçişme özelliği olarak bilinir. [46] Örnek 18.4 ten anlaşılacağı üzere, p q r olmasından p r olduğu sonucuna ulaşılabilir. Bu nedenle x A x B x C ifadesinden x A x C yazılabildi. Soyut Matematik (utku gürdal) 21 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

21. (ANCAK VE ANCAK) BAĞLACI p ve q önermeleri verildiğinde p q ifadesi p ancak ve ancak q şeklinde okunur ve aşağıdaki doğruluk değerlerini alacak şekilde tanımlanır. 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Buna göre p q önermesi, p ve q önermelerinin doğruluk değerleri birbiriyle aynı olduğunda doğru, birbirinden farklı olduğunda ise yanlıştır. [47] 22. (ÇİFT YÖNLÜ GEREKTİRME) Eğer p ve q önermeleri için oluyorsa bu durum p q 1 p q şeklinde gösterilir ve bu ifade p olması için gerek ve yeter şart q olmasıdır veya p olması için gerek ve yeter koşul q olmasıdır ya da bazen de kısaca p ancak ve ancak q şeklinde okunur. p q olması, p q olmasıyla aynı anlama gelir, çünkü her ikisi de p ve q önermelerinin doğruluk değerlerinin aynı olduğunu belirtmektedir. [48] Teorem 22.1 p ve q önermeleri için, eğer p q ise hem p q hem de q p olur. İspat: p q ise p q 1 dir. Böylece p ve q nun doğruluk değerleri aynıdır. İki durumu ele alalım. 1. Durum: p 1 ise p ve q nun doğruluk değerleri aynı olduğundan, p 1 ise q 1 dir. Buradan olup p q dur. Benzer şekilde olduğundan q p olur. 2. Durum: p 0 ise p q 1 1 1 p q 1 1 1 [47] bağlacı, açık önermeler için kullanıldığında bekleneceği üzere (p q)(x) : p(x) q(x) şeklinde anlaşılır. [48] ve simgeleri aynı anlama gelmekle birlikte, çok daha fazla kullanılır. (denktir) simgesi genelde önermelerle ilgili olarak kullanılırken, (çift yönlü gerektirme) simgesi matematiğin her alanında, teoremleri ifade ederken ve tanımlama yaparken sıklıkla kullanılır. Soyut Matematik (utku gürdal) 22 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

Bu durumda aynı zamanda q 0 dır. Burada p q 0 0 1 olduğundan p q olur. Benzer şekilde q p 0 0 1 olduğundan q p dir. Teorem 22.2 p ve q önermeleri için, eğer hem p q hem de q p ise p q olur. İspat: p q ve q p olduğunu kabul edelim. Bu durumda p q 1 ve q p 1 dir. İki durumu ele alalım. 1. Durum: p 1 ise p 1 iken p q 1 olmasının tek yolu q 1 olması olduğundan bu durumda p ile q aynı doğruluk değerlerini alır ve böylece p q olur. 2. Durum: p 0 ise Bu durumda ise, p 0 iken q p 1 olmasının tek yolu q 0 olmasıdır. Burada yine p ile q aynı doğruluk değerini aldıklarından p q olur. Teorem 22.1 ve 22.2 den anlaşıldığı üzere p q olması, aynı anda hem p q hem de q p, yani p q olması anlamına gelir. Böylece p q şeklinde bir teorem verildiğinde aslında p q ve p q şeklinde iki ayrı teorem bir arada verilmiştir. Bu tarz bir teorem ispatlanırken p q gerektirmesine gerek şart denir ve ispatın bu kısmına ( ) : şeklinde başlanır, p q gerektirmesine ise yeter şart denir ve bu kısma da ( ) : şeklinde başlanır. [49] Örnek 22.3 Teorem: x tek tam sayıdır x + 1 çift tam sayıdır. teoremini ispatlayalım. Bu teorem çift yönlü gerektirme tarzında verildiğinden iki ayrı teorem ifadesinin birleştirilmiş hâli olarak düşünülebilir: Gerek şart: x tek tam sayı ise x + 1 çift tam sayıdır. Yeter şart: x + 1 çift tam sayı ise x tek tam sayıdır. Buna göre bu teoremi kanıtlamak için hem ( ) : ile gösterilen gerek şartı, hem de ( ) : ile gösterilen yeter şartı ispatlamalıyız. İspat: (= ) : x tek tam sayı ise x = 2k + 1, k Z yazılabilir. Buradan x + 1 = (2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1) olur ve k + 1 Z olduğundan x bir çift tam sayıdır. ( =) : x + 1 bir çift tam sayı olsun. Bu durumda x + 1 = 2k o.ş. k Z bulunabilir. [49] p q gerektirmesine gerek şart denmesinin mantığı şudur: p q, p q önermesinin doğru olması demektir ve p q 1 iken eğer q yanlışsa p doğru olamaz, öyleyse p nin doğru olması için q nun doğru olması gereklidir. Benzer mantıkla, p q gerektirmesine yeter şart denmesinin nedeni de şudur: p q, p q önermesinin, yani q p önermesinin doğru olması demektir ve q p 1 iken eğer q doğru ise p de mutlaka doğru olur, öyleyse p nin doğru olması için q nun doğru olması yeterlidir. Soyut Matematik (utku gürdal) 23 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

Buradan x = (x + 1) 1 = 2k 1 = 2k 2 + 1 = 2(k 1) + 1 [50] olur ve k 1 Z olduğundan x bir tek tam sayıdır. 23. İKİ KÜMENİN EŞİTLİĞİ Elemanları aynı olan iki kümeye eşit kümeler deneceği ortadadır, ancak bu kavramın matematiksel olarak da tanımlanması gereklidir. Tanım 23.1 A ve B iki küme olmak üzere, eğer her x için x A x B oluyorsa A ve B kümelerinin eşit olduğu söylenir ve A = B yazılır. Aşağıdaki teorem, iki kümenin eşit olduğunu göstermede oldukça sık kullanılan çok önemli bir karakterizasyon vermektedir. [51] Teorem 23.2 A ve B iki küme olmak üzere A = B olması için gerek ve yeter şart aynı [52] [53] anda hem A B hem de B A olmasıdır. İspat: (= ) : A = B olsun. Bu durumda tanımdan [54] x A x B [50] Bu adımda x, tek tam sayı tanımına uygun düşmesi için 2K + 1 tarzında ifade edilmeye çalışılmaktadır. x = 2(k 1) + 1 olması dışındaki ara adımların bu kadar açık yazılması şart değildir. [51] Bir tanımın karakterizasyonu, o tanıma denk olan bir teoremdir. Örneğin, Tanım 16.1 de çift tam sayıları tanımlamıştık. Hemen ardından da tek tam sayıları Tanım 16.2 de tanımladık. Daha sonra Örnek 22.3 te verdiğimiz örnek teoremde, bir sayının tek olması için gerek ve yeter şartın, o sayının 1 fazlasının çift olması olduğunu ifade ettik. Bu durumda bu örnek teorem, tek tam sayıları karakterize etmiş olur, çünkü bir sayının tek tam sayı olduğunu Tanım 16.2 yi kullanarak göstermek yerine istersek Örnek 22.3 teki teoremi kullanarak gösterebiliriz. Bu bakımdan örnekteki teorem, tek tam sayıların tanımına denk olmuş olur ve bu nedenle o teoremdeki özelliğin tek tam sayıları karakterize ettiği söylenir. [52] Teoremde geçen olması için gerek ve yeter şart ifadesinin sembolik olarak şeklinde gösterildiğini hatırlayalım. Öyleyse bu teoremde bir çift yönlü gerektirme vardır ve bu yüzden ispatı gerek şart ( ) ve yeter şart ( ) olarak ikiye böleceğiz. Gerek şart A = B = A B ve B A şeklinde olacaktır. Bu nedenle ispatın bu kısmına A = B olduğunu kabul ederek başlayıp hem A B hem de B A olduğunu göstereceğiz. Yeter şart ise A B ve B A = A = B şeklinde olduğundan orada hem A B hem de B A olduğu bilgisini bir arada kullanarak A = B olduğuna ulaşmaya çalışacağız. Elbette tüm bunları yaparken hazır bilgi kaynağı olarak daha önceden bildiğimiz tanım ve teoremleri esas alacağız. [53] A B ve B A iken A = B eşitliğine ulaşılabilmesi, için ters simetri özelliği olarak bilinir. [54] Tanım 23.1 Soyut Matematik (utku gürdal) 24 Son güncelleme: 27 Kasım 2018

olur ve buradan x A = x B ve x B = x A elde edilir. [55] x A x B olduğundan A B ve x B x A olduğundan B A dır. [56] ( =) : Hem A B, hem de B A olduğunu kabul edelim. A B olduğundan x A x B dir ve B A olduğundan x B x A dır. Böylece x A x B elde edilir. [57] Bu ise A = B olduğu anlamına gelir. Örnek 23.3 Aşağıdaki A ve B kümelerini ele alalım: A = {n 2 + n n N} B = {n 2 n n N} A kümesinin elemanlarını incelersek, 0 2 + 0 = 0, 1 2 + 1 = 2, 2 2 + 2 = 6, 3 2 + 3 = 12, 4 2 + 4 = 20, 5 2 + 5 = 30,... olduğundan A = {0, 2, 6, 12, 20, 30,...} bulunur. Diğer taraftan B kümesinin elemanları da 0 2 0 = 0, 1 2 1 = 0, 2 2 2 = 2, 3 2 3 = 6, 4 2 4 = 12, 5 2 5 = 20, 6 2 6 = 30,... olduğundan B = {0, 2, 6, 12, 20, 30,...} yazabiliriz. Elde edilen ilk birkaç elemana bakınca A = B olduğunu tahmin edebiliriz, ancak buna emin olmabilmek için mutlaka bu eşitliğin varlığını matematiksel olarak kanıtlamamız gerekir. [58] Şimdi A = B olduğunu göstermek için Teorem 23.2 yi kullanalım, yani A B ve B A olduğunu ayrı ayrı göstererek A = B sonucuna ulaşalım: x A olsun. [59] Bu durumda x = n 2 + n n N [55] x A x B olmasından x A x B ve x B x A olduğunu Teorem 22.1 i kullanarak elde ettik. [56] Buradaki geçişte Tanım 20.1 i kullandık. [57] x A x B ve x B x A olmasını kullanarak x A x B ifadesini Teorem 22.2 sayesinde yazdık. [58] Yalnızca belli sayıdaki elemanlarına bakarak bir küme hakkında, ya da sadece birkaç örneğe bakarak bir matematiksel gereçek hakkında kesin bir hüküm sahibi olmak mümkün değildir. Örneğin n = 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., 40248 değerleri için (ifadenin anlamı önemli değil) n 2k+1 x x sin( 2k+1 )dx n 2k+1 m 0 k=0 m=1 k=0 sin( m 2k+1 ) = 1 2 eşitliği sağlanmaktadır, ancak n = 40249 a gelindiğinde soldaki ifadenin sonucunun 1 2 den küçük çıktığı ve böylece eşitliğin bozulduğu görülmüştür. Bu ve benzeri olasılıklar göz önünde bulundurularak, bir matematiksel gerçeğin mutlaka mantıksal yollarla kanıtı istenir. Gösterilmesi gereken özelliği sağlayan özel örnekler vermek, teoremi ispatlamış olmak için yeterli değildir. [59] A B olduğunu göstermek için, x A x B olduğu gösterilmelidir. Bu nedenle bir x A elemanı alarak buradan x B olduğunu gösterme amacıyla yola çıktık. Soyut Matematik (utku gürdal) 25 Son güncelleme: 27 Kasım 2018