BÖLÜM 1 1.GİRİŞ: İSTATİSTİKSEL DOĞRUSAL MODELLER

BÖLÜM 1 1.GİRİŞ: İSTATİSTİKSEL DOĞRUSAL MODELLER Blmn amaçlarından br yaşanılan doğa olaylarını tanımlamak ve olayları önceden tahmnlemektr. Bu amacı başarmanın yollarından br olaylar üzernde etkl olduğu düşünülen faktörler çnde bulunduran br formül ya da denklem tanımlamaktır. Değşkenler arasındak lşkler mevcut blg ve teknoloj le brlkte dkkate alındığında en genel anlamda k sınıfta toplanablr: 1. Determnstk (kesn) lşkler.. Olasılıksal (stokastk) lşkler. Determnstk lşkler, bağımsız değşkenlern, bağımlı değşken hang fonksyonla belrledğnn blndğ ve bağımlı değşkenn şans değşken olmadığı durumundak lşklerdr. Bu tp lşklerde model tamamen matematksel değşkenlerden oluşur. Örneğn a lralık br kaptaln dönemlk faz oranı olduğu durumda n-nc dönem sonundak değer A a 1 n n fonksyonu le tanımlanır. Burada A n bağımlı a, ve n se bağımsız ve açıklayıcı değşkenlerdr. a, ve n n aynı değerler çn dama aynı A n değer elde edlr. Br başka deyşle A n değşken şans değşken değldr. Bu kapsamdak modeller statstk blmnn lg alanının dışındadır. Olasılıksal lşklerde model en az br şans değşkenn çerr. Böylece, modeln katsayılarının tahmnler de şans değşken olma özellğn taşırlar. Bununla brlkte olasılıksal lşkler de kend çnde k sınıfa ayrılablr. İlk sınıfta fonksyonel lşknn genel denklem blnmektedr. Fakat model sabtler (parametreler) blnmemektedr. İknc sınıfta se lşky tanımlayan matematksel denklem de blnmemektedr. Örneğn; Cobb-Douglas üretm fonksyonunun geçerl olduğu br durum ele alınsın. Y ler üretm mktarlarını, X 1 şgücü mktarını, X sermaye mktarını, α ve β sırası le şgücü ve sermayenn üretm mktarını etklemede öneml olan katsayılarını, k se br sabt göstersn. Y kx X 1 Aynı frmada, X 1 ve X değerlernn değşmedğ durumlarda dah farklı Y değerler söz konusu olacaktır. Y değerlerndek bu değşkenlk saf hatanın br göstergesdr. Bu durum Y nn şans değşken olmasının br sonucudur. Esas olarak Y nn toplam değşkenlğ k kısımda açıklanır. Brnc bleşen modeln açıkladığı değşkenlk, knc bleşen se Y nn saf değşkenlğdr. Brçok statstksel modelnn değerlendrlmesnde açıklanan değşkenlk yüzdes modeln yeterllğ çn br araç olarak kullanılır. Ancak, bu her zaman yeterl olmayacaktır. Çünkü bağımsız değşken katsayısının arttırılması bu matematksel sonucu hemen doğurablr. Bu gb durumlarda elde edlen yüksek açıklama yüzdeler se anlamsız veya önemsz olablrler. Amaç, kullanılan model le Y nn saf değşkenlğne ulaşmaktır. 1

İknc tp olasılıksal lşkler, bu tür lşklerde Y bağımlı değşkenler brer şans değşkenlerdr. Aynı zamanda kullanılacak model le lgl br ön blg, doğrulama mevcut değldr. Bu nedenle model bağımsız ve bağımlı değşkenlern ncelenmeler sonucu tahmn edlmektedr. Bu tür durumların sakıncalı bazı yönler bulunmakla brlkte, çok sık karşılaşılan durumlardır. Örneğn, br şrketn satış mktarlarını ürün bazında etkleyen faktörler blnyor olablr. Bu faktörlere at değşkenler tanımlanablr. Açıklayıcı ve hatta bağımsız hale getrleblrler. Bütün bunlara rağmen model (açıklama yapısı) karmaşık ve blnmeyen konumundadır. Karmaşıklık etkleyen faktör sayısının çokluğunda ve hesaba katılmayan ancak etkler küçük değşkenlern zaman zaman ön plana çıkma bçmlernden vb. nedenlerden oluşablr. İk değşken U * ve V * arasında fonksyonel lşknn F(U *,V * )=0 şeklnde olduğu ve belrl br aralıktak tüm değerler alabldğ varsayılsın. Değşkenlern aldığı tam değerlern ölçümlenemedğ ve gözlenen değerlern u ve v le tanımlandığı br durum ele alınsın. Burada u= U * +d ve v= V * +e olup d ve e ölçüm hatasını temsl etmektedr. Bununla brlkte eğer ölçüm hataları küçük se hmal edleblr. Bu durumda elde edlecek denklem gerçek durumu yansıtmamakla brlkte gerçek duruma oldukça y br yaklaşım tanımlayablr. Değşkenler arasında mevcut br fonksyonel lşkden bahsedldğnde bu fonksyonun gerçek duruma oldukça y br yaklaşım sağlayan denklem olduğu varsayılacaktır. Gözlemleneblr ve lşkl değşkenler arasında br fonksyonel lşknn bulunablmes durumunda, lşky oluşturan X 1, X,, X k değşkenler ve br g fonksyonu kullanılarak Y değşken tahmnleneblr. Örneğn sürtünmesz br ortamda yerçekmnn etksyle br csmn serbest düşmes Y=X fonksyonu le tanımlanmıştır. Fonksyonda Y düşme mesafes X se düşme süresn belrtmektedr. Csmn serbest bırakılarak mesafe ve sürenn gözlendğ br deney gerçekleştrlrse sabt bulunablr. Bununla brlkte deneyn tekrarlanması durumunda elde edlen değer lk deneyn değer le aynı olmayablr. Bu farklılığın k temel sebeb olablr: 1. Fonksyonel lşk Y=X şeklnde olmayablr.. Mesafe ve süre üzerne yapılan ölçümler güvenlr olmayablr. İknc durumda ortaya çıkan hata ölçüm hatası olarak adlandırılır. Eğer brnc sebep ortaya çıkmış se gerçek fonksyonel lşk Y=g(X,Z) olarak tanımlanablr. Burada Z mesafey etkleyen dğer faktör ya da faktörler temsl etmektedr. Eğer mesafe X süre değşkennn harcnde X 1, X,, X k gb dğer faktörlerden de etklenyor se fonksyonel lşk Y=g(X, X 1, X,, X k ) şeklnde ya da daha açık olarak, Y=X +f(x, X 1, X,, X k ) şeklnde tanımlanablr. Eğer Y=X +f(x, X 1, X,, X k ) lşks yerne Y değern tahmnlemek çn Y=X fonksyonu kullanılırsa elde edlen gözlemler le teork lşk arasındak bu uyuşmazlık denklem hatası olarak adlandırılır. Dğer br deyşle (yanlış ya da eksk br denklemn kullanılmasına bağlı olarak ortaya çıkan hatadır. Bu hata, mesafe Y ve süre X üzernde tekrarlı gözlemler elde edlerek ve kalan X 1, X,, X k değşkenlernn tanımladığı f(x, X 1, X,, X k ) değernn davranışının br şans değşken olduğu kabul edlerek gözlemleneblr. Bu durumda lşk Y=X +ε şeklnde fade edleblr

ve Y değer sadece X değşkennn blgs le tam olarak tahmnlenemez. Bununla brlkte blmn pek çok alanında tam olmamakla brlkte yeterl güvenlrlkte br yaklaşım sağlayan fonksyonel lşkler kullanılmaktadır. Değer tahmnlenmek stenen değşkenn Y olduğu varsayılsın. Y değşken le lşkl sonlu sayıda X 1, X,, X k değşken ve br g fonksyonu mevcut se değşkenler arasında br Y=g(X 1, X,, X k ) fonksyonel lşks tanımlanablr. Bu fade le X 1, X,, X k değşkenlernn gözlenme yeteneğne sahp olunduğu belrtlmemektedr. Bununla brlkte eğer gözlemleneblyorlar se Y tam olarak belrleneblr. Dğer br deyşle Y, X 1, X,, X k fonksyonel olarak lşkldr. Fonksyon g ve X 1, X,, X k değşkenler tam olarak blnyor olablr. Fakat tüm X değerler hatasız tam olarak ölçümlenme yeteneğne sahp değlse Y değernn tam olarak tahmnlenmes mkansızdır. Yukarıdak açıklamalardan anlaşılacağı üzere k hata yapısı mevcuttur: 1. Denklem hatası: Tüm X değşkenlernn blnmemesnn ve/veya g fonksyonunun blnmemesnn ortaya çıkardığı hata.. Ölçüm hatası: Tüm X değşken değerlernn tam olarak ölçümlenememesnn neden olduğu hata. Genel anlamda model alternatf durumların alternatf sonuçlarını gösteren tablo, grafk, fonksyon, prototp vb. yapılardır. Bu ktapta kullanılan model veya regresyon modeller fonksyon tpnde olan modellerdr. Bu ktapta ncelenen modelleme kavramı se lglenlen br şans değşkennn davranışını tanımlamak amacıyla matematksel br yaklaşımın gelştrlmesn fade eder. Bağımsız değşkenler X 1,...,X k bağımlı değşken se Y temsl eder. Tanım 1.1 Şans değşkenlern, matematksel değşkenler ve parametreler çeren br matematksel denklem model olarak adlandırılır. Daha önce ncelenen br csmn serbest düşme model Y * =X şeklnde yenden ele alınsın. Burada (*) şaret Y değşkennn ölçüm hatasına sahp olduğunu belrtmektedr. Y değşken çn gözlenmş değer y=y * +ε se denklem y=x +ε şeklnde br model olarak tanımlanır. Burada ε br şans değşkendr. Şans değşkennn dağılım özellkler modeln öneml br parçasını oluşturur. Buraya kadar yapılan açıklamalar dkkate alındığında kullanıldığında denklem yapıları üzernde her hang br kısıt oluşturulmadığı görüleblr. Karesel, üstel vb. denklem yapıları kullanılablr. Bununla brlkte f fonksyonunun genel yapısının blnmedğ durumlarda denklem sabtlernn (parametrelern) tahmnlenmesn kolaylaştırmak amacıyla araştırmaya mümkün olan en bast denklem yapısı olan doğrusal denklemler le başlamak akılcı br yaklaşımdır. Kullanılan modeller genellkle parametrelerne göre doğrusaldır. Br modeln doğrusal olduğundan veya olmadığından bahsedldğnde, fade edlen, parametrelerdek doğrusallık veya doğrusalsızlıktır. Parametrelere göre doğrusallık, modeldek tüm parametrelern brnc dereceden olmasıdır. Dğer br 3

deyşle üstel durumda ya da br dğer parametre le çarpım halnde veya bölüm halnde br parametrenn bulunmamasıdır. Tanım 1. Şans değşkenlern, matematksel değşkenler ve parametreler çeren br matematksel denklemde şans değşkenler ve parametreler doğrusal se denklem doğrusal model olarak adlandırılır. Örneğn β 0, β 1, β blnmeyen parametreler olmak üzere, β 0 +β 1 X+β Y=0 ve β 0 +β 1 e X +β sny=0 modeller doğrusal modellerdr. Buna karşın β 0 +e β1 +Xsnβ =0 model doğrusal değldr. Daha gerçekç modeller karmaşık olup parametrelerne göre doğrusal değldr ve doğrusal olmayan modeller olarak adlandırılırlar. Doğrusal olmayan modeller k sınıfa ayrılır: Doğrusal hale dönüştürüleblenler (bağımlı ya da bağımsız değşken üzerne dönüşüm le), doğrusal hale dönüştürülemeyenler. Doğrusal br model, (1.1) Y 0 1X Y 0 X 0 1 X 0 çn (1.) 0 Y 0 çn (1.3) 1 1 1 eştlkler le belrtleblr. Denklem (1.1) de X ve Y değşkenler smetrk br yapıda olup denklem kapalı formdadır. Denklem (1.) de Y bağımlı değşken X se bağımsız değşkendr. Denklem (1.3) çn se bunun ters geçerldr. Bağımlı ve bağımsız kelmeler statstksel anlamda kullanılmış olmayıp matematksel anlamda kullanılmıştır. Matematkçler çn her üç denklemde brbrne denktr. Eğer X ve Y gözlem hatasız gözleneblyor se ve amaç X değşkennn blgs le Y değşkenn elde etmek se denklem (1.) kullanılır. Eğer Y değşkenn blgs le X değer elde edlecek se denklem (1.3) kullanılır. Eğer denklem (1.) ya da (1.3) kullanılır se / j sabtlern çözeblmek çn sadece k adet (X,Y) gözlem yeterl olacaktır. Ölçüm hatasını çeren br Y * değşkennn, Y X * 0 1 model le tahmnlenmek stendğ varsayılsın. Burada 0 / ve 1 / blnmemektedr. Eğer gözlem değer y çn y=y * +ε fades geçerl se model, y 0 1 (1.4) X şeklnde yazılablr. Bu model çn gözlenmş k adet (X,Y) gözlem kullanılarak 0 / ve 1 / değerler çözüleblr. Ancak y ve X değşkenler arasında denklem (1.4) le tanımlanan lşk tam br fonksyonel lşk olmadığından / çn gerçek değerler tam olarak elde edlemez. Bununla brlkte statstksel yöntemler uygulanarak / çn tahmnler bulunablr. 4

Sonuç olarak genel statstksel doğrusal model, 1 y f ; X,, X (1.5) k denklem le tanımlanablr. Denklemde y davranışı açıklanmak stenen bağımlı (şans) değşken, X bağımlı değşkenn davranışını etkleyen ve genellkle sabt olduğu varsayılan açıklayıcı değşken, tahmnlenmek stenen model parametreler ve ε se modelde yer almayan faktörlern, ölçüm ve model hataları le bağımlı değşkenn değşkenlğn çeren hata termdr. Doğadak olayları açıklamak ya da en azından blg ednmek amacıyla araştırmalar yapan blm nsanlarının kullanableceğ pek çok doğrusal model tp vardır. Bununla brlkte dğerlerne göre daha sık kullanılan beş statstksel doğrusal model tp: 1. Fonksyonel lşkl modeller.. Ortalama lşkl modeller. 3. Regresyon modeller. 4. Deney tasarımı modeller. 5. Varyans bleşen modeller. Fonksyonel lşk modeller; bu modeller matematksel değşkenler arasındak lşky tanımlar bununla brlkte değşkenlerden bazıları ölçüm hatasına sahptr. Ölçüm hatası kesn br fonksyonel lşknn elde edlmesne engel olur. İk matematksel değşken Y * ve X arasında Y * =α 0 +α 1 X denklemnn sağlandığı kabul edlsn. Değşkenlerden X hatasız ölçüleblmekte fakat Y * çn tam değer elde edlememektedr. Y * yerne elde edlen y değer br ölçüm hatası çermekte olup y=y * +ε fades geçerldr. Bununla brlkte eğer E(ε)=0 varsayımının geçerl olduğu durumlar çn E(Y * )=Y olup model Y=α 0 +α 1 X+ε şeklnde tanımlanablr. Tanımlanan modelde, y ve X gözleneblmektedr. Bu modeller çn ölçüm hatası yok se Y ve X arasındak lşky tanımlayan denklem determnstk (matematksel) br model olarak adlandırılır ve değşkenler arasındak lşk yapısı hatasız, kesn br lşkdr. Ortalama lşkl modeller, denklem hatalarını çeren modellerdr. Fonksyonel br lşknn, Y, X1,, 0 F X k kapalı denklem le tanımlandığı ve denklemn, Y X X f X, 0 1 1 3, X k Şeklnde fade edlebldğ kabul edlsn. Eğer f(x 3,,X k ) term modelden çıkarılır se X 1 ve X değşkenlernn belrl değerler çn Y kesn olarak belrlenemez. Çünkü lk k değşken değer sabt olsa ble kalan değşkenler değşk değerler alablrler. Bununla brlkte X 1 ve X değşkenler kullanılarak Y değşken tam olmasa da yeterl hassasyet le kestrmlenebleceğ varsayılsın. Bu durumda X 3,,X k değşkenlernn değerlerne sadece Y kesn olarak belrlenmek stendğnde htyaç olacaktır. İlk k değşkenn değerler sabt olsa ble X 3,,X k değşkenlernn değerler değşecektr. Bu nedenle f(x 3,,X k ) term br şans değşken davranışı gösterr. Sonuç olarak model, 5

Y X 0 1 1 X Eştlğ le tanımlanablr. Modeldek açıklayıcı değşkenler dğer değşkenlern fonksyonu olablr. Örneğn, X 1 =snt, X = t gb br durumda model, Y 0 1 sn t t eştlğ le belrlenr. Dğer br özel durum se X 1 =t, X =t, Y 0 1t t şeklnde br eğrsel (polnom) model olup bu tptek modeller Bölüm 8 de açıklanacaktır. Yukarıdak modellerden görüldüğü gb ortalama lşkl modellerde bağımlı değşken Y br şans değşken olup açıklayıcı değşkenler X 1, X brer matematksel (sabt) değşkenlerdr. Bağımlı değşkenn beklenen değer X 1 ve X le br fonksyonel lşk tanımlamaz. Bunun neden fonksyonel lşk, Y X X f X, 0 1 1 3, olup buna karşın beklenen değer modelnn, E Y 0 1X1 X X k olmasıdır. Görüldüğü gb E(Y)Y durumu geçerldr. Bu tp modeller br Y değşkenn pek çok değşkenden etklendğ fakat etkleyen değşkenlern tümünün belrlenemedğ ya da belrlenseler ble bazı değşkenlern gözlem değerlernn elde edlemedğ veya gözlem yapmanın çok malyetl olduğu durumlarda bazı değşkenler kullanarak Y değer yerne ortalama değernn elde edlebleceğ problemlern çözümünde oldukça faydalıdırlar. Bununla brlkte bu fonksyonun yeterl güvenlrlkte olablmes çn ε hata varyansının küçük olması gerekldr. Eğer hata varyansı büyük se model kullanışlı değldr ve hata varyansını azaltmak çn X 3 gb br değşkenn modele dahl edlmes gerekldr. Bu durumda f(x 4,,X k )termnn etks durağan hale gelr. Eğer ε hata varyansı sıfır se modelde denklem hatası yoktur ve fonksyonel lşk geçerldr. Bu modellerde ölçüm hatasının bulunmadığı varsayımı geçerldr. Ortalama lşkl modeller, X açıklayıcı değşkenlernn matematksel (sabt) değşkenler olarak kabul edldğ, regresyon modellernn özel br durumunu tanımlar. Regresyon modeller, hem açıklayıcı hem de bağımlı değşkenn şans değşken olduğu modellerdr. Y ve X şans değşkenler çn ortak olasılık yoğunluk fonksyonu f(y,x) se bast regresyon model, X x X Y / 0 1 ya da beklenen değer, Y / X x X E 0 1 şeklnde br şartlı modeldr. Şartlı modellerde X=x olarak sabtlendğnde yukarıda açıklana ortalama lşkl model elde edlr. Ktabın ana konusu olan regresyon modeller Kısım 1.1 de daha detaylı olarak tanıtılacaktır. Ktabın amacı her ne kadar regresyon modellernn analz olsa da bazı bölümlerde genel olarak statstksel doğrusal model teorsne ve deney tasarımı modellerne de değnlecektr. 6

1.1 REGRESYON MODELLERİ VE ANALİZİ İstatstk blmnn temel uğraşılarından brs de br değşkenn davranışının tahmnlenmesdr. Grş kısmında belrtldğ gb davranışı tahmnlenecek olan değşken, başka değşkenlern fonksyonu olarak ortaya çıkablr. Bu fonksyonun elde edlmes veya tahmnlenmes, ncelenmes ve yorumlanması regresyon analznn lg alanı kapsamındadır. Davranışı dğer değşkenlerden etklenen değşkene bağımlı değşken veya yanıt (response) adı verlr. Bağımlı değşkenler br şans değşkendr. Şans değşken değern etkleyen ve/veya yönlendren değşkenler veya fonksyonlarına açıklayıcı değşkenler adı verlr. Bu değşkenlern kend aralarındak doğrusal bağımlılık yapılarının matematksel olarak önemsz olması durumunda her br değşkene bağımsız değşken adı verlr. Br açıklayıcı değşken bağımsız değşkenlern fonksyonu olabldğ gb, yalnızca br bağımsız değşkenn kends de açıklayıcı değşken olablr. Temel regresyon analznde açıklayıcı değşkenlern blnen sabtler olduğu varsayılır. Açıklayıcı değşkenlern, şans değşkenn etkleyen fonksyonuna REGRESYON MODELİ adı verlr. Varsayılan modeln, açıklayıcı değşkenlern çalışma aralığı çnde, doğru br model olması durumunda şans değşkennn, modeln etks bertaraf edldkten sonra kalan yalın (pure) davranışı da br şans değşken davranışıdır. Bu yaklaşım daha lerdek konularda ele alınacak olan hata termlernn davranışlarının temeldr. Araştırmada brden fazla gözlem alındığından gözlemler brbrnden ayırmak çn br alt nds kullanılır Y. Sonuç olarak br regresyon modelnn genel hal; Y =f(x 1,...,X k )+ε =1,,,n şeklndedr. Davranışı açıklanmak stenen Y şans değşken le açıklayıcı değşkenler X 1,...,X k arasındak gerçek lşk genel olarak blnmez. Regresyon modeller, bu gerçek lşkye br yaklaşımda bulunmak amacı le kullanılır. Grş kısmında belrtldğ gb ε hata term olarak adlandırılır. Hata termnn davranışı, şans değşkennn hçbr etkleyc faktör bulunmadığındak davranışı olmalıdır. Eğer bu duruma ulaşılmış se kullanılan regresyon model le gerçek yaşam model arasındak farklılıklar statstksel olarak önemszdr. Bu şartı sağlayan model doğru model olarak kabul edlr. Modellemenn amacı, koşullar X 1,,X k değştğnde bağımlı değşkenn ortalamasının E(Y ) nasıl değştğn tanımlamak ya da bu koşullar çn br Y değer tahmnlemektr. Tüm modeller bağımsız değşkenlere lave olarak blnmeyen sabtler çerr. Blnmeyen bu sabtler parametreler olarak adlandırılır ve modeln davranışını kontrol eder. Br regresyon parametres br değşm oranıdır dğer br fade le br açıklayıcı değşkene göre bağımsız değşkenn kısmî türevdr. Bağımlı değşkenn elde edlen her br gözlem Y nn, ana kütle ortalaması E(Y ) olan br ana kütleden gelen şans değşken olduğu varsayar. Br gözlemn Y, kend ana kütle ortalamasından E(Y ) sapması, matematksel modele br hata term eklenerek açıklanır 7

Modeln belrlenmes çn gerekllkler; olasılıksal modeller br ya da daha fazla rassal bleşen (hata bleşen) çerr. Her br hata bleşennn at olduğu br hata kaynağı mevcuttur. Modeln tam olarak fade edleblmes çn hata termnn statstksel özellklernn tanımlanması gerekldr. Br modeln özellkler, hesaplandığı verlerden çok verlern alındığı X n sınırlarına bağımlıdır. Bu nedenle model sadece tanımlanan X bölges çn geçerldr. Kestrm, açıklayıcı değşkenlern ver setnde bulunmayan br değer çn elde edlen Ŷ değerdr. İnterpolasyon ya da eksterpolasyon gerektrr. Bağımsız değşkenlern ver setndek br değer çn elde edlen Ŷ se uyumu yapılan değerdr. Modeldek br bağımsız değşkenn en büyük kuvvetnn değer modeln derecesdr. Örneğn; Y X 0 1 X 11 model knc dereceden (en büyük X dereces) doğrusal regresyon modeldr. Br model özellkle doğrusal olmayan model olarak belrtlmedkçe parametreler açısından doğrusal olduğu kabul edlecektr, doğrusal kelmes genellkle hmal edlmekte ya da unutulmaktadır. Modeln dereces herhang br büyüklükte olablr. β 11 notasyonu polnom modellerde kullanılmaktadır, bu parametre X değşken le brlkte kullanıldığında, X değşken çn de β 1 parametres kullanılır. Tahmnleme, genel olarak doğrusal model p adet parametreye sahptr. Bu parametreler, ver set, (X 1,,X k, Y ), kullanılarak tahmnlenr. Şans değşken Y dek değşkenlk her br gözlenmş ver çftnn farklı değerler almasına neden olur. Gerçekte hata term u tahmnlemek, her br gözlem çn farklı değerler aldığından, oldukça zordur. Buna karşın parametreler sabt değerler aldığı çn ver set kullanılarak tahmnler olan b değerler elde edleblr. Regresyon fonksyonu Y 0 1X şeklnde verldğnde, X ve ε nn Y üzerndek etklernn ayrı ve ekleneblr olduğu kabul edlr. Bu modelde hata term hmal edlmş tüm değşkenlern etksn temsl edeblr. Fakat eğer X ve ε lşkl se, onların Y üzernde breysel etklern değerlendrmek mümkün değldr. Buna göre eğer X ve ε poztf doğrusal lşkl se ε artarken X artacaktır veya ε azalırken X de azalacaktır. Benzer olarak eğer X ve ε negatf lşkl se ε azalırken X artacaktır yada ε artarken X azalacaktır. Her k durumda da X ve ε nn Y üzerndek etksn ayırmak zordur. Bu nedenle klask regresyon analznde X değerlernn sanş değşken olamadığı, blnen sabtler olduğu kabul edlr. Regresyon analznde kullanılan modeller statstksel olarak anlamlı bulunsalar da, gerçek duruma uygunlukları uzmanlarınca değerlendrlmel ve gerekl düzeltmeler yapılarak, tahmnlern geçerllğne sürekllk kazandırılmalıdır. 1. DENEY TASARIMI VE REGRESYON MODELLERİ Regresyon ve deney tasarımında y şans değşkennn davranışını açıklamak amacıyla kullanılan modeller genellkle statstksel doğrusal modellerdr. Doğrusal regresyon analz ve deney tasarımı uygulamaları arasındak en belrgn fark verlern elde edlmes aşamasında ortaya çıkar. Bu farklılık sonuç olarak gerçekleştrlen ver analzne de yansır. Regresyon analznde ver toplama 8

şlem pasf br gözlemleme ve kayıt etme şlem olup deney tasarımında se verlern elde edlmes çn önceden belrl plan ve düzenlemeler gerçekleştrlr. Br dğer öneml fark açıklayıcı değşkenlern yapısında olup regresyon analznde bu değşkenler genellkle sürekl br ölçekte tanımlanmış olup deney tasarımında se açıklayıcı değşkenler genellkle faktör olarak adlandırılır ve nomnal ya da sıralı (ordnal) ölçekte tanımlanmış olablrler. Bu durum Bölüm 9 da ncelenecektr. Örneğn br ürün çn belrl br gübre tpnn değşk mktarlarının hasılat üzernde oluşturduğu etknn ncelendğ br araştırmanın k farklı yaklaşımı ele alınsın. İlk yaklaşımda bu gübrey kullanan çftçler belrlenr ne kadar gübre kullandıkları ve tarladan elde edlen ürün mktarı kayıt altına alınır. Daha sonra verler analz edlerek alınan ürün mktarı le verlen gübre mktarı arasındak lşk modellenmeye çalışılır. Uygulanan yaklaşım doğrusal regresyon analzdr. İknc yaklaşımda se, kullanılablecek en az ve en çok gübre mktarları belrlenr. Bu aralıktak gübre mktarlarından hang değerlern araştırmaya alınacağı, her br gübre mktarında kaç deneme (tekrar) yapılacağı, araştırmanın yapılacağı tarlaların özellkler ve sonuçlara etk edeblecek dğer potansyel faktörler de dkkate alınarak nasıl br deneme planı oluşturulacağı ve hang modeln ve analz yöntemnn kullanılacağı önceden belrlenr. Daha sonra uygulana bu plan çerçevesnde gerçekleştrlr. Son yaklaşım deney tasarımı yöntem olarak adlandırılır. Bu yaklaşımlarda kullanılan tek değşkenl ya da tek faktörlü modeller: Regresyon model: y 0 1X Deney tasarım model: y şeklnde olup gerçekte brbrne denktr. İfade şeklndek en öneml fark regresyon modellnde gözlenen gübre mktarının doğrudan modelde yazılması, deney tasarımında se kodlanarak yazılmasıdır. Bu konu daha detaylı olarak Bölüm 9 da ncelenecektr. 1.3 İKİ DEĞİŞKEN ARASINDAKİ DOĞRUSAL İLİŞKİ Brçok deneysel çalışmada br değşkendek değşmn dğer br değşken üzerndek etks ncelenmek stenmektedr. Bazen k değşken arasındak lşk br doğru le fade edleblr. Örneğn bast br devrenn drenc R sabtken akım I, (Ohm kanununa göre I=V/R)uygulanan voltaj V ye bağlı olarak değşmektedr. Eğer Ohm kanunu blnmyor olsaydı R sabt tutulmak üzere V nn farklı değerlerne karşılık I nın değerler gözlenerek aralarındak aşağı yukarı doğrusal lşk elde edleblrd. Burada aşağı yukarı fades lşk kesn olsa ble ölçümler küçük hatalar taşıyableceğ çn gözlenen noktalar tam olarak doğrunun üzernde olmayacağı ve bu doğru etrafında rassal br şeklde dağılacağını vurgulamak çn kullanılmıştır. Fakat sabt br R değerne karşılık verlen br V değer çn I nın değer tahmnlenrken bu doğru kullanılır. Bazı durumlarda doğru şeklndek lşk doğru olmasa ble yne de anlamlıdır. Örneğn belrl br anakütle çn yetşkn erkeklern ağırlıkları ve uzunlukları ele alınsın. Eğer (Y 1,Y )=(ağrılık,uzunluk) ver çftlernn nokta grafkler (scatter dagram) çzlrse aşağıdak gb br şekl elde edlr. 9

Unutulmamalıdır k verlen herhang br uzunluk değer çn belrl br aralıkta ağırlık değerler mevcut ve aynı zamanda tam ters de mevcuttur. Bu varyasyon kısmen ölçme hatalarından kısmen de breyler arası farklılıktan kaynaklanmaktadır. Bu yüzden ağırlık ve uzunluk arasında eşsz br lşk beklenemez. Fakat gözlemlenmş br uzunluk çn ortalama ağırlık, uzunluk arttıkça artma eğlmndedr. Bu şeklde gözlemlenmş br uzunluk çn ortalama ağırlık versnn yerne uzunluğa karşın ağırlığın regresyon eğrs denr ve Y f Y 1 le gösterlr. Aynı zamanda buna benzer br şeklde ağırlığa karşı uzunluğun regresyon eğrs de mevcuttur ve Y g 1 Y le gösterlr. Bu k eğrnn de brer doğru olduğu varsayılsın. Genellkle bu k doğru şeklde de gösterldğ gb aynı değldr. Şmd de br breyn uzunluğunun gözlemlendğ fakat ağırlığının tahmnlenmek stendğn varsayalım. Ağırlığın uzunluk üzerndek regresyon doğrusu kullanılarak verlen br uzunluk değer çn gözlemlenmş ortalama ağırlık değer br tahmn olarak kullanılablr. Uzunluk ve ağırlık gb rassal değşken çftler k değşkenl olasılık dağılımlarına sahptr. Br rassal değşken Y nn br sabt olan X e olan bağımlılığıyla lglenldğnde Y le X arasındak lşky gösteren denkleme regresyon denklem denr. Açıklayıcı değşkenler brer rassal değşken olmamalarına karşın yanıt değşkenler brer rassal değşkendr. Bu durum oldukça ender görülmektedr ve bu durumun sağlanamaması halnde daha karmaşık uyum yöntemlerne htyaç duyulur. Bahsedlen sorunun üstesnden geleblmek çn en küçük kareler yaklaşımında açıklayıcı değşkendek rassal değşmn değşkenn kend tanım aralığına kıyasla oldukça küçük ve hmal edleblr olduğu varsayılır. Bu varsayım nadren gerçekleşr fakat tüm en küçük kareler uygulamalarında açıklayıcı değşkenlern sabt oldukları varsayılır. Burada sabt term, rassal olmayan anlamındadır. Tam doğrusal br lşk, böyle br lşknn mevcut olamayacağı blndğnde dah yararlı olablr. Aşağıdak şekldek yanıt lşks ele alınsın. 10

0 X 100 aralığında k değşken arasındak lşk tam doğrusal değldr. Fakat aralık 0 X 45 olarak alındığında, k değşken arasındak lşky tanımlamak çn br doğru oldukça kullanışlı olablr. Bu şeklde uyumu yapılan br lşk, X n bu kısıtlanmış aralık dışında değer almasına ve bu aralık dışında tahmn yapılmasına zn vermez. Aynı çıkarımlar brden fazla açıklayıcı değşkenn olduğu durumlar çn de yapılablr. Yanıt değşken Y nn X,..., 1, X X k açıklayıcı değşkenlerne bağlı olduğu br durum ele alınsın. Verlerden X uzayının belrl bölgelern kapsayacak şeklde br regresyon denklem elde edlr. ' Örneğn X X X X 10, 10 k0 0,..., aldığı varsayılsın. Matematksel olarak noktasının, orjnal verler tarafından kapsanan bölgenn dışında yer ' X0 noktası çn br Yˆ değer elde edeblrz. Fakat ' X0 noktası, orjnal bölgenn dışında yer alıyorsa bu tahmn oldukça tehlkeldr ta k regresyon denklemnn X uzayının daha uzak bölgelernde geçerl olduğu hakkında ek blg elde edlnceye kadar. Bazen çok boyutlu uzaylarda önerlen noktanın bölgenn dışında yer alıp almadığının tespt zordur. Bast br örnek olması bakımından yukarıdak şeklde elps le belrtlen bölge ele alınsın. Şeklde tüm X 1, X ver noktaları bu alanda yer almaktadır ve bu noktalara karşılık gelen Y değerler dkey olarak konumlandırılmış fakat gösterlmemştr. Şeklden görülebleceğ üzere, 11

1 X1 9ve.4 X 6. 3 aralığındak verler bu bölgede yer almaktadır. P noktasının X1 ve X koordnatları bu bölgede yer alsa da P noktasının kends bu bölgenn dışındadır. 1.4 İYİ BİR UYUM İÇİN MÜMKÜN KRİTERLER İy br uyum nedr? Bu sorunun cevabı, elbette k toplam hatayı mnmum yapan uyum, y br uyumdur şeklndedr. Regresyon analznde amaç, kurulan model le elde edlen tahmnlenmş Ŷ değerlernn gözlenmş Y değerlern yeternce küçük br hata le temsl edeblme yeteneğne sahp olablmesdr. Tpk br hatanın grafksel fades Şekl 1.1 de gösterlmektedr. Hatanın gözlenmş (modelden tahmnlenmş) değer artık olarak adlandırılır ve gözlenmş Y değerler le uyum yapılmış doğru arasındak dkey uzaklık Y ˆ olarak tanımlanır. Yukarıdak fadede verlen Ŷ,, Y gözlenmş Y değernn uyumu yapılmış değer başka br deyşle doğrunun ordnatıdır. Gözlenmş Y değer doğrunun üst kısmında olduğunda artık poztf, alt kısmında olduğunda se artık negatftr. Gerçekte verlere uyumu sağlanan matematksel br modeldr. İy uyumu model kavramı altında statstksel olarak açıklarsak; model, etk eden faktörlern etks le doğal varyasyonu brbrnden ayırma dereces olarak kullanablrz. Aşağıda anlatılanlar doğru modeln tespt edldğ varsayımı altında y uyum krterlerdr. Şekl 1.1 Br doğruya uyumu yapılan noktalardak hata (artık) Brnc krter değerlendrmek üzere, tüm hataların toplamını mnmze eden uyumu yapılmış br doğru dkkate alınacaktır. Hataların toplamı, Y ˆ Y şeklnde fade edleblr. Bu krter kullanmak pek faydalı değldr. Bunun neden, aynı gözlemler kullanılarak uyumu yukarıdak krtere göre yapılmış k doğru üzernde açıklanablr. Şekl 1. de verlen bu k doğrudan br görecel olarak y dğer se oldukça kötüdür. Her k durumda da sorun şaretlerden kaynaklanmaktadır, poztf ve negatf hataların toplamı sıfır değern vermektedr. İy ve kötü uyum arasındak farkı ortaya koymadığı çn bu krter reddedleblecektr. (1.6) 1

Şekl 1. Y Y ˆ krter çn aynı üç noktaya uyumu yapılan k farklı doğru Yukarıda değnlen şaret problemn gdermenn k yolu mevcuttur. Bunlardan brncs hataların mutlak değerlernn toplamını mnmze etmektr. Y ˆ (1.7) Y Poztf ve negatf değerler bu krterde brbrlern düzeltemeyeceklerdr. Böylece Şekl 1..b dek gb kötü uyumları engelleyecektr. Bununla brlkte bu krterde de br dezavantaj vardır. Şekl 1.3 de bu durum açıklanmaktadır. Verlen krtere göre (b) dek uyum daha ydr. Çünkü Y Yˆ 3 olup 4 den küçüktür. (b) dek doğru ncelendğnde bu doğrunun uç noktalar çn en y doğru olduğu görülmektedr. Bununla brlkte ortadak nokta dkkate alınmamaktadır. Bu nedenle probleme ortak br çözüm getrmemektedr. (a) dak doğru se tüm noktaları dkkate aldığı çn terch edleblecektr. İşaret problemn ortadan kaldıracak knc yöntem se hataların kareler toplamını, ˆ Y Y (1.8) mnmze etmektr. Bu krter en küçük kareler yöntem olarak adlandırılır. Bu yöntemn avantajları aşağıda verlmştr. a) En küçük kareler yöntemnn cebrsel şlemler oldukça basttr. b) Hataların karesnn alınması şaret problemn ortadan kaldırır. c) Kare alma şlem büyük hata termlern daha da büyüterek vurgulanmasını sağlar. Bu krtern uygulanması çn çalışmalar yapılırken eğer mümkünse büyük değerl hatalar modelde yapılacak düzeltmelerle ortadan kaldırılır. Bu nedenle krter uygulanırken tüm noktalar dkkate alınmaktadır. Şekl 1.3 de verlen uyumlar bu krtere göre değerlendrldğnde (a) dak uyum (b) ye göre terch edlr. 13

Şekl 1.3 Y Y ˆ krter çn aynı üç noktaya uyumu yapılan k farklı doğru. 1.5 EN KÜÇÜK KARELER TAHMİNLEME YÖNTEMİ Gözlemlere en y uyumu sağlayan, doğrusal ya da doğrusal olmayan modeln uyarlanması çn br çok yöntem vardır. En küçük kareler (EKK) yöntem bunlar arasında en yaygın olarak kullanılanıdır. Burada açıklanması gereken öneml br nokta vardır. EKK yöntem gözlemlere en y uyum sağlayacak matematksel model bulmaz, matematksel model belrlenmş br durum çn, verlere en y uyum sağlayacak parametre tahmnlern yapar. Örneğn, gerçek modeln üçüncü dereceden br polnom olduğu durumda kullanılacak modeln üçüncü dereceden br polnom olması gerektğn belrtmez. Eğer bu durumda uyumu sağlanacak br doğru söz konusu se EKK yöntem gözlemler le doğrunun en y uyumunu sağlayacak parametreler tahmnler. EKK yöntem, belrlenen modelde hata kareler toplamını mnmum yapan ve parametrelern sapmasız mnmum varyanslı tahmnlern elde eden yöntemdr. 14