Matık ve İsatlaı Temellei Ayık Yaıla Öemele Matığı Öeme, doğu veya yalış bildiim ifadesidi. Akaa, Tükiye'i başketidi. Tooto Kaada ı başketidi. 1+1= +=3 Doğu Yalış Doğu Yalış Öeme olmaya duumla; Saat kaç? Ali tou at! x+1 = K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 1
= Bu gü Peşembe di. Doğuluk tablosu T F F T K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 3 Kesişim: = Bu gü Peşembe di. = Bu gü yağmu yağıyo. Doğuluk tablosu T T T T F F F T F F F F K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 4
= Bu gü Peşembe di. = Bu gü Cuma dı. Bileşme: Doğuluk tablosu T T T T F T F T T F F F K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 5 XOR: = Bu gü Peşembe di. = Bu gü Cuma dı. Sadece bii doğu ise doğu Doğuluk Tablosu T T F T F T F T T F F F K. Busch - LSU des otlaıda 6 3
(hiotez (çıkaım Koşullu ifade: if the imlies follows fom oly if is sufficiet fo Doğuluk Tablosu T T T T F F F T T F F T K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 7 Koşullu ifade: Zıt ozitif: Eşdeğe (ayı doğuluk tablosu Zıt: Tes: Eş değe K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 8 4
Çift yölü koşullu ifade: if ad oly if iff If the ad covesely is ecessay ad sufficiet fo Doğuluk tablosu T T T T F F F T F F F T K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 9 Bileşik öemele T T F T T T T F T T F F F T F F F T F F T T F F Oeatölei öceliği Yüksek Düşük K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 10 5
Öemelei dilsel ifadesi s K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 11 Logic ad Bit Oeatios Boolea değişkelei OR AND XOR x y x y x y x y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 T 1 F 0 Bit dizisi 0110110110 1100011101 1110111111 bit duzey OR 0100010100 bit duzey AND 1010101011 bit duzey XOR K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 1 6
Bileşik öeme: Öemelede eşitlik Totoloji (tutalılık : Geellikle doğu Çelişki: Geellikle yalış totoloji çelişki T F T F F T T F Olasılık:Totoloji yoksa ve Çelişki yoksa K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 13 Matıksal eşitlik; Bileşik öeme: Totolojidi. Ayı doğuluk tablosua sahiti. Öek: x x y x y x x T T F T T T F F F F F T T T T F F T T T y y x y K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 14 7
De Moga kuallaı ( ( ( T T T F F F F T F T F F T F F T T F T F F F F F T T T T K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 15 Taımlayıcı yasala T F Ayılık yasalaı Domiat yasala T T F F Tesleme yasalaı T F Çift tesleme yasalaı ( K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 16 8
9 K. Busch - LSU des otlaıda 17 Değişme yasası Bileşme yasası Dağılma yasası Yutma yasası K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 18 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Koşullu öemele Çift yölü koşullu öemele
Matıksal deklikle ( ( ( sice x y x y ( (De Moga s laws Tamlama özelliği K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 19 Yüklem ve Niteleyicile değişke Pedicate; (yüklem Öeme foksiyolaı P( : x 3 Q( x, y : x y 3 R( x, y, z : x y z K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 0 10
Yüklem matığı A( CS1 T A( CS F A( MATH1 T B( CS1 F B( CS T B( MATH1 F K. Busch - LSU des otlaıda 1 Yüklem matığı yüklem -ay edicate P( : x 3 Q( x, y : x y 3 3-ay edicate R( x, y, z : x y z P(1 F P(4 T Q(4,1 T Q(3, F R(1,1, T R(,1,1 F -ay edicate P( x, x,, x 1 K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 11
Uivesal uatifie (Geel iteleyicile: P x P( ( (domaideki he elema içi : x 1 x fo all x it holds P(x x P( is tue x i he sayısal değei içi Q ( : x 0 (domaideki he elema içi x Q( x is ot tue i he sayısal değei içi Zıt öek: Q(0 F K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 3 Existetial uatifie (Vaoluşsal Niteleyicile: x x P( thee is such that P(x P( : x 3 x P( is tue because P(4 T Q( : x 1 1 x 0 x Q( is ot tue K. Busch - LSU des otlaıda 4 1
Fo fiite domai (Solu domai içi { x, x,, x 1 } x x P( P( x P( P( x 1 P( P( x P( P( x 1 K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 5 Quatifies with esticted domai (Sıılı etkili iceleyicile x 0 ( x y 0 ( y z 0 ( z 3 0 0 Oeatölei öceliği Yüksek düşük K. Busch - LSU des otlaıda 6 13
x( x y 1 Bağlı değişke Bağımsız değişke x( P( Q( xr( x i kasamıda x i kasamıda K. Busch - LSU des otlaıda 7 Nicelik ile matıksal deklikle x( P( Q( xp( xq( x( P( Q( xp( xq( x( P( Q( xp( xq(? x( P( Q( xp( xq(? False False K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 8 14
Nicelikle içi De Moga kualı xp( xp( xp( xp( K. Busch - LSU des otlaıda 9 Öek: x( P( Q( x( P( Q( x( P( Q( Hatılatma: ( K. Busch - LSU des otlaıda 30 15
Matıksal ifadelei dilsel döüşümü P(=x bi siek kuşudu. Q(=x büyük kuştu. R(=x balda yaşıyo S(=x egaekti. Bütü siek kuşlaı egaekti Büyük olmaya kuşla balda yaşa Balda yaşamaya kuşla az eklidi Siek kuşlaı küçüktü x( P( S( x( Q( R( x( R( S( x( P( Q( K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 31 Nested Quatifies (İç içe iceleyicile Additive ivese (Tes katkı xy( x y 0 Commutative law fo additio (Ek içi bileşme yasası xy( x y y Associative law fo additio (Ek içi bileşme yasası xyz( x ( y z ( x y z K. Busch - LSU des otlaıda 3 16
Ode of uatifies (Niceleyicilei ode xyp( x, y yxp( x, y xyp( x, y yxp( x, y K. Busch - LSU des otlaıda 33 Niceleyicilei sıalaması geelde değişmez xyp( x, y yxp( x, y? tue xy( x y 0 yx false ( x y 0 yxp( x, y xyp( x, y Tesi doğu değildi K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 34 17
Matematiksel ifadelede geçiş İki ozitif tam sayıı tolamı geellikle ozitifti xy(( x 0 ( y 0 ( x y 0 Sıfı haiç he geçek sayıı çaımıa göe tesi vadı. x(( x 0 y( xy 1 K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 35 Dilsel geçişle x( C( y( C( y F( x, y He öğecii bi bilgisayaı vadı veya bi bilgisaya sahibi olala akadaştı K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 36 18
xyz(( F( x, y F( x, z ( y z F( y, z Bi bii ile akadaş ola hiç bi öğeci yoktu K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 37 Matıksal ifadelei dilsel döüşümü Eğe bi kişi baya ve ebevey ise bu kişi biii aesidi x(( F( P( ym ( x, y Baya ebevey i aesi y K. Busch - LSU des otlaıda 38 19
Hekesi geçek bi dostu vadı xy( B( x, y z(( z y B( x, z Geçek dost K. Busch - LSU des otlaıda 39 Çıkaım kuallaı If se bi asswode sahise, the se etwoke giiş yaabilisi Se bi asswode sahise O halde; Se etwoke giiş yaabilisi Geçeli göüş: if Ali iyagoyu kazaısa the aaba alacak. Ali iyagoyu kazadı, o halde Ali aaba alacak. Modus Poes K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 40 0
If 1, the 1 We kow that 1 (tue Theefoe, 1 1 Geçeli duum; Souç doğudu. (tue K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 41 If 3 3, the We kow that 3 (false Theefoe, 9 3 4 Geçeli duum, Souç yalış (false K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 4 1
Modus Poes (( If ad the K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 43 Modus Poes Çıkaım kuallaı Modus Tolles Vasayımsal kıyas Ayıcı kıyas K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 44
Ekleme Çıkaım kuallaı Sadeleştime Bağlaç Çözüm K. Busch - LSU des otlaıda 45 Şimdi, ka yağıyo. Bua göe, ya ka yağa, ya da yağmu yağa. Ekleme K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 46 3
ka yağa, ve yağmu yağa. Bu göe, Şimdi ka yağıyo. Basitleştime K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 47 If bu gü yağmu yağıyosa, the biz bu gü babekü yaamayacağız If biz bu gü babekü yaamazsak the biz yaı babekü yaaız. Bua göe, if bu gü yağmu yağasa, the biz yaı babekü yaacağız Vasayımsal kıyas K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 48 4
Ka yağmıyo. o Jasmie kayak kayıyo. Ka yağıyo. o Bat hockey oyuyo. Bua göe, Jasmie kayak yaıyo o Bat hockey oyuyo. Çözüm: K. Busch - LSU des otlaıda 49 Hiotez: Bu gü öğlede soa güeşli değil ad düde daha soğuk olacak. Biz yüzmeye gideceğiz oly if Güeşli Souç: t s s t If Biz yüzmeye gidemezsek, the Biz kao gezisie gideceğiz. If biz kao gezisi yaasak, the biz gü batımıa evde olacağız. Biz gü batımıa evde olacağız. s s t K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 50 5
1.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. s s s t t Hiotez 1 de sadeleşmişi Hiotez,3 de Modus tolles Hiotez 4,5 de Modus oes Hiotez 6,7 de Modus oes K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 51 Souç doğulamaı yaılgısı If bu kitataki bütü oblemlei yaasa the Kesikli matematiği öğeeceksiiz. Se kesikli matematiği öğediiz Bu yüzde, Se bu kitataki he souyu yatı. K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 5 6
Hiotezi ika yaılgısı If bu kitataki bütü oblemlei yaasa the Kesikli matematiği öğeeceksiiz. Se bu kitataki he oblemi yamazsa Bu yüzde, Se kesikli matematiği öğeemeyeceksi K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 53 Nicelikle içi çıkaım kuallaı Evesel Öeklem xp( P( c fo ay c Evesel Geelleme P( c fo abitay c xp( Vaoluşçu Öekleme xp( P( c fo some c Vaoluşçu Geelleme xp( K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti P( c fo some c 54 7
Öceki duum: C( B( Sııftaki bi öğeci kita okuyamaz. x( C( B( C( P( Sııftaki he hagi bii ilk sıavı geçti. x( C( P( Souç: P( B( İlk sıavı geçe hehagi bii kita okuyamaz. x( P( B( K. Busch - LSU des otlaıda 55 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. x( C( B( C( a B( a C( a x( C( P( C( a P( a P( a B( a P( a B( a x( P( B( Öcül 1 de vaoluşçu öeklem de sadeleştime Öcül 1 de evesel ökelem 3-5 de Modus Poes de sadeleştime 6-7 de ilişkiledime 8 de vaoluşçu geelleme K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 56 8
Evesel Modus Poes x( P( Q( P( a, fo some aticula a i domai Q( a P( Q( He ozitif if the x 4 x x x içi; x( P( Q( 100 4 Böylece, 100 100 P(100 Q(100 K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 57 İsatla Teoem: isat edilmek istee esas souç Lemma (yadımcı teoem: teoemi isat etmek içi kullaıla ya souç Aksiyom: temel geçek Coollay (souç: bi teoemi doğu soucu Cojectue (vasayım: isatlaacak duum K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 58 9
İsatlamak istesek; x( P( Q( İsat tekiği; c' i bazı keyfi duumla içi; P( c Q( c ve geel iteleyicilee uygulasak. K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 59 Diek isat: P( c Q( c Tesi ile isat: Q( c P( c Tesi ile isat: P( c ( Eğe isatlamak istesek: P(c K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 60 30
Taımlama: itege itege is eve k k is odd k k 1 Bi tam sayı ya tekti yada çiftti. K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 61 Teoem: Eğe bi çift tam sayı ise, de çiftti. P( Q( İsat: (diekt isat P( Q( is eve k k (k 4k (k Bu edele, çiftti. K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti İsatı sou 6 31
Teoem: Eğe tek tam sayı ise, de tek sayıdı. is odd P( Q( İsat: (Diekt isat P( Q( is odd k k 1 (k 1 4k 4k 1 (k k 1 Bu ede, tekti. İsatı sou K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 63 Teoem: Eğe çift tam sayı ise, de çiftti. P( Q( İsat: (Tes ile isat Q( P( Q( P( is odd is odd (so isata bakıız P( Q( Bu edele: İsatı sou K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 64 3
Teoem: Eğe tek tam sayı ise, de tekti. P( Q( İsat: (Zıttı ile isat Q( P( Q( P( is eve is eve P( Q( Bu edeel: İsatı sou K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 65 Teoem: iasyoel ise P İsat: (Zıttı ile isat P ( P : Rasyoel olduğu vasayılısa : m ve m i 1 de büyük otak bölei yoktu. Bu edele: P K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 66 33
m m m k 1 ( m is eve m 4k1 k1 k ( is eve : m k k 1 otak böledi. Bu edele: P K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 67 Bu edele: P P ( P P ( ( P çelişki Bağlaç K. Busch - LSU des otlaıda 68 34
Bu edele: P ( ( ( P P Modus Tolles K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti İsatı sou 69 Zıt öek Yalış duum: He ozitif tam sayı, iki tamsayıı kaeleii tolamıdı. x 0 yz( x y z Zıt öek x 3 3 1 3 1 1 1 4 5 Bi başka kombiasyo 3 de daha büyük tolam olabili. K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 70 35
İsatlamak istesek Duumlaı kaıtı: Biliyouz ki; 1 Buu yeie, biz he duum içi isatlayabiliiz 1 ( 1 ( ( Duum 1 Duum Duum K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 71 Teoem: Eğe tamsayı ise Duum 1 Duum Duum 3 İsat: is itege ( 0 ( 1 ( -1 Duum 1: 0 0 0 Duum : 1 1 Duum 3: 1 0 İsat sou K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 7 36
Vaoluş isatlaı Teoem: İki faklı şekildeki kü tolamı olaak yazılabile bi ozitif tam sayı vadı. İsat: (Olumlu vaoluş isatı 3 3 3 179 10 9 1 1 3 İsat sou K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 73 Teoem: x y x, asyoel ise i iasyoel bi sayıla vadı. y İsat: (Olumsuz vaoluş isatı Biliyouz ki: iasyoeldi. If is atioal x, y If is iatioal x, y x y 1 İsat sou Rasyoel K. Busch - LSU des otlaıda çeviilmişti 74 37