KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ Prof.Dr.Burhn Celil Işık (YTÜ) Doç.Dr. Erol Yvuz (Okn Üniversitesi)
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi. BÖLÜM AÇI VE YAY BİRİMLERİ Açı ve yy irimleri şğıd olduğu ii 4 rupt ineleneilir. Bunlr; ) Deree ) Grd ) Rdyn d) Milyem.. Deree Çemerin 360 d iri ir dereelik yydır. Bu yyın iki uunu merkezle irleştiren iki doğru prçsı rsındki çıklık (çı) d ir dereelik ( ) çıdır. Altmışlık sistem olrk dlndırıln u sistemde, deree 60 ölünerek deree dkiksı ( ), dkik d 60 ölünerek deree sniyesi ( ) elde edilir. lik ir yyın uzunluğu: r y = r 360 80 80 y r (.).. Grd Çemerin 400 de iri ir rtlık yydır. Bu yyın iki uunu merkezle irleştiren iki doğru prçsı rsındki çıklık (çı) d ir rd lık vey ir on luk ( ) çıdır. Yüzlük sistem olrk dlndırıln u sistemde, rd 00 e ölünerek rd dkiksı ( ), dkik d 00 e ölünerek rd sniyesi ( ) elde edilir. on = 000mon lık ir yyın uzunluğu: r y = r 400 00 00 y r (.)
.3. Rdyn KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 3 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Bir çemerde uzunluğu yrıçp eşit oln yy ir rdynlık ( R ) yydır. R lık ir yyın uzunluğu: y = r (.3) Bun öre rdynlık ir yyın uzunluğu : y r olur..4. Milyem Çemerin 6400 de iri ir milyemlik yydır. Bu yyın iki uunu merkezle irleştiren iki doğru rsındki çıklık (çı) d ir milyemlik ( ) çıdır. milyem km uzklıkt yklşık m lik enine kymy krşı eldiğinden ve rkmlr doğru orntılı değiştiğinden prtikte özellikte skeriyede (topçulukt) hlen kullnılmktdır lik ir yyın uzunluğu: r y = r 6400 300 300 y r (.4).5. Açı ve yy irimleri rsındki dönüşümler Bir yyın içinde ulunduğu tüm çemere ornı her irim için ynı olğındn, çı ve yy irimleri rsınd şğıdki orn yzılilir. D G R M R 80 00 300 y d 80 00 300 yukrıdki eşitlik ikişer ikişer lınrk irimler rsı dönüşüm ypılilir.
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 4 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi. BÖLÜM BİR AÇININ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI, OA ve OB doğrulrı rsındki çı, s de OB doğrusunun uzunluğu olsun. Bu durumd çısının trionometrik fonksiyonlrı Şekil. den II III s B O x A I y IV Şekil. sin tn os y s y x s y x os s x ot y se s x (. ).. Trionometrik Fonksiyonlrın İşretleri Trionometrik direde öleler değiştikçe trionometrik fonksiyonlrınd işretleri değişir. Tlo. : Bölelere öre trionometrik fonksiyonlrın işretleri Böle I II III IV Tri.Fonk. sin + + - - os + - - + tn + - + - ot + - + -
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi.. Trionometrik Fonksiyonlrın Değişimleri Tlo. : Bölelere öre trionometrik fonksiyonlrın değişimleri Böle sin os tn ot I 0 II III 0 IV 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3. Bzı Açılrın Trionometrik Fonksiyonlrı Tlo.3 : Bzı çılrın trionometrik fonksiyonlrının değerleri Açı Tri.Fonk 0 30 45 60 90 80 70 360 sin 0 3 0-0 os 3 0-0 tn 3 0 3 3 0-0 ot 3 3 3 0-0.4. Açılrın Trionometrik Fonksiyonlrının Bir Dr Açının Trionometrik Fonksiyonu Olrk Yzılmsı Tlo.4 : Herhni ir çının trionometrik fonksiyonlrının ir dr çının trionometrik fonksiyonlrı şeklinde ifde edilmesi Tri.Fonk (90 0 -) (90 0 +) (80 0 -) (80 0 +) (70 0 -) (70 0 +) (360 0 -) sin os os sin -sin -os -os -sin os sin -sin -os -os -sin sin os tn ot -ot -tn tn ot -ot -tn ot tn -tn -ot ot tn -tn -ot
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 6 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi.5. Trionometrik Fonksiyonlrın, Bu Fonksiyonlrdn Biri Cinsinden İfdeleri Tlo.5 : Trionometrik fonksiyonlrın, u fonksiyonlrdn iri insinden ifde edilmesi İstenen sin os tn ot Bilinen sin sin os os tn tn tn tn ot ot ot ot sin sin os os ot sin sin os os tn sin os s s s tn s s ot s se (.) s + tn s + ot sin - os tn se se (.3) sin se se os tn se ot se se (.4) se + ot s + tn (.5) - sin os Cot s
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 7 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 3. BÖLÜM DAİRE KESMESİ VE DAİRE PARÇASI Bir direde yyın iki uun it yrıçplr ile yy rsınd kısım dire kesmesi, kiriş ile yy rsınd kln kısımd dire prçsı olrk tnımlnır. Direnin lnı F D, dire kesmesinin lnı F K, dire prçsının lnı d F DP ile österilirse; F D = r (3.) F = r K (3.) F = DP r sin (3.3) Şekil 3. : Dire kesmesi ve dire prçsı
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 8 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 4. BÖLÜM TEMEL TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER tn ot sin os ot tn os sin (4.) sin os tn ot (4.) 4.. İki Açının Toplm ve Frkının Trionometrik Fonksiyonlrı : sin sin os os sin os os os sin sin sin sin os os sin os os os sin sin (4.3) tn tn tn tn tn ot ot ot ot ot tn tn tn tn tn ot ot ot ot ot (4.4) 4.. İki ve Dh Çok Kt Açılrın Fonksiyonlrı : sin sin sin os sin os sin os os os os os sin sin os sin os sin tn tn, ot - tn ot ot (4.5) 3 sin 3 sin sin, os 3 os os (4.6) 3 sin n sin ( n-) os sin ( n- ) os n os ( n-) os os ( n- ) (4.7) sin os os os
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 9 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi tn os os ot os os (4.8) 4.3. Yrım Açı Formülleri : sin os os os tn os os ot os os (4.9) sin sin sin os sin os sin os os os os os sin sin os sin tn - tn tn ot tn tn tn tn tn tn (4.0) 4.4. Dönüşüm Formülleri : sin sin sin + os - os os os + os - sin sin sin os + os os sin + sin (4.) sin sin [ os os os os [ os os
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 0 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin os [ sin sin os sin [ sin sin (4.) 5. BÖLÜM ÜÇGENLERİN ELEMANLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR Şekil 5. Kenrlrı,, çılrı,, oln ir ABC rsınd şğıdki ğıntılr vrdır. üçeninde (Şekil 5.) kenr ve çılr Sinüs teoremi sin sin sin R (5.) (5.) ifdesindeki R üçenin dışın çizilen çemerin yrıçpıdır. Kosinüs teoremi os os 5 os İzdüşüm (projeksiyon) teoremi os os os os 53 os os
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Mollweide (Guss) Formülleri os y d sin sin os (5.4) Mollweide (Guss) Formülleri frklı kenr ruplrı için (5.4) e enzer içimde yzılilir. Neper Formülleri tn tn (5.5) Neper Formülleri frklı kenr ruplrı için (5.5) e enzer içimde yzılilir. + + = u sin u(u )(u )(u ) + os (5.6) tn sin os 4 u(u )(u )(u ) + sin (u )(u ) os u(u ) tn (u )(u ) u(u - ) (5.7) Trionometrik fonksiyonlr (5.6) ve (5.7) de olduğu ii kenrlr insinden de ifde edileilir.
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5.. Üçenlerde Diğer Elemnlr Bir üçende yükseklikler : * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi h sin sin h sin sin h sin sin (5.8) h h h ot ot ot ot ot ot Bir üçenin lnı : (5.9) F = h h h sin sin sin ABC (5.0) sin sin sin sin sin sin F ABC = (5.) sin sin sin F = (5.) ( ot ot ( ot ot ( ot ot ABC u F ABC u(u )(u )(u ) Bir üçenin kenrortylrı : V os V os V os (5.3) V V ( ) V ( ( ) ) (5.4) Bir üçenin iç çıortylrı: n = sin ( sin sin ) n sin ( sin sin )
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 3 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi n sin sin sin (5.5) n os = + os os n = n = (5.6) + + Bir üçenin dış çıortylrı : n = os ( sin sin ) n os ( sin sin ) n os sin sin sin sin sin n = n n - = = - - (5.7) (5.8) Bir üçenin dış çemer yrıçpı : R sin sin sin R 4F R F sinsin sin (5.9) Bir üçenin iç çemer yrıçpı : r (u )(u )(u ) u sin sin os sin sin os sin sin os (5.0) r ot ot ot ot ot ot (5.)
Prlelkenr : KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 4 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 6. BÖLÜM DÖRT KENARLI ŞEKİLLERE İLİŞKİN BAĞINTILAR ), kenrlrı ve çısı ilinen ir prlelkenrın e, f köşeenleri ile çısının hesı : A B e f D C BD f B 400 D - os (6.) Şekil 6. 400 sin B sind sin ( ) sin (6.) AC e os - os Β (6.3) sin tn e f - os ( ) (6.4) ef 4 ) e, f köşeenleri ve F ABCD lnı ilinen ir prelelkenrd, kenrlrı ile ve çılrının hesı : tn 4F ABCD e - f F ABCD sin (6.5) ef sin F ABCD tn tn e f (6.6) (6.6) eşitliklerinden ve hesplnır. ) F ABCD lnı, u çevresi ve çısı ilinen ir prlelkenrd, kenrlrının, e, f köşeenlerinin ve çısının hesı : u u sin F 4sin ABCD (6.7) (6.7) eşitliklerinden ve hesplndıktn sonr e, f köşeenleri ile çısı (6.), (6.3) ve (6.4) eşitlikleri kullnılrk hesplnır.
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Ymuk : ) Prlel kenrlrı (, ) ile, çılrı ilinen ir ymukt, prlel olmyn kenrlrın, köşeenlerin ve lnın hesı : A B h f e h d D E F C Şekil 6. ADC BEC ECB DC ( ) tn tn ( ) h tn tn ot ot ( ) sinsin h (6.8) sin( h sin h sin ( - ) d ( - ) (6.9) sin sin( sin sin( e d - dos f - os (6.0) ( )h F ( ) sinsin ( ) ( ot ot sin( (6.) ) Kenrlrı ilinen ir ymukt ve çılrının hesı : os ( ) d ( ) os ( ) d d( ) (6.)
Kirişler dörteni : KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 6 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Kenrlrı (,,, d) ilinen ir kirişler dörteninde çılrın (,,, ), köşeenlerin (e, f ), lnın ( F ABCD ) ve içinde ulunduğu direnin yrıçpının hesı : D Kirişler dörteninde d =00-, =00-, =00-, =00- A B C olur. AC = f BD = e Şekil 6.3 ) ( d ) os ( d) os d ) ( ) ( d) d ) ( ) os ( d ) ) ( d ) os ( d ) (6.3) ( d) ( d ) BD e d dos d (6.4) AC f ( d ) ( d ) d os (6.5) F ABCD = F +F d sin sin (u - )(u- )(u- )(u - d) (6.6) d u R e sin 4 d d d u u u u d) (6.7)
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 7 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 7. BÖLÜM KONUM KOORDİNATLARINDAN AÇI, KENAR VE ALAN HESABI +X 400 0 IV I -Y 300 III II 00 +Y 00 X B X C X A A B C -X Y A Y B Y C Şekil 7.: Jeodezik dire Şekil 7. Köşe noktlrının Jeodezik dik koordintlrı ( Y, X ) ilinen ir ABC üçeninin kenrlrının (,, ), çılrının (,, ) ve lnının ( F ) ABC hesplnmsı. Üçenin kenrlrı, Y BC BC ( Y C Y B ) ( X C X B ) sin (BC) Y AC AC ( Y C Y A ) ( X C X A ) sin (AC) Y AB AB ( Y B Y A ) ( X B X A ) sin (AB) ğıntılrındn hesplnır. Üçenin lnı, Guss ln ğıntısındn X BC os (BC) X AC os (AC) X AB os (AB) (7.) F = Xn(Y n+ - Y n ) = XA(YB - YC ) + XB(YC - YA ) + XC(YA - YB ) (7.) hesplnır.
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 8 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Üçenin iç çılrı çıklık çılrı (doğrunun ir uundki noktd X eksenine prlel doğrultudn itiren st iresi yönünde doğruy kdr yptığı çı) frklrındn hesplnır. Açıklık çılrı hesplnırken öle sorulmsı ypılmlıdır. Aşğıdki eşitliklerden çıklık çılrı hesplnırken çının hni ölede olduğunun sorulnmsı son deree önemlidir. tn (AB) Y X B B Y X A A Y AB sin (AB) X os (AB) AB sin (AB) os (AB) (7.3) (BA) (AB) 00 (AB) > 00 (BA) (AB) 00 (AB) 00 (BA) (AB) 00 tn (AC) Y X C C Y X A A Y AC sin (AC) X os (AC) AC sin (AC) os (AC) (7.4) (CA) (AC) 00 tn (BC) Y X C C Y X B B Y BC sin (BC) X os (BC) BC sin (BC) os (BC) (7.5) (CB) (BC) 00 Sinüs trionometrik fonksiyonu Y nin, kosinüs trionometrik fonksiyonu d X in fonksiyonu olduğundn, öle sorulmsı Y ve X in işretlerine kılrk ypılır. Böle sorulmsı sonuund çıklık çılrının elde edilişi şğıdki tlod österilmiştir. Tlo 7. : Jeodezik direde öle sorulmsı Böle Y X Açıklık (AB) + + (AB)=(AB) + - (AB)=(AB)+00 3 - - (AB)=(AB)+00 4 - + (AB)=(AB)+400 Bu ön ililerden sonr, ir üçende iç çılr şğıdki ii hesplnır (Şekil 7.). (AB) (AC) (BC) (BA) (CA) (CB) (7.6) Üçen elemnlrının elde edilişi şekilden şekile frklılık österir. Bu nedenle önelikle, verilen koordintlr öre üçen yklşık olrk çizilmelidir.
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 9 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 8. BÖLÜM ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER SORU : 5 0354 değerinin rd ve rdyn krşılıklrını ulunuz. 5 0354 değeri ltmışlık irimde olduğundn, u değer ile doğrudn hes irilemez. Bu nedenle 5 0354 değeri deree, dkik, sniye olrk değil sdee deree olrk hes sokulmlıdır. 5 0354 değerinin dereeye çevrilmesi şğıdki ii ypılır. 54 3 5 60 5.065 elde edilen u değer, rd ve rdyn dönüştürme 60 işleminde kullnılk oln değerdir. Bundn sonrki işlemler şğıdki eşitliğin ikişer, ikişer kullnılmsındn irettir. D 80 G 00 R M 300 D 80 G 5.065 G 5.065 G 00 6.7389 00 80 00 80 D 80 R 5.065 80 R 5.065 R 3.459654 0.6933858 rd 80 SORU : Aşğıdki dönüşüm işlemlerini ypınız. ) 04 0 46 34?Grd, Rdyn ) 9.8676? Deree, Rdyn ).506 Rdyn =?Deree, Grd ) Açı irimleri rsındki dönüşüm için D G 80 00 R M 300
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 0 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi eşitliği kullnılır. Eşitlik şğıd olduğu ii ikişer, ikişer ele lınır. Bunun için önelikle deree, dkik ve sniye olrk verilen değer, sdee deree olrk ifde edilmelidir. D 80 G 00 34 46 04 60 60 80 G 00 00 G 04.776 80 6.479 D 80 R R 04.776 80.887 rd ) D 80 G 00 D 80 9.8676 00 9.8676 D 80 00 8.68084 Elde edilen değer deree, dkik sniye olrk ifde edileilir. 8.68084 8 0.68084 0.68084 60 X 60 0.68084 X 40.8504 40.8504 40 0.8504 0.8504 60 X X 60 0.8504 5.04 Sonuç olrk: D 8.68084 8 40 5.04 şeklinde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilmiş olur. G 00 R 9.8676 00 R 9.8676 R 00.443 rd D R D.506.506 ) D 80 87.40 87 07 6.40 80 80
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi G 00 R G 00.506.506 G 00 96.8044 SORU 3 : Aşğıdki dönüşüm işlemlerini ypınız. ) 06 0 35 48?Grd, Rdyn ) 9.495? Deree, Rdyn ).84 Rdyn =?Deree, Grd ) D 80 G 00 R M 300 D 80 G 00 48 35 06 60 60 80 G 00 00 G 06.5967 80 9.559 D 80 R R 06.5967 80 3.6058 rd ) D 80 G 00 D 80 9.495 00 9.495 D 80 00 73.8655 Elde edilen değer deree, dkik sniye olrk ifde edileilir. 73.8655 73 0.8655 0.8655 60 X 60 0.8655 X.93.93 0.93 0.93 60 X X 60 0.93.58 Sonuç olrk:
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi D 73.8655 73.58 şeklinde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilmiş olur. G 00 R 9.495 00 R 9.495 R 00 3.07rd D R D.84.84 ) D 80 5.454 5 0843.59 80 80 G 00 R G 00.84.84 G 00 39.0505 SORU 4 : 46 358.4967.5 rd?grd D 80 G 00 R M 300 D 80 G 00 8 35 46 60 60 80 G 00 00 G 46.59 80 5.7679 G 3 00 R G π 00 3.5 G π 3 00.5 79.5775 π Sonuç olrk, G = G- G+ G = 5.7679 -.4967 +79.5775 =8.8487 elde edilir. SORU 5 : 6. 438 + 95milyem -.364rd?Deree Çözüm için, D 80 G 00 R M 300 eşitliği kullnılır. Eşitlik şğıd olduğu ii ikişer, ikişer ele lınır.
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 3 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi D 80 G 00 D 6.438 80 00 3.7949 Elde edilen değer deree, dkik sniye olrk ifde edileilir. 3.7949 3 0.7949 0.7949 60 X 60 0.7949 X 47.6574 47.6574 47 0.6574 0.6574 60 X X 60 0.6574 39.44 Sonuç olrk: D 3.7949 3 4739.44 şeklinde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilmiş olur. D 80 M 300 D 80 95 300 5.34375 Elde edilen değeri yukrıd olduğu ii deree, dkik ve sniye olrk ifde edilirse, D 5.34375 5 037.50 olrk elde edilir. D 3 80 R D 3.364 80 78.577 Elde edilen değer ynı şekilde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilirse, D 3 78.577 78 095.8 olrk elde edilir. Sonuç olrk, D D D D 3 3.7949 5.34375 78.577 40.98087 40 585.3 elde edilir.
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 4 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 6 : 46. 476-38.379 + 0.7635milyem?Deree D 80 G 00 R M 300 46. 476 46. 476 400.0000 346.476 D 80 G 00 D 346.476 80 00 3.77584 Elde edilen değer deree, dkik sniye olrk ifde edileilir. 3.77584 3 0.77584 0.77584 60 X 60 0.77584 X 46.5504 46.5504 46 0.5504 0.5504 60 X X 60 0.5504 33.0 Sonuç olrk: D 3.77584 3 4633.0 şeklinde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilmiş olur. D 80 G 00 D 38.379 80 00 34.549 Elde edilen değer yukrıd olduğu ii deree, dkik ve sniye olrk ifde edilirse, D 34.549 34 38.8 olrk elde edilir. D 3 80 M 300 D 3 80 0.7635 300.6795 Elde edilen değer ynı şekilde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilirse, D 3.6795 00 04.6
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5 olrk elde edilir. Sonuç olrk, * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi D D D D 3 3.77584 34.549.6795 78.406 78 409.36 elde edilir. SORU 7 : 75 0 4 6 76.405?Rdyn Verilen işlemi rdyn olrk hesplmk için, önelikle deree, dkik ve sniye olrk verilen değerlerin tm dereeye ve dh sonr rdyn, rd değerinin de rdyn çevrilmesi erekir. Rdyn (75 Rdyn 75.7044 6 4 60 ) 76.405 60 80 00 0 76.405 80 00 0 Rdyn.33.770 4.093 SORU 8 : 780 nin trionometrik fonksiyonlrını hesplyınız. Çözüm için 780 den yeteri kdr 360 yi tmk erekir. 780-360 60 3 sin60 os60 tn60 3 ot60 3 3 3 SORU 9 : s (300 tn 00 - ) sin(300 ) sin(400 ) y se (00 tn 400 ) os (00 ) sin(00 ) dr çı olmk üzere y ifdesini hesplyınız. s (300 sin(300 os tn 00 - ) -tn sin (300 ) os sin(400 ) sin se (00 os (00 sin tn 400 ) tn os(00 ) -os sin(00 ) os
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 6 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi ( ) (-tn ) (-os ) (-sin) y - os tn ( ) tn os ) os - sin SORU 0 : dr çı olmk üzere y ifdesini hesplyınız. sin (80 ) os (70 - ) tn (90 ) sin (360 ) os (70 + ) ot (80 ) sin (80 ) sin, os (70 ) = sin, tn (90 ) = ot sin (360 ) sin, os (70 ) = sin, ot (80 ) = ot ( sin ) ( sin ) ( ot ) y ( sin ) sin ( ot ) SORU : dr çı olmk üzere y hesplyınız. sin ( ) os ( ) tn (9 ) sin ( ) os ( + ) tn ( ) 4 ifdesini sin ( ) sin, os ( ) = os, tn (9 ) = tn 4 4 ) 8 6 3 4 4 sin ( 4 ) = sin (3 + ) = os, os ( ) = os, tn ( ) = tn sin os tn y tn ( os ) ( os ) ( tn ) sin(00 ) os (00 ) tn (00 ) SORU : y? ot (300 ) os (400 ) os (300 ) sin(00 ) sin ot (300 ) tn, os (00 ) os, tn (00 ) ot, os (400 ) os, os (300 ) sin sinα ( os ( ot ) y tn os α sin os sin sin os os sin ot
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 7 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin(00 ) os (00 ) tn (00 ) SORU 3 : y? sin(300 ) os (300 ) ot (00 ) sin(00 ) os sin(300 ) os, os (00 ) sin, tn (00 ) tn, os (300 ) sin, ot (00 ) ot os ( sintn y ( os ( sinot sin os os sin sin tn os SORU 4 : sin 40 os 30 sin 80 olduğunu österiniz. se 70 s 80 sin 40 sin (80 40 ) sin 40 os 30 os (90 40 ) sin 40 se 70 se (90 80 ) s 80 sin 40 ( sin 40 ) sin 80 se 70 s 80 s 80 s 80 SORU 5 : ot 95 ot 05 ot 55 ot 345 + ot 5 ot 5 olduğunu österiniz. ot 95 ot (80 +5 ) ot 5 ot 05 ot (90 +5 ) tn 5 ot 55 ot (70 5 ) tn 5 ot 345 ot (360 5 ) ot 5 ot 5 tn 5 tn 5 ot 5 ot 5 + ot 5 ot 5 ot 5 + ot 5 ot 5 ot 5 ot 5 + ot 5 ot 5
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 8 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 3 SORU 6 : sin olduğun öre y 5 hesplyınız. s (90 ot (70? os (360 se (70 ifdesini s (90 se ot (70 tn os (360 os se (70 s y s (90 ot (70 os (360 se (70 se tn os s 5 3 x = 5 3 x = 4 x se y os 5 3 4 4 4 5 5 3 5 4, tn 3, os 4 30 3 3 5 6 6 4, s 5 sin SORU 7 : sin x os x 3sin x os x olduğunu österiniz. sin sin 6 6 x (- sin x - 3sin sonuç olrk, = olur. x) 3 3sin 4 x 3sin x (- sin x) x - sin 6 x 3sin x - 3sin 4 x 5 3 SORU 8 :,, ir üçenin üç çısı ise, yni ot ot ot ot ot ot olduğunu österiniz. 00 ise 00 00 ot ( ot (00 ot İki çının toplmı formüllerinden hreketle, ot ot ot ot ot ot
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 9 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi yukrıdki eşitlikte içler, dışlr çrpımı ypılırs, ot ot ot ot ot ot elde edilir. Bu eşitlik düzenlenirse, ot ot ot ot ot ot elde edilir. SORU 9 : sin (se s ) se s sin sinos s sin olduğunu österiniz. se os Bunlr verilen eşitlikde yerine konurs, sin os ( os sin SORU 0 : ) sin sin sin (se s ) s se sin sinos se Bunlr verilen eşitlikde yerine konurs, sin os ( os os olur. ) sin os sin sin os os ( ) sin os os os olduğunu österiniz. se s sin sin os ( ) s sin os sin
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 30 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU : s (sin os os olduğunu österiniz. s sin s s os (sin os ve sin denirse s s ( ) ( sin ) s s s s os (sin os sin os sin os sin os sin sin sin os sin os ve, yukrıdki eşitlikte yerine konurs, os os olur. SORU : se 7 4, s 34 olduğun öre yı hesplyınız. 3 7 x 34 3 4 y x = 7 4 x = y = 34 3 y = 5 4 os os 7 5 34 sin sin 7 3 34 5 4 3 7 sin sin os os sin 7 34 7 34 7 34
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 3 sin 50 45 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 5 SORU 3 : ot 4 ve ot olduğun öre yı hesplyınız. 3 ot ot ot ot ot 4 5 3 7 3 50 45 5 3 4 7 3 SORU 4 : os ( os( ot tn olduğunu österiniz. sin os (os os sin sin (os os sin sin ot tn sin os os os os os sin sin os os sin sin sin sin sin os ot tn os os sin sin sin os os sin os sin sin = ot tn os sin os ot tn = ot tn SORU 5 : os + os os os sin olduğunu österiniz. os Eşitliğin sol trfı için yrım çı formüllerinden şğıdki eşitlikler yzılilir. + os os os sin os os os sin Bunlr yukrıd yerine konurs, os sin os sin os os sin sin os sin os os
os KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 3 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os sin sin os sin os os sin elde edilir. Eşitliğin sğ trfındki os os os ( ) os os sin sin os sin os os şeklinde yzılıp yerine konurs, os sin os sin sin os elde edilmiş olur. SORU 6 : tn 0.8 olduğun öre, hesp mkinesi ile yı ulmksızın os yı 4 hesplyınız. Kontrol için hesp mkinesi ile çısını ulrk os yı kontrol ediniz. Çözüm için yrım çı formüllerinden yrrlnılır. (0.8) os os os os tn tn os 4 os os 0.64 0.64 0.64 os os os 0.9595 os os os Hesp mkinesi ile kontrol : tn 0.8 4.955345 4 4 os (0.9595) os 090368794 7.837 os 090368793
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 33 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 7 : s ( ).0 s ( ) sin( ) sin( ) os.0 olduğun öre sin( ).0 os ( ).0 os yı hesplyınız. os 049048048 os 050985975 os os os (050985975 os 04800968 SORU 8 : se ( ).0 se ( ) os ( ).0 olduğun öre os ( ).0 os yı hesplyınız. os ( ) os (.0 ) os os 049048048 os 050985975 os os os ( 050985975 os 04800968 SORU 9 : os 7 o = 0.309069944 olduğun öre os 36 o ve sin 36 o nin trionometrik değerlerini hesplyınız. Çözüme yrım çı formüllerinden idilir. os sin os os os 36 sin36 os 7 os 7 0.809069944 0.58778553 SORU 30 : os 84 o = 0.04584633 olduğun öre os 4 o ve sin 4 o nin trionometrik değerlerini hesplyınız. Çözüme yrım çı formüllerinden idilir. os os os 4 os 84 0.74344854
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 34 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin os sin4 os 84 0.669306064 SORU 3 : ot ( ).0768 olduğun öre os yı çısını ulmdn 8 hesplyınız. Yrım çı formüllerinden çözüme idilir. ot ( ) 8 os ( ) 4 os ( ) 4 (.0768) os ( ) 4 os ( ) 0.608743653 4 os ( ) 4 os ( ) 4 os( ) (0.608743653) os ( ) os ( ) 0.5890994 os os os ( ) ( 0.5890994) os 0.865939548 SORU 3 : s ( ).565 olduğun öre tn yı çısını ulmdn 8 hesplyınız. Yrım çı formüllerinden yrrlnılrk çözüme idilir. s sin sin ( ) = = 8 s ( ) 8 os ( ) 4 = -.565 os ( ) os ( ) 4 (.565 ) = os ( ) 0.808 os ( ) 4 4 os ( ) os ( ) os ( ) (0.808) os ( ) 0.93467 4 os ( ) os os os os ( 0.93467) os 0.74703957 os (0.74703957) os 0.635303
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 35 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi tn os os T 0.635303 0.635303 0.889886989 SORU 33 : sin 66 0.8607407 olduğun öre 33 ın sinüs ve kosinüsünü hesp mkinesi ile ulmksızın hesplyınız. 66 lınrk yrım çı formüllerinden sonu idilir. sin os os (0.8607407) os 0.48753674 os os ( 0.48753674) os 050904458 os sin sin 33 0.50904458 0.4954586684 os os os 33 0.50904458 0.86863545 SORU 34 : os 6x - os x ifdesini çrpım hline etiriniz. 6x x os 6x os x sin sin 6x x sin 4x sin x SORU 35 : sin 9x - sin 3x ifdesini çrpım hline etiriniz. 9x 3x sin 9x sin 3x os sin 9x 3x os 6x sin 3x SORU 36 : y os 5x os 8x - os 3x ifdesini çrpım hline etiriniz. çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. 5x + 3x 5x 3x os 5x os 3x = sin sin sin4x sinx os 8x yrım çı insinden yzılırs, os 8x sin4x unlr yukrıd yerine konurs, os 8x (sin4x) os 8x sin 4x y sin4x sinx sin 4x sin4x (sin4x sinx)
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 36 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin4x sinx çrpım hline etirilir ve yukrıd yerine konurs, sin4x 4x + x 4x x sinx = os sin 5x 3x os sin y 4 sin4x elde edilir. 5x 3x os sin ( os x) os 5x os 7x SORU 37 : y 4 os 3x Yrım çı formüllerinden, ifdesini çrpım hline etiriniz. os x os x = os x os x u, verilen denklemde yerine konurs, os x os 5x os 7x os x os 5x os 7x y 4 os 3x 4 os 3x os 7x os 5x çrpım hline etirilirse 7x+ 5x 7x - 5x os 7x os 5x = os os os 6x os x unlr yukrıd yerine konurs, y os x os 6x os x os x (+ os 6x) 4 os 3x 4 os 3x os x (+ os 6x) os 3x + os 6x yrım çı insinden yzılıp yerine konurs, os 3x = os 6x os 6x os 3x os x os 3x y os x os 3x os 3x elde edilir.
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 37 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi ( os x) sin 7x sin 5x SORU 38 : y 4 os 3x Yrım çı formüllerinden, ifdesini çrpım hline etiriniz. sin x = os x os x sin x u, verilen denklemde yerine konurs, y sin x sin 7x sin 5x sin x sin 7x sin 5x 4 os 3x 4 os 3x sin 7x sin 5x çrpım hline etirilirse 7x+ 5x 7x - 5x Sin7x Sin5x = Cos Sin Cos6xSinx u, yerine konurs, sin x os 6x sin x y 4 os 3x sin x (+ os 6x) os 3x + os 6x yrım çı insinden yzılıp yerine konurs, os 3x = os 6x os 6x os 3x sin x os 3x y sin x os 3x os 3x elde edilir. SORU 39 : y os 5x os 3x os 8x ifdesini çrpım hline etiriniz. çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. os 5x 5x + 3x 5x 3x os 3x = os os os 4x os x os 8x yrım çı insinden yzılırs, os 4x os 8x unlr verilen eşitlikte yerine konurs, y os 4x os x os os 8x (os 4x) os 8x os 4x 4x os 4x (os 4x os x) os 4x os x çrpım hline etirilir ve yukrıd yerine konurs,
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 38 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os 4x os x y 4 os 4x elde edilir. 4x + x = os 3x 5x os os 4x x os 5x 3x os os SORU 40 : Aşğıdki trionometrik denklemi çrpım hline etiriniz. y=sin x+sin 7x+sin 8x çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. 7x + x sin7x + sinx = sin 7x x os sin4x os 3x Dh sonr u eşitlikteki terimlere enzetmek suretiyle tek kln sin 8x in çılımı ypılır. sin 8x = sin (4x+4x) = sin 4x os 4x + sin 4x os4x = sin 4x os4x unlr verilen denklemde yerine konurs y= sin 4x os 3x + sin 4x os 4x = sin 4x (os 4x + os 3x) 4x + 3x os 4x + os 3x = os u yerine konurs, 4x 3x os 7x x y 4 sin4x os os elde edilir. 7x x os os SORU 4 : Aşğıdki trionometrik denklemi çrpım hline etiriniz. y=sin x+sin 5x+sin 6x Çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. 5x + x 5x x sin5x + sinx = sin os sin3x os x Dh sonr yukrıdki eşitlikte yer ln terimlere enzetmek suretiyle tek kln sin 6x in çılımı ypılır. sin 6x = sin (3x+3x) = sin 3x os 3x + sin 3x os 3x = sin 3x os 3x u iki eşitlik irleştirilirse y= sin 3x os x + sin 3x os 3x = sin 3x (os x + os 3x) 3x + x os 3x + os x = os 3x x os 5x x os os
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 39 u eşitlik yukrıd yerine konurs, * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 5x x y 4 sin3x os os elde edilir. SORU 4 : Aşğıdki trionometrik denklemi çrpım hline etiriniz. y=sin 4x+sin 8x+sin x Çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. x+8x x 8x sinx+ sin8x = sin os sin0x os x sin 4x = sin (x+x) = sin x os x + os x sin x = sin x os x u iki eşitlik irleştirilirse, sin0x os x sinx os x os x (sin0x sinx) 0x+ x 0x x sin0x+ sinx = sin os sin6x os 4x sonuç olrk, os x ( sin 6x os 4x)= 4 os x os 4x sin 6x olur. SORU 43 : Aşğıdki ifdeyi çrpım hline etiriniz. sin sin (os os ) sin = os, sin = os sin (os sin os = os os = (os os ) = (os os)(os os) sin sin (os os )(os os ) (os os ) (os os ) (os os ) os os sonuç olrk, )
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 40 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin sin (os os ) tn tn SORU 44 : Aşğıdki trionometrik denklemi çrpım hline etiriniz. y=sin x+sin 8x+sin 9x Çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. 9x + x 9x x sin9x + sinx = sin os sin5x os 4x sin 8x = sin (4x+4x) = sin 4x os 4x + os 4x sin 4x = sin 4x os 4x sin5x os 4x sin4x os 4x os 4x (sin5x sin4x) 5x + 4x sin5x + sin4x = sin sonuç olrk, sinx olur. sin8x sin9x os 4x 5x 4x os 9x sin 9x sin x os x os 4 os 4x 9x sin x os SORU 45 : y = os x + os 3x + os 4x ifdesini çrpım hline etiriniz. çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. 4x + x 4x x os 4x + os x = os os os 3x os x os 3x os x yukrıdki ifdede yerine konurs, y = os 3x os x + os 3x = os 3x ( +os x ) ( +os x ) yrım çı insinden yzılıp y yukrıdki eşitlikte yerine konurs, x os os x x (os ) os x os x os x y os 3x os x 4 os 3x os x olur. SORU 46 : Aşğıdki özdeşliğin doğruluğunu isptlyınız. sin sin (os os ) ot ot sin = os, sin = os
sin os sin os KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 4 = os * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os = os = (os os )(os os) os (os os) = (os os)(os os) (os os )(os os ) os os (os os )(os os ) os os os os sin sin os os sin sin ot ot SORU 47 : Aşğıdki özdeşliğin doğruluğunu isptlyınız. os os (sin sin) os os tn ot = sin sin = sin sin = (sin - sin)(sin + sin) (sin sin) (sin sin)(sin sin) (sin sin)(sin sin) (sin sin)(sin sin) os sin sin os = tn ot os 80 os 0 SORU 48 : y değerini hesplyınız. sin 80 sin 0 80 0 os 80 os 0 sin sin 80 0 sin 50 sin 30 sin 80 sin 0 sin 80 0 os 80 0 sin 50 os30 sin 50 sin 30 y tn 30 sin 50 os 30 3 SORU 49 : y = sin 45 sin5 os 45 os 75 ifdesini toplm şekline etirerek hesplyınız.
os 75 sin 5 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 4 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi [sin (75 5 ) sin (75 5 )] ( 3 ) 3 4 90 60 sin 45 os 45 [sin (45 45 ) sin (45 45 )] ( 0) 90 0 y = - 3 4 3 8 SORU 50 : tn 0 tn 30 tn 70 tn 90 4 olduğunu österiniz. sin 0 sin 90 tn 0 tn 90 os 0 os 90 sin 0 os 90 os 0 sin 90 os 0 os 90 tn 0 tn 90 sin (90 0 ) os 0 os 90 os 0 os 90 tn 0 tn 90 [ os (90 +0 )]+ os (90-0 ) os 80 0 [ ] sin 70 sin 30 os 30 sin 70 os 70 sin 30 ( tn 70 tn 30 ) os 70 os 30 os 70 os 30 sin (70 30 ) (tn 70 tn 30 ) os 70 os 30 os 70 os 30 (tn 70 tn 30 ) [ os (70 + 30 )] + os (70 30 ) os 40 0 unlr verilen denklemde yerine konurs, os 80 os 80 os 40 os 80 [ ] [ ] os 40 os 80 os 40 os 80 os 40 os 40 os 80 os 40 [ ] os 80 os 40
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 43 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os 80 os 40 sin 80 40 80 40 sin sin 60 sin 0 os 80 os 40 sin 60 sin 0 sin 60 sin0 [ ] 4[ ] 4 os 80 os 40 sin 0 sin 60 sin 0 sin 60 SORU 5 : Bir direde 0 rd dkiklık (0 ) çıy krşılık elen yyın uzunluğu 0.50mm olduğun öre direnin yrıçpı kç metredir? R yy y y α r ifdesinden yrıçpın hesplnilmesi için = 0 lık yrıçp r R α çının rdyn dönüştürülmesi erekir. ( 00 ) 0 ( 0 00 ) 0. mm m 000 0.5mm 0.5 m 000 0.0005m G 00 R α π R α 0. 3.459654 00 0.0057079637 rd y r R α 0.0005 0.0057079637 0.38m y d şğıdki ii y r α R 0.0005 0.38m 0. 00 olrk doğrudn hesplnilir. SORU 5 : Alnı F DP 000m oln dire prçsının oluşturduğu yyı ören çı = 8 olduğun öre, direnin yrıçpını hesplyınız. A r 8 O B
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 44 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi F AOB r r sin F Kesme r 00.880599 F DP = F Kesme F AOB r r sin r ( sin ) r = F DP 0.47m ( sin ) SORU 53 : Yrıçpı r =75m oln ir çemerde y = 4m uzunluğun krşı elen çının () kç rd olduğunu hesplyınız. y 4 0.866666667 r 75 00.8836 SORU 54 : Yrıçpı r =8m oln ir çemerde 4.998 çısın krşı elen yyın uzunluğunu (y) hesplyınız. Önelikle rd olrk verilen çısının rdyn çevrilmesi erekir. Bunun için, G 00 R enel eşitliğinden yrrlnılır. Verilen çı yerine konrk 4.998 0.66879083 rd 00 00 00 çının rdyn değeri, urdn d y y = r 84.848m r yyın uzunluğu elde edilir. SORU 55 : Yy uzunluğu y=0m oln ir çemerde yyı ören çı 30. 63 olduğun öre çemerini yrıçpını hesplyınız. Önelikle rd olrk verilen çısının rdyn çevrilmesi erekir. Bunun için, G 00 R enel eşitliğinden yrrlnılır. Verilen çı yerine konrk
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 45 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 30.63 0.47537663 rd 00 00 00 çının rdyn değeri, urdn d = y r r = y = 0 0.47537663 = 4.07m çemerin yrıçpı elde edilir. SORU 56 : Alnı F K =500m oln dire kesmesine krşı elen AB yyının uzunluğu 70m olduğun öre, kesmenin içinde ulunduğu direnin yrıçpını hesplyınız. A B O 400 r r F Kesme 400 F Kesme R 00 r R 00 R F π Kesme r π 400 500.00m R yy yrıçp y r 70 r F Kesme 70 r r F r 70 Kesme 3000 70 4.857 m SORU 57 : O merkezli direde BC yyının uzunluğu 08m olduğun ve şğıdki ölçüler verildiğine öre CD kirişi ile CD yyı rsınd kln dire prçsının lnını hesplyınız. Not : Açılr stin dönüş yönünde lınktır. B AOB = = 97.0000 AOC = = 09.0000 A O C AOD = dış = 39.0000 BC yyı = y =08.000m D
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 46 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Çözüm : BOC = - =.0000 R y = r R y = r π 08 r 8.9m 00 r COD = - = 0.0000 F r sin(cod) 6903.00m COD 400 COD r F Kesme F Kesme 0 r 400 076.m F Prç F Kesme F COD 573.m SORU 58 : Yrıçpı r 500.000m oln A merkezli ir direde A 64, 3A4 9 ve A4 3 39 olrk ilindiğine öre 3A dire kesmesinin lnını, 3 yyının uzunluğunu ve 3 yyını ören 3A çısını rd, deree ve rdyn iriminde hesplyınız. 3 A 4 3A A ( A4 3A4) 64 (39 9) 7.0000 F Kesme 3A 3A r 33379.4m 400
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 47 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi R 3A y 3A 4 4 y r r r 3A 4 00 33.58m olrk elde edilir. SORU 59 : Aşğıdki şekilde merkezi O oln direnin lnı F 4538.93m, çısın krşı elen yyın uzunluğu 97.90m, merkezi O oln direnin lnı F 49087.39m, çısın krşı elen yyın uzunluğu 08.3m olduğun öre trlı ölenin lnını hesplyınız. O. B A. O F F r r r =0.000m F F r r 4538.93 49087.39 r =5.000m y r 97.90 0.649333333 00 04. 9998 y r 08.3.665048 5 00 06. 000 F T F DP F DP r ( sin r ( sin 997.76m SORU 60 : Bir ABC üçeninde =6.94m, =68.04m, 8.977 olrk verildiğine öre kenrını,, çılrını, üçenin lnını (F), dış çemer yrıçpını (R) ve h yüksekliğini hesplyınız. çısını ulmk için sinüs teoremi uyulnilir. Verilen çı üyük kenr krşısınd olduğundn çözüm tekdir. sin 5.4049 sin 46 64.39
izdüşüm teoreminden, KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 48 os os 53.090m sinüs teoreminden, * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin sin 67.3874 60 3836.84 8.977 73 0440.6 kontrol : + + 00 olmlı + + 5405 8.977 67.387 99.99999 F = sin F = 995.9m R = = = R = 87.83m sin sin sin h h F = sin 0639m y d F = den h = = 0.639m SORU 6 : Bir ABC üçeninde =4.50m, 94.636 ve F=939.796m olrk verildiğine öre,, kenrlrını,, çılrını, dış çemer yrıçpını ( R ) ve n iç çıortyını hesplyınız. F sin F 4.408m sin kosinüs teoreminden, + - os 45.000m os 87.00954 os 8.36909 kontrol : + + 00 olmlı
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 49 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi + + 00954 94.636 8.36909 99.99999 R sin 7.759m n sin os sin( ) 49.954m SORU 6 : Bir ABC üçeninde 79.5, =66.054m ve =56.40m olrk verildiğine öre,, çılrını, kenrını, üçenin lnını ( F ) ve dış çemer yrıçpını ( R ) hesplyınız. çısını ulmk için sinüs teoremi uyulnilir. Verilen çı üyük kenr krşısınd olduğundn çözüm tekdir. sin 60.078 sin 54 0549.7 izdüşüm teoreminden, os os 56.574m kosinüs teoreminden, os 60.3799 54 030.88 79.5 7 3339.53 kontrol : + + 00 olmlı + + 79.5 60078 60.3799 99.9999 F sin F 5348m R = = 34.84m sin
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 50 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 63 : Bir ABC üçeninde.673, =78.05m ve =99.40m olrk verildiğine öre,,, çılrını, kenrını, üçenin lnını ( F ) ve dış çemer yrıçpını ( R ) hesplyınız. çısını ulmk için sinüs teoremi uyulnilir. Verilen çı üyük kenr krşısınd olduğundn çözüm tekdir. Sinüs teoreminden, sin sin 53.0487 izdüşüm teoreminden, os os 40.78m sin sin 5.78 kontrol : + + 00 olmlı + + 530487 5.78.673 00.0000 F sin F 5000m R = = 5.73m sin SORU 64 : Bir ABC üçeninde 87.0095, =4.408m ve R=7.760m olrk verildiğine öre,, kenrlrını,, çılrını (deree ve rd insinden) ve üçenin lnını ( F ) hesplyınız. A R = R sin 450m sin H h sin h sin 40.549m B h C AH - h AH 8.39m
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi HC - h HC 36.60m AH HC 45.00m urdn - os 94.64 94.64 85 0933.34 - os 8.3690 6 3 55.56 0 87 0095 78 830.78 kontrol : + + 00 olmlı + + 870095 94.64 8.3690 99.9999 u 64.455 F u(u )(u )(u- ) 939.8m F sin SORU 65 : Bir F 939.8m ABC üçeninde 46.000, =8.50m ve R=66.0m olrk verildiğine öre,, kenrlrını,, çılrını (deree ve rd insinden), üçenin lnını ( F ), h yüksekliğini, V kenr ortyını ve n iç çı ortyını hesplyınız. C B h H A R = h BH R sin 87430m sin sin h sin 84980m h BH 96.388m AH h AH 0.55m AH BH 6.940m - os 69.053 6 4.7
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi - os 84.8937 76 45.59 46000 46 000036 kontrol : + + 00 olmlı + + 848937 46.000 69.053 00.0000 F sin 4968.79m h F h F 77.335m y d h sin h 77.735m V ( ) os 4 os V 80.87m n os 78.66m SORU 66 : Bir ABC üçeninde 5.3566, =0.50m ve R=64.445m olrk verildiğine öre,, kenrlrını,, çılrını (deree ve rd insinden), üçenin lnını ( F ), h yüksekliğini, V kenr ortyını ve n iç çı ortyını hesplyınız. B R = sin R sin 94450m H h sin h 75.m A C BH - h BH 57.64m HC - h HC 69.747m BH HC 7.0m urdn - os 89.4
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 53 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi - os 58.534 5 404.74 89.4 80 04.8 kontrol : + + 00 olmlı + + 894 58.534 5. 3566 00.0004 u 6.98 F u(u )(u )(u- ) 4770.0m n sinγ os sin( ) 75.99m V 4 os γ ( ) 75.370m SORU 67 : Bir ABC üçeninde =4.4m, =3.3m ve =40.40m olrk verildiğine öre, üçenin, ve çılrını (deree ve rd insinden), üçenin lnını ( F ), h yüksekliğini ve dış çemer yrıçpını ( R ) hesplyınız. os 40.9665 36 5.63 os 59.0334 53 0748.37 os 00.0000 90 0000 h sin 33m F sin 397m R R = 0.0m sin kontrol : + + 00 olmlı
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 54 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi + + 409665 59.0334 00. 0000 99.9999 SORU 68 : Bir ABC üçeninde =60.48m, R=84.068m ve F=473.95m olrk verildiğine öre, üçenin,, çılrını (deree ve rd insinden),, kenrlrını ve, h yüksekliğini hesplyınız. R sin = r sin( R ) 80.74646 7 3835.45 F sin F sin - os ( - ) + şeklindey d ( +) - şeklinde yzılilir. ( - ) + - os ( - ) = (os ( +) - - os ( +) = (os Yukrıdki eşitliklerden (-) ve (+) hesplndıktn sonr elde edilen iki ilinmeyenli denklemden ve ulunur. F sin F 995.3954 9830.79048044 sin ( - ) = (os 08.807m ( +) = (os 6.937m 08.807 6.937 67.87m 59.065m os 96.4335 86 474.54
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 55 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os.856 0 3359.8 kontrol : 00 olmlı + + 80746 96.4335.8566 99.9997 h sin 56376m SORU 69 : Bir ABC üçeninde =50.5m, =0.85m ve h =60.45m olrk verildiğine öre, üçenin,, kenrlrını,,, çılrını (deree ve rd insinden), ve lnını hesplyınız. B = + = 50.5 +0.85 = 7.00m H h h 63.945m 78.544m h A C os os os 65.39 55.97 78.8549 58 434.66 50 95.44 70 5809.90 kontrol : 00 olmlı + + 6539 55.97 78.8549 00.0005 F sin F 45.98m
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 56 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 70 : Bir ABC üçeninde =9.98m, +=459. ve 7 3358 olrk verildiğine öre, üçenin, kenrlrını,, çılrını (deree ve rd insinden), lnını, V kenr ortyını ve n çı ortyını hesplyınız. Çözüm : 30.690 - os (- ) + şeklinde y d (+ ) - şeklinde yzılilir ( ) - - Cos ( ) - ( os ( ) os 0407.4m ( ) - os ( ) ( os ( - ) ( os 50.76m 50.76 459.0 54.94m 04.79m os.6430 00 843.3 os 57.78 5 579.37 kontrol : 00 olmlı + + 30690.6430 57.78 00.000 F sin 044.4m
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 57 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi V os 3.03m n os sinsin (sin sinsin 0.4m Çözüm : os sin os sin 53.938 00 69.370 53.938 69.370.644 00 84.38 57.786 5 570.66 kontrol : 00 olmlı + + 30690.644 57.786 00.0000 sin sin sin sin 54.94m sin sin sin sin 04.79m F sin 044.44m V os 3.03m n os sinsin (sin sinsin 0.4m
SORU 7 : Bir KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 58 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi ABC üçeninde R=8.76m, 54.469, 3.3086. olrk verildiğine öre, üçenin,, kenrlrını, lnını, h yüksekliğini, V kenr ortyını ve n iç çı ortyını hesplyınız. Açılrın denelenmesi : ve kontrol : 00 olmlı + + 54469 3.3086. 00.0000 R sin 4695m R sin 58.04m R sin 93.40m F h sin 38553.75m sin 8060m V os 335.48m n os sinsin (sin sinsin 57.65m SORU 7 : Bir ACB üçeninde =4.700m, =5.800m ve 35.087 olrk verildiğine öre, üçenin kenrını,, çılrını, lnını, dış çemer yrıçpını, h yüksekliğini, V kenr ortyını ve n çı ortyını hesplyınız. A - os 7.758m C B os 05.698 94 4 43.0
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 59 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Cos 59.67485 53 44.36 kontrol : 00 olmlı + + 59674 05.70 35.087 99.9999 F sin 590.64m sin R R 6.489m n 3463m sin ( ) sin( ) V ( ) ( ) os os 36.378m h sin 7.46m SORU 73 : Bir ABC üçeninde =50.740m, =80.90m ve 40. 508 olrk verildiğine öre, üçenin kenrını,, çılrını, lnını, dış çemer yrıçpını, h yüksekliğini, V kenr ortyını ve n iç çı ortyını hesplyınız. - os 50.78m 40.508 36 76.57 os os 4.03595 8.4565 36 5556.48 06 3639.06 kontrol : 00 olmlı
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 60 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi + + 40508 4.0360 8.4565 00.0007 F sin 439.78m R R 4.m sin n ( sin ) sin( ) sin ( sin 59.4m ) sin V ( ) ( ) os os 6.704m h sin 48.63m SORU 74 : Bir ACB üçeninde =85.000m, V =80.960m ve 6. 9050 olrk verildiğine öre, üçenin, kenrlrını,, çılrını, lnını, dış çemer yrıçpını, h yüksekliğini ve n çı ortyını hesplyınız. A A V C ADC üçenine öre verilen çı küçük kenrın krşısınd olduğu için iki çözüm vrdır. 6.9050 56 365.0 B C / D / B V ( ) - os 80.960 85-85 os 69050 4
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 6 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi yukrıdki eşitliğin her iki trfını 4 ile çrprsk, 68.0864 8900-87.0964-87.0964 68.936 0-4 475.6666 -, 87.0964 475.6666 7.449m 87.0964 475.6666 5.64m kenrı ile çözüm : - os 43.46m os 3.9460 9 3905.04 os 04.49 93 4403.4 kontrol : 00 olmlı F + + 0449 6.9050 3.9460 00.000 sin 6084.0m sin R R 85.907m n 7985m sin ( ) sin( ) h sin 70.974m kenrı ile çözüm : - os 77.50m
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 6 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os 6.357 3 4 0.87 os 0.7800 kontrol : 00 olmlı 09 407.0 + + 07800 6.9050 6.357 00.0007 F sin 555.087m R sin R 46.409m n 80787m sin ( ) sin( ) h sin 70.973m Görüldüğü ii h yüksekliği ve değerleri için ynı klmkt, değişmemektedir. SORU 75 : Üçen şeklindeki ir prselin BC kenrı üzerinde O merkezli diresel ir çökeltme hvuzu ypılktır. Prselin ir ölümü çökeltme hvuzu shsınd kldığındn devredileektir. Bu prç devredildikten sonr ABC prselinden eriye kln kısmın lnını ve DEyy uzunluğunu hesplyınız. B r D D E. O O AB 50.000m, AC 65.000m, EC 9.000m, BD 7.000m ABC 54 0000, BCA 0.868875rd, 5444 DBO
OB 83.000m KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 63 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Not : = 00.0000 -(+) dn ulunmyk Çözüm : BC os os 60.0000 54 0000 38.7m 0.868875rd 55.769 49 4457.6 u 46.586m F Δ ABC u(u )(u )(u ) 375.8m r BD OB BDOB Cos r 67.04m DE yyını ören DOE çısının hesı : DE (BD EC) 8.7m r DE DE r r r r os DOE osdoe DOE 70.8778 r Dire kesmesinin hesı : 400 DOE r F K F K Dire prçsının hesı : DOE r 400 3969.79m F r sindoe 3985.33m F P F K F 7706.46m DOE DOE ABC prselinden kln ölümün lnı : F Kln F ABC F P 4469.36m SORU 76 : Alnı 536m oln üçen şeklindeki ACB prseli şekilde örüldüğü ii lnın eşte üçü ADB prselini oluşturk şekilde ölüneektir. ADB ve ADC prsellerini elde etmek için ABC prseli BC doğrusu üzerindeki D noktsı ile prselin ir köşesi oln A noktsını irleştiren AD 85.000m oln doğruyl ölünmüştür. BDA 09705 olrk ölçülmüştür. Bun öre, iki prselin elde
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 64 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi edilmesi ve her ir prselin çizileilmesi için erekli oln AB, BD, DC ve AC uzunluklrı ile ADC, B, C ve A çısını (iki üçenden kontrollu olrk) hesplyınız. Not : ADC 00BDA ifdesinden ulunmyk. A 85m 3 F Δ F ADB 5 Δ ABC 6F Δ ABC AD BD sinbda B D C BD 80.000m 5 AD sinbda AB AD BD AD BD os ΒDA AB 34.55m osb AB BD AD AB BD Β 40.8936 36 485.6 F Δ ABC AB BC sinb BC F Δ ABC 33.334m AB sinb DC BC BD 53.334m F Δ ADC F Δ ABC F Δ ADB 44.80m F Δ ADC F Δ AD DC sin ADC sin ADC ADC 79.07 AD DC ADC AC AD DC AD DCos ADC AC 84.477m AB AD BD os BAD BAD A 38. 355 AB AD AC AD DC os DAC DAC A 40. 7594 AC AD 34 99.0 36 4 00.46 A A A 78.8949 7 009.48
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 65 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi AB AC BC os A A 78. 8949 AB AC BC AC AB os C C 80. BC AC 7 009.48 7 7.0 Kontrol A B C 00 olmlı AB C 78.8949 40.8936 80. 00.0006 SORU 77 : Bir ABC üçeninde n (iç çıorty)=78.80m, 87.63 F 69.48m olduğun öre, çılrı ile,, kenrlrını hesplyınız. ABC ve F sin 53594.6996 ABC Δ n os os ( ) ( ) n (+) = 464.396m Cos u ifdedeki ( ) şeklinde yzılrk kenrı hesplnilir. ( ) os ( ) ( os 96.54m hesplnn (+) nin ynınd ir de (-) hesplnırs, ve kenrlrı hesplnilir. Bu mçl, ( ) şeklinde yzılır ve yerine konurs, (-) değeri elde edilir. ( ) os ( ) ( os ( ) ( os 35.85m
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 66 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 464.396 50.4m 35.85 4.73m os Cos 6.478 50.9 6 085.93 50 345.6 Kontrol 00 olmlı 87.63 6.478 50.9 00.000 SORU 78 : Şekildeki üçende ve çısı ile kenrı ölçülmüştür. Bun öre üçenin çısını,, kenrlrını, dış çemer yrıçpını, V kenrortyını, n iç çıortyını ve lnını hesplyınız. 73.045 90.7866 = 0.48m 73.045 65 447.70 γ 90.7866 8 48.58 B h ot ot 7.85m A h C sin h h 88.460m sin h h sin 73.630m R R 5.6m sin sin os 36.709 3 333.7 kontrol : 00 olmlı
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 67 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi + + 36709 73.045 90.7866 00.0000 F ABC Sin 8803.80m V os 4.390m n os ( ) ( sin ) sin( ) 5m SORU 79 : Şekildeki üçende ve çısı ile kenrı ölçülmüştür. Bun öre üçenin çısını,, kenrlrını, dış çemer yrıçpını, V kenrortyını, n iç çıortyını ve lnını hesplyınız. 78.7577 56.368 = 8.49m 78 70.7577 554.95 56.368 50 4335.47 B h ot ot 56.73m C h A sin h h 0.460m sin h h sin 65.880m R R 07.39m sin sin os 64.8795 kontrol : 00 olmlı 58 39.58 + + 36709 73.045 90.7866 00.0000 F ABC sin 4300.9m V os 60.996m
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 68 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi n os ( ) ( sin ) sin( ) 5968m 0 0 SORU 80 : Şekildeki üçende 4 04, 35 3050, =39.466m ve =8.85m olrk verildiğine öre çısını ve kenrını hesplyınız. 4 04 35 3050 45.7605 39.4599 = os + os = 47.37m os kontrol : 4.7796 00 olmlı 03 805.90 + + 47796 45.7605 39.4599 00.0000 0 0 SORU 8 : Şekildeki üçende 43 5 6, 86 4658, =74.68m ve =50.978m olrk verildiğine öre çısını ve kenrını hesplyınız. 43 5 6 86 4658 48.730 96.453 = os + os = 90.747m os 54.8445 49 36.8 kontrol : 00 olmlı
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 69 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi + + 96453 48.730 54.8445 00.0000 SORU 8 : Bir üçende 56864., 4.397, R=54.08m olduğun öre üçenin çısı ile,, kenrlrını ve lnını ( F ) hesplyınız. Not : çısı =00 - ( + ) ifdesinden ulunmyk. 56.864 50 3403.94 4.397 37 56.60 R R sin 3389m sin R sin R sin 833.7m = os + os = 306.035m os 0.465 kontrol : 00 olmlı 9 09.46 + + 0465 56.864 4.397 00.0000 F sin 4395.76m SORU 83 : Bir ABC üçeninde V (kenrorty )=70m, =5m ve 74 olduğun öre, çılrı ile, kenrlrını, h yüksekliğini ve F lnını hesplyınız. V ( ) 76.500 os
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 70 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os 50.6488 F sin 48m os eşitliğindeki ( - ) + şeklinde y d ( + ) - şeklinde yzılilir. ( ) ( ) - - os ( ) - os ( ) - ( os ( os ( - ) ( os.86m ( ) ( os 50.389m.86 50.389 3.337m 9.05m os 7.0657 05 3.87 os 8.9343 74.0000 66 3600 kontrol : 00 olmlı 8 07.3 + + 70657 74.0000 8.9343 00.0000 h sin sin 837m
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 7 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 84 : Bir üçende 73. 947,. 6854, R=.866m olduğun öre üçenin çısı ile,, kenrlrını ve lnını ( F ) hesplyınız. Not : çısı =00 - ( + ) ifdesinden ulunmyk. 73.947 66 3 3.63.6854 0 500.70 R R sin 058.000m sin R sin R sin 78.7m = os + os = 40.533m os kontrol : 03.3999 00 olmlı 93 0335.68 + + 73947 03.3999.6854 00.0000 F sin 8047.59m SORU 85 : Bir ABC üçeninde V (kenrorty )=8m, =03m ve 69 olduğun öre, çılrı ile, kenrlrını, h yüksekliğini ve F lnını hesplyınız. V ( ) 875.500 os os 870.6549m F sin 3845.0m os