Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem adıı alır. ( herhagi bir pozitif tam saıdır) Bu deklemde katsaılar sabit ise, ai her a, i =,..., sabit saı ise deklem e sabit katsaılı lieer diferesiel deklem deir. Sabit katsaılı deklem ( ) ( ) ( ) a + a + a +... + a + a = f ( ) () 0 i şeklide azılır a0, a, a,..., a R. f ( ) 0 ise deklem () e homoje diferesiel deklem deir. f ( ) 0 ise deklem () homoje olmaa deklem adıı alır. ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0. mertebede lieer ola bir deklem aşağıdaki gibi sııfladırabiliir: a) Eğer f ( ) = 0 ise homoje diferesiel deklemdir. i. Eğer a0, a, a,..., a katsaılarıı tümü reel saı ise sabit katsaılı diferesiel deklem olur. ii. Eğer katsaılarda e az biri e bağlı terim ise sabit katsaılı olmaa diferesiel deklem adıı alır. Doğu Akdeiz Üiversitesi Matematik Bölümü Mate 3
b) Eğer f ( ) 0 ise homoje olmaa diferesiel deklemdir. i. Eğer a0, a, a,..., a katsaılarıı tümü reel saı ise sabit katsaılı diferesiel deklem olur. ii. Eğer katsaılarda e az biri e bağlı terim ise sabit katsaılı olmaa diferesiel deklem adıı alır. Öreği: ) 6 + 8= 0 : homoje ve sabit katsaılı olmaa lieer diferesiel deklemdir. ) 6 + 8= ta : homoje ve sabit katsaılı olmaa lieer diferesiel deklem. 3) 6 + 8= 0 : homoje ve sabit katsaılı lieer diferesiel deklem. 4) 6 + 8= si : homoje olmaa sabit katsaılı lieer diferesiel deklem. Bu bölümde ukarıda sııfladırdığımız tipteki diferesiel deklemleri cözümlerii iceleeceğiz. ( ) ( ) ( ) a + a + a +... + a + a = 0 (3) 0 f, f,..., f m foksioları homoje lieer deklemi ai deklem (3) ü m tae çözümü olsu, c f + c f +... + cm fm lieer bileşimi ise deklem (3) ü bir başka çözümü olur, c, c,..., c m ise sabit saılardır. Taım: f, f,..., f. mertebede homoje lieer deklemi, ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = 0 0 4
tae lieer bağımsız çözümleri olsu. Bu deklemi geel çözümü ise f ( ) = c f + c f +... + c f olur, [ a, b], c, c,..., c sabit saılardır. Bir Foksiolar Sistemie İlişki Lieer Bağımlılık ve Lieer Bağımsızlık Kavramları: Teorem: ici mertebede türeve sahip f ( ), f ( ),..., f( ) foksioları, verilmiş ( a, b ) aralığıda lieer bağımsız iseler W ( f, f,..., f ) 0 olduğu sağlaır. Taım: W ( f, f,..., f ) = f f f () () () f f f f f f ( ) ( ) ( ) f ( ), f ( ),..., f ( ) foksiolarıı Wroskia i deir. determiatıa Wroskia determiatıı kullaarak foksioları lieer bağımlı olup olmadıklarıı kolaca cotrol edebiliriz. Öcelikle. mertebede sabit katsaılı homoje lieer deklemi çözümüü iceleelim. 3. İkici Mertebede Sabit Katsaılı Homoje Lieer Deklemler. mertebede sabit katsaılı homoje lieer deklem a + a + a = () 0 0 gibi olur. Deklem () i çözümüü çözümü türevleri m = e olduğuu düşüelim ve bu 43
= me = m e m m dir. Bu türevleri deklem () de erie erleştirirsek m m m m a0e m + ae m + ae = 0 e ( a 0m + am + a) = 0 edilir. Deklemde e m sıfıra eşit olamaacağıda dolaı, 0 = 0 deklemi elde ( a0m + am + a ) = 0 = 0 olur. Bu elde ettiğimiz dekleme. mertebede homoje lieer deklemi karakteristik deklemi deir. Ve, karakteristik deklemi çözümü deklem () i geel çözümüü verir. Karaktersitik deklem çözüldüğü zama 3 farklı durumla karşılaşırız. Bu durumlar aşağıdaki gibidir: Durum. Karaktersitik deklemi iki farklı reel köklerii olması durumu: m ve m reel saıları karakteristik deklemi iki farklı kökü ise, m m e ve e azılır ve deklem () i iki farklı lieer bağımsız çözümleri buluur. m m Diferesiel deklem () i geel çözüm ise g = ce + ce, c, c R, şeklidedir. Durum. Karaktersitik deklemi iki katlı bir reel kökü olması durumu: Karakteristik deklemi kökleri m, m = m olsu. m m e ve e diferesiel deklem () i iki farklı lieer bağımsız çözümleri olur. Diferesiel deklem () i geel çözüm ise 44
c e c e m m g = +, c, c R, olarak elde edilir. Durum 3. Karaktersitik deklemi iki kompleks kökü olması durumu: Karaktersitik deklemde < 0 olduğuda, karakteristik deklemi eşleik kompleks iki kökü buluur. Bu kökler a + ib ve a ib olsu. Diferesiel deklem () i geel çözümü ise ( ) e ( c cosb c si b) g a = +, c, c R, olarak elde edilir. Örek 3.. Diferesiel deklemi 6 = 0 çözüüz. Örek 3.. Diferesiel deklemi + 0 = 0 çözüüz. Örek 3..3 Diferesiel deklemi + 6 + 9 = 0 çözüüz. Örek 3..4 Diferesiel deklemi 6 = 0 çözüüz. Örek 3..5 Diferesiel deklemi 4 4 + = 0 çözüüz. Örek 3..6 Diferesiel deklemi + = 0 çözüüz. 45
3.3 Yüksek Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı HOMOJEN Diferesiel Deklem Çözümü a + a... + a + a = 0 ( ) ( ) 0 üksek mertebeli deklemleri çözümleri. mertebede deklemlerde m olduğu gibidir, ai = ce olarak kabul edilir, c sabit olmak üzere. Örek 3.3. : Aşağıdaki diferesiel deklemleri çözüüz a) 6 + 8 = 0 b) 5 + 7 3 = 0 (4) c) 4 + 4 0 + 5 = 0 Diferesiel deklemi karakteristik deklemii kökleri + i,+ i, i, i olarak verilmiş olsu. d) 5 + 9 7 + = 0 (4) 46
3.4 İkici Mertebe Homoje Olmaa Lieer Diferesiel Deklemler A) a ( ) + a ( ) + a ( ) = F( ) 0 () Deklem () ikici derece homoje olmaa lieer diferesiel deklemdir. Böle bir deklem içi iki aşamalı çözüm apılır. a) İlk aşamada homoje kısım çözülür b) ikici aşamadaki çözümde ise homoje olmaa kısım çözülür. Bölüm 3. de sabit katsaılı homoje diferesiel deklemleri çözümüü iceledik, simdi de homoje olmaa çözümleri irdeleeceğiz.. Mertebede Homoje Olmaa Lieer Diferesiel Deklemi Geel Çözümü g = h + p olarak ifade edilir. h : homoje diferesiel deklemi çözümüdür, sabit katsaılar içerir. p : homoje olmaa diferesiel deklemi bir özel çözümüdür. Sabit katsaılar içermez. Homoje olmaa bir diferesiel deklemi geel çözümüü azabilmek içi: i. ilgili homoje diferesiel deklemi çözüp homoje çözüm buluur. Yai h buluur. ii. Homoje olmaa kısım çözülüp p çözümü azılır. iii. Ve geel çözüm azılır. İfade edildiği gibi geel çözüm, homoje ve homoje olmaa çözümleri toplamıda elde edilir. 47
Bu tip diferesiel deklemi çözebilmek içi sırasile Sabiti değişimi Belirsiz katsaılar Cauch-Euler kurallarıı iceleeceğiz 3.5 İkici Mertebe Homoje Olmaa Lieer Diferesiel Deklemler Sabiti değişimi kuralı ile hem sabit katsaılı, hemde sabit katsaılı olmaa diferesiel deklemleri çözmek mümküdür. Fakat diferesiel deklem sabit katsaılı değil ise, homoje çözümü bulabilmek içi bir başka method kullamak gerekior Sabiti Değişimi Kuralı. mertebede homoje olmaa lieer diferesiel deklemi düşüelim: a ( ) + a ( ) + a ( ) = F( ) 0 () Sabiti değişimi kuralı içi aşağıdaki adımlar ugulaır: ) Diferesiel deklem () de ilgili homoje kısmı çözümü = c + c olsu h ) p v v = + olarak oluşturulur 3) p i kullaarak aşağıdaki sistem elde edilir. v +. v = 0 F( ). v +. v = a ( ) 0 ve bu sistemi çözmekle v ( ) ve v ( ) foksiolarıı buluruz. 48
4) v ( ) ve v ( ) foksiolarıı itegrallerii almakla v ve v foksioları elde edilir ve verile deklem i geel çözümü = + azılır. g c p Örek 3.5. Diferesiel deklemi e = 8 çözüüz. Örek 3.5. Diferesiel deklemi + = + ta çözüüz. Örek 3.5.3 homoje deklemi çözümleri buluuz. 4 3 6 + 0 = 3 + 6 diferesiel deklemii = ve 5 = ise geel çözümüü Örek 3.5.4 Diferesiel deklemi + = cot çözüüz. Örek 3.5.5 Diferesiel deklemi + = sec çözüüz. Örek 3.5.6 Diferesiel deklemi + + = çözüüz. 4 5 e sec 49
3.6 İkici Mertebe Homoje Olmaa Sabit Katsaılı Lieer Diferesiel Deklemler Belirsiz katsaılar ötemii kullaabilmek içi diferesiel deklemi kesilikle sabit katsaılı olması gerekior. Belirsiz Katsaılar Kuralı a0 + a + a = F( ) () Diferesiel deklem (). mertebede homoje olmaa lieer ve sabit katsaılı deklemdir. Sabit katsaılar kuralı içi aşağıdaki taımları iceleelim: Taım: Bir foksio eğer ) i) ii) iii) iv), :pozitif tam saı vea sıfır a e a 0 si( a + b), a 0 cos( a + b), a 0 foksiolarıda biri vea ) bu dört temel foksiou iki a da ikide fazla solu saıdaki çarpımları ise belirsiz katsaılar foksiou olarak isimledirilir. Taım: Bir belirsiz katsaılar foksiouu kedisii ve mümkü olabilecek tüm lieer bağımsız türevlerii içere kümee belirsiz katsaılar kümesi demektedir. 50
Belirsiz katsaılar foksioları Belirsiz katsaılar Kümesi a e a 0 si( a + b) cos( a + b) a. e a e.si( a + b).si( a + b), a 0, a 0 {,,,...,,} a { e } {si( a + b),cos( a + b)} {si( a + b),cos( a + b)} a a a a a { e, e, e,..., e,. e } { a a e.si( a + b), e.cos( a + b)} {.si( a + b),.cos( a + b),.si( a + b),.si( a + b), a + b a + b a + b a + b.si( ),.si( ),...,.si( ),.cos( ).si( a + b),.cos( a + b)} Belirsiz katsaılar kuralıı ugulamak içi aşağıdaki adımlar ugulaır: Verile diferesiel deklemi a0 + a + a = fi ( ) şeklide azıldığıı düşüelim. f ( ) i,,..., i = foksiou iki vea ikide fazla belirsiz katsaılar foksiolarıı çarpımlarıı solu saıdaki toplamıdır. i= Adım ) a0 + a + a = 0 homoje kısım çözülerek h buluur p içi ise aşağıdaki adımlar ugulaır: Adım ) ( ) f foksiouda her terim içi belirsiz katsaılar kümesi azılır, ve kümeler birbirlerile karşılaştırılır, eğer bir küme diğerii ihtiva ediorsa küçük küme iptal edilir. 5
Adım 3) f ( ) foksiouu belirsiz katsaılar kümeleri h ile karşılaştırılır, eğer herhagi bir kümei elemaıda biri h i bir çözümü ile doğrusal bağımlı ise ilgili belirsiz katsaılar kümesi ugu bir ile çarpılır, herhagi bir pozitif tam saıdır. Adım 4) Belirsiz katsaılar kümelerideki elemaları lieer bileşimi çözümüü verir. p Adım 5) p çözümüdeki tüm sabitleri değerlerii bulabilmek içi, p çözümü verile diferesiel dekleme erleştirilir, sabit saılar hesapladıkta sora, geel çözüm g = h + p olarak buluur. Hatırlatma: Herbir çözümü lieer bağımsız olma koşuluda dolaı adım 3 ugulamaktadır. Örek 3.6.: kümelerii buluuz: Aşağıdaki foksioları belirsiz katsaılar a) b) c) d) e) F( ) = 5 F( ) = 4e F( ) = cos 4 3 F( ) = 4 si F( ) = 4 e.si Örek 3.6.: Aşağıdaki diferesiel deklemleri çözüüz: 3 a) 3 + = 4e b) + = 3 ( 4) c) + = 49e si d) + 4 = 6 cos 3 e) = cos 5
Çalışma Soruları: ) Diferesiel deklemii ) Diferesiel deklemii 8 = 4e e + = + 4 3 9 4 3 çözüüz. çözüüz 3) Diferesiel deklemii + = e e 3 6 0 8 6 çözüüz 4) Diferesiel deklemii 6 + 5 = 4 e + 8e 5 çözüüz 5) Diferesiel deklemii + = si çözüüz 6) Diferesiel deklemii + = + 4si çözüüz. 53