Tavsyeler le Değşen Bellek odelne Reklamın Etks Uzay Cetn,2 and Haluk O. Bngol Blgsayar ühendslğ Bölümü, Bogazc Ünverstes 2 Blgsayar ühendslğ Bölümü, İstanbul Gelşm Ünverstes Tavsyeler le değşen br bellek yayılım model sosyal benzetm yoluyla ncelenmş ve bulgular analtk olarak, arkov Sürec kullanılarak, doğrulanmıştır. odel, k farklı blg yayılım çeşdn göz önüne almıştır: tanıdıklar vasıtasıyla gelen tavsyeler ve medya aracılığıyla kşlere ulaşacak reklamlar. Reklam yatırımını temsl eden model arametresn arttırmanın reklamın blnrllğne olumlu yansıdığı görülmüştür. Tolumsal hafızanın zayıf olduğu durumda, reklamın etksnn beklenenden çok daha güçlü olduğu ortaya çıkmıştır. Hafıza büyüklüğü olablecek en küçük değer olan br ken, reklam edlen tolumda stsnasız herkes tarafından blnr hale gelmştr. İlgnçtr k, reklamın bu başarısı reklam yatırımından bağımsızdır. I. GİRİŞ Gazete, televzyon gb ortamlar blnrlkte öneml rol oynar. Bunlara son zamanlarda sosyal ağlar da katılmıştır. Tolum tarafından blnr olmak terch edlen br özellktr. Şrketler ürünlernn blnrlğn sağlamak çn büyük bütçeler reklama ayırırlar. Poltkacılar oüler olmak çn ellernden gelen yaarlar. Eğlence dünyası öneml ölçüde oülerlk üzerne kuruludur. Poltk fkrler, eğer genş ktleler tarafından kabul görürse, hükümetler değştreblr. Blnrlkte ana etmen breylern etkleşmesdr. Breyler brbrlern etklerler. Bu çalışmada bu etkleşmn nasıl olduğu br model le ncelenmştr. Bast Tavsye odel (SR) br breyn br başka breye bldğ brn tavsye etmesn modeller [2]. Breylern sonlu belleğ olduğu varsayımı altında brey kendsne tavsye edlen bütün breyler hatırlayamaz, bazılarını unutmak zorundadır. Bu sınırlamanın sonucu olarak az sayıda brey çok blnr hale gelrken, tolumun öneml br kesm gttkçe az blnr olur. Bu durum tavsye sayıları arttıkça daha belrgn hale gelr. Tolumun öneml br çoğunluğu tarafından blnr hale gelme, şöhretn oluşumu olarak da düşünüleblr. Çok temel br model olan SR model br çok açıdan gelştrlmeye elverşldr. Gladwell e göre, [5] fkrler, ürünler, mesajlar ve davranışlar gb br çok şey, vrüsler gb yayılma özellğne sahtr. Dolayısıyla moda, trend ve blnrlk le lgl dnamkler anlamının en y yolunun, edemk modelleme olacağını savunur. Hastalık yayılım modelleme, fkr oluşumunu anlamak çn öneml br araçtır []. Bu kasamda br çok model gelştrlmştr [, 3, 6, ]. Bu bldr de, bahs geçen SR modelne reklamın etksn benzetm yoluyla nceledkten sonra ve edemk hastalık yayılım modellernden brn kullanarak analtk br çözümleme yamaya çalışacağız. II. BASİT TAVSİYE ODELİ Bast tavsye mekanzması breyn belleğnn modellenmes le başlar. En temel hal le model şaşırtıcı dere- g. t... r f Ş ekl : Sstem genel olarak br matrs olarak düşünüleblr. Satırlar breylern bellek çerklern gösterr. Breyn durumu, breye at bellek çerğdr. Sstemn durumu se, breylern bellek durumlarıdır. cede basttr. Tolum breyden meydana gelmektedr. Her brey eşt büyüklükte,, sabt br belleğe sahtr. Brey br başka breye kend bldkler arasında br şey tavsye eder. Burda tavsye edlen, kültürel ürünler olarak düşünülmeldr [7]. Tavsyey alan, yen br şey öğrendğnde, bunu koymak çn belleğnde boş br yer bulması gerekr. Eğer boş yer yoksa br şey unutarak boş yer açar. Breyler belleklernde tamamen farklı blgler le başlasalar da, etkleşmler sonunda breylern bellek çerkler brbrne yaklaşmaktadır. SR modelnde tavsyey veren ve alan kş arasından rasgele seçlr. Veren kend belleğndek nesne arasından rasgele br şey önerr. Alan belleğndek nesne arasından rasgele seçlen unutu, yerne tavsye edlen alır. Burada brey sayısı, breylern bellek büyüklüğü herkes çn aynı ve dr. Her ne kadar breylern bellekler herhang br nesne kümesnden elemanları tutablecek olsa da, modeln bu en bast halnde breylern belleklernde dğer breylern olduğu varsayılır. Bu durumda brey a nın belleğnde brey b yer alır. Bu brey a nın brey b y blyor olması şeklnde yorumlanır. Şekl de görüldüğü gb tavsye mekanzmasında dört brey rol alır. Tavsye veren ( gver ) ve alan ( taker ), g ve t le gösterlr. Tavsye veren kend bldkler, yan belleğnde yer alanlar, arasında br brey tavsye eder. Tavsye edlen ( recommended ) r le gösterlr. Tavsyey alan tavsye edlen belleğnde br yere koyması, böylece öğrenmes, gerekr ama normalde belleğnde boş yer yoktur. Bu nedenle bldğ br breyden vaz geç, onun yerne tavsye edlen koyması gerekr. Yer açmak çn unutulan ( forgotten ) f le gösterlr. Tavsye mekanzması bu hal le dört seçm gerektrr ve bu seçmler rastgele yaılmaktadır.
2 S a 62 g a 2 g a 62 t a 2 t a 62 t a 2 t r = a r = a a a [+] r 2 t r 62 t [+] [+] r 2 t r 62 t f 6= a f = a f 6= a f = a [ ] [ ] Şekl 2: Smülasyona at olasılık ağaç dyagramı Fgure : Smulasyona at olaslk aac dyagram Sstemn durumu her br breyn bellek durumlarının brleşkesdr ve Şekl de görüldüğü gb br matrs le gösterleblr. Br tavsye şlem sonunda sadece tavsye alanın bellek yaısı değşr. Dolayısıyla sstemn tolam durumunda sadece tavsye alana karşılık gelen t. satırı değşr. Bu değşmler le sstem br durumdan br başka duruma gder. Ama bu değşm sürec sonsuza kadar bu şeklde devam etmez. Sstemn br kere grdğnde br daha çıkamadığı yutucu durumlar vardır. Örneğn sstem durum matrsnn tüm satırları aynı se artık sstemde br değşm olamaz. Çünkü herkes aynı breyler blyor, dolayısıyla yen br breyn tavsye edlmes mümkün olamaz. Doğal olarak böyle durumlara düşmek çok küçük olasılıktır ama yeter derecede beklenldğnde, br başka deyşle zaman lmt olarak sonsuza gttğnde sstem mutlaka bu şekldek durumlardan brne düşecektr. Pratk olarak bu kadar bekleyemeyeceğmze göre bz yeter derecede uzun br süre sonunda durmamız ve o noktada sstemn durumunu ncelememz gerekr. III. REKLA ETKİSİ Reklam edlen tek br nesne olduğunu ve reklamın tolumdak herkese her an ulaşabldğn varsayıyoruz. Reklam etksn ölçen yen modelde, laveten br de reklamı yaılan (advertsed a) beşnc taraf vardır. En öneml arametrelerden br reklamın t tarafından kabul görme olasılığını yansıtan dr. Buna göre br brey tavsye almak çn br başka breye başvurduğunda, olasılıkla tavsyey, olasılıkla se reklamı terch edecektr. reklamın başarılı olma htmaldr. y reklama yaılan yatırım olarak da düşüneblrz. odelmz ynelemel br yaıdadır ve br terasyon şu üç adımdan oluşur:. g, r y tavsye eder. 2. t, olasılıkla r y, olasılıkla a yı öğrenr. 3. t, f y unutur. Her terasyonda tavsye alan t, tavsyevereng le rastgele eşleşr. g gene tavsye edlen belleğnden rastgele seçer fakat, t nn bu sefer orjnal modelden farklı olarak olasılıkla reklam edlen ya da ( ) olasılıkla g tarafından tavsye edlen seçme hakkı vardır. t n kararına dersek, ( a, olasılıkla = r, ( ) olasılıkla şeklnde nın değer seçlr. IV. AALİTİK ÇÖZÜLEE Edemk hastalıkların yayılımını modelleyen, davranış tahmn ve kontrol mkanı sağlayan dslne matematksel edemyolj denr [4, 9]. Bu bölümde matematksel edemyoljden az da olsa faydalanacağız. Çünkü blyoruz k, fkrler de hastalıklar gb br kşden dğerne geçer. Edemyoljde blnen modellerden br sağlamenfektf-sağlam (SIS) modeldr. Reklamı br vrüs gb düşünerek, reklam aracılığı le emoze edlmek stenen fkr kabul etmş breylere enfektf ve reklamdan haber olmayan breylere sağlam dyeceğz. Enfektf brey sadece reklamı benmsemekle kalmaz aynı zamanda dğer sağlam breylere de benmsetmek ster. Şekl 2 dek olasılık ağacı dyagramında her sevye smülasyona at br terasyondak sıralı adımları göstermektedr. Amacımız, tolumda kadar enfektf brey olduğunu varsayarak tek br terasyondak etkleşm netcesnde, enfektf brey sayısının nasıl değşeceğn ncelemektr. Her dalın üzernde lgl olasılık değerlern görmekteyz.
3. İlk sevye, tavsye edenn reklamı bl blmemesne göre k dala ayrılır. a 2 g tavsye verenn reklamı bldğ yan enfektf olduğu anlamına gelr. Seçtğmz g nn enfektf olma olasılığı P(a 2 g) = dr ve g nn sağlam olma olasılığı se P(a 62 g) = dr. 2. İknc sevyede tavsye alanın yan t nn enfektf olu olmamasına göre k dala ayrılır. Bu adım br koşullu olasılığa tekabül eder, örneğn enfektf g seçlmşken enfektf t nn seçlme olasılığı P(a 2 t a 2 g) = dr. Enfektf g hafızasından rastgele brn önereceğne göre, önerdğ kşnn reklam olma olasılığı dr. 3. Üçüncü sevye de, tavsye edlenn reklam olu olmamasına göre k dala ayrılır. Tavsye edlenn reklam olması şu şeklde gösterlr: r = a. Sağlam g nn reklamı tavsye etme htmal olmadığı çn br dallanma olmaz ve sadece yı görürüz. 4. Bundan sonrak dördüncü sevye se t nn, g den gelen tavsyey m yoksa reklam edlen m alacağına göre kye ayrılır. t nn öğrenmek çn seçtğ nesneye dersek, olasılıkla ve olasılıkla olduğunu belrtmştk. 5. Beşnc sevye tavsye sürec açısından krtktr. g nn önerdğ r y, taker ın zaten blyor olma olasılığına dersek, htmalle t yen br şey öğrenmeyeceğ çn tavsye geçersz olacaktır. nın tam değern hesalamak, bazı özel durumlar harcnde, mümkün değldr. Dolayısıyla yaklaşık değerler kullanacağız. 6. Son sevye unutulanın seçmyle lgldr. Eğer a 2 t se tavsye alan t enfektftr ve htmalle a yı unutablr. Böyle olursa, t sağlam breye dönüşür. A. arkov Sürec İlşks Olasılık ağaç dyagramının yarakları bzm çn klt öneme sahtr. Tolumda adet enfektf brey olduğu durumu S le gösterrsek, olasılık ağaç dyagramının artı [+] yarakları bze S den S + e geçş olasılığını verr. Benzer şeklde, eks, tolumdak enfektf brey sayısının, [ ] br azaldığını, nokta se değşmedğn gösterr. Geçş olasılıklarını belrtmek çn şu notasyonu kullanalım. q = P(S! S ) l = P(S! S ) = P(S! S + ) Problem bu hale getrdkten sonra fark edeceğmz öneml şeylerden lk, her 8 2{,,...,} çn q, l ve farklı değerler alsa da, olasılık ağaç dyagramının tüm dallarının olasılık değerlernn tolamının olduğudur, q + l + = dr. Şekl 2 dek her yarağa gden l l l...... S... S S S +... S q q + Ş ekl 3 : Rassal Yürüyü ş l şks : Bzm modelmz, random walk olarak düşünüleblr. Enfektf kş sayısı eksye düşemeyeceğ çn S dan sola gdş olasılığı sıfırdır. Dolayısıyla, başlangıç durumu S br yansıtan durumdur. = kens yutucu duruma tekabül eder, > ken se S sadece br yansıtan durumdur. l + yol üzerndek dalların olasılık değerlern çararak, o yarağın gerçekleşme htmaln elde ederz. Aynı tür yaraklar çn olasılık çarımlarını tolayarak durum geçş olasılıklarını hesalarız. Buna göre, = + +. q = ( )( ) + ( )( ). l = (q + ). Analtk çözümleme yaablmek çn, öncelkle stokastk markov matrsmz oluşturacağız ve blnen doğrusal cebr özellklernden faydalanacağız. arkov matrs yardımıyla br durumdan dğerne geçş olasılıklarını nceleyelm. atrsmzn boyuları ( +) ( +) dr. = 5 çn matrsmzn görüntüsü, 2 3 l q l q 2 = l 2 q 3 6 2 l 3 q 4 7 4 3 l 4 q 5 5 4 l 5 sütun tolamı olan stokastk br matrstr ve doğrusal cebrden blyoruz k ve T aynı özdeğerlere sahtr. Kolayca görülür k, T un özvektörü v = [,...,] T çn lgl özdeğer = dr. Dolayısıyla = aynı zamanda n de br özdeğerdr fakat lgl özvektörü v den farklıdır. Bu özvektöre dersek, = =[,,..., ] T,( + ) sütun vektörüdür., enfektf kş sayısının olma htmal, olmak üzere br denge durumu olasılık dağılımı (statonary dstrbuton) olarak yorumlanablr. = olduğuna göre kararlı haldek olasılık dağılımının denklem 8 çn şu şeklde yazılacaktır: = + l + q + +. Tolumdak enfektf kş sayısı negatf ya da den büyük olamayacağı çn q ve olasılıkları sıfırdır. Ayrıca l
4 q + l + = olduğuna göre, kolayca görülür k, = q Denge durumu olasılık dağılımı yeternce sayıda terasyon gerçekleştğnde ortaya çıkacak olan dağılımdır. Burda,bzeenfektfbreysayısının olma htmaln verr. Bu kararlı hale at denge durumu olasılık dağılımı şu özellklere sahtr [8]. = Q k k= q k P = = Bu dağılımın beklenen değer bze, rassal yürüyüş modelnde yürüyüşün hang durum üzernde yoğunlaştığını söyler. O durumun nds bze tolumdak enfektf kş sayısını verr. Dolayısıyla dağılımın beklenen değer, uzun vadede reklamın kaç kş tarafından blndğne dar tahmnmz ortaya koyar. Reklamın beklenen şöhret şu matematksel fade le elde edlr: E[ ] = X = = X = Y k= k q k V. SİÜLASYO SOUÇLARI Reklamın şöhret oluşumuna etksn nceledğmz bu çalışmada tolumun = kşden oluştuğunu ve A adet reklamı yaılan nesne olduğunu varsaydık. Yorumlamada kolaylık olması açısından A = kabul ettk. Kş başı ortalama terasyon sayısını v = 6 kabul ettk. Bunun anlamı br smülasyon çn tolamda v terasyon gerçekleştrlecek olmasıdır. Stokastk br model üzernde çalıştığımız çn, sonuçları 2 smülasyonun ortalaması olacak şeklde belrttk. Şekl 4 (a) da X eksen bellek kaastesnın büyüklüğünü, Y eksen reklamın şöhretnn buna bağlı olarak değşmn göstermektedr. Reklamı blen kş sayısının tolumdak kş sayısına oranı bze reklamın şöhretn vermektedr. Gerçek hayatta, br nsanın tak edemeyeceğ kadar web hzmet, kültürel ürün vs.. vardır. Dolayısıyla, bellek büyüklüğünün tüm nesneler blecek kadar büyük olableceğn varsaymak doğru br yaklaşım sayılmaz. Şekl 4 (a) da dört farklı reklam yatırımını smgeleyen 2 {, 2, 3, 4 } değerler çn, hafızanın kısıtlı olduğu le 25 aralığında, reklam şöhretnn nasıl değştğn gözlemlemekteyz. odelmzdek arametres, tavsye yerne reklamın başarılı olma htmaldr ve y reklam çn yaılan yatırım olarak da düşüneblrz. Smülasyonlar sonucunda görüyoruz k, reklam yatırımı, yan nn değer ne kadar büyükse reklam edlenn şöhret de o kadar artış göstermektedr. Bu beklenen br sonuçtur. Asıl şaşırtıcı olan sonuç, hafıza büyüklüğünün mnumum olduğu değer çn reklam edlenn şöhretnn maksmum değere ulaşmasıdır. Görüldüğü üzere Şekl 4 (a) da her değer çn = ken reklam edlenn şöhret dr. Dğer br fadeyle, reklam yüzde yüz başarıya ulaşmış ve tolumdak herkes tarafından kabul görmüştür. Üstelk bu bulgu her değer çn gerçekleştğne göre bu den yan reklamın tanıtımı çn yaılan yatırımdan bağımsızdır. Bu da demek olur k, = ken cdd yatırım harcamasına gereksnm yoktur. Az br reklam kamanyası dah mutlak başarıya ulaşacaktır. Bu durumun analtk olarak br sonrak bölümde nceleyeceğz. Fakat öncelkle Bölüm IV da tam değern belrtmedğmz üzernde duralım. A. nın değer. Tavsye edlenn, tavsyey alan tarafından önceden zaten blnyor olma htmaln olarak tanımladık. Fakat nın değern belrtmedk. Blnen o k, nın değer, başlangıçta sıfırdan büyük veya eşttr, sstem yutucu duruma ulaştığında se, e eşttr. Öncelkle nın değern göz ardı etmenn zaten gerçekç olmayacağını belrtmekte fayda var. Çünkü etkleşmler netcesnde lla k, tavsye alan ve tavsye verenlern bldkler arasında ortaklıklar oluşacaktır. Tavsye verenn bu ortak blnenlerden brn önermes geçersz tavsye le sonuçlanacaktır. nın değernn terasyon sayısına bağlı olarak nasıl değştğnn satanması, bell bazı özel durumlar harcnde, neredeyse mkansızdır. Belk bu başka br çalışmanın konusu olablr. Bu nedenle, olablecek yaklaşımlardan br bastlk açısından =.5 olarak kabul etmektr. Br dğer se, smülasyon verlernden yararlanmaktır. Tavsye edlen adet nesneden brdr. Onun tavsye alanın bldğ nesneden br olma htmal = dr. Fakat bu yaklaşımla, tamamen unutulan nesneler göz ardı etmş oluruz. Daha y br yaklaşım, U sstem tarafından unutulmamış nesne sayısı olmak üzere, yı U olarak kabul etmektr. Unutulmamış nesne sayısı çn, smülasyon loglarını, ortalama alarak kullanablrz. = R RX = U Burda, U nc smülasyondak unutulmamış nesne sayısını vermektedr. R = 2 se ortlaması alınan brbrnden farklı smülasyon sayısını vermektedr. Şekl 4 de = çn, analtk çözümlememz, smülasyon sonuçlarıyla yeternce y örtüşmemektedr. Bunun sebeb, özellkle hafızanın küçük olduğu durumda sstemce blnen ortak nesnelern sayısını = çny yansıtılamamasdır. Bastçe =.5 kabul etğmzde analtk çözümlememz, smülasyon sonuçları le daha y örtüşmektedr. Çalışmamız, hem teork açıdan hem de ratk açıdan en y çn doğrulanmıştır.
5 Smulaton results Analytcal dervaton for γ =.9.9.8.8.7.7.6.6 F adv.5 E[F adv ].5.4.4.3.2. = = 2 = 3 = 4.3.2. = = 2 = 3 = 4.5..5.2.25.5..5.2.25 (a)smülasyon sonucu (b) =çnanaltkyaklaşımsonucu Analytcal dervaton for γ =.5 Analytcal dervaton for γ *.9.9.8.8.7.7.6.6 E[F adv ].5 E[F adv ].5.4.4.3.2. = = 2 = 3 = 4.3.2. = = 2 = 3 = 4.5..5.2.25.5..5.2.25 (c) =.5 çnanaltkyaklaşımsonucu (d) çn analtk yaklaşım sonucu Şekl 4: Kabul edleblr hafıza oranları çn, reklam edlenn şöhretnn nasıl değştğn anlatan smülasyon sonuçları, analtk sonuçlarla karşılaştırılmıştır. arkov zncr le yaılan teork yaklaşım, smülasyon sonuçlarını = harcnde doğrulamaktadır. B. Reklam yatırımından bağımsız başarı = çn reklam yatırımından bağımsız başarı br başarı elde edlmektedr. Bunun çn, daha önce bulduğumuz q, l ve geçş olasılıklarını hafıza büyüklüğünün br olduğu, = özel durumuna bakalım. = + q = ( )( ) q n bu değer, = ken, olasılık ağaç dyagramında a 62 g ve a 2 t durumunda elde edldğne göre, = olmak zorundadır. (Hafıza büyüklüğü ken t, a yı blyor ve g blmyor.) = ken, görüyoruz k, () Her 8 2 {,,...,} çn > q eştszlğ sağlanmaktadır. +( ) = =+ q ( ) > (2) =, q = dolayısıyla l = Bu k gözlemmzn ks de, = ken neden den bağımsız olarak reklamın tolumdak tüm breyler tarafından blnr hale geldğn açıklar. İlk gözlemmzn anlamı, Şekl 3 de sstem hang durumda olursa olsun, sağa doğru yan S e doğru önlenemez br gdş eğlmnn olduğudur. İknc gözlemmz se, = ken l = olduğu çn, S n yutucu durum olması le lgldr. S tolumdak herkesn enfektf hale geçmes yan reklam edlenn tüm tolum tarafından benmsenmes anlamına gelr. Bu da reklamın yüzde yüz başarıya ulaşması demektr.
6 VI. SOUÇ A. İlerye dönük çalışmalar Smülasyon sonucunda elde ettğmz dkkat çekc k öneml bulgudan lk, breylern bellek büyüklüğü olablecek en küçük değer olan = ken, reklamın yüzde yüz başarılı oluşudur ve bu reklamın gücünden bağımsız olarak gerçekleşmektedr. Yan tolum hafızasının en küçük olduğu bu durumda reklam çn ne kadar yatırım yatığınızdan bağımsız olarak reklam tam başarıya ulaşacaktır. İknc öneml bulgumuz se, bellek büyüklüğünün daha büyük olduğu ( > ) tolumlarla lgldr. Burada, bell br krtk değernn varlığını gözlemlemekteyz. Bu krtk değerden düşük br reklam yatımımında, reklam başarısının bellek büyüklüğü le ters orantılı olduğu ortaya çıkmıştır. Krtk değern üstünde br reklam yatırımında se reklam başarısının bellek büyüklüğü le doğru orantılı olduğu ortaya çıkmıştır. Dğer br fadeyle, krtk değern altındayken hafıza arttıkça reklam edlenn blnrllğ azalırken, bu değern üstündeyken hafıza arttıkça reklam edlenn blnrllğ de artar. Ayrıca bu çalışmamızda, smülasyonu gerçekleştrmeden sonucun ne olacağını kestrecek analtk br çözümleme de yatık. Bu tavsye modeln br arkov sürec halne getrerek lgl olasılık dağılımını hesaladık. Bu dağılımın beklenen değer bze reklam edlenn şöhretn vermektedr. Bu da tavsye modelnn lgl arametrelerle brlkte kontrolünü kolaylaştırmakta ve reklamın şöhret oluşumuna olan etksnn ne olacağı le lgl tahmnlerde bulunmaya mkan sağlamaktadır. Kmn tavsye edeceğ, kme tavsye edeceğ kadar ney tavsye edeceğ de önemldr. odeln, Physcal Revew E de yayınlanan en bast halnde (Smle Recommendaton odel - SR) bu seçmler rasgele yaılmaktadır. Blyoruz k gerçek hayatta tavsyelermz bldklermz arasından rasgele yamıyoruz. Bze gelen tavsyeler rasgele almıyoruz. Daha başka mekanzmalar devreye gryor. Her tavsye edlen kabul etmyoruz. Tavsye edenn o konuda ne kadar güvenlr, ne kadar yetkn olduğuna bakıyoruz. PRE modelnde brey tavsye edlen tavsye edene ve tavsye edlene bakmaksızın kabul eder. Buralarda daha nce mekanzmalara gereksnm olacaktır. SR model breylern hesnn aynı büyüklükte belleğe sah olduğunu varsayar. Herkes m kadar şey bleblr. SR de tolum büyüklüğü sabttr. Breyler doğmaz, ölmez. Gerçek hayatta bunun böyle değldr. Br başka ncelenecek nokta göç olgusunun karşılığıdır. Brbr le etkleşmeyen k tolum aradak engellern kaldırılması le etkleşr hale gelrse ne olacağının ncelenmesdr. Bu br anlamda brbr le bağlantısı olmayan k sosyal ağın yen br bağ le artık etkleşr olması olarak da düşünüleblr. Teşekkürler. Bu çalışma, Boğazç Ünverstes Araştırma Fonu BAP-28-8A5, DPT kaynaklı TA Projes, 27K26, ve COST aksyonu P8 tarafından kısmen desteklenmştr. [] Frank. Bass. A ew Product Growth for odel Consumer Durables. anagement Scence, 5(5):25 227, 969. [2] Haluk Bngol. Fame emerges as a result of small memory. Physcal Revew E, 77(3):7, arch 28. [3] P S Dodds and D J Watts. A generalzed model of socal and bologcal contagon. Journal of theoretcal bology, 232(4):587 64, February 25. [4] Davd Easley and Jon Klenberg. etworks, Crowds, and arkets: Reasonng About a Hghly Connected World. Cambrdge Unversty Press, 2. [5] alcolm Gladwell. The tng ont: How lttle thngs can make a bg d erence. Lttle Brown and Comany, Boston, 2. [6] Jacob Goldenberg, B Lba, and E uller. Talk of the network: A comlex systems look at the underlyng rocess of word-of-mouth. arketng letters, 2(3):2 223, 2. [7] Amaç Herdagdelen and Haluk Bngol. A Cultural arket odel. Internatonal Journal of odern Physcs C, 9(2):27, 28. [8] J. R. orrs. arkov Chans. Cambrdge Unversty Press, 998. [9] artn owak. Evolutonary Dynamcs: Exlorng the Equatons of Lfe. Belkna Press, 26. [] Romualdo Pastor-Satorras and Alessandro Vesgnan. Edemc Sreadng n Scale-Free etworks. Physcal Revew Letters, 86(4):32 323, Arl 2. [] Everett. Rogers and Everett Rogers. D uson of Innovatons. Free Press, 5 edton, 23.