DUAL UZAYDA PARALEL EQUIDISTANT REGLE YÜZEYLER

T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DUAL UZAYDA PARALEL EQUIDISTANT REGLE YÜZEYLER SÜMEYYE GÜR DOKTORA TEZİ ORDU 05

TEZONAY Ordu Üniveritei Fen Bilimleri Entitüü öğrencii Sümeyye GÜR tarafından, Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT danışmanlığında hazırlanan "DUAL UZA YDA PARALEL EQUIDIST ANT REGLE YÜZEYLER" adlı bu tez, jürimiz tarafından 407/0 ı5 tarihinde oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Doktora tezi olarak kabul edilmiştir. Danışman II. Danışman Eramu Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT Prof. Dr. Ayhan SARIOGLUGİL Ondokuz Mayı Üniveritei Prof. Luca GRILLl Univerita degli Studi di Foggia Başkan Üye Üye Üye Üye Üye Üye Prof. Dr. Ayhan SARIOGLUGİL Matematik Anabilim dalı Ondokuz Mayı Üniveritei Doç. Dr. Ayhan TUTAR. Matematik Anabilim dalı Ondokuz Mayı Üniveritei Doç. Dr. Selahattin MADEN Matematik Anabilim dalı Ordu Üniveritei Doç. Dr. Erhan SET Matematik Anabilim dalı Ordu Üniveritei Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT Matematik Anabilim dalı Ordu Üniveritei Yrd. Doç. Dr. Seher ASLANCI Matematik Anabilim dalı Ordu Üniveritei Yrd. Doç. Dr. Serkan KARATAŞ Matematik Anabilim dalı Ordu Üniveritei İmza: ~ İmza: lıma:~ İmza: İmza:

ONAY: Bu tezin kabulü, Entitü Yönetim Kurulu'nun.+'./IÇ/:ı.c;:ı7. tarih ve :lr?.ls'/ 4.Y.-::f-.... ayılı kararı ile onaylanmıştır. -..0..05 j,

TEZ BİLDİRİMİ Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmaında bilimel ahlak kurallarına uyulduğunu, başkalarının eerlerinden yararlanılmaı durumunda bilimel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve onuçların başka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin herhangi bir kımının bu üniverite veya başka bir üniveritedeki başka bir tez çalışmaı olarak unulmadığını beyan ederim. JrU-LWJz.. Sümeyye GÜR Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak göterilmeden kullanımı, 5846 ayılı Fikir ve Sanat Eerleri Kanunundaki hükümlere tabidir. i

ÖZET DUAL UZAYDA PARALEL EQUIDISTANT REGLE YÜZEYLER Sümeyye GÜR Ordu Üniveritei Fen Bilimleri Entitüü Matematik Anabilim Dalı, 05 Doktora Tezi, 9. Danışman: Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT II. Danışman: Prof. Dr. Ayhan SARIOĞLUGİL Eramu Danışmanı: Prof. Luca GRILLI Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tezin içeriğinde yol götermiş olan kaynaklardan bahedilmiştir. İkinci bölümde, araştırma bulguları bölümünde kullanılacak olan bazı tanımlar, teoremler ve örnekler şekillerle açıklanmıştır. Üçüncü bölümde, Öklid uzayında paralel p-equiditant regle yüzeylerin bazı karakteritik özelliklere yer verilmiştir. Dördüncü bölüm tezimizin orijinal kımıdır. Bu bölümde; Öklid uzayında trikiyon eğrileri boyunca üretici vektörler paralel ve karşılıklı noktalardaki düzlemler (aimptotik, polar ya da merkezi) araındaki uzaklık abit kabul edilerek elde edilen equiditant (abit eş uzaklıklı) regle yüzeylerin, dual uzaydaki karşılıkları bulunmuştur. Bulunan bu dual regle yüzeylerin dayanak eğrilerinin eğrilikleri araındaki ve küreel götergelerinin Blachke vektörleri araındaki ilişkiler verilmiştir. Ayrıca bu regle yüzeylerin trikiyon eğrilerinin kapalı olmaı durumunda meydana gelen kapalı regle yüzeylerin integral invaryantları ve bu invaryantlar araındaki ilişkiler göterilmiştir. Son olarak bu yüzeylerin Gau eğrilikleri heaplanıp, bu eğrilikler araındaki ilişkiler ortaya koyulmuştur. Anahtar Kelimeler: Dual uzay, paralel equiditant regle yüzeyler, integral invaryantlar, Gau eğriliği II

ABSTRACT THE PARALLEL EQUIDISTANT RULED SURFACES ON THE DUAL SPACE Sümeyye GÜR Univerity of Ordu Intitute for Graduate Studie in Natural and Technology Department of Mathematic, 05 PhD Thei, 9p. Supervior: At. Prof. Dr. Süleyman ŞENYURT II. Supervior: Prof. Dr. Ayhan SARIOĞLUGİL Eramu Supervior: Prof. Luca GRILLI Thi thei conit of four chapter. The firt chapter i devoted to the ummary of the literature. The econd chapter deal with definition, theorem and example which are neceary for the next chapter. The third chapter contain ome characteritic propertie of parallel p- equiditant ruled urface in Euclidean -pace. The fourth chapter i original part of the thei. It contain to correpondence in dual pace of two ruled urface whoe the generator vector are parallel along their triction curve are examined by auming that the ditance between two plane (aymptotic, polar and central) at uitable point i contant, in Euclidean pace. In thi part, the relationhip between of Blachke vector and curvature belong to pherical indicatrix curve of thee ruled urface are found. In cae of triction curve of thee ruled urface are cloe; the relationhip between their integral invariant are computed. Alo Gau curvature of thee ruled urface are calculated and the relationhip between thee curvature are given. Key Word: Dual pace, parallel equiditant ruled urface, integral invariant, Gau curvature. III

TEŞEKKÜR Tez konumun belirlenmei, çalışmanın yürütülmei ve yazımı enaında bilgilerini ve fikirlerini benimle cömertçe paylaşan, bana her konuda yol göteren ve ışık tutan, bu zor üreçte bana daima cana yakın ve anlayışlı bir tutumla yaklaşan danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT a, tezime yeni bakış açıları ve düzeltmeler katabilmek için değerli vaktini ayıran Eramu danışmanım Sayın Prof. Luca GRILLI ye ve ikinci danışmanım Prof. Dr. Ayhan SARIOĞLUGİL e teşekkürlerimi unarım. Aynı zamanda, hayatım boyunca adece varlıklarının bile bana her zaman güç verdiği, en büyük detekçilerim olan aileme, ihtiyacım olan her durumda yanımda olan arkadaşlarıma ve maddi deteklerinden dolayı Türk Eğitim Vakfı (TEV) na teşekkürü bir borç bilirim. IV

İÇİNDEKİLER Sayfa TEZ BİLDİRİMİ... ÖZET........ ABSTRACT... TEŞEKKÜR.... İÇİNDEKİLER... I II III IV V ŞEKİLLER LİSTESİ... VII SİMGELER VE KISALTMALAR..... IX. GİRİŞ... GENEL BİLGİLER........ Öklid Uzayında Temel Kavramlar...... Öklid Uzayında Regle Yüzeyler..... 6.. Dual Uzayda Temel Kavramlar....4. Regle Yüzeyin Dual Vektörel İfadei.... 9. MATERYAL VE YÖNTEM... 5.. Öklid Uzayında Paralel p - Equiditant Regle Yüzeyler Ve Bazı Karakteritik Özellikleri.... 5.. Dual Uzayda Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları, Dağılma Parametreleri ve Gau Eğrilikleri... 8 4. ARAŞTIRMA BULGULARI... 40 4.. Dual Paralel Equiditant Regle Yüzeyler...... 40 4... Dual Paralel Equiditant Regle Yüzeylerin Strikiyon Eğrileri ve Blachke Vektörleri....... 4 4... Dual Paralel Equiditant Regle Yüzeylerin Dayanak Eğrilerinin Eğrilikleri.. 5 4.. Kapalı Dual Paralel Equiditant Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları..... 56 4... Birim Dual Teğetler Götergelerine Karşılık Gelen Kapalı Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları.... 57 V

4... Birim Dual Ali Normaller Götergelerine Karşılık Gelen Kapalı Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları... 6 4... Birim Dual Binormaller Götergelerine Karşılık Gelen Kapalı Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları... 64 4..4. Birim Dual Pol Götergelerine Karşılık Gelen Kapalı Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları...... 68 4.. Dual Paralel Equiditant Regle Yüzeylerin Gau Eğrilikleri..... 8 4... Birim Dual Teğetler Götergelerine Karşılık Gelen Regle Yüzeylerin Gau Eğrilikleri..... 8 4... Birim Dual Ali Normaller Götergelerine Karşılık Gelen Regle Yüzeylerin Gau Eğrilikleri...... 88 4... Birim Dual Binormaller Götergelerine Karşılık Gelen Regle Yüzeylerin Gau Eğrilikleri........ 0 4..4. Birim Dual Pol Götergelerine Karşılık Gelen Regle Yüzeylerin Gau Eğrilikleri....... 5. TARTIŞMA ve SONUÇ.... 5 6. KAYNAKLAR.... 6 ÖZGEÇMİŞ...... 8 VI

ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil No Sayfa Şekil.. Darboux vektörü... 5 Şekil.. Yüzey...... 6 Şekil.. Küre. 7 Şekil.4. Regle yüzey. 8 Şekil.5 Teğet düzlem... 9 Şekil.6. Açılabilir regle yüzey.. 0 Şekil.7. Daireel heliin teğetinin meydana getirdiği regle yüzey.. Şekil.8. Daireel heliin normalinin meydana getirdiği regle yüzey... Şekil.9. Aimptotik düzlem..... Şekil.0. Strikiyon noktaı ve trikiyon çizgii...... Şekil.. Regle yüzeyin dağılma parametrei....... 6 Şekil.. Ortogonal yörünge eğrii..... 8 Şekil.. Regle yüzeyin açılım uzunluğu..... 9 Şekil.4. Regle yüzeyin açılım açıı..... 9 Şekil.5. Dual açı......... Şekil.6. Doğrunun doğrultu vektörü ve vektörel momenti....... 7 Şekil.7. E. Study tekabül prenibi..... 9 Şekil.8. Regle yüzeyin dual vektörel ifadei....... 9 Şekil 4.. Dual küreel eğriler ve Blachke çatıları....... 4 Şekil 4.. Dual paralel equiditant regle yüzeyler...... 4 Şekil 4.. Dual paralel equiditant regle yüzeyler ve trikiyon eğrileri... 4 Şekil 4.4. Birim dual küre üzerinde küreel göterge eğrileri.... 57 Şekil 4.5 Birim dual teğetler götergelerine karşılık gelen regle yüzeyler... 58 Şekil 4.6. Birim dual ali normaller götergelerine karşılık gelen regle yüzeyler.. 6 VII

Şekil 4.7. Birim dual binormaller götergelerine karşılık gelen regle yüzeyler. 65 Şekil 4.8. Ani Pfaff vektörleri.... 69 Şekil 4.9. Birim dual pol götergelerine karşılık gelen regle yüzeyler... 7 VIII

SİMGELER ve KISALTMALAR IR ID : - boyutlu Öklid uzayı : Dual uzay ( D -Modül), : Öklid iç çarpımı : Norm d D v V p x P x x L x x x S S K K k k w W : Steiner dönme vektörü : Dual Steiner dönme vektörü : Steiner öteleme vektörü : Dual Steiner öteleme vektörü : Regle yüzeyin dağılma parametrei : Dual regle yüzeyin dağılma parametrei : Regle yüzeyin açılım uzunluğu : Dual regle yüzeyin açılım uzunluğu : Regle yüzeyin açılım açıı : Dual regle yüzeyin açılım açıı : Regle yüzeyin şekil operatörü : Dual regle yüzeyin şekil operatörü : Regle yüzeyin Gau eğriliği : Dual regle yüzeyin Gau eğriliği : Eğrilik : Dual eğrilik : Burulma (toriyon) : Dual burulma (toriyon) : Darboux vektörü : Ani dual Pfaff vektörü IX

. GİRİŞ Öklid uzayında ve dual uzayda regle yüzeyler ile ilgili temel kavramlar birçok kaynakta mevcuttur. Bunlardan bazıları Blachke nin (949) (Kerim Erim tarafından çeviri) "Difereniyel Geometri Derleri", Müller in (96) Kinematik Derleri, Şenatalar ın (978) Diferaniyel Geometri (Eğriler ve Yüzeyler Teorii), Biran ın (98) "Difereniyel Geometri Derleri", Hacıalihoğlu nun (98a-994) Difereniyel Geometri I-II ve (98b) Hareket Geometrii ve Kuaterniyonlar Teorii ve Sabuncuoğlu nun (006) Difereniyel Geometri adlı kitaplarıdır. Valeonti in (986) Parallel P- Äquiditante Regelflachen adlı çalışmaında paralel p-equiditant regle yüzeyler tanımlanarak bazı karakteritik özellikler verilmiştir. Maal ın (994), Maal ve Kuruoğlu nun (999, 000a ve 000b) çalışmalarında paralel p- equiditant regle yüzeylerin integral invaryantları, şekil operatörleri ve küreel götergeleri heaplanmıştır. Güven (00) doktora tezinde regle yüzeylerin Gau eğriliklerini heaplayarak bazı yeni onuçlara ulaşmıştır. Sarıoğlugil ve ark. (0) çizgiler uzayındaki bir paralel p-equiditant dual centroit eğriinin oluşturduğu regle yüzeyin integral invaryantları üzerinde çalışmışlardır. Saraçoğlu ve Yaylı (0) kapalı regle yüzeylerin dual küreel göterge eğrileriyle ilgili bazı yeni onuçlara ulaşmışlardır. Şenyurt (0) tarafından ani Pfaff vektörünün oluşturduğu paralel p-equiditant regle yüzeylerin integral invaryantları bulunmuştur. A ve Şenyurt (0) çalışmalarında ali normal vektörler paralel alınarak elde edilen equiditant regle yüzeylerin bazı özelliklerini vermişlerdir.

. GENEL BİLGİLER.. Öklid Uzayında Temel Kavramlar Tanım..: V bir reel vektör uzayı olun., : V V IR, ( x, y) x, y reel değerli fonkiyonu aşağıdaki akiyomları ağlıyora bu fonkiyona V üzerinde bir iç çarpım fonkiyonu denir: x, y, z V ve a, b IR için; i) Bilineerlik akiyomu: ax by, z a x, z b y, z x, a y bz a x, y b x, z ii) Simetri akiyomu: x, y y, x iii) Pozitif tanımlılık akiyomu: x, x 0, x, x 0 x 0. Tanım..: IR, -boyutlu vektör uzayı olun.,:ir IR IR,, xiyi i x y şeklinde tanımlı fonkiyon bir iç çarpım fonkiyonudur. Bu iç çarpıma tandart iç çarpım veya Öklid iç çarpımı denir (Hacıalihoğlu, 98). IR te Tanım..: i i i d : IR IR IR, d( x, y) ( y x ) şeklinde tanımlı fonkiyonuna IR te uzaklık fonkiyonu, d( x, y) IR ayıına da bu noktalar araındaki uzaklık denir (Hacıalihoğlu, 98).

Tanım..4: fonkiyonuna : I IR, =,, difereniyellenebilir IR te bir eğri, = ie eğrinin parametreine de yay parametrei denir. Tanım..5: : I IR difereniyellenebilir bir eğri olun. Bu eğrinin noktaındaki Frenet vektörleri u(), u( ) ve u( ) ile göterilire; i) yay parametrei ie, bu durumda Frenet vektörleri; u u u u u, (.) ii) keyfi parametre ie, bu durumda Frenet vektörleri; u u u u u şeklinde tanımlanır (Hacıalihoğlu, 98). Tanım..6: : I IR difereniyellenebilir eğriinin eğrilik ve burulmaı; i), k u u k u u,, yay parametrei (.)

ii) k k det,,, keyfi parametre şeklinde tanımlanır, (Hacıalihoğlu, 98). Teorem..: u( ), u( ) ve u( ) Frenet vektörleri ile bu vektörlerin türev vektörleri araında, u k u u k u k u u k u (.) bağıntıı vardır. Bu bağıntıya Frenet formülleri adı verilir, (Hacıalihoğlu, 98). : I IR eğriinin () noktaındaki,, u u u Frenet çatıının her anında, bir eken etrafında bir ani heli hareketi yaptığı kabul edilir. Bu ekene eğrinin () noktaındaki Darboux (ani dönme) ekeni, bu ekenin yön ve doğrultuunu veren vektöre de Darboux vektörü denir. Bu vektör w ile göterilire, w u u, w k u k u (.4) şeklinde bulunur. u ile w araındaki açıya denilire (Şekil.), 4

O k u k u θ w Şekil.. Darboux vektörü k w k w co in yazılır. Darboux yönündeki birim vektör c ile göterilire, in co c u u (.5) olur. Tanım..7: : I IR kapalı eğrii boyunca eğriel integraliyle belirtilen d ( ) w d (.6) vektörüne ani heli hareketinin Steiner dönme vektörü, olmak üzere, u u d u (.7) ( ) v d d (.8) vektörüne de hareketin Steiner öteleme vektörü denir (Hacıalihoğlu, 98). 5

. Öklid Uzayında Regle Yüzeyler xoy düzleminin bir B bölgeindeki her bir xy, noktaının diffeomorfizmi altındaki remi z = F x, y olun. Böylece, F xy noktaları, xoy düzleminde B bölgeini tararken, x, y, z noktaları da uzayda bir yüzey meydana getirir. Bu yüzeyin denklemi z =, F x y şeklindedir. Bu yazılış şekline yüzeyin açık denklemi veya yüzeyin Monge göterimi denir. Yüzeyin kapalı formdaki yazılışı ie F x, y, z = 0 (.9) şeklinde verilir, (Şenatalar, 978), (Sabuncuoğlu, 006), (Şekil.). y z v B F z=f(x,y) v 0 0 O x y x Şekil.. Yüzey, v v v olmak üzere v, bağımız parametreleri bu aralıklarda 0 0 ürekli ve ürekli türevlere ahiplere, bu durumda x = x, v, y y, v, z z, v (.0) ifadeine yüzeyin parametrik denklemi denir. Burada v= t abit değeri için adece değişeceğinden bu denklemler bir t eğrii göterir. Aynı şekilde v= t abit değeri için de t eğrii elde edilir. Sonuç olarak v parametreleri 6

ürekli değiştikçe bu eğriler de ürekli olarak değişeceğinden bir yüzey meydana getirir. Benzer şeyler parametrei için de öylenebilir. Başka bir deyişle v, bağımız parametrelerinin ikiinin de değişmeleri bir yüzey meydana getirir. Yani (.0) denklemleri araından v, parametreleri yok edilire F x, y, z = 0 gibi bir denklem elde edilir. Bu ie bir yüzey göterir. Eğer v, aralarında lineer bağımlı ie bu durumda (.0) denkleminin bir eğri götereceği açıktır. Örneğin; yarıçapı a olan kürenin parametrik denklemi, küre üzerindeki bir nokta Px, y, z ie, dir (Şekil.). x = aco co v, y = aco in v, z = ain (.) z A N L P a O M v P y x Şekil.. Küre Tanım..: Bir uzay eğriinin teğetlerinin doğurduğu yüzeye açılabilir yüzey denir, (Biran, 98). Tanım..: : I IR eğrii boyunca, eğriye bağlı bir x doğruunun hareketiyle meydana gelen yüzeye regle yüzey denir. Burada eğriine regle yüzeyin dayanak eğrii, x doğruunu da regle yüzeyin anadoğruu (doğrultmanı) adı verilir. Bu tanıma göre bir regle yüzeyinin parametrik 7

denklemi : I IR IR ( v) ( v) ( ) vx( ) (.) şeklinde verilir (Hacıalihoğlu, 98), (Şekil.4). x() φ (, v) (α) α() x O Şekil.4. Regle yüzey Örnek..: Bir doğrunun bir eğri üzerinde hareketi ile meydana gelen düzlem, ilindir yüzeyi ve koni yüzeyi birer regle yüzeydir ancak küre yüzeyi bir regle yüzey değildir. v v v Örnek..: x = a, y b, z = c yüzeyi bir regle v v v vt yüzeydir. Gerçekten; = t denilire, = olur. Böylece v t x = a vt, y b t v tv, z = c v t tv değerleri bulunur. Bu ifade x = a t av, y bv t b bv, z = cv t c cv şeklinde düzenlenire, (.) deki yazılışa göre v, t = a, bv, cv + t av, b( v ), c v olur. Bu ie bir regle yüzey demektir. O halde her regle yüzey (.) formatında yazılır. 8

Tanım..: v vx regle yüzeyi T, v v, T 0 olacak şekilde periyodik ie regle yüzeye kapalı regle yüzey denir, (Hacıalihoğlu, 994). Tanım..4: v vx regle yüzeyinin bir M noktaından geçen ve yüzeyin normaline dik olan düzleme regle yüzeyin teğet düzlemi denir, (Şenatalar, 978). v vx yüzeyinin normali n = v n ile göterilire; veya n = x vx (.) olur. Düzlemin değişken bir noktaı P olmak üzere, bu regle yüzeyin teğet düzleminin denklemi, MP, n = 0, det,, MP x vx = 0 (.4) şeklinde elde edilir (Şekil.5). n M P φ v φ Şekil.5. Teğet düzlem 9

Tanım..5: v vx regle yüzeyinin ana doğruu boyunca normal doğrultuu (teğet düzlemi) aynı kalıyora, yüzeye açılabilir regle yüzey denir, (Biran, 98), (Şekil.6). n x n x (α) Şekil.6. Açılabilir regle yüzey Bu tanıma göre v vx regle yüzeyinin n normal vektörü v parametreinden bağımız olmalıdır. Bu ie (.) ifadeine göre ve x x x Buradan, x x x = 0, vektörlerinin paralel olmaını gerektirir. x, x x x, x x = 0, det,, x x = 0 (.5) olur. Bu bağıntı v regle yüzeyin açılabilir olma koşuludur. Örnek..: x = aco, y = ain, z = b daireel heliinin teğetinin meydana getirdiği regle yüzey açılabilirdir ancak aal normalinin meydana getirdiği regle yüzey açılabilir değildir. Gerçekten; 0

φ (, v) t φ n φ (, v) α α φ O Şekil.7. Daireel heliin teğetinin meydana getirdiği regle yüzey O Şekil.8. Daireel heliin ali normalinin meydana getirdiği regle yüzey daireel heliin teğetinin meydana getirdiği regle yüzeyin denklemi, v = vt dir (Şekil.7). (.5) bağıntıından, det t, t, k n = 0 olur. Bu ie yüzeyin açılabilir olmaı demektir. Diğer taraftan aynı eğrinin aal normalinin meydana getirdiği regle yüzeyin denklemi,, v = vn dir (Şekil.8). (.5) bağıntıından, n t k t kb n t k t k b det,, =, = b, k t k b = k bulunur. Daireel heli bir uzay eğrii olduğundan yüzey açılabilir değildir. k 0 dır. Bu durumda

Tanım..6: v vx regle yüzeyin onuzdaki normal doğrultuuna karşılık gelen teğet düzleme aimptotik düzlem denir, (Biran, 98), (Şekil.9). n x n x n x (α) Aimptotik düzlem Şekil.9. Aimptotik düzlem Aimptotik düzlemin normal doğrultu vektörü için, (.) teki n = x v x ifadeinde her iki taraf v ye bölündüğünde, eşitliğin ağ tarafı vektörün doğrultuu olacağından, bu vektör n normal x x x v olur. M noktaının ana doğru üzerinde onuza gitmei halinde n nin limiti lim x x x = x x v v (.6) bulunur. Bulunan bu değer aimptotik düzlemin normaline paraleldir. Tanım..7: v vx regle yüzeyinin bir ana doğruu üzerinde bir noktadaki teğet düzlemin aimptotik düzleme dik olduğu noktaya ana doğrunun boğaz (merkezi veya trikiyon) noktaı, bu noktaların geometrik yerine de regle yüzeyin boğaz (trikiyon) çizgii (eğrii) denir (Şenatalar, 978).

Boğaz noktaının bir başka tanımı şu şekilde de verilebilir: Tanım..8: v vx regle yüzeyinin x ana doğruuna onuz yakın ana doğrunun ortak dikmeinin x ana doğruu üzerindeki ayağına boğaz noktaı denir, (Hacıalihoğlu, 994), (Şekil.0). B A B x + dx (α) (γ) A Strikiyon noktaı x Şekil.0. Strikiyon noktaı ve trikiyon çizgii Strikiyon eğriinin denklemini bulmak için v vx yüzey denkleminde v nin heaplanmaı gerekmektedir. Tanım..7 ye göre, aimptotik düzlemin birbirlerine dik olacağından n n, n = 0 olur. (.) ve (.6) bağıntılarından normali ile teğet düzlemin x x, x vx x = 0 n normali yazılır. Buradan v heaplanıra; v x x x, x x x x,, x bt (.7)

bulunur. v nin bu değeri v vx trikiyon eğriinin () denklemi ifadeinde yerine yazılıra x x, x ( ) ( ) x( ) x x x x, (.8) şeklinde bulunur. Ayrıca (.7) ifadeinin payı ve paydaı açılıra, ıraıyla,, =, x x x x x x, x x,,, =,, x x x x x x x x x x olur. x = yukarıdaki eşitlikler bt olmaı (.7) nin genel durumunu bozmayacağından,, =, x x x x x,, = x x x x x x şekline dönüşür. Bu ifadeler (.7) de yerine yazılıra, x, v, x = bt x (.9) olur. Bu ifade regle yüzey denkleminde yerine yazılıra, trikiyon eğriinin bir başka ifadei 4

x( ), ( ) ( ) ( ) x( ) x() (.0) şeklinde elde edilir. Örnek..4:,,,,, x v a v y v b v z v v yüzeyi, v a, b,0 va, b, şeklinde yazılabildiğinden bu bir regle yüzeydir. Bu regle yüzeyin doğrultman vektörünün uzunluğu ye bağlı olduğundan (.7) bağıntıından v x x x, x x x x, b, a,0, b, a, ab b, a,0, b, a,0 b = a a b olur. v nin bu değeri yüzey denkleminde yerine yazılıra trikiyon eğriinin denklemi b a a b a, b,0 a, b, şeklinde elde edilir. Örnek..5:, co,, in,, x v a v y v a v z v b yüzeyi, v aco, ain, b v co, in,0 şeklinde yazılabildiğinden bu bir regle yüzeydir. Bu regle yüzeyin doğrultman vektörünün uzunluğu abit olduğundan (.9) bağıntıından 5

v x, x in, co, 0, a in, a co, b in, co,0 a olur. v nin bu değeri yüzey denkleminde yerine yazılıra trikiyon eğriinin denklemi 0,0, b şeklinde bulunur. Tanım..9: v, regle yüzeyinin komşu iki ana doğruu araındaki en kıa uzaklığın, bu ana doğrular araındaki açıya oranına regle yüzeyin dağılma parametrei (drali) denir, (Hacıalihoğlu, 994), (Şekil.). x +dx x x. α( + d) X. Komşu ana doğrular araındaki en kıa uzaklık x k α() dα x (α) k. Y O dψ Komşu ana doğrular araındaki açı Şekil.. Regle yüzeyin dağılma parametrei 6

Birim doğrultman vektörü, = x olan bir regle yüzeyin drali p x ile göterilin. x x x x olduğundan komşu ana doğruların ortak dikmei doğrultuundaki birim vektör x x x dir. Dayanak eğriinin komşu iki noktaı ve d = d olduğundan bu noktalardaki ana doğrular araındaki en kıa uzaklık, d vektörünün x x x vektörü üzerindeki izdüşümüdür. Böylece en kıa uzaklık k ile göterilire (Şekil.). =, x k d x x veya det d, x, x k = x şeklinde bulunur. Eğer ana doğruların küreel götergeleri göz önüne alınıra bu götergelerin yay elementi olan d x d = d = x d d komşu iki ana doğru araındaki açı olarak alınabilir. Böylece regle yüzeyin drali için, 7

p x k, d p x x x x det(,, ) (.) bulunur (Hacıalihoğlu, 98). Tanım..0: v, regle yüzeyinin ana doğrularının her birini dik olarak keen eğriye regle yüzeyin ortogonal yörüngei denir, (Hacıalihoğlu, 994), (Şekil.). x x + dx..... Ortogonal yörünge eğrii (α) Şekil.. Ortogonal yörünge eğrii Tanım..: v, için kapalı regle yüzeyinin ana doğrularının dik yörüngeleri (.) x d, x d ( ) ( ) şeklinde tanımlı x fonkiyonuna, regle yüzeyin açılım uzunluğu (adımı) denir, (Hacıalihoğlu, 994), (Şekil.). 8

x Y l x (α) X dα O Şekil.. Regle yüzeyin açılım uzunluğu Tanım..: v, regle yüzeyinin ana doğrularına dik bir doğrultunun bir periyot onra ilk konumu ile yaptığı açıya regle yüzeyin açılım açıı denir ve bu açı x ile göterilir (Hacıalihoğlu, 994), (Şekil.4). x (α) dα Y λ x Y (α) X dα X O Şekil.4. Regle yüzeyin açılım açıı Teorem..: v, kapalı regle yüzeyinin açılım uzunluğu ve açılım açıı ıraıyla, x ana doğruunun Steiner öteleme ve Steiner dönme vektörleri üzerindeki dik izdüşümlerine eşittir. Yani 9

x v, x x d, x (.) dır (Hacıalihoğlu, 994). x ana doğruu yerine eğriinin u, u ve u Frenet vektörleri alındığında, elde edilen kapalı regle yüzeylerin açılım açıları, açılım uzunlukları ve dralleri ıraıyla,, 0, u k d u u k d l d, l 0, l 0 u u u pu 0, p, u p u k k k k (.4) şeklinde bulunur (Hacıalihoğlu, 994). Tanım..: Bir yüzeyin birim normal vektörü operatörü (Weingarten dönüşümü) S x = x D n n ile göterilire S şekil şeklinde tanımlı lineer ve imetrik bir dönüşümdür (Hacıalihoğlu, 994). Yüzeyin bir bazı, matri x x ile göterilire şekil operatörüne karşılık gelen S = S x, x S x, x S x, x S x, x (.5) şeklinde bulunur. Regle yüzeyin anadoğruları hem aimptotik hem de geodezik çizgiler olduğundan (Hacıalihoğlu, 994) 0

S x, x = S x, x = 0 olur. Yüzeyin P noktaındaki Gau eğriliği K ile göterilire K P = det S P = S x, x (.6) şeklinde bulunur (Hacıalihoğlu, 994)... Dual Uzayda Temel Kavramlar ID A a, a a, a IR cümleine dual ayılar cümlei denir. Bu cümle üzerinde toplama, çarpma, bölme ve eşitlik işlemleri ıraıyla, A B a, a b, b a b, a b, A B a, a b, b ab, ab a b, A a a B b ab a b, a 0, A B a b ve a b şeklinde tanımlanır. ID,, üçlüü birimli ve değişmeli bir halkadır ancak ciim değildir. A a, a ID ayıı şeklinde yazılabilir. Burada = 0, A a a ayıı dual birimdir ve = 0,. 0, 0,0 0,0 0. Gerçekten; A a, a a a a a =,0 0, =,0 0,,0 = a a. ID ID ID ID A A A A Ai ID i =,,, cümlei düzenlenire,

ID = A a a, a a, a a a, a IR, i, = 0 i i = A a, a, a a, a, a a, a IR, i, = 0 i i = A a a a, a IR, = 0 olur. Bu cümle üzerinde toplama ve kalar ile çarpma işlemleri A B A B A B, A A i i i i i şeklinde tanımlanır. ID,, cebirel yapıı ID dual ayılar halkaı üzerinde bir modüldür, bu yapı kıaca ID - Modül şeklinde göterilir. Bu modülün her bir elemanına dual vektör denir. Tanım..: ID - Modülde iki dual vektör A a a ve Bu vektörlerin iç çarpımı ve vektörel çarpımı ıraıyla; i) A, B a a, b b a, b a, b a, b ii) A B a a b b a b a b a b B b b olun. şeklinde tanımlanır. Teorem..: ID -Modülde iki birim dual vektör ie, i) AB co, A a a ve B b b ii) A B in N. İpat: i) A, B a, b a, b a, b ifadeinin reel kımının karşılığı bilinmektedir. bakılmalıdır. Burada a b,, a b ifadeinin geometrik manaına

X. φ a d d a n x O n φ y. Y b b Şekil.5. Dual Açı a, b vektörel momentleri ıraıyla d ve d yönlü doğruları üzerindeki X ve Y noktalarının eçilişinden bağımız olduklarından, bu noktalar ortak dikmenin ayakları olarak anılabilirler. Bu ortak dikme yönündeki birim vektör n ile göterilire n = a b a b dir. d ve d araındaki en kıa uzaklık ile göterilire, Şekil.5 ten xy, vektörleri için x y = a b a b yazılır. Diğer yandan a = x a ve b = y b değerleri a b,, a b ifadeinde yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılıra,

a, b a, b = x y, a b a b a b a b =,, a, b a, b = in bulunur. Bulunan bu değer ve reel kımın karşılığı dikkate alınıra AB co in şeklinde olur. Burada Taylor açılımından işareti için dual ayı olmak üzere co = co = co in olur ve böylece AB co şeklinde elde edilir. ii) A B a a b b a b a b a b ifadeinin reel kımının karşılığı bilinmektedir. Burada manaına bakılmalıdır. a b a b = a y b x a b a b a b ifadeinin geometrik = a, y b a, b y x, b a a, b x = a, y b x, b a a, b x y =,, co a y b x b a n dir. Ayrıca n = x n = y n olduğundan 4

n = x a b a b = x a b a b = x, a b x, b a in olur. Buradan in n = x, a b x, b a veya in n = y, a b x, b a bulunur. Bu değer yukarıdaki a b a b eşitliğinde yerine yazılıra a b a b = inn con olur. Bulunan reel ve dua ifadeler yerlerine yazılıra A B in n inn con şeklinde bulunur. Burada Taylor açılımından in in = in co yazılır ve böylece elde edilir. AB = in N işareti için dual ayı olmak üzere Tanım..: dual ayıına A ile B birim dual vektörleri araındaki dual açı denir. Burada açıı ekenler araındaki reel açıyı, ayıı ie ekenler araındaki en kıa uzaklığı ifade eder (Şekil.5). 5

Bu tanımdan onra A ile B birim dual vektörleri için aşağıdaki özellikler verilebilir: i) AB Sırf dual, ve 0, ie A ile B birim dual vektörlerinin belirttikleri yönlü doğrular dik durumlu fakat aykırıdır. ii) Sırf reel, 0 AB, ie A ile B birim dual vektörlerinin belirttikleri yönlü doğrular keişir ve a, b a, b = 0 bağıntıı doğruların keişme şartıdır. iii) AB 0, ve 0, ie yönlü doğrular birbirini dik olarak keer. iv) AB, 0, ie yönlü doğrular aynı yönlü ve paraleldir. Eğer 0 ie bu iki doğru aynı zamanda çakışıktır. v) AB,, ie yönlü doğrular zıt yönlü ve paraleldir. Eğer 0 ie bu iki doğru aynı zamanda çakışıktır (Hacıalihoğlu,98). Bir A a a ID dual vektörünün normu A ile göterilire, A A, A = a a, a a = a a, a aa, A = a, a 0 (.7) a 6

şeklinde bulunur. Burada a a aa, a (.8) a denilire A a a şeklinde bir dual ayı olur. Eğer,0 A ie a, a, a 0 olur ve bu noktaların geometrik yerine birim dual küre denir. Teorem..: (E. Study) A a a ID a Modül, 0 olmak üzere denklemi A,0 olan birim dual kürenin dual noktaları, doğrulara birebir karşılık gelir (Hacıalihoğlu 98), (Müller 96). IR teki yönlü İpat: IR teki bir doğru bir O başlangıç noktaına göre, üzerindeki bir M noktaı ve doğrunun yönünü belirten bir u vektörüyle belirlenir. Böyle bir doğrunun vektörel denklemi Şekil.6 dan u Z M X Y δ z m x y O u 0 Şekil.6. Doğrunun doğrultu vektörü ve vektörel momenti x m u =0 şeklinde yazılır. Burada u vektörü birim olarak alınabilir. x u = m u = u 0 7

denire, u 0 vektörü u vektörünün O noktaına göre vektörel momentini ifade eder ve bu vektör noktanın doğru üzerindeki eçilişinden bağımızdır. Eğer O noktaından doğruya inilen dikmenin ayağı Z ie z u = u 0 yazılır. Bu eşitliğin her tarafının normu alınıra u 0 vektörünün boyu olur. Yani çiftleri u z u z 0 = = = u 0 vektörü O başlangıç noktaına bağlıdır. Böylece IR teki yönlü doğrulara karşılık gelmiş olur. 0 0 uu, vektör çifti uu, vektör u, u, u 0 şartlarını ağlamaktadır. Diğer taraftan olun. Yani a A a a ID birim dual vektör, a, a 0 dir. Buradan görülür ki uu, 0 vektör çiftine aa, vektör çifti karşılık gelmektedir. O halde A a a birim dual vektörü IR te bir yönlü doğru belirtir. Yani IR teki yönlü doğrularla birim dual vektörler birebir karşılık gelir. Eğer A a a birim dual vektörleri AO A yer vektörleri olarak alınıra IR teki yönlü doğrular, denklemi A,0 olan kürenin dual noktalarına birebir karşılık gelirler. ID Modülde X birim dual vektörü dual küre üzerinde X dual eğriini çizer. Bu eğrinin noktaları E. STUDY tekabül prenibine göre - boyutlu Öklid uzayında yönlü doğrulara birebir karşılık gelir. Bu yönlü doğrular ailei regle yüzey meydana getirdiğinden, IR te X X dual eğriine bir regle yüzey gözüyle bakılır. Bu eğriye regle yüzeyin dual küreel remi denir (Şekil.7). 8

X() X(+d) ) X() X(+d) dφ O dφ dφ Şekil.7. E. Study tekabül prenibi.4. Regle Yüzeyin Dual Vektörel İfadei x() φ (, v) (α) α() X() = x() + εx () α() x () Şekil.8. Regle yüzeyin dual vektörel ifadei O Dayanak eğrii ve ana doğruları yüzeyin denklemi x x birim vektörü olan regle, u ux şeklinde yazılır. Şekil.8 den de görüldüğü gibi x x, 9

olduğundan x x x x v u x olmak üzere, regle yüzeyin dual ifade şeklinde yazılır. v x x vx, x x (.9) Tanım.4.: v x x vx regle yüzeyi verilin. P x d x d x d d d = d x d x d d d (.0) ifadeine regle yüzeyin dağılma parametrei veya drali denir. v x x vx kapalı regle yüzeyin dual açılım açıı ve dual açılım uzunluğu ıraıyla, D = d d olmak üzere; dual Steiner dönme vektörü X D, X, (.),, LX d x d x (.) şeklinde yazılır (Hacıalihoğlu, 98). (.) ifadei (.) ve (.) bağıntılarından = L (.) X X X şeklinde de yazılır (Hacıalihoğlu, 98). ID Modülde, ortonormal itemi X üretici vektör olmak üzere, bir regle yüzeyin dual 0

U X u u X U u u X U U U u u (.4) şeklinde alınıra, bu itemin,, keişir ve bu keişim noktaı u u u ekenleri boğaz noktaında u ekeni üzerindedir. U doğruu U doğrularına dik, yüzeyin boğaz noktaındaki teğetidir. U ie yüzeyin boğaz noktaındaki normalidir. Bu şekilde elde edilen U, U, U vektörlerine Blachke vektörleri denir. Bu vektörler ile onların türev vektörleri araında U = U U U U = U U = (.5) bağıntıı vardır (Blachke, 949). Burada k k U, U U, U, U k k U, U ifadeleri regle yüzeyin dual eğrilikleridir. (.5) ifadei reel ve dual bileşenlerine ayrılıra

u = k u u k u k u = = u k u u k u k u = u k u k u k u k u = u k u k u = olur. (.9) bağıntıına göre,, ıraıyla, U U (.6) U U U regle yüzeylerinin denklemleri, v u u vu, u u U v u u vu, u u v u u vu, u u şeklinde yazılır.,, türevleri alınıra; u u u vektörel momentlerin ıraıyla u u u = k u = k u,

u u u = u k u k u = u k u k u = u k u k u, u u u = u k u = u k u olur. Böylece (.6) bağıntıındaki vektörel moment türevleri ile türev vektörleri araındaki ilişki u = k u u u k u k u = u u k u = şeklinde olur.,, (.7) U U U dual ortonormal itemi her anında ani dual Pfaff vektörü etrafında bir dual dönme hareketi yapar. Bu vektör W U U (.8) denklemi ile bellidir. Hareketin dual Steiner dönme vektörü ie = D W U d U d (.9)

dır. Regle yüzeyin,, U U U kapalı regle yüzeylerinin dual açılım uzunlukları, dual açılım açıları ve dağılma parametreleri ıraıyla, LU k d U d (.40) k PU k L P U U U 0 k k k k k k (.4) LU k d U d (.4) k PU k şeklinde bulunur (Hacıalihoğlu, 98). 4

. MATERYAL VE YÖNTEM.. Öklid Uzayında Paralel p -Equiditant Regle Yüzeyler ve Bazı Karakteritik Özellikleri IR te yay parametrei ile verilen bir eğrinin () eğrii difereniyellenebilir eğri ve bu noktaındaki Frenet çatıı u, u u olun. Dayanak eğrii () ve doğrultmanı u () teğet vektörü olan bir ( v, ) regle yüzeyi (, v) ( ) vu ( ), (, v) I IR (.) şeklinde verilir. ( v, ) parametrei ıraıyla, yüzeyinin u u trikiyon eğrii ve Pu dağılma u,, ( ) 0, (.) u () p u det(, u, u ) (.) u şeklindedir. Tanım..: Bir ( v, ) regle yüzeyinin trikiyon eğrii boyunca Sp u, u, Sp u, u ve, Sp u u uzaylarına karşılık gelen düzlemlere, ıraıyla, aimptotik, polar ve merkezi düzlemler adı verilir (Valeonti, 986), ( Müller, 96). Tanım..: yüzeyler için; IR te iki regle yüzey ( v, ) ve ( v, ) olun. Eğer bu regle i) Strikiyon eğrileri boyunca üretici vektörleri paralel, ii) Karşılıklı noktalarda polar düzlemleri araındaki p uzaklığı abit 5

ie ( v, ) ve ( v, ) regle yüzeylerine paralel p -equiditant regle yüzeyler adı verilir (Valeonti, 986). Bu tanıma göre ( v, ) ve ( v, ) paralel p -equiditant regle yüzeylerinin parametrik ifadeleri, v vu, (, v) I IR (, v) vu, (, v) I IR (.4) şeklindedir. ( v, ) ve ( v, ) paralel p -equiditant regle yüzeylerinin trikiyon eğrileri dayanak eğrileri olarak eçilin. Bu yüzeylerin karşılıklı noktalarda merkezi, aimptotik ve polar düzlemler araındaki uzaklıklar ıraıyla zq, ve p olun. Bu durumda aşağıdaki teorem verilebilir: Teorem..: ( v, ) ve ( v, ) paralel p -equiditant regle yüzeyler, ( v, ) nin dayanak eğrii eğrii de olun. pu zu qu trikiyon çizgii ve ( v, ) nin dayanak (.5) olmak üzere, ( v, ) regle yüzeyinin trikiyon çizgii, z qk zu qu u k (.6) şeklindedir (Valeonti, 986). Sonuç..: ( v, ) ve ( v, ) paralel p -equiditant regle yüzeylerinin polar düzlemleri araındaki uzaklık p qk z (.7) k dır (Valeonti, 986). 6

Teorem..: ( v, ) ve ( v, ) paralel p -equiditant regle yüzeyler olun. ( v, ) nin dayanak eğriinin yay parametrei, eğriliği k k, ( v, ) toriyonu ve toriyonu nin dayanak eğriinin yay parametrei, eğriliği k k ile göterilin. Bu eğrilikler araında ve k k d d d k k d (.8) bağıntıları vardır (Valeonti, 986). Teorem..: ( v, ) ve ( v, ) kapalı paralel p-equiditant regle yüzeylerinin Frenet vektörleri, ıraıyla,,,, u u u ve v v v olun. Bu vektörlerin çizdiği regle yüzeylerin açılım açıları araında aşağıdaki bağıntılar vardır: v u a, a k d pu zu qu 0 v u v u a, a k d puzuqu (.9) (Maal, 994). Teorem..4: ( v, ) ve ( v, ) kapalı paralel p-equiditant regle yüzeylerinin Frenet vektörleri, ıraıyla,,,, u u u ve v v v olun. Bu vektörlerin çizdiği regle yüzeylerin açılım uzunlukları araında aşağıdaki bağıntılar vardır: 7

k v k u a, a d pu zu qu v = = 0 u v = = 0 u (.0) (Maal, 994). Teorem..5: ( v, ) ve ( v, ) kapalı paralel p-equiditant regle yüzeylerinin Frenet vektörleri, ıraıyla,,,, u u u ve v v v olun. Bu vektörlerin çizdiği regle yüzeylerin dralleri araında aşağıdaki bağıntılar vardır: p p v u 0 d pv pu d d pv p u d (.) (Maal, 994)... Dual Uzayda Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları, Dağılma Parametreleri ve Gau Eğrilikleri Birim dual küre üzerindeki teğetler, ali normaller ve binormaller götergelerine karşılık gelen regle yüzeylerin açılım uzunlukları ve açılım açıları ıraıyla, L U, L U, L U ve U, U, U ie; 8

9 0 U U U L k L L k 0 U U U k k dır (Güven, 00). Birim dual küre üzerindeki teğetler, ali normaller, binormaller ve pol götergelerine karşılık gelen regle yüzeylerin dağılma parametreleri, ıraıyla, U P, U P, U P, C P ve U K, U K, U K, C K ile göterilire; 0 0 U U U C P k P k k P k P 0 0, 0 U U U C K K k K k u v K dır, (Güven, 00).

4. BULGULAR Bu bölümde, Valeonti in (986) çalışmaından yola çıkarak ID Modülde dual paralel equiditant regle yüzey tanımı verildi. Maal ve Kuruoğlu nun (999) çalışmaından hareketle, bu yüzeylerin Blachke vektörlerinin birim dual küre üzerinde çizdikleri kapalı dual küreel göterge eğrilerine Öklid uzayında karşılık gelen kapalı regle yüzeylerin integral invaryantları araındaki bağıntılar bulundu. Son olarak da Güven in (00) doktora tezinde kullandığı yöntemle, kapalı regle yüzeylerin Gau eğrilikleri heaplanarak bazı yeni onuçlara ulaşıldı. 4.. Dual Paralel Equiditant Regle Yüzeyler : I IR eğriinin birim teğet vektörü t ve vektörel momenti = t t, : I IR eğriinin birim teğet vektörü vektörel momenti t = t olun. T t t t ve ve T t t dual vektörleri birim dual küre üzerinde birer dual eğri çizerler. Bu eğrilerin Blachke vektörleri (.4) bağıntıından, ıraıyla, U T u u T U u u T U U U u u ve 40

V T v v T V v v T V V V v v şeklinde verilir. Bu dual vektörlerin u, u, u ve v, v, v ekenleri boğaz noktalarında keişir ve bu keişim noktaları u ve v ekenleri üzerindedir. Tanım.. ye göre, trikiyon eğrii boyunca üretici vektörlerin paralel ve aynı yönlü, polar düzlemler araındaki uzaklığın abit olmaı için, ve U V dual vektörler araındaki açıının ırf dual, yani =0 ve abit değeri dual küre üzerinde ve uzunluğuna karşılık gelmektedir (Şekil 4.). = dual abit, olmaı gerekmektedir. Buradaki U V dual noktaları araındaki yay α() t U V (α) α t U T φ T V (β) t β() β O t U (T ) φ (T ) V Öklid uzayı Birim dual küre Şekil 4.. Dual küreel eğriler ve Blachke çatıları 4

Bu verilerden yararlanarak paralel equiditant regle yüzeylerin dual ifadei şu şekilde verilebilir: Tanım 4..: IR te iki eğrinin birim teğet vektörleri ve vektörel momentlerinden oluşan iki birim dual vektörün, dual küre üzerinde çizdiği dual eğrilerin karşılık gelen dual noktaları araındaki yay uzunluğu, ıfırdan farklı abit ve ırf dual ie bu iki eğriye dual paralel equiditant regle yüzeyle denir (Şekil 4.). (T ) Ψ (, v) U. φ φ Study dönüşümü φ V (T ) Ψ (, v). Şekil 4.. Dual paralel equiditant regle yüzeyler Bu tanımdan yola çıkarak, ID Modülde, çizdiği T ve U ve V vektörlerinin, T dual eğrilerine çizgiler uzayında karşılık gelen regle yüzeylerin parametrik denklemleri ıraıyla, (.9) bağıntıından T, v u u vu, u = u T (, v) v v vv, v = v (4.) şeklinde yazılır (Şekil 4.). Burada = u dır. 4

4... Dual Paralel Equiditant Regle Yüzeylerin Blachke Vektörleri ve Strikiyon Eğrileri u v Υ() u Υ () v ΥΥ () (Υ) u v (Υ ) u v (u u u )() (v v )() v (u u ) u v (v v ) u O v Şekil 4.. Dual paralel equiditant regle yüzeyler ve trikiyon eğrileri v, regle yüzeyinin trikiyon çizgii, dual eğriliği = k k, dual toriyonu = k k ve v, yüzeyinin trikiyon çizgii toriyonu = k k ıraıyla, regle, dual eğriliği = k k, dual olun. (.) bağıntıından trikiyon eğrileri 4

= u u u, u u u u u u u u u, = u u u, u u, u u = u u u, u 0 (4.) u ve = v v v, v v v v v v v v v, = v v v, v v v v, = v v v, v 0 v (4.) şeklinde bulunur. Burada (.) ve (.7) bağıntılarındaki ifadeler yerlerine yazılır ve gerekli işlemler yapılıra 44

,, k u u k u = u u u, k u =,, u u u u u u, (4.4),, k v v k v = v v v, k v =,, v v v v v v (4.5) elde edilir. Şekil 4. teki vektörünün,, u u u birim vektörlerine dik izdüşümleri ıraıyla z, q ve p ile göterilin. Bu durumda; pu zu qu, pu zu qu (4.6) şeklinde yazılır. Burada (4.5) bağıntıı yerine yazılıra,, = + v v v v v v pu zu qu bulunur. Tanım 4.. gereği 0 olduğundan doğrultman vektörler paralel olur ve böylece = u v alınıra, v v = + p v, v, v u zu qu (4.7) elde edilir. Bu ifadenin türevi alınıra, 45

= +,, v v p v v v u,, p v v v u zu zu q u qu olur. Frenet formülleri yerine yazılıra ve gerekli işlemler yapılıra = +,, v v p v v v zk u p v, v, v k z qk u zk qu (4.8) bulunur. Bu eşitliğin her iki yanı v ile iç çarpılıra, v, v v = v, v v = v, + p v, v, v zk v, u p v, v, v k z qk v, u zk q v u,. 46

d v k v u k u d = = = olduğu göz önüne alınıra v v v v, =, p v v v k z qk k +,, (4.9) bulunur. Ayrıca (4.4) ifadeinin türevi alınıra, = u u u, u, u u u, u, u k u (4.0) olur. (4.0) ifadeinin her iki yanı v ile iç çarpılıra v, = v, u u u, u, u k elde edilir. Bu ifade (4.9) da yerine yazılıra v, v v = v, u u u, u, u k p v v v k z qk k +,, (4.) olur. (4.7) ve (4.) ifadeleri (4.) te yerlerine yazılıra 47

= + p v, v, v u zu qu v, u u u, u, u k k v p v, v, v k z qk k k v bulunur. Burada = u v eşitliği göz önüne alınıra,,,, p v v v u u u u, u u = + u k z qk p v, v, v k zu qu, u, u u z qk = + u, u, u u k k zu qu (4.) 48

elde edilir. Diğer yandan bağıntılarından u u = u u u u şeklinde bulunur. Ayrıca olduğundan dır. Buradan = U U U u u ifadei, (.) ve (.7) = k u u u k u = k u u u u = u u u u u u = u u u vektörel momenti = u u u u u u u = k u şeklinde bulunur. Bu ifade (4.) bağıntıında yerine yazılıra z qk = + u, u, u u, u u k zu qu (4.) 49

elde edilir. Böylece ve trikiyon eğrileri araındaki bağıntı için şu teorem verilebilir: Teorem 4..: ID Modülde T ve T dual eğrilerine çizgiler uzayında karşılık gelen v, ve (, v) dual paralel equiditant regle yüzeylerinin trikiyon çizgileri ıraıyla ve olmak üzere, pu zu qu olun. Bu trikiyon çizgileri araında z qk = + u, u, u u, u u k zu qu bağıntıı vardır. Sonuç 4..: karşılık gelen v ID Modülde T ve T dual eğrilerine çizgiler uzayında, ve (, v) dual paralel equiditant regle yüzeylerinin karşılık gelen dual noktaları araındaki dual yay uzunluğu z qk p = u, u, u u, u (4.4) k şeklinde bulunur., v ve (, v) dual paralel equiditant regle yüzeylerinin U ve V üretici birim dual vektörleri paralel olduğundan U, V = dir. Buradan bu vektörün reel ve dual bileşenleri 50

u, v = u = v, = = v v v u u = v u u u v = u v = u şeklinde bulunur. Böylece U = V (4.5) bağıntıı elde edilir. Ayrıca V V v v = V v v ifadei (.7) bağıntıından V = v v v v, v v olur. Bu eşitlikte (.), (.7) bağıntıları ve dual bölme işlemi kullanılıra, bu vektörün reel ve dual bileşenleri v v u k u = =, k v u v = u, 5

v, v v v v v v v = v, v v v v v u = u, u k k u k k u = k u, k u k k u, v = u şeklinde bulunur. Böylece U = V (4.6) eşitliği elde edilir. Son olarak = V V V olduğundan bu vektörün reel ve dual bileşenleri v = u u v = u, = v v v v v = u u u u, v = u 5

şeklinde bulunur. Buradan U = V (4.7) olur. O halde bu yüzeylerin Blachke vektörleri için şu teorem verilebilir: Teorem 4..: ID Modülde T ve T dual eğrilerine çizgiler uzayında karşılık gelen v, ve (, v) dual paralel equiditant regle yüzeylerinin Blachke çatıları ıraıyla U, U, U ve V, V, V olun. Bu çatılar denktir. Yani: V 0 0 U V 0 0 U V 0 0 U. 4... Dual Paralel Equiditant Regle Yüzeylerin Eğrilikleri, v ve (, v) dual paralel equiditant regle yüzeyleri için (4.5) bağıntıından u = v dir. ( v, ) regle yüzeyinin dayanak eğriinin yay parametrei olun. Son eşitlikte türev alınır ve Frenet formülleri yerine yazılıra, olur. Bu ifade du dv d =, d d d = d k u k v d u ile iç çarpılıra =, k k u v d d, 5

d k = k (4.8) d bulunur. Ayrıca (.6) ve (.7) ifadelerinden açıkça görülür ki; k = k = 0 (4.9) dır. (4.8) ve (4.9) bağıntılarından + = k k k k d d elde edilir. Diğer yandan (4.7) bağıntıından u = v dir. Bu eşitlikte türev alınır ve Frenet formülleri yerine yazılıra, du dv d =, d d d = d k u k v d bulunur. Bu ifade u ile iç çarpılıra d k = k (4.0) d elde edilir. O halde (.6) ve (.7) bağıntılarından k = k = (4.) olduğu açıktır. Bu takdirde (4.0) ve (4.) bağıntılarından + = k k k k elde edilir. Böylece şu teorem verilebilir: Teorem 4..: ID Modülde T ve T dual eğrilerine çizgiler uzayında karşılık gelen v d d, ve (, v) dual paralel equiditant regle yüzeylerinin 54

dayanak eğrilerinin ıraıyla eğrilikleri = k k ve = k k, burulmaları = k k ve = k k olun. Bu eğrilikler araında bağıntıı vardır. d = d d = d Ayrıca (4.7) bağıntıından u = v ifadeinin türevi alınıra du dv d = d d d dır. (.7) bağıntıından = u k u v k v bulunur. Burada (4.6) ve (4.0) ifadeleri kullanılıra d d d u k u u k u d = d d bulunur. Bu eşitlikten d = d = d, d elde edilir. Böylece şu onuç verilebilir: d = u k u d 55

Sonuç 4..: ID Modülde T ve T dual eğrilerine çizgiler uzayında karşılık gelen v, ve (, v) dual paralel equiditant regle yüzeylerinin dayanak eğrilerinin yay parametreleri araında d = d bağıntıı vardır. 4.. Kapalı Dual Paralel Equiditant Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları Birim dual küre üzerinde küreel göterge eğrileri Şekil 4.4 te göterildiği gibidir. Bu eğrilere Öklid uzayında karşılık gelen regle yüzeylerin dual açılım açıları, dual açılım uzunlukları ve dağılma parametreleri araındaki bağıntılar bu kıımda heaplanmıştır. Heaplar yapılırken kıalığın hatırı için, (4.) bağıntıında trikiyon eğrileri araındaki eşitlik; olmak üzere z qk R = u, u, u u, u u k zu qu = + R (4.) şeklinde alınmıştır. 56

(V ) (U ) (V ) ϕ (U ) (U ) (C ) (V ) (C) Şekil 4.4. Birim dual küre üzerinde küreel göterge eğrileri 4... Birim Dual Teğetler Götergelerine Karşılık Gelen Kapalı Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları, v ve (, v) dual paralel equiditant regle yüzeylerinin U ve V ( ) teğet vektörlerinin birim dual küre üzerinde çizdikleri göterge eğrilerine karşılık gelen regle yüzeylerin parametrik denklemleri ıraıyla,, v = u u vu, u = u U V (, v) v v vv, v = v şeklindedir (Şekil 4.5). 57

u () Ψ U (, v) v () Ψ V (, v) (u u ) (v v ) U () = u () + εu () O u () V () = v () + εv () O v () U () V () (U ) (V ) Şekil 4.5. Birim dual teğetler götergelerine karşılık gelen regle yüzeyler Anadoğruu U ve V olan kapalı regle yüzeylerin açılım uzunlukları (.40), (4.) bağıntılarından ve Sonuç 4.. den, ıraıyla LU k d = d, = LV k d d şeklindedir. L V ifadeinde (4.) yerine yazılıra LV d = d d R R 58

bulunur. Burada A d R alınıra LV + d A yazılır. Böylece bu yüzeylerin açılım uzunlukları araında L = L A (4.) V U bağıntıı elde edilir. Ayrıca (.40) ve (4.) bağıntılarından, dual açılım açıları ıraıyla, U d = k d d ve V d = k d d olarak elde edilir. V ifadei, (4.0) bağıntıı ve Sonuç 4.. den V = k d d (4.4) şeklinde yazılır. (4.) ifadei (4.4) te yerine yazılıra 59

V k d d + R + R = k d d k d d R R bulunur. Burada alınıra A= k d d R R, V = k d d A L A V U U şeklinde yazılır. Böylece (.) bağıntıından, bu yüzeylerin dual açılım açıları araında V = U A (4.5) bağıntıı elde edilir. Ayrıca (.40) ve (4.9) bağıntılarından, bu regle yüzeylerin dağılma parametreleri, ıraıyla, P U k k =0 ve P V k k =0 şeklinde olur. Böylece şu teorem verilebilir: 60

Teorem 4..: ID Modülde T ve T dual eğrilerine çizgiler uzayında karşılık gelen v yüzeylerinin, ıraıyla, ve (, v) kapalı dual paralel equiditant regle U ve V birim dual teğet vektörlerinin çizdiği regle yüzeylerin dual açılım uzunlukları, dual açılım açıları ve dağılma parametreleri araında aşağıdaki bağıntılar vardır: LV L U A, A d R =, = V U A A k d d R R PV P = 0. U 4... Birim Dual Ali Normaller Götergelerine Karşılık Gelen Kapalı Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları, v ve (, v) dual paralel equiditant regle yüzeylerinin U ve V ( ) ali normal vektörlerinin birim dual küre üzerinde çizdikleri eğrilere karşılık gelen regle yüzeylerin parametrik denklemleri ıraıyla,, v = u u vu, u = u U V (, v) v v vv, v = v şeklindedir (Şekil 4.6). 6

u () Ψ U (, v) v () Ψ V (, v) (u u ) (v v ) U () = u () + εu () O u () V () = v () + εv () O v () U () V () (U ) (V ) Şekil 4.6. Birim dual ali normaller götergelerine karşılık gelen regle yüzeyler Anadoğruu bağıntıından L V U ve V olan regle yüzeylerin açılım uzunlukları (.4) L 0 (4.6) U ve dual açılım açıları (4.7) V =0 U şeklindedir. Aynı yüzeyler için dağılma parametreleri yine (.4), (4.9) ve (4.) bağıntılarından 6

P U = k k k k k k k k k ve P V = k k k k k k k k k şeklindedir. (4.8) ve (4.0) ifadeleri P V eşitliğinde yerine yazılıra P V d k d d k k d = k d k k d olur. Buradan d PV = P U d bağıntıı elde edilir. Sonuç 4.. den P = P (4.8) V U dır. Böylece şu teorem verilebilir: 6

Teorem 4..: ID Modülde T ve T dual eğrilerine çizgiler uzayında karşılık gelen v yüzeylerin ıraıyla, ve (, v) kapalı dual paralel equiditant regle U ve V birim dual ali normal vektörlerinin çizdiği regle yüzeylerin dual açılım uzunlukları, dual açılım açıları ve dağılma parametreleri araında aşağıdaki bağıntılar vardır: LV L 0 U V =0 U PV = P. U 4... Birim Dual Binormaller Götergelerine Karşılık Gelen Kapalı Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları, v ve (, v) dual paralel equiditant regle yüzeylerinin U ve V ( ) binormal vektörlerinin birim dual küre üzerinde çizdikleri göterge eğrilerine karşılık gelen regle yüzeylerin parametrik denklemleri ıraıyla,, v = u u vu, u = u U V (, v) v v vv, v = v şeklindedir (Şekil 4.7). 64

u () Ψ U (, v) v () Ψ V (, v) (u u ) (v v ) U () = u () + εu () O u () V () = v () + εv () O v () U () V () (U ) (V ) Anadoğruu U ve V (.4) bağıntıından, ıraıyla LU k d, Şekil 4.7. Birim dual binormaller götergelerine karşılık gelen regle yüzeyler LV k d şeklindedir. Burada olan kapalı regle yüzeylerin açılım uzunlukları k = k = 0 olduğundan bu kapalı eğriel integraller ıfıra eşit olur. Böylece bu yüzeylerin açılım uzunlukları araında L = 0 V L U (4.9) 65

bağıntıı elde edilir. Aynı regle yüzeylerin dual açılım açıları (.4) ve (4.9) bağıntılarından, ıraıyla şeklindedir. U d = k d, d = k d V V ifadeinde (4.8) bağıntıı yerine yazılıra V k d (4.0) olur. (4.) ifadei (4.0) da yerine yazılıra V bulunur. Burada alınıra, R k d = k d k d R A4 = k d R, ( = 0) V U LU A4 LU şeklinde yazılır. (.) bağıntıından bu yüzeylerinin dual açılım açıları araında V = U A (4.) 4 bağıntıı elde edilir. Son olarak bu regle yüzeylerin dağılma parametreleri (.4) ve (4.) bağıntılarından, ıraıyla 66

P U k = k k ve P V k = k k olur. (4.0) bağıntıı P V ifadeinde yerine yazılıra P V d k d, bulunur. Buradan d PV = P U d bağıntıı elde edilir. Sonuç 4.. den P = P (4.) V U dir. Böylece şu teorem verilebilir: Teorem 4..: karşılık gelen v yüzeylerinin, ıraıyla ID Modülde T ve T dual eğrilerine çizgiler uzayında, ve (, v) kapalı dual paralel equiditant regle U ve V dual birim binormal vektörlerinin çizdiği regle yüzeylerin dual açılım uzunlukları, dual açılım açıları ve dağılma parametreleri araında aşağıdaki bağıntılar vardır: LV L U =0 V = + U A 4, A4 = k d R PV P. U 67

4..4. Birim Dual Pol Götergelerine Karşılık Gelen Kapalı Regle Yüzeylerin İntegral İnvaryantları, v ve (, v) dual paralel equiditant regle yüzeylerinin dayanak eğrilerine ait ani dual Pfaff vektörleri ıraıyla W = w + w = + W w w ile göterilire (.8) bağıntıından W U U, W V V yazılır. Bu vektörlerin reel ve dual bileşenleri ve w k u k u w k u k u k u k u w k v k v w k v k v k v k v (4.) şeklindedir. (4.) ifadeinde (4.5), (4.7), (4.8), (4.9), (4.0) ve (4.) bağıntıları yerlerine yazılıra, bu vektörler w k u k u w u k u k u d w k u k u d w u k u k u d d, 68

w d w d d w w d şeklinde bulunur. Sonuç 4.. den w w w w (4.4) olur. Böylece şu teorem verilebilir: Teorem 4..4: ID Modülde T ve T dual eğrilerine çizgiler uzayında karşılık gelen v, ve (, v) kapalı dual paralel equiditant regle yüzeylerinin dayanak eğrilerine ait dual ani Pfaff vektörleri ıraıyla = + ve W = w + w W w w W bağıntıı vardır. W olun. Bu vektörler araında U ile W vektörleri araındaki dual açı = +, V ile W vektörleri araındaki dual açı da = ile göterilire Şekil 4.8 den, O κu O κ V τu Θ W τ V Θ W Şekil 4.8. Ani Pfaff vektörleri 69