Mahkumun Iklem Oyunu ve Oyun Teors: Temel Kavram ve Çözümlern Tantm Brol Baskan 1. Taslak (Ocak-2001) 2. Taslak (Aralk-2002)
Dbace Sosyal blmlerde, hususyetle Uluslararas Ilskler lteraturunde Mahkumun Iklem oyunu çok sklkla kullanlmaktadr. Oyunun br kez oynanmasndan, sonsuz kez ayn ksler tarafndan oynanmas durumuna kadar brçok varyasyonu degsk makalelerde karsmza çkmaktadr. Bu çalsma esas olarak, Mahkumun Iklem oyununun bu degsk versyonlarnn çözümüne ayrlmstr. Fakat bu durum br frsat blnp, oyun teorsnn temel kavramlar ve çok sklkla kullanlan çözüm metodlar da tantlmstr. Eksk blgl oyunlarda kullanlan çözüm metodlar baska br çalsmaya veya bu çalsmann br sonrak güncellenms halne havale edlmstr. Ilk önce oyun teorsnn temel varsaymlarn ksaca tantacagz. Bu varsaymlar flozofk durus acsndan tartsmaya açmak gerektgne nanan brsym. Özellkle, akln slevne lskn varsaymn Kantc ç erkle veya akln gerçek slevne lskn daha dogru br yaklasmla gensletlmes gerekmektedr. Tartslmas gereken dger br nokta se, yap ve brey arasndak bagmszlgn gerçeg ne ölcüde yansttgdr. Iknc bölum oyun teorsnn tantlmasna ayrld. Üçüncü bölüm çözüm metodlarna ve son bölüm se Mahkumun Iklem oyununun çözümüne ayrld. Iknc ve üçüncü bölümler çn, not düsülen kaynaklar harcnde, Mchael Whnston un ders notlarndan yararlandm. Ayrca, daha en bastan sahs br özrümü dle getrmek styorum. Oyun teorsnn temel kavramlarnn Türkçe karslklarn halhazrda k Türkçe ekonom kelme haznemzde bulamamaktayz. Bu son derece üzücü durum tab k, benm buradak grsmm olumsuz yönde etklemstr. Benm gb anadl Türkçe olanlara ve güzel Türkçemz e br özür borçluyum. 1. Oyun Teorsnn Temel Varsaymlar Oyun teors, k veya daha çok brmn (ks, kurulus veya devlet olablr) kars karsya geldkler ve terch ettkler stratejlern kars tarafn terch edeceg stratejy etkleyeceg durumlarda, brmlern kararlarn belrleme sorunu le lglenr. Bu uzun tanm braz açalm. Ekonom, sosyal br blm olarak, breyn tekl olarak aldg ekonomk kararlar le lglenr. Bu tür kararlar, ekonomk breyn, a pror varoldugu kabullenlen br fayda fonksyonunu bütçe kst altnda azamlestrmes sonucu ortaya çkar. Tekl olmas, dger ekonomk brmlern aldg kararlara etksnn olmadgnn veya dger kararlarn kend karara etks olmadgna delalet eder. Fakat hayat her zaman tek kslk kararlar toplugu degldr. Özellkle, stratejk durumlar olarak ntelendreblecegmz durumlarda, ekonomk breyn nasl hareket edeceg, dger
ekonomk breylern nasl hareket edecegne dar beklentsne bagldr. Bu tür örnekler çogaltmak mümkündür. Mesela, k devletn brbrlerne kars zleyeceg tcaret poltkalarn belrlemeler kars tarafn nasl belrledgne bagldr. Dger br deysle, breyn fayda fonksyonu state dependent tr. Yan, dger breylern nasl karar verdklern ayr brer sosyal durum olarak ntelendrrsek, breyn alacag fayda farkl karar htmallerne göre degsk degerler alablmektedr. Bu durumda, brey kars taraftak breyn nasl karar aldg ve hareket ettgn hesaba katacaktr. Bu durumlarda, ekonomk breyn nasl hareket edecegnn cevabn Oyun teors bze vermektedr. Tab k cevap, oyun teorsnn temel varsaymlar çercevesndedr. Ilk olarak, oyun teors le modellenen herhang br sosyal, poltk veya ekonomk br durumda karar alma durumunda olan brmlern slevsel olarak akll olduklar varsaylr. 1.2 Islevsel Aklclk Islevsel aklclgn felsef kökenn Davd Hume un görüsler olusturmaktadr. (Heap and Varoufaks, 1995:7) Söyle der Hume, Akl ve tutkunun çatsmasndan bahsederken, tam anlamyla ve felsef olarak konusmuyoruz. Akl, sadece tutkularn köles olmaldr, ve onlara hzmet etmek ve taat etmenn harcnde hçbr makamda hak dda etmemeldr. 1 Bu baglamda akl, sadece breyn tutkularn tatmn edecek yollarn seçlmesne yarar. Oyun teorsnn slevsel aklclg benzer seklde, breyn nha amacnn faydasn azamlestrmek oldugunu kabullenr. Akl fayda azamlestrlmesnde kullanlan br araç konumundadr. Harsany (1966:619) oyun teorsnde kabullenlen aklclgn k yönüne saret eder. Brncs, dar anlamyla aklc davrans, kncs se, aklc beklentdr. Aklc davrans, slevsel olarak akll breylern faydalarn azamlestren alternatfler terch edecegn, ve sayet k alternatf ayn sevyede fayda saglyorsa, k alternatf arasnda kararsz kalacagn öngörür. 2 Aklc beklent se, breylern terchlern yaparken, karssndak breylerde slevsel olarak akll breyler oldugunu ve onlarnda faydalarn azamlestrmeye çalstklarn hesaba kattklarn öngörür. Aklc beklent bz oyun teorsnn knc varsaymna götürür. 1 Davd Hume, A Treatse On Human Nature,
1.3 Aklc Beklent Aklc beklent varsaymnda üzernde durulmas gereken k nokta vardr. Bunlardan lk, oyunun katlmclarnn brbrler hakknda düsündükler le alakadardr. Herhang br brey aklc olarak yapyorsa, karssndak breyde ayn aksyomlar dogrultusunda terchlern aklc olarak yapyordur. Buna, karslkl aklclk beklents (Harsany, 1966) veya aklclgn genel blnmes (Heap & Varoufaks,1995) deneblr. Iknc olarak, ayn blg setne sahp k breyn brbrlernden bagmsz olarak ayn sonuçlara ulasacag kabullenlr. Bunun br devam olarak, herhang br brey kendsn kars tarafn yerne koydugu zaman aklc bulmadg br terch rakbnden beklenmemeldr. (Harsany, 1966:621). Buna smetrk beklent (Harsany,1966) veya nançlarn tutarllg deneblr. (Heap & Varoufaks, 1995) 1.4 Oyunun Kurallar Oyun teorsnn üçüncü varsaym oyunun kurallarna lskndr. Oyun katlmclarnn oyunun kurallarn tam olarak bldkler varsaylr. Bu kurallar breyn terch yapmak durumunda oldugu alternatfler blmesn ve herhang br alternatf netcesnde elde edebleceg fayday çerr. Oyunun kuralarna lskn dger br varsaym se, oyunu olusturan yap ve terchler arasndak bagmszlkla lgldr. Yan, brey terchlern yaparken, oyunu belrleyen yapdan etklenmez. (Heap & Varoufaks, 1966) Dolaysyla, breyn terchlern belrleyen tek etken, terch netcesnde elde edeceg faydadr. Oyun teors le modellenen herhang br durumda, yap oyunun kurallarn belrler ve terchler üzerne snrlamalar getrr. Dger br söyleysle, oyun teors bu sartlar altnda olusturulur ve bu sartlar altnda en aklc hareket tarznn çözümlemes le lglenr. 2 Aklc davransn formal gosterm basl baslna br konudur. Bu konudak en klask referans belk de Davd Kreps n Notes on The Theory of Choce sml ktabdr. Amartha Sen n Collectve Choce and Socal Welfare n lk chapter terch lsklernn formal gosterm uzernde klask referanstr.
2. Oyunun Modellenmes Oyun teorsnde genel br snflandrma le k tür oyun vardr : sbrlkç oyunlar ve sbrlkç olmayan oyunlar. Ik tür oyun arasndak temel fark, sbrlkç oyunlarda oyun katlmclar tarafndan verlen taahhütlern oyuncuyu baglayc özellg olmasdr. Öte yandan sbrlkç olmayan oyunlarda se, oyuncunun herhang br terche yönelk taahhütünün baglayclg yoktur. (Harsany, 1966:616) Hobbes un söyledg gb, Klç olmakszn, sözlesmeler sadece kelmelerdr ve br nsan emn klmak çn hçbr güçler yoktur. 3 Isbrlkç olmayan oyunlarda oyuncularn sbrlg yapmalar durumunu, sbrlkç oyunlarla karstrmamak gerekr. Ilknde elde edlen sbrlg, oyuncularnn menfaatlernn brlktelgnn sonucudur. Yan oyuncularn sbrlgnden menfaatler vardr. (Kreps, 1990:9) Mahkumun Iklem Isbrlkc olmayan br oyundur. Dolaysyla, tantm dogal olarak kstland. 2.1 Oyun Herhang br oyunun 3 temel eleman vardr: oyuncularn olusturdugu set N, stratej set S, ve her oyuncu çn getr fonksyonu. Getr fonksyonu bze her br stratej çn belrl br rakamsal fayda deger vermektedr. Yan,. Oyuncu herhang br oyunda alternatf stratejler arasndan seçm yapmak durumunda olan ve dger oyuncularla brlkte kararlarn faydasn azamlestrecek seklde alan breydr. Oyuncular kararlarn alrken, kars taraftak oyuncunun terchnden etkleneceg ve bu etklenmenn farknda oldugu çn stratejk hareket ederler. Stratej, oyuncunun kars karsya kaldg karar alternatflern belrler. Ik çest stratej vardr : tekl stratejler, s S, ve karstrlms stratejler, σ. Tekl stratejler herhang br oyuncunun kesn br seklde belrleyebldg stratejlerdr. Karstrlms stratejler se oyuncunun tekl stratejlere rastgele belrledg olaslk daglmdr. Oyuncular her br tekl stratej çn rastgele olaslk degerler belrlerken, kars taraftak oyuncudan bagmsz olarak hareket eder. σ S ) herhang br oyuncu ( tarafndan stratej set uzernde belrledg olaslk daglmn göstermektedr. Oyuncular tekl stratejler çn rastgele olasl k degerlern brbrlernden bagmsz olarak belrlerken, bu olaslk degerlernn dger oyuncular tarafndan blnmedgn kastetmyoruz. Aklclgn herkes tarafndan blnmes varsaym çerçevesnde, br oyuncunun tekl stratejler çn belrledg olaslk degerler dger oyuncu tarafndan blnmektedr. Dolaysyla, nançlarn tutarllg varsaym dogrultusunda ayn 3 Hobbes, Levathan
durumla karslasan k brey ayn sonuçlar çkardg gb, ayn olaslk degerlern belrlemes gerekr. (Heap & Varoufaks, 71) 4 Getr, herhang br oyuncunun kars karsya kaldg alternatf kararlar netcesnde elde edeceg faydadr. Oyuncunun amac, her oyunda elde edeceg fayday azamlestrmektr. Belrl br oyuncunun herhang br tekl stratej seçmnden elde edeceg fayda, u s, s ) seklnde gösterlr. Dger br tanmlamayla, ( u : S1... S R. Br stratej veya faydann herhang br oyuncuya at oldugu n le gösterlrken, karssndak oyuncularn stratejler çn - kullanlacaktr. σ karstrlms stratej profln terch eden br oyuncunun getr fonksyonu se, U( σ, σ ) = ( σ1( s1),..., σ n( sn)) u( s1,.. sn) U (σ,σ - ). ( s1... s n ) S N Özetlersek, Oyun, () herbr oyuncunun alternatf kararlar arasndan seçm yapmas, () seçmn kend faydasn azamles trecek seklde gerçeklestrmes ve () seçmn yaparken kars taraftak oyuncununda benzer seklde hareket edecegn öngörmes durumunu modellendrr. 2.2 Gösterm Herhang br oyun k seklde gösterleblr: Normal gösterm ve yaygn gösterm. Geleneksel olarak normal gösterm k oyuncunun ayn anda karar verdkler tek asamal oyunlarn modellenmesnde kullanlr. Yaygn gösterm se modellenen oyunun brden fazla asama çermes halnde kullanlr. 5 Fgür 1 de yaz tura oyununun normal gösterm çzlmstr. Oyuncularmz, Al le Vel. Ve stratej setler k seçenek çermektedr. Yan, N = { Al, Vel} ve S = { T, Y}, N. Ik oyuncuda ayn anda T veya Y seçeneklernden brsn terch eder. Sayet ksde ayn se, Vel Al ye 1 kurus verr. Farkl terchlerde tam ters durum geçerldr. Standart kullanma sadk kalarak, satrlar Vel nn stratejlern, sütünlar se, Al nn stratejlern göstermektedr. Herbr hücredek, brnc rakam Vel nn faydasn, knc rakam Al nn faydasn göstermektedr. Oyun sfr toplamldr, yan oyuncunun brsnn kaybettg dgernn se kazandg durumlar yanstmaktadr. 4 Cok tartslmas gereken br varsaym. 5 Çok asamalar oyun un formal tanmn, yaygn göstermde çözümleme metodlarnn tantldg, 1.4.2 bölümünde verecegz.
T Al Y Vel T +1,-1-1,+1 Y -1,+1 +1,-1 Fgur 1 Bu oyundak her k oyuncu çnde karstrlms stratejlern bulalm. Vel den baslayalm. Vel, stratej setndek seçeneklere vereceg olaslk degerlern, dger oyuncunun tekl stratejlernden elde edeceg beklenen getrler estleyerek belrler. Yan, Vel nn σ = ( σ ( T), σ ( Y)) terch, U T, σ ) = U ( Y, σ ) estlgnn çözümüdür. σ V V V V A( V A V ( T) = 1 σ ( Y) oldugunu hemen not edelm. Dolaysyla, V σ ( T)( 1) + (1 σ ( T ))(1) = σ ( T)(1) + (1 σ ( T))( 1). Cozum bze, V σ ( T ) = σ ( Y ) = 1/ 2 verr. V V V V Smetr argümanyla, Al nn karstrlms stratejsnn σ = (1/2,1/2) oldugunu söyleyeblrz. Asagda ayn oyunun yaygn göstermn çzlmstr. Yaygn göstermde kmn önce terch yaptg önemldr. Asagda Vel nn önce hareket ettg durum gösterlmektedr. Baslangç noktasndan çkan dallar, Vel nn stratejlern göstermektedr. Daha sonrak ayrmda se, Al nn stratejler gösterlmstr. Oyuncularn stratej set de degsmstr. Vel nn S V = { T, Y} olarak ayn kalrken, Al çn her br karar noktasndak terch seçeneklern hesaba katacak seklde genslemstr. Bu yen durumda, S A = {( T, T ),( T, Y ), ( Y, T ),( Y, Y )} olarak Al nn stratej set 4 elemanldr. Dal sonundak parantez çndek rakamlardan üstek lk hareket eden oyuncunun, alttak rakam se, knc terch yapan oyunucunun faydasn göstermektedr. Vel T Al T Y T Y Al Y V A +1-1 -1 +1-1 +1 +1-1 Asagdak fgürde ayn oyunun eszamanl olarak oynanmas durumunda ve yaygn göstermde temsl edlmes durumunu göstermektedr. Al le Vel nn ayn anda karar verdklern gostereblmek çn, Al nn hareket noktalar elptk br dare çne
alnmstr. Bu dare Blg set olarak smlendrlr. Blg setnn bulundugu asama altoyunu olusturur. Alt-oyun yaygn göstermle modellenen br oyunun alt bölümüdür. Br alt oyunun baslangç, aynen oyunun tamamnda oldugu gb, tek br noktadr. Bu tek noktadan çkan stratej dallar ve her stratej kümesnn getrler alt-oyunun elemanlarn olusturular. (Heap & Varoufaks, 82) T +1-1 Al T Y Vel -1 +1 T -1 +1 Y Al Y +1-1
3. Çözümleme Bu bölümü, Normal göstermde ve Yaygn göstermde çözümleme metodlar olarak k bölüme ayrdk. Ilk önce Normal göstermde çözümleme metodlarn, daha sonra Yaygn göstermde çözüm metodlarn tartsacagz. 3.1 Normal Göstermde Çözümleme Basknlk Argüman Normal gostermn en bast çözümleme metodu, Basknlk argümandr. Kars taraftak oyuncu ney terch ederse etsn, her durumda herhang br stratej dger bütün stratejlerden daha fazla fayda saglyor se, o stratej baskn stratejdr. Formal olarak tanmlayalm. Tanm : Oyuncunun seçeneklerden brs, mesela s *, dger her stratejden s S her durumda daha fazla fayda saglyor se, dger br deysle u (s *,s - ) > u (s, s - ), s - S - estszlgn saglyorsa, s * kuvvetl baskn stratejdr. Sayet, u (s *,s - ) u (s, s - ), s - S - ve u (s *,s - ) = u (s, s - ), s - S - se, s * baskn stratejdr. zayf Oyuncu kars tarafn nasl oynadgna lskn br akl yürütme gerçeklestrmekszn, baskn stratejy belrler. Br örnekle açklayalm. B Al A Vel B 2,2 0,3 A 3,0 1,1 Fgur 2 Fgür 2 den gözlemlendg gb, Al çn A B den daha üstündür. Çünkü, Vel nn A veya B stratejlernden hangsn seçtgne bakmakszn, Al A y seçmes durumunda, herzaman daha fazla getr elde edecektr. Ayn seklde, Vel A y seçmes durumunda, Al nn terchnden etklenmekszn, herzaman getrs daha yüksek olacaktr. Yan, u (A,s - ) > u (B,s - ), =Al, Vel Basknlk argüman, bazen dogrudan kullanlamayablr. Baz durumlarda, baskn stratej bütün stratejlerden degl, sadece br veya brkaç tanesnden daha üstün olmayablr. Örnek olarak, fgür 3 te temsl edlen oyunu nceleyelm ve çözüme ulastracak düsünce slslesn takp edelm.
Al L M R U 4,5 0,3 3,4 Vel M 2,0 5,1 2,2 D 3,1 3,2 1,5 Fgur 3 1- Al çn, M stratejs R stratejs tarafndan bastrlmstr. u A (R, s - )>u A (M, s - ), s - =U,M,D 2. Al nn M stratejsn terch etmeyecegn blen Vel cn en y stratej U stratejsdr, zra M stratejs olmadgnda, U stratejs hem M ye, hemde D ye baskndr. u V (U,s - )>u V (M,s - ), s - M u V (U, s - )>u V (D, s - ), s - M 3. Vel nn U stratejsn seçecegn blen Al L stratejsn seçer, zra Vel nn U yu seçtg blndg durumda, L R ye baskndr. u A (L,U)>u A (R,U) Oyunun çözümü: Vel U yu, Al L y terch eder. Brbr ardna bastrlan stratejlern yok edlmesn çeren bu çözümleme metoduna bastrlms stratejlern ard arda elenmes metodu ad verlr (Füdenberg & Trole, 6). Formal olarak tanmlayalm. Tanm : S 0 S ve Σ 0 Σ olsun. n n-1 n-1 S = {s S s - S - çn, u (σ,s - )>u(s,s - ) estszlgn saglayan karstrlms n-1 stratej, σ Σ yoktur.} n Σ = {σ Σ herhang br s S n n olaslk deger poztftr, σ (s )>0 } Herhang br oyuncunun bastrlan stratejlern ard arda yok edlmes sonucu ortada kalan tekl stratejlernn dzs, n S = n=0 S dr. Σ, bütün σ stratej profllern kapsayan settr. Bu set çn, s - S -, u (σ,s - )> u(σ, s-) estszlgn saglayan σ stratejs yoktur. (Füdenberg & Trole, 45) Br noktay not etmekte fayda var. Ard arda elenen bastrlms stratejlerden bazlar zayf baskn stratej se, eleme sras sonucu etkleyeblr. Nereden elenmeye baslandg, kuvvetl baskn stratejnn varlgnda sonucu etklemez. Akllestrleblr Stratejler
Buraya kadar görmüs oldugum uz stratejler oldukça özel durumlarda geçerldr. Genellkle hayattak problemlern çözümü bu kadar kolay olmayablr. Örnek olarak fgür 4 e bakalm. Vel Al 1 2 3 4 A 0,1 2,5 7,0 0,1 B 5,2 3,3 5,2 0,1 C 7,0 2,5 0,7 0,1 D 0,0 0,2 0,0 10,-1 Fgur 4 Fgür 4 te temsl edlen oyunda, tekl br stratej taraf ndan bastrlms br stratej yoktur. Fakat, Al cn 4 stratej olarak hçbr zaman en y karslk degldr. Zra, Al 2 ve 3 arasnda (1/2,1/2) olaslk daglm yapsa, 4 stratejsnden ortalama olarak daha fazla fayda saglayacaktr. Yan, 4 karstrlms br stratej tarafndan bastrlmstr. Ve karstrlms veya tekl br stratej tarafndan bastrlan br stratej hçbr zaman en y karslk degldr. Dolaysyla, Al nn 4 u terch etmes söz konusu olamaz. Bu blndgnde, Vel de D y eleyeblr, zra D ancak Al 4 u terch ettgnde en y karslktr. Gerye kalan stratejler akllestrleblr stratejlerdr. Yan herhang br stratej kars oyuncunun oynayableceg herhang br stratejye en y karslktr. Akllestrleblr stratejler söz konusu oldugunda, oyunculardan brsnn herhang br stratejy terch etmes cn aklc br zncrleme mantk slsles kurulablr. Mesela, Vel A stratejsn akllestreblr. A 3 e en y karslktr. 3 C ye en y karslktr, gb. Akllestrleblr stratejler, oyuncularn seçeceg herhang br alternatf terch etmes çn mantk br slsle kurablmes gerektgn sürer. Öte yandan bu örnekte de görüldügü gb, akllestrlms stratejlerde dahl, su ana kadar görmüs oldugumuz cözüm metodlaryla sadece 1 tane stratejy eleyebldk. Dolaysyla, daha fazlasna htyacmz oldugu açktr. Br sonrak çözüm metodu, Nash çözümü bu htyaca cevap vermektedr. Denge Analz ve Nash Stratejler Denge analznn, belkde oyun teorsnn, en öneml sm süphesz, 1950, 1951 ve 1953 ser halnde yaynladg makaleleryle Nash denges kavramn gelstren, John Nash tr. Nash denges, slevsel aklclk, aklc davrans ve aklc beklent varsaymlarnn tamamn gerektrmektedr.
Tanm : Herhang br stratej, s * S veya σ * Σ, sayet P ve s S, u(s *,s - * )>u (s,s - ) sartn saglyorsa, Nash dengesdr. (Füdenberg & Trole, 11) Öncelkle, Nash denges, herbr oyuncu çn belrlenen br stratej dzsdr. Bu dzdek stratejler oyuncular tarafndan seçldg durumda, herhang brs o stratejden vazgeçme eglm çersne grmez. (Kreps, 28) Herhang br oyuncu Nash stratejsn belrlerken, karssndak oyuncunun terch edeceg stratejye lskn beklentsnde yanlsa düsmez. (Heap & Varoufaks, 53) Nash dengesnn nasl elde edldgn br örnekle açklayalm. Fgür 4 ün herhang br hücresnden baslayalm. (A,1) olsun. A 1 e kars y br karslk mdr? Hayr. Zra, Al nn 1 oynamas durumunda, Vel çn yaplacak en y sey, C y terch etmektr. Ayn seklde, (C,1) nceleyelm. Vel nn C y terch etmes durumunda, Al çn en y secenek 1 mdr? Hayr. Bu durumda Al, 3 ü terch edecektr. Bu seklde devam edlrse görülecektr k, (B,2) harcndek hçbr hücrenn Nash denges olma sartn saglamas mümkün degldr. Zra, oyuncular denge noktasna ulasms olsalard, denge tanmnn gereg, o hücreden ayrlmak stemeyeceklerd. Öte yandan, Al nn 2 y terch edeceg blndgnde, Vel çn yaplacak en y terch, B dr. Ayn seklde, Vel nn B y terch edeceg blndg vakt, Al nn yapacag en y sey 2 y terch etmektr. Dengenn tanm da budur. 6 Nash, baz sartlar saglayan her oyunun mutlaka Nash dengesnn oldugunu spatlamstr. Bu sartlar, ) stratej uzaynn bos küme olmamas, kompakt ve konveks olmas, ) getr fonksyonunun sürekl olmas ve breyn kend stratej set çn quasconcave olmasdr. Nash n spatnn esas sudur. Herhang br oyunda her oyuncu çn, en y karslk fonksyonunu bulmak mümkündür. Zra, bu fonksyonu (aslnda correspondance) söyle tanmlyoruz: b( σ ) = { σ : u( σ, σ ) u( σ, σ ) σ }. Ispat b n yukardak sartlar altnda, konveks, upperhemcontnuous ve bos küme olmadgnn gösterlmesnden barettr. Daha sonrak asama, Kakutan Sabt nokta teoremn kullanmak. Zra, sabt nokta teorem bze, br stratejnn varlgn söyler. Bu stratenn özellg, s b(s) dr. 6 Nash çözümlemes, brden fazla dengenn oldugu durumlarda, hang denge noktasnn terch edlecegne lskn olarak yol göstermez. Brden fazla Nash dengesnn olmas, veya hç Nash dengesnn olmamas, denge analznn zayf noktasdr. Ayn yorum, basknlk argüman çnde geçerldr. John Nash ten sonra k, oyun teors çalsmalar, Nash çözümlemesnn bu eksklgn gdermeye yönelk olarak gelstrlmstr. Fakat, Kreps n de traf ettg gb, yaplan çalsmalardan hçbrs tatmn edc br cevap verememstr. (Kreps,1990:30) Bu çalsmada oyun teorsnn tantlmas, arastrma konumuzla snrlandrldg çn, Nash dengesnn gelstrlmesne yönelk çalsmalardan bahsedlmeyecektr.
b S) = b ( S )... b ( S ) ve s = s,..., s ). Fakat bu Nash dengesnn tanmndan ( 1 n baska brsey degl. ( 1 n Son nokta olarak, gerek basknlk argüman gerekse baskn stratejlern ardarda elenmes stratejs sonucu elde edlen çözümle, Nash denges arasndak lsk tek tarafldr. Söyle k, basknlk argüman baskn stratejlern ardarda elenmes stratejs sonucu elde edlen çözüm tek se, o çözüm Nash Dengesdr (Füdenberg & Trole, 13). Fakat ters dogru olmayablr. Nash, denge stratejnn varlgn spat etmstr. Öte yandan, spat dengenn teklgne lskn br fkr vermez. Herhang normal göstermdek br oyunun brden fazla dengesnn olmas mümkündür. Ve Nash denges, bu k denge noktasndan hangsnn seçlecegne lskn olarak herhang br fkr vermemektedr. Asagdak örneg ele alalm. Al A b c A 2,2 1,1 0,0 Vel B 0,0 1,1 1,1 C 0,0 0,0 0,1 Yukarda normal gostermde temsl edlen oyunun brden fazla Nash denges vardr: (A,a), (B,b) ve (B,c). Bu tur durumlarda, Nash denges saysn azaltablmek cn Selten tarafndan ttreyen el mukemmel nash denges kavram gelstrlmstr. Ilk once tanmlayalm. Daha sonra da, ornek olarak (B,c) nn tanm saglayp saglamadgna bakalm. Herhang br oyunu Γ N, ( S ), u ) le temsl edeblrz. Stratej setndek butun ( stratejlern heps cn sfrdan buyuk br olaslk deger tayn edelm, ve yen stratej setn soyle tanmlayalm. S ) = { σ : σ ( s ) ε ( s ) Ayrca, ε ( ) > 0 ve ( ) < 1 s s S s ε ( s S ε. Yen oyunumuz, Γ N, ( S ), u ) olsun. ε ( ε s S ve ( ) = 1} σ. Tanm: Sfra gden br epslon sersnn herbrsnde gerceklesen oyunlarn Nash denges, orjnal oyunun Nash dengesne yaklasyorsa, Normal gostermle temsl edlen br oyunun Nash denges ayn zamanda ttreyen el mukemmel nash dengesdr. k Yan, { ε } 1 0 var se, ve serdek her br epslon cn ortaya ckan yen oyunlar k= s
k cn, Γ N, ( S ), u ), σ } σ k ( k ε ε { k=1 sart saglanyorsa, Orjnal oyunun Nash denges σ ttreyen el Nash dengesdr. Yukardak oyunda, (B,c) Nash dengesnn ttreyen el Nash denges olup olmadgna bakalm. Oyuncular cn k ayr ser tanmlayalm. Bu serler, Vel cn ( n n n ε,1 3ε,2ε ), Al cn ε, ε,1 2ε ) olsun. B Vel cn Al nn karstrlms ( n n n stratejsne en y karslktr cunku ε + ε + 0*(1 2ε ) < 0*2ε + ε + (1 2ε ). c 2 n n n n n n Al cn Vel nn karstrlms stratejsne en y karslktr cunku 2 ε < 1 3ε + 2ε ve n n n ε + 1 3ε < 1 3ε + 2ε. Dolaysyla, (B,c) ayn zamanda ttreyen el Nash n n n n dengesdr. 3.2 Yaygn Göstermde Çözümleme Çok Asamal Oyun 7 Ilk önce brkaç tanmla baslayalm. Yaygn göstermle modellenen oyunlarn brden fazla asamas olduguna daha once degnmstk. K asamadan olusan br oyun düsünelm. Oyunun lk asamasn 0. asama olarak kabul edelm. Ilk asamada, her oyuncu A(h0) terch setnden eszamanl olarak stratej belrlemek durumundadr. h0 daha öncek asamalarda terch edlen stratej profllernn tarhn göstermektedr. 0. asamada, h 0 =Φ dr. Her oyuncu asama sonunda dger oyuncularn terch ettg stratej seçeneklern bldg varsaylmaktadr. 8 a 0 (a 10, a n0 ) 0. asamada oyuncular tarafndan terch edlen stratejler göstersn. A (h 1 ), knc asamada oyuncularn terch yapmak durumunda olduklar terch setn göstermektedr. Her br terchn 0. asamadan gelen br tarh vardr. K asamadan olusan br oyunun tarh, h k+1 = (a 0, a 1,, a k ) dr. Dolaysyla, A (h k+1 ) herhang br oyuncunun k asamal br oyunun sonunda kars karsya oldugu hareket stratejlern göstermektedr. hk+1, bu baglamda, k+1. asamadak bütün muhtemel stratej tarhlernn olusturdugu dzdr. Br oyuncunun tekl stratejs, h k se gösterlen stratej tarhnn her br asamasnda terch edeceg stratejlernn br plandr. Sayet H k bütün stratej tarh lern çne alan br dz se, 7 Bu bölüm (Füdenberg & Trole (1993) ten takp edlerek hazrland. 8 Her asamada tek br oyuncunun stratej terch etmes durumunda, dger oyuncularn hçbrsey yapmama stratejsn zledg varsaylr.
k U k h H k A ( H ) = A ( h ) oyuncunun kars karsya kaldg hareket stratejlernn k k k bütünüdür. Br oyuncunun tekl stratejs, bütün h k lar çn, s h ) A ( h ), s dzsdr, k=0,..k. ( k k Herhang br stratej proflnn çerdg hareket dzsn bulalm. 0. asamann terch secenekler, a 0 =s 0 (h 0 ), 1. asamann terch secenekler, a 1 =s 1 (a 0 ), 2. asamann terch seçenekler, a2=s2(a0,a 1), la ahr. Bu stratej proflnn zledg yoldur. Bts noktalar 0. asamadan tbaren bütün stratej terchlern çne alr. Herbr oyuncunun getr fonksyonu, u : H k+1 R dur. Tanm: Her br stratej proflnn br sonucu, ve her sonucun br getrs olduguna * göre, s, Nash Denges oyle br stratej profldr k, dger hçbr stratej profl le daha y br sonuç elde edlemez. Yan, u ( * s, s ) u ( s, s ), s S. (Füdenberg & Trole, 71-72) Dolaysyla, yaygn gösterml oyunlarn Nash denges, bu oyunlarn normal gösterm durumunda bulunacak Nash dengesdr. Bu tur br stratej le bulunacak Nash dengesnn ortaya çkaracag problemler vardr. Bunlardan en yaygn olan, Nash sonucunun denge stratej tarh üzernde olmamas durumudur. Normal göstermde bze Nash dengesn veren sonuc, yaygn göstermde denge stratej tarhnn br parças olmayablr k, bu Nash çözümü çn br dezavantajdr. Asagdak bast örnek bu problem göstermektedr. Soldak fgür k asamal br oyunun yaygn göstermn, sagdak fgür se ayn oyunun normal göstermn çzmektedr. 1 A B 2 a 0,0 2,1 b 1,2 1,2 Fgur 2 0 2 0 1 Soldak oyunun k Nash denges vardr: (A,b) ve (B,a). Fakat, 1. oyuncu B y terch etmez, zra A y terch ettg durumda, 2. oyuncu b y terch edecektr. Dolaysyla, (B,a) hçbr zaman denge stratej tarhnn br parças degldr. Oyunun o bölümü oynanmayacaktr. Fakat, normal göstermde o bölüm Nash denges olarak karsmza çkmaktadr. a 2 A b 1 B 1 2
Bu problem gdermek çn, yaygn gösterm cn çözüm metodlar gelstrlmstr. En basta da belrttgmz üzere, bu çalsmada eksksz blg kosulunun saglandg yaygn gösterm oyunlarnn cözümünü nceleyecegz. Eksk blgnn varlg durumuna lskn çözüm metodlarn tantmn baska br çalsmamza brakyoruz. Gerye Yönelk Tümevarm Çözümlemes (GYTC) Snrl sayda asamas, her asamada snrl sayda stratej seçeneg ve her asamada sadece br oyuncunun terch yaptg oyunlar çn çözüm metodu, gerye dönük tümevarmdr. Bu tür oyunlara eksksz blg setne sahp oyunlar da denr. Bu çözüm metodunda, yaygn göstermle modellenen oyunun en son asamasnda, K, yaplan terchlerden baslanr. Buna göre, herbr h k çn son asamada terchn yapacak oyuncunun faydasn en azam hale getrecek terchler belrlenr. K. asamann hareket stratejler belrlendkten sonra, K-1. Asamada, K. asamada belrlenen hareket stratejler göz önüne alnarak, terchn yapacak oyuncunun hareket stratejler belrlenr. Bu seklde, gerye dogru oyunun lk asamasna ulaslr, ve lk terch yapacak oyunucun seçeneg, daha sonrak stratej terchlernn öngörülen seklnde gerçekleseceg varsaylarak, belrlenr. (Füdenberg & Trole, 72) Br örnekle gosterelm. Daha önce çzms oldugumuz, asagdak fgürde gösterlen Yaz-Tura oyununu çözelm. Al T Vel T Y Y T Al Y +1-1 -1 +1-1 +1 +1-1 Oyun k asamaldr. Ilk önce Vel terchn yapar. Vel nn terchn blen, Al knc asamada terchn yapar. Iknc asamada, Al stratej terchn nasl kullanacaktr? Al nn karar vermes gereken k nokta vardr. Brnc noktaya Vel nn T y terch etmes durumda ulaslr; knc noktaya Vel nn Y y terch etmsse ulaslr. Vel nn T y terch ettgn düsünelm. Al, T y terch ederse, Vel ye 1 kurus ödeme yapar. Y y terch ederse, Vel Al ye 1 kurus ödeme yapar. Dolaysyla, Al nn terch Y olacaktr. Ayn argümanla, Al nn T y terch edeceg gösterleblr. Oyunun aks çersnde, oklar denge stratej tarhn göstermektedr. GYTC oldukça bast ve güçlü br çözüm metodu olmasna karslk, oyunun ayn asamasnda oyuncularn ayn anda karar vermes durumunu çözemez. Bunun çn dger br çözüm metoduna bakalm.
Altoyun Mükemmel Nash Denges Alt-oyun kavramn yukarda açklamstk. Ksaca, alt -oyun yaygn göstermle modellenen br oyunun alt kümesdr. Herhang br oyunun bütün özellklerne sahptr. K asamal br oyun düsünelm. Oyunun herhang br asamasnda, n olsun, oyuncu o noktaya kadar olan oyunun tarhn, h n, blyordur. N. asamadan, K. asamaya kadar olan bölüm se, kend basna br oyundur, G(h n ). Bu oyunun getrlern, u (h K+1 ) tanmlar. HK+1, N. asamadan, K. asamaya kadar terch edlen hareketler, an, ak ve h n kapsar. Dolaysyla, h K+1 =(h n,a n, a K ) olur. Yaplmas gereken, h n kstlamas altnda, stratejler belrlemektr. Yan, s h n belrlenecektr. (Füdenberg & Trole, 73) Tanm : Çok asamal br oyunda, eger herbr h n çn, alt-oyunun, G(h n ), stratej profl, s h n, Nash denges kosulunu saglyorsa, alt-oyun mükemmel Nash dengesdr; (Füdenberg & Trole, 74) Dger br deysle, her br alt-oyunda oyuncularn terchler Nash dengesn olustururlar. Herbr alt oyunda oyuncularn terch ettkler stratejler, dger oyuncularn stratejlerne kars en y stratejlerdr. Br örnekle açklayalm. Yukarda tartsms oldugumuz oyunu çözelm. Oyunun yaygn göstermn tekrar çzelm. 1 2 A B a b 1 2 0 0 2 1 Bu oyunda, 2. oyuncunun karar verme durumunda oldugu noktadan tbaren k bölüm br alt oyundur. Bu alt oyundak Nash denges, 2. oyuncu cn b y terch etmektr. Zra, b 1. oyuncunun A terchne kars en y terchtr. 1. oyuncunun kars karsya kaldg oyunu asagdak gb göstereblrz. 1 A B 2 1 1 2
A le B arasnda terch yapma durumunda olan 1. oyuncu, kendsne en fazla fayda saglayacak terch yapacaktr. Bu da, A dr. Dolaysyla, Altoyun Mukemmel Nash denges bze çözüm olarak sunu verr: Brnc asamada, 1. oyuncu A y terch eder. Iknc asamada, 2. oyuncu b y terch eder. Böylelkle oyun teorsnn temel kavramlarnn tantlmas bölümünü btrms olduk.
4.Mahkumun Iklem 4.1 Iklemn Tantm ve Çözümü Mahkumun klem, hrszlk suçlamasyla pols tarafndan alkonan k tutuklunun durumunu anlatr. Savc tutuklulardan suçlarn traf etmelern ster. Her k tarafta traf edp, adaletn gerçeklesmesne yardmc olurlarsa haps müddetnde ndrm yaplacaktr. Her k tarafnda traf etmemes durumunda, dava müddetnce her k tarafta hapste kalacaktr. Tutuklulardan brsnn traf etmes durumunda, traf eden serbest braklacak, traf etmeyenn cezas katlanacaktr. Hrszlk cezasnn 5 yl cezas oldugunu düsünelm. Her k taraf traf ettgnde, ceza 3 yla necektr. Her k tarafta traf etmezse, davann süreceg 1 yl hapste geçrlecektr. Br tarafn traf etmes durumunda, traf etmeyen 6 yl cezalandrlacak, traf eden se salverlecektr. Bu oyunda her k mahkumun br araya gelp, traf etmeme karar almalar durumunda dah, sonuç her k mahkumunda suçunu traf etmesdr. Isbrlgnn mümkün olmadg, verlen sözlern yerne getrlmesne yönelk herhang br yaptrmn uygulanmadg bu tür oyunlar, sbrlgnn mümkün olmadg oyunlar baslg altnda degerlendrlr. Asagdak tabloda gosterlen oyun, Mahkumun Iklem oyunudur. 2 1 C D C 2,2 0,3 D 3,0 1,1 Ik oyuncu arasnda br kez oynanan, mahkumun klem oyununun oyuncular çn D stratejs baskn stratejdr. u(d,s-)>u(c,s -), = 1,2 ve s- = C,D Dolaysyla, bu klemn sonucu (D,D) stratej dzsdr. Mahkumun klemnn sonucu sasrtcdr, zra her k oyuncu çn daha çok fayda saglayacak br stratej dzs mevcuttur: (C,C). Yan, u(c,c)>u(d,d), =1,2. Dger br deysle, mahkumun klemnn sonucu Nash dengesdr, fakat Pareto optmal degldr. 4.2 Iklemn Tekrarlanmas Tarh tekerrürdür. Mahkumun klemnn snrl sayda tekrarlanmas ve sonsuz kez tekrarlanmas durumlarnn sonucu nasl etkleyecegne bakalm. Ayn durumun tekrarlanmas
oyunculara, geçms asamalarda kars taraftak oyuncunun stratej terchn cezalandrma veya mükafatlandrma mkan vermektedr. Her oyunda oyuncunun nha amacnn, faydasn azamlestrmek oldugunu söylemstk. Dolaysyla, lk önce herbr oyuncu çn tekrarlanan br oyunda fayda fonksyonunu belrleyelm. Gelecekte oynanacak oyundan elde edlecek faydann bugün k degern bulablmek çn br δ skonto deger belrleyelm. 0<δ<1. Dolaysyla, sonsuz kez tekrarlanan br oyunda U ( 1 δ ) t= t t = δ u ( a ) 0 fonksyonu bze normallestrlms fayda fonksyonunu verr. Notasyona lskn hatrlatma yaparsak t a t asamasnda terch edlen hareket, ( t a ) g elde edlen fayday gösterr. Oyunun snrl sayda tekrarlanmas durumunda se, T kere dyelm, yukardak formüldek n yerne T konulur. Snrl Sayda Tekrarlanma T= 3 olsun. Alt oyun mükemmel Nash denges çözümlemesn uygulayalm. Son asamadan baslayarak tekrarlanan her oyun br alt oyundur. Son asamada alt-oyunlar çözümlendkten sonra, br öncek asamada k alt oyun çözümlenp, oyunun basnda k oyuncunun terchler belrlenecektr. 3. Asamann hemen basnda oyuncularn kars karsya kaldklar nokta says 64 tanedr. 9 Bu 64 noktann herhang brnden baslayan son oyun, br alt oyundur. Bu alt oyunun alt -oyun mükemmel Nash denges, her k oyuncu çnde D stratejsdr. u ( D, s h3 ) > u ( C, s h3) Son asamaya kadar bütün asamalarda A stratejsnn terch edldgn varsayalm. 10 H 3 = ( a0, a1, a2 ) olsun. Son asamada, B stratejsn oynamann saglayacag fayda le A stratejsn oynamann saglayacag fayday karslastralm. U 3 t t ( D, s h3 ) = (1 δ ) = δ u ( ) t 0 a 0 1 2 = (1 δ )[( δ *2) + ( δ *2) + ( δ *2) + ( δ 3 *3)] 0 1 2 3 U ( C, s h ) = (1 δ )[( δ *2) + ( δ * 2) + ( δ *2) + ( *2)] 3 δ 9 0. Asama sonra erdgnde 4, 1. Asama sonra erdgnde 16 ve 2. Asama sonra erdgnde 64 nokta olur. 10 A stratejsnn terch edldgn varsaydk, zra her k oyuncunun son asamaya kadar A stratejsn terch etmes, ve böylece daha çok fayda saglamas daha y br seçenek gb görünmektedr. Sonuç olarak, göstermeye çalstgmz bütün asamalarda A nn terch edlmeyecegn göstermektr.
3 U ( D, s h3 ) U ( C, s h3) = (1 δ ) δ (3 2) > 0 Dolaysyla, son asamada dger oyuncunun C stratejsn oynayacag ver ken, herhang br oyuncunun D stratejsn oynamak daha fazla fayda saglayacaktr. Smetr kuralyla, (D,D) stratejs, alt-oyun mükemmel Nash dengesdr. Son asamada her k oyuncunun D stratejsn seçecegn gösterms olduk. 2. asamaya dönelm. Iknc asamada her k oyuncu çnde, yukardak ayn argüman kullanarak D stratejsnn en y stratej oldugunu göstereblrz. Ayn çözümleme metodunu devam ettrrsek, 0. asamada da (D,D) stratejsnn bütün oyun çn alt-oyun mükemmel Nash denges oldugu ortaya çkar. Dolaysyla, oyunun çözümü her asamada, (D,D) alt oyun mukemmel Nash dengesdr. Snrl sayda tekrarlanan mahkumun klem oyununun sonucu, br kez oynanan oyundan farkllk göstermemektedr. Asama says ne kadar çok artrlrsa artrlsn sonuç degsmeyecektr. Halbuk, her k oyuncunun bütün asamalarda A stratejsn terch etmes durumunda her k oyuncunun faydas daha fazla olacaktr. Dger br deysle, snrl sayda tekrarlanan mahkumun klem oyununun sonucu Nash dengesdr, fakat Pareto optmal degldr. Ayn oyunun 100 kez tekrarlanmas durumunda C stratejsn terch etmemeden dogan kayp, daha da büyük olacaktr. Alt-oyun Nash denges ve Gerye dönük tümevarm yöntemnn uygulanmas durumunda, sonucun her k oyuncu çnde olumsuz sonuçlanmas durumu ve deneysel çalsmalarn bu sonucu desteklememes, (Kreps, 1990: 78) 11 Oyun teorsnn temel varsaymlarnda temel paradgmay sarsmayacak seklde, degsklkler yaplmasna sebep olmustur. Bunlarn en önemls, oyuncularn tbar kurma stratejs zledklerne ls kn varsaymdr. 12 (Heap & Varoufaks, 178) Oyunda asama says arttkça, oyuncularn tbar kurma steg o kadar yüksek olacaktr. Snrl sayda tekrarlanan oyunlarn çözümüne lskn olarak tantlan tbar kurma stratejs, her br oyuncunun karssndak oyuncunun sbrlg yapmaya eglml oyuncular olma htmal üzerne kurulmustur. Itbar kurma stratejs, snrl sayda tekrarlanan mahkumun klemne tantldg duruma göz atalm. Isbrlg yapma eglml oyuncunun lk asamada tbar kurma stratej dogrultusunda, C stratejsn terch ederek basladgn, takp eden asamalarda se, karssndak oyuncunun stratej 11 Kreps (1990) Gerye dönük tümevarm n oyuncular çn olumsuz netcelendg, Rosenthal (1980) n kurmus oldugu cent-pede oyunu örnek göstermektedr. Yaplan deneylerde bu oyunun sonucunun genellkle gerye dönük tümevarmn öngördügü çözüm olmadg ortaya çkmstr. Kreps (1990) devamnda, sbrlg ruhlu br oyuncuyu oyuna tantms, ve çözümlemesn tamamlamstr. 12 Itbar kurma stratejsne lskn çözüm, Heap & Varoufaks (1995:178-183) ten uyarlanmstr.
terchnn aynsn terch edecegn kabullenelm. Herhang br oyuncunun karssndak oyuncunun, sbrlg yapma eglml oyuncu olacagna dar beklentsnn p, her oyunda altoyun mukemmel nash dengesn zleyen slevsel akll br oyuncu olma htmalnn (1-p) olarak belrledgn varsayalm. Islevsel akll br oyuncunun, karssndak oyuncunun sbrlg yapma eglml br oyuncu oldugunu düsünmes ve oyunun lk asamalarnda bundan faydalanablmek çn, r htmal le C y terch edecegn, (1-r) htmalllede D y terch edecegn varsayalm. Çözümlemey bastlestrmek çn, skonto oran kullanmayacagz, ve 2. oyuncunun slevsel akll oldugunu, 1. oyuncunun se sbrlg yapma eglmnde olan oyuncu oldugunu varsayalm. 13 Oyunun son asamasnda, 2. oyuncu, 1. oyuncunun terchnden etklenmekszn, D stratejsn terch eder. Snrl sayda tekrarlanan oyunlarn çözümünde kullandgmz alt-oyun mükemmel Nash denges kullanlarak bu sonuç elde edleblr. 1. oyuncunun terch br öncek asamada 2. oyuncunun terchne göre degsr. Sayet 1. oyuncu sbrlgne eglml br oyuncu se, br öncek asamada, 2. oyuncu C y terch etmsse C stratejsn, D y terch etmsse, D stratejsn terch edecektr. 1. oyuncunun slevsel olarak akll oldugu durumda se, 1. oyuncu son asamada, 2. oyuncunun terchnden etklenmekszn, D stratejsn terch edecektr. Oyunun 1. asamasnda 2. oyuncunun D stratejsn terch etmes çn, D stratejsn terch etmekten elde edeceg faydann, C stratejsn terch etmekten elde edeceg faydadan daha fazla olmas gerekr. Bunun hang kosullarda saglayanacagn belrlemek çn, oyunun 0. Asamasnda her k oyuncununda C stratejsn terch ettgn varsayalm. 14 Bu varsaym dogrultusunda, 2. oyuncunun 1. asamada C stratejsn terch etmekten elde edeceg fayda beklents, E[ U2( C h1 )] = 2 + 2* p + 0*(1 p) + 3* p + 1*(1 p) = 4 p + 3 Açklama : Varsa ym gereg, her k oyuncuda oyunun 0. Asamasnda C stratejsn terch ederler, ve elde ettkler fayda 2 olur. Oyunun 1. asamasnda, 1. oyuncu sbrlgne eglml se, p olaslkla 2. oyuncu C stratejsn terch etmekle 2 fayda elde eder. Öte yandan, 1. oyuncu slevsel akll se, 1-p olaslkla, 2. oyuncu 0 fayda elde edecektr. Oyunun 2. asamasnda, 1. oyuncu sbrlgne eglml se, p olaslkla 2. 13 Her k oyuncuyu sbrlg yapma eglmnde oyuncular olarak kabul edersek, snrl sayda tekrarlanan oyunun çözümü kolaydr : her asamada A stratejs terch edlr. 14 Bu varsaymn geçerl olmadg durumda, 1. Asamada A stratejs hçbr kosulda terch edlmez.
oyuncu D stratejsn terch edecektr, ve 3 fayda elde edecektr. Öte yandan 1. Oyuncu slevsel akll se, 1-p olaslkla 1 fayda elde edecektr. Ayn mantkla, 2. oyuncunun D stratejsn terch etmekten elde edeceg beklenen fayday hesaplayablrz. E [ U 2 ( D h1)] = 2 + 3* p + 1*(1 p) + 1 = 2 p + 4 2. oyuncunun C stratejsn terch etmes çn, E U ( C h )] E[ U ( D h )] 0 sartnn saglanmas gerekmektedr. Bunun cn, [ 2 1 2 1 > 4 p + 3 2p 4 = 2 p 1 > 0 Sayet, p > ½ se, 2. oyuncu çn, C stratejsn terch etmenn fayda beklents D den daha fazla olacaktr. Dolaysyla, 1. asamada C stratejsnn terch edleblmes çn, oyuncularn brbrler hakknda sbrlg eglmlerne lskn beklentler, p, % 50 den daha fazla olmas gerekmektedr. Oyunun lk asamasnda her k oyuncunun C stratejsn terch etmeler çn gerekl olan sartlar belrleyelm. 1. oyuncunun 0. asamada C stratejs terch etmesnn k sebeb olablr. Brncs, p htmalle 1. oyuncu sbrlg eglml br oyuncudur, ve C stratejsn terch edecektr. Ikncs, 1. oyuncu (1-p) htmalle slevsel akll br oyuncudur, ve lk asamada r htmalle C stratejsn terch ederek, 2. oyuncunun kends hakknda sahp oldugu p htmaln artrp, 2. oyuncunun C stratejsn terch etmesn saglayacaktr. Böylece 1. asamada D stratejsn terch ederek faydasn azamlestrmeye çalsacaktr. 2. oyuncunun oyunun 0. asamasnda D stratejsn terch etmes çn, her zaman oldugu gb, E U ( D h )] > E[ U ( C )] sartnn saglanmas gerekr. [ 2 0 2 h0 E [ U2 ( D h0 )] = p *(2 + 2 + 3) + (1 p)* r *(2 + 0 + 1) + (1 p (1 p) r) *(0 + 1+ 1) = 5 p + r pr + 2 Açklama : 2. oyuncu 1. oyunc unun sbrlgne eglml olmas durumunda, yan p htmalle, (2,2,3) fayda dzsn elde edecektr. 1. oyuncunun slevsel akll olmas durumunda, bu oyuncunun (1-p)r htmalle C stratejsn terch etmes durumunda (2,0,1) fayda dzsn elde edecektr. 1. oyuncunun slevsel akll olmas, (1-p) htmalle, ve 0. asamada D stratejsn terch etmes, (1-r), durumunda, her ks (1-p- (1-p)r) htmalyle gerçeklesr, 2. oyuncu (0,1,1) fayda dzsn elde edecektr. Ayn mantkla,
E [ U2 ( C h0 )] = p *(3 + 1+ 1) + (1 p) * r *(3 + 1+ 1) + (1 p (1 p) r) *(1+ 1+ 1) = 2 p + 2r 2pr E [ U2 ( D h0 )] E[ U2 ( C h0 )] > 0 = 5 p + r pr + 2 2 p 2r + 2 pr > 0 (3p 1) r < (1 p) Yukarda, 2. oyuncunun 1. asamada C stratejsn terch etmes çn, p=1/2 olmas gerektgn bulmustuk. Yukardak formülde yerne koydugumuzda, r < 1 elde ederz. Bunun anlam sudur : 1. oyuncunun sbrlgne eglml olma htmal en az % 50 se, 2. oyuncunun r htmalne lskn beklents ne olursa olsun, 2. oyuncu 0. asamada C stratejsn terch edecektr. Özetlersek, snrl sayda tekrarlanan mahkumun klemne sbrlg yapma eglmnde olan br oyuncunun tantlmas, gerye dönük tümevarm ve alt-oyun Nash dengesnn öngördügünden farkl olarak, yen br olaslk getrmstr. Bu olaslga göre, herhang br oyuncu karssndak oyuncu hakknda sbrlg yapma htmaln yüksek gördügü durumda oyunun lk asamasnda oyuncularn Pareto optmal sonucu elde etmeler mümkündür. Oyunun asamas arttkça, sbrlgne eglm htmal daha da fazla artacaktr. Sonsuz Sayda Tekrarlanma 15 Mahkumun Iklem oyununun hem tek asamada hemde brden çok fakat snrl sayda asamal tekrarlanmasnda D stratejsn terch eden br oyuncuya kars terch edlecek en y stratejnn D stratejs oldugunu söylemstk. (D,D) stratej dzs klemn sons uz sayda tekrarlanmas durumunda da Nash denges olmas özellgn korur. Zra, D stratejsn terch eden br oyuncuya kars terch edleblecek en y stratej yne D stratejsdr. (D,D) stratej dzsn olgopol c c c pyasalardan lhamla Cournot çözümü olarak tanmlayalm, S = s, s ). Cournot ( 1 2 stratejs sonsuz sayda tekrarlanan oyunun her br arasmasnda oyuncularn stratejsn terch etmes olarak tanmlanr. Sonsuz sayda tekrarlanan oyunlar çn yen br stratej set tanmlayalm. c B = { s s S, u ( s) u ( s )} c S 15 Bu bölüm Fredman dan hazrlanmstr.
Dolaysyla, B set Cournot çözümünden daha fazla fayda saglayan dzlern çermektedr. Bu stratejlerden brs, s ' B tanmlanan stratejy takp ettgn varsayalm. 0 ' (1) S = s olsun. Herhang br oyuncunun asagda (2) Eger s = s se r j ' j S = s, j, r = 0,1,.. t 1, ve t = 0,1,2.. t ' Eger (2) gerceklesmemsse, (3) S = s t c Yan, s ' B stratejs, herhang br oyuncu çn oyunun lk asamasnda s ' B stratejsn terch etmesn, ve kars taraftak oyuncu ayn stratej dzn zlemsse sonsuza kadar s ' B stratejsnn zlenmesn öngörür. Eger kars taraftak oyuncu oyunun herhang asamasnda farkl br terch yapmssa, sonsuza kadar s c stratejsnn zlenmesn ongorur. s ' B veya nn vektörünün denge çözümü olablmes çn, r ' δ u ( ) > (, = ) + r 0 s u t s r = 1 δ ' [ u ( s ) u( s (1 δ ) t y tanmlarsak. c )] > u ( t, s r c δ u ( s ), =1,2,..,n. ' ) u ( s ) ' t S ve t = argmax u ( s, s ) s S Yan, lk dönemde s ' B stratejsn terch eden br oyuncuya kars, t stratejs zlenmes le elde edlecek getr le daha sonrak dönemde her oyuncunun Cournot stratejsn zlemes sonucu elde edlecek getr akmnn toplam, bütün asamalarda s ' B stratejsnn zlenmes sonucu elde edlecek getrden daha az se, s ' B stratejs denge çözümü olmaktadr. Öte yandan bu sonuç, oyuncularn skonto oranna bagldr. Iskonto oran 1 e yaklastkça, oyuncular çn s ' B stratejnden elde edlecek kazanç sonsuza gderken, br dönemde s ' B oynayan br oyuncuya kars t stratejs zleme sabt kalacak ve degsmeyecektr. Dolaysyla, t stratejsnn denge çözümü olablmes çn gerekl sart, δ ' [ u ( s ) u( s (1 δ ) c )] > u ( t, s ' ) u ( s ) olmaktadr. Bu analz çerçevesnde örnegmze baktgmzda, (C,C) stratej dzs pareto optmal denge olarak karsmza her oyuncunun skonto degernn δ > ½ olmas gerekmektedr.
(C,C) stratej dzsnn sonsuz sayda tekrarlanan oyunda elde edleblecek muhtemel br getr noktas oldugunu gösterms olduk. Öte yandan her br asamada (D,D) stratej dzsnn terch edlmes de, ayr br denge noktas olusturmaktadr. Oyunun herhang br asamasnda Cournot stratejne dönülüp, daha sonrak asamalarda Cournot stratejnn zlenmes htmalde vardr. Ksaca, sonsuz sayda stratej dzs htmal vardr. Fgür sonsuz sayda tekrarlanan oyunlarda elde edlecek muhtemel ortalama skonto edlms getr oranlarn göstermektedr. Dolaysyla, oyunun muhtemel getr noktalarnn brlestrlmesyle olusturulmus ACBD dörtgen oyunun sonsuz kez tekrarlanmas sonucu elde edleblecek denge noktalarnn setdr. Sonsuz sayda tekrarlanan oyunlarn bu özellgne Folk Teorem sm verlr. Yan ACBD dortgennde gosterlen her nokta Nash denges olarak saglanablr. Oyuncu saysnn kden fazla, n sayda dyelm, oyuncunun brbrleryle mahkumun klem oyununu oynamalar durumunda da benzer çkarm elde edlecektr : mahkumun klem oyunu le temsl edleblecek herhang br sosyal oyun brçok noktada dengeye geleblr. N sayda oyuncunun mahkumun klem oyunuyla kars karsya kaldklar durum Kamu Mallarnn Trajeds olarak da smlendrlr. Garret Hardn, köylüler tarafndan ortak kullanlan br merann her köylünün stedkler kadar çok koyunu otlatmalar sonucu yok olmasn örnek gösterr. Merann br tek sahb olsayd sayet, br günde merada otlatacag koyun says N olacakt. Dolaysyla, Pareto optmal olan stratej kamu mal olan merada köylülern herbr N/n kadar koyun otlatmalardr. (Bnmore, 1995:111) Mahkumun klemnn n sayda oyuncu arasnda sonsuz kez tekrarlanmas netcesnde de muhtemel br Nash denges yne (D,D) stratej dzsdr. N tane breyn davranslarnn koordnasyonunu saglayacak kur um veya geleneklern gelsmes, 2 oyuncunun sbrlgn saglayablmelernden daha zor oldugu askardr, dolaysyla (D,D) stratej dzsnn denge stratej dzs olarak ortaya çkmas htmal N sayda brey tarafndan oynanan oyunda daha yüksektr. Folk teorem analzmzn çnden çklmaz br boyuta geldg seklnde yorumlanablr. Farkl br baks açsyla, mahkumun klem le temsl edleblecek her sosyal hadsenn sonsuz kez tekrarlanmas hadsenn denge noktasnn nerede olusacagn kestrmenn mümkün olmadg seklnde yorumlamakta mümkündür. Bu sonucu kullanlarak, Ken Bnmore ve Roger Myerson devletn ortaya cks sebebn n breyl toplumlarda pareto optmal dengenn sonsuz sayda tekrarlanan oyunlarda saglanmas olarak açklamaktadr. Gerç her ksde, Cnsyetlern savas oyununu kullanmstr.
Fakat o oyununda sonsuz kez tekrarlanmas ayn netcey vermektedr. Mahkumun klmen oyunuda kullanlablrd. Bu tür br sonuç, kurumlarn ortaya çksn, pyasalardak etknlk prensbne göre aç klamaya çalsan market effcency theory de de kullanlmstr. Dolaysyla, çklmaz zannettgmz durum, sosyal blmlerde brcok teornn ana fkrn desteklemstr. Kaynaklar Shaun P. Hargreaves Heap and Yans Varoufaks, Game theory : a crtcal ntroducton, London ; New York : Routledge, 1995 John C. Harsany, A General Theory of Ratonal Behavor n Game Stuatons, Econometrca, Vol. 34, No. 3. (Jul., 1966), pp. 613-634 Davd M. Kreps, Game theory and economc modelng, Oxford : Clarendon Press ; New York : Oxford Unversty Press, 1990 Drew Fudenberg, Jean Trole, Game theory, Cambrdge, Mass. : MIT Press, 1991 Ken Bnmore, Game theory and the socal contract, Cambrdge, Mass. : MIT Press, 1995 Roger Myerson, The Fundamentals of Socal Choce Theory Kellogg Math Center, Workng P aper Mchael Whnston, Mcroeconomc Theory-3 Ders Notlar James Fredman, Econometrca, Vol. 49, No. 4. (Jul., 1981), pp. 1087-1088.