HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun asimtotlarını bulabilecek, Fonksionun grafiğini çizebilecek ve buna bağlı olarak grafiğe bakarak fonksionun davranışı hakkında bilgi edinebileceksiniz. ÜNİTE 13
GİRİŞ Fonksionlar hakkında bilgi edinebilmenin en kısa olu fonksionun grafiğini çizmektir. Daha önceki konularda da belirtildiği gibi fonksionun grafiğine bakarak hangi noktalarda limitinin olduğunu vea olmadığını, hangi noktalarda sürekli vea süreksiz olduğunu, hangi noktalarda türevin olduğu vea olmadığını, hangi aralıklarda artan vea azalan olduğunu, hangi aralıklarda bükeliğin önünün aşağı vea ukarı olduğunu kolaca söleebiliriz. SİMETRİ VE ASİMTOT ve değişkenleri cinsinden kapalı olarak verilmiş ( ) denklemini sa laan ( ) noktalarının kümesine ( ) ın grafiği denir. Eğer ( ) ( ) ise ( ) ın grafiği ( ) fonksionunun grafiği olur. Örneğin, ( ) in grafiği, orijin merkezli birim çemberdir. ( ) fonksionu verilmiş olsun. erine azdığımızda değeri değişmiorsa ani ( ) ( ) oluorsa (başka bir deişle çift fonksion ise) nin grafiği -eksenine göre simetriktir. ( ) fonksionu için ( ) ( ) oluorsa nin grafiği - eksenine göre simetriktir. ( ) ( ) oluorsa (başka bir deişle tek fonksion ise) nin grafiği orijine göre simetriktir. Buna göre örneğin ( ) fonksionunda erine azarsak, ( ) ( ) ( ) olur. O halde bu fonksionun grafiği -eksenine göre simetriktir (Şekil 13.1 a)). Benzer şekilde ( ) fonksionununda erine azarsak bu fonksionun da -eksenine göre simetrik olduğunu kolalıkla görebiliriz (Şekil 13.1 b)). Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
5 4 3 4 3 1 1-1 1 3 4-1 - -4-3 - -1 1 3 4-1 a) -eksenine göre simetrik b ) -eksenine göre simetrik Şekil 13.1-3 -4 Yukarıda ( ) ( ) şartını sağlaan fonksionlara çift fonksion demiştik. Demek ki çift fonksionların grafiği -eksenine göre simetriktir. Bir fonksionun çift ise grafiği daha kola çizilir. Bu durumda grafiği önce değerleri için çizmek sonra -eksenine göre simetriğini almak eterlidir. Diğer taraftan ( ) fonksionu için ( ) ( ) ( ) olduğundan nin grafiği orijine göre simetriktir (Şekil 13.). Bir ( ) fonksionu için ( ) ( ) şartı sağlanıorsa bu fonksiona tek fonksion demiştik. Demek ki tek fonksionların grafiği orijine göre simetriktir.. 4 3 1-3 - -1 1 3-1 - -3-4 orjine göre simetrik Şekil 13. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3
13.1. ( ) denkleminin grafiğinin orijine göre simetrik olduğunu gösteriniz. Çözüm: ( ) ( ) şeklinde azabiliriz. Bu fonksionda erine azarsak ( ) ( ) elde ederiz. Yani bu fonksion orijine göre simetriktir (Şekil 13.3). 3 1-3 - -1 1 3-1 - -3 Şekil 13.3 Asimtotlar Grafik çizimlerinde ol göstermesi bakımından asimtotlar önemlidir. Eğer varsa bir fonksionun asimtotlarını bulmak ve ona göre grafiğini çizmek gerekir. Bir eğrie, orijinden sonsuz uzaklaştığımızda, teğet olan doğrua asimtot denir. Asimtotlar, 1) Düşe asimtot (-eksenine paralel olan asimtot), ) Yata asimtot (-eksenine paralel olan asimtot), 3) Eğik asimtotlar şeklinde üç sınıfa arılır. Asimtotları geometrik olarak gösterirken, fonksionun grafiğinden aırt edilebilsin die kesik çizgiler kullanacağız. 1) Düşe asimptot: ( ) fonksionu verildiğinde için ( ) vea ( ) oluorsa doğrusuna ( ) fonksionunun düşe asimtotu denir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4
Buna göre rasonel bir fonksionda pa sıfırdan farklı olmak üzere padaı sıfır apan değerler bize düşe asimtotu verir. 13.. ( ) fonksionunun düşe asimtotlarını bulunuz ve geometrik olarak gösteriniz. Çözüm: ( ) rasonel fonksion olduğundan padaı sıfır apan değerler (pa sıfır değil) düşe asimtottur. Buna göre denkleminin kökleri ve dir. Dolaısıla verilen fonksionun düşe asimtotları ve doğrularıdır. Bunları geometrik olarak aşağıdaki şekilde gösterebiliriz. 3 1-3 - -1 1 3-1 - -3 Şekil 13.4 ) Yata asimptot: ( ) fonksionu verilsin. Eğer ( ) ve ( ) limitleri var ve ( ), ( ) oluorsa ve doğrularına ( ) fonksionunun ata asimtotları denir. 13.3. 1) ( ) fonksionunun ata asimtotunu bulunuz ve geometrik olarak gösteriniz. ) ( ) fonksionunun ata asimtotu olup olmadığını araştırınız. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5
Çözüm: 1) olduğundan ata asimtottur. Bunu geometrik olarak aşağıdaki şekilde gösterebiliriz. 4 3 1-4 -3 - -1 1 3 4-1 Şekil 13.5 ) ve olduğundan ata asimtot oktur. ( ) 3) Eğik asimtotlar: Bu tip asimtotlar genellikle ( ) şeklindeki ( ) rasonel fonksionlarda ( ( )) ( ( )) olduğunda karşımıza çıkar. Burada ( ) ve ( ), in polinomları olup ( ( )) ve ( ( )) de bu polinomların derecelerini göstermektedir. ( ) polinomu ( ) polinomuna bölelim ve bölümü ( ) ile gösterelim. Eğer ( ) polinomunun derecesi ( ) polinomunun derecesinden bir fazla ise ( ) bir doğru temsil eder. Bu ( ) doğrusuna ( ) fonksionunun eğik asimtotu denir. 13.4. ( ) fonksionunun eğik asimtotunu bulunuz ve geometrik olarak gösteriniz. Çözüm: Verilen rasonel ifadede paın derecesi padanın derecesinden bir fazla olduğundan bölme işlemi aparak eğik asimtotu bulabiliriz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6
O halde şekilde gösterebiliriz. eğik asimtottur. Bu asimtotu geometrik olarak aşağıdaki 4-4 -3 - -1 1 3 4 - -4-6 Şekil 13.6 BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ Buraa kadar vermiş olduğumuz bilgilerden sonra bir fonksionun grafiğini çizebiliriz. ( ) fonksionunun grafiğini çizmek için genellikle aşağıdaki adımlar takip edilir: 1) Fonksionun tanım kümesi bulunur. ) Grafiğin -eksenini kestiği noktalar ani ( ) in kökleri ve -eksenini kestiği noktalar ani için değerleri bulunur. 3) Eğer varsa asimtotlar bulunur. 4) Türev alınır ve işareti incelenir. 5) İkinci türev alınır ve işareti incelenir. 6) İlk beş adımda bulunanlar değişim tablosu adı verilen bir tabloda gösterilir. 7) Altıncı adımdaki tablo kullanılarak grafik çizilir. Grafik çizimi ile ilgili olarak verilen bu adımları genel bir hal için verdik. Bazı fonksionlar için bu adımların hepsini takip etmemize gerek oktur. Örneğin Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7
( ) ise ( ) in grafiğini çizmek için grafi in herhangi iki noktasını bulmak eterli olacaktır. Arıca bazen ikinci türev ile işlem apmak zor olabilir. Bu durumda beşinci adımı ihmal edebiliriz. Bazen de dördüncü ve beşinci adımda apılması istenen birinci ve ikinci türevin işaretinin incelenmesi altıncı adımdaki tabloda apılır. İlk altı adımdaki işlemlerin nasıl apılacağını buraa kadar olan bölümlerde inceledik. Bu konuu eni öğrenen bazı öğrenciler için altıncı adımdan edinci adıma geçiş zor görülsede aslında bu kola bir işlemdir. Aşağıdaki örnekleri inceleelim. ve dur. 13.5. ( ) fonksionunun grafi ini çiziniz. Çözüm: Yukarıda verilen adımları takip edelim. 1) Fonksionun tanım kümesi, reel saılar kümesidir. ) Grafiğin -eksenleri kestiği noktalar, ( ) dan ve -eksenleri kestiği noktalar da dan ( ) dir. 3) Polinom fonksionlar için düşe asimtot oktur. Ancak bu adımda için fonksionumuzun davranışını incelememiz gereklidir. Buna göre ( ) ( ) ( ) 4) Fonksionun birinci türevi ( ) dir. ( ) dan olup ( ) dur. için ( ) ve için ( ) oldu undan de fonksion minimuma sahiptir. 5) Fonksionun ikinci türevi ( ) olduğundan bükeliğin önü ukarı doğru ani grafiğimiz konveksdir. ( ) 6) De işim tablosu aşağıdaki gibidir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8
Bu tabloa baktığımız zaman için olduğundan çizime ikinci bölgeden başlaacağız. İkinci bölgede ugun bir noktaa kalemimizi koduktan sonra tekrar tabloa bakıoruz. Fonksionun ( ) noktasına kadar azaldığını görüoruz. İkinci bölgeden bu noktaa gelebilmek için eksenleri kesmemiz gerekir. Grafiğimiz -eksenini ( ) ( ) noktalarında ve -eksenini de ( ) noktasında keser. İkinci türev pozitif olduğundan bükeliğin önü ukarı doğrudur. Tabloa göre ( ) noktasından sonra fonksion artmakta ve için olmaktadır. Yani eğri birinci bölgee uzanmaktadır. Bunları aptığımızda aşağıdaki şekil elde edilir: 6 4-8 -7-6 -5-4 -3 - -1 1 3 4 5 6 7 - -4-6 -8-10 Şekil 13.8 13.6. ( ) fonksionunun grafi ini çiziniz. Çözüm: 1) Fonksionun tanım kümesi dir. ) Grafiğin -eksenini kestiği noktaları denklemininin çözümünden ve olarak bulabiliriz. Buna göre grafiğimiz - Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9
Şekil 13.9 Grafik Çizimi eksenini ( ), ( ), ( ) ve ( ) noktalarında keser. -eksenini de ( ) noktasında keser. 3) Fonksion bir polinom olduğundan asimtotu oktur. Sonsuzdaki durumuna bakalım. ( ) ( ) 4) ( ) olur. Türevin kökleri, dir. Buna göre, türevin işaret tablosunu aşağıda şekilde oluşturabiliriz. 5) dır. İkinci türevin kökleri de 6) Fonksionun değişim tablosu aşağıdadır. dir. 3 1 - -1 1-1 Şekil 13.9 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10
13.7. ( ) fonksionunun grafi ini çiziniz. Çözüm: Herşeden önce ( ) ( ) olduğundan ( ) fonksionumuz çift bir fonksiondur. O halde grafiğimizi birinci bölgede için çizip, -eksenine gore simetri alabiliriz. Şimdi ukarıdaki adımları takip edelim. 1) Fonksionun tanım kümesi { } dir. ) Grafiğimiz ve -eksenini kesmez. 3) ( ) olduğundan (-ekseni) ata asimtot ve olduğundan (-ekseni) düşe asimtotdur. 4) olduğundan dır. Dolaısıla fonksionumuz için azalandır. 5) Bu adımı ihmal edebiliriz. 6) Fonksionun değişim tablosu aşağıdadır. Fonksionun grafiğini için çizelim. Bu fonksion çift olduğundan -eksenine göre simetri alarak aşağıdaki grafiği elde ederiz. 4 3 1-3 - -1 1 3 Şekil 13.10 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11
Biresel Etkinlik Grafik Çizimi nin farklı değerleri için c fonksionunun grafiğinin nasıl değişeceğini araştırınız? 13.8. ( ) fonksionunun grafi ini çiziniz. Çözüm: 1) Fonksionun tanım kümesi { } dir. ) Tanım kümesinde ( ) olduğundan grafik -eksenini kesmez. Anı zamanda için ( ) tanımlı olmadığından grafik -eksenini de kesmez. 3) ( ) oldu undan doğrusu düşe asimtottur. ( ) ve ( ) oldu undan ata asimtot oktur. Di er asimtotu bulmak için fonksionunu ile bölelim. Bu durumda ( ) azabiliriz. O halde, nin e ik asimtotudur. 4) ( ) ( ) den olarak bulunur. Bu noktalardaki fonksion değerleri de ( ) ( ) dir. 5) ( ) olduğundan için ( ) olup, grafiğimizin bükeliğinin önü ( ) da aşağı doğru ve için ( ) olduğundan ( ) da ukarı doğru olacaktır. 6) Fonksionun değişim tablosu aşağıdaki gibidir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 1
4 3 1-5 -4-3 - -1 1 3 4 5-1 - -3-4 Şekil 13.11 Şekil 13.11 Şekil 13.11 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13
Özet Grafik Çizimi Bir fonksionun grafiğini kolaca çizebilmek için bu fonksionun asimtotlarını (eğer varsa), eksenleri kestiği noktaları, ekstramum noktalarını ve büküm noktalarını (eğer varsa), artan vea azalan olduğu aralıkları belirlemek kısaca değişimini inceleip bunu bir tablo ile göstermek önemlidir. Doğru ve eksiksiz bir değişim tablosu oluşturmak, fonksionun grafiğini çizmede bize en büük ardımcıdır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14
Ödev Grafik Çizimi fonksionunun değişimini inceleerek grafiğini çiziniz. Hazırladığınız ödevi sistemde ilgili ünite başlığı altında er alan ödev bölümüne ükleebilirsiniz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 15
DEĞERLENDİRME SORULARI Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında er alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplaabilirsiniz. 1. Aşağıdaki fonksionlardan hangisinin grafiği orijine göre simetriktir? a) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) e) ( ). ( ) fonksionunun eğik asimtotunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) 3. Aşağıda grafiği verilen ( ) fonksionu için şıklardan hangisi doğrudur? a) ( ) fonksionu artandır. b) ( ) fonksionu azalandır. c) ( ) fonksionu sadece ( ) aralığında artandır. d) ( ) fonksionu sadece ( ) aralığında artandır. e) ( ) fonksionu sadece ( ) aralığında azalandır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 16
4. 3. soruda grafiği verilen ( ) fonksionunun ata ve düşe asimtotlarının denklemleri aşağıdakilerden hangisidir? a) Bu fonksionun ata ve düşe asimtotu oktur. b), c), d), e), 5. 3. soruda grafiği verilen ( ) fonksionu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) ( ) fonksionu noktasında maksimuma sahiptir. b) ( ) fonksionu noktasında minimuma sahiptir. c) ( ) fonksionun maksimum ve minimum noktası oktur. d) ( ) fonksionu noktasında minimuma sahiptir. e) ( ) fonksionu noktasında minimuma sahiptir. Cevap Anahtarı 1.E,.D, 3.A, 4.E, 5.C Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 17
YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Kadıoğlu, E. ve Kamali, M, (009). Genel Matematik. Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yaınevi. ISBN: 978-975-8151-57-8. Baraktar, M., (007). Analize Giriş I (Diferansiel Hesap)ç. Ankara: Grafiker Yaıncılık. ISBN: 978-975-6355-34-3. Balcı, M., (1999). Matematik Analiz (1. Cilt). Ankara: Balcı Yaınları. ISBN: 975-6683-0-03. Steward, J., (007). Kalkülüs Kavram ve Kapsam (. Baskı). Ankara: TÜBA (çeviri). ISBN 975 8593 94 3. Haeussier, E. F., Paul, R. S. ve Wood, R., (010). Temel Matematiksel Analiz. Çev. Demir, S., Uzun, Ö., Balce, A. O. ve Çağlar, Ankara: A. Akademi Ya. Hiz. San. ve Tic. Ltd. Şti. ISBN: 978-975-6885-1-5. Chiang, A. C., (1986). Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri. Çev. Kip. E., Sarımeşeli, M. ve Adoğuş, O., Ankara: Teori Yaınları. Musaev, B., Alp, M., Mustafaev, N. ve Ekincioğlu İ., (003). Analiz I. Ankara: Tekağaç Elül Yaıncılık. ISBN: 975-6806-31-1. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 18