TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ (MAM004 ) Mukavemet Düzlemde Gerilme Dönüşümleri ve Bağıntıları Ders Kitabı : Mekanik Tasarım Temelleri, Prof. Dr. Nihat AKKUŞ Yardımcı Kanaklar: Mechanics of Materials, (6th Ed) F. P. Beer E. R. Johnston, Jr. J. T. DeWolf Mechanics of Materials (10th Ed.), R. C. HIBBELER Mukavemet - Ders Notları Doç. Dr. Akın AKTAŞ Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ Page 1 Konu içeriği ve Amaç Q z Genel ükleme durumunda, herhangi bir Q noktasını üç boutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bağımsız gerilme bileşeni gösterilebilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z. Söz konusu kübik eleman,, z eksenleri erine döndürülmüş,, z eksenlerine paralel alınsadı gerilme bileşenleri; σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z olur. Ve --z eksenlerindeki gerilmelerden farklı değerlere sahiptirler. Şimdi sorumuz şu: --z eksen takımındaki gerilme bileşenleri belli iken, - -z eksen takımındakiler bulunabilir mi? Cevap: Evet, gerilme dönüşüm bağıntılarıla vea Mohr ardımıla bulunabilir. Ancak biz burada sadece düzlem gerilme durumu için bu işlemleri apmaı öğreneceğiz. Yeri geldiği zaman 3 boutlu duruma dadeğineceğiz. z z Page 1
Düzlem Gerilme Düzlemde (, için) 3 bağımsız gerilme söz konusudur. σ, σ, τ 0 İnce bir plakada a düzlemde z z z 3 boutlu kübik eleman etkien kuvvetlerden dolaı düzlem gerilme oluşur. Yapısal bir elemanın vea makine parçasının dış/serbest üzeinde düzlem gerilme durumu (üzee ugulanmış dış kuvvet/kuvvetler oksa) aa çıkar. İnce cidarlı basınçlı tank ve tüplerde de düzlem gerilme durumu söz konusudur. Page 3 Düzlem Gerilme durumunda bir noktanın farklı düzledeki gerilme bileşenlerinin hesaplanması: Amacımız bir noktada - düzlede gerilmeler (σ, σ, τ ) belli iken, anı noktada farklı bir düzlemdeki (normali olan ve + ekseni ile q açısı apan K düzledeki) gerilme bileşenlerini (σ, τ ) bulmaktır. q - düzleden bakış K düzlemi Şimdi K düzleden bir kesim apıp çıkan parçanın Alanlarını inceleelim: Page 4
Şimdi çıkan parçanın statik dengesinden kuvvet dengelerini azalım: K düzlemi F 0 A σ bağıntısında θ erine θ+90 azalım F 0 A A Asin q sin q Asin q cos q sin q sinq K düzledeki normal gerilme sin q A A sin q A Asin q Asin q sin q ( )sin q (cos q sin q) cos( q 90 ) sinq sin( q 90 ) sin q cos q sin q K düzlee dik düzlemdeki normal gerilme K düzledeki kama gerilmesi Aslında bu formüllerle amacımıza ulaştık. Yani herhangi bir düzlemdeki gerilme bileşenlerinin elde ettik. Bundan sonra bu formülleri biraz daha düzgün formata getireceğiz ve bir geometrik ifade (Mohr Çemberi) elde edeceğiz. ( I ) ( II ) ( III ) Page 5 Trigonometrik dönüşüm bağıntıları kullanılarak q cinsinden denklemleri azmaa çalışalım: K düzlemi I, II ve III denklemlerinde erine koarsak; sin q sin q sin q (IV) (V) (VI) I, II ve III denklemlerinin q cinsinden ifadeleridir. Page 6 3
Mohr Çemberi: (IV) ve (VI) nolu denklemler eniden düzenlenip kareleri alınarak taraf tarafa toplanırsa parametrik bir daire denklemi elde edilir. Mohr Çemberi cos sin q q sin q cos q a Bir noktadaki tüm düzlemlerde gerilme durumunu gösteren geometridir. Aslında bir noktada sonsuz tane düzlem vardır. Ancak bu düzlemlerin hepsi bir çember üzerinde ifade edilebilir ve bu çemberde gerilme bileşenleri bulunabilir. R ekseni üzerinde bir çemberin denklee benzetilebilir. (b=0) ; R Page 7 Mohr çemberinin çizimi: Ölçekli çizildiğinde herhangi bir düzlemdeki gerilme bileşenleri çember üzerinden ölçülerek bulunabilir. Ölçekli çizilmez ise geometrik hesaplarla da bulunabilir. (Vea daha önce çıkardığımız formüller kullanılarak hesaplanabilir. > 0 (Mohr çemberinde) < 0 ( denklemlerde) σ, σ, τ belli iken o noktada mohr çemberi çizilebilir. Mohr Çemberi Çizim Sırası: 1. D1 ( ; ) noktası belirlenir.. D ( ; - ) noktası belirlenir. 3. D1-D birleştirilir. 4. C merkezli çember çizilir. Page 8 4
Asal Gerilmeler (Principle Stresses) Mohr Çemberine dikkat edilirse + eksenile q p açısı apan düzlemde normal gerilme diğer düzlemlere göre maksimumdur ( ma ) ve bu düzlemde kama gerilmesi sıfırdır. Bu düzleme ulaşmak için bulunduğumuz noktadan (D1 den) qp kadar dönülür. Gerçekte bu düzleme dik (+90 derece) düzlemde ise normal gerilme imumdur ( ). Bu özel gerilmelere asal gerilmeler (principal stress), düzlemlerine asal gerilme düzlemleri denir. Asal Gerilmeler: Asal gerilme düzlemleri: Page 9 Maksimum kama gerilmesi- ma : ma =R C D 3 (, ) D1(, ) R ma Asal gerilme düzlemlerile gerçekte 45 o, mohr çemberinde 90 o açı apan düzlemde ise kama gerilmelerin maksimum değeri ( ma ) bulunur. Bu düzlemdeki normal gerilme ise. dır. ma R (1) - vea Asal Gerilmeler cinsinden R ma ma Dikkat: düzlem gerilme durumunda (1) ve () formüllerinin kullanılabilmesi için () ma 0, 0 Şartının sağlanması gerekir. ma Bu şart sağlanmıorsa ma formülüle hesaplanmalıdır. Bunun sebebini anlamak için bir sonraki safadaki 3 boutlu mohr çemberini dikkatlice inceleelim. Page 10 5
Üç boutlu durumda, Mohr Çemberi: 3 boutlu gerilme durumunda, 3 tane asal gerilme vardır. 1 ma a 3 - Bu asal gerilmelerin arasında 3 çember çizilir. - Büük çemberin arıçapı ( R ma.) maksimum kama gerilmesine eşittir. ma R ma ma 1 3 ( I) Page 11 Örnek: Şekildeki düzlem gerilme durumu için Mohr Çemberini çizerek (a) asal gerilmeleri ve doğrultularını/düzlemlerini, (b) maksimum kama gerilmesini bulunuz. a-) 50 10 0 MPa Yarıçap: R CD1 30 40 50MPa ma =R=50MPa Asal gerilmeler ve düzlemleri : ma, R ma, ma OA OC CA 0 50 OB OC BC 0 50 tan q p 40 30 ma 70MPa 30 q p 6. 6 MPa Page 1 6
ma D(-10, 40) 40 b-) 0 ma, 0 olduğu için 3 boutlu eşdeğeri B -10 O C 50 ma A - 40 D1(50,40 ma 70 ( 30) ma 50MPa ma Page 13 Örnek: Şekildeki düzlem gerilme durumu için ; a) Mohr Çemberini çiziniz. b) asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz. c) normali + eksenile 30 açı apan üzedeki gerilmeleri bulunuz. d-) Maksimum kama gerilmesini bulunuz. a-) 100MPa, 60MPa, 48MPa Page 14 7
b-) 100 60 100 60 ma, 48 ma 80 5 13MPa 80 5 8MPa tan q p q p 67. 4 48.4 100 60 q p 33. 7 Page 15 c-) θ=30 deki gerilmeler Analitik formüllerden ( aşağı doğru negatif alınır) sin q 48.4MPa sin q 41.3MPa d-) Maksimum Kama gerilmesi, 0 ma 0 olduğu için, ma ma 13 66MPa. Page 16 8
Örnek: Yanda verilen gerilme durumu için; a) Mohr çemberini çiziniz. b-) Asal gerilmeler ve doğrultularını bulunuz c-) Maksimum kama gerilmesini bulunuz. d-) c düzledeki normal ve kama gerilmelerinin değerini hesaplaınız. c 60 MPa 45 MPa 70 10 MPa Cevaplar: b-) ma =144MPa, =36MPa, q8.15 o, c-) ma =7MPa, d-) =14MPa, =15.MPa, Burada analitik çözüm verilmiştir ma R ma Page 17 Eksenel ükleme için Mohr çemberi P, 0 A 45lik doğ. Saf burulma (pure torsion) durumu için Mohr çemberi için P A 0 Tc J 45lik doğ. Tc J için 0 Page 18 9