0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F F + + ( ) olduğuu gösteriiz. (b) Her > doğal sayısı içi EBOB(F, F + ) = olduğuu gösteriiz.. 000 oşuluu sağlaya tam sayılarıda aç taesi, 3 veya 5 ile bölümez. (5 P.) 3. Bir abı, biri 7 diğeri 55 litre su ala ölçeledirilmemiş ii ap yardımıyla tam olara litre suyla asıl doldurursuuz açılayıız. (0 P.) 4. (w x + 3y + z ) ifadesii açılımıda (a) Kaç terim vardır? (b) w x y z terimii atsayısı edir? (8 P.) (7 P.) 5. Türiyei 5 farlı şehiride 0 matematiçi bir toplatıda buluşmuşlardır. Bu matematiçilerde seçile herhagi 6 işili grup içeriside ayı sayıda yayıı ola e az ii matematiçii olduğu bilimetedir. Bua göre toplatıya atılalar arasıda ayı şehirde, ayı cisiyette ve ayı sayıda yayıı ola 5 matematiçii seçilebileceğii aıtlayıız.(5 P.) 6. S,I,N,A,V,Ç,O,K,G,Ü,Z,E,L harflerii tüm farlı dizilimleride aç taeside SINAV, ÇOK ya da GÜZEL sözcülerii görürüz. (5 P.) 7. (a) Verile bir x tamsayısıı asal çarpalarıı sayısı içi alamlı bir üst sıır belirleyiiz. (5 P.) (b) x, y tamsayı ve x y olsu. Ayrıca p bir asal sayı olma üzere p y ve p x ise p y x olduğuu aıtlayıız. (5 P.) Sıav süresi saattir. Başarılar dilerim. Yard. Doç. Dr. Emrah AKYAR
Kısa Çözümler. (a) üzeride tüme varım yötemii ullaırsa, = içi F = F F 3 + ( ), F = ve F 3 = olduğuda yuarıdai eşitli doğrudur. içi bu formülü doğru olduğuu abul edelim. Yai, F + = F F + + ( ) olsu. Bu durumda formülü + içi de doğru olduğuu gösterelim. Yuarıdai ifadei her ii tarafıa F + F + elerse, F+ + F +F + = F F + + F + F + + ( ) F + (F + + F + ) = F + (F + F + ) + ( ) F + F +3 = F + + ( ) F + = F + F +3 + ( ) + buluruz. O halde eşitli + içi de geçerlidir. Dolayısıyla her Z + içi eşitli geçerlidir. (b) Tersie abul edelim i, EBOB(F, F + ) = d > olsu. Bu durumda biliyoruzi bu sayıları farı F + F de d ile bölüür. Burada, F ile F de d ile bölüür (F = F + F ). Dolayısıyla F F farı d ile bölüür. Bu şeilde devam edece olursa e so olara F i d ile bölüdüğü soucua ulaşırız. F = olduğua göre d = olmalıdır. Çelişi! O halde varsayımımız hatalı bu sayılar aralarıda asal olmalıdır.. İçerme ve dışlama presibii (Iclusio-Exclusio Priciple) ullaaca olursa, S = {,, 3,..., 000} olsu. N(S) = 000 olur. Bir x S içi x i,3 ve 5 ile bölüebilme oşullarıı sırasıyla c, c ve c 3 ile gösterelim. Şimdi bu oşulları sağlaya elema sayılarıı hesaplarsa, [ N(c ) = 000 ] = 500, [ N(c ) = 000 ] 3 = 333, [ N(c 3 ) = 000 ] 5 = 00, [ N(c c ) = 000 ] 6 = 66, [ N(c c 3 ) = 000 ] 0 = 00, [ N(c c 3 ) = 000 ] 5 = 66, [ N(c c c 3 ) = 000 ] 30 = 33,
olduğuda, soucua ulaşılır. N(c c c 3 ) = N(S) [N(c ) + N(c ) + N(c 3 )] + [N(c c ) + N(c c 3 ) + N(c c 3 )] N(c c c 3 ) = 000 [500 + 333 + 00] + [66 + 00 + 66] 33 = 66 3. Euclid bölme yötemii ullaara 7 ve 55 sayılarıı e büyü orta böleii bulalım. EBOB(7, 55) = EBOB(4, 7) (55 = 3 7 + 4) = EBOB(, 4) (7 = 4 4 + ) = olur. Tersde gidece olursa, = 7 4 4 = 7 4 (55 3 7) = 3 7 4 55 elde ederiz. O halde 7 litreli ap ile 3 ez su oyup, 55 litreli ap ile 4 ez suyu boşaltırsa tam olara litre su elde ederiz. 4. Biom açılımıı geellemesi ola multiomial açılımı ( ) (x + x + + x ) = x,,...,,,..., x x + + + = olduğuu biliyoruz bua göre, (a) Terim sayısıı bulma içi + + 3 + 4 + 5 = delemii çözümlerii sayısıı bulmalıyız. Bu sayıı ise ( ) ( ) + 5 6 = = 80 5 4 olduğuu biliyoruz. (b) Yuarıdai formülde w x y z terimii atsayısıı ( ) () ( ) (3) () ( ) 4 = 7850400,,,, 4 elde ederiz (Eşitliği sol tarafıı ifade edilmesi yeterlidir). 5. Güverci deliği ileside şehirleri biride e az 4 işii atıldığıı biliyoruz (0 = 40 5 + ). Yie güverci deliği ileside ayı şehirde ola bu 4 işii e az ii ayı cisiyette olduğuu da biliyoruz (4 = 0 + ).
Tersie, ayı cisiyete sahip ola bu matematiçii e fazla 4 üü ayı sayıda yayıa sahip olduğuu abul edelim. Bu durumda, bu işi aşağıdaie bezer şeilde e az 6 farlı gruba ayrılabilir. I. Grup: 4 işi, a yayı+ II. Grup: 3 işi, a yayı+ III. Grup: 4 işi, a 3 yayı+ IV. Grup: işi, a 4 yayı+ V. Grup: işi, a 5 yayı+ VI. Grup: 4 işi, a 6 yayı+ VII. Grup: 3 işi, a 7 yayı 6 işi seçtiğimizde buları e az iisii yayı sayısı eşit olmalıydı. Oysa, her grupda bir işi seçerse buları yayı sayılarıı ayı olmadığı açıtır. Çelişi! O halde varsayımımız hatalı bu işi içide ayı sayıda yayıa sahip 5 matematiçi vardır. 6. A, SINAV elimesii buludura dizilimleri ümesii, A, ÇOK süzcüğüü buludura dizilimleri ümesii, A 3 ise GÜZEL sözcüğüü buludura dizilimleri ümesii göstersi. A i hesaplama içi sıav sözcüğüü te bir harf gibi düşüüp SINAV,Ç,O,K,G,Ü,Z,E,L harflerii dizilimii hesaplamalıyız. Burada A = 9! olur. Bezer seilde A =! ve A 3 = 9! olur. Ayrıca, A A = 7!, A A 3 = 5!, A A 3 = 7! ve A A A 3 = 3! olur. O halde, A A A 3 = A + A + A 3 ( A A + A A 3 + A A 3 ) + A A A 3 = 9! +! + 9! (7! + 5! + 7!) + 3! = 4063366 bize isteei verir. 7. (a) p, p,..., p asal sayılar olma üzere, x i x = p p p şelide asal çarpalarıa ayrıldığıı abul edelim. her i =,,..., içi p i olduğua göre, x elde ederiz. Burada log x buluur. (b) x y ise bir tamsayı olma üzere, y = x şelide yazılabilir. p y ve p x olduğua göre p olmalıdır. O halde p ( = y x ) soucua ulaşılır.
Numarası :..................................... 09..007 Adı Soyadı :..................................... MAT3 AYRIK MATEMATİK. ARASINAV SORULARI. Bu sıav her soru beş ve beşi tam atları ile pualaaca olursa aç farlı şeilde değerledirilebilir? (Sıavda 7 soru sorulmuştur, her soru mutlaa değerledirilmelidir ve sıav 00 üzeride değerledirilecetir.) 5 Pua. Bir isambil desteside her türde (upa, aro, sie, maça) e az bir ağıt buluaca şeilde 5 ağıt aç farlı şeilde seçilebilir.(isambil ağıtları, 5 adet artta oluşur. Bu elli ii ağıtta 4 tae simge vardır. Bu simgeler upa, maça, aro ve sietir. Her bir simgeye ait 3 art buluur. Bular (As) de 0 a adar sayılar ve ardıda vale, dama (ız) ve rua (papaz) olara sıralaır.) 5 Pua 3. Şele göre p otasıda q otasıa e ısa yolda 0 Pua (a) aç farlı şeilde gidilebilir? 4 (b) cd üzeride geçme oşuluyla aç farlı q şeilde gidilebilir? 3 e f (c) ab, cd ve e f yollarıı e az biriside geçme oşuluyla aç farlı şeilde gidilebilir? (d) ab, cd ve e f yollarıı hiç biriside geçmede aç farlı şeilde gidilebilir? 0 p a c b 0 3 4 5 6 7 d 4. X = {a, b, c, d, e} ümeside Y = {,, 3} ümesie aç farlı örte fosiyo taımlaabilir? 5 Pua 5. boyutlarıdai bir satraç tahtasıı domio taşları ile aç farlı şeilde örtebilirsiiz? (Domio taşı, didörtge şelide, satraç tahtasıı ii aresi boyutudadır ve domio taşları satraç tahtası üzerie bir beyaz ve bir siyah areye de gelece şeilde yerleştirilebilir. Ayrıca domio taşları özdeş abul edilecetir. ). 5 Pua 6. {,,..., 3} ümeside seçile + sayı içide her zama aralarıdai far e fazla ola ii tamsayı vardır. Kaıtlayıız. 0 Pua 7. F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, F +m = F F m + F F m+ özdeşliğii aıtlayıız. 0 Pua Sıav süresi saattir. Sıavda ders otlarıı ullaımı serbest aca alış-verişi yasatır. Başarılar dilerim. Yard.Doç.Dr. Emrah AKYAR
KISA ÇÖZÜMLER. Her bir 5 puaı bir obje olara düşüece olursa, problem 0 (00/5 = 0) özdeş objei 7 utuya ( her ) utuya e az obje gelece şeilde dağılımı problemie döüşür. Bu sayıı 0 da = 73 olduğuu biliyoruz (Sayıı hesaplamasıa gere yo). 7. Kağıt sayısı 5 ve grup sayısı 4 olduğua göre bir ( grupta ) ağıt seçilece demetir. İi 4 ağıdı seçileceği bu grubu 4 grup içeriside farlı şeilde seçebiliriz. Grubu belirledite sora bu gruptai 3 ağıtta taesi farlı şeilde seçilebilir. Geriye ( ) 3 ( ) 3 ala 3 ağıt ise her bir grupta farlı şeilde seçilebilir. O halde soruu cevabı olur. Bu soruyu ( 4 )( 3 ) [( 3 )] 3 = 685464 c : Kupa buludurmaya tüm 5 artlı eller c : Karo buludurmaya tüm 5 artlı eller c 3 : Sie buludurmaya tüm 5 artlı eller c 4 : Maça buludurmaya tüm 5 artlı eller şelide taımlayara içerme dışlama presibii ullaara da çözebiliriz. 3. p otasıda q otasıe e ısa yolda gitme içi her seferide ya Doğuya (sağa) ya da Kuzeye (yuarı) gitmemiz gereir. Bua göre her seferide sadece doğuya veya uzeye hareet edere p otasıda q otasıa gidilebilece tüm yolları ümesii S ile gösterirse, (a) D, D, D, D, D, D, D, K, K, K, K harflerii tüm dizilimlerii sayısı istee cevaptır. Bu sayı S =! 7!4! = 330 olur. (b) Buu içi öce p otasıda c otasıa, sora mevcut te yolda d otasıa ve so olara ise d otasıda q otasıa gitmeliyiz. Bu şeildei farlı yolları sayısı ise 5! 3!! 5! 3!! = 00 buluur. (c) c ab yoluu ullaa rotaları, c cd yoluu ullaa rotaları, c 3 ise e f yoluu ullaa rotaları ümesi olsu. Bua göre (b) de c =!! 3! 7! 4!3! = 05, c = 00 ve c 3 = 4!3! 7! 3!!! = 05 olur. Bezer şeilde c c, c c 3 ve c c 3 sayılarıı da hesaplayabiliriz. c c =!! 3! 5! 3!! = 30, c c 3 =!! 3! 3!!! 3!!! = 7 ve c c 3 = 3!! 5! 3!!! = 30 olur. Şimdi so olara c c c 3 sayısıı hesaplayalım. Bezer şeilde c c c 3 =!! 3! 3!!! = 9 buluruz. Burada soucu elde ederiz. c c c 3 = ( c + c + c 3 ) ( c c + c c 3 + c c 3 ) + c c c 3 = (05 + 00 + 05) (30 + 7 + 30) + 9 = 3
(d) İçerme dışlama presibide c c c 3 = S ( c + c + c 3 ) + ( c c + c c 3 + c c 3 ) c c c 3 = 330 (05 + 00 + 05) + (30 + 7 + 30) 9 = 98 4. X ümeside Y ümesie bir fosiyo X ümesii her elemaıı Y ümesii te bir elemaı ile ilişiledire bir uraldır. X ümeside Y ümesie taımlı tüm fosiyoları ümesii S ile gösterire, S = 3 3 3 3 3 = 3 5 = 43 olur. Y ümesii her elemaı X ümesidei e az bir elemaı görütüsü ise fosiyoa örte fosiyo deir. Şimdi X ümeside Y\{}, Y\{} ve Y\{3} ümelerie taımlaabilece tüm fosiyoları ümelerii sırasıyla c, c ve c 3 ile gösterelim. Bezer olara, c = c = c 3 = = 5 = 3 olur. c ise X ümeside Y ümesie taımlı ve i görütü ümeside buluduğu fosiyoları ümesii göstersi. Bezer şeilde, c ve c 3 ise sırasıyla ve 3 ü görütü ümeside buludura fosiyoları ümesi olsu. O halde c c c 3 sayısıı hesaplamalıyız. c c X ümeside {3} ümesie taımlı tüm fosiyoları sayısı, c c 3 X ümeside {} ümesie taımlı tüm fosiyoları sayısı ve c c 3 X ümeside {} ümesie taımlı tüm fosiyoları sayısı olacağıda c c = c c 3 = c c 3 = 5 = olur. So olara c c c 3 ise X ümeside ye taımlı fosiyoları sayısı olacağıda c c c 3 = 0 dır. O halde içerme dışlama presibide, c c c 3 = S ( c + c + c 3 ) + ( c c + c c 3 + c c 3 ) c c c 3 = 43 (3 + 3 + 3) + ( + + ) 0 = 50 soucua varılır. 5. Kaıtı tümevarım ile yapalım. Aşağıda görüldüğü gibi = içi satraç tahtasıı, = içi ve = 3 içi 3 farlı şeilde örtebiliriz. = 4 içi sayıı 5 olacağıı görüüz. Şimdi içi mümü ola tüm farlı örtülüşleri sayısıı G ile göstelerim. + içi iceleyelim. İl adımda domio taşıı diey pozisyoda oyarsa, geriye sutu alır ve buları G farlı şeilde örtebiliriz. Eğer il adımda domio taşıı yatay oyarsa bu durumda geriye sutu alır ve buları G farlı şeilde örtebiliriz. O halde + içi G + = G + G olur. O halde boyutlarıdai bir satraç tahtasıı domio taşları ile G = F + farlı şeilde örtebiliriz. 6. Verile {,,..., 3} ümesii {,, 3}, {4, 5, 6},..., {3, 3, 3} şelide parçaya ayıralım. Seçeceğimiz + sayıda e az ii taesii her zama bu alt ümeleri biriside seçmeliyiz (Güverci deliği ilesi). Bu alt ümeler içidei sayılar arasıdai far e fazla ii olduğuda aıt tamamlamış olur. 7. Kaıtı m üzeride tümevarım ile yapalım.
m = içi F + = F F + F F = F + F olduğuda doğrudur. m = içi F + = F F + F F 3 = F + F = F + F + F = F + + F olduğuda doğrudur. m = + içi ifade doğru olsu. m = + içi doğru olduğuu gösterelim. F + = F F + F F + ve F ++ = F F + + F F + eşitlilerii taraf tarafa toplarsa, istee F ++ = F F + + F F +3 özdeşliğii elde ederiz.
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 07..008 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Özdeş olmaya 0 topu ii gruba ayırı. Daha sora bu gruplarda top sayısı de fazla ola bir grubu seçip, ou terar ii gruba ayırı. Daha sora var ola tüm gruplar içide terar top sayısı de fazla ola bir grubu seçip bu grubu ii gruba ayırı. Bu işlemi her bir grupta te bir top alıcaya adar devam ettiri. Bu durumda (a) İiye ayırma işlemi aç ez terarlaır. (b) Bu işlemi ( ) 0 ( ) 9 ( ) 3 farlı şeilde gerçeleştirilebileceğii aıtlayıız. ( ) (0 Pua). 50! sayısı aç basamalıdır? Bu sayı 3-lü sistemde yazıldığıda aç basamalı olur?(0 Pua) ( log 50! 4.08, log 3 50! 35.50, l 50! 48.477, log 0 50! 64.483 ) 3. Aşşağıdai tablolarda "KAHRAMANMARAŞ" sözcüğüü aç farlı şeilde ouyabiliriz. (a) K A H R A M A N A H R A M A N M H R A M A N M A R A M A N M A R A M A N M A R A M A N M A R A Ş (b) K A H R A A H A M A N M H R A M A N M A R A M N M A R A A N M A R A M N M A R A Ş (5 Pua) 4. 0 ve lerde oluşa bir arater dizisii (strig) il yarısıdai leri sayısı sayıı iici yarısıdai leri sayısıa eşit ise bu diziye degeli diyelim. Öreği, 0000 degeli olmasıa arşı, 00000 degeli değildir. Bu şeilde arater uzuluğuda aç farlı degeli arater dizisi vardır? (5 Pua) 5. Düzlemde (x, y) oordiatları tamsayı ola 5 farlı otayı birleştire doğru parçalarıda e az birii orta otasıı oordiatları da tamsayıdır. Kaıtlayıız. (0 Pua) 6. Düzlemde iişer iişer paralel olmaya ve herhagi üçü ayı otada geçmeye doğruu düzlemi + + bölgeye ayırdığıı aıtlayıız. (5 Pua) 7. Şeer bayramıda apıızı çala 4 çocuğa her biri özdeş ola 40 bayram şeeriizi, (a) Öyü ve Ber de (ii ardeş) toplamda e fazla 5 şeer olma oşuluyla, (b) Her biri 0 şeer alma oşuluyla, (c) Her biri e az 3 şeer alma oşuluyla aç farlı şeilde paylaştırabilirsiiz. (5 Pua) 8. 4 ere ve 6 ızda oluşa 0 işili bir grup yuvarla bir masa etrafıa Üzmez i (erelerde biri) yaıa ızları oturması oşuluyla aç farlı şeilde oturabilirler. (0 Pua) Sıavda ders otlarıı ullaımı serbest aca alış-verişi yasatır. Sıav süresi saattir. Başarılar dilerim. Yard.Doç.Dr. Emrah AKYAR 008-009 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 07..008 ÇÖZÜMLER. (a) İşlemi soda başa doğru ele alaca olursa, e so adımda tüm gruplarda top olacatır. Bir öcei adımda bir grupta, diğer gruplarda top olacatır. Bu şeilde devam edece olursa, istee cevap 9 buluur. (b) Yie işlemi soda başa doğru ele alaca olursa, e so adımda ortaya çıa 0 adet li grupta ii taesii ( 0 ) farlı şeilde seçip birleştirebiliriz. Bir öcei adımda ise elimizdei 9 grupta ( taesi li) taesii ( 9 ) farlı şeilde seçebiliriz. Böyle devam edece olursa, bu işlemi ( ) ( ) ( ) ( ) 0 9 3 farlı şeilde yapılabileceğii söyleyebiliriz.. 0 lu sistemde -basamalı bir tamsayısı içi 0 < 0 olduğuu biliyoruz. O halde, 0 50! < 0 log 0 log 50! < log 0 ( ) log 0 log 50! < log 0 ( ) log 50! < olur. Burada = [ log 50! ] + = 64 + = 65 basamalı olur. Bezer şeilde 50! sayısı 3-lü sistemde, [ log 3 50! ] + = 35 + = 36 basamalı olur. 3. (a) Tablou veriliş şelie göre, tablou. satır,. sütuuda başlayara, her seferide sağa ya da aşağıya gidere 6. Satır 8. sütua ulaştığımızda "KAHRAMANMARAŞ" sözcüğüü ouyabiliyoruz. Bua göre 7 ez sağa, 5 ez de aşağıya gitmeliyiz. O halde istee sayı, (7 + 5)! = 79 7! 5! olur. Ya da şöyle de düşüebiliriz. 7 ez sağa 5 ez de aşağıya gitmemiz geretiğide bu 7 + 5 = adımda 7 sağ (ya da 5 aşağı) seçmeliyiz. O halde cevap ( ) ( ) 7 + 5 7 + 5 = = 79 7 5 olur. (b) Tablou her bir i. satır, i. sütuua,. satır,. sütuda başlayara aç farlı şeilde ulaşabiliyorsa bu sayıyı tablou ilgili satır ve sütuua yazalım. Elbette i. satır i. sütua ya sağda ya da yuarıda ulaşabiliriz. Bu durumda i. satır i. sütua i. satır i. sütua ulaşma sayısı ile j sütu, i. satıra ulaşma sayılarıı toplamı adar farlı şeilde ulaşabiliriz. Yai, i. satır, i. sütua ulaşma sayısı f (i, j) ise f (i, j) = f (i, j) + f (i, j ) olur. Eğer tablou i. satır j. sütuu boş ise f (i, j) = 0 almalıyız. Böylece tabloyu olayca oluşturabiliriz. 008-009 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 07..008 Burada cevap 90 elde edilir. 0 0 0 0 0 3 3 4 6 8 0 0 4 7 0 6 4 4 34 0 7 7 3 7 5 85 0 7 4 7 54 05 90 4. Degeli dizii il yarısıdai leri sayısıı ile gösterelim. Bu durumda ayı zamada iici yarıdai leri de sayısı olur. ı alabileceği değerler 0,,,..., olduda toplam sayı ( )( ) 0 0 + ( )( ) ( )( ) + + = olur. (Baıız Ders Kitabı, (3.4) eşitliği.) ( ) + 0 ( ) + + ( ) = 5. Her bir otaı oordiatları içi aşağıdai 4 farlı durum söz ousudur: (Te, Te), (Çift, Çift), (Te, Çift), (Çift, Te) =0 ( ) = ( ) Bizim 5 otamız olduğua göre bu otalarda e az ii taesi güverci deliği ilesie göre ayı tipde olmalıdır. Bu otaları A = (a, b) ve B = (c, d) ile gösterece olursa, a + c çift sayı ve b + d çift sayı olur. O halde bu A ve B otalarıı birleştire doğru parçasıı orta otasıı oordiatları ( a+c ) tamsayı olur., b+d 6. Kaıtı tümevarım yötemi ile yapalım. Bir doğruu ( = ) düzlemi ii parçaya ayırdığıı biliyoruz. + + = olur. = içi düzlemi 4 parçaya ayrılacağı da açıtır. Gerçete de + + = 4 olur. = 3 içi baaca olursa; çizilece 3. doğru, öcei doğruyu dolayısıyla da 3 bölgeyi esecetir. Yai bu üç bölgei her birisi ii yei bölge oluşturur. Başa bir ifadeyle, öcei bölge sayısıa 3 bölge daha eleir. Burada toplam bölge sayısı 4 + 3 = 7 olacatır. doğru içi formülü geçerli abul edelim. Yai, doğru içi bölge sayısı + + olsu (Tümevarım hipotezi). + içi bölge sayısıı ( + ) + ( + ) + olduğuu aıtlayalım. = 3 durumua bezer olara, ( + ). doğruyu çıarıp yeide çizece olursa, bu doğru öcei doğruu herbirisii dolayısıyla da + bölgeyi esecetir. Bir başa ifadeyle bu + bölgei herbirii iiye ayrıcatır. Yai, esi bölge sayısıa + bölge daha eleecetir. O halde toplam bölge sayısı olur. + + + ( + ) = + + + + = ( + ) + ( + ) + Böylece formülü her N sayısı içi doğru olduğu aıtlamış olur. 008-009 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 07..008 7. (a) Soruya göre Öyü ve Ber i toplamda sahip olacağı şeer sayısı 0,,..., 4, 5 olabilir. Şimdi Öyü ve Ber i m tae (0 m 5) tae şeer alıp, ala şeerleri diğer çocular tarafıda paylaşıldığı durumları sayısıı bulalım. m şeeri Öyü ve Ber tarafıda ( m+ ) farlı şeilde paylaşılabileceğii biliyoruz. Kala 40 m şeer ise diğer çocular arasıda ( (40 m)+ ) farlı şeilde paylaşılabilir. Bu durumda 40 şeer, Öyü ve Ber tam olara m şeer alaca şeilde ( m+ farlı şeilde paylaştırılabilir. Soruu cevabıı bulma içi m = 0,,..., 5 durumlarıı ayrı ayrı hesaplayıp toplarsa souç olur. 5 m=0 ( )( ) m + (40 m) + = 46 (b) Şeerler özdeş olduğuda sadece şeilde her bir çocuğa 0 şeer verilebilir. )( (40 m)+ ) (c) Her bir çocuğa öce 3 er şeer verelim. Sora geriye ala 40 3 4 = 8 şeeri paylaştıralım. O halde cevap ( 8+4 4 ) = (3 3 ) = 4495 olur. 8. Öce Üzmez i ii yaıa ii ızı oturtalım. Bu işlemi 6 5 farlı şeilde yapabiliriz. Geriye ala 7 işi ise 7! farlı şeilde oturabileceğide istee cevap 6 5 7! = 500 olur. 008-009 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 06..009 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. 0 Alma, 0 İgiliz, 0 Frasız ve 0 Tür 5 işili üçü bir uçağa her ülede e az bir işi olma üzere aç farlı şeilde biebilir (uçağı içerisidei oturma düzei öemli değil)?. {,,..., 0} ümesidei sayılar bir çember üzerie rastgele yerleştirildiğide toplamları e az 7 ola (çember üzeride) ya yaa 3 sayı vardır aıtlayıız. 3. S = {,,..., } ümesii aç alt ümesi ardışı ii tamsayı içermez? 4. F, ( N) Fiboacci sayılarıı F = 5 [( formülü ile verilebileceğii aıtlayıız. + ) 5 ( ) ] 5 5. 0 ( ) + 0 ( ) + toplamı edir? Formüle edip aıtlayıız. ( ) ( ) + +( ) + ( ) 6. (a) (x + x + +x ) ifadesii açılımıda aç terim vardır? (b) (x x + 3x 3 4) ifadesii açılımıda x x4 x3 3 ü atsayısı edir? 7. 0 6 sayısıda üçü ve basamaları toplamı 7 ola aç pozitif tamsayı vardır? Tüm sorular 5 puadır. Sıavda ders otlarıı ullaımı serbest aca alış-verişi yasatır. Sıav süresi saattir. Başarılar dilerim. Doç.Dr. Emrah AKYAR 009-00 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 06..009 ÇÖZÜMLER. 4 farlı ülede 5 işi seçileceğie göre bir ülede ii işi olaca demetir. Bu üle 4 üle arasıda ( 4 ) farlı şeilde seçilir. Bu üleyi belirledite sora burada işi (0 ) farlı şeilde seçilir. Geriye ala 3 işi ise her bir ülede ( 0 ) farlı şeilde seçilir. O halde cevap, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( )] 4 0 0 0 0 4 0 0 3 = [= 80000] elde edilir.. Sayıları çember üzeridei sıralarıa göre x, x,..., x 0 diye adladırırsa, ardışı üçlüler {x, x, x 3 }, {x, x 3, x 4 }, {x 3, x 4, x 5 },..., {x 8, x 9, x 0 }, {x 9, x 0, x }, {x 0, x, x } olur. Bu üçlüleride toplamları, x + x + x 3, x + x 3 + x 4, x 3 + x 4 + x 5,..., x 8 + x 9 + x 0, x 9 + x 0 + x, x 0 + x + x olur. ile 0 arasıdai her bir sayı bu toplamlarda üçer ez yer aldığıda bu üçlüleri toplamları (x + x + x 3 )+(x + x 3 + x 4 )+ +(x 0 + x + x ) = 3 (++3+ +9+0) = 3 0 = 65 buluur. Bu 0 üçlüde e az birisii toplamıı e az 7 olduğuu göstermeliyiz. Güverci deliği ilesii ullaırsa, 0 tae üçlüü toplamı 65 (güverciler) olduğua göre ve 65 > 6 0 (güverci deliği) olduğuda bu üçlülerde e az birisii toplamı 6 da büyü yai e az 7 olmalıdır. 3. (Ders itabı review exercises 4.3.6) Bazı değerleri içi ardışı ii elema buludurmaya alt ümeleri sayısıı bulalım. = 0 ise S = olduğuda ardışı ii elema içermeye tae alt üme vardır ( ). = ise ardışı ii elema buludurmaya alt ümeler taedir ( ve{}). = ise ardışı ii elema buludurmaya alt ümeler 3 taedir (, {} ve {}). = 3 ise ardışı ii elema buludurmaya alt üme sayısı 5 olur (, {}, {}, {3}, {, 3}). = 4 ise ardışı ii elema buludurmaya alt üme sayısı 8 olur (, {}, {}, {3}, {4}, {, 3},{, 4}, {, 4}).. Elde edile sayılar Fiboacci sayılarıdır. Şimdi S = {,,..., } ümesii ardışı ii elema buludurmaya alt ümelerii sayısıı A ile gösterelim. Kaıt yötemii olay alaşılabilir olması içi öce = 4 içi S = {,, 3, 4} ümesii ardışı ii elema buludurmaya alt ümelerii sayısıı yai A 4 sayısıı hesaplayalım. Bu alt ümeleri aşağıdai gibi ii gruba ayırabiliriz. 009-00 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 06..009 4 ü buludura ve ardışı elema içermeye alt ümeler 4 ü buludurmaya ve ardışı elema içermeye alt ümeler {4}, {, 4}, {, 4} } {{ } A, {}, {}, {3}, {, 3} } {{ } A 3 4 ümelere ait olduğuda 3 ait olmamalı. Bu durumda Bu ümeler {,, 3} ümesii ardışı ii elema içermeye alt {, } ümesii ardışı ii sayı ümeleri olur. Buları sayısı içermeye her bir alt ümesie da varsayımımız gereği A 3 olur. 4 ü eliyoruz. Buları sayısı ise varsayımımızda A olur. Böylece A 4 = A + A 3 olur. Yuarıdai yötemi 4 yerie alıp diğer sayıları da ve ile değiştirirse A = A + A olur. A 0 = ve A = olduğuda A = F + olur. 4. (Ders itabı çözümlü alıştırma 4.3.) 5. (Ders itabı review exercises.5.) Bazı değerleri içi toplamları yazalım: ( ) ( ) = 0 + ( ) 0 ( ) ( ) = 0 + + ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 = 3 0 + + + 3 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 4 4 4 4 4 = 4 0 + + + 3 + 4 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 5 5 5 5 5 = 5 0 + + + 3 + 4 + 5 0 3 4 5.. = = 0 = 4 = = = 3 = 3 = 3 4 = 80 = 4 5. o halde yuarıda şu öermeye varabiliriz. Kaıtı farlı yötemlerle yapabiliriz: ( ) =, N =0 Tümevarım Yötemi: =,, 3, 4, 5 içi formülü doğru olduğu yuarıda gösterildi. ( ) içi formülü 009-00 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 06..009 doğru olduğuu abul edelim ve içi de doğru olduğuu gösterelim. ( ) =0 = = = =0 =0 =0 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + = =0 =0 ( ) ( ) (+) ( ) ( ) + =0 ( ) = =0 =0 = ( ) ( )+ = olduğuda içi de doğrudur. O halde tümevarım yötemi gereği her doğal sayısı içi formül doğrudur. Gerçel aalizi yötemleri ile: Her x gerçel sayısı içi (+ x) = d dx [(+ x) ] [ = d ( ] )x dx =0 ( ) = x =0 olduğuda x = alırsa, ( ) = soucua ulaşırız. =0 Ramaza Özgür ü Çözümü: ( ) ( ) S = 0 + 0 olsu. S+S = S = + ( ) ( ) + +( ) + ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + + +( ) +( ) + [ 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )] + +( ) + + + + 0 0 olur. ( 0 ) = ( ), ( ) = ( ),...,( / ) = ( / ) olduğuda ( ) ( ) ( ) ( ) S = + + + + [( ) ( ) ( ) ( ) ( )] = + + + + + 0 } {{ } olur. Burada buluur. S = S = + ( ) 0 ( )] 009-00 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 06..009 Kombiatoryal yötemlerle: obje 3 re ile relerde birisi sadece ez diğerleri ise oşulsuz ullaılma üzere aç farlı şeilde boyaabilir? sorusuu cevabıı bulmaya çalışalım. Öce sadece bir ez ullaılaca re ile boyaaca ola objeyi seçelim buu ( ) = farlı şeilde yapabiliriz. Geriye ala obje ise regimiz olduğuda farlı şeilde boyaabilir. O halde toplam farlı şeilde boyayabiliriz. Şimdi yötemi değiştirelim. objede i taesii alalım ve buları içide birii seçip sadece ez ullaılaca ola boya ile boyayalım. objede i taesi ( i ) farlı şeilde seçilebilir. Buları içide biri ise ( i ) = i farlı şeilde seçilebilir. Tüm i ler içi bu yötemi uygularsa toplam sayıyı buluruz bu sayı da i=0 i( i ) olur. 6. (a) Multiomial Teoremie göre, ( ) (x + x + +x ) = x,,...,,,..., x x 3 3 x + + + = olduğua göre + + + = delemii egatif olmaya tamsayılardai çözümlerii sayısı bize isteei verir. Bu sayıı da ( + ) olduğuu biliyoruz. (b) Yie Multiomial Teoremide ( ) (x x + 3x 3 4) = x,, 3, 4,, 3, ( x ) (3x 3 ) 3 ( 4) 4 4 + + 3 + 4 = =, = 4, 3 = 3 verildiğide 4 = olur. Hepsi yerie yazılırsa ( ) 4 3 3 ( 4) ( ) x, 4, 3, x4 x3 3 =! ( )4 3 3 ( 4)! 4! 3!! x x4 x3 3 buluur. 7. 0 6 da üçü her pozitif x tamsayısı x = x 5 0 5 + x 4 0 4 + x 3 0 3 + x 0 + x 0 + x 0 0 0, x i {0,,..., 9}, i = 0,,..., 5 şelide te türlü yazılabilir. Bu durumda soru x 5 + x 4 + x 3 + x + x + x 0 = 7, 0 x i 9, i = 0,,..., 5 ( ) delemii egatif olmaya aç tamsayı çözümü vardır şelide değiştirilebilir. O zama soruyu içerme dışlama presibii ullaara çözebiliriz. Şimdi S ile hiç bir oşul olmasızı ( ) delemii egatif olmaya tüm tamsayı çözümlerii ümesii gösterelim. Bu durumda S = ( 7+6 6 ) = ( 5 )[= 6334] olur. i = 0,,..., 5 olma üzere c i ile ( ) delemii x i > 9 oşulu ile egatif olmaya tüm çözümleri ümesii, i, j {0,,..., 5} içi c i c j ile ( ) delemii x i > 9 ve x j > 9 oşulu ile egatif olmaya tüm çözümleri ümesii gösterelim. i, j, {0,,..., 5} içi c j c j c ve diğer ümeler de bezer olara taımlası. ( ) ( ) 7+6 Bua göre i {0,,... 5} içi c i = = = 79 olur. 6 5 009-00 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 06..009 i, j,, l, m, {0,,..., 5} içi ise c i c j = c i c j c = c i c j c c l = c i c j c c l c m = c i c j c c l c m c = 0 olduğu açıtır. Böylece elde edilir. 5 ) c 0 c c c 3 c 4 c 5 = S ( c i = i=0 ( ) 6 5 ( ) [= 58] 5 009-00 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 05..00 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI. işlemii soucuu formüle edip iddiaızı aıtlayı- + 3 + 3 4 + + ( ) ız. SORULAR. {,, 3,..., } ümesii aç tae alt ümeside üç tae ardışı sayı bulumaz? 3. F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, (a) F + F 4 + F 6 + +F = F + eşitliğii doğruluğuu araştırıız. (b) F 00 ve 00 sayılarıda hagisi daha büyütür. Açılayıız. 4. A, B ve C işileri aşağıdai gibi yazı tura atıyorlar: A ve B ayı ada yazı tura atıyorlar. C işisi A ı soucua baıyor ve A tura attıysa C de yazı-tura atıyor, A yazı attıysa B i soucuu ullaıyor. Bua göre (a) A ı tura ve B i yazı atması. (b) A ı yazı ve C i yazı atması. (c) B i tura ve C i yazı atması. olay çiftlerii bağımlı olaylar mı yosa bağımsız olaylar mı olduğuu iceleyiiz. 5. Elemaları 60 da üçü ola ve 6 farlı pozitif tamsayıda oluşa ümeyi S ile gösterelim. Bu durumda a+b = c+d olaca şeilde birbiride farlı a, b, c, d S öğelerii varlığıı aıtlayıız. ( 6. x+ 00 ifadesii açılımıda x) (a) Varsa, x 0 ifadesii atsayısı edir? (b) Varsa, x 5 ifadesii atsayısı edir? 7. A,B,C ve D harflerii her biri e az bir ez ullaılma oşuluyla arater uzuluğuda, bu harflerde oluşa aç farlı arater dizisi (strig) oluşturulabilir? 8. Her biri özdeş tae madei TL tae çocuğa hiç birisi paraları yarısıda fazlasıı almayaca şeilde aç farlı biçimde dağıtılabilir?.,6.7. ve 8. soru 0 pua, diğer sorular 5 puadır. Sıavda ders otlarıı ullaımı serbest aca alış-verişi yasatır. Sıav süresi saattir. Başarılar dilerim. Doç.Dr. Emrah AKYAR 00-0 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 05..00. i bazı değerleri içi toplamıı hesaplayalım: Tümevarım yötemiyle olayca olduğuu doğrulayabilirsiiz. ÇÖZÜMLER + 3 + 3 4 + + ( ) = = + 3 = 3 = 3 + 3 + 3 4 = 3 4 = 4. + 3 + 3 4 + + ( ) =. (Ders itabı alıştırma 4.3.7) i bazı değerleri içi {,,..., } ümesii istee bazı alt ümelerii yazarsa, Alt ümeler Sayısı, {}, {}, {}, {, } 4 3, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3} 7 4, {}, {}, {3}, {4}, {, }, {, 3}, {, 4}, {, 3}, {, 4}, 3 {3, 4}, {,, 4},{, 3, 4} 5, {}, {}, {3}, {4}, {5}, {, }, {, 3}, {, 4}, {, 5}, 4 {, 3}, {, 4}, {, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {,, 4}, {,, 5}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 4, 5}, {, 3, 5}, {, 4, 5}, {,, 4, 5} 6, {}, {}, {3}, {4}, {5}, {6}, {, }, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {, 6}, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {,, 4}, {,, 5}, {,, 6}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 3, 6}, {, 4, 5}, {, 4, 6}, {, 5, 6}, {, 3, 5}, {, 3, 6}, {, 4, 5}, {, 4, 6}, {, 5, 6}, {3, 4, 6}, {3, 5, 6}, {,, 4, 5}, {,, 4, 6}, {,, 5, 6}, {, 3, 4, 6}, {, 3, 5, 6},{, 3, 5, 6} 44. olur. Diat edilece olursa, 3 = +4+7, 4 = 3+7+4, 44 = 4+3+7,... Şimdi buu aıtlayalım: {,,..., } ümesii istee oşulu sağlaya alt ümelerii sayısı A olsu. A istee oşulu sağlaya alt ümelerde birisi ise ii durum söz ousudur:. 00-0 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 05..00 A Bu durumda {,,..., } ümesii istee oşulu sağlaya alt ümeleri adar bu alt ümelerde vardır ve buları sayısı A taedir. A Bu durumda da ii durum söz ousu olur: A Bu durumda{,,..., } ümesii istee oşulu sağlaya her alt ümesie yi elerse bu şeildei alt ümeleri tümüü elde ederiz. Buları sayısı da A taedir. A Bu durumda A ve A olduğuda A olmalıdır. O halde {,,..., 3} ümesii istee oşulu sağlaya her alt ümesie ve i elerse bu şeildei ümeleri tümüü elde ederiz. Buları sayısı da A 3 olur. O halde A = A + A + A 3 yieleme formülü elde edilir. Yuarıda i =,..., 6 içi A i değerleri hesapladığıa göre elde edilir. A =, A = 4, A 3 = 7, A = A + A + A 3 ( > 3) 3. (a) Kaıtı tümevarım yötemiyle yapalım. = içi = F = F 3 = = içi verile eşitli doğru olsu. Yai F + F 4 + F 6 + +F = F + eşitliği doğru olsu. + içi eşitliği doğru olduğuu gösterelim. F + F 4 + F 6 + +F } {{ } +F (+) = F + + F (+) F + = F + + F + = F +3 = F (+)+ O halde tümevarım yötemi gereği verile eşitli her doğal sayısı içi geçerlidir. (b) F = 5 [( + ) 5 ( 5 F 00 = 5 ( ) ] olduğua göre, + ) 00 5 ( ) 00 5 olur. Ayrıca, < 5 < 0 olduğuda ( ) 00 5 0 olur. (.653850 0 ) O halde + 5.68 < olduğuda ( F 00 + 5 5 olur. Yai F 00 < 00. ) 00 < ( + ) 00 5 < 00 00-0 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 05..00 4. C i soucu A ya bağımlı gibi gözüse de aslıda B ye bağımlıdır. Gerçete de öre uzayıı yazaca olursa, olur. Ayrıca, S = {TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YYY} (T : Tura, Y : Yazı) olduğua göre A ı tura atma olayı A T = {TTT, TTY, TYT, TYY} P(A T ) = 3 A ı yazı atma olayı A Y = {YTT, YYY} P(A Y ) = 3 B i tura atma olayı B T = {TTT, TTY, YTT} P(B T ) = B i yazı atma olayı B Y = {TYT, TYY, YYY} P(B Y ) = C i tura atma olayı C T = {TTT, TYT, YTT} P(C T ) = C i yazı atma olayı C Y = {TTY, TYY, YYY} P(C Y ) = A ı tura ve B i yazı atması, P(A T B Y ) = P({TYT, TYY}) = 3 = P(A T) P(B Y ) = olduğuda bağımsız olaylardır. 3 A ı yazı ve C i yazı atması, P(A Y C Y ) = P({YYY}) = 6 = P(A Y) P(C Y ) = 3 olduğuda bağımsız olaylardır. B i tura ve C i yazı atması, P(B T C Y ) = P({TTY}) = 6 P(B T) P(C Y ) = olduğuda bağımlı olaylardır. ( ) 6 5. S ümeside = 6! = 0 farlı şeilde a ve b sayılarıı seçebiliriz. S ümesii! 4! elemaları ile 60 arasıdai tamsayılarda oluştuğua göre < a+b < 0 olmalıdır. 0 tae a, b iilisi (güverciler) ve buları toplamları içi 7 farlı seçee (güverci yuvası) olduğua göre a, b iilisi ile ayı toplamı verece S de bir a, b iilisi vardır. Geriye a, b, a, b sayılarıı birbiride farlı olduğuu gösterme alır. Sayıları seçiş şelimizde a ile b ve a ile b farlı sayılardır. Eğer a = a ise o zama a+b = a + b eşitliğide b = b olur. O zama {a, b} = {a, b } demetir. Burada a a olmalıdır. Ayı şeilde a b, b a ve b b olduğu da söyleebilir. O halde a, b, a, b öğeleri birbiride farlıdır. 6. Biom Teoremide ( x+ x) 00 = yazabiliriz. 00 =0 ( ) 00 x 00 (x ) = 00 =0 ( ) 00 x 00 x = 00 =0 ( 00 ) x 00 (a) Şimdi x 0 ifadesii hagi sayısı içi elde ( edildiğii ) bulalım. 0 = 00 eşitliğide 00 = 45 olmalıdır. Burada x 0 u atsayısı, olur. 45 (b) x i uvvetleri 00 şelide olduğua göre x i uvvetleri çift sayıdır. O halde x 5 açılımda yotur. 00-0 Güz Döemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 05..00 7. S ile hiçbir oşul olmasızı bu harflerle oluşturulabilece arater uzuluğudai strig ifadeleri ümesii gösterelim. O zama S = 4 4 } {{ } 4 = 4 olur. c, c, c 3 ve c 4 ise sırasıyla tae A,B,C ve D harflerii ullaılmadığı arater uzuluğudai strig ifadeleri ümesi olsu. O zama c = c = c 3 = c 4 = 3 olur. Bezer olara c i c j = ( j < i 4), c i c j c = ( i < j < 4) ve c c c 3 c 4 = 0 olur. Şimdi içerme dışlama presibide buluur. c c c 3 c 4 = 4 4 3 + ( ) 4 ( ) 4 3 ( ) + 8. Hiç bir oşul olmasaydı paralar çoculara farlı şeilde dağıtılırdı. Şimdi çocularda birie paraları yarısıda bir fazlasıı verip alaıı dağıtalım. Bu çocu farlı ( ) ( ) (+)+ şeilde seçilebilir ve bu durumda ala paralar farlı şeilde dağıtılabilir. O halde cevap ( ) ( ) + + olur. 00-0 Güz Döemi