ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK! = (...... ) PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK... Kou Özeti... Testler ( )... Yazılıya Hazırlık Soruları ( )... İstatistik Kou Özeti...9 Testler ( )... ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAVINDA ÇIKMIŞ SORULAR...! = ( )( ) P(, ) =! Sayfa No = ()! (!)
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TEMEL SAYI KURALLARI Top la ma Yo luy la Say ma Bir ola yı gerçekleşmesi içi bir de faz la durum var sa ve bu ola yı gerçekleşmesi içi bu durumlarda bir ve yal ız biri ay ı a da kul la ıla bi li yor sa, olay bu durumları sayısıı top la mı ka dar de ğişik şe kil de gerçekleşir. Çarp ma Yo luy la Say ma Bir olay lar di zi si de bi ri ci olay de ğişik bi çim de, bu u iz le ye iki ci olay de ğişik şe - kil de ve bu şe kil de iş le me de vam edil di ği de r. olay r de ğişik şe kil de gerçekleşiyorsa, ola yı ta ma mı..... k çar pı mı ka dar de ğişik şe kil de gerçekleşir. FAKTÖRİYEL KAVRAMI de ye ka dar ola ar dışık do ğal sa yı la rı çar pı mı a fak tö ri yel de ir ve! ile göste ri lir.! =..... ( ). 0! =! = ola rak ta ım la ır.! = ( ), ( )! =. =! =.. =! =... =! =... = 0 PERMÜTASYON (SIRALAMA)! = ( ).( ), ( ) ele ma lı bir kü me i birbiride fark lı r ta e ele ma ı da oluşa sı ra lı r li le ri her bi - ri e elemaıı r li bir per mü tas yo u de ir. elemaı r li permütasyolarıı sayısı P(, r) ile gös te ri lir. KONU ÖZETI P(, r) =! ( r)! P(,) =! P(,0) = P(,) = BÖLÜM P(,) = ( ) çarpa P(,) = ( )( ) çarpa P(,) = ( ) ( )( ) çarpa ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE ve İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK
ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK ve VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK DÖNEL PERMÜTASYON ele ma lı bir kü me i ele ma la rı ı bir çember üze ri de bir bi ri e gö re fark lı di zi liş le ri - i her bi ri e bu ele ma ı bir dö el (da ire sel) per mü tas yo u de ir. So lu ele ma ı fark lı da ire sel per mü tas yo la rı ı sa yı sı ( )! ta e dir. = içi ( )! = ( )! = durum var. Aahtarlık Problemleri tae aahtar maskotlu bir aahtarlığa farklı şekilde takılabilir. tae aahtar maskotsuz bir aahtarlığa ( )! TEKRARLI PERMÜTASYON farklı şekilde takılabilir. ele ma lı bir kü me i; ta e si ay ı türde, ta e si ay ı türde..., r ta e si ay ı türde ve + +... + r = ise bu ta e ele ma ı per mü tas yo la rı ı sa yı sı,! P(;, r) = ( )!.( )! ( )! KOMBİNASYON (SEÇME - GRUPLAMA) taedir. ele ma lı bir kü me i r ele ma lı alt kü me le rii sa yı sı a elemaı r li kom bi as yo la rı de ir. elemaı r li kombiasyolarıı sayısı,! c m= C(,r) = taedir. r r!.( r)! c m= c m r r c r m= c k m ise r = k veya = r + k dir. + c m+ c m= c m r r r c m= c m= 0 c m= c m= P(,r) = C(,r).r! r c m+ c m+ c m+ + c m= 0.( ).( ) c m=.. C! A B B A C Permütasyoda sıraı öemi vardır. Kombiasyoda ise sıraı öemi yoktur.
BİNOM AÇILIMI (x y) 0 x x y + = c m + c m + c m x y + + c m y açılımıa biom açılımı deir. (x ± y) açılımıda; Her terimdeki x ve y çarpalarıı üsleri toplamı dir. + tae terim vardır. x r li terim c m.x r.y r dir. r Başta (r + ) terim, c m r x r.y dir. Soda (r + ) terim, c m dir. r x.y r r Katsayıları toplamı x = y = alıarak buluur. çift ise ortaca terim vardır. Ortaca terim içi r = dir. J N J N J N K O K O K O E büyük terimi katsayısı, çift ise tek ise ya da + K L O K P L O K P L O P Pascal Üçgei Pascal üçgei, biom açılımıdaki kat sayıları bulmak içi kullaılır. OLASILIK r (x+y) (x + y) (x + y) (x + y) 0 0 (x + y) Ör ek Uzay: Bir de ey de el de edi le bi le cek tüm so uç la rı kü me si e deeye ait ör - ek uzay de ir ve E ile gös te ri lir. Ola y: Ör ek uza yı her bir alt kü me si e bir olay de ir. E ör ek uza yı a ke si olay, boş kü me ye ise ola ak sız (imkasız) olay de ir. Bir ör ek uza ya ait iki ola yı ke sişim le ri boş kü me ise bu iki ola ya ay rık olay lar de - ir. ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK ve VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK
ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK Olasılık Foksiyou E ör ek uza yı ı tüm alt kü me le ri i oluş tur du ğu kü me (kuv vet kü me si) K ol su. P : K [0,] fok si yo u aşa ğı da ki ak si yom la rı sağlıyorsa P foksi you a ola sı lık fok si yo u, P(A) ya da A ola yı ı ola sı lı ğı deir. i. A E 0 P(A) ii. P(E) = iii. A,B E ve A B = ise P(A B) = P(A) + P(B) A, B E ve P bir olasılık foksiyou ise a. P( ) = 0 b. A B ise P(A) P(B) c. A = E A ise P(E) = P(A) + P(A ) = d. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) olur. Eş Olum lu Ör ek Uzay E = {a, a,..., a } bir so lu ör ek uzay ol su. P(a ) = P(a ) =... = P(a ) ise E ör ek uza yı a eş olum lu ör ek uzay adı verilir. s(a) Eş olumlu bir uzayda, olasılık foksiyou P(A) = dır. s(e) İki olay da bi ri i ger çek leş me si A ve B bağımsız iki olay ise di ğe ri i ger çek leş me ola - sı lı ğı ı de ğiş tir mi yor sa bu iki ola ya ba ğım sız olay lar de ir. P(A B) = P(A).P(B) dir. Eğer iki olay ba ğım sız de ğil se bu olay la ra ba ğım lı olay lar deir. A ve B bağımlı olaylar ise, P(A B) P(A).P(B) dir. KOŞULLU OLASILIK E ör ek uzay ve A ile B her ha gi iki olay ol su. (A, B, C, E) B ola yı ı ger çek leş miş olma sı durumuda A ola yı ı ger çek leş me si ola sı lı ğı a A ola yı ı B ye bağ lı koşul lu ola - sı lı ğı de ir ve P( A / B) biçimi de gös terilir. P(A+ B) P(A / B) = P(B) dir. E eş olumlu örek uzay ise, s(a+ B) P(A / B) = s(b) dir. A ı B koşul lu ola sı lı ğı buluurke B kü me sii ör ek uzay ola rak düşüerek souca gitmek mümküdür.
TEST Bilgi Kou Permütasyo - tae aahtar maskotsuz bir aahtarlığa, ( )! farklı şekilde takılabilir. m farklı mektup farklı posta kutusua m farklı şekilde atılır. Birbiride farkı tae matematik, fizik kitabı ayı tür kitaplar ya yaa gelmek üzere,!!! =.. = 88 tür kitap şekilde dizilir. Bir futbol ligideki 0 takım lig souda ilk üç dereceyi, 0.9.8 = 0 farklı şekilde paylaşır.. kız ve erkek, kişi arkada kişi öde olacak şekilde oturacaktır. Kızlar yayaa olmak koşuluyla kaç farklı biçimde otururlar? A) 00 B) 00 C) 99 D) 99 E) 990. tae aahtar maskotsuz bir aahtarlığa 0 farklı şekilde takılabildiğie göre aahtarları sayısı kaçtır? A) B) C) D) 8 E) 0. Birbiride farklı matematik, türkçe, felsefe kitabı, ayı tür kitaplar ya yaa gelmek üzere, bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir? A)!.!.! B)!.!.!.! C)!.! D)!.!.! E)!.!.!. Cem, Elif ve arkadaşı bir siemada Cem ve Elif ya yaa gelmemek koşulu ile kaç türlü oturabilirler? A) 80 B) 0 C) 80 D) 0 E) 80. Bir futbol ligideki takım lig souda ilk üç dereceyi kaç farklı şekilde paylaşır? A) 0 B) 00 C) 0 D) 00 E) 000. {,,, } kümesii elemalarıı kullaarak 00 de büyük rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? A) B) 8 C) D) E). farklı kişiye yazılmış mektup posta kutusua kaç farklı biçimde atılır? A) B) C) D) 0 E) 8. 8 değişik kitap, çocuğa dağıtılacaktır. Birici çocuğa iki kitap, ikici çocuğa üç kitap ve üçücü çocuğa üç kitap verileceğie göre, 8 kitap üç çocuğa kaç farklı biçimde dağıtılabilir? A) 0 B) 80 C) 0 D) 0 E) 0 ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK ) A ) C ) B ) E ) A ) E ) B 8) E
ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK P(, r) = {,,, } Bilgi kümesii elemalarıı kullaarak 90 da büyük basamaklı kaç sayı yazılabileceğii bulalım. {, }.. = sayı yazılabilir. {0,,,, } kümesii elemalarıı kullaarak 00 de büyük rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? {, }! ( r)!.. = tae üç basamaklı {,,, }... = 9 tae basamaklı... = 9 tae basamaklı sayı yazılabilir. TEST 9. 8 soruluk bir sıavda ilk iki soruyu cevaplamak mecburi olduğua göre, soru kaç değişik şekilde seçilebilir? A) B) C) D) E) 0. farklı fizik ve farklı matematik kitabı bir rafa, başta belli iki matematik kitabı ve soda belli iki matematik kitabı bulumak üzere kaç türlü dizilebilir? A) 8 B) C) D) 8 E). P(, r) + r.p(, r ) ifadesii eşiti edir? A) P(, r) B) P( +, r + ) C) P( +, r) D) P(, r ) E) P(, r ). A = {0,,,, } kümesii elemaları bir kez kullaılarak te büyük kaç tae üç basamaklı çift sayı yazılabilir? A) 8 B) C) D) 9 E). P(, ) =.P(, ) olduğua göre, kaçtır? A) B) C) 8 D) 9 E)..P(, ) = P(, ) olduğua göre, kaçtır? A) B) C) D) E) 8. A = {0,,,,, 8} kümesii rakamları kullaılarak 00 de büyük üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? A) 9 B) 8 C) D) E) 0. Yuvarlak iki masa ve kişiliktir. Bu masalara oturmak isteye kişi kaç farklı biçimde otururlar? A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) 00 9) A 0) C ) C ) A ) D ) C ) D ) A
. P(, ) = 0. olduğua göre, kaçtır? A) B) C) D) E). TEST Bilgi Kou Permütasyo - kız, erkek öğreci, erkek öğreciler bir arada olmak üzere bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilirler? kişi kız + = olup,!.! = (erkekler kedi aralarıda) {0,,,,, } kümesii elemaları ile ile bölüebile üç basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? {,} {0} {0,} {} {,,} {} 8 + + 9 = tae. = 8. = 9 ABİTUR kelimesii harfleriyle alamlı ya da alamsız! = 0 kelime yazılabilir. Pr (, ) P (, r) ifadesii eşiti edir? r A) B) C) r r + D) E) r r. P(, ) =.P(, ) olduğua göre, kaçtır? A) 8 B) C) D) 9 E). 0,,,, rakamlarıyla, rakamları farklı ile bölüebile üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) B) C) D) 8 E) 9. KARAKAYA sözcüğüü harflerii yerleri değiştirilerek alamlı veya alamsız 8 harfli kaç sözcük yazılır? A) B) 0 C) 0 D) 0 E) 80. erkek kızda oluşa bir grup, erkekler ya yaa olmak koşulu ile bir sıraya kaç farklı biçimde dizilirler? A) 8!! B)!8! C)!! D)!! E)!8!. Üç çocuklu bir aile ae ile baba ya yaa oturmak koşulu ile yuvarlak bir masa etrafıa kaç değişik biçimde sıralaır? A) 8 B) C) D) E) 8. A = {0,,,,, } kümesii elemaları kullaılarak üç basamaklı ve rakamları farklı ile bölüebile kaç sayı yazılabilir? A) B) C) 8 D) E) ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK ) D ) B ) A ) C ) E ) C ) B 8) E
ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK Bilgi 0 soruluk bir sıava gire bir öğrecide ilk soruyu zorulu olarak cevaplamak üzere soruyu yaıtlaması isteiyor. Kaç farklı şekilde yaıtlayabilir? 0 soruda ilk üü zorulu olarak yaıtlayacağıda geriye seçebileceği soru kalmaktadır. Bu ise, f p = şekilde gerçekleşir. sarı, mavi bocuk bir bileziğe kaç farklı şekilde sıralaabilir? Bocuklarda birii yerleştirelim. Geriye bir rekte, diğeride tae kalır. Tekrarlı permütasyo ilkesie göre, + = olduğuda,! = 0!.! şekilde sıralaır. TEST 9. Bir bilezik ayrı rege boyaacaktır. Seçile rek ya yaa gelmemek koşulu ile kaç farklı biçimde boyaır? A) 9 B) C) D) E) 8 0. kırmızı, mavi bocuk bir bileziğe kaç farklı biçimde sıralaabilir? A) B) C) 8 D) E). takımı katıldığı bir futbol ligii birici devreside kaç maç yapılır? A) 9 B) 8 C) D) 8 E). kişilik bir ailede ae ve baba, çocukları aralarıa alıp fotoğraf çektireceklerdir. Bua göre kaç farklı şekilde poz verirler? A) 8 B) C) D) E) 8. 0 soruluk bir sıavda öğrecii soruyu yaıtlaması istemektedir. İlk iki soruda e az birii yaıtlamak zoruda ola bir öğrecii kaç seçeeği vardır? A) 00 B) 0 C) 0 D) E). kişilik bir aile yuvarlak masa etrafıda oturacaktır. Ae, baba ve e küçük çocuk ya yaa olmak koşulu ile kaç değişik şekilde oturabilirler? A) B) 0 C) D) 90 E). A, B, C, D, E koferaslarıı dilemek isteye bir kişi, A ve D ayı saatte olduğua göre, koferasta üü kaç farklı biçimde seçebilir? A) B) C) D) E) 8. {0,,,, } kümesii elemaları ile üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? A) B) 0 C) D) 8 E) 0 8 9) C 0) A ) A ) E ) D ) E ) D ) E
! Cf p= r ( )! r!. Kou C + C + f p+ f p + + ifadesii eşiti edir? A) B) C + C + f p f p + + C) D) C + C + f p f p + + E) C + f p. 8 öğrecide veya daha fazlası kaç farklı biçimde seçilebilir? A) B) 8 C) 0 D) E) 0. Bir düzlemde bulua 0 doğruda ü bir A oktasıda, ü bir B oktasıda geçmektedir. Herhagi ikisi birbirie paralel olmaya doğrular, A ve B ile birlikte e çok kaç oktada kesişir? A) 9 B) C) D) 8 E) 0. C + f p+ Cf p= TEST Bilgi Kombiasyo - öğrecide veya daha fazlası, f p+ f p+... + f p = = şekilde seçilebilir. kişide ü bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir?. yol: f.! =. = 0 p. yol: P(,) =... = 0 Düzlemde herhagi üçü doğrusal olmaya oktayı köşe kabul ede kaç üçge çizilebilir?.. f p= =0.. ise kaçtır? A) B) C) D) E). 0 voleybolcu arasıda kişilik voleybol takımı seçilecektir. Takımı kaptaı belli olduğua göre, bu takım kaç farklı biçimde kurulabilir? A) B) 0 C) D) 08 E) 0. 8 kişilik bir grupta kişi, bir sıraya kaç değişik biçimde oturabilir? A) 0.! B) 0.! C).! D).! E) 0.!. Düzlemdeki 9 doğruda taesi paraleldir. Bu 9 doğru e çok kaç oktada kesişirler? A) B) 8 C) D) E) 8. Düzlemde herhagi üçü doğrusal olmaya tae okta veriliyor. Bu oktayı köşe kabul ede kaç tae üçge vardır? A) B) C) 8 D) 0 E) ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK ) C ) D ) D ) E ) A ) B ) D 8) E 9
ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK Bilgi kişilik bir grupta bir başka bir yardımcı ve bir sekreter kaç farklı şekilde seçilebilir. f p. f p. f p =.. = 0 Düzlemdeki 9 oktada i doğrusal ise köşeleri bu oktalar ola e çok kaç üçge çizilebilir? Tüm lü grupları sayısı, 9 f p= 8 dü. r okta doğrusal olduğuda bular üçge oluşturmazlar. Yai f p= 0 taesi üçlü ile üçge oluşmaz. O halde, 9 f p f p= 8 0 = üçge oluşur. Bir topluluktaki kişilerde elde edile tüm lü grupları sayısı topluluktaki kişileri sayısıı katıa eşit ise toplulukta kaç kişi vardır? Toplulukta kişi olsu. f p=. 9 ( )( ) =.! ( )( ) = 0 = ise = olur. TEST 9. Bir kooperatifi yöetimie seçile kişide bir başka ve bir sayma kaç türlü seçilebilir? A) B) 0 C) D) 0 E) 0. 0 doğruu i paraleldir. Bu 0 doğruu e çok kaç tae kesim oktası vardır? A) B) C) 8 D) 0 E). kişilik bir topluluk içide oluşturula ve içide e az bir erkek bulua üç kişilik tüm grupları sayısı tir. Toplulukta kaç kız vardır? A) B) C) D) 8 E) 0. 9 kişilik öğreci grubuda kişi gezi, kişi araştırma grubu içi ayrılacaktır. Seçim kaç türlü yapılır? A) 8 B) 0 C) D) E). 8 öğreci üç taesi matematik yarışmasıa beş taesi fizik yarışmasıa katılacaktır. Bu iki grup kaç değişik biçimde oluşturulabilir? A) 8 B) C) D) 0 E). d d d 8 d 9 d // d // d // d // d ve d // d // d 8 // d 9 ise şekilde kaç paralel kear oluşur? A) B) 0 C) 0 D) E) 0. milletvekili arasıda değişik görevler içi e az iki e çok altı üyeli kaç komisyo oluşturulur? A) 9 B) 8 C) D) E). kişilik bir sııfta kız öğrecilerde oluşturulacak ikişerli grupları sayısı, bu sııftaki erkek öğrecileri sayısıa eşittir. Bua göre sııfta kaç kız öğreci vardır? A) 8 B) C) D) E) d d d d d 0 9) D 0) E ) C ) E ) C ) E ) A ) A
! Cf p= r ( )! r!.. ise kaçtır? A) B) C) 9 D) E) C m f p+ Cf p= Cf m p m m ise m kaçtır? A) 8 B) C) D) E). kişii katıldığı bir sıav başarı yöüde kaç farklı biçimde souçlaabilir? A) 8 B) C) D) E) 0. TEST Bilgi Kou Kombiasyo - kişii katıldığı bir yarışmada ilk derece kaç farklı şekilde paylaşılır? Kişiler kümeside dereceler kümesie taımlı foksiyo sayısı kadar ilk iki derece paylaşılır. S(D) S(K) = = erkek ve baya öğretmei buluduğu bir okulda oluşturulacak kişilik komisyoları kaç taeside e az bir baya öğretme buluur?. Yol: Oluşurulacak tüm lü grupları sayısıda, içide baya olmaya lü grupları sayısı çıkarılır. Yai c 0 m c m = 0 =. Yol: k k k k k k E B c m. c m+ c m. c m+ c m = + 0 + 0 = dır. C C. C + f p + f p + f p = f p 0 C 8 f p Cf p= Cf p Cf p 8 r eşitliği veriliyor. Bua göre ( + r) aşağıdakilerde hagisi olabilir? A) B) C) D) E). 0 doğru ile çemberi kesim oktalarıı sayısı e çok kaçtır? A) B) 09 C) 0 D) 0 E) 0. Paralel iki doğruu birii üzeride, diğerii üzeride okta vardır. Köşeleri bu oktalarda bulua kaç üçge çizilebilir? A) B) 90 C) D) 80 E). 8 kişi arasıda kişilik basketbol takımı ve beş kişi arasıda bir kapta kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 80 B) 0 C) 0 D) 0 E) 8. kişide kişi Atalya ya, kişi İzmir e gidecektir. Bu iki grup kaç değişik şekilde seçilebilir? A) B) 9 C) D) E) 8 ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK ) C ) D ) B ) C ) A ) C ) A 8) D
ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK Bilgi Düzlemde farklı çember e çok kaç oktada kesişir? İki farklı çember e çok iki oktada kesiştiğide farklı çember e çok,.. f p=. = oktada keşisir. d F E D C K B A M L Şekildeki 9 okta ile kaç farklı dörtge oluşturulabilir? d doğrusu üzeride bulua oktada oluşa lülerde dörtge oluşmaz. O halde, 9 98... f p f p=.... = = Paralel iki doğruda birii üzeride, diğerii üzeride okta vardır. Bu okalar ile kaç farklı üçge oluşturulabilir? d d f pf p+ f pf p.0 +. = 0 + 0 = TEST 9. Düzlemde 8 farklı çember e çok kaç oktada kesişir? A) B) 0 C) D) 0 E) 0. P(, ) = 0.C(, ) ise kaçtır? A) B) C) D) E). Kız ve erkek öğrecilerde oluşa 8 kişilik bir grupta kız öğrecileri oluşturduğu ikili grupları sayısı erkek öğrecilerde oluşa ikili grupları sayısıda fazla olduğua göre, bu toplulukta kaç erkek öğreci vardır? A) B) 8 C) 9 D) 0 E). erkek ve baya öğretmei buluduğu bir okulda oluşturulacak kişilik komisyoları kaç taeside e az bir erkek öğretme buluur? A) 80 B) C) D) 0 E) 0. Şekildeki doğru P oktasıda geçe doğru ile kesiştirilmiştir. Kaç tae yamuk oluşur? A) 00 B) 9 C) 8 D) 0 E) 0. doktor, mühedis, avukat arasıda kişi seçilecektir. Her meslekte e az bir kişi olacak şekilde kaç farklı seçim yapılabilir? A) 0 B) C) 0 D) 90 E) 0. Şekildeki oktalarda kaç farklı dörtge elde edilir? A) 0 B) 9 C) D) 0 E) 9. Bir okulda tae seçmeli ders açılmaktadı. Cem bu derslerde sadece, Özüm ise e az ders seçmek zoruda olduğua göre, ikisi birlikte bu dersleri kaç farklı şekilde seçerler? A) B) 9 C) 0 D) 0 E) 0 P K L A E F B D C 9) E 0) A ) D ) A ) A ) B ) C ) E
a b a. açılımıda bir terim k. f p olduğua göre, k + toplamı kaçtır? açılımıda orta terimi katsayısı kaçtır?. f x p b a b x A) 0 B) C) 8 A) B) C) D) E) 0 D) E). ( + x + x ). açılımıda x i katsayısı kaçtır? A) B) C) 8 D) E) a + k 8 açılımıda başa. terim kaçtır? A) 0 B) 80 C)890 D) 0 E) 0. ( x).( + x) 8 TEST Bilgi Kou Biom Açılımı - A d d d d d // d // d // d Şekilde kaç farklı yamuk vardır? Paralel doğruda sii seçeriz. f p = tae yamuk vardır. (v + v) 0 açılımıda. terimi bulalım. r + = r = 0 f p. a k. a z k 098..... = = 8 dir.... (ax + by) açılımıda orta terim,.( ).( ) f p a by dir. (a + b + c) açılımıda a lü kaç terim vardır? (a + b + c) açılımıda a lü bir terim, a.(b) r.c r dir. 0 r olup r = 0,,, te tae a lü terim vardır. açılımıda x 9 u katsayısı kaçtır? A) B) C) 8 D) E). (x + y) açılımıda orta terimi katsayısı kaçtır? A) 90 B) 80 C) 0 D) 0 E) 0. (a + b c ) açılımıda bir terim k.a 9.b p.c olduğua göre, p kaçtır? A) B) C) D) E) 8. ( + x + x ).( x) açılımıda x i katsayısı kaçtır? A) 80 B) 9 C) D) E) 9 ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK ) D ) E ) E ) D ) A ) C ) A 8) E
ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK f a + a Bilgi açılımıda sabit terimi bulalım. Başta (r + ). terim sabit terim olsu. 0 r = r r = Sabit terim, f p dır. ( + x + x ) açılımıda x i katsayısıı bulmak içi, [( + x) + x ) ( + x) açılımı içi de, m + = = 0, ve değerlerie karşılık m =, ve olur. x i katsayısı = + = olur. p r r f p. ca m. ca m r r f p. ca m. a r r r = 0 r r = r.( ).( ) f p + x x ( ) m m f p.. x olup m R V S W m f p. Sf p. x. x W S m W T X m+ f p. f p. x m c m. c m+ c m. c m 9. fx p x TEST 0 açılımıda sabit terim kaçtır? A) 0 B) 00 C) 0 D) 0 E) 0 0. C(, ) + aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) C( +, ) B) C(, ) C) C(, ) D) C( +, ) E) C(, ). (x + y + z) 0 açılımıda x ı çarpa olarak buluduğu terimleri katsayılarıı toplamı kaçtır? A) 00 B) C) 0 D) 0 E) 00. 0 0 f p= f p r p eşitliğide r p ise, r + p kaçtır? A) B) C) D) 0 E). (a ) 9. açılımıda elde edilecek poliomu bir terimi k.a 8 ise k kaçtır? A) 8 B) C) 0 D) E) 8 fx p x açılımıda orta terim aşağıdakilerde hagisidir? A) ( ) + ( )! ( )! B) (!)! C) ( ) ( )! D) ( )! (!) (!) E). (x + y ). ( )! (!) açılımıda terimleri katsayılar toplamı olduğua göre kaçtır? A) B) C) D) E) fx + p x 0 açılımıda x 0 u katsayısı kaçtır? A) 9 B) C) D) 0 E) 9) A 0) A ) D ) D ) A ) C ) A ) E
. ( x).( + x) 9. açılımıda x i katsayısı kaçtır? A) B) C) 8 D) E) fx + açılımıda i katsayısı kaçtır? A) B) C) D) 8 E). ( + x) 9 açılımı yapıldığıda x = içi e büyük terim kaçtır? A). B).9 C).9 D).9 E).9. (a ab + b ) 0 açılımıda elde edile poliomda bir terim k.a.b olduğua göre, k kaçtır? 0 0 A). f p B). f p 0 0 C). f p D). f p 0 E). f p x TEST Bilgi Kou Biom Açılımı - (x + x) 0 açılımıda x i katsayısı kaçtır? x li terim (r + ). terim olsu. 0 0 r r f p( x ).( x) r 0 0 r r r f p( x ). x. r 0 r r f p( x ). = A. x r 0 0 r = r = 8 0 A = 8. 8. 8 f p = f p+ f p+... + f p= 0 ( + x) açılımıda e büyük katsayı, J N J N K O K O tek ise: K + O= K O K O K O L P L P J N K O çift ise: K O K O L P p x. (x x) açılımıda x i katsayısı edir? A) 90. 0 B) 9. 0 C) D) 89. 0 E) 90. 0. ( + x) 8 açılımıdaki terimlerde e büyük katsayı aşağıdakilerde hagisidir? A) 0 B) C) D) 0 E) 8. f p+ f p+ f p+... + f p 0 ifadesii eşiti edir? A) B) C) + D) + E) 8. x 0, x R ve, de büyük doğal sayı olduğua göre, fx + p açılımıda sabit x terim aşağıdakilerde hagisidir? A) f p B) f p C)! D) E) f p f p ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK ) D ) C ) B ) A ) C ) D ) B 8) B
ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK Bilgi (a + x) açılımıda bir terim a.x 9 ise yi bulalım. r p. a r. xr= A. a. x9 f r= f p = buluur. r = 9 tek ise ( + x) açılımıda e büyük katsayı, J N J N K O K O K Oya da K + O dir. K O K O L P L P (x + xy) 0 açılımıda bir terim, k.x 0 y ise k yı bulalım. 0 r r f p.( x ).( xy) = k. x. y r 0 0 0 r r r f px. x. y = k. x. y r 0 0 eşitliğide r = 0 k = f p dir. 9. (a + x) 0. TEST açılımıda bir terim a x ise kaçtır? A) B) 8 C) 9 D) 0 E) x f p x açılımıda x li terimi katsayısı kaçtır? 0 A) B) C) 0 0 D) E). ( + x) 9 açılımıdaki terimlerdeki e büyük katsayı kaçtır? A) B) C) 8 D) E) 0 0. (a + b) açılımıda başta ( + ). terimii katsayısı edir? A) f p B) f p C) f p + + + + D) f p E) f p. (a + ab) 9. açılımıdaki bir terim k.a.b ise k kaçtır? A) 00 B) C) D) 00 E) 0 açılımıda so üç terimi katsayılarıı toplamı kaçtır? A) 0 B) 9 C) 8 D) E). (x y) 9. 8 f + p x açılımıda bir terim k.x.y ise k kaçtır? A) B) 8 C) D) 0 E) 00 ( x + x) açılımıda kaç tae rasyoel terim vardır? A) 0 B) C) D) E) 9) D 0) C ) A ) C ) B ) D ) C ) D
9 öğrecide ü kızdır. Bilgi Kou Olasılık - Rastgele seçile kişide e az birii kız öğreci olma olasılığı kaçtır? E K f pf p+ f pf p+ f p 9 f p. +. + = 98.. 8.. buluur. Bir sııftaki 0 öğrecii i futbol, si voleybol, 0 u da her iki oyuu oyamaktadır. Bu sııfta rastgele bir öğreci seçiliyor. Bu öğrecii futbol oyadığı bilidiğie göre, voleybol oyama olasılığı kaçtır? F 0 Şekilde, PF ( ) = 0 0 PF (, V) = 0 PF ( + V) PVF ( / ) = PF ( ) 0 = 0 = 0 V olur. TEST. 8 öğrecide i kızdır. Rastgele seçile öğrecide e az birii erkek olma olasılığı kaçtır?. Bir zar ve bir madei para birlikte atılıyor. Zarı veya te büyük ve paraı yazı gelmesi olasılığı edir?. Bir kutuda bulua 0 lambada ü arızalıdır. Bu kutuda ardarda lamba çekiliyor. İkicisii arızalı, biricii sağlam olma olasılığı edir? 9. seçeekli soruyu rastgele işaretleye bir öğrecii e az ikisii doğru işaretleme olasılığı kaçtır? A) B) C) 8 D) E). Bir okuldaki öğrecileri % i matematik, % i kimya, %0 u hem matematik hem de kimyada kalmıştır. Gelişigüzel bir öğreci seçiliyor. Öğreci matematikte kalmış ise kimyada da kalma olasılığı edir?. madei para birlikte havaya atılıyor. İkisii yazı, üçüü tura gelme olasılığı kaçtır? 8. Bir zar kez arka arkaya atılıyor. kez ayı sayıı gelme olasılığı kaçtır? A) B) C) 9 8 D) E) 8 8 8. zar havaya atılıyor. Üst yüzeye gele sayılarda birii diğeride fazla olma olasılığı kaçtır? 9 9 8 ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK ) C ) E ) A ) D ) C ) B ) B 8) E
ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK Bilgi Rastgele seçile iki basamaklı bir sayıı ile bölüebilme olasılığıı bulalım. İki basamaklı tüm sayılar 90 taedir. 90 İstee olasılık, = dir. 90 8 {,,,, } kümesii alt kümeleri birer karta yazılıp bir kutuya atılıyor. Bu kutuda rastgele çekile bir karttaki kümei elemalı olduğu bilidiğie göre bu kümede buluma olasılığıı bulalım. elemalı tüm alt kümeler, f p = 0 tae, bulua elemalı alt kümeler, f p = taedir. O halde istee olasılık, = tir. 0 İki zar ayı ada havaya atılıyor. Üste gele sayıları birbiride farklı olma olasılığıı bulalım. İki zar atıldığıda x = durum var. Ayı olalar, (,), (,)..., (,) olup taedir. O halde geriye 0 tae kalır. İstee olasılık; 0 = dır. 9. TEST A = *,,,, kümeside rastgele seçile iki kesri toplamıı de büyük olma olasılığı edir? 0. A = {,,,,, } kümesii alt kümeleri birer karta yazılıp torbaya kouyor. Torbada rastgele çekile kartta elemalı bir küme yazılmış olma olasılığı kaçtır? 8. İki zar birlikte atıldığıda ikisii de ayı gelme olasılığı kaçtır?. madei para atılıyor. E az taesii yazı gelme olasılığı kaçtır? 8 8. Rastgele yazıla iki basamaklı bir sayıı ile bölüebilme olasılığı kaçtır? A) B) C) 8 90 D) E) 90 9. A = {,,,,, } kümesii alt kümeleri birer karta yazılıp bir kutuya atılıyor. Bu kutuda rastgele çekile bir karttaki kümei elemalı olduğu bilidiğie göre bu kümede buluma olasılığı kaçtır?. Bir paraı defa atılışıda e az kez tura geldiği bilidiğie göre atışları dördüü de tura gelme olasılığı edir?. Bir amip iki saatte e az bir, e çok üç tae amip meydaa getirmektedir. saat sora meydaa gele amipler arasıda seçile bir taesii ilk iki saat içeriside meydaa gelmiş olması olasılığı e çok kaç olur? A) B) C) D) E) 8 9) A 0) E ) C ) E ) C ) C ) E ) D
P(A B ) = P(A B) Bilgi Kou Olasılık - Bir torbada beyaz, kırmızı top vardır. Art arda iki top çekiliyor. Birici topu beyaz olduğu bilidiğie göre ikici topu kırmızı olma olasılığıı bulalım. Birici topu beyaz olma olasılığı, P(B) = dir. top çekildi, torbada top kaldı. Kırmızı top çekme olasılığı, P(K/B) = O halde, PB ( + K) =. = dir. Bir odada tae evli çift vardır. Rastgele iki kişi seçildiğide bu kişileri evli olma olasılığıı bulalım. çiftte çift f p = şekilde çift kişidir kişide kişi ( )! f p= ( )!.! ( )( )( )! = ( )!. = ( ) şekilde seçilir. O halde istee olasılık, = dir. ( ) TEST 8. A ve B olayları içi P(A B ) = olduğua göre, P(A B) kaçtır? 0. Bir torbada büyüklükleri ayı ola mavi, sarı, kırmızı bilye vardır. Torbada rastgele çekile bilyei farklı reklerde olma olasılığı kaçtır?. 8 ile arasıdaki doğal sayılarda oluşa bir kümede bir elema seçildiğide bu elemaı ile bölüebilme olasılığı kaçtır? 8. A = {,,,, 9}, B = {0,,,, 8} kümelerii elemaları kullaılarak oluşturula tüm beş basamaklı sayılar bir torbaya kouluyor. Bu torbada çekile bir sayıı tüm rakamlarıı A kümesie ait olma olasılığı kaçtır? A) B) C) 8 D) E). {,,,,,, } kümesii elemalarıda sayı alııp çarpılıyor. Soucu egatif olma olasılığı kaçtır? 8. A B C D E F K d // d, IABI = IEFI = IFKI = cm, IDEI = cm, IBCI = cm dir. d ve d doğruları arasıdaki uzaklık cm olduğua göre, köşeleri bu oktada bulua tüm üçgelerde rastgele biri seçildiğide bu üçgei alaıı cm olma olasılığı kaçtır?. Bir odada evli çift vardır. Bu odada rastgele iki kişi seçildiğide bu kişileri evli olma olasılığı kaçtır? 9 9 9 9 8. Bir zar üç kez arka arkaya atılıyor. E az iki atışta üst yüze gelmesi olasılığı kaçtır? 9 d d ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK ) E ) A ) E ) E ) B ) E ) E 8) C 9
ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK Bilgi İki zar atıldığıda üste gele sayıları toplamıı 0 olma olasılığıı bulalım. A = ((,), (,), (,)) S(A) = S(E) = x = İstee olasılık, = dir. de 0 ye kadar ola doğal sayılarda rastgele biri seçildiğide bu sayıı ile bölüebilme olasılığıı bulalım. 0 0 tae ile bölüe var. İstee olasılık, 0 = 0 dir. Herhagi üçü doğrusal olmaya okta birleştirilerek çokgeler elde ediliyor. Seçile bir çokgei dörtge olma olasılığıı bulalım. f p olup f p+ f p+ f p+ f p+ f p + + + + = 99 dir. TEST 8 9. Herhagi üçü bir doğru üzeride olmaya okta birleştirilerek çokgeler elde ediliyor. Seçile bir çokgei dörtge olma olasılığı kaçtır? 0. Hileli bir zar havaya atıldığıda üst yüzüe bir sayısıı gelmesi olasılığı bu sayı ile ters oratılıdır. Bu zar havaya atıldığıda gelmesi olasılığı kaçtır? 9 9. Bir çift zar atılıyor. Üste gele sayıları toplamıı 8 de büyük olma olasılığı kaçtır? 8 9 9. Üç madei para birlikte havaya atıldığıda e az birii tura gelmesi olasılığı kaçtır? 8 8 8. Bir koşuda at yarışıyor.. i kazama olasılığı. i yarısı,. ü kazama olasılığı. i katı ve. ü kazama olasılığı. ü yarısı olduğua göre,. ü kazama olasılığı edir? 8 9. 0,,,,, rakamlarıı her biri yalız bir kez kullaılarak oluşturula sayılarda rastgele biri yazıldığıda bu sayıı 00.000 de büyük olma olasılığı kaçtır? 0. B C A E D % % & Şekilde mab ( ) = mbc ( ) = mcd ( ) = 0 verilmiştir. A, B, C, D, E oktalarıı köşesi kabul ede üçgelerde seçile herhagi birii eşkear üçge olma olasılığı edir? 8 9. Bir olay soucuda elde edile a, b, c gibi bağımsız souçlarda a veya b i olasılığı, a veya c i olasılığı olduğua 8 göre, b veya c i olasılığı edir? 8 8 0 0 9) E 0) A ) A ) C ) E ) C ) E ) C
Bilgi Kou Olasılık - {,,,,, } kümeside rastgele iki elema alııp çarpılıyor. Çarpımı asal sayı olma olasılığıı bulalım. A = {(, ), (, ), (, )} s(a) =, f p= = s(e) = olup istee olasılık, = kız, erkek öğrecii olduğu bir grupta kişilik bir komisyo oluşturulmak isteiyor. Komisyoda e az erkek öğreci olma olasılığıı bulalım. E K 9 kişilik bir grupta rastgele seçile kişii üçüü de kız olması olasılığı kaç kız vardır? tae kız olsu. e o = 9 f p ( )( )! = 98.... ( )( ) = = tür. dir. f p. f p+ f p. f p 0 f p. +. = = dir. ise grupta TEST 9. {,,,, } kümesii elemalarıda rastgele ikisi alııp çarpılıyor. Çarpımı asal sayı olma olasılığı kaçtır?. A, B ve C gibi üç yarışçıda A ı kazama olasılığı B i katı, B i kazama olasılığı C i katı ise B i kazama olasılığı edir? 0 0 0. A ve B bağımsız iki olay ve P(A) > P(B) dir. P(A B) =, P(A B) = ise, P(A) kaçtır? 9. 9 öğrecide i erkektir. Rastgele seçile öğrecide e az birii kız öğreci olma olasılığı kaçtır? 9. Bir toplatıda evli çift ve bekar vardır. Bu toplatıda rastgele kişi seçildiğide evli çift ve bekar olma olasılığı kaçtır?. 0 kişilik bir grupta rastgele seçile iki kişide ikisii de kız olması olasılığı ise bu grupta kaç erkek vardır? A) 9 B) C) D) E). 9 ardışık doğal sayı veriliyor. Bu sayılarda iki sayı seçiliyor. Seçile bu sayıları ardışık sayı olma olasılığı kaçtır? 9 8 8. de 0 a kadar doğal sayılarda oluşa bir kümede seçile bir elemaı ile bölüebilme olasılığı kaçtır? 0 9 9 9 0 ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK ) E ) D ) C ) C ) C ) D ) B 8) B